Post on 31-Dec-2015
description
Volné kroucení masivních prutů
Řešení Metodou konečných prvků
Pavel GruberJan Bažil
Předpoklady
• Geometrie prutu• masivní• prizmatický
• Zatížení prutu• pouze krouticí moment => prosté kroucení• nulové objemové síly
Účinek zatížení na prut
• natočení průřezu kolem osy x
• zprohýbání průřezu v rovině yz
tzv. deplanace průřezu
• deplanaci není bráněno => volné kroucení
(St. Vénantovo)
Redukce vektoru napětí
• vznikají pouze smyková napětí xy a xz působící v rovině průřezu
• na hranici průřezu je výslednice napětí x tečnou k hranici průřezu
xy
xz
Redukce vektoru deformace
Txyxz
xy
xz
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
xy
xz
yz
z
y
x
G
G
G
ccc
ccc
ccc
DCC
,
0
0
0
0
100000
01
0000
001
000
000
000
000
1
Kinematika přemístění průřezu
• průřez se chová jako tuhá deska
yxyxw
zxzxv
zyxu
yzzy
,
,
,,
0
Geometrické rovnice
zkrouceníúhelrelativní
dx
xd
zy
uz
dx
xd
y
uzx
xy
u
x
v
y
u
yz
uy
dx
xd
z
uyx
xz
u
x
w
z
u
w
v
u
xy
xz
u
xy
xz
xy
xz
T
...
0
0
Relativní úhel zkroucení
..00),(
0),(),()(),,(
),()(),,(
2
2
2
2
konstkonstdx
xd
dx
xdzy
zydx
xdzy
dx
xd
x
zyxu
zyxzyxu
x
Fyzikální rovnice
zy
zyGz
y
zyGz
y
uGG
yz
zyGy
z
zyGy
z
uGG
G
G
D
xyxy
xzxz
xy
xz
xy
xz
),(),(
),(),(
0
0
Statické rovnice
• podmínka rovnováhy ve směru osy x
0
0
0
,
,
0
0
0
00
zy
zy
x
x
yz
XX
xy
xz
0
yzxyxz
Kruhový (eliptický) průřez
• kruhový (eliptický) průřez nedeplanuje, tudíž deplanační funkce je identicky rovna nule
p
x
p
A
x
AA
xyxzx
xy
xz
GI
M
dx
d
IGdAzyGM
dAzGyGdAzyM
zGzy
zyG
yGyz
zyG
zy
22
22
),(
),(
0),(
Obecný masivní průřez
• silová varianta řešení• základem je rovnice kompatibility
Gzy
zGyG
zGyz
u
zy
uG
z
yGyz
u
yz
uG
y
xyxz
xyxz
xyxy
xzxz
2
11
1
1
• rovnice kompatibility a statická rovnice (podmínka rovnováhy ve směru osy x) tvoří soustavu dvou diferenciálních rovnic pro neznámé xy a xz.
• pomocí St. Vénantovy funkce napětí y,z), kterou zavedeme tak, aby splnila podmínku rovnováhy, převedeme soustavu diferenciálních rovnic na jedinou diferenciální rovnici
02
yzG
zyxyxzxyxz
Rovnice kompatibility
Gzy
Gzy
zyzyyz
yz
xyxz
xyxz
xzxy
22
00
,
2
2
2
2
Okrajová podmínka
• na hranici průřezu je výslednice napětí x tečnou k hranici průřezu
0,0
,
sin
cos
RCddyy
dzz
yz
dydz
dy
dz
xzxy
xzxy
xy
xz
• hodnota relativního úhlu zkroucení je neznámá, není možné takto formulovaný problém řešit, je nutné jí z problému vyloučit zavedením substituce
na
naGzy
0
22
2
2
2
na
G
zy
Gz
G
y
G
G
0
00
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Problém• Slabá formulace problému
na
na
0
2
ddzz
dyy
dzz
dz
dyy
dyyy
dy
dzy
dzy
dd
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Galerkinovská aproximace
• lineární trojúhelníkoví prvek se třemi stupni volnosti
Tz
y
rrrr
z
N
z
N
z
NB
y
N
y
N
y
NB
NNNN
321
321
321
321
,,
,,
,,
,,
Báze
frK
dNrdBBBB
dNrrdBBBBr
drNdrBrBdrBrB
rBy
rBz
rN
rBy
rBz
rN
Tz
Tzy
Ty
TTz
Tzy
Ty
T
zzyy
yz
yz
2
2
2
,,
,,
Moment tuhosti v kroucení
dAzyIGI
M
dx
d
dAzyM
partesper
dAz
zy
ydAzyM
yz
A
kk
x
A
x
AA
xyxzx
xzxy
,2
,2
,
G=81GPa
Mx=1OkNm1 m
1 m
Příklad
• chceme-li uvažovat chybu v řádu 10-4 použijeme
dělení velikosti 1/32 hrany
Funkce (y,z)
Smykové napětí xy resp. xz
Závěr
• MKP St.Vénant
• maximální hodnota napětí
• 45,97kPa 45kPa
• moment tuhosti v kroucení
• 0,14m4 0,15m4
Reference
• Pružnost a pevnost 10, Bittnarová, Šejnoha, ČVUT• Pružnost a pevnost 20, Bittnarová, Šejnoha, ČVUT• Numerické metody mechaniky I, Bittnar, Šejnoha,
ČVUT