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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
O MÉTODO DOS OPERADORES DISCRETOS APLICADO À
ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL
JONAS PINHEIRO BORGES FILHO
ORIENTADOR: ATHAIL RANGEL PULINO FILHO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS PUBLICAÇÃO: E.DM 015A/01
BRASÍLIA/DF: AGOSTO DE 2001
ii
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA BORGES FILHO, J. P. (2001). O Método dos Operadores Discretos Aplicado à Elasticidade
Bidimensional. Dissertação de Mestrado, Publicação E.DM 015A/01, Departamento de
Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 113 p.
CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Jonas Pinheiro Borges Filho.
TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: O Método dos Operadores Discretos
Aplicado à Elasticidade Bidimensional.
GRAU/ANO: Mestre/2001
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de
mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de
mestrado pode ser reproduzida sem sua autorização por escrito do autor.
__________________________________ Jonas Pinheiro Borges Filho SHIN QI 11 Conjunto 05 Casa 14 71515-750 - Brasília-DF e-mail: jonasborges@hotmail.com
BORGES FILHO, JONAS PINHEIRO O Método dos Operadores Discretos Aplicado à Elasticidade Bidimensional xv, 113 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas, 2001) Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1. Elasticidade 2. Operadores Discretos 3. Métodos Computacionais 4. Estado Plano I. ENC/FT/UnB II – Título (série)
iv
Aos meus pais, Jonas e Maria Lúcia,
e minha família.
v
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador Athail Rangel Pulino Filho pela colaboração, dedicação e incentivo.
Ao Prof. Eduardo Machado Gonçalves pelas idéias, sugestões, críticas e atenção.
A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da
Universidade de Brasília (UnB).
Aos colegas e amigos do mestrado da UnB, especialmente, os do centro de moradia.
Ao meu irmão André e às minhas irmãs Analúcia, Janiana e Luciana, que sempre foram muito
importantes em minha vida.
Ao CNPq, pelo apoio financeiro.
A Deus, o nosso criador.
vi
RESUMO
Esta dissertação de mestrado apresenta o Método dos Operadores Discretos (MOD) aplicado à
solução de problemas de elasticidade bidimensional. O trabalho busca fornecer ao engenheiro,
uma poderosa ferramenta para aproximação numérica de problemas físicos. O MOD é
introduzido através de um exemplo simples de potencial, um problema de valor de contorno
em regime permanente regido pela equação de Laplace. O trabalho apresenta uma breve
revisão sobre a teoria da elasticidade, que parte dos conceitos elementares de tensão e
deformação e chega à dedução das equações de Navier (estado plano de deformações) e
equações de equilíbrio no contorno. Então, trata-se da aplicação do MOD a problemas de
elasticidade. Para cada caso, contorno ou domínio, mostra-se a obtenção das formas discretas
dos operadores diferenciais e a discretização das equações que governam o problema. A
questão do erro de aproximação numérica é tratada com base numa estimativa para o erro de
truncamento da série de Taylor e na fórmula do resto de Lagrange. Assim, propõe-se uma
estimativa para o erro de truncamento das equações governantes, que possibilita localizar
regiões críticas do domínio, isto é, regiões mais suscetíveis a erros de aproximação numérica.
Por fim, a validação do método é feita através de quatro exemplos clássicos que abordam
diferentes aspectos da formulação de operadores discretos.
vii
ABSTRACT This work presents the Discrete Operators Method (DOM) applied to solve two-dimensional
elasticity problems. Its major goal is to offer for the engineer a powerful tool for numerical
approximation of physical problems. The DOM is introduced through a simple potential
example, a steady-state field problem governed by Laplace equation. It presents a brief review
about the theory of elasticity, in which the Navier equations (plane strain) and boundary
equilibrium equations are deduced. Then, the DOM is applied to solve two-dimensional
elasticity problems. For each case, inner domain or boundary points, it is shown how to obtain
the discrete form of the differential operators from the governing equations. Based on an
estimate for the remainder term of the Taylor series and on the Lagrange’s form of the
remainder term, the issue of numerical approximation error is considered. The truncation error
on the discrete governing equations is used to locate critical regions in the domain, in other
words, regions where numerical approximation errors are most likely to be found. Finally, the
validation of the method is made through four classical examples, and different aspects of the
DOM are explored on each of them.
viii
ÍNDICE Capítulo Página
1 – INTRODUÇÃO 1
1.1 – MOTIVAÇÃO DO ESTUDO 1
1.2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2
1.3 – OBJETIVOS DESTE TRABALHO 6
1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 6
2 – O MOD APLICADO A UM PROBLEMA DE POTENCIAL 9
2.1 – INTRODUÇÃO 9
2.2 – PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA 9
2.3 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CAMPO NO DOMÍNIO 10
2.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem 10
2.3.2 – Moléculas para o interior do domínio (6 pontos) 12
2.4 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO CAMPO NO CONTORNO 13
2.4.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem 13
2.4.2 – Moléculas para o contorno (5 pontos) 14
2.5 – CONTRIBUIÇÕES PARA O SISTEMA GLOBAL 15
2.5.1 – Contribuição da molécula no interior do Domínio 16
2.5.2 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Dirichlet 17
2.5.3 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Neuman 17
2.6 – PROGRAMA DE POTENCIAL 18
2.7 – SOLUÇÃO DO PROBLEMA 19
3 – TEORIA DA ELASTICIDADE 21
3.1 – INTRODUÇÃO 21
3.2 – MATERIAIS 21
3.3 – FORÇAS 22
3.4 – COMPONENTES DA TENSÃO 22
3.5 – COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO 24
3.6 – LEI DE HOOKE 26
3.7 – ESTADO PLANO DE TENSÕES 27
3.8 – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES 28
3.9 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO EQUILÍBRIO (CASO BIDIMENSIONAL) 31
3.10 – CONDIÇÕES DE CONTORNO (CASO BIDIMENSIONAL) 34
ix
4 – APLICAÇÃO DO MÉTODO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL 37
4.1 – INTRODUÇÃO 37
4.2 – MOLÉCULAS PARA O INTERIOR DO DOMÍNIO 37
4.2.1 – Discretização dos operadores diferenciais 38
4.2.2 – Discretização das equações de campo 41
4.3 - MOLÉCULAS PARA O CONTORNO 43
4.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais 44
4.3.2 – Discretização das equações de contorno 46
5 – DISCUSSÃO SOBRE ERROS 49
5.1 – INTRODUÇÃO 49
5.2 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE DOMÍNIO DE 6 PONTOS 51
5.3 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (POTENCIAL) 53
5.4 - ERRO PARA A MOLÉCULA PONDERADA DE DOMÍNIO DE m PONTOS 54
5.5 - ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (ELASTICIDADE) 57
6 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL 59
6.1 – INTRODUÇÃO 59
6.2 – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D 59
6.3 – EXEMPLO 1: BARRAGEM SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA 61
6.3.1 – Proposição do problema 61
6.3.2 – Resultados obtidos 62
6.3.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 1 63 6.3.4 – Melhoramento das aproximações através de considerações quanto ao erro de truncamento cometido 64
6.4 – EXEMPLO 2: TUBO DE PAREDE ESPESSA COM PRESSÃO INTERNA 66
6.4.1 – Proposição do problema 66
6.4.2 – Resultados obtidos 68
6.4.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 2 70
6.4.4 – Avaliação da convergência do MOD 70
6.5 – EXEMPLO 3: CHAPA QUADRADA COM FURO NO CENTRO 74
6.5.1 – Proposição do problema 74
6.5.2 – Resultados obtidos 75
6.5.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 3 77
6.6 – EXEMPLO 3: CHAPA EM “L” 78
6.6.1 – Proposição do problema 78
6.6.2 – Resultados obtidos 78
6.6.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 4 81
6.6.4 – Localização de regiões críticas no domínio 81
x
7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES 83
7.1 – INTRODUÇÃO 83
7.2 – CONCLUSÕES 84
7.3 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 86
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 87
APÊNDICE A – SÉRIE DE TAYLOR 89
A.1 – INTRODUÇÃO 89
A.2 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 89
A.3 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 93
APÊNDICE B – COMPLEMENTOS DO PROBLEMA DE POTENCIAL 95
B.1 – ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS 95
B.2 – ARQUIVO DE SAÍDA 96
B.3 – O PROGRAMA POTENCIAL.CPP 96
APÊNDICE C – COMPLEMETOS DOS EXEMPLOS DE ELASTICIDADE 97
C.1 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 1 97
C.2 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 2 102
C.3 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 3 105
C.4 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 4 106
APÊNCIDE D – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D.CPP 109
D.1 – ESTRUTURA DO PROGRAMA 109
D.2 – ESTRUTURA DO ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS 112
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela Página
2.1: Dados do arquivo de saída do programa para o problema de potencial 20
6.1: Variação do erro DPM para as tensões com diferentes discretizações 72
C1: Comparação das tensões na seção com y = -1 m, sem “melhoramento” 97
C2: Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, sem “melhoramento” 98
C3: Comparação das tensões na seção com y = 0 m, sem “melhoramento” 98
C4: Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, sem “melhoramento” 99
C5: Comparação das tensões na seção com y = 1 m, sem “melhoramento” 99
C6: Comparação das tensões na seção com y = -1 m, com e sem “melhoramento” 100
C7: Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, com e sem “melhoramento” 100
C8: Comparação das tensões na seção com y = 0, com e sem “melhoramento” 101
C9: Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, com e sem “melhoramento” 101
C10: Comparação das tensões na seção com y = 1 m, com e sem “melhoramento” 102
C11: Comparação das tensões na seção com r = 25 mm 103
C12: Comparação das tensões na seção com r = 22 mm 103
C13: Comparação das tensões na seção com r = 19 mm 103
C14: Comparação das tensões na seção com r = 16 mm 104
C15: Comparação das tensões na seção com r = 13 mm 104
C16: Comparação das tensões na seção com r = 10 mm 104
C17: Comparação das tensões na seção com r = 1 mm 105
C18: Comparação das tensões na seção com r = 5,45 mm 105
C19: Comparação das tensões na seção com y = 0 106
C20: Comparação das tensões na seção com x = 0 106
C21: Comparação das tensões na seção com x = 40mm 107
C22: Comparação das tensões na seção com x = 80mm 107
C23: Comparação das tensões na seção com x = 120mm 107
C24: Comparação das tensões na seção com x = 160mm 108
D1: Significado de Val1 e Val2 em função do tipo da molécula 113
xii
LISTA DE FIGURAS
Tabela Página
1.1: Evolução das redes arbitrárias de pontos (modificado – Liska e Orkisz, 1980) 3
1.2: Moléculas de diferenças finitas: a) Molécula convencional; e b) Molécula arbitrária. 3
1.3: Seleção de pontos proposta por Perrone e Kao, 1975 (modificado – Perrone e Kao, 1975) 4
2.1: Problema de valor de contorno (PVC) 10
2.2: Molécula de 6 pontos para o interior do domínio 13
2.3: Molécula de 5 pontos para o contorno 15
2.4: Discretização do domínio para o problema proposto 16
2.5: Fluxograma simplificado do programa de potencial 18
2.6: Superfície produzida pela solução do problema 19
3.1: Componentes da tensão (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 23
3.2: Elemento qualquer de um corpo solicitado(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 24
3.3: Distorção angular no plano xy (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 25
3.4: Esquema de um estado plano de tensões (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988) 27
3.5: Exemplos de estado plano de tensões: (a) Seção transversal de uma barragem; e (b) Seção transversal de um tubo de parede espessa submetido à pressão interna 29
3.6: Equilíbrio de um pequeno bloco retangular 31
3.7: Equilíbrio no contorno (caso bidimensional) 34
3.8: Rotação das trações de superfície 35
4.1: Forma gráfica da primeira equação de Navier para: ( )( ) XE
νν 2112 −+− 42
4.2: Forma gráfica da segunda equação de Navier para: ( )( )YE
νν 2112 −+− 43
4.3: Molécula da 1a eq. de contorno para: ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]61047103212104110321
6547532125415321
2112
2112
acacccacacccYE
acacccacacccXE
+++++−++
+++++−+
νν
νν 47
4.4: Molécula da 2a eq. de contorno para: ( )( ) [ ]
( )( ) [ ]2106110571056106
256155755656
acacacacYE
2112
acacacacXE
2112
+−+−++
+−+−+
νν
νν
48
6.1: Exemplo 1- (a) Ilustração do problema; e (b) discretização empregada 61
6.2: Comparação das tensões em seções verticais da barragem do exemplo 1 63
6.3: Comparação dos resultados de operadores discretos considerando possível melhora com aproximação do erro de truncamento para o exemplo 1 65
xiii
6.4: Exemplo 2 - (a) Seção transversal do tubo; e (b) discretização empregada 66
6.5: Componentes da tensão em coordenadas polares atuando sobre um elemento. (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988). 67
6.6: Comparação das tensões em seções de raio constante do tubo do exemplo 2. 69
6.7: Seções utilizadas para comparação dos resultados. 69
6.8: Discretizações do tubo para verificação da convergência 70
6.9: Variações da tensão ao longo das seções r = 10 mm e r = 17,5mm do exemplo 2 71
6.10: Convergência do MOD para a solução exata do exemplo 2 73
6.11: Exemplo 3 – Chapa quadrada com furo no centro submetida à tração 74
6.12: Discretizações empregadas para operadores discretos e elementos finitos 75
6.13: Seções de comparação de resultados do exemplo 3 76
6.14: Comparação dos resultados numéricos e analíticos do exemplo 3 76
6.15: Exemplo 4 – Chapa em “L” com singularidade de tensão 78
6.16: Discretização usada por operadores discretos para o exemplo 4 79
6.17: Discretizações usadas para elementos finitos para o Exemplo 4 79
6.18: Variação das tensões ao longo das seções verticais com x = 0, x = 40 mm, x = 80 mm, x = 120mm e x = 160mm do exemplo 4 80
6.19: Superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto 82
6.20: Curvas de nível da superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto 82
A.1: Convergência da série de Taylor para f(x) = ex com o aumento do número de termos considerados 92
xiv
LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIAÇÕES Símbolo Significado aij elemento genérico de uma matriz, na linha i e coluna j
E módulo de Young ou módulo de elasticidade do material
E m x m matriz de ponderação dos pontos satélites da molécula
EA erro de arredondamento
ES erro na solução
ET erro de truncamento
e vetor do erro, diferenças entre os operadores diferenciais e suas aproximações
fi valor da função f(x,y) no ponto i de coordenadas (xi, yi)
f0 valor da função f(x,y) no ponto de referência de coordenadas (xo, yo)
G módulo de elasticidade transversal do material
hi distância entre o ponto satélite “i” e o ponto de origem da molécula
i e j sub-índices de referência
l e m co-senos diretores da normal externa ao contorno
n número de pontos em que o domínio é discretizado
N normal externa ao contorno
m número de pontos satélites da molécula
r e θ eixos do sistema de referência polar
iR3 resto resultante do truncamento da série de Taylor no termo de segunda ordem que busca aproximar a função no ponto i
R3 vetor que contém os restos resultantes do truncamento da série de Taylor (iR3) nos termos de segunda ordem
R3 orig vetor dos restos avaliado sobre o ponto de origem da expansão da série de Taylor
R3 sat vetor dos restos avaliado sobre os pontos satélites da molécula
u, v e w componentes do deslocamento na direção dos eixos x, y e z, respectivamente
x, y e z eixos coordenados do sistema de referência cartesiano
X, Y e Z componentes das forças de corpo na direção dos eixos x, y e z, respectivamente
X , Y e Z componentes das trações de superfície na direção dos eixos x, y e z, respectivamente
α ângulo entre a normal externa ao contorno e a direção positiva do eixo x
∂ derivada parcial
f∂ vetor com os operadores diferenciais da função
uv∂ vetor com os operadores diferenciais das funções de deslocamento
Δ matriz das diferenças de coordenadas 1−Δ inversa da matriz de diferenças
TΔ matriz de diferenças transposta
Δf vetor das diferenças de função
∆fi diferença entre o valor da função no ponto satélite i e no ponto de origem (fi - fo)
Δuv vetor das diferenças das funções de deslocamento e constantes das equações de campo
xv
∆xi diferença entre a coordenada x do ponto satélite “i” e a do ponto de origem
∆yi diferença entre a coordenada y do ponto satélite “i” e a do ponto de origem
εx, εy e εz deformações específicas nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente
γ peso específico da água
γxy deformação de cisalhamento entre os planos xz e yz
γxz deformação de cisalhamento entre os planos xy e yy
γyz deformação de cisalhamento entre os planos xy e xz
Γ1 contorno do tipo Dirichlet (valor da função é prescrito)
Γ2 contorno do tipo Neuman (derivada da função na direção normal é conhecida)
ν coeficiente de Poison
σ tensão normal
σn tração de superfície na direção normal ao contorno
σr e σθ tensões normais nas direções de r e θ no sistema de referência polar
σx , σy e σz tensões normais nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente
σx i e σy i tensões normais nas direções dos eixos x e y, respectivamente, no ponto i
iyix ˆeˆ σσ aproximações das tensões normais nas direções dos eixos x e y, respectivamente, no ponto i
τ tensão de cisalhamento
τij tensão de cisalhamento no plano normal ao eixo i e na direção do eixo j
τrθ tensão de cisalhamento no sistema polar de referência
τt tração de superfície na direção tangente ao contorno
τxy i tensão de cisalhamento no ponto i no caso bidimensional
ixyτ aproximação da ensão de cisalhamento no ponto i no caso bidimensional
Ω domínio do problema
Abreviação Significado DPM desvio padrão da variância média do erro nas tensões aproximadas
Eq. equação
Fig. figura
MDF Método das Diferenças Finitas
MEF Método dos Elementos Finitos
MOD Método dos Operadores Discretos
PVC Problema de Valor de Contorno
Tab. tabela
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 – MOTIVAÇÃO DO ESTUDO
A modelagem matemática da maioria dos problemas naturais que envolvem taxas de variação
com relação a duas ou mais variáveis independentes, geralmente relacionadas a tempo,
comprimento ou ângulo, conduzem a uma equação diferencial parcial ou a um conjunto de
tais equações diferenciais. As equações diferenciais de 2a ordem do tipo apresentado na Eq.
1.1 ocorrem com maior freqüência que as demais, pois geralmente são a forma matemática
dos princípios físicos de conservação.
0gfy
ex
dy
cyx
bx
a 2
22
2
2
=+⋅+∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂∂+
∂∂ φφφφφφ (1.1)
Onde: a, b, c, d, e, f e g - podem ser função das variáveis independentes x e y; e
φ - variável dependente.
Apesar da solução analítica ser a melhor e mais eficiente solução para os problemas
encontrados na engenharia, ela se limita a problemas de geometria elementar e condições de
contorno simples. Assim, com o auxílio dos avanços tecnológicos na área computacional, os
métodos numéricos ganharam grande importância, uma vez que se aplicam aos mais diversos
problemas, mesmo aos mais complexos, encontrando as soluções de forma rápida e com
precisão controlada.
Existem diversos métodos numéricos para a solução de equações diferenciais parciais, mas
segundo Perrone e Kao (1975), parecem se dividir em dois caminhos principais: técnicas
variacionais usadas em conjunto com formulações de energia; e a solução direta das equações
diferenciais que governam o problema em estudo. No grupo das técnicas variacionais,
destaca-se o Método dos Elementos Finitos (MEF) e, no da solução direta, destacam-se os
métodos baseados na formulação clássica do Método das Diferenças Finitas (MDF).
2
Com o rápido desenvolvimento do MEF, os outros métodos, especialmente o MDF, foram
relegados a um segundo plano. Isso aconteceu porque quando comparado à formulação
clássica do MDF, o MEF se mostra muito mais eficiente no tratamento de condições de
contorno e adensamento localizado da malha em regiões onde o gradiente da solução varia de
forma acentuada. Mas o MDF se desenvolveu bastante desde sua formulação inicial e as
limitações de sua formulação clássica foram superadas. O Método dos Operadores Discretos
(MOD) é uma variação do MDF. Da mesma forma que o MDF, o MOD busca formas
discretas dos operadores diferenciais presentes na equação que governa o problema, mas ao
contrário do MDF, não é necessário discretizar o domínio de forma regular para se obter
moléculas padronizadas. Isso permite o adensamento localizado da rede pontos que compõem
o domínio discreto e, assim, o adequado tratamento de contornos irregulares. Além do
adensamento localizado, o MOD ainda conta com recursos como o uso de pontos gêmeos e
moléculas de fronteira. A técnica de pontos gêmeos permite que nas mesmas coordenadas
sejam colocados dois pontos com propriedades diferentes. Em geral, essa técnica é empregada
em pontos onde ocorre mudança do tipo de contorno ou pontos salientes e reentrantes do
contorno, onde se verifica uma abrupta mudança da normal externa. As moléculas de fronteira
são usadas em regiões do domínio onde ocorre mudança de material ou das propriedades do
mesmo material. Elas permitem obter formas discretas dos operadores diferenciais levando-se
em conta as diferentes propriedades dos materiais na zona de transição, mas neste trabalho, as
moléculas de fronteira não serão abordadas.
A simplicidade, versatilidade e precisão do MOD são as características que motivaram este
trabalho, cujo desenvolvimento é feito através da aplicação do MOD à solução de problemas
de elasticidade bidimensional.
1.2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Apesar da idéia de se utilizar malhas com geometria arbitrária para a discretização de
domínios contínuos não ser nova, a possibilidade de cálculos práticos era dependente do
desenvolvimento da tecnologia computacional. Segundo Liszka e Orkisz (1980), a evolução
das redes arbitrárias de pontos parte de uma rede parcialmente regular em subdomínios,
Fig.1.1(a); depois irregular, mas com restrições topológicas, Fig. 1.1(b); e, por fim, as redes
arbitrárias de pontos, Fig.1.1 (c).
3
Figura 1.1: Evolução das redes arbitrárias de pontos (modificado – Liska e Orkisz, 1980).
Segundo Pulino (1989), parece ter sido MacNeal (1953) o primeiro a empregar malhas
triangulares para a obtenção de soluções aproximadas de equações diferenciais de segunda
ordem. Ele estudava o fluxo de corrente em uma chapa metálica delgada. Usando uma
analogia com circuitos elétricos, MacNeal desenvolveu uma formulação que permite associar
uma área elementar a cada nó da malha discreta, com significado físico definido e que
descrevem exatamente o domínio em estudo.
A base do MDF para malhas arbitrárias foi apresentada no começo da década de 70 por
Jensen (1972). Ele propunha o uso de uma molécula de 6 pontos, Fig. 1.2(b), no lugar da
molécula convencional de 5 pontos, Fig. 1.2(a), além disso, ele usava a série de Taylor para
obter as fórmulas de diferenças finitas para a discretização dos operadores diferenciais
parciais até a segunda ordem. Isso permitia que sua molécula pudesse ter pontos
arbitrariamente localizados, mas com certa limitação. As eventuais singularidades ou mau
condicionamento das matrizes de diferenças geradas pelas moléculas eram a principal
desvantagem de sua abordagem (Liska e Orkisz, 1980).
Figura 1.2: Moléculas de diferenças finitas:
a) Molécula convencional; e b) Molécula arbitrária.
4
Vários pesquisadores tentaram desenvolver esquemas automáticos para seleção de pontos que
evitassem as moléculas mal condicionadas ou singulares e, com isso, melhoravam a precisão
do método. Perrone e Kao (1975) sugeriram que pontos adicionais fossem atribuídos às
moléculas e que um processo de médias fosse empregado para obtenção dos coeficientes das
fórmulas de diferenças finitas. Bons resultados foram obtidos graças a um bom critério
geométrico para escolha de pontos, este critério de seleção é ilustrado a seguir na Fig. 1.3
(Liska e Orkisz, 1980).
Figura 1.3: Seleção de pontos proposta por Perrone e Kao, 1975
(modificado – Perrone e Kao, 1975).
De acordo com Liszka e Orkisz (1980), Kurowski e Szmelter foram os primeiros a fazer a
triangularização de todo o domínio e montar as moléculas usando os vértices de todos os
triângulos com um ponto em comum.
Um enfoque diferente foi proposto por Frey (1977). Empregando o conceito de elementos
isoparamétricos, ele introduziu uma molécula de forma arbitrária que era mapeada em um
domínio de malhas retangulares regulares.
Em 1981, Almeida, sob orientação do Prof. Eduardo M. Gonçalves, apresentou uma técnica
bastante útil para o tratamento das condições de contorno, que facilita a elaboração de dados
de entrada para programas de cálculo automático por computador.
Para evitar a singularidade da matriz de diferenças da molécula e melhorar a precisão do
método, Liska e Orkisz (1980) propuseram selecionar um número de pontos tal que o número
de equações fosse maior que o de incógnitas, assim, o sistema deixou de ter solução única e o
5
erro pôde ser minimizado através da técnica dos mínimos quadrados. Os mesmos autores
propuseram, ainda, que uma função de ponderação fosse introduzida para conferir maior peso
aos pontos localizados mais próximos ao ponto de origem da molécula.
De acordo com Liszka et al (1996), até então, o método não era reconhecido como sem malha
(meshless). Finalmente, a idéia básica do método foi interpretada como um método de
aproximação em duas publicações semelhantes: Lancaster e Salkauskas (1981) e Liszka
(1984). Segundo Cocchi (2000), na análise numérica de diversos problemas que envolvem
equações diferenciais parciais, o método das diferenças finitas para discretizações arbitrárias
pode ser considerado o primeiro caminho no desenvolvimento dos métodos sem malhas.
Segundo Duarte (1995) vários problemas de importância prática, como propagação de
fissuras, fragmentação e grandes deformações, são caracterizados por contínuas mudanças na
geometria do domínio em questão. A análise desta classe de problemas por elementos finitos
ou diferenças finitas convencionais pode se tornar uma tarefa complicada e cara. Por exemplo,
a análise de problemas com grandes deformações através do método dos elementos finitos
convencional pode requerer contínuos relançamentos das malhas para evitar o colapso dos
cálculos devido à distorção excessiva da malha. Mesmo em problemas onde apenas algumas
malhas são necessárias, sua geração pode consumir mais tempo e se tornar mais cara que a
construção e solução do sistema de equações lineares produzidas pela discretização do
problema. Assim, os métodos ditos “sem malha” proporcionam uma alternativa atrativa para a
análise desta classe de problemas.
Recentemente, a tecnologia que não usa malha foi redescoberta principalmente devido ao
lento progresso na geração de malhas e muitos métodos sem malhas para solução de equações
diferenciais parciais foram desenvolvidos (Liszka el al, 1996).
