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vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
Vector, versor y recta tangenteLongitud de arco
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
29 de febrero de 2012
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidadα curva paramétrica C1
vector velocidad a α en t :
α′(t) = lim∆t→0
α(t + ∆t)− α(t)∆t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidadα curva paramétrica C1
vector velocidad a α en t :
α′(t) = lim∆t→0
α(t + ∆t)− α(t)∆t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidadα curva paramétrica C1
vector velocidad a α en t :
α′(t) = lim∆t→0
α(t + ∆t)− α(t)∆t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
vector velocidad
vector velocidad
vector velocidad
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
velocidad
velocidad
velocidadα curva paramétrica C1
velocidad de α en tes el número
‖α′(t)‖
=√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
velocidad
velocidad
velocidadα curva paramétrica C1
velocidad de α en t
es el número
‖α′(t)‖
=√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
velocidad
velocidad
velocidadα curva paramétrica C1
velocidad de α en tes el número
‖α′(t)‖
=√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
velocidad
velocidad
velocidadα curva paramétrica C1
velocidad de α en tes el número
‖α′(t)‖ =√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0
α′(t) = (1,2t ,et )
en t = 0α′(0) = (1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0α′(t) = (1,2t ,et )
en t = 0α′(0) = (1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0α′(t) = (1,2t ,et )
en t = 0
α′(0) = (1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
Calcular el vector velocidad de α(t) = (t , t2,et ) en t = 0α′(t) = (1,2t ,et )
en t = 0α′(0) = (1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Encontrar α′(π2 ) dondeα(t) = (cos t , sin t , t)
α′(t) = (− sin t , cos t ,1)
α′(π2 ) = (−1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Encontrar α′(π2 ) dondeα(t) = (cos t , sin t , t)α′(t) = (− sin t , cos t ,1)
α′(π2 ) = (−1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
Encontrar α′(π2 ) dondeα(t) = (cos t , sin t , t)α′(t) = (− sin t , cos t ,1)
α′(π2 ) = (−1,0,1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
trayectoria de un punto enel borde de una rueda deradio 1 andando avelocidad v = 1calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
calcular α′(t)¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
¿cuándo se anula elvector velocidad?¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)α′(t) = (0,0) si t = 2kπ
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 3
ejemplo 3
¿ el vector velocidad sehace vertical en algúnmomento?α(t) = (t − sin t ,1− cos t)α′(t) = (1− cos t , sin t)α′(t) = (0,0) si t = 2kπNO
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C1
α′(t) 6= 0versor tangente en t
α′(t)‖α′(t)‖
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C1
α′(t) 6= 0versor tangente en t
α′(t)‖α′(t)‖
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C1
α′(t) 6= 0
versor tangente en t
α′(t)‖α′(t)‖
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C1
α′(t) 6= 0versor tangente en t
α′(t)‖α′(t)‖
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
versor tangente
versor tangente
α curva paramétrica C1
α′(t) 6= 0versor tangente en t
α′(t)‖α′(t)‖
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
ejemplo
ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)
versor tangente:
v(t) =(1− cos t , sin t)
√
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
versor tangente
ejemplo
ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)versor tangente:
v(t) =(1− cos t , sin t)√
(1− cos t)2 + sin2 t
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versor tangente
ejemplo
ejemplocicloide α(t) = (t − sin t ,1− cos t)versor tangente:
v(t) =(1− cos t , sin t)√
2− 2 cos t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
recta tangente
recta tangente
α curva paramétrica C1
α′(t0) 6= ~0recta tangente a α en α(t0):
l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
recta tangente
recta tangente
α curva paramétrica C1
α′(t0) 6= ~0
recta tangente a α en α(t0):
l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
recta tangente
recta tangente
α curva paramétrica C1
α′(t0) 6= ~0recta tangente a α en α(t0):
l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
recta tangente
recta tangente
α curva paramétrica C1
α′(t0) 6= ~0recta tangente a α en α(t0):
l(t) = α(t0) + (t − t0)α′(t0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
recta tangente
recta tangente a α en α(t0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
ejemplo 1
ejemplo 1α curva que pasa en t = 0 por (3,6,5) con vector tangente(1,−1,0)
calcular la recta tangente
l(t) = (3,6,5) + t(1,−1,0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
ejemplo 1
ejemplo 1α curva que pasa en t = 0 por (3,6,5) con vector tangente(1,−1,0)
calcular la recta tangente
l(t) = (3,6,5) + t(1,−1,0)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
ejemplo 1
ejemplo 1α curva que pasa en t = 0 por (3,6,5) con vector tangente(1,−1,0)
calcular la recta tangente
l(t) = (3,6,5) + t(1,−1,0)
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recta tangente
interpretación física
interpretación físicaes la trayectoria que seguiría el punto si se “liberara” de la
curva en el instante t0
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recta tangente
ejemplo 2
ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1
¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)
l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
ejemplo 2
ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?
