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TOPICOS DE CALCULO VOL. II
- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
• INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES
MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA
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TOPICOS DE CALCULO VOL. II
TERCERA EDICION
MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA
IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU
Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores.Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160Impreso en los Talleres Gráficos de:Editorial THALES S.R.L.
TERCERA EDICION Mayo del 2009
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PRÓLOGO
En esta segunda edición de T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. II, nos hem os esforzado por
presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la
geometría analítica en el espacio, en form a tal que resulte de m áxim o provecho a
los estudiantes cuyo cam po de especialización no sea estrictamente las
matemáticas. L a orientación principal del libro es hacia aplicaciones en d iversas
áreas de la ciencia, lo cual am plía la utilidad del texto.
Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cam biado, se ha
realizado una gran cantidad de revisiones. H em os reestructurado casi la totalidad
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de m od ificaciones a
lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales
desarrollados y redacción de procedimientos. E l conjunto de ejercicios propuestos
se ha m odificado, con la adición de nuevos ejercicios.
E l L ib ro se d ivide en siete capítulos. E n los prim eros cuatro capítulos se hace una
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus
aplicaciones. H em os visto por conveniencia desarrollar primero la integral
indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o
artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. E l capítulo
cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos
siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores
en el espacio trid im ensional y se continua con recta, plano, superficies y se
concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.
Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axiom a que
todo libro de Matem ática los presente; por tal m otivo consideram os que este texto
no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y
corregirlos antes de su impresión. E n tal sentido, los autores com partim os la
responsabilidad de los m ism os, aclarando que d ichos errores han sido com etidos
solamente por uno de los autores.
Querem os expresar nuestro agradecim iento a los profesores y a lum nos de todo el país por la acogida brindada a la edición anterior y esperam os que esta nueva
edición tenga la m ism a preferencia.
L o s Autores
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I N D I C E
C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A
Antiderivada e integración indefin ida.......................................... 1
Propiedades de la integral indefin ida..................................... 4
Integrales inm ediatas........................................................... 5
M étodos de integración........................................................ 10
Integración por sustitución o cam bio de variab le............. 11
Integración por p a rte s .................................... 20
Técnicas de integración........................................................ 29
Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32
integrales de la form a / sen™* c o s - x dx y f s , n ^ x cosk’ x dx 32
Integración por sustitución trigonom étrica ................................ 45
M étodo de integración por descom posición en fracciones parciales 56
Integración de algunas funciones irracionales........... .............. 68
C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A
Sum atoria s............................................................................ 95
Cálcu lo del área de una región plana por sum ato ria s.............. 104
Sum a superior y sum a in fe r io r ............................................ 112
Integrales inferiores y su p e rio re s.......................................... 115
Integral de R iem ann .............................................................. 116
Propiedades de la integral definida ....................................... 120
Teorem as fundamentales del cálculo in te gra l........................ 121
C am b ia de variable en una integral d e f in id a ........................ 130
Integración por partes en una integral d e f in id a ...................... 134
Cálcu lo aproxim ado de las integrales defin idas................... 144
C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S
Integrales im propias con lím ites infin itos.............................. 149
Integrales im propias con lím ites f in ito s ............................... 152
Integrales im propias con integrando no negativo............. . 161
C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
Área de regiones p la n a s ....................... ....... ........................... 167
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Vo lum en de un só lido en función de las áreas de las secciones p lanas...... 181
Vo lum en de un só lido de revo luc ión..................................... 185
M étodo del d isco circular y del anillo circu lar...................... 185
M étodo de la corteza cilindrica .............................. ............... 191
Longitud de a r c o .................................................................. 201
Área de una superficie de re vo lu c ió n ................................... 208
M om entos y centros de masa (ó centros de g ra ve d a d )........... 214
Ap licac iones de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 229
C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sistem a de coordenadas p o la re s ..................................... ........ 237
Relación entre las coordenadas polares y las rectangu lares....... 239
D istancia entre dos puntos en coordenadas p o la re s ................... 240
Ecuación polar de una re c ta .............................. ..................... 241
Ecuación polar de una c ircunferencia ....................................... 243
D iscu sión y gráfica de una ecuación p o la r ................................ 244
Intersección de curvas en coordenadas p o la re s........................... 248
Derivadas y rectas tangentes en coordenadas p o la re s.............. 251
Á n g u lo entre dos curvas en coordenadas p o la re s ...................... 254
Á rea de regiones en coordenadas p o la re s ........................ ....... 262
Longitud de arco en coordenadas p o la re s ................................. 266
Vo lum en de un só lido de revolución en coordenadas polares.... 268
C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O
T R I D I M E N S I O N A L
Vectores en el espacio tr id im en siona l....................................... 273
Representación geométrica de un vector en i 3 ....... .................. 274
Vectores paralelos en R 3 .......................................................... 276
M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 277
Á n g u lo entre dos ve c to re s......................................................... 278
Vectores ortogonales o perpendiculares..................................... 279 •
Producto ve c to r ia l............. ....................................................... 283
Ap licac iones del producto ve c to r ia l............................................ 285
A p licac ión del triple producto e sc a la r ........................................ 287
Recta en el e sp a c io .............................. ..................................... 295
Relación entre los cosenos directores de una recta....................... 296 www.FreeLibros.com
Ecuaciones de un plano en el e sp a c io ......................................... 306
Á n g u lo entre dos p la n o s ............................................................. 319
Proyección ortogonal de una recta sobre un p la n o ...................... 320
C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S
E s fe r a .................................................................................... 342
D iscu sió n y gráfica de la ecuación de una su p e rf ic ie ................. 347
C i l in d r o s ................................................................................. 352
Superficie de re v o lu c ió n ......................................................... 356
Superficies cuad rá tica s............................................................. 361
Coordenadas cilindricas y coordenadas e sfé rica s........................ 369
Coordenadas esféricas............................................................... 371
A p lic a c io n e s .............................................................................. 373
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( r ' ........ ....1............................ ^
INTEGRAL INDEFINIDA
^ ...... .....— ^
1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A
En el libro de T óp ico s de Cá lcu lo Vo lum en 1, se trató principalmente el problem a
básico siguiente: “D ada una función encontrar su derivada” . S in embargo, existen
m uchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso,
el cual es: “D ada una función /, definida en un intervalo /, encontrar una función
F cuya derivada sea la función /, es decir,
F '( x ) = / (x ) , V x G /.
D e fin ic ió n 1. Sea / un intervalo y /: / -> M una función. U na función F: / —» M
tal que F ' ( x ) = / (x ) , V x G /, se denom ina prim itiva o antiderivada de / en / y
se escribe
F ( x ) = An t ( / ( x ) ) , V x G /
E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .
Las funciones F(x) = x 4 y G (x ) = e x, x G K, son respectivamente antiderivadas
de / y g en E , es decir,
F'(x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R
G '( x ) = ( e xy = e * , V x G l
Tam bién son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones
1007TF1(x) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F3( x ) = x 4 + -
pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3
Análogam ente, otras antiderivadas de g ( x ) = e x son, por ejemplo,
V3G iC x) = e x - 1, G2(x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — y C 4( x ) = e x + k
donde k es cualquier constante real.
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Observación i. Si F{ x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F(x) + C, donde C es una constante real, es también antiderivada de f en l.
lista propiedad es evidente, pues si F(x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces
F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l
Tam bién ( F ( x ) + C ) ' = F'{x) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces
F(x) + C = A n t ( f { x ) ) en /
U na pregunta natural es: “S i F(x) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿cualqu ier otra
antiderivada de / en I difiere de F a lo más en una constante?”. D ic h o de otro
modo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariamente Fr (x) = F ( x ) + C, V x e l ?
La respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposición.
P rop o s ic ió n 1. Sea / :/ -» E una función definida en el intervalo abierto / y
F:I -» E una antiderivada o prim itiva de /. S i : / -> E es también una antiderivada de /, entonces
F1(x) = F ( x ) + C para alguna constante C.
Dem ostración
D efin im os la función H por H(x) = F ^ x ) - F (x ) . Entonces
H'(x) = Fi(x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Luego, H'(x) = 0 , V x e l .
D e aquí se deduce que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver
Coro la rio 1 del T .V .M . T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. 1). Luego, se tiene
H(x) = F iC O - F{x) = C <=> F^ x) = F(x) + C , V x e l
Geométricamente, sign ifica que si F( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualquier
otra antiderivada de / en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).
T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II
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INTEGRAL INDEFINIDA
D e fin ic ió n 2. Sea F ( x ) una antiderivada de f { x ) definida en el intervalo I. L a
in tegra l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )
definidas en d icho intervalo y se representa mediante el sím bolo
J f ( x ) d x = F ( x ) . + C
donde C es una constante real que se denom ina constante de in tegrac ión .
L a func ión / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, x
variable de la integral- y el s ím bolo j se denom ina sím bolo de la integral. La
expresión / / ( x ) d x se lee “ integral de f ( x ) con respecto a x ” o “ integral
indefinida de / ( x ) diferencial x ” .
Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:
i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :
“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "
ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x
¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,
J f ' { x ) d x = f ( x ) + C
iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:
J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + C
D e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede
interpretarse com o una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la
integral indefinida a la diferencial de la función f { x ) , ésta reproduce la función
/ ( x ) m ás la constante de integración.
E je m p lo 2. D e l ejemplo 1 se deduce:
i) J e xd x = e x + C
ii) J 4 x 3d x = x 4 + C
E n la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir,
de F ( x ) = e * + C , donde C es una constante real. S i C > 0, la gráfica de y = e x se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza
paralelamente C unidades hacia abajo.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejem plo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x dx, por la obs. 2-iv , se deduce:
J d ( x l n x — x ) = J \ n x d x = x l n x - x + C
, , í 1 xEjem plo 4. J - ^ —j = - ar c t a n - + C , pues
n x \' 1( -a r c ta n - + C) = -
1__ 2__
X 1 +=r4
14 + x 2
1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A
P rop o s ic ió n 2. S i / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /
y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y k f admiten antiderivadas en / y se tiene:
a) [ í f ( x ) ± g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x
b ) I [ k f ( x ) ] d x = k j f ( x ) d x
D em o stra c ió n
a) Com o | J [/ (x ) ± 5 (x )]d x j = / (x ) ± ^ ( x ) = / (x )d x j ± J g ( x ) d x ,
entonces J [ f (x ) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g ( x )d x son las antiderivadas
de / ( x ) ± g ( x ) . Po r tanto,
j [ / ( * ) ± 9 ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± j g ( x ) d x
b) L a dem ostración queda com o ejercicio para el lector.
D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una sum a algebraica de varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.
E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .
So luc ión . E n virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:
J (e x - 4 x 3 + l n x ) d x = J e xdx - J 4 x 3d x + J l n x d x
= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C2) + ( x l n x - x + C3)
= e x - x 4 + x In x - x + C, d on d e C = Cx + C2 + C3
En lo que sigue solamente usarem os una constante ún ica de integración para la sum a de 2 o m ás funciones.
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S i conocem os f ' ( x ) , por la observación 2-iii se deduce que
j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C ó J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C
Esta integral se denom ina integral inmediata. Po r ejemplo, una integral inmediata
es / d x = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,
que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán
de m ucha utilidad. Po r comodidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u.
M á s adelante, verem os que u puede ser una función, es decir, u = u (% ).
F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I Ó N
1. J du = u + C 2. j — = ln|u| + C
f un+1 f3. undu = ---------------- + C ,n — 1 4. e udu = e + C
J n + 1 J
f ciu f5. \ a udu = --------b C 6 . | sen u du = - c o su + C
J ln a J
7. J eos u d u = sen u + C 8 . j tan u d u = ln[sec u| + C
9. J c o tu d u = ¡njsen u¡ + C 1 0 . J secu du — ln|secu + tan u| + C
” ■ / ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. J sec2u du = tan u + C
13. J csc2u du = — cot u + C 14. J se cu tan u du = se cu 4- C
15. J ese u cot u du = — ese u + C 16. J senh u du = cosh u + C
17. j cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C
19. J sech2u du = tanh u + C 2 0 . J cschJu du = - c o th u + C
2 1 . J s e c h u tpnh u d u = — se ch u + C
2 2 . J c sc h u coth u d u = — c o sh u + C
INTEGRAL INDEFINIDA
1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S
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■h■ h
du+ u- a
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1 Uarctan — + C , (a > 0)
1 u — a= — ln
2a u + a
1 u + a= — ln
2a u - a
+ C , (a > 0)
+ C , (a > 0)
26f du u
—= = = arcsen - + C , (a > 0)
-a rc se c ------1- C , (a > 0)a
29
30
a r c s e n - + C , (a > 0 ) a j
f du i ,-----------127. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C
v u 2 ± a 2
r du 128. — ;..= -
J u v u 2 — a 2 a
. J yja2 — u 2du = — juVa 2 - u 2 + a
j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln (u + J u 2 + a 2)j 4- C
31. J yju2 - a 2du = - [u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C
Cada una de éstas fórm ulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a
la variable u).
Por ejemplo, en el caso de la fórm ula 24 se tiene:
dd / 1 iu — ai\ 1du \ 2 a n lu + aU 2a
(ln|u - a \ - ln|u + a|)¡L UU
1 1 1 1
2a u - a u + a
P o r tantof du 1 iu - a i
■ I — ------ j = t;—ln --------- + CJ u '- — a 2 2a lu + a l
En el caso de la fórm ula 18, se tiene:
d s e n h u— ( In co sh u|) = — —— .?= tanh u du co sh u
De lo a n te r io r se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.
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Ejem plo 6 . Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )du.
SoluciónU sando las fórm ulas de integración, tenemos
J (6x 4 - x 2 + 3 ) d u = J 6x 4dx - J x 2d x + J 3dx
= 6 J x 4dx - J x zd x + 3 J dx
6 x 3= - x 5 - — + 3x + C
Ejem plo 7. Calcule J (v 2 — \ [x)2dx.
Solución
C om o (V 2 — V * ) 2 = (2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene
j (V2 - yfx)2dx = 2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx
r3/2 y 2= 2 „ _ 2 V 2 _ + y + C
= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C
f 3 x 5 — 6x 2 + yfxEjem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.
J x 6Solución
D iv id iendo término a térm ino el integrando y aplicando las propiedades de la
integral, se tiene
f 3 x s - 6 x 2 + t J x f f dx fI ---------- --------------dx = 3 I x dx - 6 I ------ ¡- x s/2dx
2- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C
En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar
de descom poner el integrando como la sum a algebraica de varias funciones y
luego aplicar las propiedades enunciadas en la p roposición 2. Este método es
llamado "m étodo de integración por descomposición”. E n ciertas funciones,
descom poner la función en sum as parciales no es tarea fácil, pues depende de la experiencia, habilidad y práctica del que calcula.
INTEGRAL INDEFINIDA
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/
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
dxEjem plo 9. Calcule ,
J se nh 2x co sh -x So lu c ión
1 co sh2x - senh2xComo -----—----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces
s e n r rx co sh -x senh2x cosh^x
/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~ COth X “ tanh x + C
r x 2 + 2Ejem plo 10 . Encuentre ■ --------dx.
J x 2(x 2 + 4)So lu c ión
Expresando el num erador del integrando en términos de los factores del denominador, resulta
2 1 + 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]
Ahora, escribim os la integral como la sum a de dos integrales (haciendo las sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos
í * ¿ + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r d x 1 r dxJ x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+~4 + 2 J x 2
1 rl 1~ 2 l2 í
i ri x : arctan -
+ 2
1 X 1- a r c ta n - - — + C4 2 2x
í x 2 — 5Ejem plo 11 . Halle / = — —— — dx
J x 2( x 2 - 9)Solución
Procediendo del m ism o m odo que en el ejemplo anterior, resulta
x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 29 9 9
_ f í * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r dx 5 r dxJ x 2( x z - 9 ) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2
4 1= 9 ' ¿ ln
x + 3x — 3
5 2 ix + 3| 5~ 9 x + ° ~ 2 7ln L — 31 ~ 9 x + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
3 dxJ x 2( x 2 + 5)
So lu c ión
Usando el m ism o procedim iento de los ejemplos anteriores, se obtiene
3 3 33 = - (x 2 + 5 — x 2) = — (x 2 + 5) - - x 2 . Luego,
3 , 7 . , . , , 3 2 j
Ejemplo 12. Halle
_ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 d x ^ 3 r d x 3 r
J x 2( x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5
3 xarctan — + C
5x 5 V 5 V 5
Ejem plo 13. Sea /: R -> K una función continua en E tal que
m =2 y = * e\ e x, x > 1
Determ ine f ( x ) .
Solución
( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0/ '( x ) = | 1 . 0 < x < l => f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1
l e * , x > l l e * + C3 , x > l
D e la continuidad de / en E, se tiene
0 / (O ) - l*m / ( x ) = ü m / ( x ) <=* 2 = C, = C2 (1 )x-»0_ii) / ( l ) = lim _ / (x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3 ( 2 )
Reso lv iendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: = 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.
í - x + 2 , x < 0P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1
le* + e - 3 , x > 1
Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es
1 1a2 - u2 2a a — u a -r u
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f dxEjem plo 14 . Calcule I — —
Solución
U sando la identidad de la observación 3, se tiene
(■ d x _ 1 f r 1 1
J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}
111 * 1- — a rc ta n — + — — ln6 LV3 V3 2V3
x 2 + 13
dx
+ V 3
- V 3+ C
f x + 13Ejem plo 15 . Encuentre - -- dx.
J V F T 9Solución
Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene
f x 2 + 13 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r—------ f dx. d x = — — dx = \ y jx 2 + 9 dx + 4 1
J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9
= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + y j x 2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9 ) + C
= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln (x + J x 2 + 9 )] + C
1.4 M ÉTO D O S D E IN TEG R A C IÓ N
Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cam bio de
variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las
operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función
que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta,
multiplicación, d iv isión y com posic ión de funciones de las funciones: constante,
potencia ( y - x a ), exponencial ( y = a x), logarítm ica ( y = lo g a x),
trigonométricas y trigonom étricas inversas), su derivada mantiene la m ism a estructura, es decir, también se expresa com o una función elemental, m ientras que
en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones m uy especiales.
Por ejemplo, las integrales sim ples com o
l ^ i x . f e * d x .
J V i + x 3 d x , J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) dx
no pueden ser expresadas en térm inos de “com binaciones finitas” de funciones elementales.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más
com plicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación; mientras que para la integración es posible hacer artificios que son vá lidos para
clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una
tentativa, por lo que se recom ienda práctica, más práctica y más práctica.
1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T IT U C IÓ N O C A M B I O D E V A R I A B L E
Para hallar la integral indefinida por este método, d iv id im os nuestro aná lisis en dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.
En el reconocim iento del m odelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitución.
E l procedim iento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la
cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f { u ) y
u = g ( x ) , la regla de la cadena establece
S i hacem os la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la defin ición de la
integral definida tenemos
A sí, hem os probado la siguiente proposición:
]P ro p o s ic ió n 3. S i y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g ( x ) es una i
función derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = F ( g (x ) ) + C (Reconocim iento del m odelo)
S i hacemos el cam bio de variable u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x ) d x . Luego,
d
J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C
Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx.
Solución
Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
í X 4Ejem plo 17 . Halle la integral I - d x .
J Vx5 + 1Solución
S i t = x 5 + 1 , se tiene d t = 5x 4d x . Entonces
f x 4 , 1 f 5x 4dx i r ,,, 1 7 £í„T 'f •- dx = r Tr , = c f “ d t = - - - t 6/7 + C
J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6
= ¿ 7 ( * 5 + i ) 6 + c
r SexdxEjem plo 18 . Calcule la integral J - ^ = = = = .
Solución
S i u = e x , se tiene du = e * d x . Luego, se obtiene
f S e xdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
J Vi - e 2* J V l ^ ü 2
f s e n h x c o s h xEjem plo 19 . Calcule I = — ----------— - — dx.
J (1 + senh 2x ) 5Solución
S i consideram os u = 1 + se n h 2x , se tiene d u = 2 senh x co sh x d x . Luego,
f ? du 1 í 1 u“4 1/ - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C
f a rc senV x dx Ejem plo 20 . Halle I — ■ = = — .
■/ V x — X 2Solución
r- . ' 1 d x d xSi se hace u = a r c s e n V x , se tiene du = ------- — = = — ■— ..... . Por tanto,
V T ^ x 2V x 2V x - x 2
r arcsenVx dx f 2J — — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C
= arcsen2 Vx + C
Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando para que el cambio de variable sea más fáci l de realizar.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 21. Calcule I I 2 + J2 + J 2 + 2cos (5\/x + 4 ) • x 1/ 2dx.
Solución
En el integrando, aplicam os la identidad trigonométrica
9 1 + eos 9eos — = ------ —
2 2
Qó 1 + eos 0 = 2 e o s2 —
- í1 = 2 + 2 + |2 [ l + eos (5V3c + 4 )] • x i /2dx
- i . ! 2 + 12 + 2 cos 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos5 V * 4- 4 1/2dx
5 V x + 4 5 _ . 16Si u = ----- — -, entonces du = —~x ,¿dx <=> — du = x ' ‘ d x . Luego,
8 16 5
32 f 3 2 32 / 5 V x + 4 \/ = — I eos u du = — sen u + C = — sen I ----- g— | + C
Ejem plo 2 2 . Halle / = J x dxe3* ( l - x ) 4
Solución
Luego de expresar el denom inador en una sola potencia, tenemos
x e x d x C x e x dxf x e d x r xe
= J e 4x( l — x ) 4 = J ( e x — .e 4x( l — x ) 4 J ( e x - x e x) 4
Lucho, hacemos u = e x — x e x . Entonces du = —x e xdx ■*=> —du = x e xdx
l)c esiii manera, se obtiene:
/ f du _ 1
J u4 3u 3+ C =
3 e 3* ( l - x ) 3+ C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem plo 23. Calcule / = J(x 2 - 1)dx
(.x 2 + l ) V x 4 + 1 Solución
D iv id iendo el numerador y el denom inador entre x 2 , se tiene
, = f f t 1 ~ x 1) d x
Si u = x + - , entonces du = ( l -----t ) dxx \ x 2)
V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . Por tanto, se obtiene x 2 x-
r du 1 |u| 1 ( x 2 + 1I = — ...... = — aresee — + C = — aresee ■
J x W u 2 — 2 V 2 V 2 V 2 \ V 2 |x|
f x + 2Ejem plo 24 . Calcule / = I -------- ^ “.x.
J (X — i-J
Solución
S i hacemos u = x — 2 , se tiene du = dx . Luego,
/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u -4)du
u “ 2 4 , 3 x + 2
= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C
r x íixEjem plo 25. Calcule / = | f = .
Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3
Solución
La integral puede escribirse com o
x d x f x d x/1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2
,--------- x d xSi consideram os i¿ = 1 + V x 2 + 1< entonces d u = . Luego,
V x 2 + 1
/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C
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Ejem plo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.
So lu c ión
Si se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x
/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2u du = j (2 u4 - 8 u 2)d u
INTEGRAL INDEFINIDA
2u du . Por consiguiente,
(x + 4 ) 3/2
15( 6 x - 1 6 ) + C
E J E R C I C I O S
J 4 x ( x + 1 ) d x
4 d x
Vó — x ^
d x
/?. - x 3/2 + 3 x + C
R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C
/?. 4 arcsen — + CV6
x ( x 2 — 8 )
7 x 2 + 16
x 4 + 4 x 2
18 d x
9 x z - x 4
3 d x
x 2 + 4 x - 5
4 dx
V — 4 x 2 — 2 0 x — 9
J V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 d x
1
* ~ 16ln x 2 - 8+ C
3 x 4/?. - a r c t a n ---------- 1- C
2 2 x
/?. 2 1 inx 3
\\nx - 1
x + 5
x + 3
+ C
+ C
2 x + 5 R. 2 a r c s e n ------------ i- C
R. (2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rcsen2 x + 3
+ C
10.
I I.
2X3X-dx (D'ÍE s)-3 /6 ' *
25
scn h x d x
(1 + co sh x ) 3
dx
c o s 2( l - 4 x )
R. -■ ■+ C2 (1 + c o s h x ) :
R. - - t a n ( l — 4 x ) + C 4
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TONICOS Dii C Á LC U LO - V O LU M LN II
13. J cos(7x + 4 ) d x
14. J c l'2x~r,) d x
15. J (lnX + l ) e x l nxdx
16.dx
x ln2x
f dx17. ---------
J x ln x
18. J 4 xe x dx
dx19.
20./sen2x V c o t x - 1
tan2xsen x e
c o s Jx
ev*3e2'. I
‘I dx
23.
(1 4- x 2) ln(x 4- Vi + x 2)
arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1
1 -f X 2
1R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C
R. - e i2x- ^ 4- C
R. x x + C
R. — --------b CIn x
R. ln I In x I 4- C
( 4 e ) xR. ------ ~ + C
1 4- In 43
R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C
R. - e ta,>2* 4- C
2 ( 3 eÆ )R. t ~ T ~ + c In 3
R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C
dx
R■ e arctanx 4- — ln (x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C4
24,
25
26
J i
I■ /
sen x
dx
■dx R. sen x 4- ■ • *+■ C
1 4- co s lO x
dx
R. — tan 5 x 4- C
V 2 x 4- 1 - yjx
R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) — 2 [a rc ta n V 2 x 4- 1 4- a rc ta n V x ] 4- C
^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j27. -------- ---------------- dx
J 1 - x R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4-C
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28. J x 2x( \nx + 1 )dx
' V2 + x 2 — V2 — x 2
x 2xR . — + C
INTEGRAL INDEFINIDA
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
f / V ^ T
h
V 4 — x 4
dx
-dx
+ sen x
x - a rctan 2x+ 4 x 2
ln ( ln x )
■dx
f ln ( ln x j
J x l n x
Idx
2X 4- 3
dx
V e * - 1
x c o s x
/
f sen x
J
/
V2 - se n 4x
dx4 + 5 c o s 2x
dx4 + 5 se n 2x
dx
-.dx
ex + 4
In 3 x
x In 5 xd x
ln (x + V x 2 + 1)
/
i
/
/ v r
43. j V l + c o s x dx
« . J .
1 + x2
+ se n x d x
d x
*• arcsenf t ) - senl’" ' © + c
/?. - [ (x + l ) 3/2 — (x - l ) 3/2] + C
R. tan x - s e c x + C
1 1/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2( 2 x ) + Co Z
1R. - l n 2( l n x ) + C
R. - x - ^ K 2^ 3) + c
R. 2 arctanVfc^ - 1 + C
R. - a r c s e n _2 \ V2
+ C
1 ( 2 tan x \R. - a r c t a n ) — -— ) + C
R.1
(L tan x \
A 3 J( 2 cot x
V 3 )■arctan ( — =— | + C
1R. - - l n ( l + 4e x) + C
R. In — ln| ln5x| + l n x + C
R. - [ ln (x + V x 2 + 1 )] + C
R. — 2 V l — sen x + C
e x + e x
R. 2 V l - c o s x + C
R. a rc ta n (e *) + C
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y f W -
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
d x 4f dx 445' ~ r = = /?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 )1/2 + C
J vvx + 1 á
4 8 . I j;Z se n l ' fsenx + x ros r In r i d r ß , ì x 2 senx + ^2 '
f arctanVx• J v ï + æ + x * d x R • tarctan^ r + C
*n í ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l \
' j *• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c
3. j x2senx~i(senx + x cosx In x)dx
'■ í ~ i------ —------ R. J l n x + V l n x + ... + Ce lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o — x
f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10
J eos 5x + 5 eos 3 x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C
f sen 8 x d x 1 / 'sen2 4x \
5L I 9 + senHx R' J^arctan (— 3— j + C
f c o s 2x ( t a n 2x + 1) 152. —---------- ----------- —— dx R --------------------- 1- r
J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x
4 9 .
f I s e c x - tan xb3‘ J J s e c x + t a n x d* R' >n|secx + tan x | - ln(secx) + C
54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln|csc x - cotx|J + C
55. J s e c 3x d x R. - [ ln lse c x + tan x| + s e c x tan x ] + C
f e 2x 25 6 ' J 4 t+ ~ é* dX fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C
r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T57. I ---------------- *-------------dx
J \l 1 4- y -\!p x 4- y2pX — v2 — 1
R. earctan* + ^ ln 2 ( l + x 2) + arc tanx + C4
q s f x d x n 1J ( x - l ) 5e 4x R■ ~ 4 (x — l ) 4e 4Ar + C
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2ex + e x 59- 1 3^ - ^ dx
I n x dx
x 3 ( l n x — l ) 3
4 dx
60
61
/
/
f ---------- =J cos x v l -
INTEGRAL INDEFINIDA
fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C
1R. -
2 x 2( ln x - l ) 2+ C
se n 2x + 2 c o s2x _____________________
R. 4 ln [(tan x — 1) + V t a n 2x - 2 tan x + 3] + C
62. J (4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )
f e * V e * + 2
J ex + 6
x 5 d x
63 •dx
■ /
■ J
x 3 - 8
. 1 + tan x65. | --------— d x
sen 2x
/?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C
Ve* + 2fi. 2 V e * + 2 - 4 a rc ta n ----- -------- h C
x3 8 fí. Y + - l n | x 3 - 8 | + C
/?. - ln | c s c 2 x - cot 2x\ + tan x + C
6 6 . U n a función /: R -
« o ) = - f y / ' W = l2 + 1
es continua en E y satisface: x + |1 - x|
Halle f ( x ) .
x < 1R. / W = arctan* - 2 '(. l n ( x 2 + 1 ) - arctan x - In 2 , x > 1
67. H alle la ecuac ión de la cu rva para el cual y " = y que es tangente a lax2
recta 2 x + y = 5 en el p un to (1; 3 ) R. y = — + 1
6 8 . Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2 ) es horizontal y/ 10 \
tiene punto de in fle x ión en ( — 1 ; "g - ) y y " ; = 4.
2 vR. y = - x 3 + 2 x 2 + 2
x 2 + V i + x69. E n cuen tre la an t id e r iv a d a de / ( x ) = — j---— — , de m od o que d icha
an tide r ivada pase p o r P ^0;
VTTx7 0 9 \
2 80/, „ r3 , 6 3 6 _______
R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x L8 5 L 1
+ 1
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Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de la diferencial del producto, se tiene
d ( u v ) = u d v + vd u
Podem os reescribir la expresión como
u d v = d ( u v ) - vd u
Integrando am bos lados de la igualdad se obtiene la fórm ula
J u d v = u v — j vdu
Esta fórm ula es conocida com o fórmula de integración por partes.
Observación 5. La idea básica de la integración por partes consiste en calcular la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea más simple de resolver que la integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv, normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habil idad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas.
Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces
j u d v = u ( v + C) - j ( v + C)du = u v - J v du
Esto significa que la constante C considerada no f igura en el resultado final.
E jem p lo 2 7 . Calcu le j ln x dx.
Solución
De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, e legim os
1u = l n x = > du = - dx
x
d v = dx = s v = J dx = x (no se considera la constante de integración)
Por la fórm ula de integración por partes, se obtiene
í , f x dxJ ln x d x = x ln x - I - x \ n x - x + C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
1.4.2 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R PAR TES
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Ejem plo 2 8 . Calcule I = J (x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx.
Solución
Escogem os
u = x 2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3 )d x
\ d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xdx = — e 2x
Luego, obtenemos
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 )
En la última integral (m ás sim ple que la original) aplicam os nuevamente la integración por partes con
( 3¡u = x + - = $ d u = dx
d v = e 2xd x = * v = - e 2x2
INTEGRAL INDEFINIDA
Por lo tanto,
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x
02x
= ( x 2 + 2x - 2 ) — • + C
Ejem plo 2 9 . Calcule / = J e ax cosbx dx.
Solución
Escogem os
<u = e ax => d u = a e ax dx 1
d v = eos bx d x = > v = 7- sen 6x b
Entonces,
1/ = - e a* sen 6 x
b ~í ¡ e axsen bx dx = - — sen bx b ¡í e axsen bx dx
Integrando nuevam ente p o r partes en | e ax sen bx d x , escogem os
C u = e ax = > d u = a e ax dx
/'
|d y = se n bx dx =* v = — — co sb x
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= ~b e<XX' S6n ~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S + b í eaXQ0S^x d x \ ó
1 a a 21 = - e ax sen bx 4- — e a* c o s b x - ~ I
o b z b 2
Ahora, se despeja / de la última ecuación y al resultado final se sum a la constantede integración
1 . a2 \ , a x í s e n b x a c o s b x \
e ax1 = — — (b sen bx 4- a eos bx) + C
a 2 + b 2 '
Ejem plo 3 0 . Calcule / = j sec5x dx.
Solución
En primer lugar, escrib im os la integral dada como
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
De esta manera, se obtiene
/ = J se c 5x d x = J sec3x. sec2x d x
jltima integral,
f u = se c3x =
'■dv = se c 2x i
En la última integral, utilizam os integración por partes eligiendo
(u = se c3* = * du = 3 se c3x tan x dx• dx =$ v = t a n x
Entonces,
/ = tan X se c 3x - J 3 sec3x ta n 2x dx
l = tan x se c 3x - J 3 se c3x ( s e c 2x - 1 )d x
I = tan x s e c 3x - 3 j se c 5 x d x 4- 3 J s e c 3 x dx
I = tan x sec x - 3 / 4 - 3 J V I + tan2x se c 2x dx
341 = tan x se c Jx 4- - ( s e c x tan x 4- ln | secx 4- ta n x| )
1 3/ = - tan x se c 3x 4- - (sec x tan x 4- ln| secx 4- ta n x | ) 4- C
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INTEGRAL INDEFINIDA
Ejem pia 31- Calcule J x arctan x dx.
So lu c ió n
E scogem osdx
u = arctan x => du — ■
1 f x 2 dx/ = \ x arctan x dx = — arctan x
2 2 J 1 + x 2
x 2 d x 'f x d xPara ca lcu la r la in tegra l ------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene:
J 1 + r
, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * rX 2 1 ( x 2 + 1) 1
= — arctan x - - ( x - a rctan x) + C = ----- ------ arctan x - - x + C¿ L> £* Lt
f c o s x + x sen x — 1 E je m p lo 32. Calcule / = J ----- ^ x— ^ 2—
c o sx + x sen x — í32. Calcule / = j
So lu c ión
Utilizando la identidad se n 2* + c o s2x = 1, escrib im os la integral com o
f c o s x + x sen x - se n 2x - c o s2x
Í = J (se n x - x ) 2f - c o s x ( c o s x - 1) - sen x ( se n x - x)
1 I ---------------^ ^
/
(se n x - x ) 2
■ c o s x ( c o s x — 1) f sen x dxf - c o s x ( c o s x - 1) f
J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)I
Para la integral J, aplicam os la integración por partes con
Í u = — eos x => du = sen x dx( c o s x - 1 )dx ^ _ 1
dV ~ ( se n x - x ) 2 ^ v ~ ( Sen x - x )
Luego,
c o s x " f s e n x d x f s e n x d x / = --------- +
f sen x d x fJ ( s e n x - x ) Jsen x - x J (se n x - x ) J ( se n x - x )
Por lo tanto,
cosx/ = -------------- + C
sen x - x
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Ejem plo 3 3 . Calcule / = J dx.
Solución
Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene
I = J ~ d x + J e x \n x d x
¡
Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u = —
vdi? = e x d x =$ v — e xA sí,
1 = j ~xdx + \eX]nx ~ I ~ dx\ = e * l n * + cr ^.garctan*
Ejem plo 3 4 . Calcule / = í -----------------dx.J (1 + x 2)3/2 ux
Solucióng arc tan x
Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos
g arc tan x
d v = - ..2 d x1 + x 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego, tenemos
x e ar<
V T + x 2 J ( 14*2)3721 ~ ’ ' n- ■ --- ~ j — ---~dx
JE n la integral J consideram os
1 , x d xu = ■■■•. = * d u = - -
V í T ? ( i + * 2) 3/2g a rc ta n x
dv = — ------— dx => v = e arctanjc1 + x 2
Luego, se tiene
~ ”—^an x r
i =V i + x 2 v r + i ^ j ( i + * 2) 3/2
dx
-i «arc ían x ( v _ < \Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c
2 V i + x 2
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INTEGRAL INDEFINIDA
Otra form a de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cam bio de
variable t = arctan x y la integral se transform a en J e csert t dt.
E je m p lo 35. Calcule / = [ ■ J
senh2x dx(x cosh x — senh x ) 2
S o lu c ió n ,
M u ltip licando y d iv id iendo entre x, se tiene
/ f senh x x senh x dxJ x (x co sh x - senh x ) 2
A ho ra escogem os
s e n h x x co sh x - s e n h xu = ----------=¡> d u = ----------■— ---------------dx
x x lx se nh x 1
d v = -------- -------------- -— — dx = > v( x co sh x - senh x ) 2 x co sh x - s e n h x
Entonces
senh x r dx
x ( se n h x - x c o s h x ) J x 2
se nh x 11 = — ----- :---------------- r - r - - - + C
x ( s e n h x - x c o s h x ) x
f e enx(x co sJx — sen x )E je m p lo 36. Calcule / = I ----------------- --------------- dx.
J CQS¿XSo lu c ión
T enem os l = J x e sen x eos x d x - Jsen x
sen* ---------- d xC O S2X
( u = x = > d u = d x ...h n h a c i e n d o < , ,en _ , _ se obtiene
t d f = e eos x d x = > v = e
" J'i
Kn /2, hac iendo
U = x e senx
(u = e sen * = > d u = e sen * eos x d x
, sen * . 1 re su ltad v = — — a * = * v = -------
co s^ x c o s x
l2 = ----------- [ e senx d x = e senx sec x - [ e senx dxc o s x J J
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v3
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
1. J x 2 l n x dx
2. J (7 + x — 3 x z ) e~ x dx
3. J x se c2x dx
4. J a rc se n (2 x)dx
_ f l n x
* J ^6 . J ln (x + V i + x 2) dx
7. j eos ( l n x ) dx
8 . J s e n ( l n x ) d x
9. J x a rc ta n 2x dx
R. — (3 l n x — 1) + C
ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C
fí. a : ta n x + ln|eosx| + C
V i - 4 x 2 /?. x a resen 2x h------------------ 1- c
1 + 2 l n x-— --------1- C4 x 2
R. x ln (x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C
XR. - [ s e n ( l n x ) + eos ( ln x ) ] + i '
/?. - [ s e n ( l n x ) — eos ( ln x ) ] + C
R- 2 [(*2 + l) a r c ta n 2x - 2x arctan x + l n ( x 2 + 1)] + C
10 / a rc se n 2x d x
ii.
fx,n(hr)L í ,J i r r n c v — c o n v V
f —J (x + i y
R. x aresen2* + 2 VI - x 2 aresen x - 2x + C
R. ln x |ln (lnx) - 1| + C
x 2 + 1 ( X — 1
x 2 dx
( x c o s x - sen x ) 2
( x 2 + l ) e x
R.
R.
R.
- ln (— )Vx + 1/
sen x ( e o s x - sen x )
2x e x
x + C
eot x + C
x + 1e x + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
15.
16.
17.
18.
19.
2 0 .
2 1 .
22 .
23 .
24.
25 .
27.
2H.
x e*( 1 + x ) 2
dx R. ----------+ e x + C1 + xx e
_ 1 x a rctan y j x 2 — l d x R. - x 2 a rc ta n V * 2 - 1 - 1 + C
(1 - x 2) 3/2
arctan *
d xarcsen x 1 /?. + — ln
-dx R.
V i - x 2 2
arctan x
1 - x+ C
1 + x
+ In|x| — l n i / l + x 2 + C
es c 5x d x R.
X ( X + 1 \
V i — X 2
e 2*c o s ( e * ) d x
e a* s e n ¿ x d x
- c s c 3x c o tx - - ( e s e x c o tx + ln|cscx + co tx| )j + C
R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a rc se n x + CVx + 1 /
/?. e*sen(e*) + cos(e*) + C
■ [a sen bx — b co s b x J + C
a rc ta n (V x + 1) d x
ln (V x + V i + x ) dx
se n 2( I n x ) dx
a 2 + b 2
R. (x + 2 )a rc ta n V x + 1 - V x + 1 + C
R. {x + ln (V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C
R. x se n 2 ( ln x ) - - [x se n (2 ln x ) - 2 x eos (2 In x ) ] + C
^gS en x C 0 S 4 X _ ^
C O SJXd x
R. e sen x - - [see x tan x + ln | secx + tan x |] + C
( x 2 - se n 2x )-dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C
x - sen x eos x + x eos x - sen x
(a rcco s x - ln x) d x R. x á rceos x - V 1 - x 2 — x ( In x - 1) + C
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29. S i / (x ) = —a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b son constantes, hallar la integral:
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
j f M g " ( x ) dx
’• /30. I 4 x 3 a rc sen — dx
x a rctan x 31. I ~~7Z-----T^rdxí’-P
I35. I
(1 + x 2) 4
x 4 — x a rctan x32. | — — -------— — dx
(1 + x2)2
, a rc se n V x33. | ------ —— dx
V x
, 1 /x
■dx
.. r x 2se c 2x37. I — -------------------^~z^dx
J (tan x - x sei
> /
^ 2cai.2,
(tan x - x se c 2x ) 2 '
1
dxarcsen
39 1 ---------- *x3
41. j arctan^ jVx - 1 dx
43./ senh" ‘J r -d x
(e 2* - x 2) ( x - 1)45. J -------- d x
x 2ex
se n x + 1
(x + c o s x ) 2
a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )
(x + a ) 2
a + b l f ( x )g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) } + C
-yx 2 - 1 + c
/34. eos x e x dx
36.
38.
:eos x d xJ x e x i
J x a rctan V x 2 - 1 d x
• /
’■ /
c o sh 2x d x
(x senh x - c o s h x ) 2
ln (2 + Vx)42. | — ' ' ' dx
Vx
44. I (x sen x + eos x ) ( x 2 - c o s2x )d x
f x c o s x
J (x -
■ /
f• J - = = [ l n ( l + X ) * - ln ( l - x ) * ]
46. J co sh 3 x eos 2 x dx
í * 5 / l+ * \48. I : In ( --------Jd x
J V I - x 2 Vi - x /
d x
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1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cuadrado de la form a: /
d x f dxI
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5 T É C N IC A S D E IN T E G R A C IÓ N
I. í — 5— --------- II. í —J p x 2 + qx + r J j rp x 2 + qx + r J j p x 2 + qx + r
n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dxJ p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx + r
En los casos ( I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinom io y aplicar
las fórm ulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).
En los casos ( I I I ) y ( IV ) se usa el siguiente artificio:
a aqax + b = — (2 px + q) — — + b
2 p 2 p
La expresión 2 p x + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces
(ax + b ) d x a f (2p x 4- q ) d x ( a q \ f dxr (ax 4- b)dx a C (2px + q)dx / aq\ fJ p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p) ) ;p x 2 + qx + r
a / a q \= —— ln [p x ¿ + qx + r| + I b - — 1A
2 p V 2 p)
Por otro lado,
(ax + b ) d x a f ( 2px + q ) d x / a q \ f dxI' (ax + b) dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq f
J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r ' 2p / J J p x 2 + qx + :
a /— --------- ( acl\= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B
p \ 2 p)
I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.
