Guidance document 55-56

ระบบพกัิดฉากในสามมติิ (Three dimensions)กลุ่มสาระการเรยีนรู ้คณิตศาสตร์

สาระที่ 3 เรขาคณิต

ค 32201 คณิตศาสตร์เพิม่เติม 1ชัน้มธัยมศึกษาปีที่ 5

ผลการเรยีนรู ้ หาผลบวก ผลลบ ของเวกเตอร ์และผลคณูของเวกเตอรด้์วยสเกลาร์Learning outcomes Find the sum and difference vector, multiplication vector by scalar, evaluation of Scalar.จุดประสงค์ปลายทาง หาพกิัดฉากและระยะทางระหวา่งจุดสองจุดในสามมติิได้Intended destination The coordinate and the distance between two points in three dimensions ครูผู้สอน นางมาลัยพร เอ้ือสวุรรณ Instructor. Mrs. Malaiporn uasuwan

Name …………………………………………………………… Class. …………..……..…No……….…

1.2 ภาพฉายของจุด A บนแกน X คือ……………. บนแกน Y คือ บนแกน…………… Z คือ…………..1.3 ภาพฉายของจุด H บนระนาบ XY คือ บนระนาบ ……… YZ

เวกเตอร ์ (Vector) 1)ปรมิาณสเกลาร ์ (Scalar guantily) หมายถึง ปรมิาณท่ีบอกเฉพาะขนาดเพยีงอยา่งเดียว เพื่อบอกใหรู้ว้า่มากหรอืน้อยโดยใชจ้ำานวนกับหน่วยที่ใชว้ดั เชน่ พื้นที่ ปรมิาตร เวลา นำ้าหนัก สว่นสงู ฯลฯ 2)ปรมิาณเวกเตอรห์รอืเวกเตอร ์ (Vector guantily) เป็นปรมิาณที่มทีัง้ขนาดและทิศทาง เชน่ ความเรว็ ความเรง่ แรง ฯลฯ และรูปแบบของเวกเตอรจ์ะม ี 2 ลักษณะ คือ เป็นภาพหรอืรูป และสญัลักษณ์ 3)การเขยีนเวกเตอร ์ในลักษณะท่ีเป็นภาพ จะใชส้ว่นของเสน้ตรงโดยใชค้วามยาวแทนขนาดของเวกเตอรแ์ละมหีวัลกูศรกำากับเพื่อบอกทิศของเวกเตอร์ 3.1 เวกเตอรจ์ำากัด คือ เวกเตอรท์ี่มกีารระบุจุดเริม่ต้นและจุดสิน้สดุไว ้เชน่ A Bเป็นเวกเตอรท่ี์มจุีด A เป็นจุดเริม่ต้นและจุด B เป็นจุดสิน้สดุ เขยีนแทนเวกเตอร ์เอบ ีด้วย AB หรอื 3.2) เวกเตอรอิ์สระ (Free vector) เชน่ ซึ่งไม่

ได้ระบุจุดเริม่ต้นและจุดสิน้สดุไว ้มกัเขยีนแทนเวกเตอรเ์ป็นอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กเพยีงอยา่งเดียว เชน่ 4) การเขยีนเวกเตอรใ์นระบบเลขสามตัว เป็นการใชขันาดของมุมบอกทิศทางโดยวดัมุมจากทิศเหนือไปตามเขม็นาฬิกา โดยขนาดของมุมระหวา่ง 0 ำ ถึง 360 ำ ถ้าขนาดของมุมน้อยกวา่ 100 ำ ต้องเขยีน 0 นำาหน้าเติมใหค้รบ 3 ตัวเลข เชน่ 30 ำ ต้องเขยีนเป็น 030 ำ เชน่ เป็นเวกเตอรแ์สดงการเดินทางของนาย ก จากบา้นไปโรงเรยีนเป็นระยะทาง 3 กิโลเมตร ในทิศ 120 ำ N

P 120 ำ E

Q

5) ขนาดของเวกเตอรคื์อความยาวสว่นของเสน้ตรงที่เป็นเวกเตอร์เชน่ ขนาดของ , เขยีนแทนด้วย , 6) เวกเตอรศู์นย ์คือ เวกเตอรท่ี์มจุีดเริม่ต้นและจุดสิน้สดุที่จุดเดียวกันเขยีนแทนด้วย หรอื = = = และ =0 7) การขนานกันของเวกเตอรม์ ี 2 ลักษณะ คือ นิยาม กำาหนด และ และ ขนาน ก็ต่อเมื่อ และ

มทิีศเดียวกันหรอืทิศตรงขา้ม 7.1)เวกเตอรท่ี์มทีิศเดียวกันและขนานกันหรอือยูใ่นแนวเสน้ตรงเดียวกันและลกูศรชีไ้ปทางเดียวกัน // //

7.2) เวกเตอรท่ี์มทีิศทางตรงกันขา้มและขนานกันอยูใ่นแนวเสน้ตรงเดียวกันแต่ลกูศรชีไ้ปทางตรงขา้มกัน //

