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Transitions de phase en dimensions fractales
* Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS
* Université d’Evry-Val d’Essonne
Irradiation d’un multicouche Ni-W par des ions Xe+
Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon
1) Description des fractals de Sierpinski et modèles
2) Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies
3) Renormalisation Monte-Carlo
4) Ralentissement critique et amas de Wolff
5) Modèle de Potts
6) Percolation
Fractals de Sierpinski (et Menger)
• Invariance d’échelle : Processus itératif et dilatations
• Cellule génératrice SPg(ld,Noc, 1)
Noc sites occupés dans un carré ou un cube de côté l
SPb(33,18,1)
• k étapes d’itération Réseau SPg(ld,Noc, k)
Taille L=lk
Nombre de sites Nock=LDf
Dimension de Hausdorff
• Paramètres topologiques additionnels
Degré de ramification, connectivité, lacunarité
)ln(
ln l
ND ocf
)2,12,4( 2aSP )2,12,4( 2
bSP
792.1fD
Modèles
),(,
jji
iPottsPotts JH
jji
igIgI JH ,
sinsin
Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins
• Spins d’Ising ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes
• Fractals de degré de ramification infini Le modèle d’Ising présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à Tc 0
Renormalisation dans l’espace direct
Symétrie d’échelle discrète Tailles simulées : L=lk
Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur
Fluctuations géométriques multi-échelles fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position
Construction de la structure fractale
Propriétés topologiques dépendantes de l’étape d’itération k de la structure
0
0.04
0.08
0.12
0.16
1 2 3 4
SPB(3^3,18)
SPa(5^2,16)
SPa(4^2,12)
SPa(3^2,8)
SPa(4^3,56)
SPa(3^3,26)
SPa(5^2,24)
k
24,5
26,356,48,312,416,518,3
2
3
3
2
2
2
3
a
a
a
a
a
a
b
SPSPSPSP
SPSPSP
Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisins zg(ld,Noc, k)
par rapport à sa limite thermodynamique zg(ld,Noc,)
k
Simulation Monte-Carlo en situation canonique
• Réduction du ralentissement critique
• Traitement des données des simulations
ALGORITHMES DE “CLUSTER’’ (Wolff, Swendsen-Wang)
METHODE DES HISTOGRAMMES
Analyse en tailles finies• Comportement asymptotique de la longueur de corrélation ~|t|- où t =(T- TC )/TC
Relation d’homogénéité L
Aimantation par spin )(),(
1
tLFLtLm m
0 , ~ ttm
Susceptibilité en
champ nul )(),(1
tLFLtL
t~
Chaleur spécifique )()(),(
1
tLFLtctLC C
tC~
• Hypothèse d’homogénéité f(t,h)=b-Df f(tbyt,hbyh )
/1
2)(maxln1),( LLnT
M
TkTLn
Tn
B~
Calcul de Pics des dérivées logarithmiques
/1.)( LnbTLnT CC
Calcul de TC Position des pics nmax
CTTTUMMTLU à 31),( *2
24
Calcul de TC sans Point fixe du cumulant :
Calcul de () et () // ~)0,(et ~)0,( LLLLm
Autre calcul de () Pic de susceptibilité : /max ~)( LL
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
2.064 2.065 2.066 2.067 2.068
T
U(L,T)
k=4k=5
k=3
k=2
10
100
1000
104
10 100 1000
phi1max
phi2max
phi3max
phi4max
L
imax 1
max
2max
3max
4max
2.06660
2.066162.06604
2.06602
SPSPaa((5522,24,24)) D Df f ~~ 1.975 1.975
003.0083.1
SPSPaa((5522,16,16)) D Dff ~~ 1.723 1.723
0.6661
0.6662
0.6663
0.6664
0.6665
0.6666
