Post on 16-Jan-2020
2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM
Sayfa No
1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektÖreL ve paraMetrik denkLeMi . . . . . . . . . . . . . . 71
2. BÖLÜM uzayda dÜzLeM denkLeMLeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir doğruya uzakLIğI ve iki dÜzLeMin
BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir dÜzLeMe uzakLIğI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. BÖLÜM uzayda iki dÜzLeM araSIndaki aÇI, doğru ve dÜzLeMin BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
71
KAVRAMSAL ADIM
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
uzayda Bir noktadan GeÇen ve Bir vektÖreparaLeL oLan doğrunun denkLeMi
Uzayda bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c)
vektörüne paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım.
l // ise l doğrusunun üzerinden değişken bir A(x, y, z) noktası
için dur.
denklemine l doğrusunun vektörel denklemi denir.
vektörel denklemi
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + k.(a, b, c) şeklinde yazılabilir.
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + (k.a + k.b + k.c)
(x, y, z) = (x0 + k.a, y0 + k.b, z0 + k.c)
denklem sistemi elde edilir.
Bu denklem sistemine l doğrusunun parametrik denklemi denir.
elde edilir.
Bu bağıntıya doğrunun kartezyen denklemi denir.
= (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultman vektörü denir.
Doğrultman parametrelerinden biri sıfır olması durumunda örneğin
= (a, b, 0) şeklinde ise doğru z eksenine diktir.
Parametrik denklemi x = x0 + k.a
y = y0 + k.b
z = z0
şeklindedir. Bu durumda kartezyen denklemi
dır.
Doğrultman vektörü = (a, 0, c) şeklinde ise;
Parametrik denklemi x = x0 + k.a
y = y0
z = z0 + k.c
Kartezyen denklemi , y = y0 dir.
Doğrultman vektörü = (0, b, c) şeklinde ise;
Parametrik denklemi x = x0
y = y0 + k.b
z = z0 + k.c
Kartezyen denklemi
O
u(a,b,c)P(x 0,y 0
,z 0)
AA(x,y,z)
x
y
z
→
u
u
// uPA
// .
– . . .
u k u k R
k u k u elde edilir
PA PA
A P A P
&
& &
!=
= = +
^ h
.k uA P= +
.k uA P= +
O
u(a,b,c)
P(x0,y0,z0)
A
→
.
.
.
x x k a
y y k b
z z k c
0
0
0
= +
= +
= +
_
`
a
bb
bb
– , , – , ,
– , – , –
, ,
x y z x y z
x x y y z z
u a b c
PA A P0 0 0
0 0 0
= =
=
=
^ ^^
^
h hh
h
//– – –
ua
x x
b
y y
c
z zPA 0 0 0
& = =
u
u
– –,
a
x x
b
y yz z0
00 = =
u
– –
a
x x
c
z z0 0=
u
,– –
.x xb
y y
c
z zdir0
0 0= =
UZAYDA BİR DOĞRUNUN VEKTÖREL VE PARAMETRİK
DENKLEMLERİ
BÖLÜM
1
72
KAVRAMSAL ADIM
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
Sonuç:
Uzayda herhangi bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve
= (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun
i. Vektörel denklemi; (x, y, z) = (x0, y0, z0) + k.(a, b, c); k ∈ R
ii. Parametrik denklemi; x = x0 + k.a
y = y0 + k.b
z = z0 + k.c dir.
iii. Kartezyen denklemi; dir.
2.1.2. uzayda iki noktası verilen doğrunun denklemi
Uzayda P(x0, y0, z0) ve B(x1, y1, z1) noktaları verilsin. P ve B
noktalarından geçen l doğrusunun denklemini bulalım.
l doğrusunun üzerinde keyfi bir A(x, y, z) noktası için.
(x, y, z) – (x0, y0, z0) = k[(x1, y1, z1) – (x0, y0, z0)]
(x – x0, y – y0, z – z0) = k.(x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0)
denklemi iki noktadan geçen doğrunun vektörel denklemidir.
(x – x0, y – y0, z – z0) = k.(x1 – x0, y0 – y0, z1 – z0)
denklem sistemi iki noktadan geçen doğrunun parametrik
denklemleridir.
dir.
olduğundan
bağıntısı iki noktadan geçen
doğrunun kartezyen denklemidir.
A(2, –1, 4) noktasından geçen ve vektörüne paralel
olan doğrunun denklemini bulalım.
Doğrunun değişken bir noktası P(x, y, z) olsun.
dir.
(x, y, z) = (2, –1, 4) + k.(4, 7, 1)
(x, y, z) = (2, –1, 4) + (4k, 7k, k)
(x, y, z) = (2 + 4k, –1 + 7k, 4 + k)
⇒ x = 2 + 4k, y = –1 + 7k, z = 4 + k parametrik denklemi elde
edilir. Buradan,
yazılabilir.
O halde doğrunun kartezyen denklemi
bulunur.
u
– – –
a
x x
b
y y
c
z z0 0 0= =
O
A(x,y,z)
x
y
z
P
B(x 1, y 1
, z 1)
P(x 0, y 0
, z 0)
.
– . –
k
k
PA PB
A P B P
=
= ^ h
– . – . –
– . – . –
– . – . –
x x k x x x x k x x
y y k y y y y k y y
z z k z z z z k z z
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0
&
&
&
= = +
= = +
= = +
^ ^^ ^^ ^
h hh hh h
_
`
a
bb
bb
. //kPA PB PA PB&=
– , – , –x x y y z zPA0 0 0
= ^ h
P x – x , y – y , z – zB1 0 1 0 1 0
= ^ h
–
–
–
–
–
–
x x
x x
y y
y y
z z
z z
1 0
0
1 0
0
1 0
0= =
ETK‹NL‹K
, ,u 4 7 1= ^ h
. ,r r k u k ROP OA AP 0& != + = +
–, , –
xk
yk z k
42
7
14=
+= =
––
x yz
42
7
14=
+=
u (4, 7, 1)
O
r0
A(2, –1, 4
)
r
P(x, y, z)
73
UYGULAMA ADIMI
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
1. Uzayda bir A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, 1, 2)
vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulalım.
Çözüm:
Doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y, z) olsun.
olduğundan , k ∈ IR dir.
– = k.
= (–1, 3, 4) + k.(2, 1, 2) doğrunun vektörel denklemidir.
2. Uzayda bir A(–4, –1, 3) noktasından geçen ve = (–1, 3, 2)
vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bula-
lım.
Çözüm:
P(x, y, z) doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,
= + k. , k ∈ R doğrusunun vektörel denklemidir.
= (–4, –1, 3) + k . (–1, 3, 2)
(x, y, z) = (–4, –1, 3) + k.(–1, 3, 2)
(x, y, z) = (–4 – k, –1 + 3k, 3 + 2k)
doğrusunun parametrik denklemidir.
3. Uzayda bir A(0, –2, 5) noktasından geçen ve = (–3, 5, –2)
vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini
bulalım.
Çözüm:
Uzayda A(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vek-
törüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemi
dir. Buradan doğru denklemi
k ∈ IR dir.
4. doğrusunun doğrultman vektörlerinden
birini bulalım.
Çözüm:
A(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vektörüne
paralel doğrunun denklemi
k ∈ R olduğundan
doğrusunun doğrultman vektörü
= (3, 4, 1) veya ne paralel vektörlerden biri olabilir.
5. Uzayda denklemi doğrusunun doğ-
rultman vektörlerinden birini bulalım.
Çözüm:
olduğundan doğrultman vektörü
olarak alınabilir.
6. Uzayda denklemi olan doğrunun doğrult-
man vektörlerinden birini bulalım.
Çözüm:
kapalı denklemiyle verilen doğrunun
doğrultman vektörü = (a, b, 0) olduğundan
doğrusunun doğrultman vektörü
= (3, 4, 0) olarak alınabilir.
Bu doğru z eksenine dik bir doğrudur.
u
// uAP .k uAP =
u .k uP A& = +
P
u
P
P u
–4 –
–1 3
x k
y k
z k3 2
=
= +
= +
4
u
u
– – –
a
x x
b
y y
c
z z0 0 0= =
– ––
,x y z
k3 5
2
25
=+
= =
––
x yz
31
4
23
+= =
u
– – –,
a
x x
b
y y
c
z zk0 0 0= = =
– –x y z31
4
2
13+
= =
u u
–x y z23
5
2 1
43 2+
= =+
– –x y z x
y z
23
5
2 1
43 2
23
5
221
4
332
&+
= =+ +
= =+b bl l
–x y z
23
2521
3432
+= =
+
, ,u 225
34
= b l
–,
x yz
32
4
14=
+=
– –,
a
x x
b
y yz z0 0
0= =
u
–,
x yz
32
4
14=
+=
u
P A
A
74
UYGULAMA ADIMI
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
7. Uzayda A(1, –2, 4) ve B(–1, 0, 2) noktalarından geçen doğru-
nun vektörel denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z); A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde her-
hangi bir nokta olmak üzere,
dir.
k ∈ IR vektörel denklemi verir.
= (1, –2, 4) + k.(–2, 2, –2), k ∈ R vektörel denklemi elde
edilir.
8. Uzayda A(–3, 1, 2) ve B(1, –2, 4) noktalarından geçen doğru-
nun parametrik denklemini bulalım.
Çözüm:
k ∈ IR olduğundan
(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(1 – (–3), –2 – 1, 4 – 2)
(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(4, –3, 2)
(x, y, z) = (–3 + 4k, 1 – 3k, 2 + 2k)
doğrusunun parametrik denklemidir.
9. Uzayda orijinden ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun
kapalı denklemini bulalım.
Çözüm:
O(0, 0, 0) ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı
denklemi
, k ∈ IR
k ∈ IR dir.
10. Uzayda doğrusuna paralel olan ve
A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini
bulalım.
Çözüm:
doğrusunun doğrultman vektörü
= (3, 4, 2) dir. Dolayısıyla = (3, 4, 2) vektörüne paralel
ve A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel den-
klemi, P(x, y, z) bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta olmak
üzere,
, k ∈ IR
(–2, 4, –3) + k.(3, 4, 2), k ∈ IR dir.
11. Analitik uzayda denklemi ile verilen doğ-
runun üzerinde bulanan noktalardan herhangi ikisini bulalım.
Çözüm:
Kartezyen denklemi olan doğrunun pa-
rametrik denklemini yazalım.
Bu doğru üzerindeki noktalar (7k + 2, 3k + 4, 5k + 1) şeklin-
dedir. k = 0 için A(2, 4, 1) k = 1 için B(9, 7, 6) doğru üzerinde
bulunan herhangi iki noktadır.
12. Analitik uzayda A(1, 1, 2) ve B(2, 3, 4) noktalarından geçen
doğrunun denklemini bulalım.
Çözüm:
Doğrunun üzerinde keyfi bir P(x, y, z) noktası alalım.
olduğundan,
doğru denklemi elde edilir.
.kAP AB=
– . . ,k kP A AB P A AB&= = +
– – – – , – – , – – , , –
.k
AB B A B A
P A AB
1 1 0 2 2 4 2 2 2&= = =
= +
^^ ^h h h
P
. ,kP A AB= +
–3 4
1– 3
2 2
x k
y k
z k
= +
=
= +
4
– –
– –
–
–
––x y z
k0 3
3
0 2
2
0 55
= = =^^hh
–
–
––
,x y z
k33
2
2
55+
= = =
:– –
dx y z32
4
1
23
=+
=
d: 3x – 2
4y 1
2z – 3=
+=
u u
P A k. u= +
P =
– – –x y z72
3
4
51
= =
7x – 2
3y – 4
5z – 1= =
7x – 2
3y – 4
5z – 1 k, k IR 7
x – 2 k x 7k 2
3y – 4
k y 3k 4, 5z – 1 z 5k 1k
= = = = = +
= = + = = +
& &
& &
!