E jem p lo 37. Calcule las siguientes integrales:
3 d x f dxf 3 d x f
J 4 x z 4- 4x - 3 J x 2 - 2x 4- 10
f 2 dx í 5 dx
J \ l x 2 4- 6x 4- 18 i V — x 2 — 8x — 12
So lu c iónCom pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las fórm ulas de
m ig ra c ión , tenemos
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f 3 dx 3 r J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2 x - l ¡3 dx 3 f 2 dx 3= ln
(2x + l ) 2 - 4 2x + 3+ C
f dx f dx 1 ( x - l \■) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 arCtan( _ 3~ J + C
( 2 dx r dx , ,--------------------,c) 7 f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + CJ V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 ) 2 + 9 L J
„ f 5 d x r d x /x + 4 \d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen ( — -— ) + C
i V - x 2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4 ) 2 v 2 )
E je m p lo 38. Calcule las siguientes integrales:
f (3 x - 5 )d x r (1 - 4 x )d x
J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1
c) í 2 ~ ‘ i x d ) ( - ( i i i í W íJ V x 2 + lO x + 21 J x ( x + 3)
So lu c ión
Com pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene
3 3a) 3 x — 5 = — (2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. Entonces
f (3 x — 5 )dx _ 3 r (2 x + 6 )d x f dxJ x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6x + 18 1 4 J ( x + 3 ) 2 + 9
3 , / , 14 /x + 3 \= 2 (x + 6x + 18 ) — — arctan — -— J + C
4 4 2 7b) 1 — 4 x = — — (1 8 x + 6 ) + l + — = — - (1 8 x + 6 ) + — . Luego,
f Cl ~ 4 x )d x _ _ 2 [ (1 8 x + 6 )d x ^ 7 1 f 3 dx
J V 9 x 2 + 6 x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3x + l ) 2 - 4
4 : 7 ----------------------------------------------------
= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C y y i i
1 1c) 2 — x = — — (2 x + 10) + 2 + 5 = — - (2 x + 10 ) + 7. Entonces
(2 - x )d x 1 f (2x + 10 )d x f dxf __ ( 2 — x)dx _ i r (2x + 10)dx f
J Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j Vx2 + lO x + 21 + 7 i 'V x 2 + lO x + 21 J V ( x + 5 )2 - 4
= - V x 2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10x + 2 l| + C
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d)
INTEGRAL INDEFINIDA
(4 4- 5x ) 5 f 2x 4- 3 7 f dxf (4 4- 5 x ) 5 f 2x 4- 3 7 fJ x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J í 3V 9
\ x + 2) 4
5 7 i x= - ln | x 2 + 3x\ — - l n
2 6 I * 4- 3 '
E je m p lo 39. Ca lcu le las siguientes integrales:
f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^
J V 4 e * — e x — 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)
So lu c ión
a) I( 3 e 2x - 4 e x) f (3ex - 4 )e *d x
v '4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3
S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . Luego,
f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f (4 - 2 t ) d t f d tl =
j- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 I" (4 — 2 t ) d t + [ d t
J V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4 t - t 2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2
= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C
= —3yj4ex — e 2* — 3 4- 2 a rcsen (e * — 2) 4- C
r (senh x + 3 cosh x ) dx
^ J c o s h x (6 se nh 2x 4 -senh 2x 4 -5)
= /:
(senh x + 3 c o sh x ) dx
cosh x (6 se n h 2x 4- 2 senh x cosh x 4- 5)
D iv id iendo num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene
J= J
(tanh x 4- 3) sech2x dx6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 sech2x
(tanh x 4- 3) sech2x dxJ 6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 (1 — tanh2x )
A h o ra bien, si t = tanh x , entonces d t = se ch 2x dx. Po r consiguiente.
r (t 4- 3) d t _ 1 f (2t + 2) d t n f d t1 ~ J t 2 + 2 t+ 5 ~ 2J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4
1 , , /tanh x + 1\- ln | ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C
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Recordem os las siguientes identidades:
1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 1
3. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u2
r , 1 + cos 2 u5. cos2u = -------------------- 6 cosh2u _ senh2u = 1
7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1
9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh 2 u + l
¿ 2
Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
! '5‘2 rH IP E R B Ó U C A ES ALGUNAS FUNCI° NES T R IG O N O M É TR IC A S
I. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J se nmx cosnx dx y j se n h mx e o sh n* dx.
Se consideran 2 casos:
CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im par positivo.
0 S i m es impar positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * d j ) y se expresa los
senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos h iperbólicos) usando la identidad
se n 2* = 1 — e o s2* (ó se n h 2* = c o sh 2* - 1)
ii) S. n es impar positivo, se procede de manera sim ilar, es decir, se factoriza
eos * dx (o co sh x dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos h iperbólicos) restantes en función de senos (o senos h iperbólicos) usando la identidad.
e o s2* = 1 - s e n 2* (o c o sh 2* = 1 + s e n h 2* )
Ejemplo 40 . Calcu le las integrales
a) I se n 3* eos4* dx b) J senh 5* V ^ i h 7 dx
Solución
a) / = J se n 3* eos4* dx = J sen2* eos4* (sen * dx)
= - cos2*)cos4* (sen * dx)
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INTEGRAL INDEFINIDA
E n la últim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x d x . A s í, se tiene
/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u6)d u = - y + y + C
•(5 eos2* - 7) + Cco s5x
35
b) f se n h 5x V ^ i h l d x = J (co sh2x - l ) 2(cosh x ? ' 2 (senh x dx)
= J (co sh9/2x - 2 co sh 5/2x + co sh 1/zx )(se n h x dx)
= J L c o s h 11/2x - ~ co sh7/2x + \ co sh3/2x + C11 7 3
CASO 2 : Ambos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero.
En este caso, se usan las identidades:
1 - eos 2 x , 1 + eos 2 x
se n 2x = -------^------- y C° = -------2-------
/ eosh 2 x - 1 . , co sh 2 x +í ó se n h 2x ------- ------ y co sh x = ----- - J
A l efectuar las operaciones, se obtienen térm inos que contienen potencias pares e
impares de eos 2 x (ó co sh 2 x ). L o s térm inos que tienen las potencias impares se
integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s térm inos que tienen las potencias pares
se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.
Ejemplo 41. Ca lcu le las integrales:
a) J se n h 4 3 x dx b) f se n 2x c o s4x d x
Solución
a, f senh-3, ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J (c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx
= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 sh 6 , + l ) d ,
= ^ | (cosh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3 ) dx
= i f — senh 1 2 x - ^ s e n h 6 x + 3 x ) + C 8 \12 3 >
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
. 2u f 4 , f / I - c o s 2 x \ /I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J dx
= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx
1 f / 14- cos4x\ 1 [- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx)
= ¿ J (j + C0S 2X ~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx)1/x 1 1 \ 1 / 1 \
= 8 (2 + 2 SGn 2* ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C
1 ( sen 4x sen 32 x \
= 16{ X — 4- + — ) + C
II. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J tanmx secnx d x , j co tmx c sc nx d x ,
J tan h mx se chnx dx y J co thmx cschnx dx.
Se consideran 2 casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.
C A S O 1. S i m es un entero im p a r positivo, se factoriza t a n x s e c x d x
(ó c o t x c s c x d x ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)
restantes en térm inos de s e c x (ó e se x ó s e c h x ó c s c h x ) mediante la
identidad: ta n 2u = se c 2u - 1 (ó co t2u = c sc 2u - 1 ó ta n h 2u = 1 - se ch 2u ó co th2u = 1 4- c sch 2u).
E je m p lo 42. Calcu le las siguientes integrales:
f tan3x r3) J : dx b) J cotSxdx
c) J tanh3x V se c h x dx d) j cothsx csch3x dx
So lu c ión
f tan3x f tan2x r sec2x - 13) J ^ c dx = J i ^ (tan* Sec* dx) = J - ^ i^ ( t a n x s e c x d x )
= j (sec~3x - sec~5x ) (tan x sec x dx)
(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x)
1 -9 1 1 ,= - - s e c x 4- - s e c 4x 4-C = - c o s 2x (c o s 2x - 2 ) 4-C2 4 4
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f f C0 t4X ,b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )
J J CSC X
INTEGRAL INDEFINIDA
f (csc2x — l ) 2= -------------------(cot x csc x dx)
J c scx
= - í (csc3x - 2 c scx 4-------- ) ( - c o t x e scx dx )J cscx
c4x \--------csc2x + ln|cscx| I + k
f , ,--------- f tanh2xc) tanh3x v s e c h x d x = ,........: (tanh x sech x x a x )
J J V se c h x
1 — sech2xf 1 - se c rrx = — ^ = = _ (tanh x sech x dx)
J V se c h x
= - J (sech~1/2x — sech3/,2x ) (— tanh x sech x dx)
= — ^2V se c h x — - s e c h 5/2x j + C
d) j coth5x csch3x d x = J coth4x csch2x(co th x c sc h x ) dx
= J (1 + csch2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )
= - J (c sch x + 2 csch3x + csch5x ) ( - c o t h x c sc h x d x )
n i i \= — I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1 + C
\2 2 6 /
CASO 2. Si n es un entero p ar positivo, se factoriza se c2x d x (ó c sc 2x d x ó
se ch2x d x ó c sch 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes
hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en térm inos de
tan x (ó c o tx ó tanh x ó coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x
(ó c sc 2x = 1 + co t2x ó se ch 2x = 1 - tan h 2x ó c sch 2x = co th 2x - 1 ).
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c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6x d x
Solución
a) j tan3/2x s ec4x d x = J tan3/2x s ec2x(sec2x dx)
= j tan3/2x ( l + tan2x ) ( se c 2x dx)
- J (tan3/<2x + tan7/2x )(se c 2x dx)
(si t = tan x , dt = se c 2x dx)
2 2= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C
O 7
b) J csc4x dx = J csc2x (c sc 2x dx) = - J (1 -f cot2x ) ( - c s c 2x dx)
(si t = cot x , dt = — csc2x dx)
= - ^cot x + ^ cot3x j + C
c) j tanh2x sech4x d x = / tanh2x ( l - tanh2x )(se c h 2x dx)
= J ( tanh2x - tanh4x )(se c h 2x dx)
1 , 1 = - t a n h 3x - - t a n h 5x + C
d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2 (csch2x dx)
= - J (coth4x - 2 co th2x + l ) ( - c s c h 2x dx)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejem plo 43. Calcule las siguientes integrales:
a) J ta n 3/2x sec4x dx b) j csc4x dx
= - ^ - c o th 5x - - coth3 x + coth x j + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
I I I . I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J se n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx , J eos(mx) cos(nx) d x ,
J senh(mx) co sh (n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y
j co sh (m x ) co sh (n x ) dx.
Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:
1a) sen (mx) eos (nx) = - [sen (m - n)x + sen (m + n)x]
b) se n (m x )se n (n x ) = - [co s(m - n ) x - eos(m + n) x]
c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1d) se n h (m x ) co sh (n x ) = - [senh (m + n)x + senh (m - n)x]
1e) se n h (m x ) se n h (n x ) = - [co sh (m + n ) x — eosh(m — n )x ]
1f) co sh (m x) co sh (n x ) = — [cósh(m + n) x + eosh (m — n)x]
E jem p lo 44. Calcule las siguientes integrales:
a) J sen 2x eos 3 x dx b) j eos 3 x eos 4x dx
c) j senh d) J cosh 4 x senh x d x
So lu c ión
a) J sen 2 x c o s 3 x dx = - J [sen (2 — 3 )x + se n (2 4- 3 )x ]d x
= 2 / S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C° S * ) +
b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( —x ) 4-eos 7 x ]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )
c) J senh 3 x senh 4 x d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x
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d) J co sh 4 x se nh x d x = —j [senh 5 * - senh 3 x ] d x
1 / 1 1 \
= 2 \5 C° S ~ 3 C0S 3 x ) + ^
E n este ejemplo, se han usado las identidades:
s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u
c o sh (— u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o su
E je m p lo 45. Ca lcu le las integrales:
y í i ~ . í sen4* + eos4*a) I se n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b) ------ ------------T-dx
J J sen2* — eos2*
f e o s * rc) ■ ■ dx d) I eos3* sen 3* dx
J V'sen7 (2 *)eos* JSo lu c ión
f f sen43xa) / = se n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx = ------— dx
J J eos 3 *
_ J (1 - co s23 * ) 2
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
eos 3 *- dx
b)
= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d*
1 2 1 f = - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)
1 2 1 / 1 \= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C
j 3 3 V 3 /
1 , 1 1= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C
■J J 7
f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*)----- i ----------- J~ d x = ------------- ñ-------- d xJ sen2* - eos2* J - e o s 2*
- l í ( s e c 2* + eos 2x )d x
1 , 1= - - r h i (s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C
4 4
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c) /
INTEGRAL INDEFINIDA
cos * I f cos x dx- f C0SX H - 1 f
J Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7 x c o s 8*
Se observa que esta integral no se adapta a n inguno de los tipos estudiados en
(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los
otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y
cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id iendo
entre e o s5* , numerador y denom inador) se obtiene:
1 f se c4* 1 f 1 + tan2*
' = V l 2 8 J ta n 7/3* = Í V f J ta n 7/3* O 0 " * d * )
1, . .tan 7/3x + tan 1/3* ) s e c 2* d *
4 V2J v J
= —rrz ( — - co t4/3* + - t a n 2/3* ) + C 4V2V 4 2 )
f 7 f (1 + eos 4*\d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx
4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x )d x
= - J [sen * + sen 5*] dx + - J [eos 4* sen * + eos 4* sen 5x]dx
1 1 1 i r= — — eos * - - eos 5* + - I [ -sen 3* + sen 5* + sen * + sen 9x]dx
\ ( 1 \ 1/1 1 1 \= - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * -----eos * + C
4 V 5 / 8 \3 5 9 /3 1 3 1
= - - eos * + — eos 3* - — eos 5 * - — eos 9* + C8 24 40 72
E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales:
f f f sen^xa) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx
, ^d)
e o s“*
f s e n 43 * f----- T¿—dx e) ta n ¿ x s e c * d *
J e o s33 * J
Solución
Se observa que n inguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo
que será necesario efectuar algunas transformaciones. E n efecto, •
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx
= x — tanh 2x + J (1 — tanh2 2 x) sech2x dx
1 / 1 = x - tanh 2x + - ( t a n h 2x - - t a n h 3 2x) + C
1 1= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C
¿ O
b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)
(Si u = tanh x , du = sech2x dx)
= — [tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C
l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C
f sen2x f r^ J cös^xdx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)
= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C J 3 5
( sen43x r (1 - cos23x)2 r3 J cos33x “ J ^ 3 * d x = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* )
= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3xA
1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A
1 1 1 = gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c
e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )
1 ,= - | s e c x t a n x - ln|secx + tan x|] + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
dxf dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la su st itu c ió n x = 2 tan i
So l ut-ion
( .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 s c c 29 d9. Entonces
d x l f sec29 dB 1i
f d x I f see 0 dB 1 f
1 f (1 + cos 2 9 ) d 9 1'i
)
- i J1
( a rctan - 4- , ,16 V 2 4 + x 2
2 1 6
x 2 x
sen 2 0+ C = — [0 + sen 0 co s 0 ] + C
16
4 -C
l’.tra regresar a la variab le orig inal x, en vista de que tan # = - , se construye
d triángulo
A partir de este triángulo, se obtiene que
sen 0 =V x 2 + 4
y eos ti = —V x 2 4- 4
E J E R C I C I O S
Calcule las siguientes integrales indefinidas:
1.
/
+ 2x — 8 dx
R.
9 dx
3.
V 9 x z - 12x + 13
3 dx
4 x 2 — 1 6x 4 -17
4 — Ix
- [ (x 4- l)Vx2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C
fl. 3 ln [3x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C
fi. -a r c t a n (2 x - 4) 4- C
V x 2 4- 2 x — 8: dx
ß . - 7 a /x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8 | 4- C
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3 + 5*
1 2 * + 13
i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II
dx
1.
8.
5. f — !J 9* 2 -
R- — In (9 * 2 - 12 * + 13) + y arctan ( ^ y ~ ) + C
j f (2 — x)dx _______________ ^J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ ~ 10 * — 21 + 7arcsen + C
J sen 2 * + 3 c o s *dx
16 12 tanh * + 5
n * sen 2*
*• 2 ---- i ~ +C
D X 1R- 2 + ^ se n ( ! 0 * } + C
3 * sen 2 * sen 4 *
*• T — 4~ + — +cn 2 1
sen * - - s e n 3* + - s e n 5* + C
V 9 + 4 s e n * - co s2*
*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | se n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c[ (5 senh * + 4 cosh x)dx
J cosh * ( 9 senh2* + 6 senh 2* + 5)
R- r ln | 4 tanh2* + 12 tanh *| - — In l- t a n h * + 1 l16 12 tanh I
9. J se n 2* dx
1 0 . J co sh 25 * dx
n . / se n 4* dx
12 . / c o s5* dx
, 3 . / co s7* se n 3* d *
„ „ f se n 3*14. I -----r - d *
J co s4*
co s8*
40
13 co s3*
(4 co s2* - 5) + C
- s e c * + C
15. J se n h 3* dx
16. j se n 2( 3 * ) c o s 43 * dx
17. J se n h 8* co sh 5* dx
18. j tan6* dx
1R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C
* sen 12 * se n 36*
' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C
1 2 i R. - se n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C
1 1g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c
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INTEGRAL INDEFINIDA
19. J cot5* dx
20. J tanh4* dx
21. J sec4* V cot3* dx
2 2 . J tan5* V e o s 3x dx
23. J tanh6* sech4* dx
V2 dx24.
co s3*V s e n 2*
25. J sen 3 * sen 5 * dx
26. I eos 2* eos 7x d x
í J I
27. J se n 52* co sB2 * dx
28. j se n 3* eos3* dx
29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx
30. J cot4(3x)dx
i a x ->x ,31. | sen4 - cos'1- dx
32. J tan3* dx
33. J tan3(3 * ) s e c 3(3 * )c ¿ *
1 A 1 ,R. — - c o t 4* + - c o t z* + ln|sen*| + C
R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C
R. — 2Vcot * + - V tan3* + C
2 2 R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2x + C
R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C7 9
R. - V t a n * ( 5 + tan2* ) + C
sen 2* sen 8*R■ — ------77— + C
4 16
1 1 R. — sen 5 * + — sen 9 * + C
10 18
1 1 R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C
R. - eos ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 16 48
V 2 V 2 , 'R. — sen 2 * — — sen32 * + C
2 3
1 , 1 R. — - c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C
9 3
* 1 1R■ TZ ~ To sen 2 * — — sen * + C
16 32 24
tan2*R. — ------h ln|cos*| + C
1 1 ,R. — se c53 * - - s e c 33 * + C 15 9
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1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f s c n 3x _____ ,3
' i V ^ dX R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C
dxse n 2x co s4x 2 t a n x + ^ t a n 3x — c o tx + C
36. /
3 7 . f dx 1 3 1J sen5x c o s 5x ? tan * ^ n l^an x \ ~ ~ c o t 2x — — cot4* 4* C9 ~ 1 “«i«» ai — — —( ¿ 4
3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C
oq í Sec4*H 1■ J tan4x R- - cotx - 3 c° t3x + C
40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C
í se n 2(nx) i ^ ^J co s6(jrx) dx R • “ [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C
42. J sen x sen 2x sen 3x dx R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C
.43. f sen 4x eos 5x dx r cos9x cosxJ 18 2
44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , rJ 22 10
45. J cosh 3x cosh x dx r . i senh 4x + senh 2x + Co 4
46. j senh 4x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3x + C
47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C
48. f cos2x sen24x d x R x en i sen 2x sen 6x sen lOxJ ' 4 32 -8 ~ 48 8 Ó ~ + C
49. f senh2x cosh 5x dx r sen ^x j_ senh 3x senh 5xJ 90 n tt:—
5 0 . /dx
28 ' 12 10 +C2
V se n 3x c o s ^ x R‘ ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
1.5.3 IN T E G R A C IÓ N P O R S U S T IT U C IÓ N T R I G O N O M É T R I C A
Las integrales de la form a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , donde R es una función
racional de las variables x y J p x 2 + qx + r , se puede sim p lifica r por m edio de
una sustitución trigonom étrica adecuada.
Com pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresión
de la form a u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, donde a es una constante.
I) S i el trinom io tiene la form a a 2 — u 2, mediante la sustitución
u - a se n 9 , a > 0
se e lim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bién se tiene que
d.u = a eos 9 dO
Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo form ado con la
usustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).
(a)
Fig. 1.3
II) S i el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, mediante la sustitución
u - a tan Q , a > 0
se e lim ina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 9 . Tam bién se tiene que
du = se c 29 d 8
Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo form ado con la u
su stituc ión tan 9 = - (Fig. 1.3 b). a
III) S i él trinom io tiene la form a u2 t - a 2 , mediante la sustitución
u = a sec 6 , a > 0
se e lim ina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tam bién se tiene
du = a se c 9 tan 9 d9
Para expresar la integral orig ina l en térm inos de su variable u, se emplea el
ut r iá n g u lo e la b o ra d o con se c fi = - (Fig. 1.3 c).
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejem plo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx.
SoluciónHaciendo ia sustitución * = 3 sen 8 , dx - 3 eos 8 d d y calculando la integral
trigonométrica que resulta, se tiene
/ = j V 3 2 — x 2 dx — J p^-^^señ2d 3 eos 9 dd
= J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd
co s20 .3 eos 6 dd
9 9 ( x xV9 - x2= - ( 0 4- sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------
- ( Xy¡9 - x 2 + 9 aresen - ) + C
E je m p lo 4 9 . Calcu le / = /dx
x 2-J 16+ 9X 2
Solución
Sea 3 x = 4 ta n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,
í dx _ 4 f J x 2V l 6 4- 9 x 2 ~ 3 J
sec2d dd
x 2V l 6 4- 9 x 2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 16tan20
3 f secd 3 f c o s í= — -----T - d d = — -----— d 0
16 J tan2d 16 Jsen2d 16-C S C 0 4- C
3 V 1 6 4 - 9 x 2 V 1 6 4 -9 X 2 „. + c = ----------—-------- + c
16 3x 16x
:dx.E je m p lo 50. Ca lcu le / ,J V x 2 — 9
Solución
Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene
27 sec30 . 3 sec d tan d dd
V 9 sec20 — 9
( x J f := d x =
J V x 2 — 9 J
= 27 J ( 1 4- tan20 )se c 20 d d = 27 (tan d 4- - t a n 3flj 4-
= 9 v 'x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 )2 4- CO
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I 'li 'i iiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDA
X 3 dx
V x 2 + 2x 4- 5
Solución
i ompletando el cuadrado en el trinom io y
Imi icndo la sustitución
v I 1 = 2 tan 9 , d x = 2 se cz 9 dd
M' obtiene
x 3 dx f x 3 dx
/ V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4
I (2 tan 0 — l ) 3 2 see20 dd2 se c 0
= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd
(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd
Hsee30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln |see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C
1 3 t____________________
(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1)V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C
( 2 x 2 - 5 x - 5 ^
lije m p lo 52. Halle /
Solución
/
4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C
dx
( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"
se c 20Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t .
líntonces
/dx
- /■
see20 d 0
(1 + x4)VVl + x 4 - x 2 ■> see20 Vsee 0 — tan 0
e o s0 d 0
V sen 0 — se n 20 1 / l T
eos 0 d8z 2
-a rc se n + C
1 1 / 2x 2= -a re se n (2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =
2 2 V v i + x 41 4-C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
12 dx/;
Ejem plo 53 . Calcule / - , __________________(2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3
SoluciónCom pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jc ión
2x - 1 = 3 sec 9, d x = - sec 9 tan 9 d.9
Resulta
/= /
- /
■ /
12 dx
(2x - 1 ) V ( 4x2 — 4x — 8) 3
12 dx{2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2
18 sec 8 tan 9 dd 2
3 s e c 0 2 7 t a n 30 9J cot26 d9 = — j (esc29 — 1 ) d 6
2 , 2 / = — [—cot 6 — 0] + C = — (■
Ejem plo 54 . Calcule J
Solución
S i se sustituye
/
9 V V 4 x 2 - 4x - 8
e _:>f dx
2x - 1 \+ a re sen— -— J + C
( 9 e ~ 2x + 1 ) 3/2'
3e * = tan fl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene
= J
e x dx[ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2
r ~ 3 sec29 d 9 \ r
J se c39 3 J eos 9 d9
- - s e n 9 + C
Vi + 9e~2*+ C
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R|cinp lo 55. Calcule / = I XV * X- d*J V 2 — x
So luc ión
Racionalizando el integrando, obtenemos
f x \ [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x ) d x
J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ \ V x 2 - 3 x + 2
INTEGRAL INDEFINIDA
Aliora bien, completando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitución
3 1 1- = - sec 8, dx = - sec 8 tan 8 d82 2 2
Sust . 2x - 3 = se c 9
c obtiene 2x-3 /ly / x 1 - 3 x + 2
f x ( l - x ) d x
\ ( y 1/ Q \
12
r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd
^ tan 8
= - - J (se c 3 8 + 4 se c28 4- 3 sec 8) dd
3 1 r ------------------= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8\ - - y / l + ta n 20 s e c2d dd
4 4 J
3 1= - t a n 8 - - ln | s e c 0 4- tan 8 | - - ( s e c 8 tan 8 + ln| sec0 4- tan 0\ 4- C
4 o
1 7= - - t a n 0 (8 4- s e c 0 ) - - ln | s e c 0 4- tan 8\ 4- C
O O
2sJx 2 — 3x 4- 2 7 i ____________= -----------------------(8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C
O O ' '
y j — 3x “h 2 7 i ____ i= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 — u
ó V a2 + u 2 ó Vu2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.
Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.
Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí.
En el primer caso, V a2 - u2 = a sech t.
En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a co sh t.
En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a senh t.
E je m p lo 56. Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx.
So lu c ión
Usando la sustitución
x = 2 se nh í , d x = 2 co sh í d t tenemos
/ - J x 2y¡x2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t d t
- 16 J senh2t cosh 2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £
1- - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tco sh t(sen h 2 t + cosh2t ) - 2 1 + C
x V 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 \ xj _ 2 Se n h -1 - + í:
x V 4 + x 2
4 2
x 2 dxE jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■
J <V x2 + 4x - 5 SoluciónCompletando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución
x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d tresulta
I r n { __ *2 dx f * 2 d x f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t d t J + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 i 3 senh t
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INTEGRAL INDEFINIDA
(3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 co sh 2í - 12 cosh t + 4 )d t
í/cosh 2 t + 1
9 ^-----------------) - 12 co sh t + 4 ) d t
9 17- c o s h 2 t - 12 c o s h t + — 2 2
d t
9 17= - s e n h 2 t - 12 se nh t + — t + C
4 2
9 17= - senh t c o s h t — 12 senh t + — - t + C
2 2
V x 2 + 4 x - 5 17 ( x 4- 2 \--------- - --------- (x — 6 ) + — c o sh - ( - J + ^
O b s e r v a c i ó n 8 . Si la int egral t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx ó
I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , donde n es entero i mpar posi t ivo, es pr e f e r i b l e
usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2.
I.jem plo 58. Ca lcu le las siguientes integrales:
J)
<0
x3 dx f ( x s - x)b) —
J V.V x 2 - 9
x 3 dx« J
Vx2 + 3
x 3 d x
(3 — x 2) 4
d x
( x 2 + 9 ) 3/2
So lu c ión
a) U tilizando z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x dx se tiene
x 3 d x x 4( x d x ) f ( z 2 + 9 ) 2z d zr x (x dx) fJ Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9
= J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9 z + C
= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 4 5 ) + C
V x 2 - 9( x 4 + 12x - 144) + C
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f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x dx) f [ ( z 2 - 3 ) 2 - ] z d z
J V ^ T 3 J V F T 3 " J zf z **
= J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8 z + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene
z= - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C
Vx2 + 3 ,= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 19 ) + C
c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x dx resulta
r x 3 d x _ r x 2(x dx) f ( z 2 - 9 ) ( z d z ) J (X2 + 9)3/2 - J ( x 2 + 9)3/2 - J
dz
9 1 ,= z H ------h C = - (z + 9 ) + C
z z
1( x 2 + 1 8 ) + C
V x 2 + 9
d) Haciendo z — 3 — x 2, x dx = - - d x se obtiene
f x 5 d x í x 4(x d x ) f (3 - z ) 2( - í d z )J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2)4 = J i?
1 f / 9 6 1 \
2 J +1 / 3 3 1 \
“ 2 \ ^ ~ I * + z ) + C
x 4 - 3 x 2 + 3 ~ 2 (3 - x 2) 3 + C
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f x~ dx
J v f ^ F
J * + x 2 dx
j x z \ ¡4 - x z dx
f dx
J x 2v l + x 2
dx
J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2
' x 3 dx
v 2 x 2 + 7
dx
x 4V x 2 + 3
r (4 x + 5 )d x
J ( x 2 — 2x + 2 ) 3/2
f - 4I ( X 2
( 2x - 3 )d x
J ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2
f V x 2 — 4 xd x
x 4 d x
I 1
(4 - x 2y /z
( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x
x 6
d x
INTEGRAL INDEFINIDA
E JE R C IC IO S
(x ■+■ l)3Vx2 + 2x
r sen x dx J Vcos2x + 4cosx 4- 1
1 x /-------- -R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C
R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C
x V 4 - x 2 R. 2 a rc sen ----------- -— |x - 2 x j + C
V l + x i R . --------------- 4- C
I y[2x ,R. — a rc ta n l - = = ) + C
1
v f \ V 1 - X 2
V 2 x 2 4- 7 ,R. — — ------- ( x 2 + 7) + C
V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2R. ---- r--------- -- ---- + C
R.
9x 2 7 x 3
9x - 13^ _______ : 4~ C
V x 2 - 2 x 4- 2
5 x - 3
4 V x 2 + 2 x - 3
( x 2 - 4 x ) 3/2
: + C
6 x 3
v s
R.2 0 (4 - x 2) 5/2
( x 2 - 2 5 ) s/2
4- C
+ c
1 2 5 x 5
1 V x 2 4- 2xif. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C
/?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5 /e x\ ¡e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )
15. | — ------------- — "■■■■ ■ ■■ —— — dx2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4
R. —\ n\ex + 2| - V e 2* - 4 + c
_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4 16. j - — dx
J 4 3 + 2x — x 2 R. a resen - (x - 1 )V 3 + 2 x - x 2 + C
17
18.
d x
( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2
( x 2 + 3 x )d x
R.x - 1
4 V x 2 - 2x + 5
í ( x 2 + 3x
J (x - l W x 2 -(X - l ) V x 2 - 2x + 10
R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In |V *2 - 2x + 10 + x + l| + - lnV x 2 - 2x + 1 0 - 3
x - 1 + C
m Í 4 ^ LJ V 4 — x 2
(3 + x 2) 2 x 3
2 0 '
V4 - x2 /? .------ -----(8 + x2) + C
21
22
23
/
f V y 2 ~ 4
i y 4
‘ J
■ /
R. - - . 2
( * 2 + l ) 2 , 7 , 4-------------+ ( x 2 + 1) + -f* €
d y
(x2 — l)Vx2 - 2
2x2 4- 1( x 2 + 4 ) 2
dx
dx161
r — ( y 2 - 4 ) 3/2■ Í 2 y 3 + C
_ Vx2 - 2k. arctan--------- + C
x
x 1 4 x
2 x 2 4- 4J
( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1
f 3 x a r c s e n x 25. I — . dx
R- r r l a r c t a n r ----— — - 1 4- C
fi. a rctan * ) + CW 1 4- r 2/
J V ( i - * 2) 5
J V i - x 2 v i - x /
aresen x 1 [ x
(1 — x 2) 3/7
i r x
2 l ~-4 -in
■V i 4- x 2
AT + 1
V T4- C
dx
R ] n f 1 + X ) ( 2 7 3 1 s \ , 89 /2 5 + 6x 2\*■ l n l T ^ I A 3 z ~ 5 - z J + g ó arcsen * “ * 2 ( — e T ' j + c-
donde z = J l - x 2
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i tx ¿ - 3
A v/x4 - 4:d x
INTEGRAL INDEFINIDA
1In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n —
x dx
¿ 't
(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5
x 2 d x
1/?. - I n
V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1
x 2 - 2
+ C
4- C
\l 4 x 2 — 1 2 x — 5
(2x 4- 3 \ i------------------------11 a rcsen^— -— j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2x )
411
I I
1,’
4 I
x z dx( x 2 4- 4 ) 3
2 x :i dx
1
R ‘ 64
x 2 x ( 4 - x 2) 1 arctan - -
'2 (4 + x 2) 2
4- C
4- C
( v ’ - l ) 4 dx
1 - 3 x 2 R ■ ------T“TT 4- C
(() _ x 2)3
( 4 x 2 4- l ) d x
R.3
■ 4- - In
6 ( x 2 — l ) 3 (3 + x f
3 6 ( 9 - x 2) 2 1 6 ( 9 - x 2) 4 9 — x 24- C
It
( v - 3 )V 6 x — x 2 — 8
/Í. 24 a rc se n (x — 3 ) 4- 37 In
e 2x dx
1 - V ó x - x 2 - 8
x — 3
J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3
se nh 2x dx
R.
4y¡6x — x 2 — 8 4- C
e * - 5
4 V e 2* - 2 e * 4- 54- C
(2 c o sh 2x — 3 se n h 2x — 2 co sh x ) 3/2
R3 — co sh 2 x
2 V 2 c o sh 2x - 3 se n h 2x - 2 c o s h x:4- C
illI ,
! sen 2x sen x d x
( - 4 sen 2 x - 19 se n 2x ) 5/2
4 tan x — 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2
</
W t.m 2* - 8 tan x + 20 \ t a n 2x - 8 tan x 4 20
dx
+ 12 + 128
3 ( ta n 2x - 8 tan x + 2 0 )3/" t C
(* 1 ) ( x 2 - 2x + 5 ) 2
R- 32
(x - l ) 2
x 2 — 2x + 54-
1
8 ( x 2 - 2x + 5)+ C
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I.5.4.1 I N T E G R A C I Ó N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S
Se denom inan fracciones sim ples a ias funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:
0 f W =
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1.5.4 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N ENF R A C C IO N E S P A R C IA L E S
x — r
•*) / O ) = 7— , n > 2 , n e N (x — r ) n
ax + bill) f ( x ) — 2 '------ :— , donde p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,
JjX “t” CJX T Yqz — Apr < 0.
^ s CLX + bIV ) f ( x ) = -— — -----------— , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.
(;p x 2 + qx + r)n ^ p
La s integrales de estas fracciones sim ples son inmediatas, pues
f ai) dx = a ln ¡x - r| + CJ x — r
U) í (x - r ) n dX ~ (1 - n)(x - r ) n_1 + C
f ax + biii) — 7 - -------- ;— dx (desarro llado en 1.5.1 caso I I I)J p x 2 + q x + r J
f ax + b ( 2 p x + q)dxJ (p x 2 + qx + r ) n X 2pJ (px2 + qx + r ) n + \
2p( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~- +
( * - S ) /
f dxi ( p x 2 + qx + r ) n
f dxJ ( px2 + qx + r ) n
;
Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinom io, se obtiene
r í du j j r~ R , 4 r P _ <7J = ~ T i , i n , ' donde u = J p . x + — = y k = ------------J v J ( u 2 + k 2Y y 4 n( u 2 + k 2r ’ y 4 p
En esta últim a integral, se puede usar la sustitución trigonom étrica u = k tan 0 ó la siguiente fórm ula de reducción:
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INTEGRAL INDEFINIDA
dx
So lu c ión
l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces
r dx x 2 (2 ) - 3 f dx] (x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x2 + 4)
x 1 1 x 1 / x 2 x \
“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C
l 'le m p lo 59. Usando la fórm ula de reducción, calcule / = J + .
1.5.4.2 I N T E G R A C I Ó N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S P O R
D E S C O M P O S I C I Ó N E N F R A C C I O N E S S I M P L E S
P (x )Sim la función racional f ( x ) = — -r, donde P ( x ) y Q{x ) son po linom ios
Q(x)i <«primos de grados m y n (m ,n e N), respectivamente.
Si m < n, se dice que la función racional es propia y cuando m > n, se dice que
rs una función racional im propia.
Por ejemplo, las funciones racionales
x 5 - 6 x 2 + 7y a t o2 x 4 + 8 J " 2 x & + 3 x 3 + 2
mm propias, pues el grado del polinom io del num erador es menor que el g iado del
polinom io del denom inador; mientras que las funciones racionales
3 x 4 - 2 x 2 + 7 _ 5 x 3 - 3 x 2 + 1
F(X) ~ x 2 + 2x + 3 y " 2 x 2 - 7 x 3 + 4
son impropias.
P(x)Si / (x ) = es Una función racional impropia, po r el a lgoritm o de la división,
uxisicn po linom ios C( x ) y /?(x) únicos tales que
l ’ t o r r ^-------= C(x) +Q(x) Q(x)
ilmule el grado de R( x) es m enor que el grado de Q(x) . C(x) y R ( x ) son,
ii'speclivamente, el cociente y el resto de la d iv isión de P ( x ) entre Q( x) .
I tío sign ifica que toda fracción im propia puede ser expresada com o la sum a de un
polinom io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fracción im propia
IMifilc ser escrita com o
í p t o , f , ( R t o dx
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Enseguida, verem os el método de integración para una fracción propia, el cual se
basa en que “toda fracción racional propia puede ser descompuesta en la sum a de
fracciones sim p les”. Este hecho se sustenta en el conocim iento de dos teoremas
del Á lgebra que adm itirem os sin demostración.
Teorem a 1. S i Q (x ) es un polinom io de grado n (n > 1 ) , entonces Q ( x ) se
descompone com o un producto de factores de 1er grado y de factores de 2 do
grado irreductibles en M, de la siguiente forma:
Q(x) = a(x — r j ) " 1 (x — r2) n2 ... (x - rk)nk(x2 + p^x + q1)m» ...(x2 + psx + qs)m> ( *),
donde n = TI-L+ n 2+ . . . + n k + 2 m l + ... + 2m s
T eorem a 2. S i el polinom io ( ? ( * ) posee la descom posición '( * ) y P ( x ) es
P (Xjun po linom io de grado m enor que n, entonces la fracción prop ia
se descom pone unívocamente en fracciones sim ples como
P( X) _ ^11 A12 ^21 ^22
Q(x) x — + (x — rx) 2 (x - r j )ni + (x - r2) + (x - r2) 2 + ^
+ - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + Akn*__ +( x - r 2)"2 (x - rk) (x — rk) 2 (x - r k) nk
Bl l x + ^11 Bl2x + ^12 J ^lm, + ^( x 2 + p 1x + q1) ( x 2 + p xx + Ch) 2 ( x 2 + p jX + Q i)mi
_l_ B S1X + Cs í ^ B s2X + CS2 ®smj "t" Q m s
x 2 + psx + qs ( x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs) ms
En resumen, podem os afirmar que la integración de una función racional (propia ó impropia) se reduce a integrar a lo más un polinom io y las fracciones simples.
Recuerde que si ei grado del numerador es m ayor o igual que el grado del
denominador, primero se debe d iv id ir (salvo que se emplee otro artificio de integración).
Cuando se descom pone una función racional en fracciones simples, la ecuación
resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores
sign ificativos de la variable x. E l método para determinar las constantes que se
presentan en los numeradores de las fracciones sim ples se basa en un Teorem a del
A lgebra que establece que los po linom ios de un m ism o grado son idénticos
cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas
constantes también se pueden determinar resolviendo la igualdad de po linom ios
para un núm ero suficiente de valores de x.
En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostrarem os com o se descom pone una fracción propia.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
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Sea la fracción propia
P( x ) 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 — %/2x + nQ(x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2
I .1 descom posición de esta fracción en fracciones sim ples se expresa com o
P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M■ + -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ---- - + -
INTEGRAL INDEFINIDA
Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4 ) 2 (x - 4 ) 3 x 2 + 9 x 2 + 1 ( x 2 + l ) 2
donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.
f x 3 — 3x + 3 lile m p lo 60. Calcule / = — :---------- i rdx.
H J x 2 + x - 2
So luc ión
I n primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional impropia.
x 3 — 3 x + 3 1 1= x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■
x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2)
1 iit'í’o, J = j (x — l)d x + J •dx x 2
— — X(x — l ) ( x + 2 ) 2
A l descom poner el integrando de I en fracciones simples, se tiene
1 A B(x — l ) ( x + 2 ) x — 1 x + 2
donde A y B son constantes a determinar. M u ltip licando esta ecuación por el
m ínim o com ún m últip lo del denominador, se obtiene la ecuación p r in c ip a l
1 = A( x + 2 ) + B( x - l ) , V x £ l
Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores
npi opiados de x. E stos valores son aquellos que hacen igual a cero el denom inador
de cada fracción simple. A sí, tenemos:
l'm a x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1/3
l'n ia x = - 2 en la ecuación principal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3
I ui'^o,x .
/( :1/3 1/3 \ 1 , 1 , 1.dx = -ln|x — 1| — -ln|x + 2| + C = -in
1 x + 2) 3 3 3
'ni lauto.
x + 2+ C
X 2 X 1/ = y - í + ^ T - x + 3 1" x + 2
+ C
I ti el ejemplo anterior, para calcular la integral I no es necesario descom poner en
li h it iones simples, pues tam bién se puede calcular completando cuadrados. En los
llám enles ejemplos, usarem os el método m ás adecuado.
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
X2 — 6x + 8f x ¿ — 6x + 8 Ejem plo 6 1 . Halle I = I — — ------ - d x
J x 2 + 2x + 5
Solución
C om o el integrando es una fracción impropia, primero se d iv ide y luego se aplica
el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene
f x z - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8 x - 3 )dx= I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x -J x 2 + 2x + 5 J L x 2 + 2x + 51 J
f 2x + 2 f= x — 4 I —-— ------ dx + 11 I ,
J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4
x 2 + 2x + 5
2x + 2 r dx
, 11 ¡x + 1 \x — 4 ln ( x 2 + 2x + 5) + — arctan ^— - — J + C
dxEjem plo 6 2 . Halle J . ,. J x3 + 1
Solución
La descom posición que corresponde a la 'fracción propia del integrando es
1 1 A Bx + Cx 3 + 1 (x + l ) ( x 2 - x + 1) x + 1 x 2 - x + l
PElim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
1 = A ( x 2 - x + 1) + (Bx + C) (x + 1) ( * )
Para x — — 1 en la ecuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1/3.
Igualando coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3.
Igualando coeficientes de x en ( * ) , obtenemos: O = - A + B + C =$ C = 2/3.
En esta integral, el problema m ayor es la integración de la fracción sim ple /?. U n
método que facilita la integración de este tipo de fracciones sim ples (y que se usa
cuando el denom inador presenta factores cuadráticos irreducibles) consiste en
expresar el integrando como
1 1 A D( 2 x - 1 ) t EX 3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1
donde 2 x - 1 es la derivada del denom inador x 2 - x + 1. Obsérvese que para
integrar la segunda fracción es suficiente separar en dos integrales tal com o veremos a continuación.
En la igualdad anterior, m ultip licando por el denom inador se obtiene la nueva ecuación principal:
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INTEGRAL INDEFINIDA
1 = A(x2 - X + 1) + [D (2X - 1 ) + E ](x + 1)
Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1/3.
Igualando coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6.
Igualando coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2.
fuego,
lí je in p lo 63. Calcule J ■
So lu c ión
C om o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1), aplicam os el método del ejemplo anterior.
1 )c este modo, la descom posic ión en fracciones sim p les es
1 A B ( 2 x + 1 ) + ^
x 3 - 1 ~ x - l + x 2 + x + 1
Elim inando denom inadores.se obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.