6
1.3 – OBJETIVOS DESTE TRABALHO
Esta dissertação tem os seguintes objetivos:
1. Apresentar o método dos operadores discretos e oferecer uma ferramenta versátil e de
fácil adaptação para solução de diversos tipos de problemas práticos enfrentados pelo
engenheiro;
2. Mostrar a aplicação do método em problemas de elasticidade bidimensional e discutir uma
possível forma de avaliação do erro cometido com base no erro de truncamento da série de
Taylor; e
3. Implementar um código computacional capaz de resolver problemas de elasticidade
bidimensional e apontar regiões do domínio mais suscetíveis a erro de aproximação.
1.4 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
Esta dissertação é composta de 7 capítulos e 4 apêndices.
No capítulo 2, o método dos operadores discretos é introduzido através de sua aplicação,
passo a passo, na solução de um simples problema de potencial. Trata-se de um problema de
valor de contorno em regime permanente regido pela equação de Laplace. As moléculas
usadas para discretização da equação diferencial são bastante simples e não empregam
qualquer técnica de ponderação. No interior do domínio elas têm 6 pontos e no contorno, 5
pontos.
O terceiro capítulo apresenta um resumo da teoria da elasticidade com especial ênfase aos
casos bidimensionais, a saber, estado plano de tensões e estado plano de deformações. Nele
são deduzidas as equações de campo do problema, que são as equações de Navier para o
estado plano de deformações, e as equações de contorno, obtidas a partir de relações de
equilíbrio do tensor tensão com as trações de superfície no contorno.
7
No capítulo 4, descreve-se a forma discreta das equações que governam o problema da
elasticidade bidimensional. No interior do domínio, apenas as equações de Navier são
discretizadas. Para isso, são usadas moléculas ponderadas com mais de seis pontos. No
contorno, tanto as equações de Navier quanto as equações de contorno devem ser satisfeitas.
Assim, cria-se uma discretização que inclui as equações de Navier e estas são empregadas
para discretizar as equações de contorno. A molécula de contorno tem apenas 5 pontos, mas é
mais complexa que a usada no segundo capítulo.
Duas formulações para a estimativa do erro na solução aproximada são propostas no quinto
capítulo: na primeira, o valor da função é suposto conhecido de antemão; e na segunda, os
operadores são empregados para aproximar o valor da função. No primeiro caso, a fórmula do
resto de Lagrange é empregada para estimar o erro e, assim, a aproximação das derivadas tem
limites inferior e superior entre os quais se encontra o valor exato. No segundo, a avaliação
dos termos do resto, resultante do truncamento da série de Taylor, permite localizar as regiões
do domínio em que o valor da função erro é mais significativo (regiões em que se sugere o
adensamento do domínio discreto).
O sexto capítulo apresenta exemplos de aplicação do método. Nele, os resultados obtidos pelo
programa de operadores discretos são comparados aos resultados obtidos por elementos
finitos e às soluções analíticas, quando estas existirem.
Finalmente, as conclusões deste trabalho e sugestões para sua continuidade são apresentadas
no oitavo capítulo.
O Apêndice A traz um resumo sobre a série de Taylor e como o erro pode ser limitado através
da fórmula do resto de Lagrange.
Os arquivos de entrada e saída do exemplo de potencial tratado no capítulo 2 podem ser
encontrados no Apêndice B. A listagem do programa Potencial.cpp, usado para resolver o
exemplo do capítulo 2, se encontra no CD que acompanha este trabalho.
8
O Apêndice C trás as tabelas comparativas dos resultados dos exemplos desenvolvidos no
capítulo 6. Os arquivos de entrada e de saída para os mesmos exemplos se encontram no CD
que acompanha esta dissertação.
Finalmente, o Apêndice D traz comentários sobre o funcionamento do programa que trata o
caso da elasticidade bidimensional, Elast_2D.cpp, e sua listagem se encontra no CD que
acompanha este trabalho.
9
CAPÍTULO 2
O MOD APLICADO A UM PROBLEMA DE POTENCIAL
2.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo, a formulação básica do Método dos Operadores Discretos será apresentada
através do desenvolvimento de um problema simples de potencial adaptado de Brebbia e
Dominguez (1989). Trata-se de um problema de valor de contorno em regime permanente
governado pela equação de Laplace, com condições de contorno mistas: tipo Dirichlet, onde o
valor da função potencial é prescrito; e Neuman, onde se conhece o valor da derivada da
função potencial na direção da normal externa ao contorno.
Inicialmente, no item 2.2, tem-se a proposição do problema seguida, no item 2.3, da
discretização da equação de campo que produz a molécula de 6 pontos para o interior do
domínio. No 2.4, trata-se da discretização da equação de campo no contorno com a introdução
da equação de contorno na discretização dos operadores diferenciais. Esta discretização
produz a molécula de 5 pontos para pontos no contorno. No item 2.5 são mostradas as
contribuições dos diferentes tipos de moléculas para o sistema global do problema; nele são
consideradas as contribuições de moléculas no interior do domínio, em pontos no contorno do
tipo Neuman e em pontos no contorno tipo Dirichlet. Em 2.6, apresenta-se um fluxograma
simplificado que ilustra os principais blocos do código computacional para resolução do
problema proposto. Finalmente, no item 2.7, são comparados à solução analítica, os
resultados obtidos com o programa de computador desenvolvido para solução de problemas
de potencial em regime permanente regidos pela equação de Laplace (Potencial.cpp).
2.2 – PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA
Supondo que a chapa apresentada na Fig. 2.1 esteja submetida a um regime de fluxo
permanente de temperatura com as condições de contorno indicadas, deseja-se conhecer a
distribuição de temperaturas no domínio e os fluxos de temperatura nos contornos do tipo
Dirichlet (Γ1). As equações de campo e de contorno são apresentadas nas Eq. 2.1 e Eq. 2.2,
respectivamente.
10
Figura 2.1: Problema de valor de contorno (PVC)
Equação de campo: 0yu
xu
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂ (2.1)
Equação do contorno: yusin
xucos
nu
∂∂+
∂∂=
∂∂ θθ (2.2)
Onde: θ - ângulo formado entre o eixo x e a normal ao contorno;
u - a função que representa a distribuição de temperatura no domínio;
un - derivada da função na direção normal ao contorno ( )nu
∂∂ ;
Ω - representa o domínio do problema;
Γ1 - Contorno do tipo Dirichlet (valor da função conhecido); e
Γ2 - Contorno do tipo Neuman (derivada da função na direção normal conhecida).
2.3 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CAMPO NO DOMÍNIO
2.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem
Se o valor de uma função de duas variáveis e o de todas as suas derivadas existentes forem
conhecidos em um determinado ponto 0 ∈ Ω, os valores da função podem ser calculados na
vizinhança deste ponto através da série de Taylor apresentada a seguir:
11
( ) ( )( ) ( ) 32
02
2
0
22
02
2
000i Ry
yf
21yx
yxfx
xf
21y
yfx
xfff +∆
∂∂+∆∆
∂∂
∂+∆
∂∂+∆
∂∂+∆
∂∂+=
Onde: if - valor da função no ponto i, ou seja, ( )ii y,xf ;
0f - valor da função no ponto 0, ou seja, ( )00 y,xf ;
0i xxx −=∆ ;
0i yyy −=∆ ;
3R - resto resultante do truncamento da série nos termos de 2a ordem.
Supondo que os pontos onde se deseja calcular os valores da função estejam suficientemente
próximos de tal forma que os termos R3 possam ser desprezados, os valores da função em 5
pontos na vizinhança do ponto 0 podem ser colocados na seguinte forma matricial:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0y
f
yxf
xf
yf
xf
2555
2555
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
5
4
3
2
1
22
2
22
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
fffff
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
≈
∆∆∆∆∆
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(2.3)
Onde: 0ii fff −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5;
0ii xxx −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5; e
0ii yyy −=∆ , com i =1, 2, 3, 4, 5.
Em notação matricial, a equação anterior fica:
fΔΔf ∂⋅≈ (2.4)
Se a matriz de diferenças, Δ , da equação anterior não for singular, então pode ser invertida e
a discretização dos operadores diferenciais pode ser obtida de:
ΔfΔf ⋅≈∂ −1 (2.5)
12
Chamando de aij os elementos de 1Δ− , a equação anterior rescrita em forma expandida fica:
∆∆∆∆∆
≈
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
5
4
3
2
1
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
0yf
yxf
xf
yf
xf
fffff
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
22
2
22
(2.6)
A Eq. 2.6 tem a forma discreta dos operadores diferenciais parciais de ordem igual ou inferior
a 2, a saber:
( )
( )
( )
( )
( )0i
5
1ii5i
5
1ii52
2
0i
5
1ii4i
5
1ii4
2
0i
5
1ii3i
5
1ii32
2
0i
5
1ii2i
5
1ii2
0i
5
1ii1i
5
1ii1
ffafay
f
ffafayxf
ffafax
f
ffafayf
ffafaxf
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
∂
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
==
==
(2.7)
2.3.2 – Moléculas para o interior do domínio (6 pontos)
A equação que governa o problema, Eq. 2.1, é:
0yu
xu
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂
Substituindo os operadores diferenciais da equação anterior pela respectiva forma discreta
dada nas Eqs. 2.7, tem-se:
( ) ( ) 0ffaffa 0i
5
1ii50i
5
1ii3 =−+− ∑∑
==
(2.8)
13
Separando os termos do ponto de origem (ponto 0) dos pontos satélites, chega-se a:
( ) 0faafaa 0i5
5
1ii3i
5
1ii5i3 =
+−+ ∑∑
==
(2.9)
A Eq. 2.9 é usada em pontos no interior do domínio e corresponde a uma equação algébrica
do sistema linear discreto, uma vez que se trata de uma aproximação da equação diferencial
que deve ser satisfeita em seu ponto de origem (ponto 0). A Fig. 2.2 apresenta o esquema da
molécula correspondente à Eq. 2.9.
( ) 0
5
153 faa
iii
+− ∑
=
( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +
( ) 35333 faa +
( ) 45434 faa +
( ) 55535 faa +
( ) 0
5
153 faa
iii
+− ∑
=
( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +
( ) 35333 faa +
( ) 45434 faa +
( ) 55535 faa +
( ) 0
5
153 faa
iii
+− ∑
=
( ) 15131 faa +( ) 25232 faa +
( ) 35333 faa +
( ) 45434 faa +
( ) 55535 faa +
Figura 2.2: Molécula de 6 pontos para o interior do domínio.
2.4 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO CAMPO NO CONTORNO
2.4.1 – Discretização dos operadores diferenciais até a 2a ordem
No contorno, além da equação de campo, a de contorno também precisa ser satisfeita.
Segundo Almeida (1981), uma forma de se conseguir que ambas sejam satisfeitas, é introduzir
a equação de contorno na discretização dos operadores diferenciais e empregar estas
discretizações para aproximar a equação de campo. Esse procedimento é ilustrado a seguir:
Colocando a Eq. 2.2 no lugar do ponto 5 da Eq. 2.3, tem-se:
14
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0yf
yxf
xf
yf
xf
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
0nf
4
3
2
1
22
2
22
000sincosy2
1yxx21yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
ffff
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
≈
∆∆∆∆
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
θθ
(2.10)
Então, desde que a matriz de diferenças (∆∆∆∆) não seja singular, ela pode ser invertida e as
formas discretas dos operadores diferenciais podem ser obtidas de:
( )
∆∆∆∆
≈
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
0nf
4
3
2
1
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
0yf
yxf
xf
yf
xf
ffff
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
22
2
22
(2.11)
Da Eq. 2.11, as formas discretas dos operadores diferenciais são:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0550i
4
1ii5055i
4
1ii52
2
0450i
4
1ii4045i
4
1ii4
2
0350i
4
1ii3035i
4
1ii32
2
0250i
4
1ii2025i
4
1ii2
0150i
4
1ii1015i
4
1ii1
nfaffan
fafay
f
nfaffan
fafayxf
nfaffan
fafax
f
nfaffan
fafayf
nfaffan
fafaxf
∂∂+
−=∂
∂+
∆≈
∂∂
∂∂+
−=∂
∂+
∆≈
∂∂∂
∂∂+
−=∂
∂+
∆≈
∂∂
∂∂+
−=∂
∂+
∆≈
∂∂
∂∂+
−=∂
∂+
∆≈
∂∂
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
==
==
(2.12)
2.4.2 – Moléculas para o contorno (5 pontos)
De forma semelhante ao item 2.3.2, mas usando as Eqs. 2.12 para discretizar a equação de
campo (Eq. 2.1), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) 0nfaffan
faffa0550i
4
1ii50350i
4
1ii3 =∂
∂+
−+∂
∂+
− ∑∑
==
(2.13)
15
Agrupando os termos satélites, obtém-se:
( ) ( ) ( ) 00
35550
4
153
4
153 =
∂∂++
+−
+ ∑∑
==n
faafaafaai
iiii
ii (2.14)
A Eq. 2.14 representa uma linha do sistema global de equações para pontos no contorno. Para
estes pontos ou o valor da função é prescrito (contorno do tipo Dirichlet) ou o de sua derivada
na direção normal (contorno do tipo Neuman), neste caso, o termo com valor conhecido passa
para o segundo membro da equação com sinal trocado. A representação gráfica da molécula
produzida pela Eq. 2.14 é ilustrada na Fig. 2.3 a seguir:
( )
( )0
5535
0
4
153
∂
∂++
+− ∑
=
nfaa
faai
ii
( ) 15131 faa + ( ) 25232 faa +
( ) 35333 faa +( ) 45434 faa +
( )
( )0
5535
0
4
153
∂
∂++
+− ∑
=
nfaa
faai
ii
( ) 15131 faa + ( ) 25232 faa +
( ) 35333 faa +( ) 45434 faa +
Figura 2.3: Molécula de 5 pontos para o contorno.
2.5 – CONTRIBUIÇÕES PARA O SISTEMA GLOBAL
A discretização adotada para o domínio contínuo é apresentada a seguir na Fig. 2.4, em
seguida a montagem do sistema global é ilustrada mostrando-se as contribuições de três tipos
diferentes de molécula.
16
Figura 2.4: Discretização do domínio para o problema proposto.
Neste caso, para simplificar o programa computacional, as conectividades das moléculas
foram fornecidas em um arquivo de dados, mas uma rotina para seleção automática de pontos
poderia ser implementada com maior facilidade que, por exemplo, em elementos finitos, uma
vez que no MOD, os pontos são fornecidos sem qualquer ordem específica. Além disso, as
moléculas foram construídas com o menor número possível de pontos.
Cabe notar ainda que nos pontos onde há mudança do tipo de contorno, empregou-se a técnica
dos pontos gêmeos, isto é, duas moléculas foram colocadas no mesmo ponto, uma para cada
contorno diferente.
2.5.1 – Contribuição da molécula no interior do domínio
Para a molécula centrada no ponto 7, foi atribuída a seguinte conectividade: 3, 4, 6, 8 e 10,
nesta ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças ∆∆∆∆
segundo a Eq. 2.3 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema
global é:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
3 5 7 31 51 3 32 52 4 35 55 101
33 53 6 34 54 8
i ii
a a u a a u a a u a a u
a a u a a u=
− + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = − + ⋅ − + ⋅
∑
17
Os termos correspondentes aos valores da função nos pontos 6 e 8 aparecem no segundo
membro da equação porque nestes pontos, os valores da função são conhecidos (contorno do
tipo Dirichlet).
2.5.2 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Dirichlet
Para a molécula centrada no ponto 6, foi atribuída a seguinte conectividade: 2, 3, 7 e 9, nesta
ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças (∆∆∆∆)
segundo Eq. 2.10 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema
global é:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
35 55 31 51 2 32 52 3 33 53 76
4
3 5 6 34 54 91
i ii
ua a a a u a a u a a un
a a u a a u=
∂ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ∂ + ⋅ − + ⋅ ∑
Neste caso, para a molécula centrada no ponto 6, a incógnita é a derivada da função na
direção da normal externa ao contorno então, ela e seu coeficiente permanecem no primeiro
membro da equação enquanto que o valor da função, que é conhecido, passa para o segundo
membro multiplicado pelo respectivo coeficiente de sinal trocado. Para os pontos satélites,
como no item anterior, se o valor da função for conhecido (Dirichlet), então ele passa para o
segundo membro com coeficiente de sinal trocado, do contrário, permanece no primeiro
membro da equação.
2.5.3 – Contribuição da molécula em contorno do tipo Neuman
Para a molécula centrada no ponto 3, foi atribuída a seguinte conectividade: 2, 4, 7 e 8, nesta
ordem. A partir das coordenadas destes pontos, monta-se sua matriz de diferenças (∆∆∆∆)
segundo a Eq. 2.10 e, chamando aij os termos de sua inversa, a equação que vai para o sistema
global é:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
3 5 3 31 51 2 32 52 4 33 53 71
35 55 34 54 83
i ii
a a u a a u a a u a a u
ua a a a un
=
− + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ∂ = − + ⋅ − + ⋅ ∂
∑
18
Ao contrário do item anterior, neste caso, a incógnita é o valor da função, que permanece no
primeiro membro da equação, enquanto o termo que contém sua devida na direção normal,
que é prescrito (Neuman), é passado para o segundo membro. Quanto aos pontos satélites, o
procedimento é o mesmo que foi adotado nos itens 2.5.1 e 2.5.2.
2.6 – PROGRAMA DE POTENCIAL
No Apêndice B, encontram-se os arquivos de entrada e saída para o problema em questão. O
código computacional chamado Potencial.cpp foi implementado em linguagem C++ e se
encontra listado no CD que acompanha esta dissertação. A seguir, na Fig. 2.5, tem-se um
fluxograma simplificado que ilustra a estrutura básica do programa:
Figura 2.5: Fluxograma simplificado do programa de potencial.
não sim
Ler do arquivo de entrada de dados o número (n) de graus de liberdade da discretização e fazer a alocação dinâmica dos vetores para armazenamento de dados e
da matriz do sistema global do problema.
Ler as coordenadas, tipo, valor e ângulo da normal para cada molécula e armazená-los nos devidos
vetores criados anteriormente.
Ler a conectividade da i-ésima molécula e fazer
i = i + 1
Montar a matriz de diferenças ∆∆∆∆ de acordo com o tipo
da molécula e invertê-la.
Colocar a contribuição da molécula no sistema global
i > n
Resolver o sistema global do problema
Escrever o arquivo de saída de dados
19
2.7 – SOLUÇÃO DO PROBLEMA
A partir das condições de contorno a solução analítica é óbvia A solução do problema é a
equação de um plano dada por 300x50)y,x(u +−= , pois esta função obedece tanto às
condições de contorno quanto à equação de campo. A superfície produzida pela solução do
problema é ilustrada a seguir na Fig. 2.6:
Figura 2.6: Superfície produzida pela solução do problema.
A Tab. 2.1 apresentada a seguir mostra os dados de saída do programa. Pode-se observar que
o resultado numérico é praticamente igual à solução analítica. No arquivo de saída de
resultados, colocado no Apêndice B, percebe-se que a precisão da solução numérica foi até a
13a casa decimal, tanto para o valor da função quanto para o de sua derivada na direção
normal ao contorno.
20
Tabela 2.1: Dados do arquivo de saída do programa para o problema de potencial.
Ponto X Y Tipo u(x,y) un(x,y)1 0.0 6.0 Dirichlet 300.0000000 50.00000002 0.0 6.0 Neuman 300.0000000 0.00000003 2.0 6.0 Neuman 200.0000000 0.00000004 4.0 6.0 Neuman 100.0000000 0.00000005 4.0 6.0 Dirichlet 100.0000000 -50.00000006 0.0 4.0 Dirichlet 300.0000000 50.00000007 2.0 4.0 Interna 200.00000008 4.0 4.0 Dirichlet 100.0000000 -50.00000009 0.0 2.0 Dirichlet 300.0000000 50.0000000
10 2.0 2.0 Interna 200.000000011 4.0 2.0 Dirichlet 100.0000000 -50.000000012 4.0 2.0 Neuman 100.0000000 0.000000013 6.0 2.0 Neuman 0.0000000 0.000000014 6.0 2.0 Dirichlet 0.0000000 -50.000000015 0.0 0.0 Dirichlet 300.0000000 50.000000016 0.0 0.0 Neuman 300.0000000 0.000000017 2.0 0.0 Neuman 200.0000000 0.000000018 4.0 0.0 Neuman 100.0000000 0.000000019 6.0 0.0 Neuman 0.0000000 0.000000020 6.0 0.0 Dirichlet 0.0000000 -50.0000000
21
CAPÍTULO 3
TEORIA DA ELASTICIDADE
3.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se um resumo da teoria clássica da elasticidade linear, como descrita
em Timoshenko e Goodiear (1988) e Shames (1964).
O objetivo é fixar a notação utilizada, reduzir a formulação geral ao problema da elasticidade
bidimensional (equações de Navier) e apresentar uma nova forma de imposição das condições
de contorno, bastante adequada para elaboração dos dados de entrada para programas de
computador, no sentido de facilitar o fornecimento de valores no contorno.
3.2 – MATERIAIS
Praticamente todos os materiais empregados em engenharia possuem a propriedade de
elasticidade até certo ponto. Se as forças externas que provocam as deformações não
ultrapassam certo limite, conhecido como limite de elasticidade, o corpo volta à sua
configuração original com a remoção dessas forças externas. Se, mesmo com a remoção das
forças externas, uma deformação residual persistir, diz-se que o limite de elasticidade foi
ultrapassado e essa deformação é chamada deformação plástica residual. Neste trabalho, todos
os materiais serão considerados perfeitamente elásticos, ou seja, todos os corpos retornam a
sua forma original com a remoção das forças externas.
Será assumido que o material que compõem o corpo elástico é homogêneo e continuamente
distribuído por todo seu volume. Assim, o menor elemento retirado do corpo possui ainda as
mesmas propriedades físicas do resto do corpo. Para simplificar a formulação teórica, todos os
materiais serão considerados isotrópicos, isto é, que eles possuem as mesmas propriedades em
todas as direções.
22
3.3 – FORÇAS
Existem dois tipos de força que podem atuar em um corpo: forças de corpo e trações de
superfície.
Trações de superfície são forças distribuídas sobre a superfície do corpo e, como exemplo,
tem-se a pressão hidrostática ou a pressão que um corpo exerce sobre o outro. As trações de
superfície serão decompostas em três componentes X , Y e Z paralelas aos eixos cartesianos
do sistema de referência x, y e z, respectivamente.
As forças de corpo são forças distribuídas no volume do corpo. Como exemplos, têm-se as
forças gravitacionais, magnéticas ou de inércia (no caso do corpo estar em movimento). As
forças de corpo serão decompostas nas componentes X, Y e Z paralelas aos eixos x, y e z,
respectivamente.
3.4 – COMPONENTES DA TENSÃO
Forças externas atuando sobre um corpo em equilíbrio provocam o surgimento de forças
internas que se distribuem por todo seu volume. A tensão é definida pela razão entre a força
resultante e a área sobre a qual atua a força. Como, em geral, a tensão resultante em um ponto
qualquer não é perpendicular ou paralela aos planos formados pelos eixos do sistema de
referência, para facilitar seu estudo, a tensão é decomposta em componentes de maneira
conveniente. A componente perpendicular à área é chamada tensão normal e designada por
σσσσ, a componente que atua no mesmo plano da área é chamada tensão de cisalhamento e
designada por ττττ. Em geral, no estudo da distribuição das tensões, são considerados elementos
com faces paralelas ou perpendiculares aos planos formados pelos eixos do sistema de
referência. Assim, a tensão de cisalhamento, que atua no plano da área elementar, é ainda
decomposta em duas outras componentes nas direções dos eixos de referência, que são
paralelos ao plano que contém a área elementar. A Fig. 3.1 apresenta um cubo elementar, de
lados paralelos aos eixos do sistema de referência, retirado de um ponto qualquer de um corpo
solicitado. A figura mostra as componentes da tensão atuando nas direções que serão adotadas
como positivas e a notação que será usada para designá-las.
23
Figura 3.1: Componentes da tensão (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).
Assim, no caso mais geral, as tensões são representadas, por nove componentes: três normais
(σσσσx, σσσσy e σσσσz ) e seis de cisalhamento (ττττxy, ττττxz, ττττyx, ττττyz, ττττzx e ττττzy). No entanto, por uma questão de
equilíbrio, tem-se que:
ττττxy = ττττyx, ττττxz = ττττzx e ττττyz = ττττzy (3.1)
As seis grandezas (σσσσx, σσσσy, σσσσz , ττττxy = ττττyx, ττττxz = ττττzx e ττττyz = ττττzy) são, portanto, suficientes para
descrever a tensão em um ponto qualquer do corpo e são chamadas componentes da tensão no
ponto.
24
3.5 – COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO
Na discussão das deformações em um corpo elástico, será considerado que o corpo tenha um
suficiente número de apoios que impeçam seu movimento como corpo rígido. Desta forma,
todos os deslocamentos verificados são resultados exclusivamente das deformações.
Aqui serão consideradas apenas pequenas deformações como as que ocorrem nas estruturas
na prática da engenharia. Os deslocamentos em um ponto qualquer serão dados pelas
componentes u, v e w paralelas aos eixos x, y e z, respectivamente. Será assumido que as
componentes da deformação são grandezas muito pequenas e que variam continuamente por
todo o volume do corpo.
Considere um pequeno elemento de dimensões dx, dy e dz retirado de um corpo solicitado
como na Fig. 3.2 a seguir:
Figura 3.2: Elemento qualquer de um corpo solicitado
(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).
Se o corpo sofre deformações e u, v e w são as componentes do deslocamento no ponto P, o
deslocamento na direção x de um ponto A, adjacente a P, é dado por:
dxxuuu A ∂
∂+= (3.2)
25
Assim, a variação do comprimento do segmento PA devido à deformação é: (∂u / ∂x) dx.
Portanto, a deformação específica na direção x no ponto P, denotada por εx, é dada por: εx =
(∂u / ∂x). Relações semelhantes podem ser obtidas para as deformações específicas nas
direções y e z. Representando-as por εy e εz, respectivamente, obtém-se: εy = (∂v / ∂y); e εz =
(∂w / ∂z).
Quanto à distorção angular entre os segmentos PA e PB, apresentada na Fig. 3.3, se u e v são
as componentes do deslocamento do ponto P nas direções x e y, respectivamente, o
deslocamento do ponto A na direção y (vA) e o de B na direção x (uB) são dados por:
dyyuuu e dx
xvvv BA ∂
∂+=∂∂+= (3.3)
Figura 3.3: Distorção angular no plano xy (modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).
