UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

VERJETNOSTNI RAČUN

Diskretne porazdelitve

• Binomna (Bernoulli-jev dogodek)

• Poisson-ova (zakon redkih dogodkov, potek dogodkov)

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Binomna porazdelitev

• Bernoulli-jev dogodek – samo dva izhoda - verjetnost dogodka se ne menja in je p - verjetnost q=1-p - neodvisni dogodki (naključno vzorčenje) - število poskusov (velikost vzorca), n

(1-p)=q

VZOREC n - elementov

• število N (elementi množice) teži v neskončnost

• funkcija verjetnosti binomnske porazdelitve B (n, p):

,...n,xqpxn

P(x) xnx 10,)( =⋅⋅

= − za parametri: n, p

• Pričakovana vrednost (aritmetična sredina): pnxE ⋅== )(µ

• varianca: qpn ⋅⋅=2σ

• koeficient asimetrije:

• koeficient zaobljenosti:

( )qpn

q-pM⋅⋅

== 3 33

qpnqpM

⋅⋅⋅⋅−

+==613

44 4 σ

- porazdelitev je vedno asimetrična če ne velja p=q=0,5

• Vpliv parametrov n in p na obliko binomne porazdelitve:

76543210

Binomial; n=10; p=0,2

1086420

11109876543

543210

76543210

121086420

Distribution PlotBinomial; n=20; p=0,2

• ‘Galtonova’ deska – binomnski eksperiment – Kroglico spuščamo skozi žebljičke, ki so zloženi v pravilno trikotno rešetko – Pri padcu na žebelj, kroglica lahko zavije na levo ali desno (Bernouli-jev dogodekj) – deska je pravilna, kar pomeni, da so verjetnosti dogodka enako verjetni p=0.5 – n – število vrst postavljenih žebljičkov

– primer ‘Galtonove’ deske z n=4 vrste žebljičkov:

- neodvisna spremenljivka ima v našem primeru vrednosti: 0 - za 1 kombinacijo 1 - za 4 kombinacije 2 – za 6 kombinacij 3 – za 4 kombinacije 4 – za 1 kombinacijo

- splošno:

Velja: p + q = 1

BINOMSKA PORAZDELITEV

PRIČAKOVANA VREDNOST

STANDARDNI ODKLON

KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI

KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI

( )E X n p= ⋅

npqσ =

npq−

41 63 pq

npq−

α = +

Če je p = q = 0.5, binomska je porazdelitev simetrična

• Primer 1. Binomska porazdelitev: Pri vsakem odvzetem vzorcu vode je verjetnost 10%, da je kontaminiran z odpadno snovjo.

Predpostavimo da se vzorci jemljejo neodvisno glede na prisotnost odpadnih snovi. Izračunajte:

a) Verjetnost, da bo v vzetih 18 vzorcev točno 2 vzorca kontaminirana?

284,0)2(

9,01,02

⋅⋅

Verjetnost, da sta točno 2 kontaminirana vzorca

• Primer 1. Binomska porazdelitev: b) Verjetnost, da bodo od vzetih 18 vzorcih, vsaj 4 kontaminirani?

0,1 ; 18( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)( 4) 1 [ ( 3)] 0,098

p nP x P x P x P x P xP x P x

= =≤ = = + = + = + =≥ = − ≤ =

- grafični prikaz (binomna porazdelitev):

76543210

0,0982

BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (Izračun verjetnosti)

BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (KUMULATIVA)

• Primer 2. Uporaba binomske porazdelitve: Delo enega avtomatskega stroja kontrolira se z vzorčenjem po 15 izdelkov. V vsakem vzorcu se ugotavlja število neustreznih izdelkov. Pri kontroli smo vzeli 200 vzorcev, dobljeni rezultati vzorčenja so podani v tabeli. Potrebno je ugotoviti ustrezno porazdelitev po kateri se obnašajo podatki in verjetnost dogodka z največ 2 neustrezna izdelka v vzorcu.