A(1, 1, 2)
B(2, 3, 4) P(x, y, z)
AP x – 1, y – 1, z – 2
AB 2 – 1, 3 – 1, 4 – 2 1, 2, 2 dir.AB
=
= =&
^^ ^
hh h
AP k.AB=
1x – 1
2y – 1
2z – 2= =
75
1. Uzayda bir A(3, –1, 0) noktasından geçen ve = (1, –1, 4)
vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz.
2. Uzayda bir A(4, 3, –5) noktasından geçen ve = (–2, 1, 3)
vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre
denklemini bulunuz.
3. Uzayda bir A(7, 2, 3) noktasından geçen ve = (–4, 3, 1)
vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulu-
nuz.
4. Kartezyen denklemi olan doğrunun
geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.
5. Kartezyen denklemi olan doğrunun
geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.
6. Kartezyen denklemi olan doğrunun
doğrultman vektörünü bulunuz.
u
u
u
x= 4 – 2k
y = 3 + k
z = –5 + 3k, k ∈ IR
–– – –x y
z47
3
23= =
, – , . , – ,kP 3 1 0 1 1 4= +^ ^h h
– – –x y z32
5
4
76
= =
,–
–x
y z2
4
1
23
= =+
– –x y z3
2 84
3 1
54 2
= =+
, ,u23
34
45
= a k
, ,
, ,
A
u
2 4 6
3 5 7=
^^hh
, , –
, – ,
A
u
2 1 3
0 4 2=
^^
hh
PEKİŞTİRME ADIMI
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
76
7. Uzayda A(–1, –1, 4) ve B(2, 1, 3) noktasından geçen doğru-
nun vektörel denklemini bulunuz.
8. Uzayda A(2, –3, 1) ve B(–4, 0, –3) noktasından geçen doğru-
nun parametrik denklemini bulunuz.
9. Uzayda A(0, 2, –5) ve B(–4, –1, 1) noktasından geçen doğru-
nun kapalı denklemini bulunuz.
10. Uzayda doğrusuna paralel olan ve
A(1, 3, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini
bulunuz.
11. Uzayda A(1, 2, 3) ve B(–3, 1, 5) noktalarından geçen doğru-
nun vektörel denklemini bulunuz.
12. Uzayda denklemi olan doğruya paralel
olan ve A(–2, 5, –7) noktasından geçen doğrunun parametrik
denklemini bulunuz.
x = 2 – 6k
y = –3 + 3k
z = 1 – 4k
:– –
–d
x y z43
2
1
14+
=+
=
– , – , . , , –kP 1 1 4 3 2 1= +^ ^h h
––x y z
44
3
1
61+
=+
=
, , – . – , – , –kP 1 3 3 4 2 1= +^ ^h h
P 1, 2, 3 k. –4, –1, 2= +^ ^h h
–, –x yz2
43
31+ = =
x = –2 + 2k
y = 5 + 3k
z = –7
PEKİŞTİRME ADIMI
uz
ay
da
do
ğr
u v
e d
Üz
Le
MÜ
nit
e –
2u
zayda B
ir do
ğru
nu
n v
ektörel ve p
arametrik d
enklem
leri1. B
ölü
m
77
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİBÖLÜM
2UZAYDA BİR DÜZLEMİN PARAMETRİK DENKLEMİ
Uzayda herhangi bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız
ve vektörlerinin belirttiği düzlemin parametrik denklemini
bulalım.
vektörü ve vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabilir.
λ1, λ2 ∈ R olmak üzere, dir.
dir. (1) deki eşitliği (2) de yerine yazarsak;
denklemi elde edilir. Bu denkleme düz-
lemin parametrik denklemi denir. λ1, λ2 reel sayılarına düzlemin
parametreleri, ve vektörlerine düzlemin doğrultu vektörleri
denir.
UZAYDA BİR DÜZLEMİN KAPALI DENKLEMİ
Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektörlere düzlemin
normal vektörü denir ve ile gösterilir.
ve nün vektörel çarpımı ve ye dik olan bir vektör
olduğundan alınabilir.
Dolayısıyla uzayda bir P noktasından geçen ve vektörüne dik
olan düzlemin kapalı denklemi şeklindedir.
Bu ifade şeklinde yazılabilir.
Buradan dır.
alınırsa eşitliği
halini alır.
P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vektörüne dik
olan düzlemin kapalı denklemi = (x, y, z) olmak üzere;
ax + by + cz + d = 0 biçiminde verilebilir.
O
x
y
z
u
X
P
OX=OP+PX
v→
→
→ → →
vu
O
x
y
z
vu
P
λ2v
λ1u
PX=λ1u+λ2v
x
vuxP
x u vP 11 2
gλ λ= + ^ hx xO OP P= +
x xP P 2& g= + ^ h
x u vP 31 2
gλ λ= + + ^ h
vu
N
vN
u
u
v
N
N
=
=
vuvu
u vN #=
N
P
x
N
,xP N 0< > =
– ,x NP 0< > =
– ,, x N PN 0< > < > =
, x dN 0< >+ =,xP N 0< > =– , dN P< >=
N
x
78
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
UZAYDA DOĞRUSAL OLMAYAN ÜÇ NOKTADANGEÇEN DÜZLEM DENKLEMİ
Uzayda doğrusal olmayan A(x0, y0, z0), B(x1, y1, z1), C(x2, y2, z2)
noktaları verilsin.
vektörü hem hem de vektörüne dik olduğundan
belirttiği düzleme de diktir. Bu yüzden düzlemin normal vektörü
olarak alınabilir.
dir. Buna göre, düzlem denklemi
dır. Bu çarpım vektörlerinin
karma çarpımıdır.
olduğun-
dan düzlem denklemi
biçiminde yazılabilir.
ÖZEL DÜZLEMLER
1. Koordinat Düzlemleri
2. Koordinat Düzlemlerine Paralel Düzlemler
3. Eksenleri Ayırdığı Parçalar Türünden Düzlem Denklemi
4. Eksenlere Paralel Düzlemler
ABXAC
A
B
X
C
ACABxAB AC
N AB AC#=
, , xAB AC A,x xAB AC A 0< > =
, , , ,detx x x x xA AB AC AB AC A A AB AC 0< > < >= = =^ h
–––
–––
–––
x x
x x
x x
y y
y y
y y
z z
z z
z z
00
1 0
2 0
0
1 0
2 0
0
1 0
2 0
=
x
y
x = 0düzlemi
y = 0
düzlem
i
z = 0düzlemi
z
x
y
z
c
b
a
O
y = b düzlemi0.x + y + 0.z = b
x = a düzlemix + 0.y + 0.z = a
z = c düzlemi0.x + 0.y + z = c
x
y
z
a
b
c
yb
+zc
=1 do€rusu
xa
+yb =1 do€rusu
xa
+zc
=1
do€rusu
xa
+yb
+zc
xa
+zc
=1 düzlemi
x
y
z
x=a do€rusu
z=c do€rusu
a
c
xa
+zc
=10.y +
xa
+zc
=1
do€rusu
79
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
5. Eksenlerden Geçen Düzlemler
SONUÇ: Koordinat eksenlerinden geçen veya koordinat eksen-
lerine paralel olan düzlemlerin denklemlerinde o ekseni belirten
terim bulunmaz.
YARI UZAY
E, uzayında denklemiyle verilen bir düzlem olsun.
E düzleminin herhangi bir A noktası için dir. E düz-
lemi bulunduğu uzayı iki yarı uzaya ayırır. vektörünün içinde
bulunduğu uzay U1, içinde bulunmadığı uzay U2 ise
U1 ∪ E ∪ U2 kümesi uzaya eşittir.
Uzayda bir P noktasının U1 yarı uzayında bulunması için
olmalıdır.
A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve vektörüne dik olan
düzlemin denklemini yazalım.
ÇÖZÜM
A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve normal vektörü olan
düzlemin denklemi
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
⇒ 2(x + 3) + 1.(y – z) + 4(z – 5) = 0
veya 2x + y + 3z – 14 = 0 dır.
a) A(2, 1, 3) noktasından geçen ve doğru-
suna dik olan düzlemin denklemini bulunuz.
b) A(3, 4, –2) ve B(1, 1, –2) noktaları veriliyor. A noktasından
geçen ve vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz.
x
y
z
y–kx=0 düzlemi
y=kx do€rusu
A
NP
E
, x dN 0< >+ =
– , dN A< > =
N
,N AP 0< > >
ETK‹NL‹K
ÖRNEK
, ,N 2 1 4= ^ h
, ,N 2 1 4= ^ h
– ––
x y z4
32
1
21
= =+
AB
80
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
1. A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, 1, 3) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
x(x, y, z) aranan düzlemde keyfi bir nokta olmak üzere;
olduğundan olmalıdır.
2. Uzayda A(2, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, –4, –1) ve
= (3, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ1 ve λ2 para-
metrelerine bağlı (λ1, λ2 ∈ IR) parametrik denklemini bulalım.
Çözüm:
Düzlem denklemi dir.
Buradan,
düzlemin parametrik denklemleridir.
3. Başlangıç noktasından geçen ve = (–2, 3, –5) vektörüne
dik olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
A(x, y, z) noktası aranan düzlemin keyfi bir noktası olmak
üzere, dir. Dolayısıyla olmalıdır.
⇒ –2.x + 3.y – 5.z = 0 ⇒ 2x – 3y + 5z = 0
düzlem denklemi elde edilir.
4. A(–3, –1, 1) noktasından geçen ve
doğrusuna dik olan düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
doğrusu düzleme dik olduğundan bu
doğanun = (4, –2, 3) doğrultman vektörü aynı zamanda
düzlemin normal vektörüdür.
x(x, y, z) düzlemin herhangi bir noktası ise
4x + 12 – 2y – 2 + 3z – 3 = 0
4x – 2y + 3z + 7 = 0 düzlem denklemi elde edilir.
5. M(3, 2, –3) noktasından geçen ve 3 (4, 3, 2) doğultusuna dik
olan düzlemin genel denklemini yazalım.
Çözüm:
Düzlemin genel denklemi
4(x – 3) + 3(y – 2) + 2(z + 3) = 0 dan
4x + 3y + 2z – 12 = 0 olur.
6. A(–2, 0, –1) ve B(1, 3, 4) noktaları veriliyor.
A noktasındından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin
denklemini bulalım.
Çözüm:
vektörü düzleme dik olduğundan bu düzlemin normal
vektörü olarak kabul edilebilir.
x = (x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
3x + 6 + 3y + 5z + 5 = 0
3x + 3y + 5z + 11 = 0 düzlem denklemi elde edilir.
N
xA N= ,xA N 0< > =
– , – , –
, ,
, . . – . –– – – .
x x x y z
x x y z
x y z x y z dir
A A
N
A N
1 3 4
2 1 3
2 1 1 3 3 4 0
2 2 3 12 0 2 3 13 03
< >
&
= = +
=
= + + + =
+ + + = + + =
^^
^ ^ ^
hh
h h h
u
v
. .x u vA1 2λ λ= +
– . .
. .
, , , – , – , ,
x u
x u v
x
vA
A
2 3 4 2 4 1 3 1 2
1 2
1 2
1 2
λ λ
λ λ
λ λ
= +
= + +
= + +^ ^ ^h h h
2 2 3
3 – 4
4 – 2
x
y
z
1 2
1 2
1 2
λ λ
λ λ
λ λ
= + +
= +
= +
_
`
a
bb
bb
N
OA N= ,NOA 0< > =
– , ,– , , –
x y zOA A O
N 2 3 5
= =
=
^^
hh
––
–x y z4
22
1
31
=+
=
––
–x y z4
22
1
31
=+
=
u
, 0 4. .–2 – .3 0x u x y zA 3 1 1< > &= + + + + =^ ^ ^h h h
AB
AB
– – – , – , – – , ,B AN AB 1 2 3 0 4 1 3 3 5= = = =^ ^^ ^h hh h
, ,x x y zA 2 1= + +^ h, . . .x x y zA N 0 3 2 3 5 1 0< > &= + + + + =^ ^h h
81
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
7. A(2, 1, 0), B(–1, 0, 3), C(0, 2, –4) noktalarından geçen düzlem
denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
vektörlerinin karma çarpımı sıfır olur.