Percebe-se que o segmento PA assume uma nova posição P’A’ com uma inclinação de um
ângulo (∂v / ∂x) com relação a sua posição original. Da mesma forma, o segmento PB assume
uma nova posição com uma inclinação de (∂u / ∂y) com relação à sua posição inicial. Assim,
a distorção total sofrida pelo ângulo BPA , conhecida como deformação de cisalhamento
entre os planos xz e yz, designada γxy, é dada pela soma (∂v / ∂x) + (∂u / ∂y). De forma
semelhante podem ser obtidas as deformações de cisalhamento entre os planos xy e xz (γyz) e
entre os planos yx e yz (γxz).
Então, as componentes da deformação podem ser colocadas em termos das de deslocamento
da seguinte forma:
26
zv
yw
zu
xw
yu
xv
zw
yv
xu
yzxzxy
zyx
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
γγγ
εεε (3.4)
3.6 – LEI DE HOOKE
Relações lineares entre as componentes de tensão e as de deformação são genericamente
conhecidas como lei de Hooke. Em sua forma generalizada, esta lei é dada por:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]yxzz
zxyy
zyxx
E1E1E1
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+−=
+−=
+−=
(3.5)
yzyzxzxzxyxy G1
G1
G1 τγτγτγ === (3.6)
Onde: E - módulo de elasticidade do material ou módulo de Young;
ν - coeficiente de Poisson; e
G - módulo de elasticidade transversal.
As três constantes elásticas (E, ν e G) representam características de deformabilidade do
material e estão relacionadas entre si por:
( )ν+=
12EG (3.7)
As deformações, Eqs. 3.5, e distorções, Eqs. 3.6, são independentes umas das outras, mas o
caso geral de deformação, produzido por três tensões normais e três de cisalhamento, pode ser
resolvido pela superposição dessas equações.
27
As Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6 fornecem as componentes de deformação em termos das de tensão, mas
algumas vezes é preciso o contrário, isto é, as componentes de tensão em função das de
deformação. Para o caso das Eqs. 3.6 isto é obtido facilmente operando-as algebricamente. No
caso das Eqs. 3.5, resolvendo-as para σx, σy e σz, chega-se a:
( )( )
( )( )
( )( ) zz
yy
xx
1Ee
211E
1Ee
211E
1Ee
211E
εννν
νσ
εννν
νσ
εννν
νσ
++
−+=
++
−+=
++
−+=
(3.8)
Onde: e = εx + εy + εz .
3.7 – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Se uma chapa de pequena espessura é carregada com forças aplicadas no contorno, paralelas
ao plano da chapa, e distribuídas uniformemente ao longo de sua espessura, como ilustrado na
Fig. 3.4, as componentes da tensão σz, τxz e τyz são nulas em ambas as faces da chapa e podem
ser consideradas nulas também em seu interior. Esse estado de tensão, definido
exclusivamente por σx, σy e τxy , é chamando estado plano de tensões. Se a chapa for
suficientemente fina, pode ser considerado também que as três componentes são
independentes de z, isto é, elas não variam no sentido da espessura.
Figura 3.4: Esquema de um estado plano de tensões
(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).
28
Aplicando as condições do estado plano de tensões (σz = τxz = τyz = 0) nas Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6
as componentes da deformação ficam sendo dadas por:
[ ]
[ ]
( )( )
xyxyxy
yxz
xyy
yxx
E12
G1E
E1E1
τντγ
σσνε
νσσε
νσσε
+==
+−=
−=
−=
(3.9)
Nota-se que a componente da deformação εz não depende de σz, que é nula, mas apenas das
tensões normais nas direções x e y. Colocando as Eqs. 3.9 em forma matricial:
( )
+−
−=
xy
y
x
xy
y
x
12000101
E1
τσσ
νν
ν
γεε
(3.10)
A equação anterior pode ser invertida de forma que as componentes de tensão fiquem em
termos das de deformação da seguinte forma:
( )
−−=
xy
y
x
2
xy
y
x
2100
0101
1E
γεε
νν
ν
ντσσ
(3.11)
3.8 – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
Se um corpo cilíndrico ou prismático de grande comprimento, com seção transversal
constante ao longo do comprimento, estiver submetido a um carregamento constante e
perpendicular a seus elementos longitudinais, pode-se considerar que todas as seções estão
submetidas às mesmas condições. O mais simples é supor que os deslocamentos
29
longitudinais, em geral, na direção do eixo z, são restringidos por superfícies lisas e rígidas
localizadas nos extremos do corpo. O estado plano de deformações se verifica, por exemplo,
em barragens, Fig. 3.5(a) e tubos de parede espessa com pressão interna, Fig. 3.5(b). Desde
que não ocorram deslocamentos axiais nas extremidades, por simetria, também não ocorrem
deslocamentos na seção central, assim, pode-se assumir que deslocamentos axiais são
restringidos em todas as seções.
Figura 3.5: Exemplos de estado plano de tensões: (a) Seção transversal de uma barragem; e
(b) Seção transversal de um tubo de parede espessa submetido à pressão interna.
Como as condições para todas as seções são as mesmas, para a solução desses problemas, é
suficiente considerar apenas uma fatia do corpo entre duas seções com distância unitária entre
elas. As componentes do deslocamento u e v são dadas exclusivamente em função de x e y,
portanto, independentes de z. Assim, como as deformações longitudinais em w são nulas, o
estado plano de deformações é caracterizado por: εz = γxz = γyz = 0.
Como εz = 0, a lei de Hooke apresentada na Eq. 3.5 permite obter σz em termos de σx e σy da
seguinte forma:
( )[ ]
( )[ ] ( )yxzyxz
yxzz
E10
E1
σσνσσσνσ
σσνσε
+=⇒+−=
+−=
( )yxz σσνσ += (3.12)
30
Aplicando a relação apresentada na Eq. 3.12 e as propriedades do estado plano de
deformações (εz = γxz = γyz = 0) na lei de Hooke apresentada nas Eqs. 3.5 e Eqs. 3.6, as
componentes de deformação podem ser colocadas em termos das de tensão da seguinte forma:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( )xyxyxy
xy2
y
yx2
x
E12
G1
11E1
11E1
τντγ
σννσνε
σννσνε
+==
+−−=
+−−=
(3.13)
Colocando as Eqs. 3.13 em forma matricial:
( )
−
−−
−−
−=
xy
y
x2
xy
y
x
1200
011
01
1
E1
τσσ
ν
νν
νν
ν
γεε
(3.14)
Assim como no estado plano de tensões, a equação anterior pode ser invertida para se obter as
componentes de tensão em termos das de deformação da seguinte forma:
( )( )
( )( )
−−
−
−+=
xy
y
x
xy
y
x
22100
0101
211E
γεε
ννν
νν
νντσσ
(3.15)
31
3.9 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO EQUILÍBRIO (CASO BIDIMENSIONAL)
A Fig. 3.6 mostra um elemento, tomado do interior de um corpo, em forma de um bloco
retangular com lados dx, dy e espessura unitária. As tensões atuantes nas faces 1, 2, 3 e 4,
estão representadas em suas direções positivas. Observa-se que ocorre variação da tensão ao
longo do bloco, por exemplo, o valor de σx não é exatamente o mesmo nas faces 2 e 4.
Assim, as tensões nos lados 3 e 4 são obtidas através da série de Taylor limitada a dois termos
e com origem no meio dos lados 1 e 2, respectivamente.
Figura 3.6: Equilíbrio de um pequeno bloco retangular.
Como as faces são muito pequenas, as forças correspondentes são obtidas por meio da
multiplicação das tensões pela área onde atuam. As forças de corpo, que são ignoradas
quando se discute o equilíbrio no contorno por se tratarem de uma pequena quantidade de
ordem superior, neste caso, devem ser consideradas por serem da mesma ordem de grandeza
das variações de tensão ao longo do elemento. Se X e Y denotam as componentes das forças
de corpo por unidade de volume, o equilíbrio de forças na direção x se dá com:
0dydxXdxdxdyy
dydydxx xy
4
xyxyx
xx =⋅⋅+⋅−
∂
∂++⋅−
∂∂+ τ
ττσσσ (3.16)
32
Simplificando a Eq. 3.16, tem-se:
0dydxXdydxy
dxdyx
xyx =⋅⋅+∂
∂+
∂∂ τσ (3.17)
Finalmente, dividindo-se a Eq. 3.17 membro a membro por (dx.dy) e procedendo-se de forma
semelhante para obtenção da equação de equilíbrio na direção y, as equações diferenciais do
equilíbrio para problemas bidimensionais são:
0Yxy
0Xyx
xyy
xyx
=+∂
∂+
∂∂
=+∂
∂+
∂∂
τσ
τσ
(3.18)
Para colocar as equações anteriores em termos das componentes de deformação, pode-se, por
exemplo, substituir nas Eqs. 3.18, as relações apresentadas na Eq. 3.15 para o estado plano de
deformações, obtendo-se as seguintes expressões:
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )[ ] ( ) 0Y12E
x1
211E
y
0X12E
y1
211E
x
xyxy
xyyx
=+
+∂∂+
+−
−+∂∂
=+
+∂∂+
+−
−+∂∂
γν
νεεννν
γν
νεεννν
(3.19)
Utilizando as relações entre as componentes de deformação e deslocamento apresentadas nas
Eqs. 3.4, as equações anteriores, Eqs. 3.19, podem ser colocadas em termos das componentes
do deslocamento da seguinte forma:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) 0Yxv
yu
12E
xxu
yv1
211E
y
0Xxv
yu
12E
yyv
xu1
211E
x
=+
∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂+
∂∂−
−+∂∂
=+
∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂+
∂∂−
−+∂∂
ννν
νν
ννν
νν (3.20)
33
Arranjando os termos das Eqs. 3.20 de maneira conveniente, obtém-se as equações de Navier
apresentadas nas Eqs. 3.21 a seguir:
( )( )
( )( ) 0Y
E12
yv
xu
y211v
yx
0XE
12yv
xu
x211u
yx
2
2
2
2
2
2
2
2
=++
∂∂+
∂∂
∂∂
−+
∂∂+
∂∂
=++
∂∂+
∂∂
∂∂
−+
∂∂+
∂∂
νν
νν
(3.21)
As Eqs. 3.21 são válidas para o estado plano de deformações, pois as componentes da tensão
foram substituídas pelas de deformação usando as relações válidas para o estado plano de
deformações, mas com uma simples substituição das constantes elásticas, as Eqs. 3.21 se
tornam válidas também para o estado plano de tensões. A substituição referida é E e ν por E’
e ν’ dadas pelas relações apresentadas nas Eqs. 3.22 a seguir:
( )ν
ννν+
=−=1
'eE1'E 2 (3.22)
34
3.10 – CONDIÇÕES DE CONTORNO (CASO BIDIMENSIONAL)
As equações diferenciais do equilíbrio, Eqs. 3.18, devem ser satisfeitas em todo o volume do
corpo. As tensões variam ao longo da chapa e, no contorno, devem estar em equilíbrio com as
trações de superfície que nele atuam. Tomando-se um pequeno prisma triangular de vértices
ABC, ilustrado na Fig. 3.7 a seguir, e representando as componentes das trações de superfície
por X e Y , as equações a serem satisfeitas no contorno são:
xyy
xyx
lmY
mlX
τσ
τσ
+=
+= (3.23)
Onde: l e m são os co-senos diretores da normal N, externa ao contorno.
Figura 3.7: Equilíbrio no contorno (caso bidimensional).
Nas equações de contorno, Eqs. 3.23, as trações de superfície foram colocadas em termos de
sua componente na direção do eixo x ( X ) e de sua componente na direção do eixo y ( Y ).
Para facilitar a entrada de dados para programas computacionais é mais conveniente que as
trações de superfície sejam colocadas em termos de uma componente normal ao contorno (σn)
e outra tangente (τt) conforme mostra a Fig. 3.8. Este procedimento foi proposto por Almeida
(1981):
35
Figura 3.8: Rotação das trações de superfície
Para se obter as equações de contorno com as trações de superfície em termos de uma
componente normal e outra tangente ao contorno basta fazer:
( ) ( )
−+−
++=
+
+
−
=
−
=
xyxy22
y2
xyx2
xyy
xyx
t
n
lmmlmlm2l
lmml
lmml
YX
lmml
σστστσ
τστσ
τσ
Assim, as equações de contorno passam a ser:
( ) ( )xyxy22
t
y2
xyx2
n
lmml
mlm2l
σσττ
στσσ
−+−=
++= (3.24)
Da mesma forma que para as equações de campo (Navier, Eqs. 3.21), deseja-se colocar as
equações de contorno anteriores, Eqs. 3.24, em termos das componentes do deslocamento,
mas para isso, primeiro é necessário colocá-las em termos das componentes de deformação
através das relações da Eq. 3.15, válidas para o estado plano de deformações, assim, tem-se:
( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] yxxyxy22
t
xy2
xyyx2
n
11211
Elm12Eml
1211
Em12Elm21
211El
νεεννεεννν
γν
τ
νεεννν
γν
νεεννν
σ
+−−+−−+
++
−=
+−−+
++
++−−+
= (3.25)
36
Substituindo as componentes da deformação pelas de deslocamento através das relações das
Eqs. 3.4, as equações anteriores ficam:
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )
∂∂−
∂∂
+⋅⋅+
∂∂+
∂∂
+−=
∂∂
−+
∂∂
−+−+
∂∂+
∂∂
+⋅⋅+
∂∂
−+
∂∂
−+−=
xu
yv
1Eml
xv
yu
12Eml
xu
1yv
211E1m
xv
yu
1Eml
yv
1xu
211E1l
22
t
22
n
νντ
νν
ννν
ννν
νννσ
(3.26)
As Eqs. 3.26 são válidas para o estado plano de deformações, mas para torná-las válidas para
o estado plano de tensões, basta substituir as constantes elásticas E e ν por E’ e ν’ dadas pela
Eq. 3.22.
37
CAPÍTULO 4
APLICAÇÃO DO MÉTODO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL
4.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo, descreve-se a aplicação do Método dos Operadores Discretos (MOD) a
problemas de elasticidade bidimensional. No item 4.2, mostra-se a discretização das equações
de Navier que produzem as moléculas utilizadas no interior do domínio. No item 4.3,
desenvolve-se a formulação de uma molécula de contorno, onde as equações de Navier são
introduzidas na discretização dos operadores e estas discretizações, por sua vez, são
empregadas para obtenção da forma discreta das equações de contorno.
4.2 – MOLÉCULAS PARA O INTERIOR DO DOMÍNIO
Como visto no item 3.8, que trata das equações diferenciais do equilíbrio para pontos no
interior do domínio de um problema sob o estado plano de deformações, as equações de
Navier apresentadas na Eqs. 3.21, e reproduzidas a seguir, devem ser simultaneamente
satisfeitas.
( )
( ) 0YE
12yv
xu
y211v
yx
0XE
12yv
xu
x211u
yx
2
2
2
2
2
2
2
2
=++
∂∂+
∂∂
∂∂
−+
∂∂+
∂∂
=++
∂∂+
∂∂
∂∂
−+
∂∂+
∂∂
νν
νν
Estas equações são válidas apenas para o estado plano de deformações, mas podem ser
transformadas para o estado plano de tensões substituindo-se as constantes elásticas E e ν por
E’ e ν’, dadas pelas Eqs. 3.22 e apresentadas novamente a seguir:
( )ν
ννν+
=−=1
'eE1'E 2
38
4.2.1 – Discretização dos operadores diferenciais
No caso de elasticidade, as moléculas empregadas precisam ser mais sofisticadas que as
usadas para o problema de potencial. As moléculas de seis pontos apresentadas no item 2.3,
propostas por Jensen (1972), quando empregadas em domínios com discretização regular, não
oferecem boa aproximação para o operador diferencial misto de segunda ordem ( )yx2
∂∂∂ , pois os
pesos dados aos pontos satélites, para aproximar este operador, produzem uma molécula
desbalanceada. Uma solução para este caso é o emprego da molécula ponderada de m pontos
(m>5), proposta por Liszka e Orkisz (1980), de maneira que a aproximação do operador misto
seja feita por meio de uma molécula mais balanceada.
Desde que o valor de uma função f(x,y) e o de todas as suas derivadas existentes sejam
conhecidos em um determinado ponto 0, os valores da mesma função podem ser calculados
em m pontos na vizinhança deste ponto 0 via série de Taylor da seguinte forma:
( ) ( )( ) ( ) 32
02
2
0
22
02
2
000i Ry
yf
21yx
yxfx
xf
21y
yfx
xfff +∆
∂∂+∆∆
∂∂
∂+∆
∂∂+∆
∂∂+∆
∂∂+=
Onde: if - valor da função no ponto i, ou seja, ( )ii y,xf ;
0f - valor da função no ponto 0, ou seja, ( )00 y,xf ;
0i xxx −=∆ ;
0i yyy −=∆ ; e
3R - resto resultante do truncamento da série nos termos de 2a ordem.
Supondo que os pontos onde se deseja calcular os valores da função estejam suficientemente
próximos do ponto 0, de tal forma que os termos R3 possam ser desprezados, os valores da
função nos m pontos (m>5) podem ser obtidos via série de Taylor na seguinte forma
matricial:
39
0yy
xy
xx
y
x
2mmm
2mmm
2555
2555
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
m
5
4
3
2
1
fffff
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
f
fffff
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
≈
∆
∆∆∆∆∆
!!!!!!
(4.1)
Onde: )y,x(f)y,x(ff 00iii −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m;
0ii xxx −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m; e
0ii yyy −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4,…, m.
A mesma Eq. 4.1, rescrita em notação matricial, fica:
1x55mx1mx fΔΔfi ∂⋅≈ (4.2)
O sistema algébrico da Eq. 4.2 não possui solução única, uma vez que o número de equações
é maior que o número de incógnitas. Seguindo o procedimento adotado por Pulino (1989) e
proposto por Liszka e Orkisz (1980), é possível empregar a técnica dos mínimos quadrados
para obter uma solução com minimização do erro dado por:
1m155m1m ×××× −∂⋅= iΔffΔe (4.3)
Então, fazendo:
01mT
m1T015
=∂∂
∂××
×
eef
0m11m155m
Tm11m155mT
015
=−∂⋅−∂⋅∂∂
∂××××××××
×ii ΔffΔΔffΔ
f
01m1m155mT
m5 =−∂⋅ ××××× iΔffΔΔ
01mT
m5155mT
m5 =−∂⋅ ××××× iΔfΔfΔΔ
40
Chega-se a:
( ) 1mT
m51
5mT
m515 ××−
××× =∂ iΔfΔΔΔf (4.4)
Percebe-se que a técnica dos mínimos quadrados leva a um dos casos mais simples de inversa
generalizada que é a inversa esquerda. Como já foi dito, este sistema não possui solução única
e, ainda segundo Pulino (1989), não apresenta bons resultados quando aplicado a problemas
de potencial. A qualidade dos resultados pode ser melhorada aplicando uma técnica de
ponderação, isto é, introduzindo-se uma função de ponderação que dê maior peso aos pontos
localizados mais próximos ao ponto de origem. Sendo hi a distância de cada ponto satélite ao
ponto de origem da molécula, a função de ponderação empregada será o inverso do cubo
desta distância hi. Essa ponderação é feita com a introdução da matriz [E] da seguinte forma:
( ) 1mimmT
m51
5mmmT
m515 ×××−
×××× ⋅⋅⋅≈∂ ΔfEΔΔEΔf (4.5)
Onde:
≠=
=ji se 0ji se /1 3
ihE , com i = 1, 2, 3, 4,…, m.
A discretização dos operadores diferenciais é obtida da Eq. 4.5. Para melhor visualização, a
mesma equação será rescrita a seguir em forma expandida. O resultado da operação
( ) mmT
m51
5mmmT
m5 ××−
××× ⋅⋅⋅ EΔΔEΔ é uma matriz (5 x m) e, denotando os termos de tal matriz por
aij, a Eq. 4.5 pode ser colocada da seguinte forma:
∆
∆∆∆∆∆
≈
m
5
4
3
2
1
m55554535251
m44544434241
m33534333231
m22524232221
m11514131211
0yy
xy
xx
y
x
f
fffff
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
fffff
!"""""
(4.6)
Da Eq. 4.6, as formas discretas dos operadores diferenciais são obtidas diretamente:
41
( )
( )
( )
( )
( )0i
m
1ii5i
m
1ii52
2
0i
m
1ii4i
m
1ii4
2
0i
m
1ii3i
m
1ii32
2
0i
m
1ii2i
m
1ii2
0i
m
1ii1i
m
1ii1
ffafay
f
ffafayxf
ffafax
f
ffafayf
ffafaxf
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
∂
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
−=∆≈∂∂
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
==
==
(4.7)
4.2.2 – Discretização das equações de campo
Trabalhando a primeira equação de Navier, apresentada nas Eqs. 3.21, tem-se:
( ) 0XE
12yv
xu
x211u
yx 2
2
2
2
=++
∂∂+
∂∂
∂∂
−+
∂∂+
∂∂ ν
ν
( ) 0XE
12yxv
211
xu
211
yu
xu 2
2
2
2
2
2
2
=++∂∂
∂−
+∂∂
−+
∂∂+
∂∂ ν
νν
( ) 0XE
12yxv
211
xu
2122
yu 2
2
2
2
2
=++∂∂
∂−
+∂∂
−−+
∂∂ ν
ννν
Multiplicando-se esta última equação membro a membro por ( )ν21− (para evitar a
possibilidade de divisão por 0 quando 5,0=ν ), vem:
( ) ( ) ( )( )XE
2112yxv
yu21
xu12
2
2
2
2
2 νννν −+−=∂∂
∂+∂∂−+
∂∂− (4.8)
Substituindo os operadores diferenciais da Eq. 4.8 pelas respectivas formas discretas dadas
nas Eqs. 4.7, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )XE
2112vvauua21uua12n
1i0ii4
n
1i0ii5
n
1i0ii3
νννν −+−=−+−−+−− ∑∑∑===
42
Arranjando a equação anterior para isolar os termos do ponto central dos pontos satélites, tem-
se a forma discreta da 1a equação de Navier pronta para sua inserção no sistema global:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )XE
2112vaua21a12vaua21a12 i
n
1ii4
n
1iii5i30
n
1ii40
n
1ii5
n
1ii3
νννννν −+−=+−+−+
−
−+−− ∑∑∑∑∑
=====
(4.9)
O esquema da molécula produzida pela Eq. 4.9 é apresentado a seguir na Fig. 4.1:
( ) ( ) 01
401
51
3 2112 vauaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( ) 01
401
51
3 2112 vauaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( ) 01
401
51
3 2112 vauaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 2112 vauaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn vauaa 453 2112 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 2112 vauaa +−+− νν
Figura 4.1: Forma gráfica da primeira equação de Navier para: ( )( ) XE
νν 2112 −+−
Trabalhando a segunda equação de Navier, Eqs. 3.21, de forma semelhante à primeira, chega-
se a sua forma discreta apresentada na Eq. 4.10 a seguir e, na Fig. 4.2, tem-se o esquema da
respectiva molécula:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )YE
2112uava12a21uava12a21 i
n
1ii4
n
1iii5i30
n
1ii40
n
1ii5
n
1ii3
νννννν −+−=+−+−+
−
−+−− ∑∑∑∑∑
=====
(4.10)
43
( ) ( ) 01
401
51
3 1221 uavaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( ) 01
401
51
3 1221 uavaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( ) 01
401
51
3 1221 uavaan
ii
n
ii
n
ii
−
−+−− ∑∑∑
===
νν
( ) ( )[ ] [ ] 14115131 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 24225232 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 34335333 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 44445434 1221 uavaa +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] nnnnn uavaa 453 1221 +−+− νν
( ) ( )[ ] [ ] 54555535 1221 uavaa +−+− νν
Figura 4.2: Forma gráfica da segunda equação de Navier para: ( )( )YE
νν 2112 −+−
As moléculas anteriores são válidas apenas para o estado plano de deformações, mas podem
ser transformadas para o estado plano de tensões substituindo as constantes elásticas E e ν
por E’ e ν’ dadas pelas Eqs. 3.22.
4.3 - MOLÉCULAS PARA O CONTORNO
No contorno, tanto as equações de campo (Navier), apresentadas nas Eqs. 3.21, quanto as
equações de contorno, Eqs. 3.26, devem ser satisfeitas. Assim, primeiro será criada uma
discretização de operadores que inclua as equações de campo, em seguida, as equações de
contorno serão discretizadas usando estes operadores discretos.
As equações de contorno são:
( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
∂∂−
∂∂
+⋅⋅+
∂∂+
∂∂
+−=
∂∂+
∂∂
+⋅⋅+
∂∂
−+
∂∂
−+−+
∂∂
−+
∂∂
−+−=
xu
yv
1Eml
xv
yu
12mlE
xv
yu
1Eml
xu
11
yv
211E1m
yv
11
xu
211E1l
22
t
22
n
νντ
ννννν
ννννσ
E as equações de campo, que são as mesmas equações de Navier para o estado plano de
deformações, são:
44
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )Y
E2112
yxu
yv12
xv21
XE
2112yxv
yu21
xu12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
νννν
νννν
−+−=∂∂
∂+∂∂−+
∂∂−
−+−=∂∂
∂+∂∂−+
∂∂−
(4.11)
Para se obter as equações equivalentes para o estado plano de tensões, basta substituir as
constates elásticas E e ν por E’ e ν’ dadas nas Eqs. 3.22.
4.3.1 – Discretização dos operadores diferenciais
A série de Taylor sobre um ponto 0 pode ser empregada para aproximar os valores das
funções de deslocamento u(x,y) e v(x,y) em pontos na vizinhança deste ponto 0. Supondo que
os pontos onde se deseja aproximar as funções estejam suficientemente próximos de maneira
que os termos de terceira ordem em diante da série de Taylor possam ser desprezados, esta
série pode ser colocada na forma matricial da Eq. 4.12.
