Post on 28-Nov-2018
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
MONOGRAFIA
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
MA673
Maria Lúcia Defendi - 086387
Marcel Bento de Oliveira - 119826
Felipe Ferreira - 120919
Dario Silva Nascimento - 139391
Campinas Dezembro de 2016
Sumário
Conteúdo
Sumário.......................................................................................................................................2
Introdução..................................................................................................................................Err
o! Indicador não definido.
Uma Breve História do Teorema Fundamental da Álgebra........................................................3
Teorem Fundamental da
Álgebra...............................................................................................Erro! Indicador não
definido.
Continuidade........................................................................................................................8
Completude dos Números Reais...................................................................................9
Teorema: (Bolzano-Weierstrass)............................................................................10
Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.................11
Entendendo o Comportamento de um Polinômio Real no Infinito.............11
Entendendo o Comportamento de um Polinômio Complexo no Infinito....14
Demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra................................................. 15
Parte A...............................................................................................................................15
Parte B...............................................................................................................................16
Aplicação do teorema fundamental da Álgebra...........................................................18
Teorema do Resto.................................................................................................18
Teorema de D'Alembert........................................................................................19
Teorema (Decomposição)............................................................................................19
Relação entre coeficientes e raízes..............................................................................19
Equação do segundo grau....................................................................................19
Equação do terceiro grau.....................................................................................20
Equação de grau n................................................................................................20
Exemplo de aplicação...................................................................................................21
Conclusão.....................................................................................................................22
Referência Bibliográfica............................................................................................................22
I. Introdução
Fazemos aqui uma referência ao Teorema Fundamental da Álgebra, onde
articularemos sobre as origens do teorema, sua parte histórica, aplicações e
demonstração.
O teorema fundamental da Álgebra afirma o corpo dos números complexos é
algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo
algebricamente fechado, a equação 𝑝(𝑧) = 0 tem 𝑛 soluções , ou seja, que qualquer
polinômio p(z) com coeficientes complexos de uma variável e de grau 𝑛 ≥ 1 tem
alguma raiz complexa.
Historicamente, sabemos que em 1629 o matemático belga, Albert Girard, na sua
“L’invention Nouvelle en l’Algèbre”, foi o primeiro a prever e a afirmar que há sempre
soluções (possivelmente repetidas) para tais equações, mas não demonstrou tal fato.
O Teorema Fundamental da Álgebra teve várias demonstrações, mas apenas em 1814
foi publicada a primeira prova totalmente correta. O suíço J. R. Argand publicou tal
demonstração para polinômios com coeficientes complexos, porém utilizando um
resultado- sobre a existência do mínimo de uma função contínua .
A prova de Argand de 1814, não reconhecida a princípio devido a tal lacuna, é muito
provavelmente a mais simples das demonstrações do Teorema Fundamental da
Álgebra.
Essa primeira demonstração sofreu algumas alterações, a última versão, mais
modernizada da primeira prova de Gauss para o Teorema Fundamental da Álgebra, foi
publicada em 2009.
II. Uma Breve História do Teorema Fundamental da Álgebra
Séculos antes da criação dos números complexos, François Vieta (1540−1603) exibiu
várias equações (polinomiais com coeficientes reais) de grau n com n raízes.
Peter Roth (falecido em 1617) já afirmara, em 1608, que equações (polinomiais com
coeficientes reais) de grau n têm no máximo n raízes. Porém, Roth já utilizara que tais
equações efetivamente admitem raízes.
O matemático belga, nascido na França, Albert Girard (1595-1632), na sua “L’invention
Nouvelle en l’Algèbre”, em 1629, foi o primeiro a prever e a afirmar que há sempre
soluções (possivelmente repetidas) para tais equações, mas não demonstrou tal fato.
René Descartes (1596-1650), na terceira parte de “La Géométrie”, em 1637, descreve
tudo o que se conhecia à época sobre equações polinomiais, observa que um
polinômio ( ) (com coeficientes e variável real ) que se anula em um número real
é divisível pelo polinômio de grau um,
( )
E apresenta a famosa “regra dos sinais” para calcular o número máximo de raízes reais
positivas e negativas.