⇒ (4x – 8 – 3z – 6y + 6) – (2z + 3x – 6 + 12y – 12) = 0
⇒ x – 18y – 5z + 16 = 0 elde edilir.
8. Orijinden ve A(–2, 3, 0), B(1, 0, –2) noktasından geçen
düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.
⇒ (–6x) – (3z + 4y) = 0
⇒ –6x – 4y – 3z = 0 ⇒ 6x + 4y + 3z = 0 elde edilir.
9. Uzayda x = 2, x = –4, y = 0, z = 0 ve y + z = 3
düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.
Çözüm:
10. Uzayda x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ve x + y + z = 6
düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.
Çözüm:
11. M(1, 3, 5), N(4, 3, 2) noktalarının belirttiği doğru parçasına
orta noktasında dik olan düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
[MN] doğru parçasının orta noktası M0 olsun.
dir. MN nin doğrultu katsayıları MN(3, 0, –3) tür.
Aranan düzlem M0 dan geçip MN doğrusuna dik olacağından,
denklemi
olur.
x – 2 y – 1 z
–3 –1 3
–2 1 –4
x – 2 y – 1 z
–3 –1 3
= 0
,xOA OB OP 0< > &=x y z
–2 3 0
1 0 –2
x y z
–2 3 0
= 0
x
y
z
3
3
–4
+2
x
y
z
6
6
6
O
4
,
–
– –
–
–
–
–
–
–
– –
x
x y z
AB AC AP 0
2
1 2
0 2
1
0 1
2 1
0
3 0
4 0
0< > &= =
, veAB AC AP
, ,M25
327
0 b l
– . – – . – –x y z x z325
0 3 327
0 1 0&+ + = + =b ^ ^ bl h h l
82
1. A(2, –1, 4) noktasından geçen ve = (–3, 2, 7) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
2. Uzayda A(–1, 4, 3) noktasından geçen ve = (1, 1, 3) ve
= (2, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ1 ve λ2
parametrilerine bağlı denklemini bulunuz.
3. Başlangıç noktasından geçen ve = (1, 3, 2) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
4. A(–2, 0, 3) noktasından geçen ve doğru-
suna dik olan düzlem denklemini bulunuz.
5. A(1, 0, 2) ve B(3, 1, 4) noktaları veriliyor.
A noktasından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin
denklemini bulunuz.
6. A(1, 0, 1) ve B(–2, 2, 0), C(0, 3, 4) noktalarından geçen
düzlem denklemini bulunuz.
3x – 2y – 7z + 20 = 0
N
x = –1 + λ1 + 2λ2
y = 4 + λ1 + λ2
z = 3 + 3λ1 + 2λ2
u
v
x + 3y + 2z = 0
N
3x + 4y + 2z = 0
2x + y + 2z – 6 = 0
9x + 10y – 7z – 2 = 0
–x y z3
14
1
2+
= =
AB
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda D
üzlem
Den
klemleri
2. Bö
lüm
83
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI
BÖLÜM
3
Uzayda verilen bir P noktasının l doğrusuna uzaklığını bulalım.
dır.
UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
İKİ DÜZLEMİN PARALEL OLMA ŞARTI
E1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0
E2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri verilsin.
E1 düzleminin normal vektörü N1, E2 düzleminin normal vektörü
N2 olsun.
E1 ve E2 düzlemlerinin birbirine paralel olması için N1 // N2olmalıdır.
olduğundan
(A1, B1, C1) = k.(A2, B2, C2)
(A1, B1, C1) = (kA2, kB2, kC2) ⇒ A1 = k.A2
B1 = k.B2
C1 = k.C2 olur.
Buradan paralellik koşulu elde edilir.
E1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
E2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri çakışık ise
dir.
İKİ DÜZLEMİN DİK OLMA ŞARTI
E1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
E2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri verilsin.
E1 düzleminin normal vektörü N1, E2 düzleminin normal vektörü
N2 olsun.
E1 ve E2 düzlemleri birbirine dik olması için olma-
lıdır.
olduğundan
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 diklik bağıntısı elde edilir.
x
y
z
uA
HAPxu O
P
θ
.sin sinPH
PHAP
AP&θ θ= =
. . .
.
.
sinuu
u
u
x u
x uelde edilir
PH AP
PH AP
PHAP
1
1
θ=
=
=
1 2 34444 4444
N1
E1 N2
E2
// // . .E E k dirN N N N1 2 1 21 2
+ + =
, , , , ,A B C A B CN N1 1 1 1 2 2 2 2= =^ ^h h
//E EA
A
B
B
C
Ck
1 22
1
2
1
2
1+ = = =
A
A B
B
C
C
D
D1
2 2
1
2
1
2
1= = =
N1
N2
P
A
E1
E2
,N N 0< >1 2
=
, , , ,A B C ve A B CN N1 21 1 1 2 2 2= =^ ^h h
84
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
1. A(1, 0, 2) noktasının doğrusuna uzaklı-
ğını bulalım.
Çözüm:
Doğru denklemini sağlayan bir P noktası alalım. P(2, –1, 3)
noktası doğru denklemini sağlar.
= (2, –1, –2) doğrultman vektörü olmak üzere
değerini bulalım.
2. A(–2, 1, 4) noktasından x – 2 = doğrusuna uzak-
lığını bulalım.
Çözüm:
A(–2, 1, 4) noktasının doğruya uzaklığı d, bu doğrunun üze-
rindeki bir nokta P(2, 1, –1) ve değerini bulalım.
3. A(–1, 1, 0) noktasının parametrik denklemi
x = 2k – 1, y = 1 – k, z = k + 2 olan doğruya olan uzaklığını
bulalım.
Çözüm:
Doğru P(–1, 1, 2) noktasından geçmektedir.
4. 3x + ky – 2z + 1 = 0
9x + 12y – nz + 5 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna
göre, k + n toplamını bulalım.
Çözüm:
olmalı
36 = 9k ⇒ k = 4
–3n = –18 ⇒ n = 6 bulunur.
k + n = 4 + 6 = 10 dur.
–– –
–x y z22
1
1
23
=+
=
u
du
x uAP=
AP x u = e1 e2 e3
1 –1 1
2 –1 –2
e1 e2 e3
1 –1 1
–2e3–e1–2e2
2e1–e32e2
, – ,AP 1 1 1= ^ h
– – – – –
, ,
– –
.
x u e e e e e e
x u e e e
x u
u
du
x ubulunur
AP
AP
AP
AP
2 2 2 2
3 4 3 4 1
3 4 1 26
2 1 2 9 3
326
1 2 3 1 2
1 2 3
2 2 2
2 2 2
3= +
= + + =
= + + =
= + + = =
= =
^ ^^
^ ^
h hh
h h
–yz
2
11= +
du
x uAP=
, , –
, ,u
AP 4 0 5
1 2 1
=
=
^^
hh
8 – 5 10 – 4
– , – ,
e e e e
e e e10 9 8 10 9 8
3 2 1 2
1 2 3
= +
= + = ^ h
.
–x u
u
du
x ubulunur
AP
AP
6
245
10 9 8 100 81 64 245
1 2 1 6
2 2 2
2 2 2
= =
= + + = + + =
= + + =
^ h
AP x u = e1 e2 e3
4 0 –5
1 2 1
e1 e2 e3
4 0 –5
0
–10e14e2
0
8e3–5e2
– , ,
, – ,
.
ü ,u
du
x udir
olmak zere
AP P A
AP
0 0 2
2 1 1
= =
=
=
^^
hh
–
.
x u
u
du
x ubulunur
AP
AP
2 4 0 4 16 2 5
2 1 1 4 1 1 6
6
2 5
2 2 2
2 2 2
= + + = + =
= + + = + + =
= =
^ h
AP x u = e1 e2 e3
0 0 2
2 –1 1
e1 e2 e3
0 0 2
0
–2e1
0
0
0
4e2
, ,e e4 2 2 4 02 1
= + = ^ h
––kn9
312
2= =
85
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
5. 2x + 3y – kz – 8 = 0
my + nx + 4z + 16 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulalım.
Çözüm:
olmalı
32 = –8m ⇒ m = –4
48 = –8n ⇒ n = –6
–32 = –16k ⇒ k = 2
m + n + k = –4 – 6 + 2 = –8 bulunur.
6. A(2, 1, 1) noktasından geçen 3x – y + az – 6 = 0 düzlemi
6x + by + cz – 4 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
a + b + c toplamını bulalım.
Çözüm:
A(2, 1, 1) noktası 3x – y + az – 6 = 0 düzlemini sağladığından
düzlemleri paralel ise
olmalı
3b = –6 ⇒ b = –2
3c = 6 ⇒ c = 2 bulunur.
a + b + c = 1 – 2 + 2 = 1 dir.
7. E1: 5x – 4y + 3z – 2 = 0
E2 = 2x – ay + 6z + 5 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
a değerini bulalım.
Çözüm:
E1 düzleminin normal vektörü
E2 düzleminin normal vektörü
olduğundan dır.
5.2 + (–4).(–a) + 3.6 = 0
10 + 4a + 18 = 0 ⇒ 4a = –28 ⇒ a = –7 bulunur.
8. A(1, 0, –2) noktasından geçen
E1: x + 2y + kz – 5 = 0
E2: x + my + 3z – n = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulalım.
Çözüm:
x = 1, y = 0, z = –2 için düzlem denklemleri sağlanır.
1 – 2k – 5 = 0 ⇒ 2k = –4 ⇒ k = –2 dir.
1 – 6 – n = 0 ⇒ n = –5 dir.
E1 ve E2 düzlemlerinin normalleri ve olsun.
= (1, 2, –2)
= (1, m, 3)
olduğundan
1.1 + 2.m – 2.3 = 0 ⇒ 2m = 5
bulunur.
9. E1: kx + ky + 4z – 6 = 0
E2: kx – 8y + 4z + 7 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
k değerini bulalım.
Çözüm:
= (k, k, 4), = (k, –8, 4)
– –m n
k2 34 16
8= = =
. – . – .a a olur3 2 1 1 6 0 1&+ = =
3 – – 6 0
6 – 4 0
x y z
x by cz
+ =
+ + =3
–cb6
3 1 1= =
,– ,N 5 4 31= ^ h
, – ,aN 2 62= ^ h
E E N N1 21 2
+= = ,N N 0< >1 2
=
N1
N2
N1
N2
,N N N N 0< >1 2 1 2
+= =
m25
& =
– ––
m n k25
5 229
+ + = =
N1
N2
, 0
. . –
– –
4.4 0
.
k k k
k k k k bulunur
E E N N N N
8
8 16 0 4 0 4
< >1 2 1 2 1 2
2 2
+ +
& &
= = =
+
+ =
+ =
= =
^^
hh
86
1. A(–1, –1, 3) noktasının doğrusuna
uzaklığını bulunuz.
2. A(0, 1, –2) noktasının doğrusuna uzaklığını
bulalım.
3. A(2, 1, 1) noktasının parametrik denklemi
x = k – 2, y = 2k + 1, z = 3k + 1 olan doğruya olan uzaklığını
bulunuz.
4. 2x + 6y – kz + 1 = 0
mx + 3y + 12z + 6 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna
göre, k + m toplamını bulunuz.
5. kx + 2y – (m + 1)z + 15 = 0
3x + ny + 2z + 5 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulunuz.
6. A(–1, 3, 1) noktasından geçen x – 2y + kz + 8 = 0 düzlemi
4x – ny + mz + 6 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
k + m + n toplamı kaçtır?
–23
3
–
–x y z21
3
2
1+
= =
–,
x yz
22
31= =
14
6 3
13
133
7
104
38
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
87
7. E1: 3x – 4y + z – 4 = 0
E2: 4x – 2y + pz + 1 = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
p değerini bulunuz.
8. A(3, 1, 2) noktasından geçen
E1: 2x + y – mz + 1 = 0
E2: x – ny + z + k = 0
denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,
m + n + k toplamını bulunuz.