Usando a série de Taylor da 1a a 4a linhas para aproximar u(x,y), da 6a a 9a linhas para
aproximar v(x,y) e reservando a 5a e 10a linhas para escrever as equações de campo na forma
apresentada nas Eqs. 4.11, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆
−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆
≈
⋅∆∆∆∆
⋅∆∆∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
yy
xy
xx
y
x
yy
xy
xx
y
x
2y
442x
44
2y
332x
33
2y
222x
22
2y
112x
11
2y
442x
44
2y
332x
33
2y
222x
22
2y
112x
11
4
3
2
1
4
3
2
1
vvvvvuuuuu
120210001000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx00000
01000210120000000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx
YCvvvvXC
uuuu
24
24
23
23
22
22
21
21
24
24
23
23
22
22
21
21
νν
νν
(4.12)
45
Onde: X e Y são as componentes da força de corpo na direção dos eixos x e y,
respectivamente;
E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;
0ii uuu −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4;
0ii vvv −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4; e
( )( )E
2112 C νν −+−=
Se a matriz das diferenças de coordenadas e coeficientes das equações de Navier da Eq. 4.12
puder ser invertida e, se os termos desta inversa forem chamados aij, as formas discretas dos
operadores diferenciais contendo as equações de campo podem ser diretamente obtidas de:
∆∆∆∆
∆∆∆∆
≈
CYvvvv
CXuuuu
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
vvvvvuuuuu
4
3
2
1
4
3
2
1
10,109,108,107,106,105,104,103,102,101,10
10,9999897969594939291
10,8898887868584838281
10,7797877767574737271
10,6696867666564636261
10,5595857565554535251
10,4494847464544434241
10,3393837363534333231
10,2292827262524232221
10,1191817161514131211
yy
xy
xx
y
x
yy
xy
xx
y
x
(4.13)
A seguir, nas Eqs. 4.14, tem-se a forma discreta dos operadores diferenciais com as equações
de campo (Navier) nelas inseridas:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) CYavaCXauav
CYavaCXauav
CYavaCXauau
CYavaCXauau
CYavaCXauau
10,10
4
1ii5i,105,10
4
1iii,10yy
10,6
4
1ii5i665
4
1iii6x
10,5
4
1ii5i555
4
1iii5yy
10,2
4
1ii5i225
4
1iii2y
10,1
4
1ii5i115
4
1iii1x
⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈
⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈
⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈
⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈
⋅+∆⋅+⋅+∆⋅≈
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
!
! (4.14)
46
4.3.2 – Discretização das equações de contorno
Para obtenção das moléculas de contorno onde os deslocamentos são prescritos (apoio do 2o
gênero) ou para o contorno livre (com ou sem carregamento aplicado), basta usar a forma
discreta dos operadores diferenciais dadas nas Eqs. 4.14 para discretizar as equações de
contorno dadas nas Eqs. 3.26. Assim, aplicando a forma discreta dos operadores em:
( )( )( )
( )( )( ) ( )
∂∂+
∂∂
+⋅⋅+
∂∂
−+
∂∂
−+−+
∂∂
−+
∂∂
−+−=
xv
yuEml
xu
yvEm
yv
xuEl
n ννννν
ννννσ
111
2111
11
2111 22
,
a seguinte equação discretizada é obtida:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑=
++++=
+++++++++++4
1ii5i645i73215i245i1321
4
1iii64i7321i24i1321 vacacccacacccuacacccacaccc
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n0
9
6i
9
6ii64
9
6ii7321i24
9
6ii13210
4
1i
4
1ii64
4
1ii7321i24
4
1ii1321 21vacacccacacccuacacccacaccc σν−−
+++++−
+++++− ∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑
= ==== ===
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ]610471032121041103216547532125415321 acacccacacccYE
2112acacccacacccXE
2112 +++++−+++++++−+= νννν
(4.15)
Onde: E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;
l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno; e
( )( )ν
ν+−=
1E1lc
2
1
( )νν−
=1
c2 ( )
( )νν
+−=
1E1mc
2
3 ( )
( )νν
+−=
1E21lmc4
.
A Eq. 4.15 é a forma discreta da primeira equação de contorno usando uma discretização que
já inclui as duas equações de campo. Assim, para pontos no contorno, a Eq. 4.15
corresponderá a uma equação no sistema linear de equações algébricas gerado pela
discretização do problema. O esquema da molécula produzida por esta equação é apresentado
na Fig. 4.3 a seguir:
47
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 16647632126416321
16147132121411321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
( ) ( )
( ) ( )
( ) n
0
9
6i
9
6ii64
9
6ii7321i24
9
6ii1321
0
4
1i
4
1ii64
4
1ii7321i24
4
1ii1321
21
vacacccacaccc
uacacccacaccc
σν−−
+++++−
+++++−
∑ ∑∑∑
∑ ∑∑∑
= ===
= ===
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 46947932129419321
46447432124414321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++ ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] 36847832128418321
36347332123413321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 26747732127417321
26247232122412321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 16647632126416321
16147132121411321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
( ) ( )
( ) ( )
( ) n
0
9
6i
9
6ii64
9
6ii7321i24
9
6ii1321
0
4
1i
4
1ii64
4
1ii7321i24
4
1ii1321
21
vacacccacaccc
uacacccacaccc
σν−−
+++++−
+++++−
∑ ∑∑∑
∑ ∑∑∑
= ===
= ===
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 46947932129419321
46447432124414321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++ ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] 36847832128418321
36347332123413321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 26747732127417321
26247232122412321
vacacccacacccuacacccacaccc
++++++++++
Figura 4.3: Molécula da 1a eq. de contorno para: ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]61047103212104110321
6547532125415321
2112
2112
acacccacacccYE
acacccacacccXE
+++++−+
+
+++++−+
νν
νν
Da mesma forma que para a primeira equação de contorno, para se obter a forma discreta da
segunda equação de contorno, basta substituir seus operadores diferenciais por suas
respectivas formas discretas dadas pelas Eqs. 4.14. A segunda equação de contorno é:
( )( ) ( )
∂∂−
∂∂
+⋅⋅+
∂∂+
∂∂
+−=
xu
yv
1Eml
xv
yu
12mlE 22
t νντ
Substituindo seus operadores diferenciais pelas respectivas formas discretas, obtém-se:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∑=
+++++=
+−+++−+4
1i5i5i265i155i755i66
4
1iii26i15i75i66 vacacacacuacacacac
t0
9
6ii26
9
6ii15
9
6ii75
9
6ii660
4
1ii26
4
1ii15
4
1ii75
4
1ii66 vacacacacuacacacac τ−
+−+−
+−+− ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
( )( ) [ ] ( )( ) [ ]2106110571056106256155755656 acacacacYE
2112acacacacXE
2112 +−+−+++−+−+= νννν
(4.16)
Onde: E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;
l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno; e
( )ν+
=1Elmc5
( )( )ν−
−=1
mlEc22
6.
48
O esquema da molécula produzida pela Eq. 4.16, correspondente à segunda equação de
contorno, é apresentado na Fig. 4.4 a seguir:
[ ][ ] 1266165765666
1216115715616
vacacacacuacacacac
+−++−+
t
0
9
6ii26
9
6ii15
9
6ii75
9
6ii66
0
4
1ii26
4
1ii15
4
1ii75
4
1ii66
vacacacac
uacacacac
τ−
+−+−
+−+−
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
[ ][ ] 4296195795696
4246145745646
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 3286185785686
3236135735636
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 2276175775676
2226125725626
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 1266165765666
1216115715616
vacacacacuacacacac
+−++−+
t
0
9
6ii26
9
6ii15
9
6ii75
9
6ii66
0
4
1ii26
4
1ii15
4
1ii75
4
1ii66
vacacacac
uacacacac
τ−
+−+−
+−+−
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
[ ][ ] 4296195795696
4246145745646
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 3286185785686
3236135735636
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 2276175775676
2226125725626
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 1266165765666
1216115715616
vacacacacuacacacac
+−++−+
t
0
9
6ii26
9
6ii15
9
6ii75
9
6ii66
0
4
1ii26
4
1ii15
4
1ii75
4
1ii66
vacacacac
uacacacac
τ−
+−+−
+−+−
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
[ ][ ] 4296195795696
4246145745646
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 3286185785686
3236135735636
vacacacacuacacacac
+−++−+
[ ][ ] 2276175775676
2226125725626
vacacacacuacacacac
+−++−+
Figura 4.4: Molécula da 2a eq. de contorno para: ( )( ) [ ]
( )( ) [ ]2106110571056106
256155755656
acacacacYE
2112
acacacacXE
2112
+−+−++
+−+−+
νν
νν
As duas formas discretas das equações de contorno, Eq. 4.15 e Eq. 4.16, são usadas para dois
casos de condição de contorno:
i) Superfície livre, com ou sem carregamento externo; e
ii) Apoio do 2o gênero (com deslocamentos em u e v prescritos).
É preciso ainda definir as condições que precisam ser satisfeitas para o caso de apoio do 1o
gênero, onde o deslocamento na direção normal ao contorno (un) é prescrito e livre na direção
tangencial. Assim, as condições que precisam ser satisfeitas são:
atrito) (sem 0=⋅+⋅=
t
n mvluuτ
(4.17)
Onde l e m são os co-senos diretores da normal ao contorno.
Para introduzir estas condições no sistema global, procede-se da seguinte forma:
i) mvluun ⋅+⋅= é colocada diretamente no sistema global; e
ii) atrito) (sem 0=tτ é introduzida usando a molécula da Eq. 4.16 ou Fig. 4.4.
49
CAPÍTULO 5
DISCUSSÃO SOBRE ERROS
5.1 – INTRODUÇÃO
Os métodos numéricos para solução direta de equações diferenciais envolvem a substituição
da equação contínua por uma forma discreta. No processo de discretização, os operadores
diferenciais da equação que governa o problema são substituídos por aproximações discretas,
calculadas em pontos específicos do domínio. Inevitavelmente, essa substituição do domínio
contínuo por uma forma discreta introduz erros no cômputo das derivadas e, por conseguinte,
na solução computacional do problema (Arad et al, 1998).
Em geral, deseja-se ter pelo menos uma idéia do erro na solução numérica encontrada, isto é,
ter uma idéia da diferença entre a solução exata e a solução aproximada do problema. Mas o
erro na solução (ES) é resultado da combinação de dois outros erros de diferentes origens: o
erro de truncamento (ET); e o erro de arredondamento (EA). Assim, pode-se considerar que o
erro na solução é resultado da soma dos erros de truncamento e de arredondamento conforme
apresentado na Eq. 5.1 a seguir:
Es = Solução Exata – Solução Aproximada = ET + EA (5.1)
Segundo Spotz e Carey (1996), o erro de arredondamento decorre do fato do computador ser
incapaz de realizar infinitas operações aritméticas com precisão absoluta, mas precisar
arredondar os valores em certo número de casas decimais. Esse erro se manifesta
principalmente na solução do sistema de equações lineares produzido pela discretização do
problema. Ele pode ser minimizado com o emprego de máquinas mais poderosas, unidades de
medida convenientes ou com métodos de solução de sistemas lineares que requeiram menor
quantidade de operações aritméticas.
O erro de truncamento (ET) resulta da diferença entre a equação do problema e sua forma
discreta, geralmente, decorrente do truncamento da série de Taylor (Spotz e Carey, 1996).
Segundo Arad et al (1998), este erro pode ser reduzido usando-se mais termos da série de
50
Taylor, mas isso provoca a necessidade de se empregar mais pontos na formação das
moléculas, o que dificulta a aplicação do método em regiões próximas ao contorno. Outra
possibilidade para a redução do erro de truncamento é o refinamento da discretização,
aumentando o número de pontos em que o domínio é discretizado. Mas, por outro lado, esta
medida aumenta o número de equações lineares produzidas pela discretização do problema e,
assim, aumenta o erro de arredondamento.
Então, cabe ao pesquisador procurar minimizar principalmente o erro de truncamento uma vez
que ele depende muito mais da abordagem adotada para a solução do problema que o erro de
arredondamento.
Até aqui, supôs-se que todos os pontos satélites da molécula estavam suficientemente
próximos do ponto central, de tal forma, que os termos de terceira ordem em diante da série
de Taylor poderiam ser desprezados. Agora, as deduções das moléculas serão novamente
apresentadas, mas desta vez o resto resultante do truncamento da série será considerado. E
justamente a grandeza do termo do resto permitirá a avaliação do erro cometido.
A questão do erro será discutida considerando duas situações distintas. O primeiro caso
permite uma verdadeira avaliação do erro e fornece limite inferior e superior para as
aproximações. Trata-se do caso em que os valores exatos da função são conhecidos em todos
os pontos onde o domínio foi discretizado. Essa situação se verifica em casos em que a
resposta procurada não é propriamente a função, mas relações envolvendo suas derivadas. Um
exemplo seria o caso em que se deseja investigar a torção livre de hastes através da analogia
com uma membrana, onde uma membrana é fixada em uma fôrma vazada com a mesma
forma da seção transversal da haste, uma pressão interna é aplicada e os deslocamentos
provocados na membrana são medidos. Os deslocamentos não possuem significado físico
relevante, mas a derivada da superfície produzida pela membrana deformada permite a
avaliação da distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal da haste. O segundo
caso é mais freqüente, mas não se trata de uma estimativa propriamente dita para o erro
cometido. Nele, faz-se apenas uma indicação da região do domínio onde a função erro
provavelmente assume seus valores mais significativos. Esse caso acontece, por exemplo, em
problemas de valor de contorno (PVC), onde o valor da função só é conhecido em pontos do
contorno do tipo Dirichlet e os operadores discretos são usados para aproximar a função nos
demais pontos.
51
Inicialmente será discutida a influência do resto resultante do truncamento da série para as
moléculas usadas no Capítulo 2, que trata de um problema de potencial e, em seguida, para as
moléculas usadas no Capítulo 4, que trata do caso da elasticidade bidimensional.
5.2 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE DOMÍNIO DE 6 PONTOS
Empregando-se a série de Taylor sobre o ponto 0, em forma matricial, para aproximar uma
função f(x,y) nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5, tem-se:
Onde: )y,x(f)y,x(ff 00iii −=∆ ;
0ii xxx −=∆ ;
0ii yyy −=∆ ; e
3
i R é o resto resultante do truncamento da série de Taylor no termo de segunda
ordem para aproximar o valor da função no ponto i.
A expressão anterior, em forma sintética, fica:
3RfΔΔf +∂⋅=
Para obter a forma discreta dos operadores diferenciais que considera o termo resultante do
truncamento da série, basta fazer:
( )31 RΔfΔf −⋅=∂ − (5.1)
+
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=
∆∆∆∆∆
35
34
33
32
31
0yy
xy
xx
y
x
2555
2555
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
5
4
3
2
1
RRRRR
fffff
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
fffff
52
Os termos do vetor contendo os restos resultantes do truncamento (R3) podem ser
aproximados pela soma dos termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor, como
apresentado na Eq. 5.2 a seguir:
4i
00yyyy3ii
00xyyy2i
2i
00xxyy
i3
i00xxxy4
i00xxxx3
i00yyy
2ii
00xyyi
2i
00xxy3i
00xxx3
i
y24
)y,x(fyx
6)y,x(f
yx4
)y,x(f
yx6
)y,x(fx
24)y,x(f
y6
)y,x(f
yx3
)y,x(fyx
3)y,x(f
x6
)y,x(fR
∆⋅+∆⋅∆⋅+∆⋅∆⋅
+∆⋅∆⋅+∆⋅+∆⋅
+∆⋅∆⋅+∆⋅∆⋅+∆⋅=
(5.2)
Neste caso, as derivadas de terceira e quarta ordem da função são obtidas da seguinte forma:
1. As aproximações para as derivadas de primeira e segunda ordem da função são obtidas da
maneira já apresentada nos Capítulos 2 e 4 desta dissertação, ou seja, calculando-se a
matriz de diferenças (∆∆∆∆), invertendo-a e multiplicando-a pelo vetor das diferenças de
função (∆∆∆∆fi);
2. Conhecidas aproximações para os operadores diferenciais até a segunda ordem em todos
os pontos onde o domínio foi discretizado, aproximações para os operadores fxxx, fxxy,
fxxxx, fxxxy e fxxyy podem ser obtidas multiplicando-se a inversa de ∆∆∆∆ pelo vetor ∆∆∆∆fxx, cujos
termos são dados pela diferença entre fxx nos pontos satélites e fxx no ponto central, ou
seja, 0xxixx ff − ; e
3. Aproximações para fyyx, fyyy, fyyxx, fyyyx e fyyyy são obtidas de forma semelhante ao caso
anterior, sendo que a inversa de ∆∆∆∆ é multiplicada pelo vetor ∆∆∆∆fyy, cujos termos são dados
pela diferença entre fyy nos pontos satélites e no ponto central, ou seja, fyy i – fyy o;
Considerando o primeiro caso em que o valor da função já é conhecido em todos os pontos
onde o domínio foi discretizado, a fórmula do resto de Lagrange (ver Apêndice A) pode ser
usada para limitar o termo R3 e, assim, limitar o erro na discretização dos operadores
diferenciais, ou seja, seria então possível conhecer o limite inferior e superior para o erro
cometido em cada discretização dos operadores diferenciais e, assim, estimar o erro cometido.
A fórmula do resto de Lagrange será empregada com base na Eq. 5.2, mas desprezando os
53
termos de quarta ordem. Então, criando um vetor com a fórmula do resto de Lagrange
avaliada sobre o ponto de origem (R3orig) para cada expansão de Taylor e outro vetor com o
resto avaliado nos pontos satélites (R3sat), o valor exato do operador deve ficar entre os
valores ( )3orig1 RΔfΔ −⋅− e ( )3sat
1 RΔfΔ −⋅− . Cabe lembrar que a limitação é garantida
apenas se a distância entre a origem e cada ponto satélite for pequena o suficiente, de maneira
que os valores extremos da fórmula do resto de Lagrange, avaliada no intervalo entre a
origem e o ponto satélite, encontrem-se nos extremos deste intervalo.
Considerando situações mais freqüentes, onde o método dos operadores é usado para
aproximar o valor da função em pontos do domínio fora do contorno Dirichlet, uma indicação
da localização das regiões do domínio mais suscetíveis a erro pode ser obtida a partir da
avaliação do vetor dos restos computado sobre o ponto de origem conforme a Eq. 5.2. Quanto
melhor a aproximação, mais próximos de zero são os termos do vetor dos restos e menor é sua
influência sobre as forma discreta dos operadores. Cabe notar que, para moléculas de 6
pontos, uma melhora na aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da
Eq. 5.1.
5.3 – ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS (POTENCIAL)
Este caso é semelhante ao anterior, mas a forma discreta dos operadores que considera o
termo dos restos resultantes do truncamento da série é obtida conforme se segue.
Escrevendo-se a série de Taylor sobre o ponto 0 para aproximar o valor da função f(x,y) em
quatro pontos de sua vizinhança e reservando a quinta linha para a equação de contorno, em
forma matricial, tem-se:
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
+
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
∆∆⋅∆∆∆∆
=
∆∆∆∆
∂∂ 0
RRRR
fffff
000sincosy2
1yxx21yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
ffff
34
33
32
31
0yy
xy
xx
y
x
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
0nf
4
3
2
1
θθ
A expressão anterior, em notação matricial, fica:
54
3RfΔΔf +∂⋅= (5.3)
Para se obter a forma discreta dos operadores diferenciais considerando o termo restante do
truncamento da série, basta fazer:
( )31 RΔfΔf −⋅=∂ − (5.4)
Os termos não nulos do vetor dos restos resultante do truncamento da série são estimados
através da Eq. 5.2 e, com isso, a Eq. 5.4 passa a ser uma aproximação. Quanto ao erro
cometido, as mesmas observações apresentadas no item 5.2 são válidas para este caso, exceto
que aqui, não faz sentido limitar a aproximação através da fórmula do resto de Lagrange, pois
como esta molécula foi criada para tratar de problemas de valor de contorno, não se conhece
de antemão o valor da função em todos os pontos onde o domínio foi discretizado e, assim,
não se pode limitar o erro a partir de dados obtidos por aproximação numérica. Por fim, vale
lembrar que, para moléculas de contorno de 5 pontos para problemas de potencial,
aproximações melhores são obtidas através da Eq. 5.4.
5.4 – ERRO PARA A MOLÉCULA PONDERADA DE DOMÍNIO DE m PONTOS
Utilizando-se a série de Taylor com origem no ponto 0 para aproximar o valor da função
f(x,y) em m pontos em sua vizinhança, tem-se:
+
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=
∆
∆∆∆∆∆
3m
35
34
33
32
31
0yy
xy
xx
y
x
2mmm
2mmm
2555
2555
2444
2444
2333
2333
2222
2222
2111
2111
m
5
4
3
2
1
R
RRRRR
fffff
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
y21yxx2
1yx
f
fffff
!!!!!!!
A equação anterior, em de notação sintética, se torna:
55
1m155m1m ×××× +∂⋅= 3RfΔΔf
Passando o termo do resto para o primeiro membro, tem-se:
155m1m ××× ∂⋅=− fΔRΔf 3
Da mesma forma que no item 4.2.1, o sistema anterior possui mais equações que incógnitas
(m>5), e, portanto, não possui solução única. Então, pode-se aplicar a técnica dos mínimos
quadrados para minimizar o erro dado por:
1m155m1m ×××× −−∂⋅= 3RΔffΔe (5.5)
Assim, fazendo: 01mT
m1T015
=∂∂
∂××
×
eef
0m11m155m
Tm11m155mT
015
=−−∂⋅−−∂⋅∂∂
∂××××××××
×33 RΔffΔRΔffΔ
f
01m1m155mT
m5 =−−∂⋅ ××××× 3RΔffΔΔ
01mT
m5155mT
m5 =−−∂⋅ ××××× 3RΔfΔfΔΔ
Para a molécula de m pontos, uma forma discreta para os operadores diferenciais que
considera o resto resultante do truncamento da série é obtida de:
( ) 1mT
m51
5mT
m515 ××−
××× −=∂ 3RΔfΔΔΔf (5.6)
Novamente, a técnica dos mínimos quadrados levou a um dos casos mais simples de inversas
generalizadas que é a inversa esquerda. Como já foi dito que este sistema não possui solução
única, então, uma melhora na precisão dos operadores discretos pode ser obtida aplicando-se
uma técnica de ponderação, isto é, dando maior peso aos pontos localizados mais próximos ao
ponto de origem. O fator de ponderação aplicado será novamente o inverso do cubo da
distância entre cada ponto satélite e o ponto de origem. A ponderação é feita com a introdução
da matriz [E] da seguinte forma:
56
( ) 1mmmT
m51
5mmmT
m515 ×××−
×××× −⋅⋅⋅≈∂ 3RΔfEΔΔEΔf (5.7)
Onde:
≠=
=ji se 0ji se h/1 3
iE , com i = 1, 2, 3, 4,…, m;
O vetor contendo os termos do resto resultante do truncamento da série de Taylor (R3)
novamente são aproximados através da Eq. 5.2, segundo procedimentos sugeridos no item 5.2
e, por isso, a Eq. 5.7 é uma aproximação numérica.
No caso em que a função é conhecida em todos os pontos onde o domínio foi discretizado, o
erro pode ser estimado através da fórmula do resto de Lagrange. Se a função for suave o
suficiente na região que contém os pontos da molécula, de maneira que o resto resultante do
truncamento possa ser limitado, através da fórmula do resto de Lagrange, com o cômputo do
vetor dos restos sobre o ponto central (R3orig) e pontos satélites (R3sat), o valor analítico das
derivadas da função no ponto de origem da molécula fica limitado entre os valores de:
( ) 1nnn
Tn5
15nnn
Tn5 ×××
−××× −⋅⋅⋅ 3origRΔfEΔΔEΔ e ( ) 1nnn
Tn5
15nnn
Tn5 ×××
−××× −⋅⋅⋅ 3satRΔfEΔΔEΔ .
Na situação mais geral, onde o método dos operadores é empregado para se obter
aproximações da função, uma indicação das regiões do domínio onde a função erro assume
seus valores mais significativos pode ser obtida da mesma forma apresentada no item 5.2, ou
seja, através da avaliação do vetor resto calculado sobre o ponto de origem (R3orig). Quanto
menores forem termos do vetor resto, menor será a influência deste vetor na discretização dos
operadores e menor será o erro de truncamento, ou seja, a equação discreta se aproxima mais
da equação governante. Cabe lembrar ainda, que para moléculas de m pontos, uma melhora na
aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da Eq. 5.7.
57
5.5 - ERRO PARA A MOLÉCULA DE CONTORNO DE 5 PONTOS
(ELASTICIDADE)
Para problemas de elasticidade bidimensional, a discretização dos operadores diferenciais
usada para criação da molécula de contorno é obtida a partir de:
( ) ( )
( ) ( )
+
−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆
−−∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆∆⋅∆∆∆
=
⋅∆∆∆∆⋅
∆∆∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
0RRRR0RRRR
vvvvvuuuuu
120210001000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx00000
01000210120000000yxyx00000yxyx00000yxyx00000yxyx
YCvvvvXC
uuuu
34v
33v
32v
31v
34u
33u
32u
31u
yy
xy
xx
y
x
yy
xy
xx
y
x
2y
442x
44
2y
332x
33
2y
222x
22
2y
112x
11
2y
442x
44
2y
332x
33
2y
222x
22
2y
112x
11
4
3
2
1
4
3
2
1
24
24
23
23
22
22
21
21
24
24
23
23
22
22
21
21
νν
νν
Onde: X e Y são as componentes da força de corpo na direção dos eixos x e y,
respectivamente;
E e ν são o módulo de elasticidade e o coeficiente do Poisson, respectivamente;
0ii uuu −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4;
0ii vvv −=∆ , com i = 1, 2, 3, 4; e
( )( )E
2112 C νν −+−=
Na equação anterior, a série de Taylor é usada para aproximar o valor dos deslocamentos em
u e v em quatros pontos na vizinhança de um ponto 0, além disso, inclui as equações de
Navier na 5a e 10a linhas. Os termos uiR3 e viR3 representam o resto resultante do truncamento
da série de Taylor para as aproximações dos deslocamentos em u e v, respectivamente. Os
termos não nulos do vetor dos restos (R3) são aproximados pela Eq. 5.2.
Em notação matricial, a equação anterior fica:
3RuvΔΔuv +∂⋅= (5.8)
58
Da mesma maneira que nos itens anteriores, a forma discreta dos operadores diferenciais que
considera os termos resultantes do truncamento da série, é obtida de:
( )3RΔuvΔuv −⋅=∂ −1 (5.9)
Quanto à análise de erro, como esta molécula foi criada especificamente para o caso do
problema da elasticidade bidimensional, que é um problema de valor de contorno, não cabe
procurar limitar o erro usando a fórmula do resto de Lagrange como no item anterior. Mas é
possível a localização de regiões do domínio onde a função erro provavelmente assume seus
valores mais significativos, isso é feito a partir da avaliação do vetor dos restos computado
sobre o ponto de origem. Quanto melhor a aproximação, mais próximos de zero são os termos
do vetor R3 e menor é sua influência sobre a forma discreta dos operadores. Cabe lembrar
que, para a molécula de 5 pontos usada no contorno de problemas de elasticidade, uma
melhora na aproximação dos operadores diferenciais pode ser obtida através da Eq. 5.9.