O alemão G. W. Leibniz (1646-1716), procurando integrar uma função dada pela
divisão de dois polinômios com coeficientes reais, na “Acta Eruditorum” de 1702
considera a questão de saber se é sempre possível fatorar um polinômio real em
fatores lineares reais (polinômios reais de grau 1) ou fatores quadráticos reais
(polinômios reais de grau 2). Porém, Leibnitz vem a desistir de provar a existência de
tal fatoração, face ao “contra exemplo” que ele encontra. Leibnitz achara que a
fatoração para o polinõmio , com um número real,
( )( ) ( √ )( √ )( √ )( √ )
Era tal que o produto de dois fatores quaisquer no lado direito da equação acima
nunca é um polinômio quadrático real. Certamente, Leibnitz não percebera que √ e
também √ podem ser postos na forma padrão , escrevendo:
√ √
√
√
√
√
caso contrário ele teria visto que, na fatoração de x4+r4 , multiplicando o primeiro e o
terceiro fatores e multiplicando o segundo e o quarto fatores encontramos dois
polinômios quadráticos reais tais que
( √ )( √ )
O suíço L. Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que um polinômio com coeficientes
reais pode ser fatorado como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos
mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Porém, Euler demonstrou tal
teorema para polinômios reais de grau menor ou igual a seis. Euler também enunciou
que um polinômio com coeficientes reais que tem “raízes imaginárias” tem então uma
raiz da forma
√
Com a e b números reais. Ainda, Euler já utilizava extensivamente números complexos
e a notação:
√
Em 1746 o enciclopedista francês J. d’Alembert (1717-1783), atuante na revolução
francesa de 1789, tal como Leibnitz pesquisando um método para integrar uma função
dada pela divisão de dois polinômios com coeficientes reais (o hoje denominado
Método das Frações Parciais), encontra uma demonstração difícil do Teorema
Fundamental da Álgebra e que contém um erro que só em 1851 seria corrigido, por V.
Puiseux (1820-1883). Devido a tal demonstração, na literatura francesa o Teorema
Fundamental da Álgebra é chamado Teorema de d’Alembert. Atualmente procura-se
resgatar a validade da demonstração de d’Alembert, obviamente inserindo a
necessária correção.
J. L. Lagrange (1736-1813) em 1772 levantou objeções à demonstração de Euler e
obteve sucesso em preencher várias lacunas na prova de Euler. Mas, sua prova
também era incompleta. É importante salientar que em 1777 Lagrange já observara
em uma carta que os “números imaginários” já haviam se tornado universalmente
aceitos como parte da matemática.
Em 1795, P. S. Laplace (1749-1827) apresentou uma demonstração muito elegante do
Teorema Fundamental da Álgebra e bem diferente daquela de Lagrange-Euler. Sua
sofisticada demonstração também era incompleta, porém, é hoje reabilitada.
Em 1798 o inglês James Wood, publicou em The Philosophical Transactions of the
Royal Society o artigo “On the roots of equations”, apresentando uma prova do
Teorema Fundamental da Álgebra para polinômios com coeficientes reais. Sua prova
também continha falhas. Recentemente, em 2000, sua prova foi reabilitada por Frank
Smithies.
Em 1799 o alemão K. F. Gauss (1777-1855) em sua tese de doutorado apresenta uma
demonstração para o Teorema Fundamental da Álgebra que veio a ser considerada a
primeira prova correta [ressalte-se que nesta época o teorema fundamental da álgebra
já era amplamente utilizado nos bancos escolares]. Porém esta demonstração de
Gauss também continha “problemas” que só seriam superados em 1920 por A.
Ostrowski (1893-1991). Tal trabalho foi comentado por S. Smale (1930- ) em 1981. Em
1816 Gauss apresenta sua segunda prova, a qual é bastante algébrica, do Teorema
Fundamental da Álgebra. Tal prova é correta, porém, utiliza o resultado que agora
enunciamos e que só seria provado posteriormente.