9. E1: mx – 2y – 4z + 2 = 0
E2: (1 – m)x + 3y – 2z + 3 = 0
düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
10. Denklemi 4x – 3y + z – 6 = 0 olan düzlemin normal vektörünü
bulunuz.
11. Eksenleri kestiği noktalar A(3, 0, 0), B(0, –1, 0) ve C(0, 0, 2)
olan düzlemin denklemini bulunuz.
12. A(1, –1, 3) ve B(0, –2, 1) ve C(2, 1, –1) noktalarından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
–20
–5
1
(4, –3, 1)
8x – 6y – z – 11 = 0
–x 3y – 23
z 3 0+ + =
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
88
KAVRAMSAL ADIM
İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSU
Uzayda E1 ve E2 paralel ve çakışık olmayan iki düzlem olsun. Bu
düzlemlerin arakesit doğrusu olan l doğrusunun denklemini
bulalım.
l arakesit doğrusunun doğrultman vektörü normal
vektörüne diktir. Dolayısıyla vektörü l doğrusunun
doğrultman vektörüne paralel olacağından nin herhangi
bir katı l doğrusunun doğrultman vektörü olarak kabul edilebilir.
E1 ve E2 düzlemlerinin arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir
nokta A olmak üzere,
l : arakesit doğrusunun denklemidir.
İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSUNDAN GEÇENDÜZLEMLER (DÜZLEM DEMETİ)
İki düzlemin arakesit doğrusundan geçen bütün düzlemlere,
uzayda düzlem demeti denir.
Düzlemleri A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ve
A2x + B2y + C2z + D2 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusundan
geçen düzlem demetinin denklemi
A1x + B1y + C1z + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, k ∈ IR dir.
Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0
olan düzlemlerin arakesitinden ve P(1, –1, 2) noktasından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0 olan
düzlemlerin arakesitinden geçen düzlemin denklemi:
4x – 3y + 2z + 3 + k.(x + y + 3z + 1) = 0 dır.
Bu düzlem P(1, –1, 2) noktasından geçiyorsa;
4.1 – 3.(–1) + 2.2 + k.(1 – 1 + 3.2 + 1) = 0
olur. Bu değer denklemde yerine yazılırsa
4x – 3y + 2z + 3 – (x + y + 3z + 1) = 0
28x – 21y + 14z + 21 – 11x – 11y – 33z – 11 = 0
17x – 32y – 19z + 10 = 0 bulunur.
a) Denklemleri x + 2y + 3z + 2 = 0 ve 2x – 3y – 2z + 1 = 0 olan
düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz.
b) x + y – z + 1 = 0 ve 2x – 3y + z – 2 = 0 düzleminin arakesitin-
den geçen ve doğrusuna paralel olan düzle-
min denklemini bulunuz.
E1
N1
N2
E2
Arakesit do€rusu
veN N1 2
xN N1 2
xN N1 2
.x A k xN N1 2
= + _ i
ÖRNEK
ETK‹NL‹K
–k711
& =
711
– –x y z21
3
1
52
=+
=
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
ZA
YD
A N
OK
TAN
IN D
OĞ
RU
YA U
ZA
KL
IĞI V
E İK
İ DÜ
ZL
EM
İN
BİR
BİR
İNE
GÖ
RE
DU
RU
ML
AR
I3. B
ölü
m
89
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda Bir N
oktanın Bir D
üzleme U
zaklığı ve İki Düzlem
Arasındaki U
zaklık4. B
ölü
m
UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI
BÖLÜM
4
BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI
Uzayda bir E düzlemi ve bu düzlemin üzerinde olmayan P noktası
verilsin. P noktasının E düzlemine uzaklığını bulalım.
P noktasının E düzlemine uzaklığı, vektörünün normal vek-
törü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu olduğundan,
Buradan bulunur. Bu uzaklık
şeklinde gösterilir.
P(x0, y0, z0) noktası Ax + By + Cz + D = 0 düzleminin dışında her-
hangi bir nokta, P noktasının E düzlemine dik izdüşümü
S(x1, y1, z1) olsun.
S noktası E düzleminde olduğundan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dır.
düzleme dik olduğundan dir.
BİR DÜZLEMDEN EŞİT UZAKLIKTAKİ NOKTALARIN GEOMETRİK YERİ
Bir düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu
düzleme paralel olan iki düzlemdir.
E: Ax + By + Cz + D = 0 düzleminden eşit uzaklıkta bulunan düz-
lemler
E1: Ax + By + Cz + D1 = 0, E2: Ax + By + Cz + D2 = 0 ise
dir.
EN
A
PT
AP N
,
,. .
,.
,. .
dir
dir
ATN N
AP NN
ATN
AP NN AT
N
AP NN
< >
< >
< > < >22
&
=
= =
,AT
N
AP N< >= ,d P EAT = ^ h
E
AS(x1,y1,z1)
P(x0,y0,z0)
z
y
x
N = (A,B,C)
vePS N //PS N
–
, , – , – ,
. –
.
.
Ax By Cz Ax By Cz
Ax By Cz D
Ax By Cz
Ax By Cz
A B C
Ax By Czdir
OP OS SP SP OP OS
N SP N P S N P N S
N SP
N SP
SPN
SPN
< > < > < > < >
0 0 0 1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 2 2
0 0 0
&
&
&
&
"
"
= + =
= =
= + + + +
= + + +
=+ +
=+ +
=+ +
+ +
^ ^h h
E2
E
E1
P
Q
R
DD D
21 2=+
90
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayda B
ir Noktanın B
ir Düzlem
e Uzaklığı ve İki D
üzlem A
rasındaki Uzaklık
4. Bö
lüm
Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzle-
midir.
PQ = QR
Bu durumda P(x1, y1, z1) ve R(x2, y2, z2) noktalarından eşit uzaklıkta
bulunan normal vektörü = (A, B, C) olan düzlemin denklemi
dır.
İKİ DÜZLEMİN AÇIORTAY DÜZLEMLERİ
E1 ... A1x + B1y + C1z + D1 = 0
E2 ... A2x + B2y + C2z + D2 = 0
düzlemleri bir doğru boyunca kesişen iki düzlem olsun. Bu iki düz-
lemin açıortay düzlemi her iki düzleme uzaklıkları eşit olan nokta-
ların geometrik yeridir.
Açıortay düzlemi üzerindeki bir nokta P(x, y, z) ise açıortay düzlem-
lerinin denklemleri
bulunur.
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ UZAKLIK
i. Düzlemler Paralel ise;
E1 düzleminin normali , N2 düzleminin normali olsun.
olmak üzere iki düzlem arasındaki uzaklık
d(E1, E2) değerin i bulalım.
E1 düzlemi üzerinde üzerinde herhangi bir P noktası ile E2 düzlemi
üzerinde herhangi bir Q noktası alalım. vektörünün vektörü
üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu bize paralel iki düz-
lem arasındaki uzaklığı verir.
Yani, d(E1, E2) = dir.
E1 ve E2 düzlemlerinin kapalı denklemleri
E1: Ax + By + Cz + D1 = 0
E2: Ax + By + Cz + D2 = 0 olarak verilsin.
= (A, B, C) ve E1 düzlemindeki herhangi bir P = (x0, y0, z0) E2
düzlemindeki herhangi bir nokta Q = (x1, y1, z1) olsun.
olduğundan olduğu görülür.
ii. Düzlemler kesişiyor veya çakışıyor ise iki düzlem arasındaki
uzaklık sıfırdır.
P Q R
E
N
–Ax By Cz Ax x
By y
Cz z
2 2 201 2 1 2 1 2+ +
++
++
+=b ^ bl h l; E
A B C
A x B y C z D
A B C
A x B y C z D
12
12
12
1 1 1 1
22
22
22
2 2 2 2"+ +
+ + +=
+ +
+ + +
E2
E1P
N
Q
N1
N2
IRN N N21
!λ λ= = ^ h
PQ N
,
N
PQ N< >
N
, – , , – ,
– – –
– – –
–
Ax By Cz Ax By Cz
D D
D D
PQ N Q P N Q N P N< > < > < > < >
1 1 1 2 2 2
1 2
2 1
= =
= + +
=
=
^ h
,–
d E EA B C
D D
1 2 2 2 2
2 1=
+ +^ h
91
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda Bir N
oktanın Bir D
üzleme U
zaklığı ve İki Düzlem
Arasındaki U
zaklık4. B
ölü
m
1. E1: x – 2y + z – 1 = 0
E2: x + 2y – 2z + 3 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım.
Çözüm:
E1, düzleminin normal vektörü = (1, –2, 1)
E2, düzleminin normal vektörü = (1, 1, –2) dir.
x vektörel çarpımında oluşan vektörü arakesit doğ-
rusunun doğrultman vektörü olarak alınabilir.
A(x0, y0, z0) arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta
olmak üzere,
arakesit doğrusunun denklemidir.
A(x0, y0, z0) düzlem denklemlerini sağlar.
için
A(–1, –1, 0) noktasından geçen ve = (3, 3, 3) vektörüne
paralel olan doğrunun denklemi şeklinde
bulunur.
2. E1: 2x – y + z – 5 = 0
E2: x + y – 2z – 4 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemini
bulalım.
Çözüm:
= (2, –1, 1) ve = (1, 1, –2)
bulunur.
A(x0, y0, z0) arakesit doğrusu üzerinde bir nokta olsun.
z = 0 için
(x, y, z) = (3, 1, 0) + k.(1, 5, 3)
arakesit doğrusunun parametrik denklemidir.
3. Analitik uzayda P(3, –1, 2) noktasının 2x – 2y + z + 8 = 0 düz-
lemine uzaklığını bulalım.
Çözüm:
2x – 2y + z + 8 = 0 düzleminde A(–3, 0, –2) noktasını alalım.
vektörünün = (2, –2, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşü-
münün uzunluğu P noktasının düzleme olan uzaklığını vere-
cektir.
bulunur.
N1
N2
N1
N2
u
.x A k xN N1 2
= + _ i
N1 x N2 = e1 e2 e3
1 –2 1
1 1 –2
e1 e2 e3
1 –2 1
– – –
, ,
e e e e e e
e e e u
4
3 3 3
2 2
3 3 3
1 3 2 3 1 2
1 2 3&
= + +
= + +
+
=
^ ^^
h hh
– 2 – 1 0
2 – 2 3 0
x y z
x y zz 0
0 0 0
0 0 00
+ =
+ + ==4 – 2 – 1 0
2 –2 –1
–
x y
x y
x x
y
2 3 0
1
0 0
0 0
0 0
0
&
=
+ + =
= =
=
u
x y z31
3
1
3+
=+
=
N1
N2
N1 x N2 = e1 e2 e3
2 –1 1
1 1 –2
e1 e2 e3
2 –1 1
u =
2 2 – – –e e e e e e
e e e
4
5 3
1 3 2 3 1 2
1 2 3
= + + +
= + +
^ h
, ,u 1 5 3& = ^ h
2 – – 5 0
–
, ,
x y
x y
x x y z
4 0
3 9 3 1 0
0 0
0 0
0 0 0 0&
=
+ =
= = = =
.x A k u= +
3
1 5
3
x k
y k
z k
= +
= +
=
4
AP N
– , – , – – , , – , ,
,,
–
. – . – .d P E birim
AP P A
N
AP N
3 1 2 3 0 2 6 1 4
2 2 1
6 2 1 2 4 1
318
6< >
2 2
= = =
= =+ +
+ += =
^ ^ ^^ ^
^ ^h h h
h hh h
92
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayda B
ir Noktanın B
ir Düzlem
e Uzaklığı ve İki D
üzlem A
rasındaki Uzaklık
4. Bö
lüm
4. P(3, –5, 4) noktasının, 2x – 6y + 3z + k = 0 düzlemine uzak-
lığı 6 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm:
2x – 6y + 3z + k = 0 düzleminde noktasını alalım.
