Post on 10-Jul-2015
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
La transformadade
Fourier
La transformada de Fourier
Estas expresiones nos permiten calcular laexpresión F() (dominio de la frecuencia) apartir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
Notación: A la función F() se le llamatransformada de Fourier de f(t) y sedenota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nospermite obtener f(t) a partir de F() se lellama transformada inversa de Fourier yse denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
Ejemplo. Calcular F() para el pulsorectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio deltiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
Integrando:
Usando la fórmulade Euler:
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1 p
p
tii e
)( 2/2/1 pipi
i ee
)2/(sinc2/
)2/()( ppp
psenpF
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
)2/(sinc)( ppF
Algunas funciones no poseen transformada de FourierLa condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a + y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg 2)(
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir
potencia de espectro A
espectral fase espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
ir
ir
ki
FFF
AFFkFA
ekAkFxfF
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dxkxxfkF
dxkxxfkF
i
r
)sin()()(
)cos()()(
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b
2 t
a
2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g( t) h(t)
donde g(t) 0 , t a
2
1 , t a2
; h( t) 0 , t b
2
1 , t b2
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
2
)2
(
2
)2
()(ˆ
b
bsenba
asenaf
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a
1, a t b
0, b t b
1, b t a
0, t a
; h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t) 0 , t a
1 , t a
f t g(t) h(t)
aasenagTF
)(2)(ˆ ..
h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t) 0 , t a
1 , t a
bbsenbhTF
)(2)(ˆ ..
bbsenb
aasenahgf
)(2)(2)(ˆ)(ˆ)(ˆ
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
Propiedades
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a) g(t)
4. Producto por exponencial compleja
afetfftf TFitaTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteetf tiita )(
dtetfg tai )()(ˆ )(ˆ af
)()( tgetf ita
5. Producto por cos(at) o sin(at)
2))(ˆ)(ˆ()sin()(
2))(ˆ)(ˆ()cos()(
iafafattf
afafattf
6. Producto por t
n
nnn
dfdittf
dfdittf
ˆ)(,
ˆ)(
dtettfid
fddtetff titi
)(
ˆ;)(ˆ
7. Identidad de Parseval : f *(t)g(t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2
dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
8. Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff e ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf ee titi
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
0
)( dttf ee titi
0
)cos()(2ˆ dtttff
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
9. Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff e ti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf ee titi
0
)( dttf ee titi
0
)()(2ˆ dttsentfif
10. Transformadas de Fourier de la derivada, f’(t)
fidtetfi
tfdtdt
tdfdt
tdfF
ti
titi ee
ˆ)(
)()()(
ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
duutguftgf )()()(
dutgutf )()(
rect(x) * rect(x) = (x)
Ejemplo visual:
)()()(*)( wGwFtgtfF
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.