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Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite
Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello
UFES – Universidade Federal do Espırito SantoDI – Departamento de Informatica
CEUNES – Centro Universitario Norte do Espırito SantoDCEL – Departamento de Computacao e Eletronica
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas
Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.
Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como
F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .
Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .
Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas
Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.
Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como
F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .
Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .
Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas
Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como
F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .
Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .
Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas
Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como
F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .
Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .
Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas
Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como
F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .
Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .
Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 2/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Se X e Y sao VAs discretas entao podemos definir a funcaode probabilidade conjunta de X e Y como
p(x , y) = P(X = x ,Y = y) .
As funcoes de probabilidade de X e Y sao obtidas a partir dep(x , y) tomando-se
pX (x) =∑
y :p(x ,y)>0p(x , y) pY (y) =
∑x :p(x ,y)>0
p(x , y) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 3/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Se X e Y sao VAs discretas entao podemos definir a funcaode probabilidade conjunta de X e Y como
p(x , y) = P(X = x ,Y = y) .
As funcoes de probabilidade de X e Y sao obtidas a partir dep(x , y) tomando-se
pX (x) =∑
y :p(x ,y)>0p(x , y) pY (y) =
∑x :p(x ,y)>0
p(x , y) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 3/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Se X e Y sao VAs contınuas, entao elas sao ditasconjuntamente contınuas se existir uma funcao f (x , y), comdomınio R× R, onde
P(X ∈ A,Y ∈ B) =
∫B
∫A
f (x , y) dx dy ,
para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.
A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se
fX (x) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dy fY (y) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dx .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Se X e Y sao VAs contınuas, entao elas sao ditasconjuntamente contınuas se existir uma funcao f (x , y), comdomınio R× R, onde
P(X ∈ A,Y ∈ B) =
∫B
∫A
f (x , y) dx dy ,
para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .
As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se
fX (x) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dy fY (y) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dx .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Se X e Y sao VAs contınuas, entao elas sao ditasconjuntamente contınuas se existir uma funcao f (x , y), comdomınio R× R, onde
P(X ∈ A,Y ∈ B) =
∫B
∫A
f (x , y) dx dy ,
para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se
fX (x) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dy fY (y) =
∫ ∞−∞
f (x , y)dx .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 4/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Proposicao 1Se X e Y sao VAs e g e uma funcao de duas variaveis, entao
E [g(X ,Y )] =∑
y
∑x
g(x , y) p(x , y) no caso discreto
=
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
g(x , y) f (x , y) dx dy no caso contınuo.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 5/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 1Se g(X ,Y ) = X + Y , entao, no caso contınuo
E [X + Y ] =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
(x + y) f (x , y) dx dy
=
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
x f (x , y) dx dy +
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
y f (x , y) dx dy
= E [X ] + E [Y ] .
Para o caso discreto, e para quaisquer constantes a e b, tem-se
E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 6/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 1Se g(X ,Y ) = X + Y , entao, no caso contınuo
E [X + Y ] =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
(x + y) f (x , y) dx dy
=
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
x f (x , y) dx dy +
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
y f (x , y) dx dy
= E [X ] + E [Y ] .
Para o caso discreto, e para quaisquer constantes a e b, tem-se
E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 6/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 2Calcule o valor esperado da soma obtida quando tres dadoshonestos sao rolados.
Solucao: Tome X como a VA indicando a soma. EntaoX = X1 + X2 + X3, onde Xi representa o valor obtido no i-esimodado. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + E [X3] = 3(7/2) = 21/2 .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 2Calcule o valor esperado da soma obtida quando tres dadoshonestos sao rolados.Solucao: Tome X como a VA indicando a soma. EntaoX = X1 + X2 + X3, onde Xi representa o valor obtido no i-esimodado. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + E [X3] = 3(7/2) = 21/2 .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 2Calcule o valor esperado da soma obtida quando tres dadoshonestos sao rolados.Solucao: Tome X como a VA indicando a soma. EntaoX = X1 + X2 + X3, onde Xi representa o valor obtido no i-esimodado. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + E [X3] = 3(7/2) = 21/2 .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 7/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 3Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parametros ne p.