5. Denklemleri x – y + 2z – 1 = 0 ve 3x – 3y + 6z + 2 = 0
olan düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
x – y + 2z + 1 = 0 düzlemi üzerinden x = 0, y = 0, olup
P(0, 0, ) noktasını alalım. P(0, 0, ) noktasının
3x – 3y + 6z + 2 = 0 düzlemine uzaklığı paralel olan bu düz-
lemlerin arasındaki uzaklıktır.
birim bulunur.
6. 3x – 2y + 6z – 5 = 0 ve 6x – 4y + 12z + 18 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulalım.
Çözüm:
düzlemleri birbirine paraleldir.
⇒ aranan düzlem denklemi 6x – 4y + 12z + 4 = 0
7. E1: 2x – 6y + 3z + 5 = 0
E2: 6x – 3y + 2z – 7 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulalım.
Çözüm:
E1 ve E2 düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-
metrik yeri bu düzlemlerin açıortay düzlemleridir. Bu düzlem-
leri D1 ve D2 ile gösterirsek;
D1: 2x – 6y + 3z + 5 = 6x – 3y + 2z – 7 ⇒D1: 4x + 3y – z – 12 = 0
D2: 2x – 6y + 3z + 5 = –6x + 3y – 2z + 7 ⇒D2: 8x – 9y + 5z – 2 = 0
olarak bulunur.
8. 2x – y + 2z – 6 = 0 ve 2x – y + 2z + 12 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklığı bulalım.
Çözüm:
E1: 2x – y + 2z – 6 = 0 düzleminde A(0, 0, 3)
E2: 2x – y + 2z + 12 = 0 düzleminde P(–3, 0, –3)
noktalarını alalım. nin = (2, –1, 2) üzerindeki dik
izdüşüm uzunluğu iki düzlem arasındaki uzaklığı verecektir.
olduğundan
birim
bulunur.
düzlemleri arasındaki uzaklık
formülünü kullanarak da bulunabilir.
birim bulunur.
– , ,Ak2
0 0b l
– , – , – – , , , – ,
, – ,
,,
–
. – . – .
–
– – .
k k
d P E
k
k k
k k k
k k bulunur
AP P A
N
N
AP N
3 5 42
0 02
65 4
2 6 3
2 6 3
22
65 6 3 4
6
49
6 30 126
7
486
48 42 48 42 48 42
6 90
< >
2 2 2
&
& 0
0
= = =+
=
= =+ +
++ +
=
+ + +=
+=
+ = + = + =
= =
^ b b^
^ ^^ ^
h l lh
h hh h
: – –
: –
6 – 4 12 – 10 0
–
E x y z
E x y z
x y z
x y z
3 2 6 5 0
6 4 12 18 0 6 4 12 18 0
1
2
&+ =
+ + =
+ =
+ + =4
–10
18
–D
DD
D D
2 210 18
41
2
1 2&
=
==
+=
+=4
–
–
–
– –
– – –
Dx y z x y z
Dx y z x y z
2 6 3
2 6 3 5
6 3 2
6 3 2 7
49
2 6 3 5
49
6 3 2 7
,
,
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2
"
"
=+ +
+ +=
+ +
+
=+ +
=+
^ ^h h
AP N
– –3, 0, –6
2, –1, 2,
,
Nd E E
AP P A
N
AP N< >1 2
&= =
==
^^ ^h
h h4
,–
– . . – – . –d E E
2 1 2
3 2 0 1 6 2
9
18
318
61 2 2 2 2
=+ +
+ += = =^ ^
^ ^h hh h
: 0
: 0
E Ax By Cz D
E Ax By Cz D1 1
2 2
+ + + =
+ + + =4
,–
d E EA B C
D D
1 2 2 2 2
1 2=
+ +^ h
,–
– –d E E
2 1 2
12 6
318
61 2 2 2 2
=+ +
= =^ ^^h hh
–z 21=
–21 –2
1
–
. – . . –d
3 3 6
3 0 3 0 621
2
3 6
1
2 2 2=
+ +
+ +=^
bh
l
93
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda Bir N
oktanın Bir D
üzleme U
zaklığı ve İki Düzlem
Arasındaki U
zaklık4. B
ölü
m
9. x + ky – 3z + 3 = 0 ve 2x + 4y + mz + n = 0
paralel düzlemler arasındaki uzaklık birim olduğuna
göre, k + m + n toplamının kaç olabileceğini bulalım.
Çözüm:
düzlemleri paralel olduğuna göre,
olmalıdır. Buradan k = 2, m = –6 bulunur.
alalım = (2, 4, –6) dır.
noktalarını alalım.
n = –22 n = 34 bulunur. Dolayısıyla
k + m + n = 2 – 6 – 22 = –26
k + m + n = 2 – 6 + 34 = 30 değerini alabilir.
10. Düzlemleri 2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 olan düz-
lemlerin arakesit doğrusundan ve P(–1, 2, 2) noktasından
geçen düzlemin denklemini bulalım.
Çözüm:
2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 düzlemlerinin arake-
sit doğrusundan geçen düzlemlerin denklemi
2x + y – z – 8 + k.(x + y + z – 4) = 0, k ∈ R şeklindedir.
P(–1, 2, 2) noktası düzlem denklemini sağlayacağından
2.(–1) + 2 – 2 – 8 + k.(–1 + 1 + 2 – 4) = 0
–10 + k.(–2) = 0
–2k = 10 ⇒ k = –5 bulunur.
2x + y – z – 8 + –5.(x + y + z – 4) = 0
–3x – 4y – 6z + 12 = 0
3x + 4y + 6z – 12 = 0 istenen düzlem denklemidir.
11. Denklemleri x + y + z – 2 = 0 ve x – 2y + 2z – 6 = 0
düzlemlerinin arakesitinden geçen ve
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulalım.
Çözüm:
x + y + z – 2 + k(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒
(1 + k) x + (1 – 2k) y + (1 + 2k) z – 2 – 6k = 0 dır. Buradan
= (1 + k, 1 – 2k, 1 + 2k) olur. Doğrunun doğrultmanı
= (2, 3, 1) dir. Doğru düzleme paralel olduğundan
olmalıdır.
2.(1 + k) + 3(1 – 2k) + 1 + 2k = 0
tür.
x + y + z – 2 + 3(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒
4x – 5y + 7z – 20 = 0 aranan düzlem denklemidir.
12. Merkezi M(–1, 2, 1) noktası ve 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine
teğet olan kürenin denklemini bulalım.
Çözüm:
Küre verilen düzleme teğet ise kürenin yarıçapı M(–1, 2, 1)
noktasının 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine uzaklığına eşittir.
olur.
Kürenin denklemi; (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 22 olur.
13. P(1, 2, 3) noktasının 3x + 6y + 6z – 3 = 0 düzlemine uzaklığını
bulalım.
Çözüm:
ü 1,1, 2
ü 0, 0,6
E zerinde A
E zerinde Pn
1
2
^a
hk4
– , – ,–
,,
– – – –
– – – –
–
– . – . – .–
n
d E E
n n
n n n
n
AP
N
AP N
1 1612
14
1456
2 4 1214
2 14
6
28 6 6 28 6 28
2 4 6
1 2 1 4 66
12< >
1 2 2 2 2&
&
& & 0
=
= =
=+
=
= = =
+ +
+ +
b
^ ^^ ^ ^
l
h hh h h
0
– – – – –x y z x y z2 8 5 5 5 20 0+ + =
––
x yz
22
3
54=
+=
N
u
,u ve uN N 0< >= =
– –k k k k k2 2 3 6 1 2 0 6 2 0 3& &+ + + + = = =
N
–km2
14
3= =
: –
: –
: –
: –
E x y z
E x y z n
E x y z
E x y z n
2 3 3 0
2 4 6 0
2 4 6 6 0
2 4 6 01
2
1
2
&+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
: – 3 3 0
: 2 4 0
E x ky z
E x y mz n1
2
+ + =
+ + + =4
14
– –
. – – . – .r
2 6 9
2 1 6 2 9 1 1
1122
22 2 2
=+ +
+= =^ ^
^h h
h
. . . –
.
d
birim olur
3 6 6
3 1 6 2 6 3 3
930
310
2 2 2=
+ +
+ +
= =
94
1. Denklemleri x + 2y – z + 6 = 0 ve 4x + y – 2z – 4 = 0
olan düzlemlerinin arakesit doğrusunun vektörel denklemini
bulunuz.
2. Denklemleri 3x – y + 2z – 7 = 0 ve x + y – 2z – 1 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusunun parametrik denklemini
bulunuz.
3. x – 2y + 3z + 4 = 0 ve 2x + y – 2z – 1 = 0
düzlemlerinin arakesitinden geçen ve x = 1 – k
y = 2 + 3k
z = 1 + 2k
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.
4. x – 4y + z – 1 = 0 ve 2x + y – 3z – 5 = 0
düzlemlerinin arakesit doğrusundan ve P(1, –1, 2) noktasın-
dan geçen düzlem denklemini bulunuz.
5. Arakesit uzayda P(1, 0, –2) noktasının
x – 2y + 2z – 7 = 0 düzlemine uzaklığını bulunuz.
6. P(3, 1, –1) noktasının x – 3y + z – k = 0 düzlemine uzaklığı
birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulunuz.
x = 2, y = –1 + 8k
z = 4k
x – 7y + 11z + 13 = 0
11x – 17y – 4z – 20 = 0
11
k = –12 veya k = 10
–3x – 2
–2y 4
–7z
=+
=
310
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayda B
ir Noktanın B
ir Düzlem
e Uzaklığı ve İki D
üzlem A
rasındaki Uzaklık
4. Bö
lüm
95
7. düzlemi ile
düzlemleri arasındaki uzaklığı bulunuz.
8. 3x – y + 2z – 7 = 0 ve 2x + y + 3z – 12 = 0
düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulunuz.
9. 3x – 2y + 6z + 7 = 0 ve 6x – 4y + 12z – 2 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerini bulunuz.
10. x + my – 2z + 4 = 0 ve 3x – 6y + nz + k = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık 2 birim olduğuna göre,
m + n + k toplamının toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
11. Denklemleri 2x – 3y + z – 11 = 0 ve x + 2y + 5z + 4 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve
doğrusuna paralel olan düzlem denkle-
mini bulunuz.
12. 3x – y – z – 4 = 0 ve x + y – 2z – 6 = 0 düzlemlerinin arake-
sit doğrusundan geçen ve x = –2k
y = 1 + k
z = 3 + 4k
doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.
x – 2y – z + 5 = 0
5x + 5z – 19 = 0
6x – 4y + 12z + 6 = 0
–14 veya 22
41x – 79y – 2z – 273 = 0
16x – 20y + 13z + 30 = 0
– –x y z41
2
1
33
=+
=
–x y z2 3 6 4 4 0+ + =– –x y z3 3 2 8 0+ =
25
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
MÜ
NİT
E –
2U
zayda Bir N
oktanın Bir D
üzleme U
zaklığı ve İki Düzlem
Arasındaki U
zaklık4. B
ölü
m
96
KAVRAMSAL ADIM
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayd
a İki Dü
zlem A
rasınd
aki Açı (Ö
lçek Açı)
5. Bö
lüm
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI(ÖLÇEK AÇI)
BÖLÜM
5
UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI
Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik olan düzlemde iki açı
oluşur. Bu açılardan biri dar açı diğeri ise geniş açıdır. Oluşan bu
iki açıdan dar olanına bu iki düzlem arasındaki açı denir. Geniş açı
dar açının bütünleyenidir.
İki düzlem arasındaki açı bulunurken bu düzlemlerin normalleri
arasındaki açı bulunarak hesaplanabilir.
düzlemleri arasındaki açı a ise;
dir.
Normalleri dik olan iki düzlem arasındaki açı 90°, normalleri lineer
bağımlı olan
N1 = λN2 (λ ∈ IR) olan iki düzlem arasındaki açı 0° dir.