1 1 1 í 2x ~~= -ln|x + 1 | - gln(x2 - x + 1) + -^arctan + c
dx
dxE je m p lo 64. Halle / - J <•* _ 2) 2^ - 4 x + 3 ) 'm p lo 64. Halle / —
So lu c ión
( orno (x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 3 ) = (x - 2 ) 2(x - 3 ) ( x - 1), entonces
(x — 2 )2( x 2 — 4 x + 3 ) x — 2 (x - ¿ V x - i x - 1
l lim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
l = A ( x - 2 )(x - 3 )(x - 1) + B(x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) (x - 2 ) 2 + D(x - 3 )(x - 2) 2
Trabajando con esta ecuación principal, se tiene
Para x = 2 = > 1 = —B = > B - - 1
Para x = 3 => 1 = 2C = > C = 1/2
Para x = 1 => 1 = - 2 D =¡> D = - 1 / 2
Igualando coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0
Por consiguiente,
dx r dxI
S o r :( x - 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l )
x - 3
_ f dx 1 r dx 1 f dx( x - 2 ) 2 + 2 J x — 3 ~ 2 J x - 1
1 1: ------^ + r l nx - 2 2 x — 1
+ C
E je m p lo 65. Halle I - j So lu c ión
E scrib im os la integral com o
' VserTx
Vsen xc o sx
-dx.
f v s e n x f v s e n x c o sx/ = ----------dx = — ----------- — dx
J cos x J l - s e n 2x
Haciendo u 2 — s e n x => eos x d x = 2u d u y descom poniendo el resultado en fracciones simples, se tiene
r 2u2 du _ í 2u2 du r r i /2 1/2 1
" J 1 - u4 ~ J (1 - U2)(l + u2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^2u 2 du
du
1 , |u+l i 1 I Vsenx + 1~ ln ------ r - arctan u + C = - l n , ------2 l u - H 2 V ü ñ x - 1
arctanVsen x + C
E je m p lo 6 6 . Cacule I = j So lu c ión
dxx ( x 69 + l ) 3 '
dx 1 f 69 x 68 d xSe tiene que / = I - —^7--------- -- — ¡ ------------------
J x ( x 69 + l ) 3 69 J x 69(x 69 + l ) 3
»S i en la últim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 dx, resulta
/ - 1 f du 1 f \A B c D 169 J u 3 (u - 1) 69 J [u + u 2 + i í 3 + w - l j
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INTEGRAL INDEFINIDA
Determ inando las constantes A, B, C y D por el procedim iento usado en los
ejemplos anteriores, se obtiene
1 . Í L Í _ jL _ - L 1 i9 J i u u 2 u 3 + u - 169
1 >.69
69 r " k 69 + 1
1 1du = -ln |u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C
u 2 u2
+ C+ 1 2 ( x 69 + l ) 5
K|em plo 67. Calcule 1 = J V tan x dx.
.Solución
SI lineemos t 2 = t a n x =» x = a rc ta n t2 y d x =21 d t 1 + t
entonces
f 2 t 2 d t _ f 1 ~ J i + t4 “ J ( T
2 t z dt
+ V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2)
I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo:
I f t4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t)
I ,¡t descom posición del integrando es
A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2t - s / 2 ) + D _ 2 12
t 2 + V 2 t + l t 2 - V 2 t + l “ l + t 4
Elim inando denominadores, se tiene
212 = [¿(2 t + V2) + B][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l]
Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinom ios, se obtiene
2A + 2 C ^ = 0 , (B + D ) + V 2 (C — A) = 2 ,
yj2(B - D) = 0 , V2G4 - C ) + B + D = 0
Kesolviendo las ecuaciones, resulta
i4 = — V 2 / 4 , C = V 2/4 , B = — 1/2 , D = 1/2
I uego,
V 2’ 4
r 2t + V2 _ i r _J t 2 + V 2t + 1 f 2 J t2
dt V 2 f 2t - V 2 1 fJ t2 - V 2t + 1 t + 2 j t2 -t2 + V 2t + 1 4
hiiegrando y sim plificando, se obtiene
t 2 - V 2 t + 1
dtV2t + 1
V 2 ,/ = T ln 4 t 2 + V 2 t + 1
donde t = V tan x.
/ ^2— — arc tan (V 2 t + l ) + — a rc tan (V 2 t — l ) + C
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r
Ejemplo 68. Calcule I = í ------—J 3 + 4
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
sec2x dxtan x + sec2x '
Solución
Escrib im os la integral com o
l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dxJ 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + (1 + tan2* ) ~ J (tan x + 2 ) 2
Ap licando el método de integración por partes, elegim os
( u = x => du = dx sec2x dx
\ d v = 71--------V = - -(tan x + 2 )2 tan x + 2
Luego,
dxl = -----------_ + r dx J tan xtan x + 2 J tan x + 2
J
H aciendo t = tan x =* d t = sec2x dx en la integral ] , se tiene
dx f sec2x dx r d t, f dx _ r _______ sec2x dx_______ r
J tan x + 2 J (tan x + 2)(1 + tan2x) J '(t + 2) ( 1 + t 2)
Descom pon iendo el integrando en fracciones simples, tenemos
1 _ 5 . ~ l ñ ( 2 t) + 5■ + •( í + 2) ( l + t 2) t + 2 1 + t 2
Luego,
l r d t 1 r 2 t d t 2 r d t
5 j t + 2 1 0 J 1 + t 2 + 5 J 1 + t 2
1 1 2 J = p ln | t + 2| — —— ln| l + t 21 + - a r c t a n t + C
b 10 5
1 1 27 = g In|tan x + 2| - — ln| l + tan2x| + -a rc ta n (ta n x) + C
Finalmente, obtenemos
(tan x + 2 ) 3* 1/ — ------------- “ H----- ln
tan x + 2 10 sec2x2
+ - * + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
E J E R C I C I O S
II,illc las s igu ie n te s in tegra les inde fin idas:
4 x 2 + 6
/
í I /
/;
hr -
x 3 + 3xdx
-dx( x 2 4- 4 ) 2
x 4 - 4 x 2 - 14a:
x 2 — 2x — 8
d x
( x 2 + 2x + 5 ) 3
X ‘^ ' 2 x 2 + 4
R. ln [ x 2( x 2 + 3 )] 4- C
84 ln [ x 2 4- 4| + C
- dx
R.
x ■> 68 , , 14 ,R. — 4 -x 4 - 8 x 4 -— ln[x — 4 | — — ln|jí + 2| + C
2(x 4 1) 3 (x - t - l) 3 (x + 1\• 4- , . „— ~ a rc ta n (— -— j 4- C
(x 2 4- 2x 4- 5 ) 2 4 (x 2 4- 2x + 5) 8
X 2 4- X - 1
:3 - x 2 - x + 1d x
x 4- 1
2 x 2 4- 3xdx R.
R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C2 (x - 1) 4 4
ln|x| ln (x2 - 2x 4- 3) 2• + - arctan
3 <c t )+ x
«)
10.
\iX 3 4- X 2
x 2 + x — 2
d x1 I x 2 I
R. — 4 - ln ------ -X x 4- 1
4- C
+ c
- dx4 4- 5 x 2 4- 4
2 x 2 — 3 x — 3
l ) ( x 2 - 2 x + 5)
1 ( x 2 + 1R. - l n —z------
6 \ x 2 4- 4a rctan x 4- a rctan - 4- C
dx
1R. - l n ( x 2 — 2 x 4 -5 ) - ln|x — 1 | -F -a rc ta n ( ^ ) 4-C
r x 2J 1 - x
■dx6
x 2 dxx 6 - 1 0 x 3 4- 9
1R. - l n
6
B. i l n
X 3 4- 14- C
+ C
4x 4- 1
X 2 4 -1- dx
1 2x + 1R. - ln (x 2 4- x + 1) — V 3 arctan
I I2 x
X 2 4- 1-dx
V3 V3
2
4 /2 x+ — arctan
V V 3 i )+ C
/ 2 x 2 4- VR. — a rc tan ----- —— 4- C
V3 V V3
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
f Zx<■14. --------
J x 4 + x- ■-dx
• /
/ i
+ 1
Ä-. |m
x 2 dx
x 6 - 1 0 x 3 + 9
dx
x 2 - X + 1 1 /2 x + 1 \ 1 / 2 x - 1 \+ — arctan — =r— + — arctan — = — + C
V V3 ) V 3V3i ( ^ )\ V 3 /
fi ' 2 4 ln
V 3
X 3 - 9
x 3 — 1+ C
17.
V 2 /?. — ln
dx
x 8 + x 67 .
1 + V 2x + x 2
1 — V 2 x + x 1+ -^ -a rc tan (V 2x + l ) — a rc tan (V 2x — l ) + C
1 1 1ñ. - + — — ---------- a rctan x + C
b x 3 3 x 4 x
r x + x J
18' J - 2 4 ' + 1 d%
1 9 . /d x
2 0 .
x ( x 7 + l ) 2
f dxI X ( X 999 + l ) 2
dx
/
■ /
x ( x 9 + l ) 3
d x
X 12 ( X 11 + 1)
„ . 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|R. :rln|x4 - 1 | - - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C
2 4 2 V 5 |2x4 + 14 - v 5 i
R. ¡ n | x | - ^ in | x 7 + 1 | + — — + C7 7 ( x ■ t t j
1 1R. ln|x|-------- lnjx999 •<- l l + --------- — ------- + C
999 9 9 9 (x 9" + 1)
1 1 1R. ln|x|— - ln | x + l| + „ 4-------- — ^— ? + C
9 9 (x 9 + 1) I 8 (x9 + l ) 2
R • r r l n l x 11 + 1| - 1 ■ / - ln|x| + L11 l l x 11
f cot x dx23 i c i S í
24.
7x + 1)
f tan x dx
J ( c o s " x + 1)
R. ln | sen x j— ln|sen 'x + 1| + — -----:--------~7 7 ( se n 'x + l j
R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) -9 9 ( c o s " x + l )
+ C
+ C
' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x 25. I ---------- , , ----------------- dy.P ( x 4 + 1) c o s x
Ä. | mV se n x + 1 V 2 . x 2 + V 2 x + 1
-------- a rctan fV sen x ) + —— ln ----------------------—----------- +V se n x - 1 8 x 2 - V 2 x + 1
+ — arctan(V 2x + l ) - arc tan(V 2x - l ) + C
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I IN 1 cvjKAL LNUfcMINIUA
lU./
dx
X s + 1
V 5R- ™ ln 20
2 x 2 - ( l - V 5)x + 2
2 x 2 - (1 + V 5 )x + 2
V lO — 2 V 5 / 4 x - ( l + V 5 ) \+ ------ — ------ arctan — +
1 0 V V 1 0 - 2V 5 /
V IO + 2 V 5 ( Ax - (1 - V 5 ) \ , „--------— ------ arctan — | + C
10 V V 10 + 2V 5
,'7.
2').
<0.
1!.
;»2.
u .
j V t a ñ h x d x
c o s x V s e n x + 1
1Ä. - I n
2
tanh X + 1— — arctan(tanh x ) + C
sen x + 2
dx
dx R. 2 V se n x + 1 — 2 a rc ta n V se n x + C
sen 5 x ( l + co s 5 x )
2 dx
1R. - I n
4
cos 5x - 1•+ C
V c o s x sen x
5
/?. In1 - V c o s x
1 + V c o s x
c o s 5 x + l 2 ( c o s 5 x + l )
+ 2 a rc ta n (V c o s x ) + C
C X 3
J i 1 3 !
/
/
d x fi. - [ x 3 - l n ( x 3 - 1 )] + C
d xx 3 + x - 1
( x 2 + 2 ) 2
4 x 2 - 8 x
( x - l ) 2( x 2 + l ) 2
Ä.2 — x
I n J x 2 + 2 ------ — arctan — + C4 (x2 + 2) ^ 4V 2 V 2
dx
R.3 x - 1
(x - l ) ( x 2 + 1)
, ( * ~ 1 ) \+ In — ■■ . 1 + a rctan x + C
x 2 + 1 )
(■I/
/
dx( x 2 — x ) ( x 2 - x + l ) 2
x - 1Æ. In
103 V 3
/2x - 1 a rctan — —
V V 3
2 x — 1
3 ( x 2 — x + 1)
3 x + 2
x ( x + l ) 3dx
4 x + 3 xR. — ------ —w + ln -
2 ( x + l ) 2 ( x + l ) 2
+ C
+ C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Hem os visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan com o
com binaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las funciones irracionales sa lvo en a lgunos casos particulares.
E n esta sección y en las siguientes, vam os a estudiar a lgunos tipos de funciones
irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas com o una sum a finita de
funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cam bio de variable de
manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.
1.6 IN T E G R A C IO N D E A LGU N A S FU N C IO N ES IR R A C IO N A L E S
f í / a + b x \ mi/ni / a + b x \ mk/nk1 .6 .1 IN T E G R A L E S D E L T IP O j A ( _ ) ;...; ( — )
En este caso, R es una función racional de variables
/ a . + b x \ mJni / a + b x \ mk/nk .x ■ f c r s ) ■ •••y '* > "* »• > .................... "• 6 :
a + bxPor tanto, lo s exponentes de -------— son núm eros racionales.
c + dx
E n esta situación, se hace el cam bio de variable
a + bx
dx
= t n , d ond e n = m. c. m. {ri!, n 2, - , n k}c + dx
Despejando x, se obtiene
t nc — a (be — a d ) n í n_1
y d x = ■í b - d ñ ‘ - i c
Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función
racional de variable t.
dxE je m p lo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4) •So lu c ión
E n este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces
m .c. m .{2 ,4 } = 4
Haciendo el cam bio de variable x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta
f 4 t 3 d t r 4 t f ( 4 \ ~ j t 2 ( 1 + t ) ~ J 1 + t d t ~ j \ ~ t + 1/
= 4 t - 4 ln |t + 1 | + C = 4 x 1/4 - 4 ln |x 1/4 + l | + C
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So lu c ión
I .ds cxponcntes fraccionarios de x - 1 son 1/2 y 1/ 3 .
Si se hace x ~ 1 = t 6 (6 = m. c. m. {2 ,3 } ) => dx = 6 t sdt .I liego,
f 6 t 5 d t r t 3 r , i .
J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i d t = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^ ) dt
= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C
- 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C
INTEGRAL INDEFINIDA
K jcinplo 70. Halle I = f dxJ V X - 1 + \jx - 1 '
E je m p lo 71. Calcule / = í í— — 1 —J y] 1 + x 2 x
So luc ión
Se escribe
i ~ r 1 ■ —
/ = í I** ~ 1 ^ - 1 f ;x2 “ 1 2* dxJ j l + x 2 x 2 J J i + x 2 ' ~ P ~
I luciendo el cambio de variable z = x 2, se obtiene
/ = - [ ,2 ~ 1 dz2 J 1 + z z
I n ''s ta últim a integral, el criterio estudiado nos sugie re reem plazar — = ^
I »namos al lector segu ir este cam ino. Reso lvem os la integral usando el siguiente
l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r ( z - l ) d z i r dz i r dz2 J z v 1 + z V z — 1 2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1 2 J ¡ V P ^ T
1 , --------- , i- ln | z + V z 2 - 1¡ -~ a rc se c| z| + C
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E je m p lo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.
So lu c ión
Escrib im os la integral como
tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
lr tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x “x + f
J V tan 2* + 2 J V tan 2x + 2 J V tan 2x + 2 JV tan 2x + 2 i V tan 2x + 2
'i '2
Ap licando las fórm ulas de integración correspondiente a cada integral, tenemos
/* = ln jtan x + + C1
[ eos x d x f eos x d x ( s e n x \/, = , = ■— -- a re sen I — — + C2
J V s e n 2x + 2 e o s2* J V 2 — se n 2* ' v 2 /
Por consiguiente,i --------------- 1 /sen x \
I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a resen ^ j + C
1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M Adx
(x - a) n4 p x 2 + qx + r, n e
Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente su st itu c ión re c íp ro ca
1 d t x - a = j = > d x = - j j
E je m p lo 73. Calcule / = I — J x
dx
2y/4x2 + X + 4So lu c ión
1 1H ac iendo la su st itu c ió n x = - = > dx = — - r d t , se ob tiene
t t z
dtt 2f — = U L = = - Í
J 1 4 , 1 , , J
t dt
1 ¡ A t 2 \|t2
-~í 8 J
+ 7 + 4
(8 t + l ) d t
V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8 ji f8.1
V 4 t 2 + t + 4
dt
- sdt
= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í = l n | 2 t + 7 + V 4 t 2 + t + 4 4 V 2 V 6 3 I 4_ '
1 V4 + 4x2 + x 1-----------------------+ — = = ln4 x 2V63
8 + x V 4 x 2 + x + 4 + --------------------
4x
+ C
+ C
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Ejemplo 74. Calcule /
So lu c ión
INTEGRAL INDEFINIDA
dx= [ _____ iJ (x — 2)yfx(x - 2)y/x2 + 3 x - 9
1 1 C om o x — 2 = — => d x = — — dt , entonces
- / í T 3
d tt 2
| J ( i + 2^ + 3( l + 2 ) - 9
d t
= = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 4 5 I 2
+ C
- l n7 x - 12 V x 2 + 3x - 9
2 ( x - 2 ) x - 2
E je m p lo 75. Calcule J = f ..+ 3)dx —J x 2yj3x2 + 2x + 1
So lu c ión
1 1 Si se hace x = - = > d x = - ^ -d t . Luego,
= _ f ( í +3) f f J 1 / 3 + 2 + 1 - J
t 2 y J F + t + 1
3 f 2 t + 2
d tt 2 (1 + 3 t )d t
V t2 + 2 í + 3
d t “h 22 J Vt2 + 2t + 3 J V(t + l ) 2 + 2/:
d t
= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C
x + 1 + V 3 x 2 + 2 x + l l3 V 3 x 2 + 2 x + 1+ 2 In + C
1 'i a lgunos casos, la sustitución recíproca puede facilitar el integración, com o verem os en los dos ejemplos siguientes.
proceso de
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Vx -;r -yx —■ XE je m p lo 76. Calcule / = J — — — dx.
So lu c ión1 1
S i se hace x = - = > d x = — ^dt. Luego, t t 2
* 11 _ J_
= - J - - ^ = - J V t 2 - 1 t d t , ( u = t 2 - l , d u = 2 t d t )
E je m p lo 77. Calcule / = J ■dx
(x + l ) 4 x 2 ‘
So lu c ión
1 1 t * ~~ t
dt
Si se hace x + 1 = 7 = > d x = - - ^ d t . Luego,
t4 H
= - f y + t 2 + 3 í + 4 ln ( l - 1) + + c
1 1 3 1 x 1 x + l i „--------— H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C
.3(x + l ) 3 (x + 1 ) 2 x + l ljc + l l x i
1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A J R [ x - . J a x 2 + bx + c ) d x
E n este caso, R es una función racional en las variables x y V a x 2 + bx + c. U n a
integral de esta form a se calcula usando las ‘‘su stituc iones de E u le r ” . Estas
sustituciones permiten transformar el integrando en una función racional de
variable t. Se presentan 3 casos:
C A S O I. S i c > 0 , el cam bio de variable es V a x 2 + bx + c = t x + Ve.
Elevando al cuadrado, resulta
a x 2 + bx + c = t 2x 2 + 2V e tx + c
<=> (a - t 2) x 2 + (b — 2 V c t ) x = 0
«=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0
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En esta última ecuación, elim inando la so lución x = 0, se obtiene x = <p(t), que
es una función racional de t, y dx = (p' ( t )dt . donde <p'{t) es también una función racional de t. Por lo tanto,
J R( x , ] y ] ax2 + bx + c ) d x = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'( f ) d t
donde el integrando del segundo m iem bro es una función racional de variable t.
INTEGRAL INDEFINIDA
E je m p lo 78. Calcule ] = \ ■ J .
dx
x V 2x2 + x + 1 'So lu c ión
Haciendo y = V 2 x 2 + x + 1 = t x + 1 y elevando al cuadrado, se obtiene
2 x 2 + x = t 2x 2 + 2 tx
Elim inando la so luc ión x = 0, se obtiene
2 t ■dx
2 ( t 2 — t + 2)dt , y =
t ( 2 t - 1)+ 1 =
t + 2
2 — t 2 ' (2 — t 2) 2 " 2 — t 2 1 ‘ 2 — t 2
Luego, reemplazando estos valores en la integral y sim plificando, nos queda
J' = f 2 d t . . J 21 - 1
= ln|2t — 1| + C = ln2 V 2 x 2 + x + 1 - 2
+ C
C A S O II. S i a > 0 , se hace la sustitución V a x 2 + bx -f c = V a x + t.
Elevando al cuadrado y sim plificando, se obtiene bx + c = 2V a í x + t 2. De esta
dxecuacion.se obtiene que x y ~ son funciones racionales de t y p o r tanto, el
nuevo integrando es también una función racional de variable t.
E je m p lo 79. Calcule / = j So lu c ión
dx
x V x 2 + x + 1
Sea y = v x 2 + x + l = x + t.
Elevando al cuadrado, se obtiene x 2 + x + 1 = x 2 + 2 t x + t 2. Lue«o,
1
1 - 2 1, d x - 2
- t c + t •d x , y =
- r + 1 - i
i - 2 1(1 - 2 t ) 2
Finalmente, reemplaitando estos valores en I y sim plificando, se tiene
V x 2 + x + 1 - x - 1
' J
d t= ln
t — l i
t + 1+ C = ln
V x 2 + x + 1 ~ X + 1
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
C A S O I I I . E l trinom io a x 2 + bx + c tiene dos raíces reales r y s. E n este
caso, la sustitución es y - V a x 2 + bx + c = t {x - r).
Elevando al cuadrado, se obtiene
a x 2 + bx + c = a( x - r ) ( x — s ) = t 2(x - r ) 2
Cancelando el factor x — r, resulta a ( x — s ) - t 2{x - r).
dxDe esta igualdad, se sigue que x , — e y son funciones racionales de t y, por
dtende, el nuevo integrando es también una función racional de variable t.
dx
= / ;E je m p lo 80. Calcule / , ____________
W x 2 - 3x + 2 So lu c ión
C om o x 2 - 3x + 2 = (x - 2 ) ( x - 1) , reemplazamos
y = y/x2 - 3x + 2 = y/{x - 2) (x - 1) = t (x - 1)
E levando al cuadrado y sim plificando el factor x — 1, queda x - ¿ — t 2(x - 1).
Luego, se obtiene
2 — t 2 2 t d t t
d x = ó ^ w AFinalmente,
, d t V 2Í = - 2 I — = - T ln
t - V 2t + y¡2
V 2+ C = T ln
4 x - 2 4- y¡2(x - 1)
4 7 = 2 - J 2 ( x - 1 )+ C
1 . 6 . 4 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J x m (a + b x n)p dx
A una expresión de la form a x m ( a + b x n) p d x , donde m, n y p son números
racionales, se llam a b inom io diferencial. Pafnuty L vo v ic h C hevy sh ev (1821-
1894), el matemático ruso m ás eminente del sig lo X IX , dem ostró que la integral
de los b inom ios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse
mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siem pre que
a ^ 0 y b 0):
C A SO I: p es un número entero
m + 1C A S O II: ---------es un num ero entero
n
m + 1C A S O I I I : — :-----h p es un núm ero entero
’ n
m + 1 m + 1Si n inguno de los núm eros p , ---------, — ------- h p es entero, la integral no puede
ser expresada mediante funciones elementales.
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C A SO I. S i p es un número entero, se hace la sustitución x = z r , donde
r = m. c. m. de los denom inadores de las fracciones m y n .
m + 1C A SO II. Si — - — es un núm ero entero, hacem os la sustitución a + b x 11 — z s,
donde s es el denom inador de la fracción p (com o p es un número r
racional, P = ~> con r y s núm eros enteros coprim os)
m + 1C A SO III. S i ---------- 1- p es un núm ero entero, se utiliza la sustitución
n
a + b x n — z sx n ó ax~n + b = z s donde s es el denom inador de la fracción p.
E je m p lo 81. Calcule / = J x 2 ^1 + x ^ ¿Lx.
So lu c ión
En este caso, m = 1/2, n = 1/3, p - - 2 e l (caso I) y m. c. m. {2,3} = 6.
La sustitución es x = z 6, d x = 6 z 5dz, x 1/2 = z 3 y x 1/3 = z 2.
Así, tenemos
, ~ 1/z f z 3. 6 z 5 dz .I = I „ . == I TT— 7TT - 6 I ( 1 + z 2 ) 2 dz
Efectuando la d iv is ión en el integrando, se obtiene
INTEGRAL INDEFINIDA
f x i/¿ r z s . 6 z b dz r= J ( l + X 1/3)2dX = J (1 -fz2)2 Z Z 6J I
do la d iv is ión en el integrando, se obtiene
f / , 4 z 2 + 3 \ / z5 2 z 3 \ r= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - a ^ r ) d z - 6 ( j - - + 3 z ) - 6 I - l
, , , , 4 z 2 + 3 \ ( z s 2 z 3 \ f 4 z 2 + 3/ = 6 | | z + 2 z 2 + 3 — , _,N, )d z = 6 ( - - — + 3 z ) - 6 f - - + ^ 2 )2 dz
” 7 ” ’Para calcular la integral J, usam os la sustitución trigonométrica z = tan 6.
f 4 z 2 + 3 f (4 tan20 + 3)sec28dB [1 ' J I T T ^ P = J - - - - - - - - = J (4sen " + 3
= / ( 3 + s e n = / (3 + l ^ H ) M = 1 8 - ^ + C,
7 sen 0 eos 0 7 z
= 2 « ---------- 5-------+ C > = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C '
Por lo tanto,
6 3z/ = - z 5 - 4 z + 1 8 z - 21 arctan z + --------r + C
5 1 + z 2
= % x s'b - 4 V x + 1 8 V x - 21 arctan \ [ í + + C5 1 + V x
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 82 Calcule } = J x1/3(2 + ^ 2/3) 1/4 dx.
So lu c ión
1 2 1 m + 1En este caso, se tiene m = - , n = - , p = - y ---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) ,
3 3 4 n
Ahora, la s titución es '
2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z ó d x = 6 x 1/3z 3d z
Luego,
y J x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3 d z = 6 J x 2/3z 4 d z = 6 j ( z 4 - 2 ) z 4d z
= 6 ( t -- % r ) + c = I ( 2 + " 2 / 3 ) 9 / 4 - ^ ( 2 + " 2 / 3 ) s / 4 + c
E je m p lo 83. Calcule / = J ^
3 V ' 5
dxt 6( 6 5 - x 6y / 6 '
So lu c ión
Escrib im os la integral com o / = J x -6 (65 — x 6)~1/6 dx.
1 m + 1Puesto que m = —6, n = 6, p = - - y ------ — + p = — 1 a TL (caso III),■
6 nhacemos la sustitución
6 5 - x 6 = z 6x 6 ó z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z65
Por tanto, tenemos
I = J x ~ 6( z 6x 6)~6 — x 7z 5 d z j = - — J z 4 d z
1 _ (6 5 - x 6) 5/6= z 5 + C = - - - — 7 — + C
3 2 5 3 2 5 x 5
E je m p lo 84. Calcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i
so lu c ió n
La integral tiene la form a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego,
1 1 m + 1m = - , n = 3, p = — y — --------------------1- p = 1 £ TL
Ahora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3 ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z dz.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Entonces
/ = J x 1/2( z 2x 3')1/2 ^ - - x 4z dz'j = - - | x 6z 2 d z —2 r 1
_ 3 J ( z 2 - 1)2z 2 c¿z
Para calcular la última integral, usam os la sustitución z = secB. A s í, se tiene
/ = -2 f sec20 see 0 tan 0 dff
I /
2 f sec30 2 f
3 J tan3fl 3 jtan40csc30 dd
1 4- cot20 ( - c s c 20 )d 0
= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln|cote 4- cscfl|] 4- C
• + ln14- z
V P -+ c
x V x 4 4 -x 1 i ,--------- ¡-------------+ - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C
J 6 1 l
V i + e 4xE je m p lo 85. Calcule / = J So lu c ión
dtHaciendo t = e x, dx — — resulta
t
-dx.
r V T T e 4* r v i + t 4 r' = J — ^ - d r = } - p - d “ l
V i + 14r 2( l + 14) 1/4 dt
1 m 4-1Com o m = — 2 , n = 4 , p = — , ----------1- p = 0 E TL entonces4 n
1 + t 4 = z 4 t 4 ó t ~4 4- 1 = z 4 y d t
Lueao, se tiene
- t 5z 3 d z
/ = - j t 2( z 4t 4) 1/4t bz 3 dz = - J t 4z 4 dz = - J —-
- ' - 1 /
dz
1- z - - l n
z 4 - 1
z — 1
1 z 2 + 1
4- -a rc ta n z 4- Cz 4-1
Finalmente, retornando a ia variable inicial x, se tiene
V i 4- e 4x 1/ = ------------------------ln
e * 2
V i 4- e 4x - e >
V i 4- e 4x 4- e*
1 / V i 4- e 4ArN4- - arctan I ------—----- | 4-
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6 dxEjem plo 8 6 . Calcule J , _______________
s e n x v e o s3* + sen3x
Solución
D iv id iendo numerador y denom inador entre c o s 2x, se obtiene
¡ _ f 6 dx r 6 se c2x dx
J sen x V c o s ^ F T s e ñ ^ x J tan x Vi 4- tan3x
Haciendo t = tan x, tenemos
6 d tf 6 d i r/ = - j = = = = ó r H i + t 3) 'J t Vi 4- t 3 J
^ d t
1 m + 1Puesto que m = - 1 , n = 3 , P = Y — - — = 0 e Z , h acem os
1 + t 3 = z 3, d t = t _2z 2 d z
Luego,
J - f 6 t ~ 1( z 3) ~1/3t ~2z 2 d z = j 6 t ~3z d z = f 62 dZ
Para calcular la última integral, usam os el método de descom posición en fracciones sim ples, esto es,
J ■ /i4 B ( 2 z 4- 1) 4- C
z 1 z 2 4- z 4- 1d z
Mediante operaciones, se obtiene que los valores de A, B y C son: A = 2 , B = - 1 y C = 4.
Por lo tanto,
2 f 2 z + 1 f d z1
f 2 f 2 z + l f d------ Td z ~ ~ 2~.----- — d z 4- 4 ----------
J z - 1 J z 2 z 4- 1 ) , i
(Z4' Í ) + l
= 2 ln|z — 1| — ln|z2 4- z 4- 1| + arctan ( — ——) + CV 3 V V 3 >
= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 4-
8 /2 V i 4- £3 4- 1 \4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , donde t = tan x
V 3 \ V3
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Calcu le las siguientes integrales:
f ¿x1. I — — 57= R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C
J Vx + Vx 1 1
r -J~x Hy 1 n
2 ‘ J y + x 4/5 2x1/2 ~ Y xV 1° + 10x1/10 - 10arctan(x1/10) + C
f 5 x 2 + 2 0 x - 2 43. -------- ;-------- ------ fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C
J V x + 5
4. [ ............... ....... ... ................. R. - a rctan ( 1 + - V 2x — 3^ + CJ ( 2x + 5 ) V 2 x - 3 + 8 x - 12 2 V 2 /
f 8 x + 2 l V 2 x - 5 (2 — x — 5 ) ( 8 V 2 x — 5 + 1 5 )5. -----------; ....... d x R. ------------------------------------------ - + C
J 4 + V 2 x - 5 6
r dx6. I ------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t R. 4 t a n h - 1 [ (x + 1 ) 1/4| + C
J (x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4 7 J
f ( x — 2 ) 2/3 d x _____ / V x - 2 \
Z ] ( X - 2 ) V > + 3 * . + C
f x 1/7 + x 1/28. x 8/7 1S/14 d x /?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x1/14 + 1) + C
f V x + i9. I - = ---- 1
J V F + i
INTEGRAL INDEFINIDA
E JE R C IC IO S
■dx
4 4R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rctan - + C
11
12 .
x - 9 , 4 /3x - 1 2 \d x R. - ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C
x + 9 ' 3 V2x + 18/
f 9 V T =rx ,----------— ........d r R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C
J V T T x
í- j
f 2 3 ¡2 - x 3 / 2 + x\ z/3J ( 2 - x ) 2 d X ^ 4 ( 2^ ) + C
13. j sjsen2x + sen x d x /?. - Vsen x - sen2x - arcsenVl - sen x + C
14. J V co s2x + c o s x d x Ä. V c o s x - c o s 2x + a rc s e n V l-e o s x + C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
I
í
dx
(eos x - sen x)Vcos 2x
¡1 -i- tan xR. --------------+ C
J 1 - tan x
1 - x dx1 + x x 2
R. - l n1 - V i - x 2 Vi - x 2
■+C
f 2 — s e n x17- --------------eos x dx
J J 3 4- sen x
-------------- ,------------- ¡3 4 - sen xR. V 3 4- sen x V 2 - sen x 4- 5 aresen ---------------y-C
18.f dx
J x 2V x z — 2x 4- 4
. R.
19
20
Vx2 - 2 x + 4 — 2
dx
3 x
32(x - 4 + 2 V z2 — 2 x + 4)+ ln
x - 4 + 2Vx2 - 2 x + 4+ C
/ x V x 2 4- 2 x - 3
f dx
J (x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2
2 / V x 2 + 2 x - 3 - x >R. — arctan --------------—----------- + C
V 3 V v 3
¡x - 2 R. 2. I-------- 4 -C
■vi x 1
f 4 2 - y
21' J —x - x ‘
■dx
•/
/
4 2 —x — ;.2 42R . ---------------------4- — ln
x 4
dx
•42- x - . V2| /2x + 1\— — aresen ( - j 4 -C
(x - 2 ) 4 x 2 — 4 x + 1
1 / V 3 ,
R . ---- — aresen ------- 1 4- CV 3 \ x 2 ¡
i - v n 4" X X23. I ------ — r ir
x V lR. ln
24 /
-t- X 4- X ¿
dx
X 4- 2 - 2 V l 4- X -r X 2 !
X a-| -t- c
(1 4- x)Vl 4- x 4- x2R. ln
X 4- Vi 4- X 4- X 2
x 4 * 2 4 - V l 4 * x 4 - x ¿
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INTEGRAL INDEFINIDA
26./
(1 - V i + x + x 2) 2
x 2V l + x + x 2d x
— 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 )R----------------------------------f- In
' 4- V l 4- x + x 2 - 1
x — V l 4- x + x 2 + 14- C
27.
28.
29.
30.
31.
' x 4- x 4- 1
x V x 2 - x 4- 1dx
2x - 1 r - ------------ 19 I ,------------ — ,R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2V x 2 - X ‘ + lj + C
x + 2
( x - l ) v x ‘ + 1
dx
-.dx R. In (x + yjx2 + ir}-----— Inv 2
1 V x 2 + 1 ■ +
X - 1 s [2
R, Intan x — v s e c 2x + tan x
tan x + 2 + V se c 2x + tan x
+ C
+ c
dx
V ? Zx + 4 e ;c — 4
dx
1 /e* - 2 \ft. - a r c s e n ------ — + C
2 V e * V 2 /
(x - l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4
V
32 .
R.
dx
5 x 2 — Sx + 4 (4 - 3 x )
2 ( x - l ) 2+ In
V 5 x 2 — 8 x + 4 + .
x - 1-t- C
f dx
J (x 2 - D v x 2(x 2 - 1)VX2 + X - 61 / I I - 3 x \
R. - - a rcsen — ---------\ 4 x - 4 /4
i
2 v 6
¡ X -r 1'3\a rcsen ( --------- + C
k' dx + b/
33 .
34.
35.
36.
f 3_VX d x J (Vx + l ) 2
f ( V x + I f 2
J V x
3 °R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9 + i f + C
2 + 1
R. - ( x 1'3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C
r dx J (1 + x 2) 3/ 2
f dx
J Vx2( l + V x 2)
R. 4- CV X 2 + 1
R. 3 a rctan x + C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
38./
dxX 2 ( l + X2) 3/2
39. J J ( 1 + V x ) 3 dx
An , V 2 - V í40. | ----- — ---- d x
41. | x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x
42.V i + X 1/3
-d xx 2/3
43. J Vx ( 2 + V x ^ ) 1/4 dx
4 4 . / ;d x
45./
x 3( l + X3) 1/3
dx
V T T x *
. x 3 + 2 x 2 46. I —------- — d x
*■/
47 j
(1 + x 3) 3/2
dxx 5(2 5 — x 5) 1/5
48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x
4R. - -
3
Vi + x2
V i + x 2+ C
K. — ( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C
n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2 fí. ----------------- ------' — + c
b
5 x 3 - 3
40(1 + x 3) 5/3 + C
/?. 2 (1 + V x ) 3/2 + C
(2 + x 2/3) 5/4
15- ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C
(1 + x 3) 2/3 R. + C
2 x *
i?, - l n 4
V i + x 4
V i + X 4 + .+ - arctan |
1 + x4
R. -V I +X3 -----—3 3 V 1 + x 3
+ C
■x 3X 4/E1 Z 25 - íR . --------- --------------- - C100 \ x a )
1 ( 1 — g 3 * ) l / 4 _ A . ( 1 - e 3 * )1 3 /4 + _ L ( i _ e 3X y 7/4+ c
49' ■ /
c o s x s e n 7x dx
( s e n 2x + c o s 2x + se n 4x ) 3/2
« . i f v ' l s e r r x<;pn4 r /V I -r se n 4x
50. 3 r « • ^ í 8* 3 + 27 ) S/9- ^ ( 8x 3 + 27)
1 / I + x
*■ - 5 h r
27
51- h
V 8 x 3 + 2 7
dx( x ~ 3 -t- I )4/3
2/9128
, 3 x 2 / 3
2 \ x : ( l + x 3) 1^
82 www.FreeLibros.com
En general, las funciones que contienen com binaciones de funciones trigonométricas no son integrables por m edio de procedim ientos elementales.
Verem os a lgunos casos en los cuales si es posible la integración.
INTEGRAL INDEFINIDA
1.8 IN T E G R A C IÓ N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E ST R IG O N O M É T R IC A S
1 .8 .1 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J R ( c o s x ; s e n x ) d x
En este caso, R es una función racional que contiene senos y cosenos. Para
transformarla en una func ión racional de variable z, se utiliza la sustitución universal
xz '= tan 2 < > x ~ 2 a rc ta n z
En consecuencia,
2 dz 1 — z 2 2zdx = -------- , eos x = —----- y sen x — ---------
1 + z 2 1 + z 2 * 1 + z 2
D e esta manera, el integrando, que es una función racional que contiene senos y
cosenos, se transform a en una función racional de variable z.
f dxE je m p lo 87. Calcule I = ----------- --------------
J c o sx + 2 sen x + 3Solución
xSi hacem os z = tan - , entonces
2 dz, _ f T T z 2 _ f dz _ f dz
J 1 - z 2 , 4z , „ J z2 + 2z + 2 J (z + l ) 2 + ll + z 2 + l + z 2 + ó
= a rc ta n (l + z ) + C = arctan ^1 + ta n -^ + C
Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la posibilidad de integrar cualquier función racional de sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución auxiliar
t — tan x ( * )
Con esta sustitución se tiene
d t t 1dx — ------r, sen x = . eos x =
1 + t 2 ’ VI + t 2' * VI + t2
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Ii
Esta sustitución ( * ) debe ser usada cuando la función racional trigonométrica t iene ia forma
i) J R(senkx ; eosnx ) d x , donde k y n son números ent eros pares .
ii) J R( t anx) dx
dx
J:E je m p lo 88. Calcule ) ,
J 3 + co s2x So lu c ión
Considerando la observación anterior, usam os la sustitución auxiliar t = tan x. D e esta manera, se obtiene
f T + F f d t 1 t / V 3 t \ , „= ----------- i— = — ;----- = — = arctan — — + C
J 3 ¡ 1 J 3 t2 + 4 2V 3 \ 2ó + l + t 2
1 /V3 t a n x \— arctan ---------- 4- CV3 \ 2 /2V3
xEn este ejemplo, si u tilizam os la sustitución un iversa l z = t a n - , obtenem os
2 dzj J 1 + z2 2(1 4- z 2)dz
- , A - z 2V J 4 ( z H z 2 + l )\1 + z 2/
y es evidente que esta última integral ofrece m ayores dificultades.
f tan xE je m p lo 89. Calcule I = -----------— dx.
J 2 4- tan2*
So lu c ión
Em pleando la sustitución auxilia r t = tan x, se obtiene
t _ f íc í f í t t \ j ,1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = J u T F ~ 2 T ^ J
■ = j l n ( t 2 4 - l ) - ^ l n ( 2 + t 2) 4 - C
1 , / t 2 + 1\ 1 / t a n 2x + l\
~ 2 U 2 + 2 j + C ~ 2 ( t a n 2* 4- 2 j + ^
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f 2 4E je m p lo 90. Calcule / = I -------
J eos XSo lu c ión
D escom pon iendo la integral, se tiene
2 4 -3 eos x
INTEGRAL INDEFINIDA
2 4- 3 e o s x
4- 4 eos2*dx.
c o s x ( l 4- 4 c o s x )■ /
~ J 2 se c x d x - j y
dx= [ ( —J V co sxc o s x l 4 - 4 e o s x /
I d x
5 dx
= 2 ln j se c x 4- tan x\ - J -
+ 4 e o s *
5 dx4- 4 eos x
Jx
Para calcular la integral J, u sam os la sustitución un iversa l z = t a n - . Luego,
1 4- z
10 1
(V 3 z ) 2 V 3 2V5ln
V 3 z 4 - V 5
V 3 z - V 54- C
= J l
V 3 t a n ^ 4- V 5
V3 t a n ^ — V 5+ C
Por lo tanto,
1 = 2 ln | secx 4- tan x\ - - lnV 3 tan 4- V 5
V 3 tan j - V 5+ C
dx
4 - 2 V 1 - X 2 'E je m p lo 91. Calcule / = I --------
J 3 — x So lu c ión
U sam os la sustitución trigonométrica x = sen 0. Entonces
eos 8 ddI
sen 0 4 -2 eos 8
zlhora, u sam os la su stituc ión un iversa l z = tan — . Luego,¿
1 — z 2 2 dzf 1 4 z z 1 4- z 2 _ f ________ v
J , 2z . 2 ( 1 - z 2) ~ J (z2 -
(2 — 2z2)dz
3 1 -i- z 2 1 4- z 22 z 4- 5 ) ( z 2 4 - 1 )
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
D escom poniendo la últim a integral en fracciones simples, se obtiene
f [1 /2z + 4 \ 1 í { 2 z - 2) + 12
1 ~ ] [ s U 2 + l J 5 \ z 2 — 2z + 5dz
- 1 í f 2z 4 ___ —5 J i z 2 + 1 + z 2 + 1 z 2 -
2z — 2 12dz
2z + 5 (z — l ) 2 + 4J
= ^ Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln (z2 - 2z + 5) - 6 arctan ( ^ y ~ ) ] + c
+ Ci r ( z 2 + i
“ 5 r i z 2 - 2 z + 5+ 4 arctan z - 6 arctan^
tan2 ó + 1ln + 2x - 6 arctan ^
/ tan 2 - 1+ C
E J E R C I C I O S
Calcule las siguientes integrales:
dx1.
2.
4.
5.
6.
7.