59
CAPÍTULO 6
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO À ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL
6.1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo começa com uma breve explicação sobre o funcionamento do programa
Elast_2D, que foi desenvolvido para solução de problemas de elasticidade bidimensional via
operadores discretos. Ele foi implementado em linguagem C++ e seu funcionamento é
comentado no Apêndice D.
Em seguida, com o exclusivo objetivo de validar o Método dos Operadores Discretos, quatro
exemplos acadêmicos clássicos são apresentados. Dois deles estão submetidos ao estado
plano de tensões e os outros dois, ao estado plano de deformações. Em todos eles, com
finalidade didática, as forças de corpo foram desconsideradas. Em cada exemplo, a solução
obtida pelo MOD é comparada à solução analítica, quando esta é conhecida, e à solução
obtida por elementos finitos através do programa SAP 2000. Neste capítulo, os resultados são
comparados exclusivamente através de gráficos, mas as tabelas utilizadas para produzi-los
podem ser encontradas no Apêndice C.
Os arquivos de entrada e saída, bem como o código fonte do programa Elast_2D, seguem no
CD que acompanha este trabalho.
6.2 – FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D
O programa Elast_2D foi empregado para a solução via operadores discretos de todos os
exemplos abordados neste Capítulo. Seu funcionamento geral pode ser descrito nos seguintes
passos:
i. Inicialmente, o programa recebe, do arquivo de entrada de dados, parâmetros gerais como
o tipo de análise a ser efetuada (estado plano de tensões ou deformações), número de
pontos empregados na discretização do domínio, propriedades do material e componentes
das forças de corpo;
60
ii. Em seguida, o programa armazena na memória, as propriedades de todos os pontos como
localização, tipo (contorno ou domínio) e, caso o ponto seja de contorno, armazena
também os valores de carregamentos, deslocamentos e ângulo da normal;
iii. Então, começa a montagem do sistema global. Para cada ponto, o programa recebe do
arquivo de entrada, o número de pontos satélites da molécula e sua “conectividade”, ou
seja, os próprios pontos satélites. Então, monta a molécula adequada, de contorno ou de
domínio, e coloca-a na linha correspondente do sistema global;
iv. Neste passo, o programa resolve o sistema global e obtém aproximações para as funções
de deslocamento, u(x,y) e v(x,y), em todos os pontos onde o domínio foi discretizado;
v. Então, as discretizações dos operadores diferenciais através da Eq. 4.5, são empregadas
para aproximar todos os operadores diferenciais até a segunda ordem, que são
armazenados na memória de massa. Neste ponto, tendo-se aproximações para os
operadores diferenciais de primeira ordem, o programa fornece estimativas para os
deslocamentos e tensões sem considerações quanto ao erro cometido;
vi. Usando novamente a Eq. 4.5 para obter formas discretas dos operadores diferenciais, mas
substituindo os valores das funções de deslocamento, u(x,y) e v(x,y), pelas respectivas
aproximações dos operadores diferenciais de segunda ordem, exceto pelo operador misto,
obtém-se aproximações para todos os operadores diferenciais de terceira e quarta ordem;
vii. As aproximações dos operadores diferenciais de terceira e quarta ordem permitem
aproximar os termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor, cuja soma é tomada
como uma estimativa para o erro de truncamento da série; e
viii. Conhecida uma estimativa para erro de truncamento, melhores aproximações para os
operadores diferenciais de primeira e segunda ordem são obtidas através da Eq. 5.7, e
novamente, o programa fornece aproximações para as tensões em todos os pontos onde o
domínio foi discretizado. Mas desta vez, além das tensões, estima-se o erro de
truncamento de cada equação discretizada no ponto. Este erro permite avaliar,
comparativamente, a qualidade das aproximações em cada ponto.
61
6.3 – EXEMPLO 1: BARRAGEM SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA
6.3.1 – Proposição do problema
Baseado em Timoshenko e Goodier (1988), o exemplo em questão é ilustrado na Fig. 6.1(a).
Trata-se de um exemplo puramente acadêmico e, assim, pode ser imaginado como uma
barragem de um reservatório completamente cheio submetido à pressão hidrostática. Supondo
que as deformações na direção longitudinal da barragem sejam restringidas, todas as seções
transversais da barragem estariam submetidas às mesmas condições e o estado plano de
deformações estaria configurado. Assim, o problema em questão pode ser resolvido
considerando apenas uma seção transversal de espessura unitária da barragem. O peso
específico da água é denotado por γ e, desta forma, a carga hidráulica a uma profundidade x é
dada pelo produto γ.x.
Figura 6.1: Exemplo 1- (a) Ilustração do problema; e (b) discretização empregada.
A solução analítica para o campo de tensões deste problema, obtida com base na solução geral
fornecida por de Timoshenko e Goodier (1988), é apresentada nas Eqs. 6.1, mas esta solução
foi obtida considerando-se apenas as condições de contorno nos lados paralelos ao eixo x. No
extremo livre da barragem, apenas a condição de σx(0,y) = 0 é atendida, a condição de
τxy(0,y) = 0 não é observada, no entanto, apesar da tensão de cisalhamento não ser nula no
62
extremo, sua variação apresenta valores bem pequenos e sua resultante é nula. Assim, as
condições de contorno no extremo da barragem se aproximam do caso de um extremo livre.
No engaste, nenhuma das condições de restrição de deslocamento foi considerada. Assim,
pelo princípio de Saint-Venant, a solução apresentada se aproxima da verdadeira numa região
distante do engaste, em geral, a uma distância igual à largura da própria barragem.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )2422xy
3y
33x
y1203y1
81y1x
83y,x
x21yx
43yx
41y,x
yx206yx
21yx
41y,x
−+−−−⋅=
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
γγγτ
γγγσ
γγγσ
(6.1)
6.3.2 – Resultados obtidos
Os gráficos apresentados a seguir, na Fig. 6.2, permitem comparar os resultados analíticos, os
de operadores discretos (MOD) e os de elementos finitos (SAP 2000).
A discretização do domínio para o MOD é apresentada na Fig. 6.1(b). Vale observar que nos
cantos da barragem, pontos onde há mudança do contorno, adotou-se a técnica dos pontos
gêmeos, isto é, foram colocados dois pontos, um para cada do contorno diferente. A
discretização empregada para o MEF é semelhante à que foi adotada para o MOD, exceto que
não existem os pontos gêmeos. Assim, há 178 graus de liberdade no modelo usado pelo MOD
e 170 no usado pelo MEF.
O resultado com elementos finitos foi obtido através do programa SAP 2000 com o domínio
discretizado em elementos retangulares de quatro nós, tipo “shell”, a carga hidráulica foi
introduzida considerando a resultante das forças em cada nó e as tensões resultantes foram
obtidas da média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.
63
σσσσx p/ y = - 1,0 m
-1600
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²) Analít
MODSAP2000
σσσσy p/ y = - 1,0 m
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²) Analít
MODSAP2000
ττττxy p/ y = - 1,0 m
-50
0
50
100
150
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
τ τττxy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
σσσσx p/ y = - 0,5 m
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²) Analít
MODSAP2000
σσσσx p/ y = 0,0 m
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
σσσσx p/ y = 0,5 m
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
σσσσx p/ y = 1,0 m
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
σ σσσx (
KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
σσσσy p/ y = -0,5 m
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
200,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²) Analít
MODSAP2000
σσσσy p/ y = 0,0 m
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²) Analít
MODSAP2000
σσσσy p/ y = 0,5 m
-100
-50
0
50
100
150
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
σσσσy p/ y = 1,0 m
-150-100
-500
50
100150
200250300350400
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
ττττxy p/ y = - 0,5 m
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
τ τττxy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
ττττxy p/ y = 0,0 m
-50,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
τ τττxy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
ττττxy p/ y = 0,5 m
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
τ τττxy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
ττττxy p/ y = 1,0 m
-50
0
50
100
150
200
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
τ τττxy
(KN
/m²)
Analít
MODSAP2000
Figura 6.2: Comparação das tensões em seções verticais da barragem do exemplo 1.
6.3.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 1
Com relação aos resultados obtidos sem qualquer consideração quanto ao erro cometido,
apresentados nos gráficos da Fig. 6.2, percebe-se que, no geral, houve uma boa concordância
entre os resultados fornecidos por operadores discretos, elementos finitos e a solução analítica
do problema. As maiores discrepâncias entre as soluções numéricas e analíticas são
observadas na região próxima ao engaste, pois como já foi comentado, a solução analítica não
é válida nesta região. As tensões normais na direção x (σx) fornecidas por operadores
64
discretos são semelhantes às fornecidas por elementos finitos em todos os casos. Algo
semelhante acontece com as tensões normais na direção y (σy), mas há uma pequena
peculiaridade neste caso, nas regiões próximas ao contorno ( y =-1 e y = 1), observa-se que
os resultados fornecidos por operadores discretos se aproximam um pouco mais da solução
analítica que os resultados fornecidos por elementos finitos. No caso da tensão de
cisalhamento (τxy), é curioso notar que, na região próxima ao contorno ( y =-1 e y = 1), os
resultados fornecidos por operadores discretos se aproximam mais do resultado analítico, mas
a situação se inverte no interior do domínio, onde os resultados de elementos finitos se tornam
melhores.
6.3.4 – Melhoramento das aproximações através de considerações quanto ao erro de
truncamento cometido
Os resultados anteriores foram obtidos sem qualquer consideração quanto ao erro de
truncamento, mas uma aproximação deste erro pode fornecer melhores aproximações dos
operadores diferenciais através da Eq. 5.7. Os gráficos da Fig. 6.3 mostram os mesmos
resultados dos gráficos da Fig. 6.2, exceto que os resultados de elementos finitos foram
substituídos pelos de operadores discretos com o possível “melhoramento” através da
aproximação do erro de truncamento.
65
σσσσx p/ y = - 1,0 m
-1800
-1600
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσy p/ y = - 1,0 m
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
ττττxy p/ y = - 1,0 m
-15
-10
-5
0
5
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
τ τττxy (
N/m
m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσx p/ y = - 0,5 m
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσx p/ y = 0,0 m
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
σ σσσx
(KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσx p/ y = 0,5 m
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσx (
KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσx p/ y = 1,0 m
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)σ σσσx (
KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσy p/ y = -0,5 m
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
00,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσy p/ y = 0,0 m
-45,0
-40,0
-35,0
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσy p/ y = 0,5 m
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
σσσσy p/ y = 1,0 m
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
σ σσσy
(KN
/m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
ττττxy p/ y = - 0,5 m
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
τ τττxy
(N/m
m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
ττττxy p/ y = 0,0 m
-50
0
50
100
150
200
250
300
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
τ τττxy
(N/m
m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
ττττxy p/ y = 0,5 m
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
x (m)
τ τττxy
(N/m
m²) Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
ττττxy p/ y = 1,0 m
-15
-10
-5
0
5
10
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0x (m)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.
s/ Melhor.c/ Melhor.
Figura 6.3: Comparação dos resultados de operadores discretos considerando possível
melhora com aproximação do erro de truncamento para o exemplo 1.
Quanto aos gráficos da Fig. 6.3, com relação às tensões normais na direção x e y (σx e σy),
como houve pouca diferença entre os resultados, a suposta melhora da aproximação que leva
em consideração a influência do erro de truncamento nos operadores foi pequena. Mas uma
melhora significativa é observada no caso da aproximação da tensão de cisalhamento (τxy) em
todas as seções.
66
6.4 – EXEMPLO 2: TUBO DE PAREDE ESPESSA COM PRESSÃO INTERNA
6.4.1 – Proposição do problema
Outro exemplo clássico é ilustrado na Fig. 6.4 (a), trata-se de um tubo de parede espessa
submetido a uma pressão interna Pi com restrição de deslocamento na direção z. Assim,
configura-se o estado plano de deformações e uma seção transversal distante dos extremos de
espessura unitária é suficiente para analisar o campo de tensões no tubo. Devido à simetria do
problema, para simplificar os estudos e reduzir o trabalho computacional, pode-se considerar
apenas um setor de 90o. A Fig. 6.4 (b) mostra o setor e a discretização adotada para o MOD.
Figura 6.4: Exemplo 2 - (a) Seção transversal do tubo; e (b) discretização empregada.
Em virtude da geometria do problema, costuma-se tratá-lo em coordenadas polares. A Fig. 6.5
mostra as componentes da tensão atuando no sentido positivo sobre um elemento qualquer de
um corpo neste sistema de referência.
67
Figura 6.5: Componentes da tensão em coordenadas polares atuando sobre um elemento.
(modificado – Timoshenko e Goodier, 1988).
As Eqs. 6.2 relacionam o sistema de coordenadas polares ao sistema cartesiano e as Eqs. 6.3
permitem obter as componentes da tensão no sistema cartesiano a partir das componentes no
sistema polar.
θθ
senrycosrx
⋅=⋅=
(6.2)
( ) ( )θθτθθσστ
θθτθσθσσθθτθσθσσ
θθ
θθ
θθ
22rrxy
r22
ry
r22
rx
sencoscossen
cossen2cossen
cossen2sencos
−+⋅−=
⋅⋅⋅+⋅+⋅=
⋅⋅⋅−⋅+⋅=
(6.3)
A solução analítica para esse problema, desprezando-se as forças de corpo, é conhecida e
pode ser facilmente encontrada em livros que tratam da teoria da elasticidade. Aplicando-se
tanto a solução de Shames (1964) quanto a de Timoshenko e Goodier (1988) para este
problema, a solução analítica resulta nas Eqs. 6.4.
0r
251102510100
r251
102510100
r
2
2
22
2
2
2
22
2
r
=
+
−⋅=
−
−⋅=
θ
θ
τ
σ
σ
(6.4)
68
6.4.2 – Resultados obtidos
Como nem o programa de operadores discretos nem o de elementos finitos fornecem
resultados em coordenadas polares, para comparar seus resultados com a solução analítica,
estas são obtidas através das Eqs. 6.4 e transformadas para o sistema cartesiano através das
Eqs. 6.2 e Eqs. 6.3.
A discretização do domínio para o MOD é apresentada na Fig. 6.4 (b). Vale notar que nos
cantos, assim como no caso da barragem, adotou-se a técnica dos pontos gêmeos, ou seja, um
ponto para cada contorno. Novamente, a discretização empregada para o MEF é semelhante à
que foi adotada para o MOD, exceto que não existem os pontos gêmeos, assim, há 128 graus
de liberdade para o MOD e 120 para o MEF.
No caso de elementos finitos, o resultado foi obtido através do programa SAP 2000 com o
domínio discretizado em elementos retangulares de quatro nós, tipo “shell”. Para a introdução
da pressão interna foi considerada a resultante das forças em cada nó decomposta em
componentes nas direções dos eixos x e y. As tensões resultantes em cada nó foram obtidas da
média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.
Os gráficos apresentados a seguir, na Fig. 6.6, permitem comparar os resultados analíticos, os
de operadores discretos (MOD64) e os de elementos finitos (SAP60) ao longo de seções de
raio constante apresentadas na Fig. 6.7.
69
σσσσx p/ r = 25 mm
-10
0
10
20
30
40
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
Analít.MOD64
SAP60
σσσσy p/ r = 25 mm
-10
0
10
20
30
40
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64
SAP60
ττττxy p/ r = 25 mm
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64
SAP60
σσσσx p/ r = 22 mm
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσx p/ r = 19 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
Analít.MOD64
SAP60
σσσσx p/ r = 16 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσx p/ r = 13 mm
-100
-50
0
50
100
150
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²) Analít.MOD64
SAP60
σσσσx p/ r = 10 mm
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσy p/ r = 22 mm
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσy p/ r = 19 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64
SAP60
σσσσy p/ r = 16 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσy p/ r = 10 mm
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64SAP60
σσσσy p/ r = 13 mm
-100
-50
0
50
100
150
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)
Analít.MOD64
SAP60
ττττxy p/ r = 22 mm
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64SAP60
ττττxy p/ r = 19 mm
-40
-30
-20
-10
0
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64SAP60
ττττxy p/ r = 16 mm
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64SAP60
ττττxy p/ r = 13 mm
-90-80-70-60-50-40-30-20-10
010
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64SAP60
ττττxy p/ r = 10 mm
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90θ θ θ θ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
Analít.MOD64SAP60
Figura 6.6: Comparação das tensões em seções de raio constante do tubo do exemplo 2.
Figura 6.7: Seções utilizadas para comparação dos resultados.
70
6.4.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 2
Na análise comparativa dos resultados apresentados nos gráficos da Fig. 6.6, percebe-se que o
MOD forneceu, no geral, bons resultados para o problema do tubo de parede espessa. Tanto
as tensões normais, σx e σy, obtidas por operadores discretos quanto as obtidas por elementos
finitos ficaram próximas da solução analítica. No caso da tensão de cisalhamento τxy, as
repostas de elementos finitos, no geral, foram melhores que as de operadores discretos, mas
observa-se que as repostas de operadores discretos melhoram nas regiões próximas ao
contorno. No caso da seção com r = 10 mm percebe-se uma queda na precisão dos resultados
obtidos por elementos finitos, mas provavelmente isso se deve à forma como o carregamento
foi introduzido, isto é, não se aplicou a pressão interna ao longo dos lados dos elementos, mas
sua resultante nos nós, decomposta na direção dos eixos x e y.
6.4.4 – Avaliação da convergência do MOD
Uma vez que a solução analítica para este problema é válida para todo o domínio, ele será
usado para verificar a convergência do método dos operadores. Para isso, o mesmo exemplo
será rodado com diversas discretizações (ver Fig. 6.8) e todas são comparadas à solução
analítica, então, observa-se como o resultado numérico converge para o analítico com o
refinamento da discretização. A Fig. 6.9 mostra os resultados da tensão ao longo das seções
de r = 10mm e r = 17,5mm, mas no caso de r = 17,5 mm, os resultados da discretização com
128 graus de liberdade não são mostrados, pois essa seção não existe nesta discretização.
Figura 6.8: Discretizações do tubo para verificação da convergência.
71
Convergência de σσσσx para r = 10 mm
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
σ σσσ x (N
/mm
²)
AnalíticoMOD98MOD128MOD190MOD314MOD470
Convergência de σσσσy para r = 10 mm
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
σ σσσ y (N
/mm
²)
AnalíticoMOD98MOD128MOD190MOD314MOD470
Convergência de ττττ xy para r = 10 mm
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
τ τττ xy
(N/m
m²)
AnalíticoMOD98MOD128MOD190MOD314MOD470
Convergência de σσσσx para r = 17,5 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
σ σσσ x (N
/mm
²)
AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470
Convergência de σσσσy para r = 17,5 mm
-40
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²)AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470
Convergência de ττττxy para r = 17,5 mm
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
θθθθ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
AnalíticoMOD98MOD170MOD314MOD470
Figura 6.9: Variações da tensão ao longo das seções r = 10 mm e r = 17,5mm do exemplo 2.
72
Então, como esperado, percebe-se a convergência do método dos operadores para a resposta
exata, isto é, à medida que a discretização é refinada, as respostas fornecidas pelo método se
aproximam cada vez mais da solução exata. Mas para realmente visualizar essa convergência,
seria conveniente encontrar uma forma de avaliar a precisão da aproximação através de um
único número, isto é, um número que permita ter uma idéia da qualidade da aproximação.
Procura-se, então, uma ferramenta semelhante ao erro RMS (root mean square) das tensões
em elementos finitos, como proposto por Zienkiewicz e Taylor (1997). Sem qualquer
pretensão de encontrar um significado físico coerente, propõe-se calcular, então, o desvio
padrão da variância média do erro nas tensões, que será referido como erro DPM, dada a
semelhança na fórmula deste com o a do erro RMS de elementos finitos. Assim, a qualidade
da aproximação de cada discretização será medida através do erro DPM das tensões dado pela
Eq. 6.5 a seguir:
2
n
1i
2
ixyixy
2
iyiy
2
ixix
nDPM
∑=
∧∧∧
−+
−+
−
=
ττσσσσ (6.5)
Onde: ixyiyix e,∧∧∧τσσ são os valores numéricos das componentes da tensão no ponto i;
ixyiyix e, τσσ são os valores analíticos das componentes da tensão no ponto i; e
n - é o número de pontos no qual do domínio contínuo foi discretizado.
Assim, quanto menor o erro DPM, melhor a aproximação. A Tab. 6.1 permite avaliar a
variação do erro DPM com as diferentes discretizações que foram empregadas para obtenção
da solução numérica.
Tabela 6.1: Variação do erro DPM para as tensões com diferentes discretizações. Graus de Liberdade Erro DPM
98 25.15128 16.76190 13.05314 7.11470 4.72
73
O gráfico apresentado na Fig. 6.10 permite visualizar os dados da Tab.6.1.
Convergência para o exemplo 2 (tubo de parede espessa)
98
128
190
314470
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0 100 200 300 400 500Número de graus de liberdade da discretização
Erro
DPM
das
tens
ões
Figura 6.10: Convergência do MOD para a solução exata do exemplo 2.
Com base nos gráficos das Fig. 6.9, percebe-se a convergência consistente do método dos
operadores para a resposta exata, isto é, à medida que a discretização é refinada, mais próxima
da solução exata são as respostas fornecidas pelo método. Quanto ao gráfico da Fig. 6.10,
como já era esperado, a queda no erro DPM com o aumento do número de graus de liberdade
confirma a convergência do MOD para a solução exata com discretizações mais refinadas.
Além disso, percebe-se uma melhora mais acentuada na precisão da aproximação entre as
discretizações mais grosseiras, que se torna mais suave à medida que as discretizações se
tornam mais refinadas.
74
6.5 – EXEMPLO 3: CHAPA QUADRADA COM FURO NO CENTRO
6.5.1 – Proposição do problema
Este exemplo investiga a perturbação no campo de tensões provocada por um furo circular no
centro de uma fina chapa quadrada submetida à tração como mostra a Fig. 6.11, assim, o
problema está submetido ao estado plano de tensões.
Se não existisse o furo na chapa, ter-se-ia um campo de tensões uniforme com σy = 100
N/mm2 e τxy = σx = 0. A presença do furo provoca uma perturbação no campo de tensões em
sua vizinhança que, pelo princípio de Saint-Venant, desaparece a medida que se afasta do
furo, fazendo com que o campo de tensões se aproxime daquele uniforme mencionado
anteriormente.
Figura 6.11: Exemplo 3 – Chapa quadrada com furo no centro submetida à tração.
A solução para este problema é conhecida e, assim como no caso do exemplo anterior, é
facilmente encontrada em livros que tratam da teoria da elasticidade. Shames (1964) fornece
uma solução geral que, para os dados específicos do problema em vista, podem ser colocada
na forma dada pelas Eqs. 6.6.
75
( )
( )
( ) θθτ
θθσ
θθσ
θ
θ
2senr3
r21
2100,r
2cosr31
r11
2100,r
2cos1r3
r4
r11
2100,r
42r
42
422r
−+=
++
+=
−−+
−=
(6.6)
6.5.2 – Resultados obtidos
Da mesma forma que no caso do exemplo 2, as respostas obtidas pelas Eqs. 6.6 podem ser
transformadas para o sistema cartesiano através das Eqs. 6.2 e Eqs. 6.3.
Devido à simetria do problema, sua análise pode ser feita com a avaliação de apenas ¼ (um
quarto) de seu domínio. A Fig. 6.12 apresenta a discretização adotada para a solução via
operadores discretos e elementos finitos.
No caso de elementos finitos, o programa utilizado foi o SAP 2000 com uma discretização do
domínio em elementos de quatro nós, tipo “shell”. O carregamento é introduzido
computando-se a força resultante das tensões de tração em cada nó. E as tensões resultantes
foram obtidas da média das tensões fornecidas por todos os elementos com o nó em comum.
Para operadores discretos, a discretização também é apresentada na Fig. 6.12 e novamente
conta com pontos gêmeos em todos os cantos onde há mudança das condições de contorno.
Figura 6.12: Discretizações empregadas para operadores discretos e elementos finitos.
76
Os resultados numéricos e analíticos, ao longo das seções mostradas na Fig. 6.13, podem ser
comparados nos gráficos da Fig. 6.14. Nela, o resultado de operadores discretos é denotado
por MOD174, pois sua discretização conta com 174 pontos (348 graus de liberdade), já a
discretização de elementos finitos possui 169 nós (338 graus de liberdade) e é denotada por
SAP169, pois foi utilizado o programa SAP 2000 para obtê-la.
Figura 6.13: Seções de comparação de resultados do exemplo 3.
σσσσx p/ r = 1 mm
-150
-125
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90
θθθθ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²)
AnalíticoMOD174
SAP169
σσσσy p/ r = 1 mm
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²) AnalíticoMOD174SAP169
ττττxy p/ r = 1 mm
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90
θθθθ (graus)
τ τττxy
(N/m
m²)
AnalíticoMOD174SAP169
σσσσx p/ r = 5,45 mm
-5-4-3-2-10123456
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)
σ σσσx (N
/mm
²) AnalíticoMOD174SAP169
σσσσy p/ r = 5,45 mm
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90θθθθ (graus)
σ σσσy (N
/mm
²) AnalíticoMOD174SAP169
ττττxy p/ r = 5,45 mm
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 11.25 22.5 33.75 45 56.25 67.5 78.75 90
θθθθ (graus)τ τττxy
(N/m
m²)
AnalíticoMOD174SAP169
σσσσx p/ y = 0 mm
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10x (mm)
σ σσσx (N
/mm
²) AnalíticoMOD174
SAP169
σσσσy p/ y = 0 mm
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 2 4 6 8 10x (mm)
σ σσσy (N
/mm
²)
AnalíticoMOD174SAP169
ττττxy p/ y = 0 mm
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10x (mm)
τ τττxy
(N/m
m²)
AnalíticoMOD174SAP169
Figura 6.14: Comparação dos resultados numéricos e analíticos do exemplo 3.
77
6.5.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 3
Da análise dos gráficos da Fig. 6.14, percebe-se bons resultados no geral, mas por uma
pequena diferença, os resultados de elementos finitos foram melhores. Mas uma melhora na
precisão dos dois resultados certamente seria obtida por meio de um discretização um pouco
mais refinada.