● Teorema do Anulamento: Uma função contínua num intervalo que é > 0 num ponto
e < 0 em outro ponto, se anula em um terceiro ponto.
Ainda em 1816, Gauss mostra sua terceira prova do Teorema Fundamental da
Álgebra, baseada na teoria da integração. Em 1849, ano do jubileu de sua tese de
doutorado, Gauss apresenta sua quarta prova do Teorema Fundamental da Álgebra,
desta feita o teorema é enunciado para polinômios com variável e coeficientes
complexos.
Em 1806 o suíço J. R. Argand (1768-1822), um dos idealizadores da identificação do
plano cartesiano R² com o plano complexo C, publica um esboço de uma
demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra em um ensaio sobre a
representação dos números complexos.
Alguns anos depois, em 1814, Argand publica a primeira prova totalmente correta do
Teorema Fundamental da Álgebra enunciado para polinômios com coeficientes
complexos, porém utilizando um resultado - sobre a existência do mínimo de uma
função contínua - que só em 1861 seria estabelecido por K. Weierstrass (o Teorema do
Máximo e do Mínimo, publicado por G. Cantor (1845-1918) em 1870).
A prova de Argand de 1814, não reconhecida a princípio devido a tal lacuna, é muito
provavelmente a mais simples das demonstrações do Teorema Fundamental da
Álgebra. Entretanto tal prova não é elementar para o padrão moderno da matemática.
Esta prova de Argand foi adotada em vários livros textos no século XIX mas foi aos
poucos relegada a um segundo plano no século XX quando o Teorema Fundamental da
Álgebra passou a ser apresentado como consequência do Teorema de Liouville -
provado por J. Liouville (1809-1882) - em cursos de “Integração em uma Variável
Complexa”, em uma demonstração por contradição.
Em 1946 o inglês J. E. Littlewood (1885-1977) publica uma prova do Teorema
Fundamental da Álgebra (vide referˆencias) que elementariza a dada por Argand.
Porém, a prova de Littlewood é sofisticada (e “somewhat artificial in appearance”, em
suas palavras). Sua prova é feita por contradição e por indução.
Em 2009, o holandês Theo de Jong publicou uma versão modernizada da primeira
prova de Gauss para o Teorema Fundamental da Álgebra (1799). Porém, a
apresentação não é elementar pois usa o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange e
assim, resultados superiores do Cálculo.
III. O teorema fundamental da álgebra
Para a demonstração deste teorema, é necessário ter alguns conhecimentos prévios,
tais como:
1. Conceitos de continuidade de função
2. Completude dos números reais
3. Teorema de Bolzano – Weierstrass
4. Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.
Todos esses conceitos preliminares serão utilizados na demonstração do teorema
fundamental da álgebra
1. Continuidade
Função contínua em um ponto: Continuidade é uma característica global das funções,
mas sua definição é dada para um ponto pertencente ao domínio.
Definição 1: seja D uma função uma função definida no domínio e
, um ponto tal que todo intervalo aberto contendo intersecta * +. Dizemos
que é contínua em se
( ) ( )
Definição 2: A função é contínua se for contínua em todos os elementos de .
Exemplo : Dada a função polinomial 𝑝( ) , mostre que
1) 𝑝( ) é contínua para ;
2) 𝑝( ) é contínua.
Resolução
1) Sabendo que 𝑝( ) ; e que, usando as regras de limite
conhecidas, veja [1]
( )
Como 𝑝( ) ( ), aplicando a definição de continuidade, podemos afirmar
que 𝑝( ) é contínua para .
2) Como 𝑝( ) não possui nenhuma restrição em , então para qualquer , temos
𝑝( ) 𝑝( ), logo, 𝑝( ) é contínua.
Este não é um caso específico, podemos generalizar para qualquer função polinomial,
ou seja:
Seja 𝑝 uma função polinomial. Como 𝑝 é contínua em todos os pontos ;
podemos afirmar que 𝑝 é uma função contínua.