/
í
/
/
/ I
4 + 3 e o s *
dx2 + sen x + 3 eos*
dx
2 + sen *
dx
5 - 3 eos * sen x dx
+ sen x
f sen2*J 1 + eos2* dx
tan :R. - a rctan — —
7 l V 7
V 6 ,fí. — ln
6
t a n ^ - 1 + V ó
+ C
4* C
2 2 tan j + 1R. — arctan --------— ------1 + C
V 3 \ V 3
■t / x \ „ R. -arctan 2 tan-J + C
R. X1 + tan 2
/tan *7 T
+ * + c
S d x
sen24* + tan24*
/tan *\Æ. v 2 arctan j - * + C
I r 1 /tan 4 x M „». - g [ « ( 4 * ) + ^ arctan + C
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f d x ^¡2 _
Ö' J 3 + se n 2x - c o s 2x R ' T arCtan(V2 ta,,JC) + ';
f sen 2x9 ■ J se n 4x + c o s4x ^X R ' a rc ta n ( ™ s 2 * ) 4- C
f 3 s e n x 4 - 2 c o s x 12 51 0 - h c p n v , i ™ C v dj: fl. t ^ x - — l n | 2 s e n x + 3 c o s x | + C
INTEGRAL 1NDEFINIDA
11
2 sen x 4 -3 c o s x ' 1 3 13
1 + tan xT 1 + tan x• J T - t a n x ^ * — ln lc o s x — se n x| -f- C
, d x 112 ' I ¡ e n 2x - 5 s e n x c o s x fl. 7 ln| l - 5 cotx| + CD
r co s x i1 3 - ----- i-------7----------- fl. - l n
J s e n 2x - 6 sen x + 5 4sen x - 5
sen x -i- 1~r C
1 /I f dx 1 /V 3 tan x \q------ 2— T c --------- 3 fl- - ^ r a r c t a n ------- —— j -i- CJ 3 se n 2x + 5 c o s2x ^ 1 5 \ ^5 j
1C f d x 1 | 2 t a n x + 3 - v l 3~ n— ; ~--------------------------- z - fl. - = l n
16.
se n 2x 4 -3 sen x c o s x - c o s2x ' v i 3 2 tan x 4 -3 4 - V T 3
f dx
J ;c o s 2x -f 5 cos x 4- 6
1 / n ? \ 2 / t a n ö \f l - - — arctan — 4- — arctan — =r=- 4- C
V 2 ^ v 2 y V 3 ^ v '3 y
dx~ ~ 1 — r-x----------------------- ----- 5— fl. a rctan (2 tan x 4- 1) 4- Cc o s zx 4- 2 sen x co s x -t- 2 se n 2x
f s e n 2x - 2 c o s 2x 8 /v '3 tan x ',5----------;-------d x fl. 3 x — — a r c t a n ------— — j -4- C
J 3 - c o s 2x • v 6 'v v/2 J
C S P n^ Y 4- r n ^ ^ r
1 9 ‘ j V e n 2x - c o s 2x d * * " ln|sec 2 x + tan 2x| - sen 2 x C
f 1 4- tan x 1 12 0 - ------------------d x ft. - In | c s c 2 x — cot 2x| 4- - tan x 4- CJ 2 sen x c o s x 2 2
f sen x tan x 1
2L J se n 3x — c o s3x R~ 3 " 11 + C
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E N T R E T E N IM IE N T O
1 .
2.
4.
6.
9.
í - —J x J x + 1
f dxJ x 6 + 1
dx R. a rc s e n — I----------------- f- Cx x1 V x2 - 1
arctan x V3 fx'¿ 4- V3x + 1\ 1 1----g----- 12 ( + 1 ) + g arctan(2* + v3) 4- -arctan(2x - VI) + C
3. ( a rc sen x + , X — ^J v. vr^2/x + 2 dx
dx R. x a rc se n x 4- C
í V 2 x
2 x + 3 3 x 2 + l l x 4- 10
dx
¡2 x 4- 3R. 2 a rctan j------------ (- C
x 4- 2
V2x - Vx 4- 4
R. 2Vx 4- 4 4- 2V2x 4- 4 V 2 lnVx - 2Vx 4- 4 4- 4V2I
x - 4
J v x
dx
Vx Vx (1 4- Vx)2R. 3 a rctan x
3 V i
4- C
c
I
7. J e*(cotx-i-lnsen x)dx
8' f >1 X ~ ^ 2 dxJ (1 x )R.
1 4- Vx
r. e* ln j s e n x¡ ■+• C
1• 4- — ln| 1 — x | 4- C
f 6 e 4*J í T ^
4 (1 — x 4) 4
R. - 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C
f Va — x10. — ----- — dx
J Va - vx
/11.
R. a a rc s e n — 2 V a v a - x - i a - x v x - r C a \
sen x 4- sen 2 x 4- . . . 4- s e n (n x )
eos x 4- eos 2 x 4 -... 4- eos (n x )dx fl. - ■ -ln
n 4-cos
f r12. v 4 + e x dx R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln
-v/4 1- e x - 2¡
V 4 -i-e * 4-2Í-I -1- C
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INTEGRAL INDEFINIDA
3x~ ■+■
2V x (4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4
Sugerenc ia : h ace r tan 0 —
dx
'JX
R. inV 3 x 2 + x - 4 4- Vx
a/3x 2 - 4
V 3 x 2 - 4
14.x 2 dx
!
J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)
|2 4- 3 x
X - 3d x
11fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In
2a/3
7 7x ------ 1- x 2 ---- x — 2
6 ^ 34- C
16.
17.
18.
(x 4- l ) d x
(2x 4- x 2)a/2x 4- x 2
2 *
\/2x 4- x 2
1 — 4 *d x
R - i- r inIn 4
1 4- 2X1 — 2 *
r x - Vx - 2------------ d r
J x 2 ~ ^ ( x - i y
R. - l n | ^ x — 2 4-1| 4- — ln|(x - 2 )2/3 - (x - 2 )1/3 + £|
1 ( 2 W = 2 - l \------ ■= arctan ---------= -------| 4- C
4 V 7 V V 7
(4 4- x 2) 1/2
( 4 + x 2) 1/2d x
/?. x - 5 InI 25
4- x -----= l n1 V21
/ 7 — V 3 tan arctan
20. j dx R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C
r 1 121. —=• s e n - d x
j x J x
1 1 1 /?. - c o s — sen - 4- C
x x x
22. f I J V\ x - a
- dx R. yj x(x - a) ■+• a in j v x 4- v * - a| -1- C
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I x V l - x24. I — ■ dx
4 T = x
■ í
i ' :
I
d x
V i + cosx
a rc se n V 2 x26. | rfr
V 1 - 2 x
,'4* + l 27. | — d *
nm + x --------- d x
fl. - V 4 x 2 - 12x + 8 - l ( 2 x - 3 )V 4 x 2 - 12x + 8 -
O7 . _______________
- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + CO I I
/?. V 2 ln j s e c ^ + tan^| + C
R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C
R . x - 2 ln|2 * + l| + C
/?. y j mx + x 2 + m ln (V x + 4 m + x ) + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
29.
30.
/
íi
V i — x 2
x “1
se n 2x d x
a rc se n x d x
+ b c o s 2x
, 2 a + x l a - x 31. 1 ---------- I-------- d x
/
■ /x — x
V x + 1 - V x 2 + 1d x
->3/2(1 — x ) a rcsen x 1 ln xD _ _____ ____________________ , f*
' * 3 x 3 6 x 2 3
( a + b \ 1/2 f yfa t a n x \ x
r ~z -------- r u — xR. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C
y a + x
2 ^/?. - (x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + ln (x + V x 2 + 1)] + C
r ( x 2 - l ) d x 1
33‘ J (Su& u = x + -)x V l + 3 x 2 + x 4
/?. i c o s h - ^ ^ i l ^ + t a n h - 13 + V 5 ^ ^a rc se c ( 2 x 2 + 3 ) \
“ 1 )+ C
34. J V id x
V a 3 — x 3 .
2
3/?. x a rc se n ( | + C
\ a 3/2
35./
4 — x
2 + xd x i?. 3 arccos ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2x + 8 4- C
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INTEGRAL INDEFINIDA
36.
37.
/
dx( * + l ) V T + 3l T l F <S“8ere" “ : “ = I T Í y usar binomios)
x + V i + 3x + 3 x 2R. fin
1• — lnD
(1 + 3x + 3x2) 3/2 V i + 3x + 3x2+ 1
1 / 2 V l + 3x + 3X2 — x \
' v f arctan [ ----------- W x ----------- ) + c
J s e c x see 2x dx R. — lnV 2
1 + V 2 sen x
1 - V 2 sen x
1---- ln
2
1 4- sen x
1 — sen x+ C
38. x z + x 4- 2 + 2y j x3 4- x 2 4- x 4- 1 d x
2 1/?. - ( x + 1 )3/2 4- - [x-\/l + x 2 4- ln (x + y¡x2 + l ) j + C
39.
40.
(1 4- e * ) V e * - 1
s e c x V s e c 2 x
d x
aresen (tan x )d x
e * — 1/?. V 2 a rctan — ------- h C
R. ln |a rcsen (tan x)| 4- C
41. í I—J J c o s a
1 — eos x
e o s x-d x , 0 < a < x < n R. - 2 a re sen | ------2 \ + C
co s-a
■ /
■ /
/
■/
V T m-.dx
dx
( c o s 2x 4- 4 se n x - 5 ) eos x
R. — ( 2 e * - 3 ) (1 4 - e * ) 2/3 4 - C
R. ln| (l - sen x ) 1/2( l 4- sen x ) 1/18(2 - sen x )~ 4/9| 4-1
d x
eos x V 2 4- sen x
tan x d x
(se c 999x + l ) 2
í?. ln |V l + sen x\ H----- — ln1 2a/3
6 — 3 sen x
V 3 4- V 2 4- sen x
-\¡3 — V 2 4 sen x
+ C
4- C
R. ln|secx| - — -ln|sec999x 4 - 1| 4- — — — — ■— 999 9 99 (se c999x 4- 1)
4-C
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46. r ____ ^ ____J x 4 + a 2x 2 + a 4
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
x 2 + ax + a 2x 2 - ax + a 2
1 / aV3x ,-i--------- = a rctan — -------- | + C
2 a 3V 3 \ a 2 — x 2
47. Determ ine un po linom io cuadrático P ( x ) tal que P ( 0 ) = 1 y P ' ( 0 ) = 0, de
48
f P ( x ) d x
™ doque 1
i. J x 17 l n ( x 2) dx
49. J ta n ( ln x )G Íx
, f v r - r
52. i s e n h “ 1 - d xK a
53. i ta n h - 1 - dxJ a
50. | V i - eos x d x
e a d a
x e ax dx
(1 + a * ) 2
55. I x 2 a rcco s - dx a
56. I * 2 a r c t a n - dxa
57
58
59
I /
/
/ c o t h - 1 © * *
r a rcco s j d x I I _______' J x 2
a rc ta n :
sea una func ión racional. R. P (x ) = - 3 x 2 + 1
fl. 2 x 18
R. x — 2 a rctan x 4- C
, / l n x 1 \
\ 1 8 ~ 3 2 4 / + C
R. — 2 V i + c o s x + C
1K.
1 + x:e° t -C
. xR. x se nh 1 — J x 2 + a 2 + C
a
R. x tanh | ln ( a 2 - x 2) + C
rtCLX
R.a 2( 1 + a x )
+ C
Ä. — arccos - - - (x 2 + 2a2)s¡ a2 - x 2 + C 3 a 9
X^ X Í7Y2i?. — arctan------- — + — ln (a2 + x 2) + C
i a 6 6
1 x 1 a + xR. — arctan - + — I n ------ r------ h C
x a 2 a x 2
R. x co th -1 - + ^ l n ( x 2 - a 2) + C a 2
_ 1 x 1 a + V a 2 - x 2R. — a r c c o s - + - l n ---------------------- h C
x a a x
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INTEGRAL INDEFINIDA
(cosx - sen x)
6 0 . ¡(x+s^rdx 1
2
u ‘~‘ wJ T + ~9
/■
i
5 + sen 2xdx
+ C , u = x + V * 2 + 1
1 / s e n x + c o s x \
B ' ¿ " " “ I------2,----- )+ C
dx
( x 2 eos2a + x sen 2a + 1)2x cos a + sen a
eos3 a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1: “i- C
63. f sech5x dx J
1 3R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C
64. / (tan x + secx )20 sec2x dx
6 5 . /
■ í ,J cos4xV4 - cot2x
V( 1 + x 2)5
66
dx
V (x - l ) 3(x + 2)5
(eos 2x — 3) dx
4 ix - 1R • ö ------3 ^ x 4- 2
ñ . ---- tan x (2 + tan2x ) V 4 — cot2x + C3
67 J : - dx
,------- v ( i + *2)5 J ( i + x2y v i + x 2R. ln (x + V I + x ) 2 - _ , — - V „ „ -------------------- + C
5 x 5 3 x 3
68j- v'sen3(2x)
dx4 V 2 r-
j s e n bx Sugerencia: hacer u = c o t x
' V i + X 8<>9. I ---------- dx>r ,13
R . ----- — V c o t 5x + C
(1 + x 8) 3/2r . - , „ -i- c
f 3 i sen2x7<)- J7L í “J C O SJ
dx
c o s3x v se n 2x
12x12
R. — Vtan5x(5 tan2x + 11) + C
V 2 1 ,_____R. (tan2x + 5)Vtan x ■+■ C
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
7 2 . /1 + se n 2x
2 c o s2x V se n xdx
, ' V x - 1 + V x - í 73. | --------------- r ---------dx* J : x - 2
e x( x 2 - 8)
75. j e sen* ( s e c 2x - c sc 2x + c s c x ) d x
J e *enh_1* ( x V l T x 2 + i )76
(1 + x 2) 3/2
x 2In 2x ( l -r l n x )
■dx
ñ77. | — — — y ~ --, / dx •t- x ¿ Inr
:(x + l )+ e 2xx 2
f e x (x + 1)
78, j _ i 4- a 2xv 2 dx
■ e 3 x x 2 ^ x +
79. i .■„ . \ d sf e**
’ J ~ 1
• /
■ /
-t- x ze2 ¿> 2at
(1 + g Z a rc ta n * )^ + * 2 )
sen x + xcos x
dx
R. ---------- + Cc o s x
V sen x
e * ( x + 2 )R ■ — - ..+ C
x - 2
fi. efefl*(tan x + c o t x ) -f C
,senh-1 jr
(1 + x 2) 3/2
i?, x ln x - a rc ta n (x in x ) + C
R. - l n 2
x e x — 1C
(1 - x se n x ) V - l + x 2 - x 2c o s2x: dx
x + 2082. - - ... ......dx
83.
y¡ (5 - 4 x - x 2) 3
I n 2 ( 4 * + 2 (1+A:))
( 2X + 5 )V 5 - 4 2 * - 4 *dx
x e x + 1
R. x e x — a rctan (x e x ) -t- C
ñ. a rctan ( e arctan* ) - r C
1 + x se n x/?. - .... - + r.
V x 2^ en 2x — 1
2 x + 5 R. - + r
V 5 - 4 x - x 2
1 - 2 * ( 2 X + 2 r — .. + a rc sen
84
. rV 5 4 2 ^ 7 4 7 l 3 y ’1"
J e senx( csc2x - s ec2x - c s c x ) d x R. - e sen* ( c o t x + t a n x) + C
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INTEGRAL DEFINIDA
2.1 S U M A T O R I A S
Sean m y n dos núm eros enteros tales que m < n y / una función definida para cada i e 1, con m < i < n. E l sím bolo
i m¿=m
representa la sum a de los térm inos f ( m ) , f ( m + 1), ...,/ (n ); esto es,n
/ ( 0 = f { m ) + f ( m + 1) + / (m + 2) + + / (n )
t=m
La letra griega S (sigm a) es llamada sím bolo de la sumatoria, i es el índice o variable, m es el lím ite inferior y n es el límite superior.
Por ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces5 5
^ T / ( 0 = i 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2
i-2 i=2
De la m ism a manera, si n > 1,n
y sen(¿j¡:) = sen x + sen 2x + ... + sen nxí = i
2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A
n
1. a) ^ k = (.n - m + 1)/í , /c es constante
¿=mn
b) ^ k = nk , k es constante
i= i
n n
2. fc ./ ( i) = fe y /(/) , k es constante
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
3. ^ [/ ( i) ± g ( i )] = ^ / ( i ) ± ^ 5 ( 1) (P rop iedad D istributiva )
¿~m i=m i-m
n
4. a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1) (P rop iedad Telescópica)
:=m
n
b) 2 ][ /(0 - /(£ - 1)] = - /(O)
n
5- a) ^ [/ (i + 1) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / (n ) - f ( m ) - f ( m - 1)
i~m(P rop iedad Telescópica)
n
b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )
400
E je m p lo 1. Calcule el va lor de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4).
¡=5So lu c ión
Por la propiedad 3, se tiene
400 400 400
^ ( V 7 - V i — 1 + 4 ) = ^ ( v '7 - Vt - l ) -r y 4
; = £ ; = 5 i = S
E n la primera sumatoria, aplicando la propiedad 4-a para / ( i ) = V i , m = 5 y
n = 4 00 , se obtiene
400
^ ( V 7 - V i - 1) = (V4Ó 0 - v 4 ) = 18
1 = 5
En la segunda sumatoria, aplicando la propiedad 1-a para k = 4, m = 5 y
n = 400 , se tiene
^ 4 = (4 0 0 — 5 + 1 )4 = 1584
Por tanto,
400
]T(V7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^ 4 = 18 + 1584 = 1602
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INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 2. Calcule una fórm ula para ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2].
So lu c ión
- ;2S i / ( i ) = i 2 , entonces /(/ + 1) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2. p or tant0) por la propiedad telescópica 4-b, se tiene:
n
^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2n 2 + 2n ó 1 = 1
n
^[(¿ + l )2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l) (a)í — 1 .
C 'omo (¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2 = 4¿, reemplazando esta igualdad en ( a ) se obtienen
^ 4 i = 2n(n + 1)
1=1
De esta parte se deduce una fórm ula m uy conocida:
V 1 . n (n + 1)
L 1 ~ 2í = i
E jem p lo 3. U sando las propiedades de la sumatoria, demuestre que:
, V - n(n + l) , v V , n(n + l)(2n + 1)1=1 1=1
c) ^ ¿3 = n2(n + 1) 2 d) ^ ,4 _ n (n + 1 ) (6 n 3 + 9 n 2 + n - 1)
30i= i 1=1
So lu c ión
a) V e r ejemplo 2.
b) Consideram os / ( i ) = ¿3. U sando la propiedad 5-b, se tienen
^ [ ( t + l ) 3 - ( i - l ) 3] = (n + l ) 3 + n 3 - l 3 - O3
í = i
Sim p lificando en am bos lados y luego aplicando las propiedades 3-b, 2-b y 1-b de la sumatoria, obtenemos
n n n
^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n <=> 6 t2 + 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n
Í=1 1=1 1=1n n
<=> 6 ^ í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n 6 i 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + n
i= i ¿=i
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Finalmente,
n (n + 1 ) (2 n 4 -1 )
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
I 6í = i
c) y d) Ejercicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.
Z a ( a n — 1)a 1 = -------------- .
a — 1£ = 1
So lu c ión
Ap licando la propiedad 4-b a / ( i ) = a' y luego aplicando la propiedad 2, se tienen n ■ n
^ ( a ‘ - a ' - 1 ) = a " - 1 <=> ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 <=> ^ ( - --------)a‘ = an - 1
i = i 1=1 i = i
Finalmente,
V i _ a ( an ~ 1 )Z a ( a - 1 )
n
E je m p lo 5. Determ ine una fórm ula para ^ sen kx.k = l
So lu c ión
Para calcular la sumatoria de senos o cosenos, se considera como / ( i ) la
cofunción de la función que aparece en la sumatoria y se aplica la propiedad
telescópica 5-b. En este caso, f ( k ) = eos kx. Así, se tienen
^ [ c o s ( k + 1) x — eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1 k = i
Utilizando las identidades trigonométricas para c o s (a ± b) y sim plificando, se
siguen
^ ( - 2 sen x sen kx) = co s(n + l ) x + c o sn x — c o sx — 1
k = in
- 2 sen x sen kx — eos(n + 1) x + eos n x — eos x — 1k = 1
Finalmente,
zco s(n + l ) x + cosnx — e o s * — 1
sen kx = ---------------------------------------------------2 sen x
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INTEGRAL DEFINIDAn
Ejem plo 6 . Halle una fórmula para ^ fc fe!fc=i
So lu c ión
Si f ( k ) = (k + 1)!, p o r la p rop iedad 4-a, se tiene
n
^[(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1k = 1
n
J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - lk=l
Finalmente,
^fcfcl = (n + l ) ! - l
, „ r, v -> ta n h l9 / c xE je m p lo 7. Determ ine una form ula para > --------------- .
Z_i sech 19 kx k=1
So lu c ión
Z tanh 19 kx v~>— — = > se nh 19 kxsech 19 kx í -u
k= 1 k = l
Se procede de manera s im ila r a lo realizado en el ejemplo 5 para la función
trigonométrica. S i /(/c) = co sh 19 kx , por la propiedad 5-a, se tiene
H
^ [cosh 1 9 ( k + l ) x - co sh 1 9 (fc - l ) x ] = cosh 1 9 (n + l ) x + cosh 19 n x - co sh 19 x - 1
k-1
n
2 senh 1 9 x ^ senh 19 kx = cosh 1 9 (n + l ) x 4- cosh 19 nx — cosh Í 9x - 1
k = l
finalmente,
nV 1 co sh 1 9 (n + í ) x + co sh 19 nx - co sh 19 x - 1> senh 19 kx = ------------------------------------------------------------------------
Z -j 2 senh 19 xk = 1
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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN IIn
E je m p lo 8. Halle una fórm ula para /? = ^ bk se n (x + ky).k= 1
Solución
A p licando la propiedad 4-a a f ( k ) = bk se n (x + ky) , se tiene
n
s e n (x 4- ky) - ¿ k_1 s e n (x + (k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *
k= l a
n ^ n
^ b k se n (x + k y ) — b k se n (x + ky — y ) = a
fc=l_________________ k = lP
1 nP — — ¡T &fc[se n (* + /cy) eos y — sen y eos (x + /cy)] = a
fc=i
n/ c o s y \ se n y v-» ,( l -- — J p -\— - — ^ b k co s(x + ky) = a (1 )
k = l___________________ (
5
Para determinar (5), aplicamos el criterio inicial.
n
co s(x + ky) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y )] = bn c o s(x + n y ) — e o s *
k= l
^ n
S — — ¿ fc[co s(x + k y ) eos y + se n (x + ky) sen y] = b n co s(x + n y ) - c o sx
k= 1
Luego,
sen y b -S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos (x + n y ) — co sx ] (2 )
o - e o s y o - e o s y
Finalmente, reemplazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes, obtenemos
b ( b - c o s y )b 2 — 2¿cosy + 1
sen y (b n cos(x + ny) - eos x) sen(x + ny) — sen x ----------
b — eos y
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INTEGRAL DEFINIDA
E je m p lo 9. Determ ine una fórm ula para ^ ln(fe + 1).
k=1
So lu c ión
Desarrollando la sumatoria y aplicando las propiedades del logaritmo, se obtiene
n
^ ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)
k = l
= ln [2 .3 .....n. (n + 1)]
= ln [(n + 1)!]
E J E R C I C I O S
Determine una fórm ula para cada una de las siguientes sumatorias.
n
1
: = 1
. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1) R. y/2n + 1 - 1
Í = 1
100
I ln( ¡ d h ) R- - ' " ( 5151>k= i
3- I
n4 4 n
R.(4 fe - 3)(4fe + 1) ' 4n + 1k- 1
4Sugerencia: descom poner en fracciones parciales a:
4■ I(4fc - 3)(4fe + 1)
2k + 3k 3 1 16k ' 2 2 . 3 n 2 "
k = l
2k + fe(fe + 1) 1 1R. 1Z 2 +
2 ^ " (fe2 + fe) ' 2 n + 2 2 n_1/í = 1
e fc + 2 e 3n - e'1
k ~ 1
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16.
17.
TOPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II
n
Y —k = 2
^ V/c + i - Vfc
fl. 32?i + 1
?i(n 4- 1)
fc=i
il
1¡i = 1
n
I
V F T T
v ’n r 1 - 1
y 'n + 1
(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )R.
n 2 + 3 n + 3
2 ( n + 2 ) ( n + 3 )
( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 )
Z i ln kk[\n(k + l ) ^ 1]k = 1
Ife=i
2 k + 1k 2(k + l ) 2
U
^ c o s ( 3 k x )
/¿=i
A V IO '' 100 '=/
fe = l
100
+ 6k -f 4
^ s e n 2/c( 2 x )
k ~ l
100
f í .
n ( 2 x + n + 3 )
2 ( n + a: 4- l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1)
/?.1
R.
2 ln 2 ( n 4- 1 ) ln ( n 4- 1)
n ( n + 2 )R. ------------ -
(n + l ) z
se n 3 (n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x
2 s e n 3 x
2 6 9 / 1 0 2n - 1R.
9 9 9 V 1 0 2n
R.4 (n 4- 2)
/?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )
/?.1
fc=i
1
16 1 6 ( 5 " ) 598
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ì. ^ k x k 18 . > k x K~' fi.n x n+1 - (n + l ) x n + 1
IN T EG R A L D E F IN ID A
i x - 1 y fc=l
II
19. ^ 5 k s e n ( 5 k - x)k=l
5[(5 — cos 5)(5n sen(5n — x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n — x) — cosx]R.
4(13 — 5 cos 5)
I ; " "
n r16 csc kx
20
2 1 .
co t5/ex see9kxk = 1
4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) — sen 2x]R. 6n + -------------------------— — ------------------------+sen(2x)
[sen 4(n + l)x + sen(4nx) — sen 4x] sen 4x
1 e h - [3 sen a co s a ] k
3kk= lZ :
e [ ( 3 ) ~ l ] sen 2 a [( se n a co s a ) n - 1]
e - 3 s e n (2 a ) - 2
!- Z" 1 0 1 1 5
2 4 + lQk - 2 5 k 2 ^ 5 n + 4 + 5 n - 1 4k = l
23.
k = i
^ k 2k fi. (n - l ) 2 n+1 + 2k = i \
n
24. ^ c o s 2k3;c fi. co t23 x [ l - c o s 2n (3 x ) ]
k=l
k=l2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì ( l o g ^ v G 2 ( n + l ì )
V 1.-,-------- nfc V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 - l ]26. > [ V à T x ] fi. - 1 J
k = lV 3 + X - 1
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2.2.1 PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO
Definición 1. Sea [a;b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b] es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b. Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}.
Observación 1
i) Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],
ii) La longitud de cada subintervalo [x¡„1; x t\, para i = 1,2, ...,n , se denotacon Atx = x, — . Se verifica
n
y A¿x - b - a
(.=1
iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número
||P|| = máx{AiX / i = 1,2, ...,n}
iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada subintervalo es
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2.2 C Á L C U LO D EL Á REA DE UNA R EG IÓ N PLA N A P O R SU M A TO R IA S
Ax =b — a
nEn este caso, los extremos de cada subintervalo son
x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b
2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N D E L Á R E A D E U N A R E G I Ó N P O R Á R E A S D E
R E C T Á N G U L O S
Sea /: [a; b] -> R una función continua y no
negativa ( / ( x ) > 0 ) en [a;b]. Sea R la
región plana lim itada por las gráficas de
y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el ejex (llam ada re g ión bajo la g rá fica de / de a
hasta b) (fig. 2 .1).
Sea P = { x 0, x 1, x 2, ...,xn} una partición [a; b].Por la continuidad de / en [a;b] , podem os
elegir un conjunto de puntos u t , u 2, —, u n, de
tal manera que / ( u ¿) sea el va lor m ín im o de /
en [ x i - i j x j , i = 1 , 2 ,..., n. F'9' 2-1
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Asi, constru im os n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas
respectivas alturas son / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos rectángulos son
/ ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)Anx respectivamente.
I .os n rectángulos considerados forman el llamado polígono rectangular inscrito en R (fig. 2.2). E l área de este polígono lo denotamos con / (P ) , es decir,
71
K p ) = ' Y Jf (M i)A ix¡=i
INTEGRAL DEFINIDA
De manera sim ilar, elegim os v x, v 2, ..., vn en los n subintervalos de P, de modo
que / '( v ¿) es el va lor m áxim o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y constru im os los
n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas
son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n).
Kl polígono rectangular form ado por estos n rectángulos está circunscrito a la
región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C (P ) , está dada por-n
C(P) = 2 J f ( v ¡)Aix¡=i
Dadas dos particiones /\ y P2. S i / ( P J es el área del polígono inscrito y C (P 2)
es el área del po lígono circunscrito, se verifica
l (P \) < C (P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b] (I)
Sea L el conjunto de todas !as áreas de los polígonos rectangulares inscritos en R, es decir,
i = {/ (P ) / P e s pa rtic ión de [a; b]}
y U el conjunto de todas la áreas de los polígonos rectangulares circunscritos a R, esto es,
U = ( C ( P ) / P e s pa rtic ión de [a; b ]}
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN U
C om o cada número del conjunto L es menor o igual que cualquier núm ero del
conjunto U (por I), entonces L es acotado superiormente y U es acotado
inferiormente. Por lo tanto, existen
= s u p (L ) y As = in f (U)
Por definición de ínfim o y de supremo, se verifica
/ (P ) < A¡ < As < C(P), de donde A¡ < As
Por lo tanto, el áreai4 de la región R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre At y As , es decir, A¿ < A < As
Se demuestra m ás adelante que A¡ = A¡. Luego, se puede definir el área A de la
región R com o
Tam bién se demuestra que si t1( t2, — , tn son puntos e legidos en los n
subintervalos, es decir, t¿ E [xi_1; x¡], i = 1, ...,n; entonces
Observación 2
i) Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . .n ) y teniendo en cuenta que ||P|| -> 0 <=> n -* oo, entonces (II) puede ser escrito como:
(Esta fórmula es un caso particular).
ii) Si cada t¿ es el extremo izquierdo de cada subintervalo. entoncest ¿ = a + (i - l ) A x , i = 1,..., n
E je m p lo 10. Por rectángulos inscritos, calcule el área de la región R lim itada por
las gráficas de y = x + 1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.
L a gráfica de la región se muestra en la Fig. 2.4. En este caso, f ( x ) = x + 1,
a = 0 y b = 3. C om o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extremo
izquierdo de cada subintervalo, es decir,
A — A¿ — As
(10
( I I I )
b — adonde Ax = , = a + ¡Ax , i = 1, ...,n
n
So lu c ión
3 - 0 3t¿ = a + (t — l)A x , i = 1 .... n , donde A x = ---------= —
n n
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3 3 3 3 3Kntonces t¡ = 0 + (/ - 1) - = - i -----y f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .
n n n n n
l’or tanto, utilizando la fórm ula dada en la observación 2 y la sum atoria de i, leñemos
INTEGRAL DEFINIDA
A = limn-»co
= lim -*->oo /n
Fig. 2.5
E jem p lo 11. Por rectángulos circunscritos, calcule el área de la región R lim itada
por las gráficas de y = x 2 , x = 3 y el eje x.So lu c ión
l;.l gráfico de la región R se muestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce
que a = O , b = 3 y, por tanto, Ax = 3/n.
C om o / es creciente en [0; 3], / tiene valor m áxim o en el extremo derecho de
cada intervalo. A sí,
t¡ = a + iAx ó ti = - i y f ( t i ) = — i 2
Luego,
A = lim I- Y Vn-*co \ n Z - i n ¿ i= i
n-*co \ u J n-*co \ j l '
27 n(n + l)(2n + l)3 £
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
E n los ejemplos que siguen, no se tendrá en cuenta los rectángulos inscritos ni los
rectángulos circunscritos. L o s puntos serán considerados com o los extremos derechos de los subintervalos.
Ejem plo 12. Calcule el área de la región R lim itada por las gráficas de
y = 3 + x + x 3, x = — 1, x = 2 y el eje x.
Solución
a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3
12 27 „ 273 3A x = — , ti = — 1 + — i
n n y / ( t , ) = i + Ir ¿ - - t í 2
Para calcular el área de la región (Fig. 2.6), se tendrá en cuenta la sumatoria de i,
de t2 y de i 3.
A = limn-* oo
3 ^ / 12 27 27 \- ) 1 + — i - — i 2 + — i 3 n ¿ j \ n n 2 r? )
¡ = i
[3 f 12 n ( n + 1) 2 7 n ( n + l ) ( 2 n + 1 ) 2 7 n 2 (n + l ) 2= lim — n H ----------------------------------------------------------1- — -----------------
n n 2 b 4
= limn-*oo
3 1 + 6 5 7 2
Fig. 2.6 Fig. 2.7
Ejemplo 13. Calcu le el área de la región R lim itada por las gráficas de y = e x. x = O , x = 1 y el eje x.
Solución
La región se m uestra en la Fig. 2.7. La longitud de cada sub interva lo es A x = — ,
1 h 71 ti = ~ i Y f( t ¡) = en
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IN T E G R A L D E F IN ID A
I n este caso, usaremos el resultado obtenido en el ejemplo 4 para a = Así,
1 e l/ n [(g l/ n y l _ j yA = lim
limn-»cn
— / en n L-a
= limn —»co
1 en(e — 1)
n e 1/11 — 1
,1¡n _ ]_
1
= (e - l ) l im
,1/nn
( * ) Se hace el cam bio de variable x = — => lim- e l/n
= (e - 1) u 2 ( * )
x e= l im — — - = 1.
n n->oo e 1/n — 1 x->o e x — 1 (A l aplicar la Reg la de L ’Hópital al últim o límite)
E je m p lo 14. Ca lcu le el área de la región bajo la gráfica de f { x ) = s e n * en 10; 7T/2J.
So lu c ión
La gráfica de la región se muestra
en la Fig. 2.8. A sí, tenemos
n= s e n ^ ¿.
limn-*-»oo
TT V “ * TI— > s e n — i 2n jLu 2n
í= i
= limn-*oo
712 n
i 1 + c o s £ ) - cos ( n S - cos (n + i
2sen®( * * )
= lim1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos
sen (s )( s )
[1 + 1 - 0 - 0 ]
■ W ) .1 u 2
( * * ) Se usa el resultado del ejemplo 5 para x = n ¡2n .
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 15. Calcule el área de la región bajo la curva y = senh x en [0 ; 1],
So lu c ión
La región R se muestra en la fig. 2.9.
Se tiene
1 1 (\ \Ax = - , t ¿ = - ¿ y / ( t í ) = senh - ¿
n n \n J
í É senhG i)1 = 1
i c o s h ( n + 1 ) —+ c o s h ( n ■ — — c o s h i1 v J n \ nJ n
A = limn-> co 7
y - senhx
/
Fig. 2.9
limn->cc
- limn-*co
2 Se „ h ( i )
cosh ( l + i ) + cosh 1 — cosh — 1 2 c o sh ( l) - 2( c o sh ( l) - l ) u 2
E je m p lo 16. Ca lcu le el área de la región lim itada por las gráficas de y = 2\¡x ,
eje x, y x = 9.
So lu c ión
Para evitar la sumatoria de la raíz cuadrada, tom am os com o variable
independiente a la variable y, es decir, / ( y ) = y 2/4. La región está lim itada por
las curvas / ( y ) = y 2/4, .9 (y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).
•El área del i-ésím o rectángulo es [g(Zi) - / (z , ) ]A y .
Por tanto, el área de la región está dada por
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INTEGRAL DEFINIDA
^ = *im4 AyZ ^ (zí)- /(z4
donde A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i , g ( Zi) = 9 y f (z ¡ ) = Í ( - A = ~ i n n 4 \rc ) n ¿
6 V 9- ) ( 9 ------ i 2)ruL-¡ n-
9(.orno g (z , ) - f (z¡) = 9 - — i2, se tiene 4 = lim
n*- n-* oo= 36 u 2.
E J E R C I C I O S
i:n cada uno de los ejercicios siguientes, encuentre el área de la región lim itadapor las curvas dadas.
1. y = (x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e * R. 2 3 8 5 / 4 u 2
2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x R. 8 /3 u 2
3. y = 4 - x 2 y el eje x R. 3 2 / 3 u 2
4. y = 4 - |x|, x = - 4 , x = 4 , el eje x R. 8 u 2
5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4 R. 3 2 / 3 u 2
6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x R. 1 / 2 u 2
7. y = 12 - x 2 ,e je x , x = - 3 , x = - 2 R. 3 0 5 / 6 u 2
8 . y = 2 - ' ! * ( , e je x , x = - 2 , x = 2 R. 4 u 2
9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2 /?. 16/3 u 2
10. y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , con 0 < a < b
m ( ¿ 2 - a 2)R- ------- V
• 2
11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1, x = 4/ 1 3 V 2 \ ,
"■ l 3 - 4 j "
412. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i /?. 1/6 u 2
13. y = co sh x , x = 0 , x = l , e je x ñ. s e n h ( l )w 2
• n n14. y = e o s x , x = x = - , e je x /?. 2u
1 5. 4 y = (x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y - - ( 4 + x ) 2
16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3
K. 6 4/ 3 u 2
R. 5 7 u l
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E n esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funciones
consideradas están definidas en un intervalo / = [a; b], con a < b.
Definición 2. S i P x y P2 son dos particiones de /, se dice que P 2 es un
refinamiento de Px cuando c P 2 , Se comprueba fácilmente que si P 2 es un
refinam iento de Pj , entonces ||P2|| < H H .
Definición 3. Sea una función acotada en / = [a; b] y
P = {x0, x 1, ...,xn } una partición de /. C on I¡ denotamos al j-é sim o subintervalo
de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1,
C om o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que
m¡ = in f {/ (x ) / x e Ij} ; M¡ = s u p {/ ( x ) / x G !¡}
Se cumple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡, j = 1,2, ...,n.
Defin im os:
a) La su m a in fe r io r de / para P, que se designa con S (/ ; P ), se define com on n
S (f ; P ) = ^ m j(x j - xH1) = £ m ;Ayx
7=1 7=1
b) L a strma su p e r io r de / para P, que se denota con 5 (/ ; P ), se define com on
S ( / ; P ) = ^ M , A , x
j'=l
E je m p lo 17. Sea / ( x ) = k la función constante defin ida en / = [a; b}. L a
gráfica de la función se muestra en la fig. 2.11. Se tienen n
S_(f. P) = ^ kAjX = k ^ áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) / x e //}■ • 7 = 1
n n
S ( f , P ) - ^ fcA/X = k y A ,x = k ( i - a ) , d on d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 11
2.3 SUM A S U P E R IO R Y SU M A IN F E R IO R
Fig. 2.11
112Fig. 2.12 www.FreeLibros.com
(E jem p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a;b] , entonces
n
£ ( / . p ) - * j - i A jx , donde xh x = in f{/ (x ) / i e l¡],j = 1 , 2 , , n
j = i
n
= ^ ]x jA jX , donde = su p {/ (x ) / x E 1¡},¡ = 1,2 j~ 1
I ;i gráfica de la función se muestra en la Fig. 2.12.
I.jcm plo 19. Considerem os " la función de D irich let”
c , s ( 1 , s i x es rac iona l , r ,
lo , si x es irrac iona l 1 x e ~ ]l’ara cualquier partición P se verifica que m¡ = 0 y M¡ = 1 , j = 1,2, ...,n.
Luego,
n n
O.A; x = 0 y 5 (/ ,P ) = l . A ;x = ¿ - a¡= i j= i
2.3.1 S I G N I F I C A D O G E O M É T R I C O D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S
Las sum as superior e inferior poseen una interpretación geométrica simple.
Ln primer lugar, analicem os el sign ificado del producto hjAjX, donde h¡ es nijó Mj y Aj'x es la longitud del subintervalo Ij = [ x j ^ x j ] .
S i hj > 0 . entonces hjAjX es numéricamente igual al área del rectángulo de base
/, y altura h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es
numéricamente igual al opuesto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡.
Por esta razón, al núm ero hjAjX lo denom inarem os área a lge b ra ica del
rectángulo cuya base es Ij y altura es \hj\ , es decir, el área algebraica es positiva
si el rectángulo esta sobre el eje x y negativa, si está debajo de eje x.
lin la sección 2.2.2 (figuras 2.2 y 2.3), v im os que cuando / es no negativa en /,
S_(f>P) y S ( f . P ) (que denotam os por I {P ) y C ( P ) ) son, respectivamente, las
áreas de los po lígonos rectangulares inscrito y circunscrito a R, donde R es la
región lim itada por las gráficas de /, las rectas x = a , x = b y del eje x.
INTEGRAL DEFINIDA
S( f , P) = Y
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E n las figuras 2.13 y 2.14 se muestran, respectivamente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a una función que no necesariamente es positiva.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
La condición de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los
valores m¡ y M¡ . Estos números se definieron com o los ín fim os y suprem os, en
vez de m ín im os y m áxim os (com o se hizo en la sección 2 .2 .2 ), ya que en esta oportunidad no se ex ig ió qug / sea continua.
2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S
C om o / es acotada sobre /, existen m y M tales que
m = i n f { / 0 ) / x E I } y M = s u p { / 0 ) / x E /}
P ro p o s ic ió n 1. Sea / una función acotada i'n / = [a;b] y P = [x 0,x-i. ..., x n }una partición de /. Entonces
m ( b - a ) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M( b - a ) ( 1)
D em o stra c ió n
Se tiene m < m , < Mj < M. M u ltip licando todos ios térm inos por A¡x > U y
sum ando las relaciones obtenidas para j = 1,2 ,..., n , obtenemos
n n n n
^ mAjX < nijAjX < ^ MjAjX < MA¡x ó
7= i 7 = i ; = i j= i
« n
m X A¡x - ajxj= i j= i
n
Com o ^ Ayx = b - a, entonces m (b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M(b - a).
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INTEGRAL DEFINIDA
P rop o s ic ió n 2. S i / es una función acotada en /, y Px y P2 son dos particiones
de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces
‘0 •!(/. Pi) < S( f , P2) y S ( f , Px) > S( f , P2)
b) S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces
í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\
S(f.P1)-S if,P2)<r^M-m)\\Pi\\D em ostrac ión (se deja com o ejercicio para el lector).
P rop o s ic ió n 3. Sea / una función acotada en /, y Px y P2 dos particiones
arbitrarias de /. Entonces
• S ( / . P 1) < 5 ( / . P 2) ( 2 )
D em ostrac ión
Sea P — P1 U P2. C om o Pt c P y P2 c f , por la proposición anterior, se tiene
S t f . P j l Z S i f . P ) y S ( f , P ) < S ( f , P 2)
Por la proposición 1, se tiene S JJ .P ) < S ( f , P ) . Luego.
S ( M ) < S ( f , P 2)
2.4 I N T E G R A L E S I N F E R I O R E S Y S U P E R I O R E S
Denotem os con D al conjunto de todas las particiones posibles de l. S i f es
acotada en /, la desigualdad (1) es verdadera para todo P e D y asegura que el
conjunto { S ( f , P ) /■ P 6 D) es acotado superiormente v- el conjunto
\ S ( f , P ) / P e o ) es acotado inferiormente.
D e fin ic ión 4. S i / es una función acotada en /, el número s u p {£ (/ , P ) / P 6 D} se denom ina integral inferior de / en / y se indica com o
]_= f f ( x ) d x = sup (S( f , P ) / P e D]Ja
El número in f ( S ( f , P ) / P e D) se denom ina integral superior de f en / y se
indica como
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2.4.1 P R O P I E D A D E S D E L A S I N T E G R A L E S S U P E R I O R E S E
I N F E R I O R E S
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
S i / es función acotada en /. entonces
_ r b r b
]_ < J ó I f { x ) d x < I f { x ) d x Ja Ja
(3 )
2. S i / es función acotada en /, entonces
m { b - a) < ) _ < ] < M( b - a) (4 )
donde m = in f { f ( x ) / x E 1} y M = su p { f ( x ) / x E /}.
3. S i / es acotada en /, existen q y c2 E I tales que
¿ = f ( c - j ( b - a) y / = / ( c 2) ( ¿ - a ) (5 )
de m odo que m < / ( q ) < f ( c 2) < M.