A perturbação do campo de tensões na região próxima ao furo é facilmente notada a partir da
observação dos gráficos na seção com y = 0, à medida que se afasta do furo o campo de
tensões se aproxima daquele campo uniforme que se formaria se o furo não existisse, isto é,
um campo de tensões com σy = 100 N/mm2 e τxy = σx = 0.
Vale ressaltar que, neste exemplo, diversas moléculas irregulares foram empregadas na região
de transição entre a malha retangular e a polar, mas moléculas irregulares já foram
empregadas no exemplo anterior, uma vez que o programa de operadores discretos resolve o
problema em coordenadas cartesianas e sua discretização só é regular para o sistema de
referência polar.
78
6.6 – EXEMPLO 3: CHAPA EM “L”
6.6.1 – Proposição do problema
Este problema é baseado em Zienkiewicz e Taylor (1997) e , como bem se sabe, apresenta
singularidade de tensão no canto reentrante. O problema é apresentado na Fig. 6.15, trata-se
de uma chapa em forma de “L” submetida a um estado plano de tensões.
Figura 6.15: Exemplo 4 – Chapa em “L” com singularidade de tensão.
6.6.2 – Resultados obtidos
A solução analítica para este problema não é conhecida. Então, a análise dos resultados de
operadores discretos será feita com base na comparação com resultados de dois modelos em
elementos finitos e, se for o caso, também com base nas condições de contorno da seção
considerada. Um dos modelos em elementos finitos tem sua discretização bem mais refinada
que a dos demais, o outro modelo em elementos finitos conta com aproximadamente a mesma
quantidade de graus de liberdade que o de operadores discretos, mas no caso de operadores, o
modelo conta com alguns graus de liberdade a mais, pois são empregados pontos gêmeos nos
cantos, pontos onde ocorre mudança das condições de contorno.
79
A discretização utilizada por operadores discretos é apresentada na Fig. 6.16. Vale observar
que em todos os cantos vivos e no canto reentrante foram colocados pontos gêmeos.
Figura 6.16: Discretização usada por operadores discretos para o exemplo 4.
Figura 6.17: Discretizações usadas para elementos finitos para o Exemplo 4.
No caso de elementos finitos, as discretizações empregadas são mostradas na Fig. 6.17. O
programa utilizado foi o SAP 2000 com elemento de quatro nós do tipo “shell”. O
80
carregamento foi introduzido através do cômputo da força resultante das tensões de tração em
cada nó. E a tensão final resultante em cada nó foi computada como a média das tensões de
todos elementos com nó em comum.
Os gráficos da Fig. 6.18 mostram a variação das tensões ao logo de seções verticais da chapa
e permitem avaliar os resultados obtidos.
σσσσx p/ x = 80,0 mm
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
-160-140-120-100-80-60-40-200
y (mm)
σ σσσx (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
ττττxy p/ x = 80,0 mm
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)
τ τττxy
(N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσy p/ x = 80,0 mm
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-160-140-120-100-80-60-40-200 y (mm)
σ σσσy (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσx p/ x = 40,0 mm
0
1020
3040
50
6070
8090
-16-14-12-10-8-6-4-20y (mm)
σ σσσx
(N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσy p/ x = 40,0 mm
-16-14-12-10-8-6-4-20246
-16-14-12-10-8-6-4-20
y (mm)σ σσσy (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
ττττxy p/ x = 40,0 mm
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-16-14-12-10-8-6-4-20y (mm)
τ τττxy
(N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσx p/ x = 0,0
49
50
51
52
53
54
55
-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)
σ σσσx (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσy p/ x = 0,0
-50
0
50
100
150
200
250
-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)
σ σσσy (N
/mm
²) MOD231 SAP225SAP833
ττττxy p/ x = 0,0
-12,0
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
-160-140-120-100-80-60-40-200y (mm)
τ τττxy (N
/mm
²)
MOD231
SAP225SAP833
σσσσx p/ x = 120,0 mm
-50
0
50
100
150
200
250
-160-140-120-100-80 y (mm)
σ σσσx (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσy p/ x = 120,0 mm
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-160-140-120-100-80
Y
σ σσσy (N
/mm
²)
MOD231 SAP225SAP833
ττττxy p/ x = 120,0 mm
-3
-2
-1
0
1
2
3
-160-140-120-100-80 y (mm)
τ τττxy (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
σσσσx p/ x = 160,0 mm
-50
0
50
100
150
200
250
-160-140-120-100-80 y (mm)
σ σσσx (
N/m
m²)
MOD231
SAP225SAP833
σσσσy p/ x = 160,0 mm
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-160-140-120-100-80 y (mm)
σ σσσy (
N/m
m²)
MOD231
SAP225SAP833
ττττxy p/ x = 160,0 mm
-0,10,00,10,20,30,40,50,60,70,8
-160-140-120-100-80 y (mm)
τ τττxy (
N/m
m²)
MOD231 SAP225SAP833
Figura 6.18: Variação das tensões ao longo das seções verticais com x = 0, x = 40 mm,
x = 80 mm, x = 120mm e x = 160mm do exemplo 4.
81
6.6.3 – Comentários sobre os resultados do exemplo 4
Da observação dos gráficos da Fig. 6.18, nota-se que os resultados de operadores discretos
foram muito bons, em geral, equivalentes ou melhores que os de elementos finitos,
especialmente no contorno. Na seção com x = 0, onde o carregamento é aplicado, pelas
condições de contorno, σx = 50 N/mm2 e τxy = 0 e, em ambos, os resultados de operadores
ficaram mais próximos dos resultados esperados. Na seção com x = 80 mm, no trecho com y
entre 0 e –80mm, as condições de contorno são: σx = 0 e τxy = 0; e novamente o resultado de
operadores discretos foi o que mais se aproximou desses valores. O mesmo padrão se repete
na seção com x = 160 mm onde, pelas condições de contorno, τxy = 0.
6.6.4 – Localização de regiões críticas no domínio
A questão a localização de regiões do domínio mais propensas a existência de erros na
aproximação da função ainda não foi abordada, mas é possível fazê-lo através da estimativa
para o erro de truncamento das equações que governam o problema no ponto em questão. Se o
ponto for de contorno, os erros de truncamento das equações de contorno devem ser
estimados. Da mesma forma, se o ponto em questão se localizar no interior do domínio, os
erros de truncamento estimados devem ser os das equações de Navier. A estimativa para o
erro de truncamento da equação é obtida a partir da aproximação do erro de truncamento na
discretização dos operadores diferenciais, que é feita da maneira apresentada no Exemplo 1.
Assim, os erros de truncamento das equações discretizadas, seja ela de campo ou de contorno,
são facilmente obtidos colocando-se na equação, ao invés da forma discreta dos operadores
diferenciais, o respectivo erro de truncamento do operador.
O programa Elsat_2D estima o erro de truncamento da maneira citada e, para o problema
proposto neste exemplo, a soma dos valores absolutos dos erros de truncamento das duas
equações discretizadas produz a superfície apresentada na Fig. 6.19, que também pode ser
observada no gráfico de curvas de nível da Fig. 6.20.
82
Figura 6.19: Superfície formada pela soma dos valores absolutos da aproximação do erro de
truncamento das equações discretizadas em cada ponto.
Figura 6.20: Curvas de nível da superfície formada pela soma dos valores absolutos da
aproximação do erro de truncamento das equações discretizadas em cada ponto.
Quanto à localização do erro, como já se esperava, as Fig. 6.19 e Fig. 6.20 mostram que o
canto reentrante é a região mais propensa a erro, onde se verifica a singularidade no campo de
tensões.
83
CAPÍTULO 7
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
7.1 – INTRODUÇÃO
Esta dissertação de mestrado apresentou o Método dos Operadores Discretos aplicado à
solução de problemas de elasticidade bidimensional. O trabalho busca fornecer ao engenheiro,
uma poderosa ferramenta para aproximação numérica de problemas físicos encontrados em
seu cotidiano.
Inicialmente, o MOD é introduzido através do desenvolvimento de um exemplo simples de
potencial, um problema de valor de contorno em regime permanente regido pela equação de
Laplace.
Em seguida, apresenta-se uma breve revisão sobre teoria da elasticidade. Esta revisão parte
dos conceitos elementares de tensão e deformação e vai até a obtenção das equações de
Navier, para o caso bidimensional, em termos das componentes do deslocamento. As
equações de contorno são obtidas do equilíbrio do tensor tensão com as trações de superfície
colocadas em termos de uma componente normal e outra tangente ao contorno, além disso, as
equações de contorno são colocadas em função das componentes do deslocamento.
Então, abordada-se a aplicação do método dos operadores a problemas de elasticidade. Para
cada caso, contorno ou domínio, mostra-se a obtenção das formas discretas dos operadores
diferencias e a discretização das equações que governam o problema, que produzem as
moléculas utilizadas pelo método.
Baseada numa estimativa para o erro de truncamento da série de Taylor e na fórmula do resto
de Lagrange, a questão do erro de aproximação numérica e sua influência nas discretizações
são abordadas.
A validação do método é feita através de quatro exemplos clássicos que abordam diferentes
aspectos da formulação de operadores discretos.
84
7.2 – CONCLUSÕES
O Método dos Operadores Discretos (MOD) forneceu excelentes resultados, especialmente no
caso do problema de potencial, onde a precisão alcançada foi quase a precisão limite da
máquina. No caso de elasticidade, com números de graus de liberdade semelhantes, em geral,
os resultados obtidos por operadores discretos foram equivalentes aos obtidos pelo Método
dos Elementos Finitos (MEF). Pode-se argumentar que esta comparação foi feita com base
nos resultados de um dos elementos mais rudimentares do MEF, o elemento linear de quatro
nós, mas os estudos em operadores discretos ainda se encontram em uma fase inicial e muito
progresso é esperado neste campo.
Uma indiscutível vantagem do método dos operadores sobre elementos finitos está na forma
como o domínio contínuo é discretizado. No caso de operadores, a discretização é bem mais
simples, ela é feita exclusivamente por meio de uma rede de pontos. Para elementos finitos,
além da rede de pontos, ainda é necessário definir uma conectividade para formação dos
elementos e geração da malha. E a etapa mais dispendiosa e demorada no processo de geração
automática de malhas é, justamente, a definição das conectividades.
Atualmente, considera-se que o método dos operadores discretos se enquadra num grupo de
métodos denominados “sem malha” (meshless methods), isso porque, lançada uma rede de
pontos, é muito simples, se comparado a elementos finitos, a implementação de rotinas para
seleção eficiente de pontos satélites para cada molécula. Mas apesar disso, o programa
implementado requer que sejam fornecidas as “conectividades” das moléculas no arquivo de
entrada de dados, pois o enfoque do trabalho é a avaliação do método em problemas de
elasticidade bidimensional e não, a geração automática de discretizações.
A grande vantagem do MOD sobre o Método das Diferenças Finitas (MDF), é que a
formulação do MOD permite moléculas arbitrárias e, assim, possibilita o tratamento adequado
de domínios irregulares. No entanto, apesar de admitir moléculas arbitrárias, a precisão destas
moléculas é, aparentemente, inferior à de moléculas regulares.
No método dos operadores, a qualidade da aproximação numérica das moléculas está
fortemente relacionada à escolha de seus pontos satélites. Assim, para uma boa precisão da
aproximação, é importante que as moléculas tenham seus pontos satélites bem distribuídos
85
por toda sua volta, de maneira que a molécula fique bem balanceada e seu “centro de
gravidade” recaia próximo a seu ponto de origem. Então, recomenda-se que as moléculas
próximas ao contorno não possuam muitos pontos satélites, pois quanto mais pontos, mais
desbalanceadas se tornam. Desta forma, para o tratamento de problemas com contornos
irregulares, recomenda-se que uma discretização regular seja empregada no interior do
domínio e que o uso de moléculas de configuração arbitrária, com a menor quantidade
possível de pontos satélites, seja restrito à região na vizinhança do contorno.
Apesar do estudo do erro ter sido apenas superficial, ele mostrou que sua avaliação
proporciona uma melhora considerável na precisão das discretizações dos operadores
diferenciais, mas há um certo acréscimo no trabalho e tempo computacionais. Cabe lembrar
que além da melhora na qualidade das aproximações, a avaliação do erro nos operadores
discretos permite, ainda, uma estimativa do erro de truncamento nas equações que governam
o problema, que, por sua vez, possibilita localizar as regiões críticas do domínio, isto é,
regiões onde a função erro encontra, provavelmente, seus valores mais significativos. A
possibilidade de localização de áreas mais sensíveis é de fundamental importância para o
desenvolvimento da capacidade de auto-adensamento localizado das discretizações no
método, isto é, que o método tenha a possibilidade de localizar as regiões críticas do domínio
e, ali, criar uma rede mais refinada de pontos.
A convergência do método foi avaliada no segundo exemplo do capítulo 6 e se mostrou
consistente, mas faltou uma análise das taxas de convergência. A ferramenta proposta para
avaliação da convergência, o erro DPM das tensões, estaria para o método dos operadores
assim como o erro RMS está para elementos finitos, mas ainda carece de estudos mais
aprofundados que lhe confiram significado físico coerente.
86
7.3 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Este trabalho é a continuação de uma linha de pesquisa do método dos operadores discretos
aplicado à solução de problemas de elasticidade no contexto acadêmico. Com isso em mente,
entre outras sugestões, recomenda-se:
− Tentar aplicar o método ao caso tridimensional da elasticidade e, com isso, criar um
programa computacional capaz de resolver uma gama maior de problemas;
− Aprofundar os estudos sobre os erros de aproximação numérica, de maneira que se tenha
uma idéia da grandeza real do mesmo. Isso permitiria não só melhorar a qualidade da
aproximação, mas também encontrar facilmente a mais simples discretização que já atende
às necessidades específicas do problema em vista;
− Procurar aumentar a ordem da discretização dos operadores em esquemas compactos de
molécula. Isso possibilitaria o tratamento do caso da elasticidade bidimensional através da
função de Airy, que reduziria a dimensão do sistema global à metade. Esse aumento na
ordem da discretização permitiria ainda a aplicação do método a problemas de ordem
superior;
− Estudar a geração automática da discretização e a capacidade de auto-adensamento. Isso
proporcionaria a criação de poderosos programas com interface amigável para o usuário,
neste aspecto, o programa elaborado neste trabalho deixou muito a desejar; e
− Aplicar o método dos operadores a problemas como propagação de ondas, mantos
flexíveis, transiente de temperatura, placas espessas segundo as equações de Reissner-
Mindlin e a problemas de escoamento associado ao método das características.
87
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Almeida, M.H.T.L. Operadores Discretos. Trabalho de Graduação em Engenharia Civil (Orientador: Gonçalves, E.M.). Departamento de Eng. Civil. Faculdade de Tecnologia. Universidade de Brasília, 1981.
Arad, M. Ben-Dor, G. e Yakhot, A. High-order-accurate discretization of a second-order equation with discontinuous coefficients. Applied Mathematical Modelling, 1998, Vol.22, pp. 69-79.
Brebbia, C. A. e Dominguez, J. Boundary Elements An Introductory Course. Computational Mechanics Publications Southampton Boston and McGraw-Hill Book Company, Inglaterra 1989. p.133.
Cocchi, G.M. The finite difference method with arbitrary grids in the elastic-static analysis of three-dimensional continua. Computers & Structures, 2000, Vol. 75, pp.187-208.
Duarte, C.A.M. A Review of Some Meshless Methods to Solve Partial Differential Equation. Technical Report, TICAM, The University of Texas at Austin, 1995, 37p. (http://king.ticam.utexas.edu/~armando/publications.html).
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Jensen, P.S. Finite difference techniques for variable grids. Computers & Structures, 1972, Vol.2, pp.17-29.
Lancaster, P. e Salkauskas, K. Surfaces generated by moving least squares methods. Math. Comput. 1981, Vol.37, pp.141-158.
Liszka, T. J. An interpolation method for an irregular net of nodes. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1984, Vol.20, pp.1599-1612
Liszka, T. J. Duarte, C.A.M. e Tworzydlo, W.W. hp-Meshless cloud method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Austin, 1996, Vol.139, 187-208p. (http://king.ticam.utexas.edu/~armando/publications.html).
Liszka, T. J. Orkisz, J. The Finite Difference Method at Arbitrary Irregular Grids and its Application in Applied Mechanics. Computers & Structures, 1980, Vol.11, pp. 83-95.
MacNeal, R. H. . Na Asymetrical Finite Difference Network.Q. Appl. Math., Vol 11, pp.295-310, 1953.
Perrone, N. e Kao, R. A general finite difference method for arbitrary meshes. Computers & Structures, 1975, Vol. 5, pp.45-58.
88
Pulino Filho, A. R. Diferenças Finitas Para Malhas Arbitrárias (via série de Taylor). Dissertação de Mestrado, Universidade de Campinas, São Paulo, 1989.
Shames, I. H. Mechanics of Deformable Solids. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964.
Spotz, W.F. e Carey, G.F. High-Order Compact Finite Difference Methods. ICOSAHOM’95: Proceedings of the Third International Conffference on Spectral and High Order Methods. Journal of Mathematics, University of Houston, Houston, 1996, pp.397-407.(http://www.scd.edu/css/staff/spotz/hoc.html)
Timoshenko, S.P. e Goodier, J.N. Theory of Elasticity. 3.ed., MacGraw-Hill, Singapura, 1988.
Zienkiewicz, O.C. e Taylor, R.L. The Finite Element Method. 4.ed., vol. 1, MacGraw-Hill, Inglaterra, 1997.
89
APÊNDICE A
SÉRIE DE TAYLOR
A.1 - INTRODUÇÃO
A base de muitos métodos que envolvem discretização de operadores diferenciais, inclusive a
do método utilizado neste trabalho, está diretamente relacionada à série de Taylor. Ela permite
representar qualquer função como uma combinação linear de infinitas funções racionais.
Desta forma, a série de Taylor permite a substituição de uma função complexa por uma
aproximação polinomial equivalente, desde que o valor da função e o de todas as suas
derivadas existentes sejam conhecidos num determinado ponto.
A.2 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Dada uma função f(x), sua expressão na forma da série de Taylor sobre o ponto x0 é dada pela
Eq. A.1 a seguir:
( ) ( ) ( ))x(f
!nxx
...)x(f!2xx
)x(fxx)x(f)x(f 0)n(
n0
0)2(
20
0)1(
00−
++−
+−+=
ou seja, ( )∑
∞
=
−+=1n
0)n(
n0
0 )x(f!nxx)x(f)x(f (A.1)
A aproximação será tão melhor quanto maior for o número de termos considerados e quanto
menor for a distância entre o ponto de origem (onde a função e suas derivadas são
conhecidas) e o ponto onde se deseja estimar o valor da função, ou seja, quanto menor for a
distância (x-x0) e quanto maior for n.
Em geral, como não é possível calcular os infinitos termos da série, ela só é calculada até um
certo termo a partir do qual, o erro cometido por seu truncamento deixa de ser relevante.
Assim, a representação da função f(x) até termo de segunda ordem é dada pela Eq. A.2 a
seguir:
90
( ) ( )30
)2(2
00
)1(00 R)x(f
!2xx
)x(fxx)x(f)x(f +−
+−+= (A.2)
Na equação anterior, R3 representa o somatório dos demais termos da série e, portanto,
representa o erro resultante do truncamento da série em seu termo de segunda ordem. Este
resto pode ser estimado pela fórmula do resto de Lagrange que será apresentada em seguida.
Segundo Al-Khafaji e Tooley (1986) e vários outros autores, se f(x) possui n + 1 derivadas
num intervalo I, que contém a origem da série (x0), então existe um ponto z estritamente entre
x0 e x de tal forma que o resto resultante do truncamento é dado por:
( )( ) )z(f
!1nxx
)x(R )1n(1n
0n
++
+−
= (A.3)
Em geral, deseja-se conhecer a diferença entre f(x) e sua aproximação Tn(x). Para facilitar a
estimativa desta diferença, considere a grandeza En(x) dada na Eq. A.4:
)x(Tn)x(f)x(En −= (A.4)
Chamando os valores máximo e mínimo de f(n+1)(t) de Fmax e Fmin , respectivamente, sendo t
um ponto pertencente ao intervalo [x0, x] (ou [x,x0] se x < x0). Então, se for possível
determinar Fmax e Fmin de tal forma que Fmin ≤ f(n+1)(t) ≤ Fmax, pode-se determinar os limites
superior (Rsup) e inferior (Rinf) para o erro cometido na estimativa de f(x).
Se x > x0 ou se x < x0 e n for impar, então:
( )( )
( )( )!1n
xxF)x(En
!1nxx
F1n
0max
1n0
min +−
≤≤+
− ++
(A.5)
Mas se x < x0 e n for par, então é necessário trocar a posição de Fmax e Fmin na Eq. A.5, e ela
se torna:
91
( )( )
( )( )!1n
xxF)x(En
!1nxx
F1n
0min
1n0
max +−
≤≤+
− ++
(A.6)
De qualquer forma, o valor de En(x) fica entre ( )
( )!1nxx
F1n
0min +
− +
e ( )
( )!1nxx
F1n
0max +
− +
Em seguida, tem-se um exemplo sobre o que foi apresentado neste item. Deseja-se obter uma
estimativa do valor 2e através da série de Taylor para a função f(x) = ex com origem no
ponto x = 0. Assim, a série de Taylor (T8(x)) que aproxima f(x) até o termo de oitava ordem e
a expressão do resto para este caso são:
98
8765432
8
R(x)Tf(x)!8
x!7
x!6
x!5
x!4
x!3
x!2
xx1(x)T
+=
++++++++=
( ) .2z0come!9
)02(zR )z(9
9 ≤≤−=
Então, 387301,7!8
2!7
2!6
2!5
2!4
2!3
2!2
221)2(T8765432
8 =++++++++=
Como e(x) é uma função estritamente crescente no intervalo de 0 a 2, os limites para o erro
cometido são:
Rinf = R9(0) = 1,410935 x 10-3 e Rsup = R9(2) = 1,042548 x 10-2.
Assim, o valor de f(2)=e2 deve estar no intervalo:
397727,7e388712,710042548,1387301,7e10410935,1387301,7
2
223
≤≤
⋅+≤≤⋅+ −−
Como e2 = 7,3890560990 e realmente ficou dentro do intervalo estimado, os limites para o
erro cometido são verdadeiros.
92
O gráfico apresentado na Fig. A1 permite ver que a aproximação da função é tão melhor
quanto maior o número de termos da série e quanto menor for a distância ente o ponto de
origem e o ponto onde se deseja estimar o valor da função.
Convergência da Série de Taylor
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0 0.5 1 1.5 2 2.5x
y
Analítico3 Termos4 Termos5 Termos
Figura A.1: Convergência da série de Taylor para f(x) = ex com o aumento do número de
termos considerados.
93
A.3 – SÉRIE DE TAYLOR PARA FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Para funções de duas variáveis, a série de Taylor pode ser colocada na forma da Eq.A.7
apresentada a seguir:
( ) ( ) ( )[ ]( )00 y,x
n
1n0000 y,xfyy
yxx
x!n1)y,x(f)y,x(f ∑
∞
=
−
∂∂+−
∂∂+= (A.7)
De maneira semelhante ao caso da série de Taylor para funções de uma variável, a fórmula do
resto de Lagrange para funções de duas variáveis é dada pela Eq. A.8 a seguir.
( ) ( )
( ) )z,z(f!1n
yyy
xxx
)y,x(R yx
1n
00
n +
−
∂∂+−
∂∂
=
+
(A.8)
Neste caso, z é considerado um ponto de coordenadas (zx, zy), localizado no segmento de reta
entre o ponto de origem da série (x0, y0) e o ponto onde se deseja estimar o valor da função, ou
seja, (zx, zy) pertence ao segmento de reta entre os pontos (x0, y0) e (x, y).
Da mesma forma que no caso unidimensional, a Eq. A.8 pode ser empregada para limitar o
erro na aproximação da função. Assim, o erro de truncamento da série de Taylor, para o caso
bidimensional, fica limitado entre os valores:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) )z(f!1n
yyy
xxx
e)z(f!1n
yyy
xxx
máx
1n
00
mín
1n
00
+
−
∂∂+−
∂∂
+
−
∂∂+−
∂∂
++
(A.9)
Onde: fmín(z) e fmáx(z) são, respectivamente, os valores mínimos e máximos das n-ésimas
derivadas da função f(x,y) no intervalo entre a origem (x0, y0) e o ponto onde se
deseja estimar o valor da função (x,y).
94
Se a função f(x,y) for suave o suficiente, de maneira que os valores máximo e mínimo das n-
ésimas derivadas de f(x,y) ocorram nos extremos do intervalo entre a origem (x0, y0) e o ponto
(x,y) onde se deseja aproximar o valor da função, pode-se limitar o erro da aproximação
considerando a função avaliada em (x0, y0) e (x,y) no lugar de fmín(z) e fmáx(z) da Eq. A.9.