α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)
l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)
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recta tangente
ejemplo 2
ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)
l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)
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recta tangente
ejemplo 2
ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)
l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
recta tangente
ejemplo 2
ejemplo 2una partícual que sigue la curva α(t) = (et ,e−t , cos t) seva por la tangente en el instante t = 1¿dónde está en t = 3?α′(1) = (e1,−e−1,− sin 1)
l(t) = (e1,e−1, cos 1) + (t − 1)(e1,−e−1,− sin 1)
la trayectoria está en l(3) = (3e1,−e−1, cos 1− 2 sin 1)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
problema
¿ cómo calculamos la longitud de una curva α : [a,b]→ R3?
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
aproximación
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα) =
x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1)
= α′(ξi)∆t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα) =N∑
i=1
‖α(ti)− α(ti−1)‖
x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1)
= α′(ξi)∆t
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longitud de arco
longitud de arco
aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα) =N∑
i=1
‖α(ti)− α(ti−1)‖
x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1)
= α′(ξi)∆t
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longitud de arco
longitud de arco
aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα) =N∑
i=1
‖α(ti)− α(ti−1)‖
x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1) = α′(ξi)∆t
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longitud de arco
longitud de arco
aproximaciónlongitud de la poligonal que aproxima la curva
long(Pα) =N∑
i=1
‖α′(ξi)‖∆t
x TVM: α(ti)− α(ti−1) = α′(ξi)(ti − ti−1) = α′(ξi)∆t
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longitud de arco
aproximación
aproximacióncuando ∆t → 0
tenemos
long(Pα) =N∑
i=1
‖α′(ξi)‖∆t
→∫ b
a‖α′(t)‖dt
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longitud de arco
aproximación
aproximacióncuando ∆t → 0tenemos
long(Pα) =N∑
i=1
‖α′(ξi)‖∆t
→∫ b
a‖α′(t)‖dt
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longitud de arco
aproximación
aproximacióncuando ∆t → 0tenemos
long(Pα) =N∑
i=1
‖α′(ξi)‖∆t →∫ b
a‖α′(t)‖dt
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longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
α : [a,b]→ R3 curva C1
longitud de arco de α:
long(α) =
∫ b
a‖α′(t)‖dt
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longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
α : [a,b]→ R3 curva C1
longitud de arco de α:
long(α) =
∫ b
a‖α′(t)‖dt
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longitud de arco
longitud de arco
longitud de arco
α : [a,b]→ R3 curva C1
longitud de arco de α:
long(α) =
∫ b
a‖α′(t)‖dt
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ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio r
α(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt = 2πr
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt = 2πr
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt = 2πr
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ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt = 2πr
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ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt
=
∫ 2π
0rdt = 2πr
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ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt
= 2πr
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ejemplos
ejemplo 1
longitud de una circunferencia de radio rCalcular la long de arco de una circunferencia de radio rα(t) = (r cos t , r sin t) con t ∈ [0,2π]
α′(t) = (−r sin t , r cos t)
long(α) =
∫ 2π
0‖α′(t)‖dt =
∫ 2π
0rdt = 2πr
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ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
Calcular la longitud de la curva
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
Calcular la longitud de la curva{x = cos3 ty = sin3 t
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
Calcular la longitud de la curva{x = cos3 ty = sin3 t
α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
{x = cos3 ty = sin3 t
α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)‖α′(t)‖ =√
9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t)
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
{x = cos3 ty = sin3 t
α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)‖α′(t)‖ =√
9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t)
‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
α′(t) = (−3 cos2 t sin t ,3 sin2 t cos t)‖α′(t)‖ =√
9(cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t)
‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |
long(α) =
∫ 2π
03| cos t sin t |dt
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
‖α′(t)‖ = 3| cos t sin t |
long(α) =
∫ 2π
03| cos t sin t |dt
long(α) = 4.3∫ π
2
0cos t sin tdt
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
long(α) =
∫ 2π
03| cos t sin t |dt
long(α) = 4.3∫ π
2
0cos t sin tdt
long(α) = 6sin2 t
2
∣∣∣∣∣π2
0
vector tangente y velocidad recta tangente longitud de arco
ejemplos
ejemplo 2
longitud de la hipocicloide de 4 puntas
long(α) =
∫ 2π
03| cos t sin t |dt
long(α) = 4.3∫ π
2
0cos t sin tdt
long(α) = 6sin2 t
2
∣∣∣∣∣π2
0
= 3
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ejemplos
ejemplo 2
hipocicloide de 4 puntas