4-. S i / es acotada en / y c E ( a ; b ) , se tiene
'•O pC r Of ( x ) d x = j f ( x ) d x + I f { x ) d x
b r C r b
f ( x ) d x = J f ( x ) d x + J f ( x ) d x
2.5 I N T E G R A L D E R I E M A N N
D e fin ic ión 5. Se dice que una función acotada f : ¡ - > K es in tegrab le R ie m a n n
en / sir b
íJa
J = [ f ( x ) d x = í f ( x ) d x = f f ( x ) d x*'a Ja Ja
Por sim plicidad, se llama in tegra l de / sob re / o in tegra l de fin ida de / sob re /
o in tegra l de / de a hasta b.
En j f ( x ) d x , el sím bo lo j es llam ado sím bolo de in te grac ión .
Este sím bolo, que es una S alargada, fue introducido por Le ibn iz para representar
la suma, que proviene de la palabra latina “sum m a” . Adem ás, f ( x ) es el
integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, el número a es el límite
inferior y b es el lím ite superior. L a variable x no tiene sign ificado especial, ya que
í f f á d x = í f ( z ) d z = í f ( t ) d t = í f ( y ) d y - í f {u )du Ja Ja Ja Ja Ja
etc.
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l'.jcinplo 20. Sea f ( x ) = k la función constante. Por el ejemplo 16, pars
/ = [a; b] se tiene S ( f , P ) = S(J, P = k ( b — a).
Entonces J = ] = k (b — a ). P o r lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene
r b
k d x — k ( b - a )
INTEGRAL DEFINIDA
JJa
E jem p lo 21 (func ión no integrable). Considerem os la función de D irichlet
/': [0; 1] -» IR, definida por
x es irrac iona l
x es rac iona l
Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:
S ( / ; P ) = 0 y 5 ( / ; P ) = l
Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.
Observación 3. Interpretación geométrica de la integral definida de una función continua f en [a; b].
De la interpretación geométrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1), deducimos que si R es la región plana limitada p o r las gráficas de f , las rectas X = a , x = b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región R; entonces
a) Si f ( x ) > 0, V x 6 [a; b ] , A(R) = f f ( x ) d x*a
b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d xJQ
c ) Si al número I f ( x ) d x lo l lam am os área a lgebraica , p a ra una funciónJa
arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas por la gráfica de f y el eje X, desde x = a hasta x = b.
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TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II
E je m p lo 22. L a gráfica de / consta de
segmentos de recta y una semicircunferencia,
com o se indica en la figura adjunta. Halle:
a) í / ( x ) d x b) í f ( x ) d xJ o J -6
c) f / ( x ) d x d ) f |/(x)|dx•'-6 J-6
e) E l área de la región lim itada por la gráfica
de /, el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 .
So lu c ión
a) C om o el área del círculo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = Ió í t u 2, entonces
A= —4 ti
i
4
k
i \ i \ i \
y */■ i / * i/ ! !
“6 V y 5 ¿ x
-4
í A,J / W ^ = - T = -
b) Dado que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v es /12 = 4 u 2/4
y el área del sem icírcu lo es A = — = 8n u 2, entonces
í f ( x ) d x = í / ( x )d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt.J - 6 J - 6 J —4
c) Puesto que la integral definida desde —6 hasta 8 está form ada por la sum a de/ A2 \
áreas algebraicas de un triángulo (A2 = 4 ) , de un sem icírcu lo — = — 8n j,
de un triángu lo (Á3 — 2) y de un rectágulo (A 4 = 12), entonces
r 8 r — 4 /• 4 r 5 /* 8
I / ( x ) d x = I / ( x ) d x + I f ( x ) d x + I / ( x ) d x + I / ( x ) d xJ - 6 J - 6 J - 4 J 4 J s
= 4 + ( — 87t) + 2 + 12 — 18 ■ 87T
d) C om o |/(x)| = — / (x ) , V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces
í / ( x ) d x = f / ( x ) d x - í f ( x ) d x + í f ( x ) d x + í f ( x ) d xj - ó J - 6 ■ '-4 **4 Js
= 4 - C— 8 tt) + 2 + 12 = 18 + 8 tt
e) E l área de la región pedida es
4 ( R ) = í |/(x)| d x = [ f ( x ) d p T h ( ( - / ( x ) ) d x + [ / ( x ) d x + í f ( x ) d x J - 6 J - 6 • '- 4 -M ->5
' = 4 — ( —87r) + 2 + 1 2 ( 1 8 + 87r) u 2
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INTEGRAL DEFINIDA
Teorem a 1 (C riterio de integrabilidad de Riem ann). Si / es una función;icotada en /, una condición necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es que dado e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que
S ( f , P ) - S ( f , P ) < £ (6 )
Demostración
;i) ( = * ) Por hipótesis, / es integrable en /. S i ¿ = s u p [ S{ f , P) / P e D }, dado
£ > 0, existe una partición P1 de / tal que
J _ - ¿ < S ( f . P i ) ó ¿ - K f . P J < | (7 )
Por otro lado, siendo ] = in f{ S ( f , P ) / P e D) y tomando el m ism o e > 0 ,
existe una partición P2 tal que
S ( f , P 2) < 7 + | ó S ( f , P2) ~ ] < E- (8 )
Sum ando m iem bro a m iem bro las desigualdades (7) y (8 ) y considerando que
/ = ] , obtenemos
S( j r, P2) - S ( f , P 1) < E
Considerando Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P2 ), tenemos
S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P2) - S( f , P J < £
b) ( < = ) Supongam os que dado £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es verdadero. C om o
J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P )
se obtiene 0 < J — J < 5 (/, P ) - S(/, P ) < e. C om o £ es arbitrario, se obtiene
7 - 7 = 0 o 7 = 7
Por tanto, / es integrable en /.
Hasta ahora, I f ( x ) d x se ha definido solo si a < b . Por conveniencia, se dan
¿as siguientes definiciones:
Definición 6. S i a < b , se define
I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , siem pre que I f { x ) d x exista. h Ja Ja
Definición 7. S i / es una función definida en o. se define
I,-af ( x ) d x = 0a
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
P rop o s ic ió n 4. S i f es una función continua en / = [a; b], entonces / es
integrable en /.
La demostración se deja com o ejercicio al iector.
2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
1. S i / es una función integrable en /, entonces es integrable en cualquier subintervalo [c; d] c /.
2. S i f es una función integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es integrable en / y se tiene:
f k f { x ) d x = k í f ( x ) d x (9 )Ja Ja
3. S i / y g son funciones integrables en I, entonces / ± g es integrable en / y se tiene:
r b p b r b
l f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ f ( x ) d x ± I g( x ) dx ( 1 0 )Ja Ja Ja
4. Si f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en I = [a; b] y se tiene:
f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í f ( x ) d x (11)Ja Ja Je
(Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración).
Esta propiedad es válida para tres números arbitrarios a , b , c siempre que las tres integrales existan.
5. S i / es integrable en I = [a; b] y f ( x ) > 0 , V x E I. entonces
f f ( x ) d x > 0 ( 1 2 )Ja
6 . S i / y g son funciones integrables en / y f ( x ) < g( x ) , V x E /, entonces
í f ( x ) d x < í g ( x ) d x (13)Ja Ja
7. S i / es integrable en / = [a; b] y m < f ( x ) < M, V x E /, entonces
m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b - a ) (14)-'a
8 . S i / es integrable en I, entonces
f /(x )d x | S í \ f ( x ) \ dx (15)Ja I Ja
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1N I hC jKA L D t r lN IU A
2.5 .2 T E O R E M A D E L V A L O R IN T ER M ED IO PA R A IN T E G R A L E S
Teorem a 2. S i / es una función continua en I = [a; 6 ], entonces existe un
número c G / tal que
í f ( x ) d x = f ( c ) ( b - a ) Ja
Dem ostración
E l Teorem a del V a lo r Intermedio de una función continua indica: “S i f es
continua en [a; b] y se cum ple que / ( a ) / '( ¿ ) , entonces para cualquier o)entre / ( a ) y f ( b ) existe un número c entre a y b tal que / ( c ) = 6)".
Por hipótesis, / es integrable en /, pues / es continua en I (Prop. 4). Luego, por
(14), se tiene:
m( b — a) < f f ( x ) d x < M(b - a) Ja
donde m y M son el m ín im o y el m áxim o absolutos de / en I, respectivamente
(estos valores existen porque / es continua).
Luego, m = f ( x m) y M = f ( x M ) , con xm y x M G / , y
f b f ( x ) d x
f (Xm) ~ b - a ~ / ( * m)
Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe c entre xm y x M (c G /) tal que
fb f ( x ) d x r bf (c) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I
b - a Ja
2.6 T E O R E M A S FU N D A M EN T A LES D E L C Á L C U L O IN T E G R A L
Teorem a 3 (P rim er T eorem a Fundam ental del Cálculo Integral o T eorem a de B arrow )S i f es una fu n c ió n c o n tin u a en / = [a ;b ] y F es la fu n c ió n d e f in id a por
F(x) = I f { t ) d t , x G /, entonces se tiene
F '( x ) = ¿ ( / f ( t ) d t j = f ( x ) , v x e i
Dem ostración
Por definición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene
, ,. F( x + h ) - F ( x ) f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d tF ( x ) = l im ------------ -------------- l im ----------------- r-----------------
h-* o h h-*o h, ! * f w t + c k f w t - s * f w t r v ( í ) d í
= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------h-*o h h-o n
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Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que
r X + h .
I f ( t ) d t = / ( c ) ( x + h - x ) = h f ( c )Jx
Luego,
F'(x) = lim , c entre x y x + hh->o h }
F '( x ) = lim f ( c ) , c entre x y x + h h-0
F'(x) = / (x ), V x E / , e s decir, F es una antiderivada de / en /.
Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una antiderivada dada por F(x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /.
es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe F(x) = / * f ( t ) d t tal que F' (x) = f ( x ) , V x G7. Como F( a) = 0 , F es la antiderivada de f en l cuya gráfica pasa por el punto (a; 0 ).
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
T eorem a 4 (Segundo Teorem a Fundam ental del Cálculo Integral)
S i / es una función continua en / = [a; b] y F es una antiderivada de f en /
( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces
[ f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [ F(x) ]b (1 6 )Ja a
Dem ostración
C om o F es una antiderivada de / en / y, por el primer teorema fundamental,
F definida por F ( x ) = / f ( t ) d t es también una antiderivada de / en / , entonces
existe una constante c tal que F(x) = F( x ) + c , V x E l.
A sí, tenemos
F(b) = F(b) + c = f f ( t ) d t + c y F(a) = F(a) + c =*a
C om o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces
F( b) - F ( a ) = f f ( t ) d t Ja
C om o la variable t no tiene sign ificado especial, se concluye
í f ( x ) d x = F( b ) - F ( a )■'a
1f ( t ) d t 4- c
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INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5
n) \F (x ) ]ba es una notación para F(b) — F(a) .
h) La fórmula dada en (16) es llamada “Fórmula de Newton-Leibniz” debido a que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno del otro, la relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre que se le da a esta fórmula es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.
c) Obsérvese que la diferencia F(b) - F( a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.
a) Siendo / ( t ) = 1 / (1 + t 2) una función continua, por el prim er teorema
fundamental, se tiene F' (x) = 1/ (1 + x 2) , V x > 0 (es necesario notar que
F' {x) = 1 / (1 + x 2) es válido para todo x e R ). C om o F' ( x ) > 0 , V x R ,
entonces F es una función estrictamente creciente en R .
b) F"(x) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de inflexión en x = 0).
c) F ' ( 1) = 1/ 2 .
Finalmente, dado que F '(x ) = 1/ (1 + x 2) , entonces F (x ) = a rctan x + C para
alguna constante C. C om o F ( 0 ) = 0, entonces
0 = a rctan (O ) + C => C = 0, es decir, F (x ) = a rctan x
E jem p lo 24. Calcule el va lor de cada una de las integrales
So lu c ión
a) U n a antiderivada de f ( x ) = 1/(1 + x2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rctan x (en esta antiderivada, por la obs. 5-c, no se considera la constante). Luego,
E je m p lo 23. Sea la func ión F { x ) = ------- - d t . CalculeJn 1 + t0
a) F '0 0 b) F"(x) c) F’( 1)
So lu c ión
f dx 1 ■■■ 7T y 7T\ nJ T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = a rc ta n ( l) - a r c t a n ( - l ) = - - - J = -
r 1t/2 jj.b) J sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosOj = 1o
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= Co
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
c) f e* dx = = e 1 — e° = e — 1Ja
f 1 1d) I senh x d x = [co shx ] = c o sh ( l) - 1
Jq u
Com pare las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) con las obtenidas en los
ejemplos (13), (14) y (15) de este capítulo.
E je m p lo 25
i) Sea G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde /: / = [a; b] -> R es continua y u = w (x ) es
una función derivable (u: —» /). Pruebe que
dG'(x) = / ( u ) . u ', donde u' = — ( u ( x ) )
ax
ii) Sea H( x) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x) tienen las condiciones dadas en
(i). Dem uestre qued
H' ( x ) = - / ( u ) . u ', d onde u ' = — (u ( x ) )dx
So lu c ión
i) S i F ( x ) = / * f ( t ) d t y u = u ( x ) , entonces
( F o u ) ( x ) = F ( u ( x ) ) = f ( t ) d t = G(x) . Por la regla de la cadena, se tiene
G'(x) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '( u ) . u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / (x ) .
E n resumen, G '( x ) = / ( u ) .u '.
ii) H( x) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t
Por (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.
3 12 + 9 sen t + 15 ^E je m p lo 26. S e a G (x ) = í — — -— —dt y W (x) = f
J_3 1 + 9 sen2t
Halle: a) G '( x ) b) t f '( x )
So lu c ión
a) U sando el ejemplo 23-i), para / ( t ) = 1/ (1 + 9 se n 2 1) y u = x 4, se tiene
1 4 x 3C 'W = 3 - r ^ ------^ ‘ 4 x 3l + 9 s e n 2( x 4) l + 9 s e n 2( x 4)
b) U sando el resultado del ejemplo 23-ii), obtenemos
. 1 , 3 x 2H M = -----r — :-----r r — - • 3 x
x 6 + 9 se n (x 3) + 15 x 6 + 9 s e n (x 3) + 15
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rX*INTEGRAL DEFINIDA
Ejem plo 2 7 . Si G(x) = [ I j l + y 3 d y ,h a lle G '(x ).Jx2
So lu c ión
C om o / ( y ) = ^/1 + y 3 es continua en M, entonce s
G ( x ) = f y i + y 3 d y = f \ ] l + y 3 d y + í X j l + y 3 d y Jx2 ¿x2 J o
Luego,
G '( x ) = - \ ¡ l + x * • 2 x + V l + x 9 • 3 x 2
= x [3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]
r 1 jx ld xE jem p lo 2 8 . Calcu le el v a lo r de -------- -
1 + x 2So lu c ión
Si / ( x ) = { ^ 2 ’ e n tonce s / ( * )1 + x 2 '
X
“ l + x 2
si x > 0
, s i x < 0
Para calcular esta integral, se aplicará la propiedad aditiva respecto al intervalo de integración. E n efecto,
f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l dx + í ■ * dxJ- 1 J - i J_x l + x 2 J0 1 + x 2
r l i° r l i 1= - [ - l n ( l + x 2)j - l n ( l + x 2)]^
= ln 2 ) + | ( l n 2 ) = l n 2
Ejem plo 29. Calcule J = í |x2 + x — 6 | dx.J~4
So lu c ión
La variación de s ignos de x 2 + x - 6 = (x + 3 ) ( x - 2 ) es
+ - +
- 3 2
lu e g o |;t2 + x - 6 | = í A:2 + * _ 6 ' s i x 6 ( - 00; - 3 ] u [ 2 ;+ co ) i.uego, |x + x 6 | l _ ( x 2 + x _ 6 l s i x 6 < _ 3;2>
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Ap licando la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f \x2 + x - 6\dx = í (x2 + x - 6 ) d x - f (x2 + x - 6 ) d x + f (x 2 + x - «'—4 ■'—4 J—3 Jo
2
(3
3 v 2
6 )dx
-3+ lT + T - 6,
■ i - i "
125\ 38 1096 ) + T - T ~
E je m p lo 30. Sab iendo que x > 9, resuelva la ecuación:
16 dt
i9 V2(16 - t 2) 327T / 2 + yfx \ 3
= — + ln 1 ------ I - 2 arctan - — ln 5 ... (a)Syfx - 10
So lu c ión
, , f 16 dtEn p rim er lugar, calculam os la integral I - = ------------- u sando la sustitución
J Ví(16 — t2)t = u2 y dt = 2udu. D e esta manera,
f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 f 4i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2 + J 4+ü* d“
, |u + 2| aín lVF+21 ' /Vt\= ln ---- - + 2 arctan (-) + C = ln —---- + 2 arctan —- + C
\ u - 2 \ ' 2 ' V t-2 \ 2
Luego,
i
16 dt9 Vt( 16- t 2)
Vt + 2 Vt 1InV t-2
+ 2 arctan(—)
Vx 3+ 2 arctan — — 2 arctan - - In 5
O'V i
, , + 2 arctan—— 2 a r c t a n - ... (ß)V s V z - 1 0 ) 2 2
Reem plazando (/?) en (a), se tiene
. / Vx + 2 \ V? 3 2irln + 2 arctan T - 2 arctan 2 = T +
<=>
ln ( 4 ± i L ) _\ S y i x - l Q )
V * 2n A / x \ n 4 x ,ns V *2 arctan — = y » arctan I — 1 = - <=> — = tan (-J » — = V3
2 arctan
Finalm ente, x = 12.
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I . Kn cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la derivada de las siguientes (unciones.
INTEGRAL DEFINIDA
E JE R C IC IO S
..) /■
I»)
■'(x) - j co sh (2 t 2 + 1) dt
J”Senx ^
------------d ta arcsen t
C) f í [ y -— ^ — r d t ) dy'2 \ J 8 1 + 1 + sen2t j *
d) F(x) =• 'a
R. F'(x) = 2 cosh ([8x2 + 1)
*■ F 'w = Í t t A + sen2td t
r*3 1 j.
rJ0 i + s e n 2 teos2 ( y 2 + 4 )d y
e) FQ t) = sen | J s e n ^J sen3t d t ] d y
2. Sean/•arcsen cosArj
F ( x ) = / (se n t ) d t -A /3
J - s e n x ______ ____________
<Jg(t) d t = V i - . e o s xsñ
J
1 — sen x1 4- sen x
r f W dtHalle H'(x) si H( x ) = í ____
•'g(x) ( 1 - V l - x 2) ^
1 \ 16
T '
/?. a = — 2 ó 1
f3 X + 1 2 / I3. Si f Ct j d t = ----- h a x , calcule los valores de a de m odo que f -
JQ ax \4.
[ x* t s4. Si F(x) — J 1 + {4 d t , halle F'(x).
s X + X 2
5. Si G(x) = I 2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .■>x2+i
r e*6 . Si F ( x ) = I x ( t 2 + l ) d t , calcule F '( x ) .
7. Sea G(x) = I f ( t ) d t , donde f • 1 -* R es una función continua y las •Vi(x)
funciones , <Pz ' . ] - *I , que son funciones derivables. Dem uestre que
G '(x ) = f(<p2(x)) • <p'2 ( x ) - /O P iO O ) • < p 'i(x )
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TOPICOS DE C A LC U LO - V O LU M E N II
8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en
[ - 1 ; 2], con F ( - 1) = 3 y F(2) = 7, calcule J f ( x ) dx . R. 4
9. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función g. S i f es la función
definida por f ( x ) = J ^ g C O d t , x G [ -3 ; 8 ], y tCalcule gráficamente:
a) / ( — 3) b) / (O ) c) / ( 8 )
R. a) 0 b) 6 c) 34 -3 6 8
10. Sea /: [ - 6 ; 6 ] -> E una función continua y g: [ - 6 ; 6 ] ->
im par continua, tal que I / ( x )d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle:J-6 “'-6
rO
una ¿unción
a) í t/ (x ) + £ (x ) ] d x fí. 12 b) [ [/ (x ) + s # ( x ) ] d x R. 20 •'-6 •'-6
11. En los siguientes ejercicios, calcule / (2 ) sabiendo que / es continua y
verifica la ecuación dada para todo x > 0 .
a ) [ f { t ) d t = x 2( l + x )Jo
b)
X2í f ( t ) d t
■'Ox 2( l + x )
R. 16
2 + 3 V 2
r f W
c) I t 2 d t = x 2( l + x ) J o
r X 2 {l + l)
R.L
R. V 3 6
1d ) f f ( t ) d t = x
12. Dem uestre que si / es continua, entonces
J f ( u ) ( x - u ) d u = J ^ J f ( t ) d t ^ j d u
Sug: considere F(x) = I f ( u ) ( x - u ) d u , entonces F '( x ) = I f ( u ) du .Jo J o
Luego, halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante.
13. A partir del ejercicio anterior, demuestre que
du[ Xf ( u ) ( x - u ) 2du = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z Jo •'o lyo \Jq J
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14. H alle f ( x ) s i = ■ 1 , V x > 0.v i + se n 2*
15. Ca lcu le el va lor de las siguientes integrales:
a) J x 3 dx b ) J (x + l ) 3 dx
f 1/2 1 r 2 xc) I i d ) ;------- 7 dxJ o V i - x 2 Ji 1 + x
INTEGRAL DEFINIDA
e)J - i 1 + 1*1 J 3
i
5 5 x - 20
(2 - x ) ( x 2 + 1)
g ) I | co sx| d x h) I se n 2 ( 3 x )d xJo Jo
d x R. 1,336685 ...
l n x d xr a! r
° L — i “* ° I
16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR una función continua. Si f es im par y I f ( x ) d x = 3,
6
halle J (/ (x ) - 2x) dx. R. - 3 5
17. Para cierta población, suponga que N es una función continua tal que N( x) es el número de personas que alcanzan la edad de x en cualquier año. Esta
función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la
integral J*+n N ( t ) d t da el número esperado de gente en la población que
tiene exactamente entre x y x + n años, inclusive. S i N( x) = 3 0 0 V 1 0 0 - x, determine el número de personas que tienen entre 36 y 64 años.
R. 5 9 2 0 0 personas
18. Sea una recta tangente a la curva C : y = g ( x ) en el punto P (2 ;3 ) .
Adem ás, la recta Lx pasa por el punto Q (1 0 ; 7 ) que no está en la curva C.
Si f ( x ) = J J t 2 + 7 d t , h a l le / '( 2 ) . R. 2
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Teorem a 5. S i / es una función continua en / = [a; b] y si se reemplaza la
variable x de la integral por g { t ) (es decir, x = g( t ) ) , donde g: [ a ; ß ] -> / tiene
derivada continua en [a; ß] , con g ( a ) = a y g ( ß ) = b ; entonces
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2.7 CAM BIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
í f ( x ) d x = í f { g ( t j ) - g ' ( t ) d t (1 7 )Ja Ja
D e m o stra c ió n
rySea F ( y ) = í f ( x ) d x , y 6 I . Por el P rim er Teorema Fundam enta l del Cálculo, se
J atiene F '{y ) = / ( y ) , V y 6 /.
Por la regla de la cadena ó derivada de una función compuesta, tenemos
í F í g m ' = F ' i m ) ■ s ' ( t ) = / ( s e o ) • 5 ' ( o
Por tanto, F ( g ( t ) ) es una antiderivada de f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . Po r el Segundo
Teorem a Fundam ental del Cálculo, se tiene
C f ( f i ( 0 ) • g ' W d t = [ F ( g m ß = F{ g( ß) ) - F ( g ( a ) ) = F ( b ) - F ( a )• a
= í / ( x )d x• 'a
Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b, p or la fórmula (17), se tiene
f f ( x ) d x = í f ( g C O) ■ g ' { t ) d t J a J ß
f 3 x2E je m p lo 31. Calcule I = I 3 3 dx.
J2 (1 + x )So lu c ión
Haciendo t = 1 + x 3, se tiene que x = g ( t ) = V t - 1 , g ' ( t ) =3 V ( t - l ) 2 '
g ( 9 ) = 2 y g ( 2 8 ) = 3. D ado que g y g' son continuas en [9; 28], entonces
I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9 t3 2\ j (t — l ) z f
1 f 28 , l r l ] 28
- j L -
’28 7 0 3j 9 381024
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INTEGRAL DEFINIDA
Hn la práctica, no es necesario dar la función g ( t ) explicitamente. Considerando
que el lector está habituado a cambiar la variable en una integral indefinida, sólo
nos queda decir que para cambiar los límites de integración basta reemplazar la
variable original x por los lím ites de integración en la correspondiente sustitución y así obtener los nuevos lím ites de integración (que son los valores de la nueva variable). En el ejemplo anterior, procederíamos así:
C om o la sustitución es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx.
Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? .
Por tanto,
x 2 dx 1 r 3 3 x 2 dx 1 f 2Bd t 703_ x ¿ dx 1 r 3 3x ¿ dx 1 r 2~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3 J9 t 3 3 8 1 0 2 4
f i (x^ — 1 dx E je m p lo 32. Calcule el va lo r de 1 = I -------------- -
•'1/2 ( x2 + l ) V x 4 + 1
So lu c ión
Antes de efectuar el cam bio de variable, d iv id im os numerador y denom inador por
x 2 ( x z > 0, p ues x 6 [1/2; 1 ]) y luego reemplazam os t = x + 1/x. Entonces
_ f 1 ( x2 - l ) d x f 1 ( l - - p ) d x
Ji/2 (x2 + l ) V x 4 + 1 J i/2 1 | 1
_ r 2 d t i /,ilNl2
- ' s / 2 í V t 2 - 2 V 2
, |f|aresee | —V 2 . 5/2
= - ^ ( a r c s e c ( V 2 ) - a re see^ ) = - a re see^ )V 2 V v 1 2) V 2
E je m p lo 33. Demuestre que
a) Si / es continua en [0; a], entonces I f ( x ) d x = I f ( a - x ) d x .Jo Jo
/* d r a.
b) Si fe s función par y continua en [-a ; a], entonces I / ( x ) d x = 2 I f ( x ) d x .j - a Jo
c) Si f es función im par y continua en [- a; a], entonces I f ( x ) d x = 0.•'-a
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TÓPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II
f" í nI2d) Si fe s función par y continua, entonces | x / ( c o s x ) d x = n f / (c o sx )d x .
^ 0 J o
f n 7r re) S i / e s continua, entonces I x f ( s e n x ) d x = - / ( s e n x ) d x .
-'o 2 J0Solución
a) En la integral J ^ f ( a — x ) d x reemplazamos a — x ~ z y d z = - d x .Entonces para x = 0 = * z = a , y para x = a => z = 0. Po r tanto,
f f ( a - x ) dx ~ - f f ( z ) d z = f f ( z ) d z = f f ( x ) d x J0 j a j o Jo
(La última igualdad es válida porque ia variable z no tiene significado especial)
b) f f { x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x ... (a)J - a J - q _________ J q
J
En la integral / reemplazam os x = - y . Enseguida, utilizam os el hecho de que por ser / par se verifica / ( - y ) = / (y ) .
7 = [ / ( x ) d x = - f / ( - y ) d y = f f ( y ) d y = f f ( x ) d x ... (/?)J - a J a J q J o
Reem plazando (/?) en (a), se obtiene
f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f / (x )d x = 2 [ / ( x )d x *'-a 0 ¿O
c) S igu iendo el m ism o procedim iento empleado en la parte (b) y utilizando el
hecho de que / ( - y ) = - / ( y ) (por ser / impar), se prueba que
J - ¡ f { x ) d x - - f f ( x ) d x J - a J q
Reem plazando este resultado en (a ), se sigue que f f ( x ) d x = 0.J - a
d) y e) Ejercicio. E n am bos casos reemplazar x = n — y.
E je m p lo 34. Calcule I = [ dx.JQ 1 4" X
SoluciónS i utilizam os la sustitución x = tan 8, tenemos
r M n í l + x ) f nl*\n(l + x.an0) , r*/4Jo ~TTx*~ J0 ■ * * '« ‘‘' = 1 to(l + ta „ « )J Í
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r XT/4
IN T EG R A L D E F IN ID A
f r M1 = 1 In l + t a n í ------- 6) I dd (aplicando el ejemplo 32 - a)
Jo 4
/■n/4 , l - t a n 0 \ f ^ 4 / 2 \
, = j0 ln V1 + lT ta ñ f l ) = i ( í T i a ñ d )r n ¡ 4 /-rt/4
1=1 In2d0- I ln(l + tanfl)c¡0Jo ¿o________ __________ ,
i
/■ir/4 7r 7TPor tanto, 2 1 = ln 2 d6 = - l n 2, de donde se concluye que I = — ln 2.
Jo 4 8
r Itx s e n x dxE je m p lo 35. Calcule 1 = — —----— .
Jq 1 "i eos XSo lu c ión
Teniendo en cuenta que e o s2x = 1 — se n 2x, se tiene
r n x s e r ¡ x d x í 71 s e n x1 = ------------— = x -----------dx
J0 1 + e o s2* J0 2 - se n 2x
sen xPuesto que el integrando es de la form a x / (se n x), donde / (se n x ) = ^ _ ser)2' ~»
usando el ejemplo 32-e, obtenemos
rn s e n x n f n s e n x1 = x - --------- - dx = — I ---------- 5- dx
J0 2 - se n 2x 2 J0 2 - sen2x
7T [ n Sen X 7T
= 2 Í = - 2 [arctan(coS* :'] 0
7T TTr 7T 7Tl 7T2 ’= - - [ a r c t a n ( - l ) - a rc tan (l)] 2 L 4 4J
r^/4
<-tt/4
r '■ 2E je m p lo 36. Calcule J = ( x 9 eos x + V tan x + sen x e t o s I + eos2 x)dx.
J - n / 4
So lu c ión
/•tt/4 r n / 4
J = ] ( x 9 eos x + V tan x + sen x e cos2jc) d x + co s2x dxJ — ir/4 J-7I/4
r^ 4 r 'r/41 + eos 2xdx
/•TT/4 /-TIj 2 - I co s2x d x = I
J —Í t l 4 *'-7
1 r sen 2x i 'r/4 1 /7r \ re + 2
= ü b — L /. = í f e + 1 ) = —
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E l integrando de es f ( x ) = x 9 eos x + V se n x + sen x e cos2* y es una función impar, pues
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
/ ( - x ) = ( ~ x ) 9 c o s ( - x ) + 7 t a n ( - x ) + s e n ( - x ) e cos2( x~>
= —x 9 eos x - V tan x - sen x e cos2x = - f ( x )
rn / i
Luego, p o r el ejemplo 31 - a, se sigue que J i = f ( x ) d x = 0J-n/4
n + 2 n + 2 P o r tanto, / = 0 H---------- = --------- .
2.8 I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S E N U N A I N T E G R A L D E F I N I D A
Teorem a 6 . S i u = u( x ) y v = v ( x ) son funciones con derivadas continuas en I = [a; b] , entonces
J u d v = [u v ]^ - J v du (1 8 )
D em ostra c ión
De la diferencial de un producto se deduce que u d v = d ( u v ) - v du.
r b r b r b r b
Luego, I u d v = I [ d ( u v ) - v d u ] <=> u d v = d ( u v ) - I v du Ja Ja Ja Ja a
f *> . r b
=> u d v = [u v ] - \ v du•'a ® ■'a
(Todas estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son continuas)
E je m p lo 37. Calcule / = f x 2 l nx'i
So lu c ión
dx.
Haciendo
y =
^u = ln x => du = - d xx o , obtenem os
Adv = x 2 dx =» v = —
3
x 3 l3 ■ j l n x - Í / ^ c Í A : = ( 9 |n3 - Í |n 1) - [ i ^
1 2 6 = 9 ln 3 — - (2 7 — 1) = 9 ln 3 — —
1 3 4 www.FreeLibros.com
E je m p lo 38. Calcule el va lor de J = j arctanJ^jx - 1 dx.
So lu c ión
S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = se c2z => x = se c4z y dx = 4 se c4z tan z dz.
Para x = 1 => z = 0 y para x = 16 => z = tt/3. Entonces
r i i /3} = I z • sec4z tan z d z
Jo
Para integrar por partes a esta última integral, consideram os
f u = z => du — d z\-dv = 4 se c 3z • s e c z tan z d z => v = sec4z
Entonces
f *''37 = [z sec4z]o 3 — I sec4z dz ( * )
Joj j . r^/3
— (—) (1 6 ) — I (1 + tan2z )se c2zdz
1Ó7T í tan3z \ n^
INTEGRAL DEFINIDA
• — tan z +3 3
1Ó7T r-= — - 2 V 3
0( * ) Para integrar sec4z es suficiente considerar que se c2z = 1 + tan2z.
2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S
D e fin ic ión 6 . Sea /: [a; b] -» IR una función acotada y sea P = {x0lx lt . . . ,xn} una partición de / = [a; b]. Sean clt c2,...,cn elementos de /, de tal m anera que
Cj £ Ij Xyj , j 1/2, . .. /TI.
L a sum an
S ( / , P ) = £ / ( c , ) A ; x
;= i
se denom ina S u m a de R ie m a n n de f con respecto a la partición P.
Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. Entonces
rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún
S ( / , P ) < S ( / , P ) < S ( / , P )
La sum a de R iem ann es un tipo de sum a que no necesariamente es una sum a
inferior o una sum a superior, sino m ás bien está com prendida entre ellas.
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D e fin ic ió n 7. Se dice que S ( f , P ) tiene límite J e R cuando ||P|| —» 0 y se
escribe 5 ( / , P ) = / si dado e > 0 (arbitrario), existe 5 > 0 tal que para
toda partición P, con 0 < ||P|| < 8 , y para cualquier c¡ se tiene
\ m , P ) - ) \ \ < £
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
T eorem a 7 (de D a rb o u x ). S i / es una función acotada en /, una condic ión
necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que
J im 5 ( / , P ) = / ; ( j = j j ( x ) d x ^
D e m o stra c ió n (Ejercicio).
T eorem a 8 . Sean f , g ■■ l = [a ;b ] -» M dos funciones tales que f ( x ) = g ( x ) ,V x E I, excepto para un número finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces
/ es integrable en ¡ y se tiene
r b r b
í f ( x ) d x = í g ( x ) d x (1 9 )Ja Ja
D e m o stra c ió n
S i g es integrable en / y g { x ) d x = J, por el teorema de Darboux, dado e > 0,
existe 8X > 0 tal que para todo P, con 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene
\ S { g , P ) - J \ < £-
Por otro lado, si A = {x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r puntos (r finito) y sea
L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda partición P, con ||P|| < , se tiene
\ S ( f . P ) - S ( g , P ) l = < r L P -2rL 2
Luego, si 8 = mín|<51( se tiene
IS( f . P ) - ] \ < m , P ) ~ S(g, P ) | + 15(5 , P ) - J | < | 1 = £
E n resumen, para toda partición P, con ||P|| < 5, y V c¡ E / se verifica
\ S ( f , P ) - J \ < E
Por tanto, por el teorema de Darboux, / es integrable en / y
f f ( x ) d x = í g ( x ) d xJ a J a
1 3 6 www.FreeLibros.com
I ro i cm a 9. S i / es c o n t in u a en / = [a;b] e x c e p to en ios p u n to s a ó b, en losmi.îles e x is te n l im< / ( x ) = / ( a + ) y l im f ( x ) = f ( b ~ ) (f in i to s) , e n to n c e s f es
j :-*b~iiiii-i'.iahle en / y e x is te u n a fu n c ió n F, c o n F' (x) = / (x ) , V x E ( a ; b), tal q u e
■ b
f ( x ) d x = F { b ) - F ( a )
IN T EG R A L D E F IN ID A
f■J nDem ostrac ión . Ejercicio para c! lector.
D efin ic ión 8 (F u n c ió n seccionalm ente continua en l ~ [a ; ¿ ] ) . Se dice que la
lim dón /: / -> 1 es seccionalmente continua en / cuando / es continua para todo
\ ' / excepto para un número finito de puntos c ¡ , j = 1 , 2 m , para los
i nales existe
f ( c ~ ) = lim_ f ( x ) y f ( c f ) = l i m / ( * ) x ' * c i x ~ ,c j
‘.i i) - a a c¡ = b, debe existir / ( a + ) o f ( b ~ ) respectivamente.
r O K O L A R I O . S i / es seccionaimente continua en / = [a ;b ], entonces / es
mu-arable en /.
í - 2 , si - 2 < x < - 1I jcm plo 39. Sea la función / ( x ) - ] x 3, si - 1 < x < 1 .
( 2 , si 1 < x < 2S r pide:
.i) I race la gráfica de /.
Ii) ;,/ es integrable en [— 2 ; 2 ] ?
i ) Calcule I f ( x ) dx .J-2
il) Halle F ( x ) = f f ( t ) d t , x £ [ - 2 ; 2] y trace su gráfica.J-2
i ) Determ ine el conjunto donde F es derivable y halle F '( x ) .
Solución
,i t I a gráfica de / se muestra en la Fig. 2.15.
I>) / es integrable en [— 2 ; 2 ] porque / es seccionalmente continua en [— 2 ; 2 ]
(/' es d iscontinua en x = - 1 , en x = 1 y en x = 2 ; pero en estos puntos
existen los lím ites laterales. E n x = 2 existe el límite lateral por izquierda).
i ) í f ( x ) d x = f f ( x ) d x + í f ( x ) d x + f f ( x ) d xJ -2 ■ J-2 J-l •'1
= í ( - 2 )d x + í x 3d x + í 2 d x = - 2 + 0 + 2 = 0J-2 ■'-1
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TOPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II
d) Si x e [ - 2 ; - 1 > => F ( x ) = f ( - 2 ) d t = - 2 x - 4J-2
Si x E [—1,1] =* F ( x ) = J f ( t ) d t = J ( - 2 ) d t + J t
Si x E (1; 2) =* F(x) = J f ( t ) d t — J (— 2) d t + J t 3 d t + J 2 d t = 2x — 4
t 3 d t = ■x 4 9
T _ 4
í - 2 x - 4 , - 2 < x < - 1Por tanto, F ( x ) = | (x 4 - 9 ) / 4 , - 1 < x < 1
\ 2 x - 4 , 1 < x < 2
La gráfica de F se muestra en la Fig. 2.16.
í —2 , - 2 < x < —1f) F' (x) = \ x 3 , — 1 < x < 1
i 2 , 1 < x < 2
Luego, F es derivable en [— 2; 2) excepto en los puntos x = — 1 y x = 1.
Fig. 2.15
F(x) = f 2t e~cZ Jo
d t , x e R.E je m p lo 40. Trace la gráfica de
So lu c ión
i) D(F) = E
ii) Intersecciones con el eje x: P ( 0; 0), pues F ( 0 ) = 0.
iii) F '( x ) = 2 x e ~ * 2. E l único punto crítico es x = 0 y se tiene
Signo de F'(x) < - +
Luego, F es creciente en (0; +oo ) y F es decreciente en (— oo; 0>. E l valor
m ín im o relativo es F ( 0 ) = 0.
138 www.FreeLibros.com
iv) F"(x) = 2 e~x\ l - 2 x 2).
L o s puntos críticos de inflexión son x = V 2 / 2 y x = - V 2 / 2 .
Signo d e F”(x) •<------- °-----------1-------------------- 1------------------ ►- V 2 / 2 V 2 / 2
Por tanto, F es cóncava hacia abajo en ( - 00; — \¡2 /2) U (V 2 / 2 ; + 00) y
cóncava hacia arriba en (~ V 2 / 2 ; V 2/2 ). La s abscisas de los puntos de
inflexión de F son x = V 2 / 2 y x = —V 2/2 .
v) Integrando se obtiene que F(x) = 1 - e “* \ por lo que y = 1 es asíntota
horizontal. L a gráfica de F se muestra en la fig. 2.17.
INTEGRAL DEFINIDA
F iq . 2.17
E J E R C I C I O S
I. Calcule el valor de las siguientes integrales:
r° dx 71 f 2 dx 1
1 J_14x2 + 8x + 8 16 J1 x2 - 4x - 5 6*n2
dx ti r 1 33. ■ ■■ R. - 4. x 8e - x
Jo V2 - x2 4 J02 5
dx R. - - —3 3e
r * 1 r /3 75. I senh x sen x d x /?. - s e n h í r '6 . I tan x dx R. 0
-'o 2 J_„/3
f a x s / 2dx 57r a 3 f 2 x 5 dxJ0 ‘~ Í 6 ~ 8 ' i ( 1 + x 3) 3/2 9
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> ■ / ;
dx
TOPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II
1023
1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x ■>1
11.
x 6(65 - X 6) 1/ 6
X dx
. f x 4( l — x 2)3/2 dx Jo
f V v rJq
f :
c - ,
f ln yjl — x Jo
1 V i - x 13. I —= d x
J Z ^ x
x e x
(1 + x ) 2 d
■ x d x
f 1/2 1 + x16- L J — dx1 / 2 -
¡■n/3
7- J17. I c o tx ( ln se n x )d x
18.í
11/3 V ía n x dx
„/ó V tan x + V c o tx
tt/4/•7T/4
19. I |tan5x|dxJ-7T/4
r 2*2 0 . I |senx — co sx|d x Ja
íJo
x sen x 2 1 . ---------- — d x
22.
1 + co s2x
4 'X + 1
x + 6dx
rn/:23.
‘'ir/ó
11/3 V s e c x dx
V se c x + V c s c x
fi.
i?. -
12300
128
5967
2n R’ "256
71
R' 4
R . y ¡ 2 - ln ( l + V 2 )
e - 2fi.
fi. ln 2 -----2
fi. — 4- ln 2 2
fi. 4 V 2
7T
T
fi. 5 + 5 ln-
fi.
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cn eos x f ^ 2 sen x c o sxSi I 7— — --; 7 dx = A, calcule el va lor de la integral --------------- dx en
h (x + 2 ) 2 J0 x + 1
función de A. R - ( - 4 ------ -------2 \2 n + 2 )
f n c o s x d x [2 c o sx f 71 e o sx dxSugerencia: exprese ¿ J,
Luego, calcule cada una de las dos integrales usando integración por partes y finalmente haga el cam bio de variable x = 2 u.
f 1 e xIII. Si k = I dx, exprese los valores de las sigu ientes integrales en función
J q X T i-
de k.
'• l - , 7 ^ T T dx ~*ce~a <Sug: u = a — x — 1)
IN T EG R A L D E F IN ID A
? f 1 x e x¿J0 x2 + 1
s. f -J o I
dx
e x 1dx /?. k + 1 - - e
(x + 1 )2 2
4. í e * l n ( l + x ) fi. e l n 2 - f cJo
IV . Ejercicios diversos.
1. C a lcu la r/ (O ) sab iendo que / ( n) = 2 y f [/ (x ) + f " ( x ) ] s e n x dx = 5.Jo
R. 3
[ b s e n x cos a eos b f b c o sx2. P ruebe que ------- dx = -----------------— + — -- d x .
Ja x a b Ja x 2
Í 1 2x — 12 , si x < 1 , . f 2*3. Si / ( x ) = _ s i x > 1 : 3 ( 1 ) = ^ m d t , X E R .
Calcule el va lor de f g ( x ) d x . R. 3 6 9 7 / 42
4. S i n es cualquier núm ero natural, calcule el va lor de
r^ se n ( n + j ) x
J xsen 2
-dx /?. 7T
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
5. Calcule el valor de las siguientes integrales:
-1' 2 f l + X\a) J cos(sen x ) In — - J + 3 x + 4
r n / 2
b) I x sen x dx-'-71/2
çn/2c) I x 81c o s(x 9) d x
J- ji/2/•tt/4
d) I [x 14s e n (x 7)] dxJ-nj
dx
TI ¡A
e) f [ ( x 5 + x 3 + x ) V l + x 4 + 3j dxJ - 7
R. 4
R. 2
R. 0
R. 12
6 . Sea /: 1 una función continua. Si se sabe que í f ( t ) d t = 6 , •/-i n
calcule
f / ( 2x — 2) dx.J — 4
7. Sea / ( x ) =
si 0 < x < 2- 1 , si 2 < x < 3
. x - 3 , s i 3 < x < 4
a) Esboce la gráfica de /.
b) Ca lcu le JQ4 / (x )d x .
c) Ca lcu le F ( x ) = f * f ( t ) d t , x G [0 ;4],
d) Trace la gráfica de F.
e) Determ ine en qué puntos F es derivable.