2. Completude dos Números Reais
Dizer que o conjunto dos números reais é completo significa que os números reais não
possuem “buracos”. Se o conjunto for quebrado, isto é, particionado em duas partes
de forma que todo elemento de uma parte é maior que todo elementos da outra
parte, então existe um elemento que fica exatamente no meio, e deve pertencer a
uma das duas partes.
Conforme [2], uma forma de representar os números reais é por meio de expressões
decimais, ao definirmos uma expressão decimal, temos:
em que é um número inteiro e ; são dígitos, isto é, números inteiros
tais que . Para cada 𝑛 ; tem-se um dígito chamado o 𝑛
dígito da expressão decimal . O número natural chama-se a
𝑝 𝑛 de
A expressão decimal corresponde a uma forma de representar a soma
Trata-se de uma soma com infinitas parcelas. Fazendo o número real ter por valores
aproximados os números racionais
𝑛
Ao substituir por , o erro não é superior a
.
Logo, o dígito é o maior número natural contido em ; é o maior dígito tal que,
,
é o maior dígito tal que,
,
Desta maneira, forma-se uma sequência não decrescente de números racionais
São valores cada vez mais próximos do número real . O número real é o limite
dessa sequência de números racionais. Isso é uma forma de expressar a completude
dos números reais, cujo axioma pode ser escrito da seguinte forma:
Axioma 1 (Completude). Toda expressão decimal representa um número real e todo
número real pode ser representado por uma expressão decimal.
Existência do Mínimo Global
O teorema que veremos abaixo é de existência, garantindo que toda função contínua
, um disco compacto em , assume mínimo em .
3. Teorema: (Bolzano-Weierstrass)
O Teorema de Bolzano – Weierstrass diz que toda sequência limitada possui
subsequência convergente.
Definição: Dado um ponto ( ) , o conjunto dos pontos do plano, cuja
distância ao ponto é menor ou igual a é chamado de disco compacto de centro
( ) e raio ; ou seja:
, - *( ) ( ) ( ) +
𝑝 𝑛
4. Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.
4.1. Entendendo o Comportamento de um Polinômio Real no Infinito
Polinômio de Primeiro Grau
Dado um polinômio de grau 1, ( ) com e e , o gráfico de P é
uma reta crescente para e decrescente para . Analisamos os dois casos
separados.
Para , observando o gráfico (figura 02), à medida que cresce , ( )
cresce ( ( ) ). Quando decresce , ( ) decresce ( ( ) ).
Resumindo:
( ) e ( )
Para , observando o gráfico (figura 03), à medida que cresce , ( )
decresce ( ( ) ). Quando decresce , ( ) cresce ( ( ) ).
Resumindo:
( ) e ( )
( ) 𝑝
( ) 𝑝
Polinômio de Segundo Grau
Dado ( ) , com , e e , o gráfico de ( ) é uma
parábola com concavidade para cima se ou com concavidade para baixo se
. Analisaremos os dois casos.
Para , observamos pelo gráfico da figura 04 que se que , então,
( ( ) ). Quando então, ( ( ) ); ou seja:
( ) e ( )
( ) 𝑝
Para , observamos pelo gráfico da figura 05 que se que , então,
( ( ) ). Quando então, ( ( ) ); ou seja:
( ) e ( )
( ) 𝑝
Polinômio de Grau 𝑛
Agora partindo para o caso geral, seja
( )
Com
e
Colocando em evidência, temos:
( ) (
)
Vamos analisar
quando , nesse ponto um exemplo pode clarear as ideias.
Façamos , temos
em que a variável x vai assumindo valores cada vez
maiores, logo o quociente vai assumindo valores mais próximos do zero.
Por outro lado, se , o quociente será negativo e cada vez mais próximo do
zero.
Então, podemos afirmar que se , então ( ) e se , então
( ) ; de modo que:
Logo, basta analisar ( ) . Verificamos claramente que para ou
, dependemos do sinal de e se 𝑛 é par ou ímpar. Assim, dado um polinômio
real, temos quatro possibilidades:
( )
( )
( )
( )
Podemos resumir as possibilidades acima fazendo:
( )
Consequentemente, vemos que a função ( ) satisfaz:
{ 𝑛 𝑛 𝑝 𝑛 𝑛
De onde concluímos que existe um ponto tal que:
( ) ( ) 𝑝
4.2. Entendendo o Comportamento de um Polinômio Complexo no Infinito.
Seja um polinômio complexo de grau 𝑛.