Solucao: A VA X indica o numero de sucessos em nexperimentos, onde a probabilidade de sucesso de cadaexperimento e p. Assim, temos que
X = X1 + X2 + . . .+ Xn ,
onde cada Xi e uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + . . .+ E [Xn] = np .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 3Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parametros ne p.Solucao: A VA X indica o numero de sucessos em nexperimentos, onde a probabilidade de sucesso de cadaexperimento e p. Assim, temos que
X = X1 + X2 + . . .+ Xn ,
onde cada Xi e uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + . . .+ E [Xn] = np .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22
Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)
Exemplo 3Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parametros ne p.Solucao: A VA X indica o numero de sucessos em nexperimentos, onde a probabilidade de sucesso de cadaexperimento e p. Assim, temos que
X = X1 + X2 + . . .+ Xn ,
onde cada Xi e uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p. Logo
E [X ] = E [X1] + E [X2] + . . .+ E [Xn] = np .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 8/22
Variaveis Aleatorias Independentes
As VAs X e Y sao independentes se para todo a, b
P(X ≤ a,Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto e, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} sao independentes.
Se X e Y sao independentes, entao
F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b .
No caso discreto, temos p(x , y) = pX (x) pY (y).Para o caso contınuo, vale f (x , y) = fX (x) fY (y).Provas: Ross, Cap. 2.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22
Variaveis Aleatorias Independentes
As VAs X e Y sao independentes se para todo a, b
P(X ≤ a,Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto e, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} sao independentes.Se X e Y sao independentes, entao
F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b .
No caso discreto, temos p(x , y) = pX (x) pY (y).Para o caso contınuo, vale f (x , y) = fX (x) fY (y).Provas: Ross, Cap. 2.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22
Variaveis Aleatorias Independentes
As VAs X e Y sao independentes se para todo a, b
P(X ≤ a,Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto e, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} sao independentes.Se X e Y sao independentes, entao
F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b .
No caso discreto, temos p(x , y) = pX (x) pY (y).Para o caso contınuo, vale f (x , y) = fX (x) fY (y).Provas: Ross, Cap. 2.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 9/22
Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Proposicao 2Se as VAs X e Y sao independentes entao para quaisquer funcoesg e h:
E [g(X ) h(Y )] = E [g(X )] E [h(Y )] .
Proposicao 3Se X1, . . . ,Xn sao VAs independentes, entao:
V( n∑
i=1Xi
)=
n∑i=1
V (Xi ) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 10/22
Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Proposicao 2Se as VAs X e Y sao independentes entao para quaisquer funcoesg e h:
E [g(X ) h(Y )] = E [g(X )] E [h(Y )] .
Proposicao 3Se X1, . . . ,Xn sao VAs independentes, entao:
V( n∑
i=1Xi
)=
n∑i=1
V (Xi ) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 10/22
Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Media Amostral
Se X1, . . . ,Xn sao independentes e identicamente distribuıdas,entao a VA X =
∑ni=1 Xi/n e chamada de media amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ2, entao
E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .
Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem
V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22
Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Media Amostral
Se X1, . . . ,Xn sao independentes e identicamente distribuıdas,entao a VA X =
∑ni=1 Xi/n e chamada de media amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ2, entao
E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .
Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem
V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .
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Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Media Amostral
Se X1, . . . ,Xn sao independentes e identicamente distribuıdas,entao a VA X =
∑ni=1 Xi/n e chamada de media amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ2, entao
E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .
Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.
Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem
V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22
Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)
Media Amostral
Se X1, . . . ,Xn sao independentes e identicamente distribuıdas,entao a VA X =
∑ni=1 Xi/n e chamada de media amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ2, entao
E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .
Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem
V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 11/22
Teoremas de Limite
Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.Prova:
E [X ] =
∫ ∞0
xf (x)dx
=
∫ a
0xf (x)dx +
∫ ∞a
xf (x)dx
≥∫ ∞
axf (x)dx
≥∫ ∞
aaf (x)dx
= a∫ ∞
af (x)dx = aP(X ≥ a)
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22
Teoremas de Limite
Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.