8 . Sea F ( x )f * e ‘ 2
= ------ ? d í -J0 1 + t2
a) Pruebe que F es función impar.
b) Pruebe que F ( x ) > x , V x 6 i j = [0; +oo).
9. Calcule el va lo r deçtt/3
L * 1
Veos X
n/6 V se n x + V c o s xdx.
10. La ecuación param étrica de una curva es H
h ;
co szdz
sen z, t > 1. Halle
-d z
d y
dx '
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INTEGRAL DEFINIDA
11. La función / y su inversa / _1 son continuas y / (O ) = 0. Pruebe que
-5 r f ( 5)
/ ( x ) d x + f ~ 1( t ) d t = 5 / ( 5 ) -'o •'o
dx12. Calcule el va lo r de
r 3
13. Calcule el va lor de-3
r
i(2x 2 + l)^/x2T í '
x 2 - 4
f A - T14. Calcule el va lor de I 7-^— 7-71 dx.
x 2 - 2 5
3 x 2 _ 4
3 I* 2 - 1 6 1
dx.
15. Sea / una función continua tal que / '( x ) < 0 en [1; 4].
S i / ( 1 ) = —2 , / ( 4 ) = —6 y J14 / ( x ) d x = —10 , calcule el va lor de
f f ~ 1( x ) d x . R. 12J-f,J-6
x < 2
16. Si / ( x ) = j ’ 2 ^ X < ° , calcule J [/ (x ) - x]dx.
-1 + x 3x > 0
r 2 7117. Calcule I (|sen x| + x )dx.
•'O
{ e2- l
18. Calcule f [4 - 2 ln (x + 1)] dx. R. '2 (e 2 - 3)•'O
f 5 |x3 - ■'-1
19. Calcule |x3 - 4 x | d x .
d x 15?r + 44Calcule — =— — 7 . R.
( x 2 + l ) 4 96
/ * sen (t — l ) 2 d t 1.’.l. Calcule l im -------—-------— ------ .
* -1 (1 — x ) 3
c n/2 dx nCalcule ------- ---------p . R. —
J0 1 + f t a n x ] ^ 4
Sugerencia: hacer u = - — x.o 2
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TÓPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II
Para calcular una integral definida por la fórmula de N ew ton -Le ibn itz se necesita
hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I hem os m encionado
que no toda función continua tiene una antiderivada expresada mediante funciones
elementales, por lo que es necesario los métodos aproxim ados para su cálculo. En
esta sección tendremos en cuenta que, por el teorema de Darboux,
I f ( x ) d x = ||Hmo ^ / ( t , ) A ¿ x , donde P = { x 0, x 1(
“ i= i es una partición de [a; b] , A ¡x = x¡ — x ^ y t¡ 6 [xi_1; x i],
2.10.1 A P R O X I M A C I Ó N P O R R E C T Á N G U L O S
Sea /: [a; b] -> E una función continua.
Sea P = [ x0 = a , x 1, x 2, . . . ,x n = b } una partición de [a; b ] de tal manera que el
intervalo [a; b] quede d iv id ido en n partes iguales. L a longitud de cada uno de los subintervalos es
b - aAx = --------
n
S e a y¿ = / ( * , - ) , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n .
Cada una de las sum as
y 0 Ax + y xAx + y 2 Ax + ... + y n. xAx
y xAx + y 2 A x + y 3A x + ... + y nA x
expresa aproximadamente la integral
í f ( x ) d x
Luego,
[ f ( x ) d x s A x ( y 0 + y ! + y 2 + + y,,^ !) ( 2 0 )Ja
í f ( x ) d x = Ax ( y x + y 2 + y 3 + - + y n ) ( 2 1 )Ja
Teniendo en cuenta que y kAx es el área algebraica del rectángulo de base A x y
altura y k , en la figura 2.18 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica
es la aproxim ación del valor de /a&/ ( x ) d x usando la fórm ula 19.
E l error que se comete al calcular el va lor de la integral por la fórm ula de los
rectángulos (19) ó (2 0 ) es m enor cuanto m ayor es el número n.
2.10 CÁLCULO APROXIM ADO DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS
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IN T EG R A L D E F IN ID A
I n este caso, se usan trapecios rectangulares en lugar de los rectángulos
tunsiderados en el ítem anterior. Sean los puntos P0( x0; y 0), Pi ( x1; y 1), ... ,
/;,(.Y„;y„), donde x 0, xn , y 0, yi,..., y n han sido definidos en el ítemanterior. Consideram os los n trapecios rectangulares 71,7 2l . . . ,7n que están
lim itados por las cuerdas , P1P2, Pn-í^n respectivamente. C o m o las.ucas algebraicas de estos trapecios son, respectivamente, ¡guales a
yo + y i A y i + y z . y n-1 + y n .— -— Ax , — -— Ax , ... , ------ ------- Ax ; entonces
2.10.2 A P R O X IM A C IO N P O R T R A P E C IO S
b y ° + y i a , y i + y 2 A , , y * - i + y n .f { x ) d x - — - — A x H------- — A x H— H-------- ------ A xa ¿ ¿ ¿
f ( x ) d x = ¡ ^ - ^ 1 + y 1 + y z +■■■ + y n- l ^Ax (22)
l,n la figura 2.19 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica es la
aproxim ación del va lor de f ( x ) d x usando la fórm ula 2 2 .
Igual que en el caso anterior, cuanto m ayor es el número n, es mejor la
aproxim ación al va lor de la integral.
Fig. 2 .19
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P rop o s ic ió n 5. Sea g ( x ) = A x 2 + Bx + C , donde x 6 [a; b ] , y 0 = g ( a ) ,
( a + b\yi = s ( — 2 ~ J ' y 2 = 9 Entonces
A x , b — a
TÓPICOS D E C Á L C U L O - V O LU M E N II
2.10.3 APROXIM ACIÓN PO R PARÁBOLAS (FÓRM ULA DE SIM PSON)
/* A xI G4x2 + B x + C )d x = — [y0 + 4 y t + y 2] , donde Ax
Ja ^
D em ostra c ión
Por el segundo Teorem a Fundamental del Cálculo,
rb(.Ax2 + B x + C )d x =
(2 3 )
Ax3 B x2~ T + ~ + C *
Luego de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que
fb Axj ( Ax2 + B x + C)dx = — [y2 + 4 y 1 + y 0].
Considerando esta proposición, si la parábola y = A x 2 + Bx + C pasa por los
puntos
/ a + b \P0(a-,y0) , Pi 2~ ¡ y i ) ■ p2( b; y2) .
entonces el área algebraica bajo la parábola está dada por (23).
Sea f una función continua en [a; b]. Para hallar una aproxim ación de f ( x ) d x , la idea básica es aproxim ar la gráfica de f por arcos de parábolas. Para esto,
d iv id im os el intervalo [a; b] en n partes iguales, donde n es par. Sean
{x 0, x 1, x 2, ...,xn } los extremos de los subintervalos, y y¡ = / (x ¡), i = 1,2 , ...,n.
E l área algebraica bajo la parábola que pasa por los puntos ( x 0 ; y 0), ( x ^ y - J
Y i x 2; y 2) está dado por ( y 0+ 4 y 1 + y 2)A x/3 . A s í m ism o, el área algebraica bajo
la parábola que pasa por los puntos ( x 2; y 2), ( x 3; y 3) y ( x 4; y 4) , está dado por
( y 2 + 4 y 3 + y 4)A x / 3 y así sucesivamente, hasta llegar al área algebraica bajo la
parábola que pasa por los puntos (x n _ 2; y n_ 2) ' ( X i - n 'y n - i X (x n ;y„ ) está dado
por ( y n- 2 + 4 y n _! + y n)A x/3 .
Por tanto,
f b Ax „ A x , . AxJ f { x ) dx = — (y0 + 4 y x + y 2) + — (y2 + 4 y 3 + y 4) + + — (y„_2 + 4 yn_ 1 + yn)
f AxJ f ( x ) dx s — [(y0 + yn) + 2 (y2 + y 4 + ... + y n_2) + 4 (y t + y 3 + ... + y n- i ) ] (24)
Esta fórm ula es llamada fó rm u la de S im p son .
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INTEGRAL DEFINIDA
E jem p lo 41. Para n = 10, calcule por aproxim ación el va lor de
"1 4 dxf 1 4 dx
J0 1 + X 2
So lu c ión
Si n = 16, entonces Ax - (1 - 0 )/ 1 0 = 0,1.
x í f ( x \ _ 4x i / ( *« )' C 1 + x 2
oiloX
O (i
1 4*
1 O
1X (y = 0 ,6 y 6 = 2 ,9 4 1 1 7 6 4 7
x i = 0 ,1 y x = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4 1! o Vj
y 7 = 2 ,6 8 4 5 6 3 7 5
x 2 = 0 ,2 y 2 = 3 ,8 4 6 1 5 3 8 4 * co II O 00 y 8 = 2 ,4 3 9 0 2 4 3 9
x3 = 0 .3 y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7 x 9 - 0 ,9 y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5
x4 = 0 ,4 y 4 = 3 ,4 4 8 2 7 5 8 6
T“lIIO*
o II NJ O
x 5 = 0 ,5 ys = 3 ,2
Por la fórm ula (20) (aproxim ación por rectángulos),
í 1 47 T T T dx = 0 , í [ y 0 + Vi + y 2 + ■■■ + y 9] = 3 ,2 3 9 9 2 5 9 8 9
-'o + x
Por la fórm ula (21) (aproxim ación por rectángulos),
- i 4f 4
i Í T ^ dX - 0,1 [}>1 + y2 + ■ ■ ■+ y 9 + y io ] = 3 ,0 3 9 9 2 5 9 8 9
Por la fórm ula (22) (aproxim ación por trapecios),
4--dx = 0,1
í r = 3 ,1 3 9 9 2 5 9 8 9+ x 2
Por la fórm ula (23) (aproxim ación por parábolas o método de Sim pson),
f 1 4 0,1 r
J i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ ++ 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 1 4
Este últim o valor com parado con el valor real de la integral
"1 4 dx= n = 3 ,14159265 ..
í 0 1 + * 2
es exacto hasta la séptima cifra decimal.
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Calcule los valores aproxim ados de las siguientes integrales:
f dx1. I — , po r la fórm ula de los trapecios y la de S im p son (n = 2).
R. 1,6182 y 1 ,6098 respectivamente
r 2 dx2. — , p o r la fórm ula de los trapecios y la de S im p son (n = 10).
'i xR. 0 ,69377 y 0 ,69315 respectivamente
3 . í V 1 —x } d x , p o r la fórm ula de los trapecios (n = 6 ).■'o
R. 0,8109
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
EJER C IC IO S
f 3 dx4. , p o r la fórm ula de S im p son (n = 4).
Ji 2 x - lR. 0,8111
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3t i*
<......... 1 - ...................... • " ^
INTEGRALES IMPROPIAS
En la defin ición de la integral definida í f { x ) d x , fueron establecidas ias dosJa
restricciones siguientes:
I o E l intervalo / = [a-,b] es acotado
2 o / es acotada en /D
Ahora trataremos de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de
integral definida al caso en donde el intervalo de integración es infinito o el caso
en donde la función del integrando / presenta discontinuidad infinita en [a; b].
Las integrales que tienen estas características se llaman in tegrales im p ro p ia s y son de dos tipos:
T ip o 1: Integrales im propias con límites infinitos.
T ip o 2: Integrales im propias con límites finitos (con discontinuidades infinitas).
3.1 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S I N F I N I T O S
D e fin ic ión 1. Sea / :/ = [a ;+ o o ) -* R una función continua en el intervalo /.
La integral impropia de / de a a +co se denota y se define como
í f ( x ) d x = lím f f ( x ) d x Ja t~’+ ' Ja
r+CO
Se dice que la integral im prop ia I f { x ) d x c o n ve rg e cuando el lím ite existe.•'a
S i el límite no existe o es infinito, se dice que la integral im propia d iverge.
Observación 1. Como vimos en el capítulo anterior, si f (x) > 0 , la integral
def i ni da I f ( x ) d x represen ta el área de la región plana lim itada por
la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia integral impropia es convergente podemos interpretar que el valor de la integra! es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta x = a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).
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TÓPICOS DF C A I C U I.O - VO I I 'M F N II
Fig. 3.1 Fig. 3.2
D e fin ic ión 2. Sea /: / = (— °°;b] -» R una función continua en el intervalo /.
La integral im propia de / de — oo a a se escribe y se define com o
" b r b
í f ( x ) = l‘m í f { x ) d x J—00 t-»-00 J
S i este límite existe, se dice que ¡a integral impropia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
Por otro lado, si f ( x ) > 0, V x e / y la integral im prop ia I f { x ) d x converge,j — 00
entonces el va lor de la integral representa el área de la región plana infinita
ubicada a izquierda de la recta x = b y está lim itada por la gráfica de. / y el eje x
(Fig. 3.2).
D e fin ic ión 3. Sea /: E - * K una función continua en el intervalo { -o o ;+ c o } .
L a integral im propia de f de — oo a + co se escribe com o
r + 00 f b r + co
I f ( x ) d x = I f ( x ) dx + I f ( x ) dxJ — 00 J — OO J b
donde b es cualquier número real.
, . + 0 0 r b
La integral im prop ia f ( x ) d x es c o n v e rg e n te si tanto I f ( x ) d x como J — 00 —00
í/ (x ) dx son convergentes, y es d iv e rg e n te si a lguna de las integrales
impropias del lado derecho diverge.
E je m p lo 1. Determ ine si la integral | (x - 2 ) e xdx converge o diverge.J-00
So lu c ión
En esta integral se aplica la integración por partes con u = x — 2 y d v = e xdx.
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INTEGRALES IMPROPIAS
De la defin ición de la integral impropia, se tiene
[ (x - 2 ) e xd x = lim f (x - 2) e xd x = lim [(x - 2 ) e x- e x]2 ■Leo t-f-CO Jt t->-CO t
= lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z - lim (t - 2 ) e ct —* — oo
El últim o límite es de la form a 0. Ap licando la R eg la de L ’Hópital, se obtiene
0t - 2 1
lim (t - 2 ) e c = lim — — = lim -----t-*—oo t -+—co Q 1 t - » - c o — Q ~
Por lo tanto, conclu im os que
r 2
(x - 2 ) e xd x = - e 2fJ — (
En conclusión, la integral im propia es convergente y converge a — e 2.
r+°° ^ _j_ 2XE je m p lo 2. Determ ine si la integral —— — — - d x converge o diverge.
x "f- 3x 5So lu c ión
+0° x 2 4- 2x
i x 3 4- 3 x 2 4- 5dx
i r +0 lim -
t->+cc 3 J13x2 + 6x 1 t
d * = x lim [ln x 3 + 3 x 2 + 5|] x 3 + 3x2 + 5 3 t-*+oo J 1
1 1— lim [ln| t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9] = ~ ( + o o ) = + o o 3 t-»°° 3
Por tanto, la integral im propia dada diverge.
r + CO
E je m p lo 3. Ca lcu le -------- rd x .L o o 1 + X 2
So lu c ión
E lig iendo b = 0 , se obtiene
r +0° dx _ r° d x r +co J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 + X 2 + Jg 1
' r° dx f b dx= lim -------7 + lim ------- 7
a->-oo J 1 + X 2 b-*+oo J 1 + x 2
dx+ x 2
.y = 1 + x2
Fig. 3.30 b = lim [arctan x] 4- lim [arctan x]a-> -°O a b-* + co o
= lim [arctan(a)] 4- lim [arctan(b)] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = na->-co ö-»+oo
[ +°° dxPor lo tanto, la integral im prop ia I ------- - es convergente y converge a n
J-oo i + x l1
En la Fig. 3.3 se m ue stra la gräfica de f ( x ) = + x 2 ■
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TÓPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II
f axE je m p lo 4. M uestre que la integral I — converge si p > 1 y d iverge si p < 1.
J\ x
f cd x _
J i xp ~ —p + 1
So lu c ión
Para p 1, se tiene que
Luego,
C+codx fa) Si p > 1 , — = lim
XP t^ + QO
y la integral considerada es convergente.
/•+cod x r É d x t 1'?b) Si p < 1, I — = lim — = lim
Jj x p + x p + °
y la integral considerada es divergente.
rt dx — = limXP Í-.+CO
1
(1 - P ) t p -1 1 - p . p - 1
1 - p 1 — p= : 4-00
c)f +” dx r £dx
Si p = 1 , I — - = lim I — = lim [lnJj XP t->+co X t-*+00
y así la integral dada es divergente.
t] = + C
En resumen.■/; xP
es convergente si p > 1 y divergente si p < 1 .
3.2 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S F I N I T O S
D e fin ic ión 4. Sea /: I-» R (donde I = [a; ó » una función continua en / y
lim / ( x ) = co. La in tegral im p ro p ia de / de a a b se define com ox-*b
f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja t-*»' Ja
S i el límite existe, se dice que la integral im propia es convergente; en casocontrario se dice que es divergente.
L a defin ic ión dada también es equivalente a
r b r b - E
I f { x ) d x = lim I / ( x ) dx Ja E" 0+ Ja
Si / ( x ) > O, V x £ [ a ; b ], y la integral im prop ia I / ( x ) d x es convergente, el
valor de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica
de /, el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.4).
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INTEGRALES IMPROPIAS
a t
Fig. 3.5
D e fin ic ión 5. Sea /: / - * E (donde / = (a; b ]) una función continua en / y
J im / ( x ) = oo . La integral im prop ia de / de a a b se escribe com o
f f ( x ) d x = lim í / ( x )d x Ja a A
S i el límite existe, se dice que la integral im propia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
La defin ic ión dada también es equivalente a
r b r b
I f ( x ) d x = lim I f ( x ) d x Ja e~>0 Ja+e
Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la integral im prop ia I / ( x ) dx es convergente, el va lor
de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica de /,
el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.5).
Definición 6. Sea f : I -» E (donde / = [a; £>]) una función continua en / , excepto en algún punto d G (a; b) en donde lim / ( x ) = o o ó lim / ( x ) = oo.
x-*d +Entonces se define
f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í / (x )d x• 'a • 'a Jd
r b f d r b
l.a integral im prop ia I f ( x ) d x es convergente si tanto I f ( x ) dx com o I f ( x ) dx ja 'a Jd
son convergentes, y es divergente si a lguna de las integrales im propias del lado derecho diverge.
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Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a puede ser — oo y b puede ser + 00) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en (a; b) se define como
f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x + . . . + f f ( x ) d x• 'a *a *Cx cn - i
siempre que cada una de las integrales impropias del segundo miembro sean convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces
f bI f ( x ) d x tam bién d iverge
Ja
f 2 dxE je m p lo 5. Determ ine, s i existe, I —
J1 V x - 1So lu c ión
1La función / ( * ) = — .- es continua en (1; 2] y lim f ( x ) = + 00.
Luego,
/ = [ = lim í = lim Í2V x - 1 ] 2 = lim Í2 - 2V t - 1 1 = 2
Por lo tanto, la integral im propia / es convergente y converge a 2.
f 1 dxE je m p lo 6 . M uestre que la integral I — converge si 0 < p < 1 y d iverge si
Jq xp > 1 .
So lu c ión
a) Para 0 < p < 1, nos queda
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
[ v d x f 1 dx— = lirn —- = lim
J0 xP t-*o+ Jt x p t->o+
t i - P
1 - p 1 - p
y la integral considerada es convergente.
1 - p
f * dx f * dxb) Para p = 1 , I — = lirn — = lim ( - ln t) = +00
J0 x t-*o+ x t-o+
y la integral dada es divergente.
[ ' d x f 1d x 1 1c) Para p > 1 , I — = lim I — = lim
J0 x p t-»o*J t xP t-o+( p - l ) t P - 1 p - 1+00
y la integral es divergente.
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INTEGRALES IMPROPIAS
/■*/«Ejemplo 7. Calcule, s i existe, la integral I cot 9 d.6.
■ '-fr/4So lu c ión
Se observa que la función / ( f l) = cot 6 = tiene d iscontinu idad infin ita ensen 8
9 = 0. A s i, la integral dada se escribe como
r* r/ 4 r 0 r ít/ 4
I cot 8 d.8 = i c o t 9 d8 + cot 8 d8 J - n/4 J - n / 4 Jo
Puesto que la integral
í cot 8 dd = lim í cot 8 d8 - lim [ln|sen 0 | ] I l M J —n / 4 e - 'O + J - n / 4 ^ 0+ '
- J[im+ [ln| -sen (e )| - ln ( V 2 / 2 )] = -o o
es divergente, entonces la integral dada también es divergente
r o e i/x
Ejemplo 8. Calcule I — j~dx (si existe). J x
So lu c iónC
La función f ( x ) = — tiene d iscontinu idad infinita en x = 0. Entonces, u sando el x
método de integración por partes, se obtiene
r0 gl/X f-£ p i/x r -1
' ■ - 1 ■ - [ei / * _ _ ei/*lX
2
r e f ~ £ e 1/x r— z - d x = lim I — j - d x = lim e
J_! Ï 3. £->0 +J_! X3 £->0+1
— lim + - e _1/£ - 2 e ' £-*0+ L £
e _1/£ 0NOTA: El lim ite Um+ — -— es de la form a - . Ap licando la Régla de L’Hôpita l,
résulta
e -1/£ 7 - l / e 2 îlim ,--------= lim — T7- = l i m -------------r-4 = 0
£-♦0i — u n i — t t = n m -------------2—* ■+ e £-*o+ e1'* £-*0+ei/£^_
+ 00 dxEjemplo 9. Calcule, s i existe, I
J - c o ¿ )
Solución
La función / (x ) = — — — tiene d iscontinu idad infinita en x = 0 y x = 2.x{x - 2) 3
E lig iend o los puntos * = - l , x = l y i = 3 , la in tegral dada se escribe
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
r + " d x _ r -1 dx r° dx r 1 d x r 2 dx
J_M x ( x - 2 ) J_m x ( x - 2 ) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x (x - 2 ) + Jx x ( x - 2)
J, x (x - 2) J3
’3 dx f + ” d x
i2 *(* - 2) J 3 x ( x - 2)
Puesto que la integral
limt->0-
rt d t
J-i 0 ~ 1)2 _
limr l
2 ln
t - 2
t-
= lim1
2 ln
x - 2
-ln 3 = 4-00
dxes divergente, entonces la integral I —-------— es divergente.
J —oo X(.X — ¿ )
E je m p lo 10. Determ ine el va lor de n para el cual la integral im propia
-+ » / « 3X x
[ ( —J, Vx + 1dx
2 x 2 + n )
es convergente. Adem ás, calcule la integral para dicho valor de n.
So lu c ión
A l aplicar la defin ición de la integral impropia, se tiene
f +co / n 3 x \ n 3 x \
l V ÍT Í " 2 x 2 + n ) dX ~ I t n ~ 2 x 2 + n )dx
lim t-* + 00
ln(t + l ) n
ln -2n
C om o
(2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4J
( t + l ) n( f + 1) nlim =--------T77 = lim .....— --------------------------------t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4 V 8 Í 6 + 1 2 n t 4 + 6 n 2t 2 + n 3
3 3entonces este lím ite existe cu an d o n = - ó n < -
a) Si n = - , lim2 t-»+oo
b) Si n < - , lim2 t —*+oo
ln
2 5/2
( t + i r i - ' - i — 3( 2 t 2 + ± ) 3/y \ ( 2 -f-|)3/4;
3 7 3= 7 ln 7 _ o ln24 4 2
, ( t + 1 )" , 2 " ln — ------- TT7T - ln -
(2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4
3 3 7 3Por tanto, el va lo r de n es - y d va lo r de la integral es - ln — — - ln 2.
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Determ ine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. S i es convergente, calcule su valor.
INTEGRALES IMPROPIAS
E JER C IC IO S
r + 0 01. I sen x d xí
ír + 00
3 - I e ~ * dx R. iJ o
f +c°4. I \x\e x dx R' i
J — 03
r+OO .
2 - 1 P « *
5
6 . r *J O Ve*
r +0° d x
J-co 4 x 2 + 1
9./• +00
J o l
dx
n .- 2
17 rJ0 1 + cosx diverge
i?, diverge
f ' dx 5 V 4' 1 ( * - 2 ) 3 / 5 r
fi. 2
r 1 d x7' J 3 fi- diverge
n
* * 2
x d x ifi- —(x2 + 9 ) 2 l a
'» ■ / , * .J0
r — ~J-2 VxTT
7T
V 9 ^ 2
0 dxfi. O
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/ • i g i / x13. J —— R. d iverge
J o x
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
r +“ d x
14- { ^ R - 100
r /2 dxI í— Rú diverge
J q 1 — ~sen a:
r+" x 5 dx (1 + x 3) 7/4
r ..16- I d iverge
r +0° d x17. — — - ---------------------------------------------------------------- - R. n
J-o* * '2 + 2x + 2
r+OO
f +0° a19. I e a* eos fax d x R. t (a > 0)
'o
f +0° a rc ta n x
21' J P
? í +0° d *Jn X 3 + 1
18. í e-a*sen bx dx R. —— — (a > 0)J0 a ¿ + o ¿
a 2 + fc2
+" d x 7T
x V x 2 — 1 2
•+0° d x 2 tt22. — — - R.
2V 3
r 1 d x23- J„ *• ‘« ''“ se
r + c o
24. í e -|x| d x R . 2J — 03
25. J V i + x “2/3 d x /?. 2 ( 2V 2 — 1)
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r+ca
26. I xJ — OO
+ 00
2e ~x3 dx
INTEGRALES IMPROPIAS
f —X — ¿JL27- I u. ;------ 7T~ d x
J o
r+“ — 1 — 2x3 x 2/3(x - l ) 2 '
dx28
■/:
29. /_
3o - c
| V F + T |
+0° dx _œ e* + e~x
1 ( I - * 3) 1' 3dx
[ +0° x3 1 - -------i d xJ -œ 1 + x 4
32. J
-00
-1 dx ,2 x 3( l + x 3) 4/3
„ lr+"Vxr=T3H — dx
r+œ dx35. '/
•'0 (a2+fc2)(è2 + x2)
r-+00f36. e d x
* — 00
( a a i - e37. — =
Jo V a 2 -
38. f Jo
4 dx
V4x — x 2
fi. d iverge
fi. d iverge
fi. 3
fi. d iverge
fi. 0
fi. diverge
fi. diverge
________ _2ab(a + b)
fi. 1
f i . 7T
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f n sen 6 dd r- .39. —............... R. 2V2
J0 VI + eos 9
r 4 x dx40. , R. 4
Jo V l6 — x 2
f 1 d x41. ------------------------- R. n
Jo V x ^ x 2
x 5 442. d x R. - -
■/-iV TT ^ 3 9
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
r+0° x 5 dx 5 V 244 ----------------- /?. ------
1 ( 1 + x 3) 5/ 2 18
' s d x
l ) ( x ~ 8x + 15)4 5- f o.. . ^ diverge
: 2 x 3 dx 1924 6 ‘ 1 = R' ~3S
2
r ¿ x á dx
Ji Vx - 1
r + C O
7. x 2 Jo
- + c o
47. I x 2e~3* dx27
f 4 dx48. —------ /?. diverge
Ji x 2 - 4
<•+00
49. x ne~x dx R. niJo
r +00co sx /Tf f +0° s e n x50. Sabiendo que I — p - d x = I— , halle el valor de la integral I ,— dx.
Jo Vx n 2 J0 V x3
/?. V 2 tt
dx5 1 . Muestre que I —------ converge si 0 < p < 1 y diverge si p > 1.
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INTEGRALES IMPROPIAS
'•+00 dx52. Si G (a ) = ^ - + x a ) X( 1 + x 2 ) . ca lcu leG (0), G ( 1), G(2).
/?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4
f +°°senx t í f +0° se n 2x53. Sab iendo que I ------- d x = — , calcule el va lor de I — r — dx.
J0 x 2 J0 x 2
R. n /2
54. Esboce la gráfica de la función F ( x ) = I f ( t ) d t en los s igu ientes casos:J — 00
si |t| > 1
( 1 , si t < 1
b) m = | i2 , Si | t | > 1
55 Sea f ( x I - í ™ * * ’ SÍ |x| ~ 355. Sea / ( x ) - ^ s i W > 3
f+co 1Determ ine m de m odo que I / (x )d x — 1. R. m = —
J-œ 18
3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S
P rop o s ic ió n 1. Sea / una función no negativa en [a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0) e
integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).
Si la función F ( t ) = I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), entonces I / ( x ) d x converge.• 'a Ja
D em ostra c ión
Com o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), entonces F ( t ) = I / ( x ) d x es creciente en [a; 6).Ja
Por hipótesis, F ( t ) es acotada. Entonces F ( t ) es creciente y acotada en [a; b).
Por tanto, lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir, I / ( x ) d x es convergente, t— /• 'a
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Proposición 2 (C riterio de C om paración)
Sean / y g funciones tales que 0 < / ( x ) < g ( x ), para todo x e [a;b ), e
integrables en [a; t], V t e [a; b). Luego,
a) Si I g(x)dx converge, entonces I / (x )d x converge.• 'a “' aJa
b) Si I f ( x ) d x diverge, entonces s ( x ) d x diverge.• 'a *'a
Dem ostración
Se sigue inmediatamente de la proposición 1 y de la desigualdad
í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ;b )• 'a ■'a
f +0° dxEjemplo 11. Verifique si J 4^ " i converge o diverge.
Solución
1 1 r , f +codxCom o 0 < ----- < — , M x £ [2; + 00), y — - es convergente (ver
h x 6
dx
2 x - V l + :
'2
f +°° dxejemplo 2, p = 6 ), entonces se concluye que J ——j = = = es convergente.
f 1 dxEjemplo 12 . Analice el com portam iento de la integral , = .
Jo V x 2 + 2x
Solución
1 1 , , f 1 * ' , Com o 0 < - < - = , V x £ (0; 1], y - p es convergente (ver ejemplo
V x 2 + 2x V x Jo V x
f 1 dx4, p = 1/2 ) , se concluye que es convergente.
Jo V x 2 + 2x
f -3 dxEjemplo 13. Verifique si . „■= es convergente o divergente.
V x 2 + 3 x + 2
r 3 dx
i-o, V x 2 + 3 x + 2Solución
I
1 1 f 3 d x- <x V x 2 + 3 x + 2
3 d x
í dxCom o 0 < — < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y ---------------------- diverge, entonces
j -00 *
Vx2 + 3x + 2es divergente.
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rbIN T EG R A LES IM PR O P IA S
Definición 7. Se dice que la integral impropia f f ( x ) dx es ab so lu tam en te
b
co n v erg en te cuando I |/ (x ) |d x es convergente.Ja
P rop osición 3. Si la integral I /(x )d x es absolutamente convergente,Ja
entonces es convergente.DemostraciónComo 0 < | / ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que l / M I —/"(■*) es convergente. Luego,
r b r-b r b
I /(x )d x = I |/ ( x ) |d x — I [ |/ (x ) | - / ( z ) ] dx converge Ja Ja Ja
f +coCOS O 2)Ejem plo 14 . Analice sí I -------— dx es convergente o divergente.
Ji xSoluciónLa integral dada es absolutamente convergente, pues
eos (x 2) 1 r * f +c° d x< — , V x e [1 ;+ c o > , y la integral — es convergente.
* J i x
f +° ° c o s ( x 2)Luego, por la proposicion anterior, I ----- -— dx es convergente.
J l X
Proposición 4 (C riterio del Lím ite)Sean / y g funciones no negativas integrables en [a; t], V t 6 [a; b), y supongam os que
mlim — — = r .x-*b- g (x )
i\) S i 0 < r < +oo, entonces las integrales im propias •
F = í f W d x y G = í g ( x ) d x Ja Ja
son ambas convergentes o ambas divergentes.
b) S i r — O y G converge, entonces F converge.
c) S i r = ± oo y G diverge, entonces F diverge.
Dem ostración, (ejercicio para el lector).
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C o ro la r io 1. Sea f una función integrable en [a; t ] , V t G [a; + 00), y
supongam os que lim x p/ ( x ) = r < + 00.X->+oo
Luego, se tiene:
a) Si p > 1, entonces Ja+°°/ (x )d x converge.
b) Si r 0 y 0 < p < 1, entonces f ( x ) d x diverge.
C o ro la r io 2. Sea / una función integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l ) y
supongam os que lim (b - x ) p/ ( x ) = r < + 00.x-*b
Luego, se tiene
a) Si 0 < p < 1, entonces I / ( x ) d x converge.Ja
b) Si r o y p > 1, entonces I / ( x )d x diverge.Ja
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
r ” d *E je m p lo 15. Analice si ----- ----- converge o diverge.
h x 3V 4 x 5 + x 3 — 1Solución
Considerando que
lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (en este caso p = — >X - . + 0 0 x 3 V 4 x 5 4 - x 3 — 1 2 \ 2 /
r +0° d xse concluye, p o r el corolario 1, que la integral I -----converge.
J2 x 3V 4 x 5 + x 3 — 1
f 5 dxE je m p lo 16. Verifique si I — 2---------- ,2 converge o diverge.
^2 ^ )Solución
1 1Teniendo en cuenta que lim (x — 2 )3/2 ■ ------- - ------- t t t t t = — 7= (en este
M J (x - 2 )3/2(x + 1 )3/2 3 ^ 3
caso p - 3/2 > 1), la integral es divergente (se usa el corolario análogo al
corolario 2, reemplazando (í> - x )p por (x - a )p).
f°lice si IJ — oo
x dxEjem plo 17. Analice si j p = = = = = = ^ = converge o diverge.
V 2 x 9 4- 8 x — 10 Solución
x 1La in tegral converge, pues lim x • , -------- - (b = 2 > 1).
* - *+ “ V 2 x 9 + 8 x - 10 V 2
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1IN i tOKALhb lívlrKUrlAÍS
EJERCICIOS
Analice la convergencia o d ivergencia de las siguientes integrales impropias.
" +0° dx1.
J 2ídx
x 2 + 3x + 4
r+CO (x + l ) d x
x 3 - 1
+0° x + 3
■ l
X3 + X2
+0° dx
c3 Mx2 + 4
2 V x 2 - 1
dx
> 1
o x 2 Mx2 + X + 1
+” e -2* d x
x 2 + 3 x + 5
/?. converge
/?. converge
/?. converge
í x + 34- J X4 + x dx R- converge
' í R. converge
r +0° x 3 + 1
7- J2 j^ n r j dx R ■ diverge
R. diverge
R. converge
r-ruo10. e _Arse n (x 2)d x R. converge
r + 0 0
11. I e~x dx R. converge0
f +" dx12 ' i x 2( i + e x) R; ¿o n ve ree
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14 f 3 * 3 + L dx R. converge
’ h 4 ^ 1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
i , f S d x R. converge' J4 xV 2 5 ^ F
15. f x s e n ’ Q d x R. converge
l"1 _______ ^ _______ R. converge
r 1 se n (x 3)d x R converge
17 - í r *
18 f ' _ i ---- dx R. convergeJo "i-
r +co rlv9n .______________________ R. converge
J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l
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(F' APLICACIONES DE 'tts
LA INTEGRAL DEFINIDA
Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios problemas geométricos, fís icos y económ icos.
4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S
C A S O I: Sea /: [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, V x 6 /. De la
interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región
R lim itada por la gráfica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está
dada por
A(R) = f ( x ) d x ^ u 2
C A S O I I : Sean / y g dos funciones continuas en [a \b ] y g ( x ) < f ( x ) ,V x £ [a; b]. E l área de la región í l lim itada por las rectas x = a A x = b y
las gráficas de / y g (F ig. 4.2) está dada por:
A ( n ) = ( í [ f ( x ) - g ( x ) ] d x ) u 2
Para demostrar esta fórmula, considerem os el número real k tal que k < g ( x ) ,V x £ [a; b].
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Efectuando una traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nuevas ecuaciones de las
curvas y = f(_x), y = g ( x ) y de las rectas x = a y x = b son,
respectivamente, y x = f ( x ) — k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b (por las
fórm ulas de traslación y x — y — k A x x — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema
cartesiano x 10 ' y 1 se verifica
0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b]
Luego, teniendo en cuenta la fórm ula del caso I, se tiene
Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = / (y ) ,
x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R es
a
y - o
Fig. 4 .3 Fig. 4 .4
E je m p lo 1. Ca lcu le el área de la región lim itada por
71y = sen x , x - 0 , x • y ~ ®
So lu c ión
De la defin ición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I ¡implo 2. Calcule el área de la región S limitada por2 |x |
y , el eje x y las rectas x = — 2 y x = 11 + x 2 Solución
l'itr la definición de valor absoluto, se tiene que
r - x , x < 0
U , . x > 0
A m , por la fórm ula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta
- 1 2|x| ,
1*1 = { ;
x r o = [ j
f ° 2x f 1 2x= - ------- r dx + ------- Tdx
J-2 1 + x J0 l + x 2
= - [ l n ( x 2 + 1 ) ]° 2 + [ ln ( x 2 + 1) ] q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2
r.jemplo 3. Calcu le el área de la región lim itada por la parábola y = x 2 + 4x, el
eje x y las rectas x = - 2 A x = 2.
So luc ión
( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se
m inple
/ ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0] y / ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]
l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la sum a de las áreas de las
regiones y R2, es decir,
A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2)
f0 f 2 16 32= - l ( x 2 + 4 x ) d x + I ( x 2 + 4 x ) d x = — + — • = 16 u 2
J-2 J0 J 3
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E jem p lo 4. Halle el área de la región F lim itada por las gráficas de
y - x 2 , y — x 3 , x - - 1 , x = 2
So lu c ión
lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que
x 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x e [1; 2]
Luego,
r 1 r 2 , 8 17 2 5 _A(F) = J ( x 2 - x )d x + J ( x 3 - x 2)d x = — + — = — u
I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 5. H a lle el área de la región lim itada por las gráficas de
y = a rc se n x , y = a rccos x , y = 0
So lu c ión
Las gráficas de las funciones y = a rc sen x y y = a rccos x están dadas en la Fig.
4.8. Aho ra bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta
x = sen y < x = eos y , V y 6 [ü; - ]
Por consiguiente, el área de la región pedida es
,-71/4
,4 (12) = I ( e o s y - sen y ) d y = ( V 2 - l ) u 2 Jo
liste ejemplo se puede resolver usando a x com o variable independiente, esto es,
/•>/2/2 r 1/l(/2) = I arcsen x dx + f a r c c o s x d x
Jo J\/2/2
lis evidente que en este caso el procedim iento es m ás com plicado que el anterior,
por lo que recom endam os al lector escoger adecuadamente la variable
independiente antes de aplicar la fórm ula del área.
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Kjcm p lo 6. H a lle el área de la región R lim itada por las gráficas de
y = 4 - x 2 , y = ln(2x - 3 ) , y = 1
So luc ión
I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por com odidad consideram os a
c o m o v a r ia b le in d e p e n d ie n t e , e s to e s , x = ^ 4 - y a x e y + 3-. Luego, se
obtiene
y - ^ y + ^ - y ) 3/2A( R) ~ l (L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tey 3 2
I ji-m pío 7. Halle el área de la región R lim itada por las gráficas de
y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3 y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4
So lución
I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es
A (R ) = J j|x3 - 4 x 2 + x + 6¡ - y j j d x
f 4 í 4 x 2= |x3 - 4 x2 + x + 6| d x + — d x
Jo Jo 3
l'íii.i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que
|x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|
[x 3 - 4x2 + x + 6, 0 < x < 2|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3
3 - 4 x 2 + x + 6 , 3 < x < 4
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego,
r 4
/ = í \x3 — 4 x 2 + x + 6\dx 'o
= í (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx - f (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx + f (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx J o J2 h
_ 22 1 4 7 _ 71
_ T + 12 + 12 ~ T
Por tanto, el área de la región R es
2 ( r *u 1 1
71 6 4 341A (R )
4V2 64dx = -
E je m p lo 8. H a lle el área de la región í í que se encuentra en el primer cuadrante y
está lim itada por las curvas x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3.
So lu c ión
Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos
>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D (4; 3/4)
La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la
región Q es
A W = A W ¿ + M B O = [ [(i - i) - 1} i x + j ‘ | ■- (i - ;)
= (2 — ln 4 ) + ^6 ln — 2 j =
dx
7 2 9 .
I n 2 5 6 "
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E jem p lo 9. H a lla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está
limitada por las gráficas de y = x 2 , x 2 = 4y , x + y = 6.So lu c ión
La región F se muestra en la Fig. 4.12. L o s puntos de intersección de las curvas
en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de ecuaciones:
y = x 2y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el p rim e r cuadrante)
y = x 2/ 4 y = 6 — x
.uego, el área de la región F es
y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2 4 1 - 2 (para el p rim e r cuadrante)
A(F) - A(Fi) + A(F2) = J ( x 2 - ^ x 2^Jdx + j ^ 6 - x - ^ j d x
1 1 = 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2
K jem p lo 10. L a región F, lim itada por la curva y = 1 0 * - 5 x 2 y el eje x, es
d iv id ida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la ecuación de dicha recta.
So lu c ión
La región F se muestra en la Fig. 4.13.
La pendiente de la recta L que pasa por
el origen y por el punto (a; 1 0 a -.r>a2) es
1 0a — 5 a 2m = --------------- = 10 - 5a.
a
Así, la ecuación de la recta L es
y = (1 0 - 5 a )x .
I’or otro lado, el área de la región F es
20Fig. 4 .13
/K F ) = I ( 1 0 * — 5x 2)d x — -—u 2 J o 3
A(F) 10Ahora, com o F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , entonces
r a 5 10M F i ) = I [ ( 1 0 x - 5 x 2) - (1 0 - 5 a ) x ]d x = - a 3 = — = > a = V 4
JQ 6 3
l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (1 0 - 5 \Í4)x .
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E je m p lo 11. U n a parábola de eje vertical corta a la curva y = x 3 + 2 en los
puntos ( — 1; 1) y (1; 3). S i se sabe que las curvas m encionadas encierran una
región de área 2 u 2, halle la ecuación de la parábola.
So lu c ión
Este problema tiene dos soluciones.
Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y — x 3 + 2.
Segundo caso: C uando la parábola está por encima de la curva y = x 3 + 2.
P r im e r caso: Sea (Fig. 4.14) la región lim itada por la parábola buscada y la
parábola sem icúbica y = x 3 + 2.
Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es
y = A x 2. + Bx + Cy que los puntos ( — 1; 1) y (1; 3 ) pertenecen a dicha parábola, se tiene
1 = A - B + C ... ( a )
3 = A + B + C ... (/?)
Com o ^ C f i) = f (x 3 + 2 - A x2 ~ Bx - C)dx = 2 = > A + 3C = 3 ... (y )J-i
Reso lv iendo ( a ) , (/?) y (y ) se obtiene
B = 1 , A = 3/2, C = 1/2
Luego, la ecuación de la parábola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Se cu n d o caso: Sea F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a parabola buscada y la
parábola sem icúbica y = x 3 + 2.
Com o A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x 3 - 2 )d x = 2 = > /I + 3C = 9 ... (A)
Reso lv iendo (a ) , (/?) y (A ) se obtiene que la ecuación de la parábola es
2y = 7 + 2x - 3 x 2.
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K jcm p lo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita com prendida entre ia
n irva ( 2 a - x ) y 2 = x 3, (a > 0) y su asíntota vertical.