UZAYDA BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
DOĞRU İLE DÜZLEMİN ARAKESİT NOKTASI
E: Ax + By + Cz + D = 0 düzlemi ile
doğrusu verilsin.
Doğrunun parametrik denklemleri x = x0 + λp
y = y0 + λq
z = z0 + λr dir.
Bu ifadeler düzlem denkleminde yazılırsa
A(x0 + λ.p) + B(y0 + λq) + C(z0 + λr) + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + λ(λ.p + B.q + C.r) + D = 0
Buradan λ ifadesi çekilirse
parametresi bulunur. Bulunan λ değeri
yukarıdaki denklemlerde yerine yazılarak arakesit noktasının
koordinatları bulunur.
i. Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
A.p + B.q + c.r ≠ 0 ise doğru ile düzlem tek noktada kesişir.
(ya da doğru düzlemi deler)
ii. Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
A.p + B.q + Cr = 0 ise doğru düzleme paraleldir.
iii. Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
Ap + Bq + Cr = 0 ise doğru düzlemin üzerindedir denir.
180–a
N2
E2E1
a
d
N1
:
:
E A x B y C z D
E A x B y C z D
0
01 1 1 1 1
2 2 2 2 2
+ + + =
+ + + =
,
.cos
N N
N N< >
1 2
1 2a =
E
d
A
:– – –
dx x
q
y y
r
z z
p0 0 0
λ= = =
–Ap Bq Cr
Ax By Cz D0 0 0
λ =+ +
+ + +
97
KAVRAMSAL ADIM
KESİŞEN BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN ARASINDAKİ AÇI
Uzayda doğru düzleme çakışık veya paralel değilse düzlemi bir
noktada keser. Doğru ile düzlem arasında oluşan açı ya dar açı-
dır ya da dik açıdır.
Dolayısıyla doğrunun doğrultman vektörü ile düzlemin normal vek-
törünün skaler çarpımlarından yola çıkarak doğru ile düzlem ara-
sındaki açıyı bulabiliriz.
ifadesinden a açısı bulunur.
UZAYDA İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE
GÖRE DURUMLARI
Uzayda bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve
vektörüne paralel l1 doğrusu ile Q(x1, y1, z1) noktasından geçen
ve = (p1, q1, r1) vektörüne paralel l2 doğrusu verilsin.
l1: x = P + , (x, y, z) = (x0, y0, z0) + k(p, q, r); k ∈ R
l2: x = Q + , (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(p1, q1, r1) doğruları için;
i. ise doğrular aynı düzlemde bulunur. Aynı
düzlemde bulunan doğrular kesişebilir, parelel veya çakışık
durumlu olabilirler.
a. ve vektörleri lineer bağımsız ise doğrular bir nokta kesi-
şir.
b. ve vektörleri lineer bağımlı ise doğrular ya çakışık ya da
paraleldir denir.
1. olacak şekilde bir λ ∈ IR varsa yani lineer
bağımlı ise doğrular çakışıktır.
2. olacak şekilde bir λ ∈ IR bulunamıyorsa yani ve
lineer bağımsız ise doğrular paraleldir.
ii. ise doğrular farklı düzlemdedir. Bu tür
doğrulara aykırı doğrular denir.
iii. ise doğrular birbirine diktir.
ve doğruları paralel
olduğuna göre, m + n toplamını bulunuz.
E
d
V
a
90°–a
u=(p,q,r)
N
, . .π–
π–
.
,
.
cos
cos
sin
u u
u
u
A B C p q r
Ap Bq Cr
N N
N
N
2
2
< >
< >
2 2 2 2 2 2
a
a
a
=
=
=+ + + +
+ +
a
a
k
k
, ,u p q r= ^ h
V
k u
t v
, u x vPQ 0< > =
u v
u v
uPQ λ= ile uPQ
uPQ λ= PQ
u
, ≠u x vPQ 0< >
,u v 0< > =
ETK‹NL‹K
–m
x y z33
12
2+ = = +–
– –xn
y z22 2
63+ = =
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayd
a İki Dü
zlem A
rasınd
aki Açı (Ö
lçek Açı)
5. Bö
lüm
98
UYGULAMA ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayd
a İki Dü
zlem A
rasınd
aki Açı (Ö
lçek Açı)
5. Bö
lüm
1. Denklemleri –2x + 2y + z – 7 = 0 ve x – z + 4 = 0 olan
düzlemlerin ölçek açısının ölçüsünü bulalım.
Çözüm:
–2x + 2y + z – 7 = 0 düzleminin normali = (–2, 2, 1)
x – z + 4 = 0 düzleminin normali = (1, 0, –1) dir.
Düzlemlerin ölçek açısı a ise;
olduğundan
2. Denklemleri 3x – 2y + ve
x + y – olan düzlemler arasındaki açının kosi-
nüs değerini bulalım.
Çözüm:
düzleminin normali
düzleminin normali dür.
olduğundan
3. Denklemleri ve
düzlemleri arasındaki açı 60° olduğuna göre, k değerini
bulalım.
Çözüm:
düzleminin normali
düzleminin normali dir.
olduğundan
4. doğrusunun x – 2y + 4z + 5 = 0
düzleminin kestiği noktanın koordinatlarını bulalım.
Çözüm:
olsun. Buradan
x = –2k – 1, y = 2k + 2, z = 3k + 3 eşitliklerini
x – 2y + 4z + 5 = 0 düzleminde yerine yazalım.
–2k – 1 – 2.(2k + 2) + 4.(3k + 3) + 5 = 0
k = –2 bulunur.
x = –2k – 1 ⇒ x = –2.(–2) – 1 ⇒ x = 3
y = 2k + 2 ⇒ y = 2.(–2) + 2) ⇒ y = –2
z = 3k + 3 ⇒ z = 3.(–2) + 3 ⇒ z = –3 bulunur.
Doğru ile düzlemin kesim noktası P(3, –2, –3) dür.
N1
N2
,
.cos
N N
N N< >
1
1 2
2
a =
– . –
– . . . –
° .
cos
cos cos x bulunur
2 2 1 1 0 1
2 1 2 0 1 1
3 2
3
2
145
2 2 2 2 2 2
& &
a
a a
=+ + + +
+ +
= = =
^ ^^
h hh
z3 2 3 0+ =
–z3 3 0=
–x y z3 2 3 2 3 0+ + = , – ,N 3 2 31= ^ h
– –x y z3 3 0+ = , , –N 31 12= ^ h
– . –
. . –
.
.
. –cos
cos cos bulunur
3 2 3 1 1 3
3 1 1 2
9 4 3 1 1 3
2
80
2
4 5
2
2 5
1
3 3
2 2 2 2 2 2
&
a
a a
=+ + + +
+
=+ + + +
= = =
+
^ ^ ^^ ^
h h hh h
–x zy2 4 0+ + = . –k x y z2 7 0+ + =
–x zy2 4 0+ + = , , –N 1 2 11= ^ h
. –k x y z2 7 0+ + = , ,kN 2 12= ^ h
,
.cos
N N
N N< >
1
1 2
2
a =
60°.
2 2 .
.
– .
. – .cos
k
k
kk
k k k k bulunur
k
k
1 2
1 2
1
3
13
3 2 1 1
1 2 1
2 1 1
1
2 2
2
2
2
2 2 2 2 2
&
& &
=+
+
=+
++
+ = + + =
+ + +
+
= +
^ ^ ^^
^h h h
h
h
–
– –x y z21
2
2
33+
= =
–
– –x y zk
21
2
2
33+
= = =
– – – – –k k k k k2 1 4 4 12 12 5 0 6 12 0 6 12& &+ + + = + = =
.
,cos
N N
N N< >
1 2
1 2a =
99
UYGULAMA ADIMI
5. Parametrik denklemi x = 3k + 2
y = 4k – 4
z = 1 – k
olan doğrunun 5x – 2y + z – 1 = 0 düzlemini kestiği noktanın
koordinatlarını bulalım.
Çözüm:
x = 3k + 2, y = 4k – 4, z = 1 – k, 5x – 2y + z – 1 = 0
düzlem denkleminde yerine yazılırsa;
5.(3k + 2) – 2.(4k – 4) + 1 – k – 1 = 0
15k + 10 – 8k + 8 – k = 0 ⇒ 6k + 18 = 0 ⇒ 6k = –18 ⇒ k = –3
x = 3k + 2 ⇒ x = 3.(–3) + 2 ⇒ x = –7
y = 4k – 4 ⇒ y = 4.(–3) – 4 ⇒ y = –16
z = 1 – k ⇒ z = 1 – (–3) ⇒ z = 4 bulunur.
Doğru ile düzlemin kesim noktası P(–7, –16, 4) dür.
6. düzlemi ile
doğrusunun arasındaki açıyı bulalım.
Çözüm:
düzleminin normal vektörü
doğrusunun doğrultman vektörü
dir. Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise
dir. Buradan
bulunur.
7. Parametrik denklemi x = 5 – k
y = –3 + k
z = 4
olan doğru ile x + z = 2 düzlemi arasındaki açının ölçüsünü
bulalım.
Çözüm:
x + z = 2 düzleminin normal vektörü, = (1, 0, 1)
doğrusunun doğrultman vektörü, = (–1, 1, 0)
dır.
Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise
dir. Buradan
8. Uzayda l1: ve l2:
doğrularının birbirine göre durumlarını inceleyelim.
Çözüm:
l1 doğrusu A(2, –1, 1) noktasından geçer ve doğrultmanı
dür.
l2 doğrusu P(–1, 3, 2) noktasından geçer ve doğrultmanı
dir.
Eğer ise doğrular aynı düzlemde bulunur.
bulunur.
olduğundan
l1 ve l2 doğruları aykırı doğrulardır.
–x y z2 9 0+ + =–
–x yz
2
21
34
+= = +
–x y z2 9 0+ + = , ,N 2 1 1= ^ h
–
–x yz
2
21
34
+= = +
, – ,u 2 1 1= ^ h,
.sin
u
u N
N
< >a =
. –
. . –1 .sin
2 1 1 2 1 1
2 2 1 1 1
2 2 2 2 22a =
+ + + +
+ +
^ ^ ^ ^ ^^
h h h h hh
.°sin sin
2 22
42
21
30& &a a a= = = =
N
5 –
–3
x k
y k
z 4
=
= +
=
4 u
,
.sin
u
u
N
N< >a =
. –
. –1 . .
° .
sin
sin bulunur
1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
2
145
2 2 2 2 2 2
&
a
a a
=+ + + +
+ +
= =
^^
hh
––
–x y z12
2
1
31
=+
=–
––
x yz
41
1
32
+= =
, – ,u 1 2 31= ^ h
, – ,u 4 1 12= ^ h
, u x uAP 0< >1 2
=
– – – , – – , – – , ,AP P A 1 2 3 1 2 1 3 4 1= = =^^ ^h h hu1 x u2 = e1 e2 e3
1 –2 3
4 –1 1
e1 e2 e3
1 –2 3
– – – – –
– – –
e e e e e e
e e e e e e
e e e
2 12 8 3
2 12 8 3
11 7
1 3 2 3 1 2
1 3 2 3 1 2
1 2 3
= + +
= + + +
= + +
^ ^h h
, ,u x u 1 11 71 2
= ^ h, – . . . ≠u x uAP 3 1 4 11 1 7 48 0< >
1 2= + + =
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayd
a İki Dü
zlem A
rasınd
aki Açı (Ö
lçek Açı)
5. Bö
lüm
100
1. Denklemleri olan
düzlemler arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.
2. Denklemleri y = –x ve –2x + 2y + z – 4 = 0 olan düzlemler
arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.
3. Denklemleri ve
olan düzlemler arasındaki ölçek açı 60° olduğuna göre, k nın
alabileceği değerleri bulunuz.
4. doğrusu 3x – 2y – z – 4 = 0 düzlemini
kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz.
5. Parametrik denklemi x = 2k + 1
y = 3k + 1
z = 1 – k
olan doğrunun 3x – 2y – z – 6 = 0 düzlemini kestiği noktanın
koordinatlarını bulunuz.