Prova:
E [X ] =
∫ ∞0
xf (x)dx
=
∫ a
0xf (x)dx +
∫ ∞a
xf (x)dx
≥∫ ∞
axf (x)dx
≥∫ ∞
aaf (x)dx
= a∫ ∞
af (x)dx = aP(X ≥ a)
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22
Teoremas de Limite
Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.Prova:
E [X ] =
∫ ∞0
xf (x)dx
=
∫ a
0xf (x)dx +
∫ ∞a
xf (x)dx
≥∫ ∞
axf (x)dx
≥∫ ∞
aaf (x)dx
= a∫ ∞
af (x)dx = aP(X ≥ a)
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 12/22
Teoremas de Limite (cont.)
Proposicao 5 – Desigualdade de ChebyshevSeja X uma VA com media µ e variancia σ2, entao para qualquerk > 0:
P(|X − µ| ≥ k) ≤ σ2
k2
Prova: Como (X − µ)2 e uma VA nao-negativa, podemos usar adesigualdade de Markov (com a = k2) para obter
P((X − µ)2 ≥ k2) ≤ E [(X − µ)2]
k2 =σ2
k2 .
Para se completar a prova basta observar que(X − µ)2 ≥ k2 ⇐⇒ |X − µ| ≥ k.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 13/22
Teoremas de Limite (cont.)
Proposicao 5 – Desigualdade de ChebyshevSeja X uma VA com media µ e variancia σ2, entao para qualquerk > 0:
P(|X − µ| ≥ k) ≤ σ2
k2
Prova: Como (X − µ)2 e uma VA nao-negativa, podemos usar adesigualdade de Markov (com a = k2) para obter
P((X − µ)2 ≥ k2) ≤ E [(X − µ)2]
k2 =σ2
k2 .
Para se completar a prova basta observar que(X − µ)2 ≥ k2 ⇐⇒ |X − µ| ≥ k.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 13/22
Teoremas de Limite (cont.)
Utilidade
As desigualdades de Markov e Chebyshev sao importantes poispermitem estabelecer limites de probabilidades quandosomente a media e/ou variancia sao conhecidas, isto e, adistribuicao de probabilidade e desconhecida.Exemplo: Analise estatıstica de dados.Se a distribuicao for conhecida as probabilidades desejadaspodem ser calculadas de forma exata e nao e necessario usarlimites.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 14/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5Atraves de uma analise do historico de producao de uma fabricaverificou-se que o numero de itens produzidos em uma semana euma VA com media 500 e variancia 100.
a O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producaodessa semana seja ao menos 1000?
b O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producaodessa semana fique entre 400 e 600?
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 15/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5 – SolucaoX : o numero de itens produzidos em uma semana.
a Pela Desigualdade de Markov:
P(X ≥ 1000) ≤ E [X ]
1000 =500
1000 =12 .
b Pela Desigualdade de Chebyshev:
P(|X − 500| ≥ 100) ≤ σ2
1002 =1
100 .
Logo,P(|X − 500| < 100) ≥ 1− 1
100 =99
100e podemos concluir que a probabilidade da producao dessasemana ficar entre 400 e 600 e ao menos 0.99.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 16/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5 – SolucaoX : o numero de itens produzidos em uma semana.
a Pela Desigualdade de Markov:
P(X ≥ 1000) ≤ E [X ]
1000 =500
1000 =12 .
b Pela Desigualdade de Chebyshev:
P(|X − 500| ≥ 100) ≤ σ2
1002 =1
100 .
Logo,P(|X − 500| < 100) ≥ 1− 1
100 =99
100e podemos concluir que a probabilidade da producao dessasemana ficar entre 400 e 600 e ao menos 0.99.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 16/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir e um resultado famoso da teoria deprobabilidade.Descricao: a media de uma sequencia de VAs independentescom a mesma distribuicao converge com probabilidade 1 paraa media da distribuicao.