So luc ión
I ;i asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de l;i región infinita Q . Luego,
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
A(íi) --------- dx — 2 lim2a — X t->2a= 2 Í-'o
= 2 lim I —= = t_>2a Jo J a 2 —
- Í ' t Í,2a Jo V 2 ax — :-.dx
^ a 2 - (x - a ) :
I laciendo u — x — a se obtiene
: dx
A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^ (.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )
= 2 «¿‘12- “2 [iarcse" ( - ir ) - ¿ (t + 3“)V«2a-t) +
= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“2
Fig. 4 .17
K jem p lo 13. D ada la región infinita í í lim itada superiormente por x y = 1,
inferiormente por y x 2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’
So lu c ión
La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es
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I) Som bree la región Í2 lim itada por las curvas dadas y calcule su área.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
TI 711. y = cosx ,x = - - , x = - , y - 0 .
2. y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0.
3. y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1.
4. yx - x
, y = 0, x = - 1 , x = 2.1 + x 2 '
5. y = 3 x - x 2, y = x 2 - x.
6. x = 0 , y = t a n x , y = - c o s x .
7. y = x 3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0.
8. y = ln ( x 2) , y = ln 4 , x = e.
9. x = ey , x = 0, y = 0 , y = ln 4 .
3 x10. y = a r c t a n x , y = a rccos — , y = 0.
11. y = a r e s e n x , y = a rccos x , x = 1.
3 2
22 ,/*. T u
6 4 . fi. y u 2
, n 1 8 \/?. (1 + - - arctan 2 + “
8 ,
R : 3 tt
, ( l1 8 \
- - ln — ) u 2 5/
5 2 R. - u 2 4
R. (4 - e ln 4 ) u 2
R. 3 u 2
/2 4 \ 2 f i - u 2 i )
». g - V l ) u 2
1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2.
13. y = 4 - ln ( x + 1 ) , y = ln ( x + 1 ) , x = 0. R. 2 ( e 2 - 3 ) u 2
14. í í es la región encerrada por la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2. R- nab
15. Í1 es la región de m ayor área encerrada por las curvas x 2 — 2 y 3 = 0 ,
x 2 - 8 y = 0 , y = 3. R■ ( _5_ + 5 ^ ) u2
16. í í es la región de m enor área lim itada por las curvas x 2 + y 2 = 2 0 ,
í 2 8\R. I 2 0 a re sen — - - J uy 2 = 2 x 3.
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17. í í es la región de m ayor área encerrada por las gráficas de S x 2 - 4 y = 0 y
la elipse cuyos focos son los puntos (0, ± 6 ) y cuya longitud de su eje menor
es R- V5 n — 9V 5 arcsen — —V V3 2 J
1 8 . y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0 .
( 4 x - x z ( x 2 + 8 x — 40
l 9 - y = 4 ' . y = --------- 1 6 --------• * > - ‘ . R .1 7 u >x < 0 \ - 3 x - 1 6 , x < - 4
20. y ( x 2 + 4 ) = 4 (2 - x) , y = 0 , x = 0. /?, ^ _ l n 4 j u 2
2 1 . y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x .
22. y — e x , y - e~x , x = 1. r e ~ ^
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
e4
u 223. y — 2 x + 2 , x = y 2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2. R. ( i s + í v ^
24. y = \ x ~ 2 \ , y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6
25. y = y/'x2 - 3 , y = \x - 1|, y = 0. ^ ] n 3 - i ) u 2
26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0. R. (4 + 2 n 2) u 2
x 2 - 427- y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0.
28. y = arcsen x , y = arcco s x , x = 0. R. ( 2 - y j l ) u 2
29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0. r_ (y¡2 - i ) u 2
30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6 x 2 - 2 5 . r . 1 0 8 u 2
31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y = 4 x + 12. R. 6 4 u 2
32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2 x . K. 4 u 2
<3. y + * = o , y = [ / ( t ) d t , d on d e / ( í ) = í 3 f 2 1 f < 2 .Jo l — 2 t — 1 , t .> 2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
34. y = ta n 2* , y = 0 , x - — , x = 0.
35. x zy — 2 , x + y = 4 , * = 1 , * = 2.
36. y = x 4 , y = 8x.
37. y = x 3 - x , y = se n fa x ).
38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5.
39. y = se c 2x , y = ta n 2x , x = 0.
1
3 V 3 -7 T
40. y = , 2 y = x 2.1 + x 2
41. x 2 3 + y 2/3 = a 2!3.
8 a 342 . x = 4 a y ,
43. y = |20x + a: 2 - x 3\ , y - 0.
44. x = y 3 — 2 y 2 — 5 y + 6 , x = 2 y 2 + 5 y - y 3 - 6 .
V 345. y = a rc se n 2 x , x = — ■
J 4
46. y = x e 8_2x\ y = x.
47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4 '
48. y = x 3e 8-2* 2, y - 4x .
4 9 , y = | j c - l | , y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2 .
R.\ ó
R. ( 9 / 4 ) u 2
R. (7 9 / 5 ) u 2
fi- ( í 4 ) " 2R. (3 2 / 3 ) u 2
« . ( í - i y
*■ ( I 4 ) “2
R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2
/?. 2 a 7r — •4a "
/?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2
R. (2 5 3 / 6 ) u 2
'1 V 3R.
/?.
n u
R.e — 73
50. y = V x T T - Vx - 1, x = - 1 , x = 1.
51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 .
52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4.
53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 - 0.
5 4 . y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0 .
R. (7 / 3 ) u 2
R. 3 V 2 u 2
R. 18 u 2
R. 8 u 2
fí. 3 4 u 2
fi. 4
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
T>5. y =X2
r, x 0, x — 1, y — 0. R,(4 — x 2) 3/ 2 ’ ' X ~ L> y ~ u- t y f '
56. y = 60(xs - x 4 + x 3), y = - 2 x , x 2 = 1. R. 52u 2
.r)7. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = - . R —~ ^6 ’ 2
58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2y, 8 x = y 3 , y 2 + y - 2 = 0. R. — u 2
u 2
59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. R. — u 2
96
37
12
2
,2
,2
60. y - c se n ( - ) ln ( s e n , x = 0 , x = a n . R . 2 a c ( l - ln 2 ) u
61. y 3 ( x - 2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1 , x = 10. R. 9 u
62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0. R. 2(7r + 2 )u
63. Í2 es un arco de la c ic lo id e cu ya ecuac ión param étrica es
x c i(t s e n t), y = íz(1 — e o s £). R. 3 tccl2
f 2nSugerencia: 4(.fi) = y dx.
64. D. es la re g ión lim itada p o r el astro ide x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t.
3/? . - 7 T U 2
865. D. es la f igu ra com p re n d id a entre la h ipé rbo la x 2 - y 2 = 9 , el eje x y el
d iám etro de la h ip é rb o la que pasa po r (5; 4). R. 9 l n 3
2 \x \
66. f í es la re g ió n lim itad a p o r la gráfica de / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s1 -f* X
rectas vertica les co rre spond ien te s a las a b sc isa s de lo s pun to s m á x im o s abso lutos. A (]n 4)u 2
67. í í es la re g ión lim itada po r la g rá fica de / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las dos
rectas vertica les que pa san p o r lo s puntos m ín im o s re lativos.
R. (7 / 1 2 0 ) u 2
60. es la re g ión ence rrada p o r y 2 = x 2 - x 4. R. ( 4 / 3 ) u 2
69. Cí está lim itada p o r un la zo de la cu rva a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2).
n 4íj2 ?R. — u 25
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
70. £2 e s t á encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2cu).n h
R. - u 2ab 30
71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4 a 2x y
72 Q está encerrada por la lemniscata ( x 2 + y 2) 2 a (x V )■R. a 2 u 2
73. Q está acotada por y (4 + x 2) = 5 y el sem icírcu lo superior de ^
x 2 + y 2 — 2 y = 0. S. ( 2 - 5 a r c t a n - + 5 ) u 2
7 4 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) ( y - x + 3 ) - 4 - x .R. 4 n u 2
7 5 . y = 9 - x 2 , y = ln (x - 2 ) , y = 2 .
II E n cada uno de los siguientes ejercicios grafique ía región ilim itada Q. y halle
su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.
n 21 . y = se c h x y su asíntota. 2 U
2 y = y su asíntota. R. 16tt u 2
x 2 + 16
3 (4 — x 2) y 2 = x 4 y s u s asíntotas verticales. R- 2nu2
4 . y = a rctan x , 2 y = i r , x = 0 .
7T 25 . y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u
R. no existe
n
2 W 4|xl m R . 3 n u 26 ' y ~ 1 + x 4 ' V 1 + x 4 '
I I I Determ ine m de manera que la región que está por encim a de y m x y
debajo de la parábola y = 2x - x 2 tenga área igual a 3 6 u . K. m -
IV I I área de la región com prendida entre la parábola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje
x es d iv id ido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.
I lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6 (2 - V 4 J x
V L a h ip é r b o la equilátera x 2 - y 2 = 8 d ivide en 3 regiones a la
circunferencia x 2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.
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4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C IÓ N D E L A S Á R E A S D E L A S
S E C C I O N E S T R A N S V E R S A L E S
Sea S un só lido lim itado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posib le hallar
el vo lum en de este sólido. P o r ejemplo, sea Sx una sección plana del só lido S
obtenido al cortar el só lido con un plano perpendicular al eje x en el punto de
abscisa x (Fig. 4 .18) y supongam os que existe un intervalo [a; b] tal que
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- uxe[a:b]
S i >5(5X) es la función área de la sección plana (llam ada sección transversal de S)
y es continua, V x e [a; b], entonces el vo ium en del só lido 5 está dado por
í A(Sx)d xJ n
Fig. 4 .18 Fig. 4 .19
Ejem p lo 14. L a base de un só lido es la región lim itada por la elipse
b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 .
I lalle el vo lum en del só lido S si las secciones transversales perpendiculares al eje
x son:
¡i) T riángu lo s rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.
b) Cuadrados. c) T riángu los de altura 2.
So lu c ión
a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. E l
só lido es la un ión de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo
isósceles de área
M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y)h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2)
Luego,
f a b 2 /4 \F = J — (a 2 - x 2)dx - i^-ab2J u 3
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h) S i las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el só lido queda
descrito com o la unión de los Sx, x E [ - a ; a], tal que Sx es un cuadrado e
lado 2y = — y¡a2 - x 2 . Luego, el área de la sección Sx es
¿ ( S * ) = ( 2y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2)
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
= í 4 j ( a z - x z ) d x = ( ^ - a b ^ u 3 J ~-n &
Por tanto, el vo lum en del só iido es
b 2y
J~ac) S i las secciones transversales son triángulos de altura 2 (F ig. 4.21), ei so lido es
la unión de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el triángulo de altura 2 y base
2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la sección plana es a
1 2b r— —A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - .
Por tanto, el vo lum en del só lido resulta
/-fl U _______ _V = — y /a 2 - x 2 dx = (n a b ) u 3
L a a
l 'ic m n lo 15 U na recta se mueve paralelamente al plano y z cortando a las dos
elipses b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A c 2x 2 + a 2z 2 - a 2c 2, que se encuentran en los
planos x y y x z respectivamente. Ca lcu le el vo lum en del cuerpo asi engendrado.
SoluciónKn este sólido, la sección Sx es un rom bo (Fig. 4.22) cuyas d iagonales son
2 y A 2z. Luego, el área de la sección plana es
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
U --------------- , ........ .....(lomo y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x2,
a a
entonces el vo lum en del só lido es
[ a be = | 2 — ( a 2 - x 2)d x
J —a ^
= ( ? a f , c ) U =
E J E R C I C I O S
1. La base de un só lido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales
del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el volumen del sólido.
R. ( 1 6 r 3/3) u 3
U n sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos
isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.
Determ ine el vo lum en del sólido.
R. ( 4 / 3 ) u 3
V Halle el vo lum en del só lido S que es la parte com ún a dos c ilindros circulares
rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.
R. ( 1 6 r 3/ 3 )u 3
4. La base de un só lido es una elipse cuyos ejes m iden 20 y 10 unidades. La
intersección de este só lido con un plano perpendicular al eje m ayor de la
elipse es un cuadrado. Calcu le el volum en del sólido.
R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í3
5. Halle el vo lum en de un só lido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas
secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.
R. 3 6 v Í u 3
(>. L a base de un só lido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2. Halle el vo lum en del só lido si las secciones transversales perpendiculares al
eje x son cuadrados.
R. 6 u3
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/ 1 ;i base de un só lido es la región entre las parábolas y = x 2 A y - 3 — 2 x 2. Halle el vo lum en del sólido si las secciones transversales perpendiculares al
eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa
sobre el plano xy.R . ( 3 / 2 ) u 3
8 . E l punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se
desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. E l
plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la
circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan
por la circunferencia. Halle el vo lum en del cuerpo así engendrado.
R. 7 2 u 3
9. U n c ilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un
diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. H a lle el
vo lum en de la parte separada.
R. ( 2 r 3tan a / 3 ) u 3
10. E l triángulo cuyos vértices son 0 (0 ; 0), A(a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del
eje y . Halle el vo lum en del cono obtenido.
R. (n a 2b / 3 ) u 3
11. L a base de un só lido es un círculo de radio 3. T odo plano perpendicular a un
diámetro dado interseca al só lido en un cuadrado que tiene un lado en la base
del sólido. Ca lcu le el vo lum en del sólido.
R. 1 4 4 u 3
12. L a base de un só lido es la región lim itada por y = 1 — x 2 , y = 1 — x 4 . La s secciones transversales del sólido determinadas por planos
perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el vo lum en del sólido.
13. E n un só lido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos
cuyos diám etros se extienden entre la curva x = ^[y y la recta x = y.
Calcu le su volum en.
R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3
14. La base de un só lido es un círculo lim itado por x 2 + y 2 = 25 y las
secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.
Ca lcu le su volum en.
15. U n c ilind ro recto cuya base es una elipse está cortado po r un plano inclinado
que pasa por el eje m enor de la elipse. Calcu le el vo lum en del cuerpo
engendrado, sabiendo que la longitud del eje m enor de la elipse es 8 y la
longitud del semieje m ayor es 10.
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.3 V O LU M EN DE UN S Ó L ID O DE R E V O L U C IÓ N
plana'urededor^e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT 'd0 ^ ^ llama eje de revolución. P 6 la reg lo a La recta fiJa se
4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R
: * , " < £ 4 M t 'o t o i i a d T T r a y - X = * ' ( F ig - 4 2 n U secció" t ra sv e rsa l•'! q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5 P '“ o Perpendicular• i r , Por x e es un círculo de radio i v i = I f f r 'U m « *
circu la r). E l area de esta sección es 1/ M I (d isco
A (s x) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e [ a ; b ]I -ucgo, por el método de las secciones transversales, el vo lum en de 5 es
Observación 2. Sea S el sólido de ' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en h>rno a l eje y de la región plana R limitada
,a c u n a x = 9 (y ) (g continua en el intervalo [c ; d ]), el eje y y ¡as rectas v - c A y - d (Fig. 4.25).
/ monees el volumen del sólido es
n f c [ g ( y ) l 2 d y ' j u 3
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Observación 3. Sean f ,g \[a - ,b ] R funciones continuas cuyas gráficas se encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g (x ) \ < ] / ( x )| , V x 6 [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la región ü acotada por las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / (x ) ) .
Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano perpendicular al eje x que pasa p or x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27), entonces el área del anillo circular es
¿ ( S * ) = Tt { [ f (x) ]2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]
Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta
[ g ( x ) ¡2] d x u
revolución es
- a v - r ¿) d x u
donde R es el radio m ayor del an illo circular y r es el radio m enor (fig. 4.26), S i
r = 0 , la fórm ula es la que se obtiene por el método del d isco circular.
Observación 4. Sean f ,g : [a;b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x) — c| < \ f ( x ) — c\,V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) , x a y x = b (Fig. 4.28).
/■'.monees el volumen del sólido S es
V -• J ( l / 'M - c ]2 - [g (x ) - c ]2} d x j u 3
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y )
r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de rotación y \ g ( y ) - k\ < |/ (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es
v = (rc /c V ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3
E jem p lo 16. Calcu le el vo lum en del sólido generado por la rotación alrededor
del eje x de la región lim itada por las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1, y = 0 .
So lu c ión
l-a región se muestra en la figura 4.30. Ap licando el método del d isco (R - e x), ■ se obtiene
V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3 J o J o 2
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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 17. La región lim itada por las gráficas de y — a re se n x , y — 0 y
x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volum en del só lido engendrado.
So lu c ión
C om o el eje de rotación es el eje y, consideramos a y com o variable
independiente. L a región se muestra en la Fig. 4.31.
C om o R = 1 y r = - sen y, entonces el volum en del só lido es
E jem p lo 18. L a región lim itada por las gráficas de y - x 2, y - V * y x - 2 gira alrededor del eje x. Calcule el vo lum en del sólido.
Las curvas y = x 2 y y = V * se cortan en los puntos (0; 0 ) y (1; 1). En la
Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. E n la primera región,
(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio m enor r = x y radio m ayor R — V * . E n la segunda región (1 < x < 2 ), la sección transversal
es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio m ayor R = x 2.
Por lo tanto, el vo lum en del só lido S es
r y 1 1° n 2= ir - + - s e n ( 2y ) = — - u 3
2 4 J-E 42
1 1 + - s e n ( 2 y ) j
So lu c ión
V = n - ( x 2) 2] dx + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x
3
Xx = 3
Fig. 4.32 Fig. 4.33
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Ejemplo 19. L a región lim itada por la circunferencia (x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]
j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el vo lum en del só lido generado (toro de revolución).
So lu c ión
I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde
/ ( y ) = - 2 - V i - ( y - 2 ) 2 A g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T
Así, el radio m ayor /? y el radio menor r son, respectivamente,
= 3 - / ( y ) = 5 + V i - ( y - 2 ) 2 y r = 3 - 5 (y ) = 5 - v ' l - ( y - 2)2
Luego, el vo lum en del só lido de revolución es
V = 7i (R 2 - r 2) d y = n 2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y d y
= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a rc se n (y - 2 )] = ( 1 0 n:2) u 3
Ejemplo 20. La región lim itada por la elipse b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z con
0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el vo lum en del sólidogenerado.
Solución
C om o la elipse es simétrica respecto al
eje mayor, podem os considerar que el
só lido es generado por la rotación de
la región som breada en la fig. 4.34
alrededor de! eje x. A s í, el radio de g iro del d isco circular es
b i------------R = y = - V a 2 - x 2
aPor consiguiente, el vo lum en del sólido de revolución es
í a í a b 2 /4 \V = n j R2d x = n J — ( a 2 - x z ) dx = y - a b 2n j u 3
Ejemplo 21. L a región infinita comprendida entre la curva x + x y 2 - y = 0 y su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el vo lum en del sólido.
Solución
Al despejar x de la ecuación, obtenem os x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y 2
vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0 .
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Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio
de giro en el p rim er cuadrante es R = x = ^ -j . entonces el vo lum en del só lido
es
V = 2tc í R2d y = 2n í J o J o (i + y 2) 2
Haciendo y = tan 9, la integral resulta
y = 2K, ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0
= 2” tÜ !S , [ iarctan(t)- 2 c T T F ) ]
+ oo 2 f t y 2
d y = 2n J im _ „ , d y/ní-+oo J0 ( i + y 2Y
E je m p lo 22. Determ ine el vo lum en del só lido de revoluc ión generado al rotar
alrededor del eje x la región infinita com prendida entre la recta y = O y la curva
y = L
S o lu c ión
1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el método del disco, se obtiene
r + “ / i \2 r + " _ !
i' H 1 t e ) ; t 3 ‘b
= , M im j V « «fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l 'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )
= 37T u 3
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Sea f \ [a;b] -» K , a > 0 una función continua y no negativa y S el só lido dé
revolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región í í lim itada por las f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (Fig. 4.38)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA
4.3.2 M É T O D O DE LA C O R T E Z A C IL IN D R IC A
i:i sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado com o la unión de los c ilindros C x G [a; b], es decir, * ’
5 = U Cxx e [a :b ]
C om o el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por
A(CX) = 2nx f ( x ) ; x 6 [ a , b]
se deduce que el vo lum en del só lido S es
K = í A(Cx ) d x - 2n f x f ( x ) d x Ja
Observación 6. Sean f ,g : [a; b] -> M
funciones continuas en [a;b] tales que ,<l(x) < / ( * ) , V x e [a; b], y S e l sólido de revolución obtenido al hacer rotar alrededor de la recta x - c , con c < a, la región Q limitada p or las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40). l-.ntonces el volumen del sólido S es
V = Í 2 n (x - c) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x u
Fig. 4 .40
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
Observación 7. Sean f ,g \ [a; b] •-> E
funciones continuas en [a; b] tales que g ( x ) < f [ x ) , V x e [a,b], y S el sólido de revolución obtenido al hacer girar alrededor de la recta x = c, con c > b, la región Q limitada por las gráficas de x = a , x = b , y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen del sólido S es
K = ( 27t J (c - x ) [ f ( x ) - g (x ) ]d x " ju 3Fig. 4.41
Observación 8. Sea Q la región limitada por las gráficas x = f ( y ), X = g (y ) , y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / (y ) ,
V y G [a,b] , y S el sólido de revolución que se obtiene a! hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con c < a . El volumen de S es
V = (^2n j (y - c )[ /(y ) - s (y )]d y j u3
Observación 9. Sea Q la región limitada por las gráficas de x = g (y ), x = f ( y ), y = a A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / (y ) ,
V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con b < c. El volumen del sólido S es
V = ^2n J ( c - y ) [ f ( y ) - g ( y ) ] d y j u 3Fig. 4.43
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l'.jemplo 23. Encuentre el vo lum en del sólido engendrado al girar sobre el cíe y l:i región lim itada por la curva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 .
So lu c ión
1.a región se muestra en la figura 4.44. Ap licando el método de la corteza leñemos
V = ZU i X ^ d x = ¿Tl\2 x ( x ~ 2 ^ dx
= 2 n í (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h
147r=
A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A
l'.jemplo 24. Halle el vo lum en del sólido generado por la rotación de la región
limitada por las gráficas de x + y2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.
Solución
l a región se muestra en la figura 4.45. C om o el eje de revolución es horizontal, el volum en del só lido es
V = 2n f (3 - y ) l (6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d yJ - 3
= 2n f ( y 3 - y 2 - 9 y + 9) d yJ_3
256tt ,= — ^— Uá
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 25. Calcule el volum en del sólido de revolución que se obtiene al g irar
alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de
y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x — 4 = 0 So lu c ión
La región se muestra en la figura 4.46. A l aplicar el método de la corteza cilindrica, el vo lum en del só lido es
V = 2 n J (x - l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1 ] dx
Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene
¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) ' 1 ~ x < 3
De aquí resulta
V
2 x - 3 , 3 < x < 4
= 27r|j O _ 1 )[(3 + 2x - x 2) + l ] d x + J (x - 1) [ 0 Z _ 2x - 3 ) + 1] dx
= 2n ( - 4 + 2x + 3 x 2 - x 3) dx + J O 3 - 3 x 2 + 2) dx
( 3 5 ^ 59 ,= 2 ^ ( 6 + T ) = y 7 r u 3
E jem p lo 26. Ca lcu le el vo lum en del só lido que se obtiene al rotar alrededor de
la recta y = 3 la región Í1 = { O ; y ) e M 2 / O < x < c o sh - 10 ) - O < y < 2}.
So lu c ión
La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está lim itada por x = c o sh y ,
x - O, y O A y = 2. C om o el eje de giro es la recta horizontal y — 3,
entonces el vo lum en del só lido de revolución es
V = 2n í (3 - y ) ( c o s h y ) d y = 2 7r[senh (2 ) -!- c o sh (2 ) - l ] u 3 Jo
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Ejem p lo 27. L a región infinita comprendida entre la gráfica de x y 2 = ( 3 a — x )
(<i > 0) y su asíntota vertical x = 0 gira alrededor del eje y. Calcu le el vo lum en
del só lido generado.
So luc ión
Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el vo lum en del sólido pedido es
A P L IC A C IO N E S DE LA IN T EG R A L D E F IN ID A
9 a 2n 2 — ^— u
Fig. 4.48
E JE R C IC IO S
Ivn los siguientes ejercicios, calcule el volum en del só lido generado por la
rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde
1. L ■ eje x ; 12 : y = x 2 , y = 4x. ( * )
( * ) Entiéndase Q lim itado por las gráficas de y = x 2 A y = 4x.
, 3 17T ,2. L : y — 0 ; I] ■■ y = (x — 1) 3 , x = —1 , x — 0 , y — 0. R. — - u 3
160
3. L ■ y = 0 ; SI : x 3 - 5 x 2 + 8x — 4 , y = 0. R. - ™ u '
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5. L: eje x ; ü: x 2 + y 2 - 2 b y + b 2 - c2 = 0 (b > c > 0 ) R. ( 2 n 2b c 2) u 3
s e n x 7r 2 /3\6 . L :e je x ; /2:y = -------------- , x = - , x = - n R. l n l - l u
1 - c o s x 2 3 \2/
71 / V 2 \7. L : e j e x ; /2:)' = e * s e n ( e * ) , x = 0 , x = l n — R. I c o s l — 2~ ) u
1 2 8 V 2 tt ,8 . L :y = 4 ; Í2: y 2 = 4 (2 — x ) , x = 0 ----- ------ u
Tí9. L: eje x ; í l-.y = sen x , y = 0 ,x = 0 , x = —
10. L : x = 4 ; / 2 :x2 + y 2 = 1
1 1 . L: x = —2 ; , íh y 2 = x , y = x 2
12. L: y = - 1 ; Í2:y = a r c c o s x , y = a r c s e n x , x = 1
13. L:x = 0 ; /2: y = V x 2 + 10 , x = 3 , x = 4
T O P I C O S Di ; C Á L C U L O - V O L U M E N II
A. L:y = 0; Í2: x 2 + ( y — 3 ) 2 = 1 R . 6 n 2u 3
R.3
R. — u 34
R. 8 tc2 u 3
49rr ,R. ------u 3
30
R. ( 2 6 V 2 6 - 1 9 V l 9 ) u 3
7114. L : x = 0 ; í l : y = c o s x , y = 0 , x = 0 , x = -
15. L : y = 0 ; i2 : y = ( v x - - ^ ) , x = 1, x = 4, y = 0 R. 7r ( l n 4 + - ) u
¡—------ / 2V 2 - 116. ¿ : y = 0 ; fi: y = 0, y = 2, x = 0, x = y j y 2 + 4 /?. 16tt (■
V 371
17. L . y = - 1 ; Í2 :y = a rc se n x , y = 0, x = —
18. L \ y = - 1 ; Í 2: y = V x 2 - 3 , y = x - 1, y = 0
1 Í7T ,19. L : x = 0 ; /2:y = ----- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. 7r u 3
c o s ( x 2) \ 4
1671 320. L: x = 0 ; íl: y = x 3 + x, x = 1, x = 0 i?. -y^r- u
21. L:x = 1 ; /2:y = |x2 - 2 x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4
4 5 ,22. L .y = 0 ; í l \ y = x + 2, y 2 - 3 y = 2 x R . — n u 3
23. ¿ : e j e y ; Í2 : y = | se n x | , 2 x = 7r , 2 x = 37r , y = 0
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25. L-.y = 0 ; 12: x + y - 1 , V x + ^/y = 1 ^ u 3
. '6 . L: x — — 1 ; Í2: x = 0, y = 2, y = yfx
n . ^ = 0 ; ^ = g ; ^ ; . y = o , * = 2
2H. L : x = 0 ; . f i : y = 2 + s e n x, y = x, x = 0 , x = ^
2 3 329. L:x = 0; Í2:y = x 5, x = - 1 , x - - 2 , y = - 1 /?. -------t t u 3
7
30. L:x — O - ñ \ a 2y 2 — b 2x 2 = a 2b 2, |x| = a R. 4 ?m — 12 u
31. L:x = 4‘ ;. Í2 : y = ( x - l ) 2, y = x + 1
32. L \y = 0 ; i2: ( x 2 + y 2) 2 = 4 ( x 2 - y 2) fl. 2 tt|V 2 ln ( l + V 2 ) -
33. L:x = 0r; Ñ : y = 3 x 2, y = 4 - 6x 2 /?. — u 39
2834. L : x = 0 ; íl: x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 ( Í2: co ro n a ) R . — n u 3
OCA35. L:x = 0 ; ú : x - y 2, x = 8 - y 2 /?. -------n u 3
3
36. L :y = — 4; /2;2x + 3 y = 0, 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6
37. ¿ : y = 0 ; /2: x 4 + y 4 = 4 x 2 . fl. y j r u 3
38. L \x — —2 ; /2: ) x |3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y = = 0
39. L : x = 5 ; / 2 :y ( l + x 2) = 2, y = x 2
40. L : y = 4 ; / 2 :y ( l + x 2) = 2, y = x z
x 2 y 2 441. L : e j e x ; Í 2 : — + — = 1 /?. - n c i b 2u 3
a 2 b 2 32 2
42. ¿ : e j e y ; /3: + 1 R. ~ n a 2b u 3a 2 b 2 3
7T 7T13. L \y = - ; y = a rc ta n x , x = 0, x = y = 0
APLICACION ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
¡A. L :y = 0 ; í ¡ :y = V4 - x 2 , y = l J x = 0 , x = V3 R. 2n\Í3u^
44. L: x + 1 — 0 ; ü\y = a rc tan x, x = 0, 4x = n, y = 0
19?
3
00|
N)
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
45. L \ y = 2 ; íl- .y = l n x , y = 0, x = 0, y = 2
46. L:x = e 3 ; i2 : y = ln x , y = 0 , x = 0 , y = 2
1 28
~3
40
~3
47. L:x = - 2 ; í l : y = 0, y = 4 - x 2 R . ^ - t c u 3
r- 4 0 *48. L-.y = 2 ; Í2 : y = 0, x = 4, y = Vx R. — n u 3
1 ( 1 4 5 \ ,4 9 . L : y = - 2 ; ¿2: y = V x - -^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. 7r ( h i 4 + — J u ó
nSQ. L: y = — 2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g
C O S % 7T 7T51. L: e je x ; ¿2 : y = ' ^ sen ' ¿ - y = 0, x = a, x = - con 0 < a < -
7T y - co s a + ln ( V 2 - 1) - ln (c sc a - ept a ) u 3
52. L: y = 0 ; ¿2: y = (x + l ) e * , x = 0 , x = l, y = 0
53. L : x = 0 ; /2:y = e x\ y = 0, x = 0, x = 1 R. 7r(e - l ) u 3
54- L\x = 7 ) ü : y = x e 2*, x = l , x = 3, y = 0
55. L : y = - 1 ; J3:y = ln x , y = 0, x = e R. 7 ieu3
56. L: eje x ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3
/a V 357. ¿ : e j e x ; /2: T r iá n g u lo equ ilá tero con vértices (0; 0), ( a ; 0), I - ; — a
n a 3
*• —58. L : x = - 3 ; /2: y = x 5 + 8 , y = ( x 3 - 2 ) 2, x = 0
59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva ( y 2 - b 2) 2 = a 3x2 5 6 n b 9 _
R. ------.— r- u 33 1 5 a 6
60. L’. e j e x ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva
= q x ( x - _ 3 a ) a > 0 R ™ (1 5 _ 1 6 ln 2 ) u 3
x - 4 a ¿
61. L: x = 4 ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4
R. 3 2 tt[1 - V 2 + ln ( 1 7 V 2 ) ] u 3
62. L : e j e x ; fl es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ,— o
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__________ 2 3(.3. L : e ] e x ; H : y = e~xJ c o s ( e ~x ) , x = l n - , x = l n -
n n
R■ — [(3 - V 3 ) n - 3 ]u 3
6 25()4. L: x = 1 ; ú : x 2 - 4 = y , y = - 3 x fl. ------- t t u 36(i.r>. eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y lim itada
por x = 0 , (4 + x 2) y 2 = 4 - x 2 /?. 47r (7r - 2 ) i í3
(>6 . A la curva ^/xy - 2 x + 3 y - 6 = 0, en el punto (3; 3 ) se trazan las rectas
tangente y normal. Ca lcu le el vo lum en del só lido generado por la rotación
alrededor de la recta y = - 3 , de la región lim itada por la tangente, la normal10222
norm al trazada y el eje y. R. ----------n u349
(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6 , se ha trazado una
tangente. Calcu le el vo lum en del sólido generado al girar alrededor del eje x, la región lim itada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.
R. 7 2 n u 3
(.8 . L: eje x ; íl: y = x e x, y = 0, x = 1 ' R. - <e 2 - l ) u 34
69. L: eje x , ü: es la región lim itada por y = 0 y un arco de la cicloide
x — a ( t sen t), y = a ( l - eos i ) R. 5 n 2a 2u 3
70. L : e j e y ; fl es la región del problema 69 R. 6 n 3a 3u 3
KCL371. L:x = a n ; SI es la re g ión del p rob lem a 69 R. ------( 97r 2 - 1 6 ) u 3672. L .y = 2 a ; ü es la región del problema 69 R. 7 n 2a 3u 3
73. L: eje x ; fí es la región lim itada por x = a e o s3t , y = a se n 3t.
74. Sea /; [ 0 ; + 00) -» ffi una función continua tal q u e / ( x ) > 0 , V x > 1. Para
todo a > 1 , el vo lum en del sólido generado por la rotación de la región
lim itada por las gráficas de y = / (x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor/ -a
APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRA L DEFINIDA
del eje x es: V = + 2 a 2 - - j u 3. Determ ine f ( x) .
R. f ( x ) = . V x 2 + 4 xVtt
75. Sea /: [0; + 00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el vo lum en del
só lido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra
entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0 es V = ( a 2 + a ) u 3 . Determ ine / (x ).
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1. L a curva y 2 (2a — x) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el
vo lum en del só lido generado.
R. 2 n 2a 3u 3
1 x2. Sea fl la región infinita com prendida entre las gráficas de y = - A y =
y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje
x. Calcule el vo lum en del sólido generado.
13. n es la región com prendida entre la curva y = - 2 — ^ y su asíntota y el eje
de rotación es el eje x. Calcule el vo lum en del só lido generado.7T2 „
R. Y u>
C _ 4 t4. fí es la región com prendida entre la curva y = J — ------ d i (x e IR) y
su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3
1 6 '
5. £2 es la región com prendida entre la curva x y z - 4 a 2(2 a — x) y su asíntota,
y e! eje de revolución es su asíntota. Halle el vo lum en del só lido generado.
R. Anz a 3 u 3
TOPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.
6 . fl es la región com prendida entre la curva y 2 = — — - y su asíntota x = 2 a
y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el vo lum en del só lido engendrado.
R. 2 n 2a 3 u 3
7. fi es la región com prendida entre la curva
rse n xx > 0
y = \ x( o , x = 0
y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el vo lum en del só lido
generado sabiendoi que íJ 0
Tí
dx = 2'TI ,
R. — u 32
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APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRA L DEFINIDA
i. i L O N G IT U D D E A R C O
Se;; / : [a; b] -» R una función con derivada continua en [a;b] y
P - {x0, x 1 , una partición de [a;6], Esta partición define una poligonalc o n f lu id a por los segmentos rectilíneos desde ^ ( x , ^ ; / ( * , _ , ) ) hasta < M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).
n n
L{p) = = Z V O i - * ¡ - i ) 2 + (/ ( . r j -¿=1 i=1
i I numero ¿ - ¡|{i|m o L(P), si existe, se llama longitud de a rco de la curva
y = f { x ) desde ei punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(£)). Dem ostrarem osque en este caso el número L siempre existe.
Com o f es derivable y continua en [x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorema deLagrange o del V a lo r M ed io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que
f (x¿) — = f ( t i) (x ¡ — x ¡_ x) , i = 1,2 ,..., n
I laciendo A¿x = x¿ — x , i = 1,2,..., n , tenem os
■ A n= V (A¡ * ) 2 + [ / '( t i) ] 2. (A 1x)2 = V V i + [ / '( t ¿)]2
Í=1 fet
l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es
n
1 ~ I & I W M . es decir
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TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es
1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en form a paramétrica mediante un p ar de funciones con derivadas continuas, esto es,
C:£ : $ rEntonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es
¿ = Vl*'(t)]2 + [y'(OP dt'Ju
E je m p lo 28. H a lle la longitud de la curva
,-------------- (1 + Vsec2x + 1 \ n ny = v sec2x + 1 - ln ---------------------- desde x = — hasta x = -' \ se cx J 4 3
So lu c ión
A l aplicar las reglas de derivación y sim plificando se obtiene
^ = tan x V s e c 2x + 1 dx
Por lo tanto, con la fórm ula de la longitud de arco resulta
L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x (se c 2x + l ) ] 1' 2 dx4 / 4 4 K d x J J ” / 4
rn /3= I sec2x dx = [tan x \nJ^ = (V 3 - l ) u
E je m p lo 2 9 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es
desde x = —2 hasta x = — 1 .
So lu c ión1 x 4 d y x 3 1
Com o y = — r + — , entonces — = —-Luego, la longitud de arco esJ 2 x 2 16 dx 4 x 3
l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡ i - + 1
- Í T ( ^ ¿ )
dx
(x 3 1 \ 21■ + — I dx = — u
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A PLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L D EFIN ID A
E jem p lo 30. Ca lcu le 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:n n- < x < -2 ~ 2
y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^
~2So lu c ión
C r 7T 7TiComo f ( x ) = J V e o s t dt , V x 6 entonces f ' ( x ) = V c o s x es
~2. r ^
continua en el intervalo - j . Por lo tanto,
2 5 ___________ re
L = J * V 1 + c o s x d x = dx = P e o s ( | ) d x = 4 u
~2 “ 2 “ 2
E jem p lo 31. H a lle el perímetro del triángulo curvilíneo lim itado por el eje de las abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *
y = In ( c o s x ) , * e A y = l n ( s e n x ) , x 6 ( 0 ; n )
So lu c ión
Las gráficas de f ( x ) = ln ( c o s x ) , x 6 y de g ( x ) = ln ( s e n x ) , x 6 (0;n)
se muestran en la figura 4.50. La s longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson
n¿1 = 2 “
[ n / * _________________ r n ¡ 4
¿ 2 = 1 V 1 + [ / 'O O P d x = | V i + ta n 2x d x = ln ( V 2 + l ) uh J o
( n,z /------------------- ( n' 2 /---------------¿3 = j V 1 + [5 ' ( x ) ] 2 = V i + co t2x dx = l n ( V 2 + l ) u
•'/r/4 ^rr/4
Por tanto, el perím etro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln (V 2 + 1)] u
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E jem p lo 32. Ca lcu le la longitud de la parábola sem icúbica 2 y 3 = x 2,
comprendida dentro de la circunferencia x 2 4- y 2 = 2 0 .
So lu c ión
La gráfica de la parábola sem icúbica se muestra en la Fig. 4.51. L o s puntos de
intersección de las dos curvas son ( - 4 ; 2) y (4; 2). Ahora, derivando
implícitamente la ecuación 2y 3 = x 2 con respecto a y se tiene
dx 3 y 2 ( d x \ 2 9 y 4 / y 3\ 9 y— = — = > 1 + — ) = 1 4 - — 5- = 1 4 - 9 y . I — = 1 + — d y x Vdy/ x 2 \ x J 2
C om o la gráfica de la parábola sem icúbica es simétrica con respecto ai eje y,
entonces la longitud de arco com prendida dentro de la circunferencia es
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
->r•'0i + \ y d y = (Viooo - i)u
Ejem plo 33 . L a posición de una partícula en el instante t es
x ( t ) = 1 - eos t , y ( t ) = t - sen t
Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l
Solución
El recorrido total de la partícula es
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lin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por
c , , a + V a 2 - x 2 i---------- ra ai/ ( x ) - a ln(----------------- ) - V a 2 - x 2 ,x e R. (a ln 3 )u
A PLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A
E JE R C IC IO S
/ ( * ) =a:4 + 3
6 x* 6 [1 ; 3] R.
( y ) “,i. / O ) = X1' 2 - - x 3/2, x £ [0 ; 1]
/ ( x ) = V e2* - 1 - a rc s e c (e * ) - 1 , x -£ [0; 4]
f W =6 2x
O.
7.
I ) .
9.
10,
11.
12.
13.
14.
x e [2; 5]
/ (x ) = ln ( - x ) , x e [-V 8 ; - V I ]
X X —— —f ( x ) = - a r c s e n x - - V l - x 2 , x e
4R. - u
R. (e4 - 1 )U
393
fi' lo -“
* . ( l + í !»§)< *■
*•
/ ( x ) = ¿ W * 2 - 1 - ^ l n ( x + V x 2 - 1 ) , X £ [3; 5] R. 8 u
x = i y5/3 ~ ^ y 1/3-y e [0; i]
y = (9 - x 2/3) 3/2, x £ [1; 2]
2 7 /?. — u
20
9 3 /—R. - ( V í - 1 ) u
y = - W 3 - x 2 + ^ a r c s e n ^ x j , x £ [0 ; 1] /?. +
y - 1 - ln ( c o s x ) , x £ ¡ 0 ;£ ] fí. I n ( V 2 + 1 ) u
y = a rc se n (e * ) , x £ [0 ; 1 ]
xy = a c o s h - , x € [0 \b]
a
y 2 ix = T ~ 2 l n y , y e [1;e]
l(>. / ( x ) = ln ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0
R. ln(e + V e 2 - 1) u
/b>R. a senh
( e 2 + 1R.
R.’ e 26 - 1ln^ _ i ) + a ~ b
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1; 2]
18. x = (a 2/3 - y 2/3)3 2 , y e [-a ; a]
59R- 7T7U
2 0 . x =■ e c sen t , y = eos t, t e [0 ; 7r] R. v 2 (e ’r - 1 )u
R. 3 a u
R. — [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ]u
R. V 2 ( e ’r - l ) u
punto m ás p róx im o donde la tangente es vertical. R. ln — u
2 2 . x = a (eos t + t sen t) , y = a ( se n t - t eos t ) , t e [0 ; a ]
R. ~ a a 2u
II. E n los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se
indican.
1. L a longitud total de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 R. 2n a u
2. L a longitud total del astroide x = a e o s3t , y = a se n 3t R. 6 a u
3. L a longitud del arco de la rama derecha de la tractriz
7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0
desde y = a ha sta y = b con 0 < b < a. R. a l n ^ - J u
/Xn2/3 /y>.2/34. La longitud de la curva ( - J + M = 1 en el p rim e r cuadrante.
a 2 + ab + b 2 R. -------------:------ u
5. L a longitud total de la curva cuya ecuación es
4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3y 2/3 R. 6 au
6 . L a longitud total de la curva 8y 2 = x 2 - x 4 R . W 2 u
R. 4V 3i¿
206 www.FreeLibros.com
II l a longitud de arco de la parábola sem icúbica 5 y 3 = x 2 com prendida dentro134
de la circunferencia x 2 + y 2 = 6 R. — -u27
•J. Calcule el perímetro de la región de menor área lim itada por las gráficas
y 2 = 2 x 3 A x 2 + y 2 = 20
X2II). I,a longitud de la curva y = - - In V x , desde x = 2 hasta x = 3 .