0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85
U(L,T)
T
k=3
k=4
k=5
1
10
100
10 100 1000
phi1max
phi2max
L
imax 1
max
2max
0.8188 0.8372
06.4
SPSPaa((3322,8,8)) D Df f ~~ 1.893 1.893
)10(075.0/
1.46
1.5
1.54
1.58
1.62
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
tc(khi)
tc(fi1)
tc(fi2)
tc(fi3)
tc(fi4)
L 1
T LC ( )
T LC1( )
T LC3( )
T LC2 ( )
T LC4 ( )
T LC ( )
0015.048195.1 cT
0.5
0.6
0.7
0.8
10 100 1000 104
T=1.4780
T=1.4795
T=1.48012
T=1.4815
T=1.4820
m
L
10
100
1000
104
105
10 100 1000 104
max
L
)16,5(
)12,4(
)8,3(
)8,3(
)56,4(
)26,3(
)18,3(
2
2
2
2
3
3
3
SP
SP
SP
PottsSP
SP
SP
SP
b
a
a
a
a
a
a
Maximas de susceptibilité du paramètre d’ordre max(L)
Pente /
jji
ivoisins
premiers,
jji
ivoisins
quatrièmes,
i
ikj
diagkji
i ,,
Renormalisation du Hamiltonien d’Ising : Couplages
)()1( nn RHH
)()()( nnn SK
H
Renormalisation Monte-Carlo )()1( nn KRK
)(*
)( nn KKK )(
)()1( n
nn KTK
)(
)1()(
n
nn
KKT
• Flot
• Linéarisation du Flot
)(
)(
)(
)1()(
n
n
n
nn
KS
SKT
)()()()()(
)(mnmn
m
n
SSSSKS
• Calcul de la matrice [T (n)]
• Calcul des deux plus grandes valeurs propres t(n)
et h(n) de [T (n)] dans chaque sous espace
ytt=3 yt
Nombre de couplages
yt=1/ <0.525
n
SPa(3,8)
Nombre de couplages
yhh=3 yh
n
yh=1.82(1)
2yh=Df+/
Analyse en tailles finies : /=1.732(2)
Corrections d’échelle Ecarts aux lois de puissances Lx(1+aL+…)
Dépendantes de la grandeur physique et de Df
Dépendantes de la topologie du fractal Importantes lorsque Df décroît de 2 vers 1 Peu importantes pour 2.5 < Df < 3 Sans effet sur max(L) Valeur précise de Liées à la convergence à la limite thermodynamique
Relation d’hyperscaling Satisfaite avec la dimension de Hausdorff
2fD
0
1
2
3
4
5
6
7
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
Df
expansions from expansions from
Carlo Monte from
Carlo Monte from
Développements en Exposants et en désaccord : Brisure de la symétrie de translation
FRACTALS UNIVERSALITE FAIBLE
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
fD
Ralentissement critique Fonction d’autocorrélation de la grandeur A
22
2)()0(
)(AA
AnAAnCA
A2
22
21 1 AAN
AS
Erreur statistique sur <A>
: Temps d’autocorrélation intégré
0A )( dcA
à TC LzA~
Lois d’échelles dynamiques = LzF(tL )
Algorithme de Wolff• 1) Tirage d’un site i du réseau au hasard • 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à l’amas
avec la probabilité :
• 3) Répétition de l’étape 2) pour chacun des sites
venant de rejoindre l’amas
si 0),(
si 2exp1),(
jijiadd
jiB
jijiadd
ssssP
ssTksJsssP
• 4) Répétition de l’étape 3) jusqu'à « épuisement »
• 5) Retournement en bloc de tous les sites de l’amas
• 6) Retour en 1)
nième pas Monte-Carlo (n+1)ième pas Monte-Carlo
« Tension de surface » de l’amas
2|En+1 -En |
« Nombre de sites » de l’amas
2|Mn+1 -Mn |
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 4 8 12 16 20
k=5
k=4
k=3
k=2
TC=2.0660
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10
B
B
B
B
k=7
k=6
k=5
k=4
TC=1.4795
SPSPaa((5522,24,24))
DDf f ~~ 1.975 1.975SPSPaa((3322,8,8))
DDf f ~~ 1.893 1.893
Fonctions d’autocorrélation de l’aimantation à TC
CM(n) CM(n)
n n
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 500 1000 1500 2000