(𝑧) 𝑧 𝑧
𝑧 𝑛 * +
Aplicando o módulo aos dois lados da igualdade
(𝑧) 𝑧 𝑧
𝑧
e depois, usando a desigualdade triangular estendida para números complexos:
𝑧 𝑧
𝑧 𝑧
𝑧 𝑧
Ou seja,
(𝑧) 𝑧 𝑧
𝑧
Utilizando a propriedade do módulo de um número complexo:
(𝑧) 𝑧 𝑧
𝑧
Como e 𝑧 são reais e positivos e, ainda é estritamente
positivo, desta forma, pelo caso demonstrado para polinômios reais, concluímos que:
( 𝑧 𝑧
𝑧 )
Isto é:
(𝑧)
IV. Demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra
Assumindo a continuidade dos polinômios complexos e a completude de aplicada a
função continua um disco compacto em , assume mínimo em .
A prova será dividida em duas partes:
A) Existe um ponto 𝑧 no plano complexo tal que (𝑧) (𝑧 )
B) Se 𝑧 é o ponto de mínimo global determinado na primeira parte, então (𝑧 )
Seja (𝑧) 𝑧 𝑧
𝑧 , 𝑛 𝑛
Parte A
(1), temos que (𝑧) tende a se 𝑧 tende a (2)
Assim pela definição de , existe um raio tal que (𝑧)
( ) 𝑧 e, como (𝑧) é uma função conitnua no disco compacto centrado
na origem , - *𝑧 𝑧 +, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, segue
que a função (𝑧) restrita a tal disco , - assumo um valor mínimo em um ponto
𝑧 , - (𝑧) (𝑧 ) , para todo 𝑧 , - Porém, também temos
( ) (𝑧 ) já que , - onde segue
(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 , -
(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 𝑧
( ) (𝑧 )
Portanto (𝑧) (𝑧 ) 𝑧 , ou seja, 𝑧 é ponto de mínimo global da função
(𝑧) .
Como (𝑧 𝑧 ) (𝑧 ) 𝑧 ...+ 𝑧 𝑧
, com
Supondo, sem perde de generalidade, que o valor (𝑧 ) é assumido em 𝑧 ,
podemos assumir que 𝑧 e assim substituindo em (𝑧) (𝑧 ) , temos:
(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 (3)
Sendo já vimos que existe o menor * 𝑛+ tal que o coeficiente do
monômio 𝑧 , é diferente de zero. Então evidenciando 𝑧 obtemos a simplificação
para o polinômio (𝑧):
(𝑧) ( ) 𝑧 (𝑧)
𝑛 𝑝 𝑛 ( )
Parte B
Considere * +, o circulo unitário centrado na origem para todo
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (5)
Além disso, considerando (4), obtemos ( ) ( ) ( ). Substituindo
em (5), temos:
( ) ( ) ( )
Então
( ) , ( ) ( )- ( ) ( )
, ( ) ( )- ( )
, ( ) ( ) - ( ) 𝑝
Dividindo por 𝑛 , obtemos:
, ( ) ( ) - ( )
Como a esquerda da desigualdade é continua em , ) 𝑛
obtemos:
, ( ) ( ) - ( )
Logo
, ( ) ( ) -
Seja ( ) 𝑛( ) aplicando a formula de De Moivre, temos:
( ) 𝑛( ) e conforme definimos, , sabendo que ,
para todo , escolhemos alguns representantes de . Para fixar as idéias,
digamos , cujos afixos são imagens na circunferência definida acima,
escrevendo ( ) ( ) substituindo em (6), temos:
[( )( ( ) 𝑛( ))]
[ ( ) 𝑛( ) ( 𝑛( ) ( )) ]
Logo
( ( ) 𝑛( ) (7)
Analisamos cada caso:
Para
( ) 𝑛( ) 𝑛 ( )
( ( ) 𝑛( )) ( )
Para
( ) 𝑛( ) 𝑛 ( )
( ( ) 𝑛( )) ( )
Logo , como 𝑛
Para ( ) 𝑛( )
𝑛 ( )
( .