95
APÊNDICE B
COMPLEMENTOS DO PROBLEMA DE POTENCIAL
B.1 – ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS
Segue o arquivo de entrada de dados utilizado para o problema de potencial do capítulo 2:
SIZE 20 PROPERTIES Molec# X Y Type Val Teta 1 0.0 6.0 1 300 180 2 0.0 6.0 2 0 90 3 2.0 6.0 2 0 90 4 4.0 6.0 2 0 90 5 4.0 6.0 1 100 0 6 0.0 4.0 1 300 180 7 2.0 4.0 0 0 0 8 4.0 4.0 1 100 0 9 0.0 2.0 1 300 180 10 2.0 2.0 0 0 0 11 4.0 2.0 1 100 0 12 4.0 2.0 2 0 90 13 6.0 2.0 2 0 90 14 6.0 2.0 1 0 0 15 0.0 0.0 1 300 180 16 0.0 0.0 2 0 270 17 2.0 0.0 2 0 270 18 4.0 0.0 2 0 270 19 6.0 0.0 2 0 270 20 6.0 0.0 1 0 0 CONECTIVITY J0 J1 J2 J3 J4 J5 1 3 6 7 9 0 2 3 4 6 7 0 3 2 4 7 8 0 4 2 3 7 8 0 5 3 7 8 11 0 6 2 3 7 9 0 7 3 4 6 8 10 8 3 4 7 11 0 9 6 10 16 17 0 10 7 8 9 12 17 11 7 8 10 18 0 12 10 13 18 19 0 13 10 12 18 19 0 14 12 18 19 8 0 15 6 9 10 17 0 16 9 10 17 18 0 17 9 10 16 18 0 18 12 13 17 19 0 19 17 18 12 14 0 20 8 12 14 18 0
96
B.2 – ARQUIVO DE SAÍDA
As respostas do programa Potencial.cpp são apresentadas na reprodução do arquivo de saída a
seguir:
Program : Potencial.cpp Input-file : L20ND.dat Output-file: L20ND_sci.out J X Y Type Fi dfdn 1 0.00 6.00 1 3.00000000000000e+002 4.99999999999999e+001 2 0.00 6.00 2 3.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 3 2.00 6.00 2 2.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 4 4.00 6.00 2 1.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 5 4.00 6.00 1 1.00000000000000e+002 -5.00000000000001e+001 6 0.00 4.00 1 3.00000000000000e+002 4.99999999999999e+001 7 2.00 4.00 0 2.00000000000000e+002 8 4.00 4.00 1 1.00000000000000e+002 -5.00000000000001e+001 9 0.00 2.00 1 3.00000000000000e+002 5.00000000000002e+001 10 2.00 2.00 0 2.00000000000000e+002 11 4.00 2.00 1 1.00000000000000e+002 -4.99999999999997e+001 12 4.00 2.00 2 9.99999999999997e+001 0.00000000000000e+000 13 6.00 2.00 2 7.34533322629852e-014 0.00000000000000e+000 14 6.00 2.00 1 0.00000000000000e+000 -4.99999999999998e+001 15 0.00 0.00 1 3.00000000000000e+002 5.00000000000003e+001 16 0.00 0.00 2 3.00000000000000e+002 0.00000000000000e+000 17 2.00 0.00 2 1.99999999999999e+002 0.00000000000000e+000 18 4.00 0.00 2 9.99999999999994e+001 0.00000000000000e+000 19 6.00 0.00 2 -3.15703890045566e-013 0.00000000000000e+000 20 6.00 0.00 1 0.00000000000000e+000 -4.99999999999997e+001
B.3 – O PROGRAMA POTENCIAL.CPP
O programa implementado usa um pacote de álgebra linear chamado Template Numerical
Toolkit (TNT). Esse pacote permite o armazenamento de dados com alocação dinâmica de
memória e, além disso, traz rotinas que permitem a inversão de matrizes por fatoração LU e a
solução de sistemas de equações lineares. Ele pode ser obtido pela internet gratuitamente no
endereço:
http://math.nist.gov/tnt/
O código fonte do programa é apresentado no arquivo Potencial.cpp do CD que acompanha
este trabalho, dentro do diretório:
D:\Exemplo de Potencial\
Onde D representa a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.
97
APÊNDICE C
COMPLEMETOS DOS EXEMPLOS DE ELASTICIDADE
C.1 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 1
O arquivo de entrada de dados para o exemplo da barragem é chamado Dam89M.dat e o que
contém os resultados fornecidos pelo programa, Dam89M.out. Ambos se encontram no CD
que acompanha o trabalho, mais especificamente, no diretório:
D:\Exemplo1_Barragem\
Onde D representa a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.
As tabelas apresentadas a seguir foram utilizadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.2.
Elas comparam os resultados analíticos, os de elementos finitos e os de operadores discretos
sem o melhoramento da precisão com a consideração da estimava para o erro de truncamento.
Tabela C1 – Comparação das tensões na seção com y = -1 m, sem “melhoramento”.
X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000
0,0 0,00 0,00 0,19 0,00 0,00 0,23 0,00 0,00 -0,08
0,5 0,69 1,40 -0,24 0,00 0,05 -0,41 0,00 -0,01 0,22
1,0 -0,50 0,15 -2,29 0,00 0,17 -0,87 0,00 0,04 1,16
1,5 -5,44 -4,48 -8,17 0,00 0,28 -1,63 0,00 0,19 2,80
2,0 -16,00 -14,66 -19,77 0,00 0,38 -2,71 0,00 0,41 5,04
2,5 -34,06 -32,25 -39,01 0,00 0,47 -4,39 0,00 0,70 7,95
3,0 -61,50 -59,10 -67,74 0,00 0,57 -6,56 0,00 1,04 11,48
3,5 -100,19 -97,07 -107,92 0,00 0,66 -9,64 0,00 1,46 15,684,0 -152,00 -148,00 -161,38 0,00 0,76 -13,41 0,00 1,93 20,49
4,5 -218,81 -213,77 -230,09 0,00 0,85 -18,35 0,00 2,47 25,96
5,0 -302,50 -296,24 -315,93 0,00 0,95 -24,32 0,00 3,07 32,10
5,5 -404,94 -397,38 -420,90 0,00 1,06 -31,47 0,00 3,74 38,91
6,0 -528,00 -519,42 -548,66 0,00 1,07 -41,61 0,00 4,52 46,82
6,5 -673,56 -660,93 -697,63 0,00 1,46 -48,79 0,00 4,81 56,30
7,0 -843,50 -832,73 -866,65 0,00 -3,28 -62,95 0,00 7,28 54,35
7,5 -1039,69 -962,86 -1096,66 0,00 -4,99 -59,60 0,00 4,08 89,628,0 -1264,00 -1469,20 -1307,33 0,00 0,00 -326,83 0,00 0,00 182,78
σx (N/mm²) para y = -1,0 m σy (N/mm²) para y = -1,0 m τxy (N/mm²) para y = -1,0 m
98
Tabela C2 – Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, sem “melhoramento”.
X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000
0,0 0,00 0,42 -0,22 0,00 -0,13 0,13 -0,05 -0,07 0,08
0,5 -0,59 -0,48 -1,03 -0,78 -1,35 -1,22 0,66 0,83 0,70
1,0 -2,13 -1,75 -3,01 -1,56 -2,65 -2,40 2,77 2,30 2,59
1,5 -5,53 -4,96 -6,88 -2,34 -3,97 -3,59 6,28 4,82 5,71
2,0 -11,75 -10,95 -13,55 -3,13 -5,29 -4,79 11,20 8,34 10,11
2,5 -21,72 -20,65 -23,96 -3,91 -6,61 -5,99 17,53 12,88 15,73
3,0 -36,38 -34,98 -39,05 -4,69 -7,93 -7,19 25,27 18,42 22,64
3,5 -56,66 -54,87 -59,76 -5,47 -9,26 -8,38 34,41 24,97 30,77
4,0 -83,50 -81,24 -87,03 -6,25 -10,58 -9,58 44,95 32,53 40,17
4,5 -117,84 -115,04 -121,79 -7,03 -11,92 -10,77 56,91 41,10 50,81
5,0 -160,63 -157,18 -164,99 -7,81 -13,27 -12,01 70,27 50,70 62,71
5,5 -212,78 -208,61 -217,55 -8,59 -14,66 -13,31 85,03 61,34 76,02
6,0 -275,25 -270,32 -279,88 -9,38 -16,05 -14,93 101,20 73,00 90,71
6,5 -348,97 -343,37 -355,61 -10,16 -17,28 -17,05 118,78 85,63 107,13
7,0 -434,88 -426,47 -447,49 -10,94 -19,52 -11,98 137,77 98,43 125,42
7,5 -533,91 -494,95 -488,80 -11,72 -45,55 -4,17 158,16 100,16 127,048,0 -647,00 -504,66 -511,70 -12,50 -53,77 -127,93 179,95 62,21 154,50
σx (N/mm²) para y = -0,5 m σy (N/mm²) para y = -0,5 m τxy (N/mm²) para y = -0,5 m
Tabela C3 – Comparação das tensões na seção com y = 0 m, sem “melhoramento”.
X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000
0,0 0,00 0,00 0,33 0,00 0,00 0,08 0,25 -0,13 0,22
0,5 0,00 0,00 0,00 -2,50 -2,50 -2,50 1,19 1,22 1,19
1,0 0,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 -5,00 4,00 3,38 3,94
1,5 0,00 0,00 0,00 -7,50 -7,50 -7,50 8,69 7,06 8,54
2,0 0,00 0,00 0,00 -10,00 -10,00 -10,00 15,25 12,21 14,96
2,5 0,00 0,00 0,00 -12,50 -12,50 -12,50 23,69 18,83 23,25
3,0 0,00 0,00 0,00 -15,00 -15,00 -15,00 34,00 26,92 33,35
3,5 0,00 0,00 0,00 -17,50 -17,50 -17,50 46,19 36,48 45,31
4,0 0,00 0,00 -0,02 -20,00 -20,00 -19,99 60,25 47,51 59,08
4,5 0,00 0,01 -0,04 -22,50 -22,52 -22,49 76,19 60,02 74,73
5,0 0,00 0,05 -0,02 -25,00 -25,06 -25,01 94,00 73,99 92,18
5,5 0,00 0,18 0,21 -27,50 -27,63 -27,71 113,69 89,44 111,50
6,0 0,00 0,49 0,94 -30,00 -30,15 -30,58 135,25 106,38 132,56
6,5 0,00 0,96 2,79 -32,50 -32,09 -33,60 158,69 124,84 154,69
7,0 0,00 0,65 1,86 -35,00 -31,10 -35,27 184,00 141,31 192,10
7,5 0,00 -2,17 -2,23 -37,50 -21,56 -24,11 211,19 129,90 173,718,0 0,00 -5,16 -0,90 -40,00 -1,72 -0,22 240,25 86,81 148,64
σx (N/mm²) para y = 0 σy (N/mm²) para y = 0 τxy (N/mm²) para y = 0
99
Tabela C4 – Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, sem “melhoramento”.
X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000
0,0 0,00 -0,42 0,88 0,00 0,13 0,02 -0,05 -0,07 0,14
0,5 0,59 0,48 1,03 -4,22 -3,65 -3,78 0,66 0,83 0,75
1,0 2,13 1,75 3,01 -8,44 -7,35 -7,60 2,77 2,30 2,64
1,5 5,53 4,96 6,88 -12,66 -11,03 -11,41 6,28 4,82 5,76
2,0 11,75 10,95 13,55 -16,88 -14,71 -15,21 11,20 8,34 10,16
2,5 21,72 20,65 23,96 -21,09 -18,39 -19,01 17,53 12,88 15,79
3,0 36,38 34,98 39,05 -25,31 -22,07 -22,81 25,27 18,42 22,69
3,5 56,66 54,87 59,76 -29,53 -25,74 -26,61 34,41 24,97 30,82
4,0 83,50 81,25 87,02 -33,75 -29,43 -30,41 44,95 32,53 40,25
4,5 117,84 115,03 121,77 -37,97 -33,11 -34,20 56,91 41,09 50,87
5,0 160,63 157,16 164,95 -42,19 -36,82 -38,05 70,27 50,63 62,83
5,5 212,78 208,52 217,47 -46,41 -40,54 -41,98 85,03 61,14 75,76
6,0 275,25 270,02 280,11 -50,63 -44,13 -46,14 101,20 72,52 90,05
6,5 348,97 342,60 356,35 -54,84 -46,83 -49,60 118,78 85,00 104,21
7,0 434,88 424,93 452,09 -59,06 -43,96 -56,25 137,77 99,38 123,63
7,5 533,91 490,83 485,18 -63,28 -2,76 -57,45 158,16 107,01 137,228,0 647,00 485,22 591,30 -67,50 26,59 147,77 179,95 71,68 143,02
σx (N/mm²) para y = 0,5 m σy (N/mm²) para y = 0,5 m τxy (N/mm²) para y = 0,5 m
Tabela C5 – Comparação das tensões na seção com y = 1 m, sem “melhoramento”.
As tabelas apresentadas a seguir foram usadas para construir os gráficos da Fig. 6.3. Elas
permitem comparar os resultados analíticos e os de operadores discretos, com e sem o
melhoramento das aproximações através da estimativa do erro de truncamento.
X (m) Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000 Analít MOD SAP2000
0,0 0,00 0,00 0,48 0,00 0,00 -0,07 0,00 0,00 -0,21
0,5 -0,69 -1,40 0,24 -5,00 -5,05 -4,59 0,00 -0,01 0,09
1,0 0,50 -0,15 2,29 -10,00 -10,17 -9,13 0,00 0,04 1,03
1,5 5,44 4,48 8,17 -15,00 -15,28 -13,37 0,00 0,19 2,67
2,0 16,00 14,66 19,77 -20,00 -20,38 -17,29 0,00 0,41 4,91
2,5 34,06 32,25 39,01 -25,00 -25,47 -20,61 0,00 0,70 7,82
3,0 61,50 59,10 67,73 -30,00 -30,57 -23,44 0,00 1,05 11,35
3,5 100,19 97,07 107,93 -35,00 -35,66 -25,35 0,00 1,46 15,56
4,0 152,00 148,02 161,42 -40,00 -40,76 -26,59 0,00 1,93 20,37
4,5 218,81 213,80 230,23 -45,00 -45,85 -26,58 0,00 2,47 25,89
5,0 302,50 296,19 316,09 -50,00 -50,94 -25,74 0,00 3,06 31,92
5,5 404,94 396,82 420,81 -55,00 -56,00 -23,58 0,00 3,69 38,78
6,0 528,00 516,88 546,26 -60,00 -60,83 -19,61 0,00 4,31 45,43
6,5 673,56 652,16 689,72 -65,00 -65,94 -18,27 0,00 4,20 54,55
7,0 843,50 814,75 850,74 -70,00 -65,12 -8,30 0,00 6,82 49,51
7,5 1039,69 930,01 1094,47 -75,00 -68,18 -15,28 0,00 4,02 101,58
8,0 1264,00 1524,33 1344,85 -80,00 -80,00 336,21 0,00 0,00 221,45
σx (N/mm²) para y = 1,0 m σy (N/mm²) para y = 1,0 m τxy (N/mm²) para y = 1,0 m
100
Tabela C6 – Comparação das tensões na seção com y = -1 m, com e sem “melhoramento”.
X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.
0,0 0,00 0,00 -0,47 0,00 0,00 -0,10 0,00 0,00 0,12
0,5 0,69 1,40 1,55 0,00 0,05 -0,01 0,00 -0,01 -0,06
1,0 -0,50 0,15 0,68 0,00 0,17 0,11 0,00 0,04 -0,14
1,5 -5,44 -4,48 -3,62 0,00 0,28 0,20 0,00 0,19 -0,11
2,0 -16,00 -14,66 -13,52 0,00 0,38 0,27 0,00 0,41 -0,07
2,5 -34,06 -32,25 -30,82 0,00 0,47 0,34 0,00 0,70 -0,02
3,0 -61,50 -59,10 -57,38 0,00 0,57 0,41 0,00 1,04 0,05
3,5 -100,19 -97,07 -95,06 0,00 0,66 0,48 0,00 1,46 0,134,0 -152,00 -148,00 -145,71 0,00 0,76 0,55 0,00 1,93 0,21
4,5 -218,81 -213,77 -211,19 0,00 0,85 0,62 0,00 2,47 0,31
5,0 -302,50 -296,24 -293,36 0,00 0,95 0,70 0,00 3,07 0,43
5,5 -404,94 -397,38 -394,14 0,00 1,06 0,81 0,00 3,74 0,55
6,0 -528,00 -519,42 -516,41 0,00 1,07 0,66 0,00 4,52 0,75
6,5 -673,56 -660,93 -656,47 0,00 1,46 1,47 0,00 4,81 -0,17
7,0 -843,50 -832,73 -839,71 0,00 -3,28 -4,14 0,00 7,28 3,41
7,5 -1039,69 -962,86 -970,09 0,00 -4,99 1,26 0,00 4,08 -0,548,0 -1264,00 -1469,20 -1525,89 0,00 0,00 24,27 0,00 0,00 -10,92
σx (N/mm²) para y = -1,0 m σy (N/mm²) para y = -1,0 m τxy (N/mm²) para y = -1,0 m
Tabela C7 – Comparação das tensões na seção com y = -0,5 m, com e sem “melhoramento”.
X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.
0,0 0,00 0,42 0,00 0,00 -0,13 -0,26 -0,05 -0,07 -0,01
0,5 -0,59 -0,48 -0,62 -0,78 -1,35 -1,36 0,66 0,83 0,81
1,0 -2,13 -1,75 -1,81 -1,56 -2,65 -2,60 2,77 2,30 2,34
1,5 -5,53 -4,96 -5,06 -2,34 -3,97 -3,90 6,28 4,82 5,11
2,0 -11,75 -10,95 -11,08 -3,13 -5,29 -5,21 11,20 8,34 8,98
2,5 -21,72 -20,65 -20,81 -3,91 -6,61 -6,51 17,53 12,88 13,96
3,0 -36,38 -34,98 -35,18 -4,69 -7,93 -7,81 25,27 18,42 20,05
3,5 -56,66 -54,87 -55,10 -5,47 -9,26 -9,11 34,41 24,97 27,24
4,0 -83,50 -81,24 -81,51 -6,25 -10,58 -10,42 44,95 32,53 35,54
4,5 -117,84 -115,04 -115,34 -7,03 -11,92 -11,73 56,91 41,10 44,95
5,0 -160,63 -157,18 -157,51 -7,81 -13,27 -13,07 70,27 50,70 55,48
5,5 -212,78 -208,61 -208,96 -8,59 -14,66 -14,44 85,03 61,34 67,19
6,0 -275,25 -270,32 -270,75 -9,38 -16,05 -15,85 101,20 73,00 80,01
6,5 -348,97 -343,37 -344,30 -10,16 -17,28 -17,05 118,78 85,63 94,04
7,0 -434,88 -426,47 -431,82 -10,94 -19,52 -19,96 137,77 98,43 110,53
7,5 -533,91 -494,95 -497,04 -11,72 -45,55 -47,06 158,16 100,16 110,698,0 -647,00 -504,66 -501,19 -12,50 -53,77 -70,74 179,95 62,21 64,56
σx (N/mm²) para y = -0,5 m σy (N/mm²) para y = -0,5 m τxy (N/mm²) para y = -0,5 m
101
Tabela C8 – Comparação das tensões na seção com y = 0, com e sem “melhoramento”.
X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.
0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 -0,13 -0,09
0,5 0,00 0,00 0,00 -2,50 -2,50 -2,50 1,19 1,22 1,21
1,0 0,00 0,00 0,00 -5,00 -5,00 -5,00 4,00 3,38 3,53
1,5 0,00 0,00 0,00 -7,50 -7,50 -7,50 8,69 7,06 7,64
2,0 0,00 0,00 0,00 -10,00 -10,00 -10,00 15,25 12,21 13,38
2,5 0,00 0,00 0,00 -12,50 -12,50 -12,50 23,69 18,83 20,77
3,0 0,00 0,00 0,00 -15,00 -15,00 -15,00 34,00 26,92 29,79
3,5 0,00 0,00 0,00 -17,50 -17,50 -17,50 46,19 36,48 40,46
4,0 0,00 0,00 0,00 -20,00 -20,00 -20,00 60,25 47,51 52,76
4,5 0,00 0,01 0,01 -22,50 -22,52 -22,52 76,19 60,02 66,71
5,0 0,00 0,05 0,05 -25,00 -25,06 -25,06 94,00 73,99 82,30
5,5 0,00 0,18 0,20 -27,50 -27,63 -27,66 113,69 89,44 99,54
6,0 0,00 0,49 0,61 -30,00 -30,15 -30,26 135,25 106,38 118,45
6,5 0,00 0,96 1,38 -32,50 -32,09 -32,39 158,69 124,84 139,54
7,0 0,00 0,65 1,52 -35,00 -31,10 -31,61 184,00 141,31 161,02
7,5 0,00 -2,17 -1,43 -37,50 -21,56 -21,47 211,19 129,90 146,808,0 0,00 -5,16 -4,53 -40,00 -1,72 1,73 240,25 86,81 90,73
σx (N/mm²) para y = 0 σy (N/mm²) para y = 0 τxy (N/mm²) para y = 0
Tabela C9 – Comparação das tensões na seção com y = 0,5 m, com e sem “melhoramento”.
X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.
0,0 0,00 -0,42 0,00 0,00 0,13 0,26 -0,05 -0,07 -0,01
0,5 0,59 0,48 0,62 -4,22 -3,65 -3,64 0,66 0,83 0,81
1,0 2,13 1,75 1,81 -8,44 -7,35 -7,40 2,77 2,30 2,34
1,5 5,53 4,96 5,06 -12,66 -11,03 -11,10 6,28 4,82 5,11
2,0 11,75 10,95 11,08 -16,88 -14,71 -14,79 11,20 8,34 8,98
2,5 21,72 20,65 20,81 -21,09 -18,39 -18,49 17,53 12,88 13,96
3,0 36,38 34,98 35,18 -25,31 -22,07 -22,19 25,27 18,42 20,05
3,5 56,66 54,87 55,10 -29,53 -25,74 -25,89 34,41 24,97 27,24
4,0 83,50 81,25 81,51 -33,75 -29,43 -29,59 44,95 32,53 35,53
4,5 117,84 115,03 115,33 -37,97 -33,11 -33,30 56,91 41,09 44,93
5,0 160,63 157,16 157,49 -42,19 -36,82 -37,03 70,27 50,63 55,41
5,5 212,78 208,52 208,92 -46,41 -40,54 -40,79 85,03 61,14 66,94
6,0 275,25 270,02 270,70 -50,63 -44,13 -44,47 101,20 72,52 79,36
6,5 348,97 342,60 344,34 -54,84 -46,83 -47,44 118,78 85,00 92,94
7,0 434,88 424,93 432,50 -59,06 -43,96 -44,12 137,77 99,38 111,22
7,5 533,91 490,83 495,58 -63,28 -2,76 -1,37 158,16 107,01 118,408,0 647,00 485,22 485,44 -67,50 26,59 48,24 179,95 71,68 77,18
σx (N/mm²) para y = 0,5 m σy (N/mm²) para y = 0,5 m τxy (N/mm²) para y = 0,5 m
102
Tabela C10 – Comparação das tensões na seção com y = 1 m, com e sem “melhoramento”.
X (m) Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor. Analít. s/ Melhor. c/ Melhor.
0,0 0,00 0,00 0,47 0,00 0,00 0,10 0,00 0,00 0,12
0,5 -0,69 -1,40 -1,55 -5,00 -5,05 -4,99 0,00 -0,01 -0,06
1,0 0,50 -0,15 -0,68 -10,00 -10,17 -10,11 0,00 0,04 -0,14
1,5 5,44 4,48 3,62 -15,00 -15,28 -15,20 0,00 0,19 -0,11
2,0 16,00 14,66 13,52 -20,00 -20,38 -20,27 0,00 0,41 -0,07
2,5 34,06 32,25 30,82 -25,00 -25,47 -25,34 0,00 0,70 -0,02
3,0 61,50 59,10 57,38 -30,00 -30,57 -30,41 0,00 1,05 0,05
3,5 100,19 97,07 95,07 -35,00 -35,66 -35,48 0,00 1,46 0,13
4,0 152,00 148,02 145,74 -40,00 -40,76 -40,55 0,00 1,93 0,22
4,5 218,81 213,80 211,23 -45,00 -45,85 -45,61 0,00 2,47 0,32
5,0 302,50 296,19 293,39 -50,00 -50,94 -50,66 0,00 3,06 0,43
5,5 404,94 396,82 393,84 -55,00 -56,00 -55,67 0,00 3,69 0,51
6,0 528,00 516,88 514,58 -60,00 -60,83 -60,24 0,00 4,31 0,55
6,5 673,56 652,16 648,21 -65,00 -65,94 -65,96 0,00 4,20 -1,03
7,0 843,50 814,75 822,49 -70,00 -65,12 -64,86 0,00 6,82 2,52
7,5 1039,69 930,01 937,42 -75,00 -68,18 -76,66 0,00 4,02 -1,38
8,0 1264,00 1524,33 1596,65 -80,00 -80,00 -108,98 0,00 0,00 -12,40
σx (N/mm²) para y = 1,0 m σy (N/mm²) para y = 1,0 m τxy (N/mm²) para y = 1,0 m
C.2 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 2
Os arquivos de entrada de dados e os de saída, para o exemplo do tubo de parede espessa com
pressão interna, se encontram no CD que acompanha este trabalho, dentro do diretório:
D:\Exemplo2_Tubo\
Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.
A descrição de cada arquivo é apresentada a seguir:
− Tubo49M.dat / Tubo49M.out: Arquivos de entrada e saída, respectivamente, para uma
discretização em 98 graus de liberdade, apresentada na Fig. 6.8;
− Tubo64M.dat / Tubo64M.out: Arquivos de entrada e saída, respectivamente, para uma
discretização em 128 graus de liberdade, apresentada na Fig. 6.4;
− Tubo157M.dat / Tubo157M.out: Arquivos de entrada e saída, respectivamente, para uma
discretização em 314 graus de liberdade, apresentada na Fig. 6.8;
− Tubo235M.dat / Tubo235M.out: Arquivos de entrada e saída, respectivamente, para uma
discretização em 470 graus de liberdade, apresentada na Fig. 6.8;
103
As tabelas apresentadas a seguir foram utilizadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.6,
que comparam os resultados analíticos e de elementos finitos aos resultados de operadores
discretos sem o melhoramento da precisão com a consideração da estimativa para o erro de
truncamento.