x 0 1 2 3 4 5 6 fi 77 81 31 7 2 1 1

6543210

Histogram of xi

- govorimo o Binomni porazdelitvi (n končno število):

061,0;15;915,0 ====nxpnx

9876543210

941,0)2();2(

)1()0()2(

939.0061,015

)( )15(

=≤=+

=+==≤

⋅⋅

xPxPxPx

xn ∑P(x)x px q(n-x) P(x)

0 1 1 0,389031 0,389031 0,389031

1 15 0,061 0,414303 0,379087 0,768118

2 105 0,003721 0,441217 0,172386 0,940504

3 455 0,000227 0,46988 0,048528 0,989032

4 1365 1,38E-05 0,500405 0,009457 0,998489

5 3003 8,45E-07 0,532913 0,001352 0,999841

6 5005 5,15E-08 0,567532 0,000146 0,999987

7 6435 3,14E-09 0,6044 1,22E-05 0,999999

8 6435 1,92E-10 0,643664 7,94E-07 1

9 5005 1,17E-11 0,685478 4,01E-08 1

10 3003 7,13E-13 0,730009 1,56E-09 1

11 1365 4,35E-14 0,777432 4,62E-11 1

12 455 2,65E-15 0,827936 1E-12 1

13 105 1,62E-16 0,881721 1,5E-14 1

14 15 9,88E-18 0,939 1,39E-16 1

15 1 6,02E-19 1 6,02E-19 1

- tabela verjetnosti za Primer 2.

V računalniškem centru za obdelavo podatkov imajo 8 serverjev. Verjetnost delovanja vsakega serverja je 0,92. Obdelava podatkov je možna, v kolikor deluje minimalno 7 serverjev. Kolikšna je verjetnost:

a) da bodo podatki obdelani, b) da ne delujejo trije (3) serverji.

• Primer 3. Uporaba binomske porazdelitve:

Rešitev: a) Verjetnost, da bodo podatki obdelani – mora vsaj 7 serverjev delovati

Verjetnost, da je izdelek v skladišču nedelujoč je 0,01. Iz skladišča se prevzema 100 izdelkov. Kolikšna je verjetnost:

a) da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih, b) število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2.

Rešitev: a) Verjetnost, da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih

Rešitev: b) Verjetnost, da število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2

POISSONOVA PORAZDELITEV

Uporablja se za opis redkih dogodkov (dogodki, ki imajo velik vzorec in majhno verjetnost)

če je p ≤ 0.1, in n ≥ 50, takrat binomne verjetnosti lahko izračunamo aproksimativno s pomočjo izraza:

kjer je λ ≈ np , e = 2.71828... To porazdelitev imenujemo kot Poissonova porazdelitev. In je

mejni primer binomne porazdelitve.

( ) , 0 , 0,1, 2,...!

xep x xx

−λ ⋅λ= λ =

POISSONOVA PORAZDELITEV

PRIČAKOVANA VREDNOST

STANDARDNI ODKLON

KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI

KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI

Če se v konkretnem primeru ne more določiti verjetnost “a priori”, potem se eksperimentiranjem lahko določi aritmetična sredina empirijske frekvenčne porazdelitve podatkov.

σ = λ

α =λ

413α = +λ

xmXE ≅=== λµ)(

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,003. Izračunajte verjetnost, da bo med 1000 proizvedenimi izdelki:

a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč, c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2.

Slučajna spremenljivka x je porazdeljena po binomni porazdelitvi

X: B (1000, 0,003)

Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči,

Rešitev:

Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, Rešitev:

Ad b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč,

Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2

Rešitev: Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2

Na opazovanem cestnem odseku se v enem letu zgodijo povprečno tri prometne nesreče. Izračunajte verjetnost, da se bo v naslednjem letu zgodilo: a) pet prometnih nesreč, b) največ tri nesreče, c) le ena prometna nesreča.

Primer 6. Uporaba Poisson-ove porazdelitve: Primer: V primeru tanke bakrene žice, predpostavljamo da število razpok

sledi zakonu Poisson-ove porazdelitve s pričakovanjem 2.3 mikrorazpoke po milimetru. Potrebno je določiti:

a) verjetnost,da se zgodijo ravno 2 mikrorazpoke po (enem) 1 milimetru žice.