nCE
n
k=5
ip
iiE nanC /exp)(
1
Plusieurs temps caractéristiques Calcul de E à partir d’un fit de <CE(n)> sur une base restreinte :
Calcul de temps d’autocorrélation
0.01
0.1
1
0 20 40 60 80 100 120
n
nCE
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
n
nCE
Exposants dynamiques
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
ZWMZWEZSWMZSWE
fD-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
ZWMZWEZSWMZSWE
fD
Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à TC
10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 104 105 106 107
k=2
k=3
k=4
s10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 104 105 106 107
k=3k=4k=5
kP
s
SPa(52,24), Df 1.975SPa(52,24), Df 1.975 SPa(43,56), Df 2.904SPa(43,56), Df 2.904
Invariance d’échelle des distributions de probabilité des tailles des amas
Pk(s)= Pk-1(s l -yh )=Pk-1(s / l) Pk(s)= Pk-1(s l -yh )=Pk-1(s / l)
10-7
10-6
10-5
0.0001
0.001
0.01
0.1
1000 104 105
k=3k=4k=5k=5k=6k=7
*s
kP
),1,3( kSC ),1,5( kSC
10-7
10-5
0.001
0.1
0 4 104 8 104 1.2 105
k=3k=4k=5k=3k=4k=5
),26,3( 3 kSP
),18,3( 3 kSP
*s
kP
Loi d’échelle de la “tension de surface’’ moyenne des amas à TC
Pour L ‘‘assez grand’’ : E~LSw
Pour L ‘‘assez grand’’ : E~LSw
Invariance d’échelle des densités de probabilité de “tension de surface”
De l’étape k à l’étape k-1: P SEl -dS P S(E l -ys )
De l’étape k à l’étape k-1: P SEl -dS P S(E l -ys )
ZMWSFDf ZM
WSFDf
P sb -Df P (sb -yh )
s~L
P sb -Df P (sb -yh )
s~L
P SEb -dS P S(E l -ys )
E~LSw
P SEb -dS P S(E l -ys )
E~LSw
2yh= Df2yh= Df
2yS= dSSw2yS= dSSw
Tailles
Tensions de surface
dS
Df
dS
DfConjecture
WSFEZ
EE LCC ~)1()0(Tempsde fluctuations statistiques
E=2(E E)(1-CE(1))
Sw +2ZEWSF Sw +2ZE
WSF
Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin
Réseaux invariants par translation Ordre de la transition dépendant de q et d Valeur critique qc(d)
Désordre : champ pertinent dans certaines conditions
Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre
(Meyer-Ortmanns et Reisz)
Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre
(Meyer-Ortmanns et Reisz)
Distribution de probabilité de l’énergie à la transition
Distribution de probabilité de l’énergie à la transition
Ordre de la transition
SPa(3,8)
Modèle de Potts à 3 états sur SCa(3,8)
Transition du second ordre Corrections d’échelle plus fortes que pour Ising Pas de corrections sur max(L)
Valeur précise de Bornes pour les autres exposants
Df compatible avec la relation d’hyperscaling
On peut différencier les deux ‘‘classes’’ d’Ising et de Potts
Transition de percolation
• Distribution de taille
des amas ns(L,p)
• Moments de ns(L,p)
),(),( pLnspLM s
s
kk
Recherche des pics des moments (2 k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziff s
• Maxima des moments Mkmax(L)~L - yk/
• yk/Df - kDfp) Dfp=1.828 pour SCa(32,8)
Dfp=1.766 pour SCa(42,12)
SCa(32,8)
M2max
Mk(L,p)=l -yk/ Mk(L/l,p*)
p -pck(L)= l -1/ (p*- pc
k(L/l))
Mk(L,p)=l -yk/ Mk(L/l,p*)
p -pck(L)= l -1/ (p*- pc
k(L/l))
Largeurs des pics pk(L) ~L-1/
2
Perspectives
• Diagramme de phase du modèle de Potts
• Transport anormal et systèmes non linéaires
• Vieillissement d’une particule Brownienne