Tabela C11 – Comparação das tensões na seção com r = 25 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6025 90 38,0952381 41,198846 36,74438 1,42951E-31 -0,347377 -4,50675 -2,3336E-15 0,58645 -2,62728425 80 36,94652611 37,867473 35,95275 1,148711985 1,05339 -2,0491953 -6,5146694 -6,675217 -6,77362625 70 33,63894177 35,202365 32,390505 4,456296322 4,528333 1,18382495 -12,2435735 -12,865587 -12,8565725 60 28,57142857 30,227752 26,76879 9,523809524 9,969415 6,8945925 -16,495722 -17,538733 -17,6077125 50 22,35520338 23,766751 20,53103 15,74003471 16,68601 13,114955 -18,7582429 -20,072813 -19,87372525 40 15,74003471 16,68601 13,11496 22,35520338 23,766751 20,53103 -18,7582429 -20,072813 -19,87372525 30 9,523809524 9,969415 6,8945935 28,57142857 30,227752 26,768795 -16,495722 -17,538733 -17,6077125 20 4,456296322 4,528333 1,18382525 33,63894177 35,202365 32,390505 -12,2435735 -12,865587 -12,85657525 10 1,148711985 1,05339 -2,04919545 36,94652611 37,867473 35,95275 -6,5146694 -6,675217 -6,773626525 0 0 -0,347377 -4,50675 38,0952381 41,198846 36,74439 0 0,58645 -2,627285
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C12 – Comparação das tensões na seção com r = 22 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6022 90 43,64423455 49,504656 43,19026 -5,54899646 -6,658068 -4,9966807 -3,0135E-15 0,563737 -2,898394522 80 42,16087713 43,965458 41,696425 -4,06563904 -6,385126 -4,6340057 -8,41253796 -8,785242 -8,1255267522 70 37,88971968 39,735628 37,4943025 0,20551842 -1,91027 -0,37287175 -15,8103997 -17,046823 -15,818407522 60 31,3459268 32,733607 30,831195 6,749311295 5,281878 6,28773125 -21,3012939 -23,353553 -21,3788422 50 23,31877651 23,854864 22,898695 14,77646159 14,274011 14,223265 -24,2229376 -26,752661 -24,2709522 40 14,77646159 14,274011 14,223268 23,31877651 23,854864 22,898695 -24,2229376 -26,752661 -24,2709522 30 6,749311295 5,281878 6,28773225 31,3459268 32,733607 30,831195 -21,3012939 -23,353553 -21,378842522 20 0,20551842 -1,91027 -0,37287125 37,88971968 39,735628 37,4943075 -15,8103997 -17,046823 -15,8184122 10 -4,06563904 -6,385126 -4,6340065 42,16087713 43,965458 41,69643 -8,41253796 -8,785242 -8,1255272522 0 -5,54899646 -6,658068 -4,99668165 43,64423455 49,504656 43,190265 0 0,563737 -2,8983955
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C13 – Comparação das tensões na seção com r = 19 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6019 90 52,02479884 60,189442 50,984805 -13,9295607 -16,38523 -15,872186 -4,0402E-15 0,842433 -4,26358819 80 50,03603155 52,527046 49,589935 -11,9407935 -16,024717 -13,0297613 -11,2788598 -11,661458 -10,732113319 70 44,30960438 46,436443 43,4299625 -6,21436628 -10,139057 -7,14017328 -21,1973226 -22,917267 -21,38599519 60 35,53620894 36,711495 34,778575 2,559029152 -0,505982 1,551337 -28,5590754 -31,430464 -28,642977519 50 24,77404622 24,571083 23,8614625 13,32119187 11,602506 12,457003 -32,4761823 -35,993116 -32,6169619 40 13,32119187 11,602506 12,45700425 24,77404622 24,571083 23,86146 -32,4761823 -35,993116 -32,6169619 30 2,559029152 -0,505982 1,551341275 35,53620894 36,711495 34,778575 -28,5590754 -31,430464 -28,6429819 20 -6,21436628 -10,139057 -7,14017318 44,30960438 46,436443 43,4299625 -21,1973226 -22,917267 -21,385997519 10 -11,9407935 -16,024717 -13,0297643 50,03603155 52,527046 49,5899375 -11,2788598 -11,661458 -10,732116319 0 -13,9295607 -16,38523 -15,8721865 52,02479884 60,189442 50,984805 0 0,842433 -4,2635885
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
104
Tabela C14 – Comparação das tensões na seção com r = 16 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6016 90 65,55059524 76,968662 63,98153 -27,4553571 -31,725675 -28,13056 -5,6973E-15 1,15235 -4,965544516 80 62,74612262 66,014062 61,1268425 -24,6508845 -31,653656 -26,91888 -15,9049546 -16,78666 -15,564852516 70 54,67096555 57,092145 53,1604825 -16,5757275 -23,446654 -18,6125235 -29,8915369 -32,723277 -30,081567516 60 42,29910714 43,001749 40,63232 -4,20386905 -9,769525 -6,1339485 -40,2727587 -44,706239 -40,56937516 50 27,12277612 25,702238 25,43464 10,97246198 7,349471 9,101174 -45,7964915 -51,080795 -46,1067716 40 10,97246198 7,349471 9,1011775 27,12277612 25,702238 25,434635 -45,7964915 -51,080795 -46,106772516 30 -4,20386905 -9,769525 -6,1339475 42,29910714 43,001749 40,632315 -40,2727587 -44,706239 -40,569382516 20 -16,5757275 -23,446654 -18,612524 54,67096555 57,092145 53,1604825 -29,8915369 -32,723277 -30,0815716 10 -24,6508845 -31,653656 -26,9188825 62,74612262 66,014062 61,1268425 -15,9049546 -16,78666 -15,564857516 0 -27,4553571 -31,725675 -28,13056 65,55059524 76,968662 63,98153 0 1,15235 -4,965545
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C15 – Comparação das tensões na seção com r = 13 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6013 90 89,48999718 106,188688 85,976355 -51,3947591 -60,688258 -57,50174 -8,6302E-15 1,697874 -8,53820413 80 85,24180197 89,662674 82,45006 -47,1465639 -59,263368 -52,10318 -24,0927123 -26,021038 -23,70320513 70 73,00961138 75,279672 69,4023825 -34,9143733 -46,617928 -39,696135 -45,2794879 -50,379771 -45,929762513 60 54,26880811 53,740385 50,57406 -16,17357 -25,87816 -20,7779338 -61,004889 -68,217184 -61,71384513 50 31,27980964 27,587585 27,21061625 6,815428454 -0,0578 2,5381505 -69,3722001 -77,685524 -70,19492513 40 6,815428454 -0,0578 2,53815725 31,27980964 27,587585 27,21060925 -69,3722001 -77,685524 -70,19492513 30 -16,17357 -25,87816 -20,7779333 54,26880811 53,740385 50,5740525 -61,004889 -68,217184 -61,7138513 20 -34,9143733 -46,617928 -39,6961375 73,00961138 75,279672 69,402375 -45,2794879 -50,379771 -45,929762513 10 -47,1465639 -59,263368 -52,10318 85,24180197 89,662674 82,45006 -24,0927123 -26,021038 -23,703207513 0 -51,3947591 -60,688258 -57,501765 89,48999718 106,188688 85,976355 0 1,697874 -8,5382105
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C16 – Comparação das tensões na seção com r = 10 mm.
R (mm) θ (graus) Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP60 Analít. MOD64 SAP6010 90 138,0952381 153,319705 142,6333 -100 -98,460814 -62,18792 -1,4585E-14 -0,455694 -10,1893610 80 130,9157882 147,810178 136,9716 -92,8205501 -68,446929 -56,55593 -40,7166837 -40,560188 -34,56566510 70 110,2433861 130,280666 119,45425 -72,148148 -48,550479 -39,685685 -76,5223345 -75,06242 -66,259210 60 78,57142857 98,889527 91,32289 -40,4761905 -18,000457 -10,8534605 -103,098262 -101,352053 -89,75861510 50 39,72002115 60,719526 58,723365 -1,62478306 19,963327 21,502585 -117,239018 -115,185095 -101,6993510 40 -1,62478306 19,963327 21,50259 39,72002115 60,719526 58,72335 -117,239018 -115,185095 -101,6993510 30 -40,4761905 -18,000457 -10,8534645 78,57142857 98,889527 91,322865 -103,098262 -101,352053 -89,75862510 20 -72,148148 -48,550479 -39,68568 110,2433861 130,280666 119,45425 -76,5223345 -75,06242 -66,259210 10 -92,8205501 -68,446929 -56,555925 130,9157882 147,810178 136,9716 -40,7166837 -40,560188 -34,56567510 0 -100 -98,460814 -62,18796 138,0952381 153,319705 142,6333 0 -0,455694 -10,18938
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
105
C.3 – COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 3
O arquivo de entrada de dados para o exemplo da chapa quadrada com furo no centro foi
chamado TracH174M.dat e o de saída, TracH174M.out. Ambos podem ser encontrados CD
que acompanha este trabalho, dentro do diretório:
D:\Exemplo3_Chapa com Furo\
Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.
As tabelas apresentadas a seguir foram empregadas para na produção dos gráficos da Fig.
6.14, onde os resultados de operadores discretos, sem considerações quanto ao erro cometido,
são comparados aos resultados analíticos e aos de elementos finitos.
Tabela C17 – Comparação das tensões na seção com r = 1 mm.
R (mm) θ (graus) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1691 90 -100 -132,258318 -96,2144 0 -12,490103 -9,787157 0 -3,182524 -1,4607351 78,75 -81,5493157 -85,509191 -81,96352 -3,22659082 -11,543431 -6,9901835 16,22116744 11,390388 3,43839651 67,5 -35,3553391 -48,964059 -47,30861 -6,06601718 -3,950361 7,2678685 14,64466094 21,324188 -2,72454651 56,25 16,22116744 -14,204434 -5,7481 7,242146086 18,750224 37,03589 -10,8386376 -8,797848 -20,86854551 45 50 39,716246 27,934245 50 70,309877 88,16477 -50 -47,360805 -44,482141 33,75 54,48951068 55,568898 45,1171 122,0471758 162,869497 156,01035 -81,5493157 -78,831377 -61,240771 22,5 35,35533906 47,106983 45,97814 206,0660172 223,134961 226,26445 -85,3553391 -89,901992 -60,375931 11,25 10,83863757 34,728936 40,91984 273,9372689 283,118942 280,71585 -54,4895107 -45,720148 -35,936531 0 0 15,688698 37,34814 300 356,113128 300,7094 0 5,290703 -9,765828
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C18 – Comparação das tensões na seção com r = 5,45 mm.
R (mm) θ (graus) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1695,45 90 1,513337936 2,999482 1,487112 91,75322212 95,970242 92,4572 0 0,333768 -1,1277065,45 78,75 0,705184941 0,869913 0,65061958 93,07392771 95,972059 93,9539325 -2,90460076 -2,331997 -2,57272655,45 67,5 -1,19031526 -0,813901 -1,47154953 96,42905422 98,367615 97,42315 -4,38701318 -3,784259 -4,1025715,45 56,25 -2,90460076 -2,349097 -3,3254862 100,3278248 101,454307 101,65384 -3,81562862 -3,35129 -3,32493265,45 45 -3,19669792 -3,017615 -3,7668595 103,1966979 103,721112 104,5821 -1,68335999 -1,668946 -1,519222985,45 33,75 -1,6162128 -2,014262 -2,1890592 104,1929887 104,231328 105,33472 0,705184941 0,279822 0,737980845,45 22,5 1,190315262 0,130249 0,5009899 103,5709458 103,725748 104,80775 2,006382661 1,457723 2,1534495,45 11,25 3,815628616 2,007297 2,88376325 102,4052587 102,754379 103,5705 1,616212801 1,130502 1,60936685,45 0 4,880057909 2,160406 3,9408635 101,853382 101,593509 102,9772 0 -0,202506 0,7610208
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
106
Tabela C19 – Comparação das tensões na seção com y = 0.
x (mm) y (mm) Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP169 Analítico MOD174 SAP1691 0 0 15,688698 37,34814 300 356,113128 300,7094 0 5,290703 -9,765828
1,25 0 34,56 5,000861 24,5431465 193,44 236,4162 187,8288 0 4,034411 -3,38589811,55 0 36,44746573 13,642648 34,31001 146,7991524 160,927349 146,7356 0 4,823159 2,949731,95 0 29,07357482 24,387197 28,12381 123,5234009 126,072306 125,16275 0 0,173353 3,23820152,45 0 20,82639106 16,929077 20,647075 112,4930592 111,768663 114,78465 0 -0,110235 2,8639423,05 0 14,39132516 11,870015 13,780205 107,1082717 106,090534 109,3234 0 -0,601118 2,04352553,75 0 9,908148148 7,426046 9,2384595 104,3140741 103,667285 106,28745 0 -0,208115 1,4959624,55 0 6,89551978 4,76684 5,8375565 102,7651492 102,435617 104,3363 0 -0,410166 1,040567255,45 0 4,880057909 2,160406 3,9408635 101,853382 101,593509 102,9772 0 -0,202506 0,7610208
6 0 4,050925926 1,71613 1,6715585 101,5046296 101,452713 101,19765 0 0,00022 0,41367617 0 2,998750521 1,10336 2,745773 101,0828821 100,696304 102,30615 0 0,012697 0,607679758 0 2,307128906 0,56969 0,83088415 100,8178711 99,820002 100,0979 0 0,006725 0,27749399 0 1,828989483 0,233093 0,33957785 100,6401463 98,762772 98,856485 0 0,00254 0,175730110 0 1,485 -0,045896 -0,09065188 100,515 97,43334 97,1246 0 0 0,1154517
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
C.4– COMPLEMENTOS DO EXEMPLO 4
O arquivo de entrada de dados para o exemplo da chapa em forma de “L” foi chamado
L231.dat e o de saída, L231.out. Ambos podem ser encontrados no CD que acompanha este
trabalho, dentro diretório: D:\Exemplo4_Chapa em L\
Onde D é a unidade de CD-ROM utilizada para a leitura.
As tabelas apresentadas a seguir foram empregadas para a produção dos gráficos da Fig. 6.18,
onde os resultados de operadores discretos, sem considerações quanto ao erro cometido, são
comparados aos resultados de dois modelos em elementos finitos.
Tabela C20 – Comparação das tensões na seção com x = 0.
x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP8330 0 50,658 54,156 53,440 186,809 188,983 191,309 0,000 -2,113 -0,9700 -10 50,229 54,202 53,381 181,549 186,150 188,471 -0,100 -1,377 -1,0360 -20 50,245 53,815 53,217 173,501 177,624 180,144 -0,247 -4,069 -2,0140 -30 50,248 53,572 52,936 159,807 163,736 166,282 -0,378 -5,837 -2,9990 -40 50,238 52,996 52,557 140,813 144,683 147,153 -0,504 -7,641 -3,9050 -50 50,190 52,790 52,105 117,213 121,492 123,471 -0,605 -8,846 -4,6240 -60 50,081 52,257 51,617 90,448 95,533 96,653 -0,656 -9,564 -5,0150 -70 49,914 52,266 51,135 62,801 69,032 68,878 -0,637 -9,331 -4,9550 -80 49,740 51,806 50,696 37,095 44,194 42,817 -0,546 -8,314 -4,4010 -90 49,642 51,816 50,327 15,987 23,359 21,019 -0,397 -6,575 -3,4420 -100 49,642 51,259 50,052 1,194 7,875 5,231 -0,218 -4,429 -2,2710 -110 49,711 51,098 49,885 -6,926 -1,577 -4,024 -0,046 -2,363 -1,1230 -120 49,814 50,525 49,822 -9,280 -5,655 -7,441 0,084 -0,554 -0,1940 -130 49,933 50,302 49,839 -7,653 -5,593 -6,607 0,150 0,531 0,3960 -140 50,060 49,832 49,883 -4,465 -3,452 -3,613 0,107 0,990 0,5880 -150 50,479 49,501 49,865 -1,994 -1,288 -0,817 0,023 0,560 0,3530 -160 52,519 49,556 50,006 0,000 -0,447 0,005 0,000 0,259 0,007
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
107
Tabela C21 – Comparação das tensões na seção com x = 40mm.
x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP8334 0 23,126 23,131 23,140 -1,556 1,908 1,812 0,012 -4,368 -2,2914 -1 23,309 23,109 23,162 -1,075 2,254 2,059 -8,673 -8,478 -9,4714 -2 23,650 23,270 23,363 -0,529 2,931 2,728 -17,492 -18,911 -18,9004 -3 24,662 23,963 24,201 0,240 3,965 3,672 -26,356 -28,257 -28,4624 -4 27,205 26,213 26,593 0,853 4,431 4,455 -35,172 -38,270 -38,0454 -5 32,673 31,957 32,028 0,560 3,594 4,191 -43,472 -47,040 -47,1404 -6 42,717 42,580 42,132 -1,629 0,794 1,745 -49,825 -53,611 -54,1044 -7 57,676 57,467 56,811 -5,941 -3,797 -3,178 -51,312 -54,553 -55,9124 -8 73,470 72,366 72,101 -10,590 -8,420 -8,865 -45,063 -48,613 -50,0554 -9 82,201 81,943 81,941 -13,227 -11,634 -12,497 -32,646 -36,940 -37,5934 -10 82,368 83,521 83,421 -12,810 -12,145 -12,711 -19,052 -22,925 -22,9484 -11 76,734 78,484 78,324 -10,410 -10,474 -10,433 -7,724 -10,555 -10,2534 -12 68,357 69,916 69,947 -7,434 -7,633 -7,337 0,158 -1,290 -1,2394 -13 59,211 60,475 60,608 -4,707 -4,709 -4,475 4,555 3,812 4,0014 -14 50,368 51,369 51,515 -2,563 -2,432 -2,219 5,700 5,668 5,7904 -15 42,527 43,226 43,393 -1,174 -0,963 -0,704 3,745 3,886 4,4054 -16 36,331 36,578 36,880 0,077 -1,102 -0,507 0,228 2,046 1,058
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C22 – Comparação das tensões na seção com x = 80mm.
x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP83380 0 -0,456 -4,906 -3,639 -196,275 -193,418 -195,406 0,000 -1,677 -0,88980 -10 -0,153 -4,693 -3,635 -192,780 -191,453 -193,488 -0,029 -0,908 -0,69380 -20 -0,134 -5,004 -3,641 -187,648 -186,134 -188,009 -0,055 -2,484 -1,31480 -30 -0,085 -4,354 -3,660 -179,346 -177,250 -179,114 -0,038 -4,171 -1,90980 -40 0,013 -5,244 -3,767 -168,613 -165,727 -167,146 0,079 -4,335 -2,43980 -50 0,543 -4,183 -4,099 -156,190 -150,635 -152,376 0,308 -8,100 -2,91280 -60 -0,824 -2,440 -4,767 -154,274 -131,714 -134,295 2,552 -3,214 -3,29680 -70 24,236 -6,438 -0,924 -68,481 -70,515 -104,675 -11,926 -42,763 -1,72880 -80 255,969 227,150 288,825 55,946 35,017 85,095 -80,092 -52,857 -73,11080 -90 174,334 165,353 171,850 25,370 22,098 26,884 -20,091 -13,833 -7,65480 -100 131,464 133,765 134,484 16,652 11,127 12,337 0,362 2,862 1,68580 -110 104,656 108,256 108,812 10,204 6,148 7,292 6,594 6,752 7,04380 -120 82,684 86,487 86,684 6,381 3,939 4,623 9,475 10,230 10,03180 -130 62,522 65,986 66,067 3,877 2,446 2,832 10,216 11,049 11,03680 -140 42,922 46,144 46,031 2,107 1,314 1,473 8,904 10,039 9,99180 -150 23,018 26,207 25,870 0,968 0,559 0,495 5,221 6,004 6,55980 -160 1,938 5,103 4,403 -0,088 -2,047 -1,372 0,250 2,926 1,521
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
Tabela C23 – Comparação das tensões na seção com x = 120mm.
x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833120 -80 204,236 219,855 218,679 -0,005 3,047 1,799 0,010 -0,495 -0,339120 -90 177,858 190,632 189,674 1,310 1,270 1,040 -1,300 -2,225 -1,987120 -100 149,188 158,813 158,484 2,387 2,789 2,726 -1,795 -2,656 -2,606120 -110 120,263 127,194 127,395 3,259 3,782 3,912 -1,016 -1,585 -1,413120 -120 92,280 97,213 97,799 3,328 4,061 3,938 0,319 0,247 0,450120 -130 65,250 69,123 69,537 2,659 3,272 3,026 1,355 2,100 1,851120 -140 38,579 41,541 41,818 1,661 1,966 1,726 1,619 2,391 2,239120 -150 11,475 13,546 13,712 0,815 0,866 0,590 1,035 1,618 1,531120 -160 -16,828 -16,529 -16,265 -0,036 -2,805 -1,910 0,025 0,703 0,322
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
108
Tabela C24 – Comparação das tensões na seção com x = 160mm.
x (mm) y (mm) MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833 MOD231 SAP225 SAP833160 -80 203,597 217,274 216,649 0,004 2,924 1,896 0,000 0,700 0,381160 -90 176,472 188,048 187,569 0,044 0,061 0,049 0,003 0,503 0,369160 -100 149,228 159,027 158,693 0,108 0,161 0,174 0,005 0,632 0,353160 -110 121,781 129,834 129,560 0,199 0,264 0,327 0,003 0,543 0,357160 -120 94,138 100,331 100,301 0,248 0,326 0,400 -0,001 0,630 0,379160 -130 66,330 70,765 70,994 0,216 0,347 0,342 -0,004 0,544 0,402160 -140 38,357 41,269 41,595 0,131 0,182 0,195 -0,005 0,663 0,411160 -150 10,208 11,492 11,987 0,057 0,082 0,057 -0,003 0,717 0,401160 -160 -18,065 -19,325 -18,408 -0,001 -3,144 -1,994 0,000 0,614 0,385
σx (N/mm²) σy (N/mm²) τxy (N/mm²)
109
APÊNDICE D
FUNCIONAMENTO DO PROGRAMA ELAST_2D.CPP
D.1 – ESTRUTURA DO PROGRAMA
O programa usa um pacote de álgebra linear chamado Template Numerical Toolkit (TNT).
Esse pacote permite o armazenamento de dados com alocação dinâmica de memória e, além
disso, traz rotinas que permitem a inversão de matrizes por fatoração LU e a solução de
sistemas de equações lineares. Ele pode ser obtido pela internet gratuitamente no endereço:
http://math.nist.gov/tnt/
O código fonte do programa é chamado Elast_2D.cpp e pode ser encontrado no CD que
acompanha este trabalho, dentro do diretório: D:\Programa\
Onde D representa a unidade de CD-ROM utilizada para leitura.
O funcionamento do programa é ilustrado no fluxograma que se segue:
Ler do arquivo de entrada, o número de pontos (N) em que o domínio foi discretizado e as propriedades do material
Fazer a alocação dinâmica de memória para o armazenamento dos dados
Fazer i = 1, N
Ler e armazenar todas as propriedades no ponto “ï” (cord. X, coord. Y, tipo, valor 1, valor 2 e ângulo da normal)
Início
110
Ler o tipo da molécula, armazenar o número de pontos satélites (NS) e a conectividade da molécula
Fazer i = 1, N
Tipo da moléc. “i” = Domínio
Montar matriz de diferenças (∆) para molécula de domínio
Montar matriz de diferenças (∆) para molécula de contorno
Inverter a matriz de diferenças (∆) e colocar os coeficientes nas linhas (2i) e ( 2i-1) do sistema global
Resolver o sistema global obtendo as componente do deslocamento u e v em todos os pontos do domínio
Para i = 1, N
Ler a conectividade da molécula “i” e montar a matriz de diferenças (∆) para m pontos da Eq. 4.1
Inverter ∆, aproximar todos os operadores diferenciais até a segunda ordem e armazená-los na memória de massa
Calcular e imprimir no arquivo de saída, os deslocamentose as tensões (sem consideração quanto ao erro)
sim não
111
Para i = 1, N
Ler a conectividade da molécula “i” e a matriz de diferenças (∆)
Inverter ∆ e, usando as aproximações para os operadores diferenciais de segunda ordem (calculados no Loop
anterior) no lugar das componente u e v, aproximar todos os operadores diferenciais de terceira e quarta ordem
Estimar o erro de truncamento da série de Taylor, considerando que ele seja aproximadamente a soma dos
termos de terceira e quarta ordem da série de Taylor
Estimar o erro de truncamento no operador provocado peloerro de truncamento da série de Taylor
Melhorar a aproximação dos operadores de primeira ordem através da Eq. 5.4 com a estimativa para o E.T.
Estimar o erro de truncamento em cada equação com base no erro de truncamento dos operadores e armazená-los
Para i = 1, N
Recalcular as tensões com os operadores “melhorados”
Imprimir deslocamentos, tensões e os erros de truncamento de cada equação.
FIM
112
D.2 – ESTRUTURA DO ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS
O programa requer que a entrada de dados seja feita por meio de um arquivo de texto e, para
ajudar a localizar possíveis erros, ele testa uma palavra do cabeçalho em diversas partes do
programa para verificar se os dados estão entrando na ordem correta. Desta forma, muita
atenção é necessária na produção dos arquivos de entrada de dados.
As peculiaridades do arquivo de entrada de dados são descritas a seguir:
− A primeira palavra, que define o tipo de análise a ser realizada, só pode ser: Plane_Stress,
para o estado plano de tensões; ou Plane_Strain, para o estado plano de deformações;
− Em seguida, devem vir a palavra “SIZE” e número de pontos em que o domínio foi
discretizado, isto é, o número de moléculas utilizadas no modelo;
− A declaração das propriedades do material é a próxima entrada, a palavra “MATERIAL”
deve vir primeiro e, na linha seguinte, um cabeçalho que indique nesta ordem: o módulo
de elasticidade (E), o coeficiente de Poisson (Ni) e as componentes das forças de corpo
nas direções x e y (BF_X e BF_Y, respectivamente). E em baixo do cabeçalho, os
respectivos valores;
− Então, vem as propriedades das moléculas que devem ser precedidas pelo seguinte
cabeçalho: “PROPERTIES
Mol# X Y Tipo Val1 Val2 Teta”
Onde: Mol# é o número de referência da molécula (inteiro);
X é a coordenada x do ponto (real);
Y é a coordenada y do ponto (real);
Tipo, descreve a situação do ponto de acordo com o seguinte código: Ponto no
interior do domínio (0); Apoio de primeiro gênero (1); apoio do segundo
gênero (2); e contorto submetido à trações de superfície (3) (as trações podem
ser nulas); e
113
Val1 e Val2 representam os valores do carregamento ou deslocamento para
pontos no contorno, assim, seu significado varia em função do tipo de
molécula de acordo com a Tab. D1 a seguir:
Tabela D1: Significado de Val1 e Val2 em função do tipo da molécula
Val1 Val2
Tipo 0 (domínio) Nada Nada
Tipo 1 (apoio 1o gênero) Deslocamento na direção normal
Tração de superfície na direção tangente ao contorno
Tipo 2 (apoio 2o gênero) Deslocamento na direção normal ao contorno
Deslocamento na direção tangente ao contorno
Tipo 3 (contorno livre) Tração de superfície na direção normal ao contorno
Tração de superfície na direção tangente ao contorno
A tração de superfície na direção normal é positiva quando aponta para fora do
domínio e a tração na direção tangencial é positiva quando, num sistema de
referência dextrógiro, provoca uma rotação em sentido anti-horário no corpo
onde atua; e
Teta é o ângulo entre a normal ao contorno e a direção positiva do eixo x de
referência
− No final do arquivo, são fornecidas as conectividades das moléculas, que devem aparecer
abaixo do seguinte cabeçalho: “CONECTIVITY
J0 NS J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8”
Onde: J0 é o ponto central das moléculas;
NS é o número de pontos satélites; e
Ji – com i = 1, 2,...,8, é o número de referência do i-ésimo ponto satélite.