- spremenljivka x – št. mikrorazpok po 1 mm žice

32)( ,xmxE =≅=

!3,2 −⋅= ex

265,0!23,22 3,2

=⋅== −e)P(x

Distribution PlotPoisson; Mean=2,3

b) Verjetnost, da se pojavi vsaj ena mikrorazpoka v 2 mm žice.

- spremenljivka x – število mikrorazpok na 2mm žice

64322)( ,,xE =⋅=

!6,4 −⋅= ex

9899,0)0(11 ==−=≥ xP)P(x

0101,0!06,40 6,4

=⋅== −e)P(x

0,9899

Distribution PlotPoisson; Mean=4,6

Ob λ= konst, za redke odpovedi velja Poissonova porazdelitev, pa se uporablja izraz:

kjer je:

P(r)i – verjetnost, da je i “r” ali manj zahtev (ali odpovedi) za i-ti rezervni (nadomestni) del, N – število tehničnih sistemov/sklopov (za katere se določajo n/d), ni – število i-tih sestavov/sklopov, za katere računamo potrebno število nadomestnih delov, v vsakem tehničnem sistemu, λi – pogostnost odpovedi i-tega sestava/sklopa, t – čas delovanja tehničnega sistema, za katere računamo število potrebnih nadomestnih delov ri – količina (število) nadomestnih delov za i-ti sestav/klop, Pz – zahtevana verjetnost po oskrbi iz zaloge za posamezni nadomestni del.

Definiramo pojem POVPRAŠEVANJE: p (ali µ) = N * ni * λi * t

Uporaba Poisson-ove porazdelitve: OSKRBA (nabava/oskrba skladišča)

Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf

35 Povpraševanje

Odčitamo r – število potrebnih nadomestnih delov NOMOGRAM

P O V P R A Š E V A N J E

3.0 4 4 4 5 5 6 8 8 10

2.5 3 3 4 4 5 5 7 7 9

2.0 3 3 3 3 4 6 6 6 8

1.8 2 3 3 3 4 4 6 6 7

1.6 2 2 3 3 3 4 5 6 7

1.4 2 2 2 3 3 4 5 5 6

1.2 2 2 2 2 3 3 4 5 6

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0,99 0.995 0,999

Zahtevana zanesljivost

Uporaba tabele za izračun potrebnih nadomestnih delov za nabavo/zalogo

Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:

r = p + Uβ . (p)1/2

Primer 2:

V tehničnem sistemu je agregat (blok, modul), ki ima po podatkih proizvajalca MTBF = 30000 ur.

a) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi enega tehničnega sistema, ki deluje 24/7, da bi se zahteva za njegovo zamenjavo izpolnila s 99% verjetnostjo, v času enega leta?

b) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi za 55 tehničnih sistemov, ki delujejo s koeficientom uporabe Kupor = 0.6, da bi se zahteva za njihovo zamenjavo izpolnila s 95% verjetnostjo, v času treh let?

• Primer 7. Uporaba Poissonove porazdelitve:

Rešitev: Ad a)

2.korak

V nomogramu povlečemo vertikalno črto na izračunanem povpraševanju, do presečišča z zahtevano verjetnostjo Pz (to je do krivulje za 0,99).

3.korak

Odčitamo za kateri r je izpolnjen pogoj (odčitek je med 1 in 2; okoli 1,6)

Zaokrožimo r na prvo večji celo števiko (r = 2)

Odgovor pod a): Na zalogi je potrebno imeti 2 kosa agregata za dobo enega leta.

Rešitev: Ad b)

2.korak

Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:

r = p + Uβ . (p)1/2

Odgovor pod b): Na zalogi je potrebno imeti 38 kosov agregatov za dobo treh let.