Teorema 1 - Lei dos Grandes NumerosSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, e seja E [Xi ] = µ. Entao, comprobabilidade 1,
X1 + . . .+ Xnn → µ quando n→∞ .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 17/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir e um resultado famoso da teoria deprobabilidade.Descricao: a media de uma sequencia de VAs independentescom a mesma distribuicao converge com probabilidade 1 paraa media da distribuicao.
Teorema 1 - Lei dos Grandes NumerosSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, e seja E [Xi ] = µ. Entao, comprobabilidade 1,
X1 + . . .+ Xnn → µ quando n→∞ .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 17/22
Teoremas de Limite (cont.)O teorema a seguir fornece um metodo aproximado para secalcular a probabilidade da soma de VAs independentes.Tambem explica o fato de que as frequencias empıricas demuitas populacoes naturais exibem uma curva normal.
Teorema 2 - Teorema do Limite CentralSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, com media µ e variancia σ2. Adistribuicao da VA definida como
X1 + . . .+ Xn − nµσ√
n
tende para a distribuicao normal padrao quando n→∞. Isto e,
P[
X1 + . . .+ Xn − nµσ√
n ≤ a]→ 1√
2π
∫ a
−∞e − x2/2dx .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 18/22
Teoremas de Limite (cont.)O teorema a seguir fornece um metodo aproximado para secalcular a probabilidade da soma de VAs independentes.Tambem explica o fato de que as frequencias empıricas demuitas populacoes naturais exibem uma curva normal.
Teorema 2 - Teorema do Limite CentralSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, com media µ e variancia σ2. Adistribuicao da VA definida como
X1 + . . .+ Xn − nµσ√
n
tende para a distribuicao normal padrao quando n→∞. Isto e,
P[
X1 + . . .+ Xn − nµσ√
n ≤ a]→ 1√
2π
∫ a
−∞e − x2/2dx .
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 18/22
Teoremas de Limite (cont.)
Observacao: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquerdistribuicao de Xi .
Exemplo 6
A vida util de uma bateria e uma VA com media de 40 horas edesvio padrao de 20 horas.Uma bateria e utilizada ate falhar quando e entao substituıdapor uma nova.Assumindo um estoque de 25 baterias, todas com vida utilindependente, calcule uma aproximacao para probabilidade deque mais de 1100 horas de uso sejam obtidas.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 19/22
Teoremas de Limite (cont.)
Observacao: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquerdistribuicao de Xi .
Exemplo 6
A vida util de uma bateria e uma VA com media de 40 horas edesvio padrao de 20 horas.Uma bateria e utilizada ate falhar quando e entao substituıdapor uma nova.Assumindo um estoque de 25 baterias, todas com vida utilindependente, calcule uma aproximacao para probabilidade deque mais de 1100 horas de uso sejam obtidas.
Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 19/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 6 – SolucaoXi : vida util da i-esima bateria utilizada.Busca-se p = P(X1 + . . .+ X25 > 1100), que pode ser aproximadapor
p = P[
X1 + . . .+ X25 − 100020√
25>
1100− 100020√
25
]≈ P[N(0, 1) > 1]
= 1− Φ(1)
≈ 0.1587
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Processos Estocasticos
DefinicaoUm processo estocastico (PE) {X (t), t ∈ T} e uma colecao deVAs, isto e, para cada t ∈ T , X (t) e uma VA.
O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.
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Processos Estocasticos
DefinicaoUm processo estocastico (PE) {X (t), t ∈ T} e uma colecao deVAs, isto e, para cada t ∈ T , X (t) e uma VA.
O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.
Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.
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Processos Estocasticos
DefinicaoUm processo estocastico (PE) {X (t), t ∈ T} e uma colecao deVAs, isto e, para cada t ∈ T , X (t) e uma VA.
O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.
O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.
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Processos Estocasticos
DefinicaoUm processo estocastico (PE) {X (t), t ∈ T} e uma colecao deVAs, isto e, para cada t ∈ T , X (t) e uma VA.
O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.
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Processos Estocasticos (cont.)
Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.
O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.
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Processos Estocasticos (cont.)
Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.
⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.
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Processos Estocasticos (cont.)
Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.
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