6. doğrusu ile 4x – 3y + 12z – 13 = 0
düzlemi arasındaki açının kosinüs değerini bulunuz.
7. doğrusu ile düzlemi
arasındaki açı 30° olduğuna göre, k değerini bulunuz.
8. düzlemi
arasındaki açının tanjant değerini bulunuz.
60
– – –x y z ve x y z2 13 0 2 7 0+ = + + =
kx y kz2 7 0+ + + = – –kx y kz2 1 0+ =
– –x y z32
4
1
21
= =+
––x y z
22
1
1
27+
=+
=
90
k = 1 v k = –1
(13, 19, –5)
(5, 5, 1)
1
–––x
k
y z
2
3 4
12
=+
= – – –x y z2 5 0=
– – –x y z ve x y z2 3 2 5 0 2 3 2 7 0+ = + + =
32 2
2 2
PEKİŞTİRME ADIMI
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Uzayd
a İki Dü
zlem A
rasınd
aki Açı (Ö
lçek Açı)
5. Bö
lüm
101
SINAMA ADIMI1
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1. A(–1, 0, 2) noktasından geçen ve = (1, 4, –2) vektörüne
paralel olan doğrunun kartezyen denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?
A) B)
C) D)
E)
2. A(5, –3, 2) noktasından geçen ve = (1, 0, 4) vektörüne
paralel olan doğrunun kertezyen denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?
A) B)
C) D)
E)
3. Orijinden geçen ve = (–3, –2, 4) vektörüne paralel olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) B)
C) D) x + 3 = y + 2 = z – 4
E)
4. doğrusunun doğrultman vektörü
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (2, –1, 3) B) (2, 3, 1) C) (4, 2, 5)
D) (4, –1, 3) E) (2, 2, 3)
5. A(–1, –2, 7) noktasından geçen ve doğrultman vektörü
= (4, 4, –3) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) B)
C) D)
E)
6. doğrusunun parametrik denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 + 3k B) x = 3 + 2k
y = –3 – 2k y = –2 + 3k
z = 4 + 5k z = 5 + 4k
C) x = 5 + 3k D) x = 3 + 2k
y = 3 – 2k y = –2 – 3k
z = 4 – 5k z = 5 + 4k
E) x = 4 – 5k
y = 3 + 2k
z = 2 – 3k
u
u
––
xy z
24 2
1= =
+–
–x y z14
2
2
42+
= =+
––
xy z
14 2
2+ = =
–
– –x y z4 2
2
21
= =
–
–x
y z1
2
2
42
+ = =+
––
xz
y542
3= = + – 5–
x yz
342
= + =
––x y
z5 3
42
+ ==–
––x y z
51
3 24
= =
–– –
–x y z45
3
3
22
=+
=
u
––
–
– –x y z33
2
2
44
= =– –x y z3 2 4= =
––
x yz
3 242
= + =
x y z3 2 4= =
– –x y z42
2
1
53
=+
=
u
––x y z
31
4
2
47+
=+
=– –
x y z14
2
4
73+
=+
=+
––
–
–x y z14
2
4
73
= =+
– –
–x y z13
2
4
73+
= =+
––x y z
41
4
2
37+
=+
=
––
–x y z32
2
3
54
=+
=
1) C 2) A 3) B 4) C 5) E 6) A
102
SINAMA ADIMI1
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. doğrusunun parametrik denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 3 + k B) x = 3 + k
y = 4 + k y = 4 + 2k
z = 3 – 2k z = –3 + k
C) x = 2k + 4 D) x = 4 + k
y = y = 1 + k y = 2 – 3k
z = z = 3 – 3k z = –3k
E) x = 4 – k
y = 4 + 2k
z = 3 + k
8. Parametrik denklemi x = 2 + 3k
y = 1 – 2k
z = 4 + k
olan doğrunun geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, –2, 4) B) (3, –2, 1) C) (3, 1, 4)
D) (2, –2, 1) E) (2, 1, 4)
9. Kartezyen denklemi olan doğrunun
geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 2, –1) B) (4, –1, 3) C) (2, –1, 3)
D) (–2, 2, –1) E) (3, 2, 4)
10. Parametrik denklemi x = 2 – k
y = 3
z = 1 + 3k
olan doğrunun doğrultman vektörü aşağıdakilerdenhangisidir?
A) (–1, 0, 3) B)(2, 3, 1) C) (–1, 3, 3)
D) (2, 3, 3) E) (–1, 3, 1)
11. Kartezyen denklemi olan doğrunun
doğrultman vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (–3, –2, –4) B) (–2, –3, –4) C) (–2, 3, –4)
D) (–2, 2, –1) E) (–4, 3, –2)
12. Aşağıdaki noktalardan hangisi denklemi
olan doğrunun üzerindedir?
A) (1, 2, –3) B) (0, –2, 4) C) (0, 4, 6)
D) (1, 1, 3) E) (2, 7, 1)
–––x y z
42
2
1
13
=+
=
–
–
–x y z
23
3
2
41+
= =+
– –x y z11
2
2
33+
= =
––
xy
z32
43= = +
7) B 8) E 9) C 10) A 11) B 12) C
103
SINAMA ADIMI2
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1. A(2, 0, –1) ve B(1, 1, 4) noktasından geçen doğrunun kar-tezyen denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) B)
C) D)
E)
2. A(1, 2, –1) ve B(0, 0, –3) noktalarından geçen doğrununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 1 – 2k B) x = k
y = 2 – 2k y = 2k
z = 1 + k z = –1 – 3k
C) x = 1 – k D) x = 1 – k
y = 2 – k y = 2 – 2k
z = –3 – 2k z = –1 – 2k
E) x = k
y = 2k
z = –1 + 3k
3. Orijinden ve A(–3, 2, 2) noktasından geçen doğrunun kar-tezyen denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) B)
C) D)
E)
4. = (–4, m, n) vektörü doğrusuna pa-
ralel olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?
A) –8 B) –4 C) –2 D) 4 E) 8
5. A(2, 1, 3) noktasından geçen ve = (4, –3, 1) vektörüne
paralel olan doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) = (2, 1, 3) + k.(4, –3, 1)
B) = (4, –3, 1) + k.(2, 1, 3)
C) = (4, –3, 1) + k.(2, –4, –2)
D) = (2, 1, 3) + k.(2, –4, –2)
E) = (–2, 4, 2) + k.(2, 1, 3)
6. Uzayda denklemi olan doğrunun
doğrultman vektörlerinden biri aşağıdakilerden hangisi-dir?
A) (2, 3, 4) B) (3, 4, –2) C)
D) E)
––
xy z
21
4 1= = +––x y z12
1 51
= =+
–x y z12
1 41
= =+ –
––
–x z
y21
14
1= =
x y z2 2 3= =
–x y z3 2 2= =
–x y z3 2 2= =
–– – –x y z33
2
2
22
= =
x y z33
2
2
22+
=+
=+
A–x y z
22
6
4
45+
= =+
u
– –
–x y z3
2 24
3 1
24 2
= =+
, ,–
23
34
21b l
x
x
x
x
x
– –x yz3
22
11=
+=
–,–
, –32
41
1b l32,43, –2b l
1) B 2) D 3) B 4) B 5) A 6) C
104
SINAMA ADIMI2
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. A(–1, 0, 3) ve B(4, 4, 3) noktalarından geçen doğrununvektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) = (–1, 0, 3) + k(5, 4, 0)
B) = (4, 4, 3) + k.(–1, 0, 3)
C) = (–1, 0, 3) + k.(4, 4, 3)
D) = (5, 4, 0) + k.(4, 4, 3)
E) = (5, 4, 0) + k.(–1, 0, 3)
8. A(3, 0, –4) ve B(1, 1, –1) noktalarından geçen doğrununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 1 + 3k B) x = 3 + k
y = k y = 1
z = –4 – k z = –4 – k
C) x = 3 – 2k D) x = 2 + 3k
y = k y = 1 – k
z = –4 + 3k z = 4 – k
E) x = 3k
y = 1 + k
z = –4 + k
9. doğrusuna paralel olan ve A(–1, 1, 4)
noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?
A) = (–1, 1, 4) + k(1, –1, 2)
B) = (2, 2, 4) + k.(–1, 1, –2)
C) = (–1, 1, 4) + k.(2, 4, 3)
D) = (2, 4, 3) + k.(–1, 1, 4)
E) = (–1, 1, –2) + k.(–2, 4, 3)
10. doğrusuna paralel olan ve A(–1, 4, 5)
noktasından geçen doğrunun parametrik denklemi aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 + 3k B) x = –1 + 2k
y = 1 + 2k y = 1 + 2k
z = 3 z = 3k
C) x = –1 – k D) x = –1 + 3k
y = 1 + 4k y = 4 + 2k
z = 3 – 5k z = 4
E) x = 3 – k
y = 2 + 4k
z = 5k
11. Parametrik denklemi x = 1 – k
y = 2 + 3k
z = 3 – 4k
olan doğruya paralel ve A(–2, 1, –1) noktasından geçendoğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) = (1, 2, 3) + k.(–1, 2, –4)
B) = (–2, 6, –1) + k.(1, 2, 3)
C) = (–2, 1, –1) + k.(–1, 3, –4)
D) = (–1, 3, –4) + k.(–2, 1, –1)
E) = (1, 2, 3) + k.(–2, 1, –1)
12. Parametrik denklemi x = 3k
y = 1 + 2k
z = 2 – k
olan doğruya paralel ve A(0, ,2, 3) noktasından geçendoğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) = (0, –2, 3) + k.(3, 2, –1)
B) = (3, 2, –1) + k.(0, ,2, 3)
C) = (0, 2, 3) + k.(3, 2, 1)
D) = (0, 1, 2) + k.(0, –2, 3)
E) = (0, –2, 3) + k.(3, 1, 2)
x
x
x
x
x
–x y z21
4
1
32+
= =+
x
x
x
x
x
– –,
x yz
32
2
13= =
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7) A 8) C 9) C 10) D 11) C 12) A
105
SINAMA ADIMI3
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1. A(–2, 1, 1) noktasından geçen ve = (3, 1, 2) vektörüne dik
olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2x + y + z – 6 = 0 B) 2x – y – z + 4 = 0
C) 3x + y – 2z – 7 = 0 D) 3x + y + 2z + 3 = 0
E) x – 2y + 3z – 4 = 0
2. A(1, –1, –2) noktasından geçen ve
= (2, 1, 5) ve λ2 = (–3, –1, 4) vektörlerinin belirttiği düzle-
min λ1 ve λ2 parametrelerine bağlı (λ1, λ2 ∈ IR)
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) = (1, –1, –2) + (2, 1, 5) λ1 + (–3, –1, 4) λ2
B) = (–3, –1, 4) + (1, –1, –2) λ1 + (–3, –1, 4) λ2
C) = (–3, –1, 4) + (1, ,1, –2) λ1 + (2, 1, 5) λ2
D) = (2, 1, 5) + (–3, –1, 4) λ1 + (1, –1, –2) λ2
E) = (1, –1, –2) + (–5, –2, –1)λ1 + (–3, –1, 4)λ2
3. Başlangıç noktasından geçen ve = (–4, ,2, –1) vektö-
rüne dik olan düzlem denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir?