Zvezne porazdelitve

• Normalna porazdelitev • Standardizirana normalna porazdelitev

Normalna porazdelitev • prvi jo je definiral Abraham de Moivre • uporabil jo je Gauss (Gauss-ova razpodelitev) • najpogosteje uporabljena porazdelitev– celo 33% procesov v naravi

sledi zakonu normalne razpodelitve • funkcija gostote verjetnosti f(x) – zveznost • nastanek normalne porazdelitve - binomni izrek (razvijanje binomov v

vrsto, A. de Moivre)

i 50pogoju ob

)(...)()()(

⋅⋅

∞→==

=→⋅⋅

=+⋅⋅+⋅+=+

exfP(x)

xPbaxn

babababa

binomna porazdelitev

funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve

• funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve f(x):

∞≤≤∞⋅⋅

- za 2

21)( σ

• Pričakovana vrednost: E(x)= μ

parametri: μ i σ2(x)

• varianca: σ2(x) • koeficient asimetrije: α3= 0 - simetrična razdelitev • koeficient zaobljenosti: α4= 3 (α’4= 0) – normalno zaobljena • lastnosti funkcije gostote verjetnosti f(x):

xxf vsakiza 0)( ≥

∫∞

∞−=1)( dxxf

∫ ≤≤=2

121 )()(

xxxxPdxxf

• poveza funkcije gostote verjetnosti f(x) in funkcije porazdelitve F(x) normalne porazdelitve:

xdxxfxF

• Verjetnosti pod normalno porazdelitvijo N{μ, σ2}:

• Vpliv parametarov μ in σ2 na obliko normalne porazdelitve:

Standardizirana normalna porazdelitev N{0,1} • standardizirana normalna porazdelitev s parametri μ=0 i n σ2=1 • Vse normalne porazdelitve lahko transformiramo (z-transformacija) na

standardizirano (enotno) normalno porazdelitev • Katerakoli vrednost x se lahko zapiše kot μ ± k·σ

σµ−

z• transformacija:

• funkcija gostote verjetnosti standardizirane normalne porazdelitve f(z):

1;0;21)( 2

==⋅=−

σµπ

• Z uporabo stand. normalne porazdelitve standardiziramo odstopanja preko parametra z:

1. |z|=1 → P(z)=0,6827 2. |z|=1,96 → P(z)=0,9500 3. |z|=2,0 → P(z)=0,9545 4. |z|=3 → P(z)=0,9973

• področje ±3σ ki se uporablja v konstrukcijah imenujemo toleranca • danes procesi v području ±3σ niso več dovolj dobri, pa se prehaja

na sistem ±6σ • področje ±6σ zajema verjetnost dogodkov s 99,9999998 %

• ostale verjetnosti normalne porazdelitve:

STANDARIZIRANI ZAPIS

Za standardizirano oblika zapisa velja:

Standardizirana oblika zapisa je oblika linearne transformacije zapisa in prikazuje odstopanje zapisa od povprečja izražena v standardnim odklonih.

⋅+=⇒−

i zxxxxz

==∑∑∑

i δδ

11)(1)( 22

222 ==

= ∑∑∑∑ δδδ

Število točk na izpitu, ki ga je opravljalo 250 studentov, ima normalnu razpodelitev s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Če je potrebno 8,6 točk, da se izpit opravi pozitivno, koliko odstotkov studentov ni opravilo izpit?

Če je izpit je opravljalo 250 studentov, koliko studentov ga ni opravilo s pozitivno oceno?

1. Izračunajte vrednost z 2. Določite površino levo od z in jo izrazite v % 3. Izračunatjte število študentov iz dobljenega %

Primer 8: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)

Določitev površine za z < 0,24

0,24 0 x

μ = 8 σ = 2,5

μ = 0 σ = 1

P(x < 8,6) P(z < 0,24)

Površina za z < 0,24)

0,5948

0,24 0,00

P(x < 8,6) ) = P(z < 0,24) = 0,5948

Z ,00 ....

0,0 0,5000 .... 0,5080

0,5398 ....

0,2 0,5793 .... 0,5948

0,3 0,6179 ....