/ 𝑛 .
/) 𝑛 .
/
Logo,
Para
( ) 𝑛( )
𝑛 ( )
( (
) 𝑛 (
)) 𝑛 (
)
Logo, 𝑛 ( ) ( )
lembrando que ( ) segue que ( ) 𝑝 𝑛 ( ) .
Concluindo assim a prova do Teorema Fundamental da Álgebra.
V. Aplicação do teorema fundamental da Álgebra
Com o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) podemos estabelecer, de modo
completo, a relação entre as raízes de um polinômio complexo e a sua forma fatorada,
este último requer outros dois Teoremas para sua demonstração, que estão
enunciados:
1. Teorema do Resto
2. Teorema de D'Alembert
1. Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio ( ) por é igual ao valor numérico de em
:
Demonstração:
Aplicando a definição de divisão, temos:
( ) ( ) ( )
onde e são, respectivamente, quociente e resto da divisão. Como tem grau
1, o resto ou é nulo ou tem grau zero; portanto, é um polinômio constante.
Calculando o valor do polinômio ( ) para , temos:
( ) ( ) ( )
2. Teorema de D'Alembert
Se o número complexo é raiz de uma função polinomial 𝑝; então 𝑝( ) é divisível por
.
Demonstração:
Seja 𝑝( )
, pelo teorema anterior 𝑝( ) ,
temos:
𝑝( ) 𝑝( ) 𝑝( )
(
) (
)
( ) (
) ( )
Como é divisível por , basta verificar que:
( )( )
Logo, 𝑝( ) é divisível por
VI. Teorema (Decomposição).
Todo polinômio complexo 𝑝( ) de grau 𝑛(𝑛 )pode ser fatorado em n fatores do
primeiro grau na forma 𝑝( ) ( )( ) ( ) onde é um número
complexo e são raízes complexas de 𝑝( ): Além disso, esta
fatoração é única, a menos da ordem dos fatores
VII. Relação entre coeficientes e raízes.
Equação do segundo grau:
Consideremos a equação
Cujas raízes são e , garantidas pelo TFA.
Pelo teorema anterior, essa equação pode ser escrita da seguinte forma:
( )( )
Temos a identidade
( )( ) 𝑝
Isto é;
( ) 𝑝
Portanto,
Equação do terceiro grau:
Consideremos a equação , cujas raízes são , e
Garantidas pelo TFA. Pelo teorema, essa equação pode ser escrita sob a forma:
( )( )( )
Temos a identidade
( )( )( ) 𝑝
Isto é;
( ) ( )
Portanto
Equação de grau n:
Dada a equação
Cujas raízes são garantidas pelo TFA.
Pelo teorema, essa equação pode ser escrita sob a forma:
( )( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) 𝑝
Portanto
{
𝑝 𝑧 ( )
( )
Estas relações entre coeficientes e raízes, são conhecidas como Relações de Girard.
VIII. Exemplo de aplicação
As raízes da equação polinomial estão em PA. Calcule
Essas raízes.
Resolução:
Pelo TFA, a equação possui três raízes, e usando as relações de Girard:
Como as raízes estão em PA, usando a propriedade do termo médio,
temos:
Então,
Daí:
Assim, substituindo na equação de soma e produto de raízes:
{
Resolvendo o sistema segue que: , e temos as raízes:
Portanto * +
IX. Conclusão
O presente trabalho conseguiu mostrar a importância do Teorema Fundamental da Álgebra,
através de sua história e aplicação
Mostramos, também, a relação deste teorema com outros, como o Teorema de Bolzano-
Weiertrass, Teorema do Resto, Teorema de D´Alembert e ainda a relação gerada entre os
coeficientes e as raízes das equações, ressaltando a importância do Teorema Fundamental da
Álgebra.
X. Referência Bibliográfica