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22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1
Vorlesung 25:
Roter Faden:
Heute: Relativistische Dynamik
Versuche: Messung der Lichtgeschwindigkeit, Film
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2
Zum Mitnehmen
Ein ruhender Beobachter sieht in einem bewegtenBezugssystem, dass
Längen um einen Faktor kürzer erscheinen (Längenkontraktion oder „bewegte Stäbe sind kürzer“)
Zeitmessungen um einen Faktor gedehnt werden(Zeitdilatation oder “bewegte Uhren gehen langsamer“)
= 1/(1-2) wird gleich 1, wenn = v/c gleich 0 wird,d.h. relativistische Effekte werden wichtig für 1Dann geht .
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3
Bisher ändert sich alles in bewegten Systemen:L‘ = L/ t’ = t m’ = m. Gibt es LorentzinvarianteGrößen, d.h. Größen die in jedem Inertialsystem gleich sind?Antwort: ja, Abstand die Licht ablegt und Ruhemasse.Dies kann man im 4-dimensionalen Orts-Zeit Raum als Lorentzinvariante Längen der Vierervektoren X=(x,y,z,ict) und P=(px,py,pz,imc2) definieren. Länge von X: -L2=X.X=x2+y2+z2-c2t2 Lorentzinvariant, weil c und damit x=ct in jedem Inertialsystem gleich ist(x2-ct2=x’2-ct’2 wie man leicht aus Lorentzgleichungen sieht)P=cmdX/dt und hat Länge –c4m0
2=P.P=c2(px2+py
2+pz2-m2c2).
Ruhemasse ist Lorentzinvariant und es gilt: E2=m2c4=p2c2+m0
2c4 oder kurz (c=1) E2=p2+m2E pc
m0c2
Lorentzinvariante Größen
(Herleitung nachher)
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4
Minkowski Raum-Zeit Diagramme
y
x
ict
x
x’
ict’y’
v
Euklidischer Raum unabh. von Zeit
MinkowskiRaum-ZeitDiagramm
Bewegungen im Mink. Raum heissen Weltlinien.
Weltlinie von O, d.h. x=0,entspricht ict Achse.
Weltlinie von O’, d.h. x’=0,entspricht ict’ Achse.Steigung ct/x=c/v=1/
x’ Achse entsprichtt’=(t-vx/c2)=0. Steigungct/x=v/c= .
O O’
ict
xO
Zukunft
Vergangenheit
anderswo
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5
Längenkontraktion im Minkowski Raum
ict
x
x’
A
ict‘
x2-c2t2=1
O
A’ B
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6
Zeitdilatation im Minkowski Raum
ict
x
x’
t’2
A=A’t1
B
x0
B’t2
t’1
ict‘
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7
Addition von Geschwindigkeiten
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8
E P
Abstand Erde-Planet: 8 Lichtjahre. A bleibt auf der Erde, B reist mit Geschwindigkeit v0=0,8c zum Planeten und zurückSie schicken sich jeden Geburtstag einen Laserpuls.
Wie alt sind die Zwillingsbrüder bei der Rückkehr von B?
Man muss die relativistische Dopplerverschiebungberücksichtigen: f’=f0√(1-v/c)/(1+v/c)=1/3f0 auf der Hinreise und3f0 auf der Rückreise. Denn der Laserpuls muss den Abstand ’=cT’+vT’ ablegen um B zu erreichen, wobei T’=T diedilatierte Zeit eines Jahres ist. Daher f’ = c/’ = c/[(c+v) T] = f0 √(1-v/c)/(1+v/c)
Zwillings-Paradoxon
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9
Aus der Sicht von B: L‘=L/=8/(5/3) und t‘=L‘/v=6 J hin und 6 J zurück. Er empfängt auf der Hinreise 1/3 Signale pro J, d.h.2 Signale und 3 Signale/J auf der Rückreise, d.h. 18 Signale.Der Bruder ist also bei der Rückkehr 20 Jahre älter, er nur 6 J. Aus der Sicht von A:B reist t= L/v = 8/0,8= 10 Jahre hin und 10 Jahre zurück.A kann nur wissen, dass B umgekehrt ist, wenn er die erhöhteFrequenz beobachtet. Das dauert bei L=8Lj 8 Jahre, d.h. Abeobachtet 18 J die 1/3 Signale pro Jahr, insgesamt 6 Signale.Dann noch 2 Jahre 3 Signale pro Jahr bis B zurück ist, also6 Signale. A hat beim Rückkehr also 6+6=12 GeburtstageFür B gezählt, weil er selbst 20 Jahre älter geworden ist.Beide sind sich also einig, dass Reisen jung hält!Das unterschiedliche Alter kommt durch die endlicheLichtgewschwindigkeit zu stande, die die Zählung der Geburtstage“verfälscht”.
Zwillings-Paradoxon
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10
Zwillings-Paradoxon
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Zwillings-Paradoxon
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12
Masse in bewegten Systemen
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13
Relativistische Impuls und Energie
Auswendig kennen:
E=mc2=m0c2=Ek+m0c2
p=mv=v/c=p/E=E/m0c2
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14
Energie kann in Materie umgewandelt werden
oder E=mc2
Otto Hahn 1939:Bei Uranspaltung verschwindet Masse und wird Energie freigesetztEs gilt: E=mc2 wie von Einsteinvorhergesagt.
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15
Bestimmungen der Lichtgeschwindigkeit
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16
Versuch: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17
Anwendung Vierervektoren
22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 18Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 18
Zum Mitnehmen
Auswendig kennen:
E=mc2=m0c2=Ek+m0c2
p=mv
=v/c=p/E
=E/m0c2