0,1 0,5478

Tabela standardizirane normalne razpodelitve

59,48% študentov ima manj kot 8,6 točk 149 (250 x 0,5948) ima manj od 8,6 točk

Površina t.i. verjetnost Katera je verjetnost, da ima student točno 8,6 točk? P(x = 8,6) = P(z = 0,24) = 0

Spremenljivka x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Določite P(x > 8,6)

P(x > 8,6) = P(z > 0,24) = 1,0 – P(z ≤ 0,24) = 1,0 – 0,5948 = 0,4052

0,24 0

0,5948

1,000 1,0 – 0,5948 = 0,4052

40,52% študentov ima več kot 8,6 točk 101 (250 x 0,4052) študentov ima več kot 8,6 točk

P(8 < x < 8,6)

= P(0 < z < 0,24)

μxz =−

Izračunajte vrednost z :

Varijabla x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Določite P(8,0 < x < 8,6)

z 0,24 0

x 8,6 8

Določitev vrednosti P(0 < z < 0,24)

P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,24) = = P(z < 0,24) – P(z ≤ 0) = = 0,5948 – 0,500 = 0,0948

0,0948

0,5000

Z ,00 ....

0,0 0,5000 .... 0,5080

0,5398 ....

0,2 0,5793 .... 0,5948

0,3 0,6179 ....

0,1 0,5478

Tabela standardizirane normalne razpodelitve

Primer 9: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)

Predpostavimo, da ima f(x) normalno porazdelitev z 𝜇𝜇 =3 in 𝜎𝜎 = 0,5. Izračunajmo verjetnost, da se x nahaja v območju med 2 in 3,5. Določite verjetnosti za normalno porazdelitev.

Tabela 1: Površine izpod standardizirane normalne porazdelitve

Rešitev: Ad a)

Rešitev: Ad b)

Rešitev: Ad c)

Dolgoročno tehtanje hlebcev kruha je dalo podatke, da poteka proces peke hlebcev kruha po normalni porazdelitvi in da je povprečna teža hlebca kruha 150 dag in standardni odklon 0,9 dag. Ker so podatki zbrani na osnovi vsakodnevnega tehtanja hlebcev v času več let, se lahko smatra, da izračunane vrednosti veljajo za populacijo. A. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo predvidoma imel težo manjšo od

148 dag.

Primer 10: Normalna porazdelitev – izračun teže hlebca kruha (kontrola proizvoda)

B. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo imel predvidoma težo med 149 dag in 152 dag.

Rešitev B:

C. Želimo, da bi le 5% hlebcev kruha imelo težo manjšo od 149 dag. Kolikšen bi moral biti 𝜇𝜇, da bi bilo to izpolnjeno?

Rešitev C:

Izračun novega 𝝁𝝁, glede na zahtevani x in ploščino (manj kot 5%)

Rešitev C:

Iz priložene tabele vidimo, da je za 5% ploščine Z = 1,6449.

Rešitev C:

Primer 11. Uporaba normalne porazdelitve:

V podjetju “ALFA” je narejena tabela po zaposlenem glede na delovno dobo in plačo. Primerjajte zaposlene po dohodku in delovni dobi grafično !

Primer 12. Uporaba normalne porazdelitve: Primer: Predpostavimo da se vrednost toka (v mA) v vodniku obnaša po zakonu normalne porazdelitve s pričakovanjem μ=10 mA in varianco σ2=4 mA2. Kolikšna je verjetnost, da bo tok večji od 13 mA?

17,515,012,510,07,55,0

Normal; Mean=10; StDev=2

06681,0)5,1(1)5,1()13(

)1013()(

=≤−=>=>

=⇒−

zPzPxP

zxz σµ

3210-1-2-3

0,0668

Normal; Mean=0; StDev=1

Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,05. Izračunajte verjetnost, da bo med 500 slučajno izbranimi proizvedenimi proizvodi med 5 in 15 nedelujočih!

