Post on 03-Feb-2020
2
Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah
),( 21, 21xxf XX . Jika kemudian didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y1
dan Y2, dimana Y1 = h1(x1, x2) dan Y2 = h2(x1, x2), maka ingin
diketahui fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu ),( 21, 21yyf YY .
3
Teorema
Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah
),( 21, 21xxf XX yang positif dan kontinu pada gugus S R
2, dan
didefinisikan fungsi h1, h2 : S R, dan T merupakan bayangan
S sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one) dari (h1, h2). Oleh
karena itu, jika y1 = h1(x1, x2) dan y2 = h2(x1, x2) maka inversnya
x1 = h1-1
(y1, y2) dan x2 = h2-1
(y1, y2), dengan (y1, y2) T. Anggap
bahwa untuk (y1, y2) T, dx1/dy1 dan dx2/dy2 ada, kontinu, dan
tidak sama dengan 0. Maka fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2
adalah:
TyyJyyhyyhfyyf XXYY
),( ,)}.,(),,({),( 2121
1
221
1
1,21, 2121
4
TyyJyyhyyhfyyf XXYY
),( ,)}.,(),,({),( 2121
1
221
1
1,21, 2121
2
2
1
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
JacobiJ
5
Kasus 1
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1), sedangkan
X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini.
Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1 – X2, tentukan:
a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
),( 21, 21yyf YY .
b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
)( 11yfY dan )( 22
yfY .
6
Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh
acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama bagi
X1 dan X2 adalah:
10dan 10 ;1)().(),( 212121, 2121 xxxfxfxxf XXXX
kemudian didefinisikan bahwa
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
7
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di
atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = h1-1
(y1, y2) = (y1 + y2)/2
x2 = h2-1
(x1, x2) = (y1 y2)/2
x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;
9
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah
Tyy
yyyyf
Jyyhyyhfyyf
XX
XXYY
),( ;2
1
2
1).1(
2
1}.2/)(,2/){(
)}.,(),,({),(
21
2121,
21
1
221
1
1,21,
21
2121
Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1 dan
y2 yaitu T,
10
Untuk 0 < x1 < 1
0 < x1 < 1 0 < (y1 + y2)/2 < 1 0 < y1 + y2 < 2
0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2
y2 > y1 dan y2 < 2 y1
Untuk 0 < x2 < 1
0 < x2 < 1 0 < (y1 y2)/2 < 1 0 < y1 y2 < 2
0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2
y2 < y1 dan y2 > y1 2
11
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah
y2 > y1 ; y2 < 2 y1 ; y2 < y1 ; dan y2 > y1 2
12
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y1 adalah
Untuk 0 < y1 1
12221,1
1
1
1
1
211 2
1),()( ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
13
Untuk 1 < y1 < 2
1
2
2
2
2
2
221,1 22
1),()(
1
1
1
1
211ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
21;2
10;
)(
1
11
11
11
y
yy
yy
yfY
14
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y2 adalah
Untuk -1 < y2 0
12
1),()( 2
2
1
2
121,2
2
2
2
2
212
ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
15
Untuk 0 < y2 < 1
2
2
1
2
121,2 12
1),()(
2
2
2
2
212ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
10;1
01;1
)(
2
22
22
22
y
yy
yy
yfY
16
Kasus 2
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut
0 ,)( xexf x
X
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).
Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah
0dan 0 ;),( 21
)(
21,2121
21
xxeeexxf
xxxx
XX
17
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi
terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.
Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang transformasi
yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2. Trasformasi ini bersifat
satu-satu untuk seluruh daerah fungsi.
y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di
atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
19
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah
Tzyze
ze
Jxxfzyf
z
zyyz
XXZY
),( ,
.
).,(),(
))1((
21,, 21
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.
Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka
0 y = x1/(x1 + x2) 1 0 y 1
z = x1 + x2 0 z 0
sehingga
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
20
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
0
1dzze z
Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
lainnya ;0
10;1
)(
y
y
yfY
24
Kasus 4
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan bahwa
peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
Lihat Roussas, Bab 6, Exercise 2.3, hlm. 183.
Sebaran Eksponensial Negatif adalah:
0 ,0 ,)( xexf x
X
25
Kasus 5
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.
d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).
Kasus 6
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp
Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X
2 + Y
2
mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).
26
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2016
Latihan :
Kerjakan Kasus 4, Kasus 5, dan Kasus 6 di atas
27
1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press
2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.
3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.
4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning
5. Pustaka lain yang relevan.