8)เวกเตอรท่ี์เท่ากันนิยาม และ เป็นเวกเตอรท์ี่เท่ากันเขยีนแทนด้วย = ก็ต่อเมื่อ 1) = 2) และ มทีิศทางเดียวกัน 9) นิเสธของเวกเตอร ์คือเวกเตอรท์ี่มขีนาดเท่ากับเวกเตอร์นัน้แต่มทิีศทางตรงขา้มกันและนิเสธของ เขยีนแทนด้วย

ซึ่ง เป็นนิเสธของ นัน่คือ =- หรอื - = ตัวอยา่ง 1 จากรูป ABC เป็น ด้านเท่า จุด D ,E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB,BC และ CA ตามลำาดับและกำาหนดเวกเตอร ์ AB , DB , BC , EC , AC , FC , DE , EF , FD จงตอบคำาถามต่อไปน้ี

1.เวกเตอรใ์ดบา้งท่ีมทิีศทางเดียวกัน ตอบ2.เวกเตอรใ์ดบา้งท่ีมทิีศตรงขา้มกัน ตอบ3.เวกเตอรใ์ดบา้งท่ีเท่ากัน ตอบ4.เวกเตอรใ์ดบา้งท่ีเป็นนิเสธกัน ตอบ5.เวกเตอรใ์ดบา้งท่ีขนานกัน ตอบ

ตัวอยา่งท่ี 2 ชายคนหน่ึงเดินไปทางทิศตะวนัออกเฉียงเหนือเป็นระยะทาง 3 กิโลเมตร จากนัน้เดินไปทางทิศ 315 องศา เป็นระยะทางอีก 3 กิโลเมตร ชายคนน้ีอยูห่า่งจากจุดเริม่ต้นกี่กิโลเมตร และอยูใ่นทิศทางใดของจุดเริม่ต้นวธิทีำา

แบบฝึกหดั

ตอน 11)จากรูป จงหาพกิัดของจุดมุมที่เหลือของทรงสีเ่หล่ียมมุมฉากซึ่งมหีน้าทัง้หกขนานกับระนาบอ้างอิง

ZG F(1,5,3)

H E

O Y D C

A(3,2,0) B

X

2)กำาหนดพกิัดฉากของจุดในปรภิมูสิามมิติ โดยใชร้ะบบมอืขวาและเขยีนจุดในปรภิมูสิามมติิท่ีมพีกิัดต่อไปนี้ A(1,1,1) B(1,-1,2) C(3,2,-1) D(-1,-1,-2)3) จงหาภาพฉายของจุด P,Q บนระนาบ XY, YZ และ XZ เมื่อ P,Q มพีกิัดเป็น P(3,-4,8) Q(7,-2,8) ตามลำาดับตอน 21)ให ้ABCD เป็นสีเ่หล่ียมด้านขนาน จากรูปจงหาเวกเตอรท่ี์เท่ากับเวกเตอรท่ี์กำาหนดใหต่้อไปน้ี D C

E

A B

2)กำาหนด ABCDEFGH เป็นทรงสีเ่หล่ียมมุมฉาก จงหา E F D C H G

1) 2) 3)

A B3.ถ้า แทนการเดินทาง 300 กิโลเมตร ไปทางทิศ 0750 จงบรรยายการเดินทางท่ีแทนด้วย

เฉลยเอกสารหมายเลข 56-57ตัวอยา่งท่ี11. กับ , กับ , กับ2. , กับ และ , กับ3. กับ4. กับ , กับ5. ทิศเดียวกัน // , // , // , ทิศตรงขา้ม , // และ , //ตัวอยา่งท่ี 2 กิโลเมตร ทิศ 0000

แบบฝึกทักษะเอกสารหมายเลข 56-571) B(3,5,0)C(1,5,0) D(1,2,0) E(3,5,3)

H(3,2,3) G(1,2,3)2)

B(1,-1,2) A(1,1,1)

D(-1,-1,-2)

1)เวกเตอรท่ี์ขนานกัน 3 คู่2) เวกเตอรท่ี์เท่ากัน 3 คู่3)เวกเตอรซ์ึ่งเป็นนิเสธซึ่งกันและกัน 3 คู่

C(3,2,-1)3) ภาพฉายของจุด P(3,-4,8) บนระนาบ XY คือจุด(3,-4,0)

ภาพฉายของจุด P(3,-4,8) บนระนาบ YZ คือจุด(0,-4,8)ภาพฉายของจุด P(3,-4,8) บนระนาบ XZ คือจุด(3,0,8)ภาพฉายของจุด Q(7,-2,8) บนระนาบ XY คือจุด(7,-2,0)ภาพฉายของจุด Q(7,-2,8) บนระนาบ YZ คือจุด(0,-2,8)ภาพฉายของจุด Q(7,-2,8) บนระนาบ XZ คือจุด(7,0,8)

ตอน 2 แบบฝึกหดั 3.2 ก1) 1. = 2. = 3. - =- 4. = 5. = 6.-

=2) 5.1 กับ กับ กับ5.2 กับ กับ กับ5.2 กับ กับ กับ

N

3) - แทนการเดินทาง 300 กิโลเมตรในทิศ 2550

- 0750