A) 4x – 2y + z = 0 B) 4x + 2y + z – 4 = 0
C) x – 2y + 4z = 0 D) 2x – 4y – z + 2 = 0
E) 2x – y + 4z = 0
4. A(1, –3, –4) noktasından geçen ve
doğrusuna dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 4x – 3y – 2z – 9 = 0 B) 3x + 4y + 5z – 21 = 0
C) 2x – y + 4z – 12 = 0 D) 4x – 3y + 5z – 21 = 0
E) 3x + 4y + 5z + 29 = 0
5. A(0, 2, 4) ve B(1, –3, –1) noktaları veriliyor.
A noktasından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5x – y – 5z + 19 = 0 B) x – 5y – 5z + 30 = 0
C) x – 3y – z + 12 = 0 D) 2x – 5y + 4z – 3 = 0
E) x + 4y – 2z – 9 = 0
6. A(1, 1, 2), B(–1, 0, –1) ve C(0, –3, 2)
noktalarından geçen düzlem denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) x + 5y – 7z + 4 = 0 B) 9x – 5y + 3z – 21 = 0
C) 5x + 3y + 7z – 9 = 0 D) 12x – 3y – 7z + 5 = 0
E) 8x + 7y + 2z – 26 = 0
N
u
x
x
x
x
x
N
– –x y z z31
4 53+
= =
AB
1) D 2) A 3) A 4) E 5) B 6) D
106
SINAMA ADIMI3
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. Orijinden ve A(3, 3, 1), B(0, –1, 0) noktalarından geçendüzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 3z = 0 B) x + y – 2z = 0
C) 3x + 3y + z = 0 D) x – 2y = 0
E) 2x – y + 3z = 0
8. 4x – 2y + 3z + m = 0 düzlemi A(1, 2, –1) noktasındangeçtiğine göre, m kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. 4x + 4y – z + 7 = 0 düzlemin normal vektörü = (12, m, n)
vektörüne paralel olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
10. 3x – y + 2z – 6 = 0 düzleminin normal vektörü
= (2, a, a + 1) vektörüne dik olduğuna göre,
a nın değeri kaçtır?
A) 6 B) 4 C) –2 D) –6 E) –8
11. –2x + 3y – 4z + 5 = 0 düzleminin normal vektörü
doğrusunun doğrultman vektörüne dik
olduğuna göre, k değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8
12. A(3, 2, –4) noktasından geçen ve x – 3y + 4z – 6 = 0 düzle-mine paralel olan düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) x – 3y + 4z – 2 = 0 B) 3x – y + 4z + 15 = 0
C) x – 3y + 4z + 19 = 0 D) 3x + 2y – 4z – 17 = 0
E) 4x – 3y + z – 6 = 0
u
u
–––
kx y z2
2
3
24
=+
=
7) A 8) B 9) D 10) E 11) D 12) C
107
SINAMA ADIMI4
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1.
doğrularının belirttiği düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2x – y + 5z – 11 = 0
B) x + 3y + z – 8 = 0
C) 2x – 5y + 4z – 17 = 0
D) 4x – 2y + 5z + 25 = 0
E) 3x + 2y + 4z + 11 = 0
2. A(1, –1, 0) noktasının doğrusuna
uzaklığı kaç birimdir?
A) B) C)
D) E)
3. A(1, 0, 1) noktasının doğrusuna uzaklığı
kaç birimdir?
A) B) C)
D) E)
4. A(1, 1, –1) noktasının parametrik denklemi
doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
A) B) C)
D) E)
5. A(3, 4, 2) noktasının vektörel denklemi
= (4, 3, 1) + k.(2, 1, –2)
olan doğruya uzaklığı kaç birimdir?
A) 1 B) C) D) 2 E)
6. Denklemleri 2x – 3y + 2z + 4 = 0 ve 4x – 6y + mz + n = 0
olan paralel düzlemler arasındaki uzaklık birim
olduğuna göre, n nin pozitif değeri kaçtır?
A) 26 B) 30 C) 34 D) 42 E) 48
–
– –,
x y zve
x yz
21
1
3
23
12
2
13
+= =
+=
+=
––
–x y
z21
2
12=
+=
3 2 2 33
4 2
43 3
44 2
– –x y z12
2 21
= =
32 2
32
53 2
32 3
2 5
2 – 3
1 4
–1 12
x k
y k
z k
=
= +
= +
4
132 10
134 10
136 2
138 2
139 3
x
2 3 6
17
1) D 2) C 3) A 4) B 5) B 6) D
108
SINAMA ADIMI4
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. Denklemleri
6x – (m – 1)y + (n – 2)z + 4 = 0 ve
2x + 3y + 6z – 21 = 0 olan düzlemler birbirine paralelolduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
8. Denklemleri (m + 3)x + 2y – (k + 3)z – 5 = 0 ve
(m – 2)x + y + 2z – 7 = 0 düzlemleri birbirine paralel oldu-ğuna göre, m + k toplamı kaçtır?
A) –4 B) –6 C) –8 D) –10 E) –12
9. Denklemleri 3x + (m – 2)y + 8z + 5 = 0 ve
mx + 2y + 8z + 7 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna
göre, m kaçtır?
A) –12 B) –10 C) –8 D) –6 E) –4
10. Denklemleri 2x + (n – 3)y + 2z – 1 = 0 ve
x – y + (m – 2)z + 11 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna
göre, 2m – n farkı kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
11. Denklemleri 4x + ky + 6z – 5 = 0 ve
2x + 6y – (2m – 4)z – n = 0 olan düzlemler çakışık olduğuna
göre, m + n + k toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24
12. A(–1, 0, 2) noktasından geçen x – 3y + nz + 7 = 0 düzlemi
2x + my – kz + 12 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,
k + m + n toplamı kaçtır?
A) –7 B) –3 C) –1 D) 4 E) 8
7) C 8) C 9) A 10) B 11) C 12) B
109
SINAMA ADIMI5
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1. Denklemleri x – 2y + z = 5 ve x + y – 2z = 2
olan düzlemlerin arakesit doğrusu aşağıdakilerden han-gisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
2. Denklemleri 3x – 2y + z – 4 = 0 ve
x + 2y + z + 12 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 + 4k, y = 1 + 2k, z = 4k
B) x = –2, y = –3 + 4k, z = 4 + 8k
C) x = 1 – 3k, y = 1 + k, z = 2 – k
D) x = 1 – 2k, y = 1 + 4k, z = 3 – 3k
E) x = 5 + 3k, y = 2k, z = 1 + 4k
3. Analitik uzayda A(1, 2, 4) noktasının
2x + 6y + 3z – 12 = 0 düzlemine uzaklığı kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. A(0, –1, –2) noktasının 3x – 4y + 12z + k = 0
düzlemine uzaklığı 2 birim olduğuna göre,
k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 E) 48
5. x – 4y + 2z + 12 = 0 ve 2x – 8y + 4z – 4 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-metrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 4y + 2z + 5 = 0 B) 2x – 4y + 6z – 18 = 0
C) 4x + 2y + 2z – 10 = 0 D) 2x – 8y + 4z – 16 = 0
E) x – 4y + 2z – 3 = 0
6. x – 2y + 2z – 12 = 0 ve 2x – 4y + 4z + 6 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
––
– –x y z32
3
2
24
= =
–xy z
42
1
4=
+=
–x y z33
3
1
3=
+=
––
x yz
1 132
= + =
–
–x y z31
3
3
14+
= =+
1) C 2) B 3) B 4) D 5) A 6) E
110
SINAMA ADIMI5
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. x – 2y + z + k = 0 ve 2x – my + nz + 4 = 0
paralel düzlemleri arasındaki uzaklık birim olduğuna göre,
k + m + n toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) –8 B) –4 C) 2 D) 4 E) 8
8. Denklemleri x + y – 2z – 12 = 0 ve x – y + z + 7 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan ve A(1, 0, –3)noktasından geçen düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2x + y + 3z + 8 = 0 B) x + 3y + 2z – 4 = 0
C) 2x – y + 3z – 6 = 0 D) x + y + 2z – 5 = 0
E) 2x – z – 6 = 0
9. Denklemleri 3x – y + 2z – 14 = 0 ve x + y – 2 = 0 düzlemi-nin arekesitinden ve A(2, 1, –2) noktasından geçen düz-lem denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + 8y + 2z – 12 = 0 B) 8x + 6y + z – 20 = 0
C) x + 4y – 6z – 22 = 0 D) 2x + 4y – 3z – 7 = 0
E) 2x + y – 6z + 12 = 0
10. A(0, –2, –1) noktasının 6x – 2y + 3z – m = 0 düzlemine uzak-
lığı 3 birim olduğuna göre, m sayısının pozitif değeri aşağı-dakilerden hangisidir?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 12
11. 2x – 2 – 3z – 16 = 0 ve –2x + + 3z – 24 = 0
düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 1
12. 2x – y + 4z – 4 = 0 ve 4x + y + 2z + 12 = 0
düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-metrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 2y + 2z + 15 = 0 B) x + 2y + 2z – 8 = 0
C) 2x + 2y – z – 6 = 0 D) x + y – z – 4 = 0
E) x + 2y – z – 8 = 0
y3 y2 3
6
7) C 8) E 9) B 10) A 11) A 12) D
111
SINAMA ADIMI6
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
1. Denklemleri x – 2y – z + 4 = 0 ve 2x + 2y + z + 11 = 0
olan düzlemlerin arekesit doğrusundan geçen ve
, z = –4 doğrusuna paralel olan düzlemin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 7y – z + 7 = 0
B) 7x + 3y – 4z + 14 = 0
C) 5x – 6y + 11z – 12 = 0
D) 3x + 4y – 7z + 12 = 0
E) x + 2y + z + 6 = 0
2. Denklemleri x – 3y + 4z – 6 = 0 ve x + y – 2z – 2 = 0
olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve
x = 1 – k
y = 2k
z = 3 + k doğrusuna paralel olan ve düzlemin denklemiaşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3y – 5z = 0
B) 4x + 6y – 7z + 12 = 0
C) 4x + 7y – 8z – 4 = 0
D) 2x + 5y + 7z – 9 = 0
E) 6x + 5y – 8z – 14 = 0
3. x – 2y + 2z – 16 = 0 ve x + 2y + 2z – 11 = 0
düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90
4. x + y – z + 7 = 0 ve x – y + z – 4 = 0
düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 120 B) 90 C) 60 D) 45 E) 15
5. 2x + y – 2z + 6 = 0 ve 2x + 2y – z – 2 = 0
düzlemleri arasındaki açının tanjant değeri aşağıdakiler-den hangisidir?
A) B) C)
D) E)
6. x – y + z + 6 = 0 ve a.x + y – z – k = 0
düzlemleri arasındaki açının 60° olması için a değeri kaçolmalıdır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
––x y
42
2
1=
+
2 2 2 2
2 2
215
37
36
22
2 2
817
1) E 2) A 3) D 4) C 5) A 6) D
112
SINAMA ADIMI6
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
Sin
ama A
dım
ı
7. doğrusunun 2x – 3y + z + 12 = 0
düzleminin kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (11, 7, 21) B) (10, –7, 4)
C) (20, 11, –9) D) (3, 8, 12)
E) (–3, 11, 19)
8. Parametrik denklemi x = 2k + 1
y = 3k – 1
z = 2 – k
olan doğrunun x – y + 2z – 12 = 0 düzlemini kestiği noktanın
2x + 2y + z – 8 = 0 düzlemine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
9. Vektörel denklemi = (–1, –1, –2) + k.(2, 2, 1) olan doğru ve
x + 2y + z – 2 = 0 düzleminin kesim noktası aşağıdakiler-den hangisidir?
A) (1, 1, –1) B) (–1, 0, 0)
C) (3, –2, –1) D) (1, 2, 1)
E) (2, 2, 9)
10. doğrusu ile x + 2y + z – 7 = 0
düzlemi arasındaki açının cotanjant değeri aşağıdakiler-den hangisidir?
A) B) C)
D) E)
11. doğrusu ile 2x – y + z – 1 = 0
düzleminin arakesit noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–1, 0, 1) B) (1, 1, 0) C) (–1, 2, 2)
D) (1, 3, 1) E) (2, 2, –1)
12. doğrusu ile x – y – 2z + 4 = 0
düzlemi arasındaki dar açının ölçüsü aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75
x
––x y
z12
2
2=
+=
5 2 5 3 5
–
–x yz
21
1
21
+= = +
– –x
y z29
3 1+
= =
–––x
yz
21
21
= =
25
45
7) C 8) E 9) A 10) D 11) B 12) B
113
UZ
AY
DA
DO
ĞR
U V
E D
ÜZ
LE
M
ÜN
İTE
–2
DERS NOTLARI