Rešitev:

Proizvodi oz. slučajna spremenljivka x se spreminja po binomni porazdelitvi 𝑋𝑋:𝐵𝐵(500; 0,05) s parametri:

𝑛𝑛 = 500, 𝑝𝑝 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 = 0,05, 𝑞𝑞 = 𝑃𝑃 �̅�𝐴 = 0,95

𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = � 500𝑘𝑘 ∙ 0,05𝑘𝑘

𝑘𝑘=5

∙ 𝑞𝑞500−𝑘𝑘

= 5005 ∙ 0,055 ∙ 0,95495 + 500

6 ∙ 0,056 ∙ 0,95494 + ⋯ . + 50015 ∙ 0,0515 ∙ 0,95485

= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Ker je 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 = 25 > 10 lahko binomno porazdelitev aproksimiramo z uporabo normalne porazdelitve s parametri

𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = 𝑃𝑃5 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

15 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞

= 𝑃𝑃5 − 25

500 ∙ 0,05 ∙ 0,95≤𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

15 − 25500 ∙ 0,05 ∙ 0,95

= 𝑃𝑃(−4,1

≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05)

𝑃𝑃 −4,1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05 = 𝑃𝑃 2,05 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 4,1 = 1 − 0,9798 = 0,0202

Primer 14.

Rešitev:

Primer 14.

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko...

Documents

Transcript of UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko...

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko …...Vsota vektorjev je vektor z zacetno tocko v skupni. začetnitočkiobeh vektorjev in s končnotočkov nasprotnem ogliščuparalelograma.

Matematika Matematika Matematika Geográfia Informatika ...

POMEN LOGISTIČNEGA CENTRA PHOENIX ZA MULTIMODALNI TRANSPORT … · Pomen logističnega centra Phoenix za multimodalni transport v vojaški logistiki Diplomsko delo prikazuje možnosti

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...STATISTIKA UML Cilj tega sklopa predavanja je predstaviti obvladovanje računskih spretnosti pri reševanju logističnih problemov in pri

New DIPLOMSKI RAD br. 190/PE/2018 UPORABNA I ESTETSKA … · 2019. 5. 12. · Studij Poslovna ekonomija DIPLOMSKI RAD br. 190/PE/2018 UPORABNA I ESTETSKA VRIJEDNOST DVORACA SJEVERNE

Matematika Blackjacka – kockarska matematika

Uporabna etika vključevanja in integriteta poslovanja ... · Etika v-.jučevanja v zadevah lokalne oblasti 4. ... Uporabna etika vključevanja in integriteta poslovanja normativna

Uporabna statistika

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI · Uporaba matematike v logistiki 7 Se strinjate z naslednjim odgovorom: Na paleto lahko naložim dva soda, saj je masa dveh sodov 942 kg, torej manj

Pemodelan Matematika (Matematika Biologi) · Pemodelan Matematika (Matematika Biologi) Nuning Nuraini KK Matematika Industri & Keuangan FMIPA - ITB

RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA V LOGISTIKI › docs › ...in_informatika_v_logistiki-Rak.pdf · 6 PODATKOVNE BAZE.....49 6.1 OPREDELITEV PODATKOVNE BAZE ... Poslovna informatika

Zbirka formul Uporabna matematika (BHS)

GEOGRAFIJA NA UNIVERZI NA PRIMORSKEM - fhs.upr.si · PDF filePokrajinska in humana ekologija Uporabna družbena geografija Naravni in družbeni viri v turizmu Uporabna geografija v

Računalništvo in informatika v logistiki

ksenodoxeiaki logistiki 2010

Harvey Norman katalog, čistimo skupaj, zdravo življenje, uporabna tehnologija,

Novi Logistiki Pristupi

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS · 2019. 4. 7. · Analiza je veja matematike, ki se ukvarja z obravnavo funkcij in njihovih lastnosti. Najprej bomo spoznali definicijo

RAZPIS ZA VPIS V MAGISTRSKE 2. STOPNJE UNIVERZE NA …...MATEMATIKA S FINANČNIM INŽENIRINGOM RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA UPORABNA PSIHOLOGIJA VARSTVO NARAVE * * * * * * * * *