I I . La longitud de la
u irva y = V x - x 2 + a rc se n V x . R. 2 u
I L a longitud total de la curva dada por ( y - a rc sen x ) 2 = 1 - x 2 R . 8u
213. La longitud del arco de la curva y 2 = - ( x - l ) 3 com prendida dentro de la
xparábola y — —
14. La longitud del arco de la curva dada por x = ( t 2 - 2 )se n t + 2 t eos t ,71
y = (2 - t2) eos t + 2 t sen t, desde t = 0 hasta t = n
15. La longitud del arco de la curva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1/2
R. [ - ¿ + I n 3 ] u
III. L o s siguientes ejercicios tratan del m ovim iento de una partícula.
1. En el tiempo t, una partícula se encuentra en el punto
P (c o s t + t se n t ; sen t - t eos t)Encuentre la distancia recorrida desde el instante t = 1 hasta t = n
2. En el instante t, la posic ión de una partícula es
x = 1 + a rctan t , y = 1 - ln \ / 1 + t 2
Halle el recorrido desde el instante t = 0 hasta t = 1 R. l n ( l + V 2 ) u
A PLICA CIO N ES D E L A IN TEGRAL D EFIN ID A
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
4.5 Á R EA D E UNA S U P E R F IC IE DE R E V O L U C IÓ N
Sea /: [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].
Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se
obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). E l área de esta superficie de
revolución está dado por
i4 (S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2dx
Fig. 4 .52
Observación 12, Si la curva se describe por la ecuación paramétrica
C :x = x ( t ) , y = y (t ) , t e [a;/?]
donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es
A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt
Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b] tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es
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.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6 I " : H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie ./<• revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta \ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es
4(5 ) = i^2n J \ g ( y ) - c \^ jí + [ g ' ( y W d y ^ j u 2 (*)
Si la ecuación de la curva C está dada en su form a paramétrica por
x = x ( t \ y = y ( t ) , Vt 6 [a; /?]
donde las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?] entonces la fórm ula ( * ) se transforma en
A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|V"[x'(t)P + [y '(t)]2 d i) u2
Y
b
k C >-----------------. c
/ n(y)
i
S
c
a - - J *x - \
.Y C
.....w -----------►x
.Y - C
Fig. 4.54
Ejem p lo 34. H a lle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de
/ (x) = V24 — 4x , x £ [3; 6], alrededor del eje x.So lu c ión
—2(.orno f ' ( x ) - — , el área de la superficie resultante es
V 2 4 - 4x4
6
f ( x y i + [ f ( x ) ] 2dx
= 2 n \ V 2 4 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x
= 2n I V 2 8 — 4x dx = ----- u2h 3
l a gráfica de f ( x ) = \/24 - 4x se muestra en la figura 4.55.
4 ( S ) = 2n f J a
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E je m p lo 35. Halle ei área de la superf
del eje y del arco de la curva y = a eos
So lu c ión
Considerando que la curva (Fig. 4.5«
superficie generada es
A(S) - 2tt f / (y )V 1 + [/ '(y •'o
/y\ dxdonde x = / ( y ) = a cosh y —
Luego.
A( S) = 2n J a co sh J l - <
= 2n J a c o sh 2 d y
E je m p lo 36. Halle el área de la super
2x = y v V - 1 + ln ¡y - J y 2 - l | ,
So lu c ión
L a ecuación paramétrica de la curva e:
.* ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t -
y ( t ) = t
de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1 A y'(t)
Por tanto, el área de la superficie es
a (s ) = í y c o T I x ' M F n / M F í h
YJc >
ya: = a c o sh (— )
a' " " A .
C7 i
— y <
f > r0a a cosh(l) x
Fig. 4.56
cié engendrada por la revoluc ión airededor
- ' i desde x = a hasta x = a cosh ( 1) a '
>) gira alrededor del eje y , el área de la
)]2d y
= f ' ( y ) = s e n h Q
- se n h 2(^ )d y
n a 2 , „ ,= ------(2 + senh 2 ) u
2
íc ie cuando la curva
y e [2 ; 5 ], gira alrededor del eje x.
^ f2 ~ 1 B , t 6 [2; 5]
= 1
!t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 78n u 2
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al
r l r y del arco de la curva y = - [x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].
Solución
1.1 ecuación paramétrica de la curva es
(x( t ) = t
y ( 0 = ^ [ t 2 - 2 1 n t ] ’ 1 e [1;4]
1 1tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = - ( t - - )
ucgo,
A(S) = 2 ?t J| x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y' (t)]2dt
= 2„ J , J l + i ( , - i ) * d t = 2 , J ‘ l (, + | ) d t = 2 4 ™ ’
I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2
So lución
I .i gráfica de la curva se muestra en la
ligura 4.57.
Se tiene que
dy¿ = f ' M = - e x
luego, según la fórmula, el área de la
superficie es
¿ (S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] dx *'0
= 2n í e xyf í '+ (ex) 2 dx“'O
: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + lne 2 + V i + e ‘
1 + V 2
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E jem p lo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer
x 2 v 2girar la elipse — + — = 1 , a lrededor de:
a) su eje m ayor b) su eje menor
So lu c ión
a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la
curva C descrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e [— 5; 5] (F ig.4.58).
4 i----------- 4 x , , , ,A l em plear / ( x ) = - V 25 - x 2 A / '( x ) = - ^ = = = , el area de la
TÓPICO S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II
superficie resulta
r 5 ¿J, __________
A(S) = 2n j - V 2 5 - X ' l f1 6 x 2
25 (25 - x 2)dx
/ 100 3\= 27r ( l 6 + — arcsen -Jw
b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la
curva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ - 4 ; 4] (F ig .4.59).4
Luego, el área del elipsoide generado es
5A(S) = 2n J j V l 6 - y 2
/ 8071, \ ,= Í507T + - ^ - l n 4 J u 2
1 +2 5 y z
1 6 ( 1 6 - y 2)dy
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I. E n cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de revolución que se obtiene al g irar alrededor del eje x, las curvas dadas por
1 . / ( x ) — — x 3 , x £ [0 ; 2 ] /?. ( 9 8 t t/ 8 1 )u 2
2. / ( x ) = c o s x , x e [ - j ; | ] R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2
3. Un lazo de la curva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4 R. (n a2/ 4 ) u 2
4. 6 a zx y = x 4 + 3a 4 desde x = a hasta x = 2a R. (47 rra2/16 ) u 2
5- / O ) = - x 3, x e [0 ; 2 ] R. ^ ( 1 7 3/2 - l ) u 2
6 . y 2 + 4x = 2 l n y desde y = 1 hasta y = 2 R. ( IO tt/ 3 )u 2
7. x = a c o s 3t, y = a s e n 3t /?. (127 ra2/ 5 ) u 2
8 . y = e ~x , x > 0 R. ;r[V 2 + ln ( l + V 2 ) ] u 2
9. x = et sen t, y = e c eos t desde t = 0 hasta t = |
R. 2nyÍ2(en - 2 )/ 5 u 2
10. y = e - *, x > 0 R. ^ [V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2
1 1 . x = a (e o s t + ln ( t a n | ) ) , y = a sen t fi. 47r a 2u 2
12 . y = t a n x desde ( 0 ; 0 ) hasta ( £ ; l ) /?. t t ( V s - V 2 + l n ^ + 2V4 ' V V5 + 1
13. E l lazo de la curva 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2 R. 3 n a 2u 2
14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4 n 2abu
x 3 115- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R ■ (208rr/9)u2
16. y = 2 x, x e [0 ; 2] r . 8 n V 5 i¿2
17. y 2 = 4 a x desde x = 0 hasta x = 3 a R. (56/ra2/ 3 )u 2
APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRA L DEFINIDA
E JE R C IC IO S
2
II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas
1. x = y 3 , y 6 [0; 3] R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u
2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a R. (2 0 + ln 3 ) n a 2u 2
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TÓ PICO S D E CÁLCULO - VOLUM EN II
3 . 2 y = * V F ^ T + l n ( * - V F ^ T ) , x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2
4. x 2 + 4 y 2 = 16
5. y - x 2 , x £ [1; 2]
6. y = x4/3, x e [1; 8]
III. H a lle el área de la superficie de revolución form ada cuando la curva indicada
gira alrededor del eje dado.
1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1
2 V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lrededor de y = 1 ' ^ 3 4 x
3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1
4. y = ln (x - 1 ) , x G [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1
5. y = 4 + e x, x G [0; 1]; alrededor de y = 4
6. y = 2 x , x £ [0; 2]; alrededor de y = - 1 R - 1 2 V 5 ttuz
4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)
E l momento de m asa de una partícula respecto a una recta L se define com o el
producto de su m asa y su distancia a la recta L. A s i, si m es la m gsa de la particu
y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el m om ento de la partícula
respecto a la recta L está dado por
Ml = m d
Fig. 4.61
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Mx
•Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y
determinar el mom ento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una
recta paralela a un eje de coordenadas). E n este caso se usan las distancias
dirigidas, así el mom ento será positivo o negativo o cero, según la ub icación de la
partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto ( x ; y ) Fig. 4.61 ,
entonces sus m om entos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son
Mx = m y , My = m x
S i un sistem a de n partículas de m asas m 1, m 2 l . .. , m n están situados en los
puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2), ( x n ; y n) respectivamente, los m om entos Mx y My del sistema de n partículas se definen como
n n
= ™ ¡y ¡ - M y = ]jr rriiXi ( I)
í= l i= 1
El centro de m asa o centro de g rave dad de un sistema de partículas es un punto
P ( x ; y ) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el
punto P, los m om entos de P y del sistema coinciden.
S i el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ , m n ubicadas en los puntos
(x \'< yi), f e ) y2). - (x n> Vn) tienen su centro de gravedad en el punto P{x; y ) yque la m asa total del sistema es
n
m = ^ mii= i
entonces los m om entos Mx y My de P están dados por
Mx = m y , My = m x
Luego, de ( I) se obtienen n
APLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L DEFINIDA
= m¿y; y m x = ^m yi= l ¡=1
De donde resulta
_ Z "= 1m ¿x ¡ _x = -------------- y y =--------------
m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto
;i los ejes x e y respectivamente y P ( x ; y ) es el centro de gravedad o centro de
masa del sistema, entonces
My Mx* = -T y = - f (II)m m
donde m es la m asa del sistema.
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Ejemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos P t ( — 1; — 2), P2 (1; 3),
P3( 0; 5), P4(2; 1) y sus m asas son m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4
respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema form ado por estascuatro partículas.
Solución
Tenem os Mx = 2 ( — 2 ) + 3 (3 ) + 3 (5 ) + 4 (1 ) = 2 4
My = 2 ( — 1) + 3 (1 ) + 3 (0 ) + 4 (2 ) - 9
m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12
Luego,
- _ M y _ 9 _ 3 - _ M X _ 2 4 _
X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2
Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P (3 / 4 ; 2 )
4.6.1 C EN T R O D E G RAV ED AD D E UNA R EG IÓ N P LA N A ó LÁ M IN A
En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones
a) U na lám ina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el m ism o peso.
b) L a d en s id ad p de una lám ina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.
S i una lám ina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y
si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA
c) E l centro de m asa de una lám ina homogénea, puede pensarse com o el punto de
balance de la lámina; si esta lám ina tiene un centro geométrico, este será
también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de
masa de una lám ina circular hom ogénea es el centro del círculo; el centro de
masa de una lám ina rectangular hom ogénea es el centro del rectángulo
(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lám ina de masa
m respecto a una recta, com o el momento de una partícula de masa m situado
en el centro de masa de la lámina.
d) S i una lám ina se corta en trozos, el momento de la lám ina es la sum a de los
m om entos de sus partes.
Ejemplo 41 Encuentre el centro de m asa de una lám ina hom ogénea de densidad
p, que tiene la form a propuesta en la F ig. 4.62 (las m edidas están en cm.)
Solución
L a lám ina está form ada por 3 rectángulos y el área total de la lám ina es igual a
9 3 c m 2. S i co locam os los ejes de coordenadas tal com o se indica en la figura, los
centros de m asa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
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U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A
respectivamente. Luego,
Mx = (2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + (1 2 p ) = ^ p
/13 \ 9 6 9My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + (1 2 p ) ( 8 ) = — p
Por tanto, el centro de m asa (x ; y ) de la lám ina está dado por
9 6 9_ My - J - Px = ^ = = 5 ,2 0 9 6 7 7 4 1 9
m 9 3 p
1 1 9 7~ 2 ~ Py = — - = — = 6 ,4 3 5 4 8 3 8 7 1
' m 9 3 p
Sea F una lám ina hom ogénea cuya densidad es constante e igual a p.
Supongam os que F es la región lim itada por las gráficas de:
y = /(*), y = a ( x ) , x = a , y x = b
donde f y g son funciones continuas en [a ; b ] y / ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]
(Fig. 4.63)
Sea P = {x 1, x 2, ■■■,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto m edio de
[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:
m = p [/ (c , ) - 5 (c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,......n ( A ix = x¡ - x ^ )
es la masa del i-ésim o rectángulo som breado en la figura 4.63
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
lil centro de gravedad del i-ésim o rectángulo se encuentra en el punto
( f ( c¡) + g (c¡)>
[ Ci) 2
Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la m asa de cada
rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los m om entos de m asa de los
n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:
Mr
M,
lí /l
Z ™ ¡y ¡ = p [/(c ¡) - 5 (c¡)]/ (c¡) + g ( a )
AjX
Luego, el centro de gravedad (x ; y ) estará aproximadamente en el centro de
gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:
xMy _ P'Z’j=iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X
m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*
Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^
y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x
Pasando al lím ite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas ( x ; y ) del
centro de gravedad de la lám ina F están dadas por
Ja * [ /(* ) - g( x) ] dx ^ _ ^ J q {[/(* )]2 - to (*)]2}
£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y t f \ f ( . x ) - g ( x ) ] d x
C om o se observa, las coordenadas del centro de m asa de la lám ina hom ogénea no
dependen de su densidad p, só lo depende de su forma. Usualm ente el centro de
m asa de una lám ina se denom ina centro de gravedad o centroide, reservando el
térm ino centro de m asa para un sólido.
Observación 1S
a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces x = X0
b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces
y = yo
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Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:
x = f ( y ) , x = g ( y ) , y = c , y = d
donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [c ;d ]
l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y ) de la región F son
APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A
_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy
/,d[/ ( y ) - g ( y ) ] d y~ -= C y t f W - 9 ( y ) ] d y
C ifXy) -g (y )\d y
E jem p lo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,
So lu c ión
El área y los m om entos con respecto a los ejes x e y de la región son
A(R) = í (4x - x 3) d x = 4 Jo
_ 2 2
My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^J o 15
Mx =z2 ¡ 0 “ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J ( 1 6 x 2 - x ü) d x =256J T
_ My 6 4 / 1 5 Luego, x = — = ---------
m mMx 2 5 6 / 21
„ , /16 6 4 \l’o r tanto, el centroide es P \ — : —
V15 21/
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E jem p lo 43 Halle el centro de gravedad de la región lim itada por las ciirvas
x 2 - 8 y = 0 , x 2 + 1 6 y = 2 4
So lu c ión
C om o la región F (F ig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0
E l área de la región y el momento con respecto al eje x son
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUMEN II
A■ a
■ r ' d
16dx = 4 V 2
2 4 - x 16~
dx =1 6 V 2
/ 4 \ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; - J porque A
E je m p lo 44 Encuentre el centroide de la región lim itada por las curvas
x = 2y - y 2 , x = 0
So lu c ión
C om o el centro de m asa está situado en el eje de sim etría y = 1 (F ig. 4.67),
entonces y = 1.
Ap licando las fórm ulas dadas en la observación 16 se obtiene
i l o ( 2y - y 2) 2d y _ e / is _ 2
f g ( 2 y - y 2) d y 4 /3 5
Luego, el centroide es P ; 1 j
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(CJemplo 45 Determ ine el centroide de la región plana lim itada por las curvas
y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde
f ( x ) = í 1 ~ x ’ x ^ °n ) l x 2 + 1, x > 0
So lu c ión
La región se ilustra en la F ig. 4.68. D iv id iendo la región en dos partes se obtiene
APLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L D EFIN ID A
A = í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + . J- 1 J0
11 2 2 55
M,
16 11 _ 71
15 + ~3~ — 15= 2 / K 1 “ * ) 2 “ x *]d x + + ! ) 2 “ x *~idx
f ° r 2 13- x ( l - x + x 2) d x + x ( x 2 + 1 + x 2)dx = ------+ 1 0 =
J- i J0 12
1 07
~12
_ 1 07/12 _ 71/15 ^ , /107 1 4 2 \,uego, x - ■ , y = -=— r , de donde el centroide es P ----- ;------ )
55/6 ' 55/6 V110 275/
Fig. 4.68
E je m p lo 46 H alle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer
cuadrante, com prendido entre la curva y = x e~x y el eje x.
So lu c ión
La región se ilustra en la F ig. 4.69. Luego, se tiene
A J" +CO
x e~x d x = lim [ - x e~x - e~x]o = 1
o t-*+0°
2 2 1 www.FreeLibros.com
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
+00 r + 00
My
/* i- to /■ + »
= I x f ( x ) d x = I x 2e~xdx Jo Jo
= lim [-x 2e * — 2xe * — 2e *]£ = 2 t-> + °0
i r + ”Mx = - J [x2e~2 x - Q] d .x‘ XJo
1 r 1 1 1 i* 1= - lim — - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = -
2 t- .+« L 2 2 4 J0 8
My _ MX 1Luego, * = T = 2 . y = T = 8
Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;
T eorem a (T eorem a de Pappus p ara volúmenes)
S i un só lido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (F ig. 4.70) en torno de
una recta del m ism o plano, que no sea secante a la región F, entonces el vo lum en
de S es igual al.área de la región F m ultiplicado por 2nr , siendo r la distancia del
centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,
V = 2nr. A
donde A es el área de F.
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APLICAC IO NES DE LA INTEGRAL D EF IN IDA
Ejemplo 4 7 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la
S a a P ° rla P a rá b 0 ,a y = * 2 y ,a re C ía y = * + - 2 en tom o a esta
Solución
Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene
A (F) = í (x + 2 - x z) d x = - J-1 2
My = í x ( x + 2 - x 2) d x = - •'-i 4
Mx = \ í [ (x + 2 y - x 4] d x = —¿ J - i 5
Por tanto, el centroide ( x ; y ) de la región tiene las coordenadas
A ~ 2 ‘ y _ T " 5
Calculando la d istancia r del punto C ^ a la recta y = * + 2 se tiene
r = ^ ~ y + 2 l = l l ~ l + 2| _ 9V2V i + 1 V2 20
Luego, por el teorema de Pappus, el volum en del só lido S es
V = 2ur. A = 2n Q = «3
Y' i.
l \ F 1 Vv.7,i \ i \ i \1 v
f¡ \ L
. / 1 % \ / 1 /Y 1 /
y (V s "x
' ►(-! ;0)
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r
Ejemplo 48 L a región lim itada por las gráficas de y = x 2, y = 5 gira alrededor
de una recta ob licua que pasa por el punto ¿4(1; 0 ). H a lle la ecuación de dicha
recta, si el vo lum en del só lido generado es igual a 4 0 V 5 t tu 3
Solución
L a gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. E n primer lugar determ inaremos
el centroide de la región F. C om o el centro de m asa está situado en el eje de
simetría (eje y), entonces x = 0.
Po r otro lado, la ordenada del centroide de la región es
- _ M* _ ~ x ^ d x _ 2 0 v ^
A / ^ r ( 5 - x 2) d x 2 0 V 5 / 3
Luego, el centro de gravedad es ( x ; y ) = (0; 3)
2 0V 5C onsiderando que el área de la región F es A = — -— , se tiene
V = 40V 57 t = 2n r = * r - 3
Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el
punto A(l-, 0 ), entonces su ecuación es
y - 0 = m ( x - 1) ó m x - y - m = 0
Puesto que, r — 3 es la distancia del punto (x; y ) = (0; 3 ) a la recta L, entonces
\ m x - y - m \ | - 3 - m |3 — . >—»* 3 — .
V m 2 + 1 V m 2 + 1
<=> 9 (m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 <=> m (4 m — 3 ) = 0
3<=* m = 0 ó m = -
43
Com o la recta L es oblicua, m = - . P o r tanto, la ecuación de la recta L es4
3 x — 4 y — 3 = 0
TÓPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
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APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A
E JE R C IC IO S
I. En cada uno de ios ejercicios, encuentre el centroide de la lám ina
hom ogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.
12
■ 1 0 -
A. < ^ 5 )
II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de las regiones lim itadas por las siguientes curvas.
1. y = x 2 - 4 , y = 2x - x 2
2. y - v a 2 - x 2, y = 0
3. y = 3x, y = x 2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)
*■ ( H )
"■ (o:S
( 67 2 ( 7 2 ^ 2 - 5 3 )
U 8 ( 8 V 2 - 7 ) ' 1 5 ( 8 > / 2 - 7 )
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4 . y - X 2, y = x - x 2 R. Q j g )
5. y = ln x , y = 4 , y = 4 - 4 x 2 (en el primer cuadrante) R. (1 4 ,6 1 ; 3 ,1 5 )
6. y - x 2 + 1 , y = x 3 - 1 , x = 0 , x = 1
n7. y = s e n x, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 h asta x = —
"■ G 4 (f - i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y , y = 3
( 1 2 3\9. x = 4 y — y 2 , y = x R.
ñ 9 \10. Vx + , / y = 3 , y = 0 , x = 0 R.
11. y = |x|3 + 1 , x = - 1 , x = 2 , y = 0
12. x + x y 2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0
13. y 2 = 2 0 x , x 2 = 2 0 y R. (9 ; 9 ) •
t x , s i x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2
' [X , SI X > 1
/8 8 50\15. x - 2 y + 8 = 0 , x + 3y + 5 = 0 , x = - 2 , x = 4 fi.
16. y = 3 + 2 x — x 2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine el centroide de la región de menor área.
17. y ( x 2 + 4 a 2) = 8 a 3 y el eje x (región infinita) R. ( o ; - a )
l 12 \18. La región limitada por el lazo de y 2 = x ( x - 4 ) z R. ; 0 J
19. La región limitada por el lazo de y 2 = x 4 (3 - x ) R. (2 ;0 )
20. y = a resen x , y = 0 , x = 1
/1 6 5\21. y 2 = 4 x 2 - x 3 , y = 0 en el prim er cuadrante R.
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APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A
.12. y = x 2 - 2x - 3 , y = 6x - x 2 - 3 R. (2;1)
¿3. y = x 3 - 3x , y = x , sob re el lado derecho del eje y R,
x y¿4. La región encerrada p o r — + — = 1, en el p rim er cuadrante
/ 4a 4£»\D I . 1R' \ 3 n ' 3 n )
25. La región está lim itada por los ejes coordenados y x 2/3 + y 2/3 = V 2 5
/ 2 5 6 2 5 6 \
\637r '637T/
26. L a región es un sector circular de radio r y ángulo central 2 a
28. y = c o s h x , y = 0 , x = —1, x = 1
29. y = a rcco s x , y = n , x = 1
III. Centro de gravedad y volúmenes.
1. E l centro de gravedad de la región acotada por las curvas x 2 = 4 y , y = m x es un punto de abscisa igual a 2. Determ ine el va lor de m R. m = 1
2. /1(0;0), B ( a ; 0 ) y C ( 0 ; a / 2 ) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.
C a lcu le el vo lum en del só lido obtenido por la rotación en torno a la recta
5V27ra3y = x - a, de la región lim itada po r el triángulo ABC. R. -----------
24
3. Sea R la región del plano lim itado por la parábola y = x 2 - 1 y la recta
y = x — 1 . Determ ine el vo lum en del sólido obtenido por la rotación de la
7rV2región R a lrededor de la recta y = x ~ 1. R. ------
60
4. L a región lim itada por las gráficas de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y gira alrededor de
la recta 3x + 4 y + 12 = 0. Calcu le el vo lum en del só lido generado.
R. 4000tt
R. En el eje de simetría, a la d istancia - r -------- del vértice del sector3 a
27. y = se n x, (0 < x < n), y = 0
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
5, La región lim itada por las gráficas de y = x 2 , y = 5 g ira alrededor de una
recta ob licua que pasa por el punto ( - 1 ; 0). Halle la ecuación de la recta si el
vo lum en generado es igual a (4 0 V 5 n ) u 3 R. 3 x + 4 y + 3 = 0
IV . E l centro de gravedad ( x ; y ) del arco de una curva (hom ogénea), cuya
ecuación es y = f ( x ) con x 6 [a; b] , donde / es una func ión con derivada
continua en [a; b ] , está dado por
_ f c x j i + i f ' i x w d x f / w y i + i / ' M P d *
j ^ i + [ f ( x ) Y d x ' y j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 dx
U sando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas
ecuaciones son
2,------------ / 2 a1. y = V a 2 - x 2 R. —
x ( a ( e 4 + 4 e 2 - 1)2. y = a c o s h - , x £ [ - a ; a ] R■ (0 ;
a ' 1 ' J V ' 4e (e2 -
/ '3. x = a ( t - sen t ) , y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. (?ra ;-
4 a \
3 /
r Til / 2a 2 a \4. x = a c o s 3t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j R.
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APLICACION ES DE LA IN TEGRAL DEFINIDA
4.7 A PLICA CIO N ES DE LA INTEGRAL EN LOS N EG O CIO S
4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R
( onsiderem os la función dem anda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde
1/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La l’i áfica de esta función es la curva de demanda.
Si el precio en el mercado del artículo en m ención es p0 y la correspondiente
cantidad dem andada es q0, entonces los consum idores que estuviesen en
condiciones de pagar por el artículo un precio m ayor que p 0 ganan, por el sim ple hecho de que el precio en el mercado es menor.
Majo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del consum idor se representa
por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p 0 (Fig. 4.73). A esta
arca se le denom ina excedente del c o n su m id o r (E C ) y está dado por
/ fQo \ / r q n
V -'O / V - 'O /
IJna form a alternativa de calcular el excedente del consum idor es
(u. m. sign ifica unidades monetarias)
p = /(?)<=> ? =
Q
Fig. 4.73
229 www.FreeLibros.com
Considerem os la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a gráfica de esta
función es la curva de oferta.
S i el precio en el mercado del artículo en m ención es p 0 y la correspondiente
cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el sim ple hecho de que el
precio en el m ercado es mayor.
Ba jo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del productor se representa
por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p 0 (F ig. 4.74). A esta área
se denom ina excedente del p ro d u c to r (E P ) y está dado, por
Ep = ( f [ P o - f ( ‘})]dqSju .m .= ^p0q0 - J f(q )dq ju .m .
U n a form a alternativa de excedente del productor es '
EP = ( í 9 ( .P)dp^u.m., donde g = / -1 y P i = / (O )
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
4.7.2 E X C E D E N T E D E L P R O D U C T O R
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l' Jt'iiiplo 4 9 S i la función demanda es p = 9 - a 2 v o - 5 Hallp m ^ ) ili'l consum idor. q > Po “ Halle el cxccdcnie
A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E F IN ID A ’
Sol ución
I .i región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene
EC = f \(9 — q 2) — 5jcJ<7 =-Ai
16i!, m.
excedente del productor.
So lu c ión
a región se muestra en la figura 4.76. A s í, resulta
EP — f [16 - (4 + 3 q 2)] dq = 16 u. Jo
m.
Ejem p lo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia
perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determ ine el
el correspondiente excedente del consum idor y el excedente'de productor.
So lu c ión
L I precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el
punto de equilibrio E (F ig. 4.77). E l punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,
2 2 7 4 - 2 + 2 q 2 => q 2 _ 1 0 0 => qe = 1 0 , de donde pe = 202
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
Fig. 4.78
Luego,
500 dq = — 11. m.
r 10 1EC = I 2 27 - j q 2 ~ 202
J0 4
r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2q2)] dq = - u.m
E je m p lo 52 L a cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de
m onopolio, se determ inan por la función de dem anda p = — (10 — q Y y el costo
3total es C = — + 5a de tal m anera que se m axim ice la utilidad. Determ ine el
4-correspondiente excedente del consum idor.
So lu c ión
L a utilidad es U = I — C , / = in g re so y C = costo total
W = 0 =* /' - C' = 0 =» lMg = CMg
" L a utilidad se m axim iza si el ingreso m arginal (/ ' = IMg) es igual al costc
m arginal (C' = CMg)”.C om o / = pq donde p = p rec io de venta y q = can tid ad vend ida, entonces
1 3 9/ = -(10 - q ) 2q => IM g = 2 5 - 10q + -(?3 3
Luego IMg = CMg => 25 - lO q + - q 2 = - ^ 2 + 5 => q = 2
En q = 2 , la utilidad es m áxim a porque U " ( 2) = - 1 0
Por tanto,
r 2r2ri i 26= j j - ( i 0 - q ) 2 - 16j de/ = Y (F ig .4 .7 8 )
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Ejemplo 53 Actualm ente el k ilo de huevo cuesta S/. 4,6. L o s estudios realizados
indican que dentro de x semanas, el precio estará cam biando a razón de0,09 + 0 ,0 0 0 6 x 2 soles por semana. ¿Cuánto costará el k ilo de huevos dentro de 10 sem anas?
Solución
dp r 10(.orno — = 0,09. + 0 ,0 0 0 6 x 2 = * I (0,09 + 0 ,0 0 0 6 x z)d x es el aum ento en el
precio dentro de 10 semanas
Luego, dentro de 10 semanas el k ilo de huevo costará
10
(0 ,09 + 0 ,0 0 0 6 x 2) dx = 4,6 + 1,1 = S/ . 5,7I
Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que m axim iza la utilidad y la
correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso
m arginal es ¡Mg = 2 4 - 6q - q 2 y el costo m arginal es CMg = 4 - 2 q - q 2.
Solución
La utilidad se m axim iza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso
marginal (/Mg ) es igual al costo m arginal ( CMg ) , luego
2 4 - 6q - q 2 = 4 - 2q - q 2 => q = 5
C om o U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "( 5) < 0, entonces la utilidad
se m axim iza cuando q = 5 y la utilidad m áxim a es
U =
Ejemplo 55 U n a empresa textil ha comprado una m áquina cuya producción
representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en
unidades de S /. 3000 y t está en años. E l costo de reparación y m antenim iento en
el tiem po t está dado p o r ñ ( t ) = - t 2 + 2 1, donde R está en un idades de S/. 3 0 0 0
y t está en años. Supon iendo que la m áquina puede retirarse sin costo a lguno en
cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la m áquina para m axim izar la utilidad neta?
Solución
Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenim iento (Fig. 4.6)
cuando1
2 7 - 2 t 2 = - t 2 + 2 t => t = 3J
APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL DEFINIDA
4.7.3 O T R A S A P L IC A C IO N E S
í (2 0 - 4 q ) dq = 50 u .m . Jn
p = 4,6 +
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TÓPICO S D E CÁLCULO - VOLU M EN II
Por tanto, la m áquina debe retirarse después de 3 años. L a utilidad neta después
de 3 años es
Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.
E je m p lo 56 E l va lor de reventa de cierta máquina industrial d ism inuye durante
un período de 10 años a una tasa que cam bia con el tiempo.
Cuando la m áquina tiene x años, la tasa a la cual está cam biando su va lo r es de
2 2 0 (x - 1 0 ) soles por año. ¿ E n qué cantidad se deprecia la m áquina al cum plir
dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 0 0 0 ?
SolucióndV
Si V es el va lo r de la m á q u in a , — = 2 2 0 0 — 10); luego,
V(x) = J 2 2 0 ( x - 1 0 ) =* V{x) = H O x 2 - 2 2(Ubc + C
C om o K 0 ) = 12 0 0 0 => C = 12 0 0 0 y V(x) = 1 1 0 x 2 - 2 2 0 0 x + 12 000 .
Por tanto, V (2 ) = 8 0 4 0
E l precio de reventa es de SI. 8040, y la m áquina ha su frido una depreciación de
SI. 3960.
Otro método para resolver este problema. E l valor de depreciación es
Esto sign ifica que la máquina, en dos años se deprecia en Sí. 3 960 , en este
tiempo el va lor de reventa es 12 0 0 0 - 3 9 6 0 = S / . 8 0 4 0
1. S i la función demanda es p = 2 5 - q 2, halle el excedente del consum idor si
la cantidad dem andada en el m ercado es q0 = 3 R. 18 u. m.
2. S i la func ión de oferta es p = 3 ln (q + 2 ) , halle el excedente del productor
si el precio de venta en el m ercado es p 0 = 3
3. Las funciones de dem anda y oferta en situación de libre competencia son
p = _ ( 9 - q ) 2 y p = - ( 1 + 3 q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4
consum idor y el excedente del productor.
27 - 2 t -
o
E JE R C IC IO S
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■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de m onopolio,
se determinan por la función de demanda p = 4 5 - q 2 y el costo total
C = 7 + 6q + q 3/ 12 de manera que se m axim ice laj utilidad. Ca lcu le el
correspondiente excedente del consum idor. R. 1 6 V 3 u . m.
V E l va lor de venta de cierta m áquina industrial d ism inuye a una tasa que
cam bia con el tiempo. Cuando la m áquina tiene t años, la tasa a la cual está
cam biando su valor es - 9 6 0 e ~ t/,s soles por año. S i ei costo áe ¡a m áquina
fue de S/. 5000, ¿cuá l será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63
(«. U n fabricante calcula que sus ingresos m arginales son de j lOOQQ q soles
por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su
costo m arginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel
de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿C u á l es su utilidad
cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20
7. U n fabricante ha encontrado que su costo m arginal es de 6q + 1 soles por
unidad cuando se han producido q unidades. E l costo total de la primera unidad es de S/. 130
a) ¿C u á l es el costo de producción de las 10 primeras unidades?
b) ¿C u á l es el costo de producción de la décim a un idad?
c) ¿C u á l es el costo fijo ?
R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126
X. La tasa de crecim iento de la población de cierta ciudad cam bia con el tiempo.
Lo s estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecim iento de la
población será de 4 4- 5 x 2/3 personas por mes. L a población actual es de 10000 habitantes. ¿C u á l será la población dentro de 8 m eses?
R. 10125 personas
(). E l precio del pollo es actualmente de Si. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de
x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0 ,0 3 V x + 1 soles por semana. ¿C uán to costará el k ilo de pollo dentro de 8 sem anas?
R. S/. 5,02 el k iio10. Halle la cantidad que m axim iza la utilidad y la correspondiente utilidad
m áxim a si el ingreso m arginal es IMg = 2 0 - 2 q y el costo m arginal es
CMg = 4 4- (q — 4 ) 2
11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 f ln (q + 1)
y p - 5 - ln (q 4- 1) . Halle el excedente del consum idor y el excedente del
productor. R. EC = EP = ( e 2 - 3 )u .m .
12. L o s prom otores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de
que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a
una tasa de 5 4 ( t + 2 ) 2 - 4 ( t 4- 2 ) 3 personas por hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el m edio d ía ?
APLICACION ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa
ganancias en un tiempo t dadas por G (t) = 20 — 3 t 2 , donde t está en años
y G está en unidades de S/. 10000. E l costo de reparación y mantenim iento
en el tiempo está dado por R( t ) = 2 t 2, donde R está en unidades de
S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la m áquina se puede retirar sin
costo a lguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la
m áquina para m axim izar las ganancias netas totales?
R. Dentro de 2 años y UN ' = S/ . 2 6 6 6 66 ,6 6
14. U na com pañía está considerando la adición de personal para propaganda. E l1
costo de adición de este personal está dado por C (x ) = —x, donde C está en
unidades de S /. 600 y x es el número de personas agregadas. E l ingreso
obtenido con el personal adicional es /(x) = 2 -¡x , donde / está en
unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Q u é número
de personas para propagandas deben agregarse para m axim izar la utilidad,
cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.
15. La utilidad m arginal de cierta compañía es de 1 00 — 2x soles por unidad
cuando se producen x unidades. S i la utilidad de la com pañía es de S/. 700
cuando se producen 10 unidades ¿C uá l es la utilidad m áxim a posible de la
com pañía?R. S/. 2300
16. E l costo m arginal de un fabricante es de 3(qr — 4 ) 2 soles por unidad cuando
su n ivel de producción es de q unidades.
a) Exprese el costo total de producción del fabricante en térm inos de sus
gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.
b) ¿C u á l es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de
S/. 4 3 6 ?
17. La s funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son
respectivamente, p = 3 0 — q 2 y p = 2q 2 + 3 , halle el excedente del
productor.
18. S i la func ión de demanda es p = j 20 — q y la cantidad dem andada es
q0 = 4 , halle el excedente del consum idor.
19. Halle la cantidad producida que m axim ice la utilidad (suponiendo
competencia pura) y determinar la utilidad total en d icho punto si las
funciones de ingreso m arginal y de costo total están dadas por
Í M g = 2 4 - 5 q - 2q 2 y C M g = 1 1 - 3 q - q 2
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COORDENADAS POLARES
- S Í '
5.1 S I S T E M A D E C O O R D E N A D A S P O L A R E S
La posición de un punto P en un plano se puede indicar usando las
c oo rdenada s polares. Para ello, se
considera una semirrecta orientada
OA llamada eje po la r, que usualmente
se considera en form a horizontal y que
se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);
al origen O del eje polar se denom ina o rigen o polo.
A cada punto P de! plano se le asigna
un par (r; 9) donde r es la longitud
del segmento OP y 9 es la medida
en radianes del ángulo cuyo lado
inicial es el eje polar y el lado terminal
es el segmento OP.
A l par (r; 9) se denom ina coo rdenada s polares de P y se denota P ( r ; 9) , r es
llamado ra d io vecto r y 9 es el á n gu lo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que
r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar
las coordenadas polares a un punto y formar el sistem a de coo rde n ada s po la re s en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. S i el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es positivo y negativo en caso contrario.
2. A la semirrecta OA' que form a con el eje polar un ángulo de m edida 9 se
denom ina eje 0 . E l radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y
es negativo si P está en la p rolongación del eje 9 .
3. E l polo 0 está unívocam ente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le
puede asignar el par (0; 9) , donde 9 es cualquier número real.
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*
• *(-*;) • ■ s(3;ir) • F<3:" 1)SoluciónPara ubicar estos puntos con m ayor facilidad usaremos la roseta polar (Fig. 5.2).
En esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada semirrecta, 9
es constante. A sí, los puntos A, B , C , D , E y F se muestran en la Fig.5.2.
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN 11
Kjcinplo 1. Ubique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son
Observación 1
a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las
coordenadas polares se debe considerar los valores principales
r > 0 y 0 < 0 < 2tt (1)
b) Cuando no se considera la restricción (!) a un punto dado, se puede asociai-
infinitos pares de coordenadas polares (r; 9). Si las coordenadas polares de
P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:
( ( - l ) n r ; 9 + n n ) , n 6 2 (2)
Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es
(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.
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5.2 R E L A C I Ó N E N T R E L A S C O O D E N A D A S P O L A R E S Y L A S
C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S
Considerem os el sistema de coordenadas
rectangulares xOy , con Öx = OA , donde
OA es el eje polar (Fig. 5.3).
S i P es un punto del plano cuyas
coordenadas rectangulares y polares son
O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivamente, el cambio
de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares se efectúa considerando las relaciones:
x = r co s 9y = r sen 9 ^
Inversamente, el cam bio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se efectúa a través de las relaciones
r 2 = x 2 + y 2 ó r = ± / x 2 + y 2 y y
tan 8 = — ó 9 = arctan —
E jem p lo 2
n) Halle ¡as coordenadas rectangulares dei punto P
b) Halle las coordenadas polares del punto P ( - v '3; - 1 ) .
So lu c ión
a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P (2 v 3 ; 2).
b) x = - V 3 , y = - 1 = > r = ± 2
tan 6 = — (3e r cuadrante) => 8 — — ==> p Í 2 - — 'j6 V ’ 6 /
E jem p lo 3. En (a) y (b) halle la ecuación polar de la curva dada y en (c) y (d) halle la ecuación cartesiana de la curva.
a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia)
b) (x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) , a > 0 (lemniscata de Bernoulli)
C O O R D E N A D A S PO LA RES
239 www.FreeLibros.com
c) r • - 4 sen 0 (circunferencia)
2d) r = ---------- (elipse)
2 - eos 8So luc ión
a) x 2 + y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± aLa ecuación polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el
origen es r = a ó r = - a .
b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 cos2& - r 2 se n 20 )
=> r 2 = a 2 c o s22 0
c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y' r
x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2 ) y radio 2)
2 2 „ 2
d ) r = 2 ^ é 3 r = j n = , 1 = 2 F ^ Í¿ r
=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2
=> 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0 (elipse)
5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
La distancia entre los puntos
¿ f a ; 0X) y f í ( r 2; 02) está dada por
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
d = J r j 2 + r 2 - 2 r tr2 eos (0 2 - 0 ^
La dem ostración se realiza usando la
ley de los cosenos en el triángulo AOB (Fig. 5.4).
Por ejemplo, la distancia entre los
puntos A ( —3; 7 n / 1 2 ) y ( 5 ( 5 ; ír / 4 )
es
I 7Td = 19 + 25 + 3 0 e o s - = 7 Fig. 5.4
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COORDENADAS POLARES
I. Sea L una recta que no pasa por el origen. S i N(p; w ) es el par principal de
coordenadas polares del pie de la perpendicular trazada del polo a la recta L y P(r; 8 ) es un punto de la recta L (Fig.55), la ecuación polar de la recta es
r c o s(0 — oj) = p (5 )
5.4 E C U A C IÓ N P O L A R D E UNA R E C TA
II. S i la recta L pasa por el origen (Fig. 5.6), su ecuación polar es
8 = a , a constante
Observación 2
i) Si la recta es perpendicular al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en
r = eos 8 = ± p , p > 0 (6 )
El signo de p es posit ivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo si está a la izquierda.
i i) Si la recta es paralela al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en
r sen 8 = ± p , p > 0 (7 )
El signo de p es posit ivo si la recta está po r encima del eje polar, y es negativo si está po r debajo del eje polar.
iii) La ecuación polar r e o s (8 - ùj) = p es equivalente a la ecuación (cartesiana) normal de la recta
x eos cü + y sen o) = p
iv) Una ecuación polar de la recta que pasa por los puntos A f a ; 8 X) y B (r2>s 2) es
rxr s e n (0 ! - 9) + r 2r se n (0 - 0 2) = r i r2 s e n (0 ! - 0 2) (8 )
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
a) Halle la ecuación de la recta perpendicular al eje polar que pasa por el punto
i4(6; 2 n / 3 ) .b) Halle la ecuación de la recta paralela al eje polar que pasa por el punto
B( 2 V 2 ; ff/4).
c) Halle la ecuación polar de la recta cuya ecuación cartesiana es
3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0
d) Halle una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por los puntos
/ i(4 ;2 7 r/ 3 )y B ( 2 V 2 ; tt/4 )
So lu c ión
a) En la Fig. 5.7 se observa
p = 6 co s(2 7 r/ 3 ) = - 3
Luego, la ecuación polar de la
recta L es
r eos 9 = - 3
Kjcinplo 4
b) p = 2 V 2 co s(7 i/4 ) = 2. Luego, la
ecuación polar de la recta es
r sen 0 = 2
c) Considerando la equivalencia de la ecuación polar con ia ecuación normal, es
necesario transform ar la ecuación dada en su form a normal. Por geometría
analítica, se sabe que si la ecuación cartesiana de una recta es de la forma
Ax 4- B y 4- C = 0 , C * 0 ( * ) ____________________
la ecuación norm al se obtiene d iv id iendo ( * ) entre +^¡A2 4- B2, donde el
signo del radical es opuesto al signo de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,
B = 3 y C = 4-24. Por tanto, d iv id im os entre - J ( 3 V 3 ) 2 + 3 2 = - 6 y la
ecuación normal de la recta es:
V 3 1-------x — y = 4
2 2
D e esta ecuación se deduce que co so ) = - V 3 / 2 , sen (o = - 1 / 2 y p = 4.
De los valores del seno y del coseno se concluye que o) está en el tercer
cuadrante y a) = 7 n / 6 . Por tanto, la ecuación polar de la recta es
r c o s (0 — 77t/6 ) = 4
d) La ecuación polar de la recta que pasa por los puntos yl(4;27r/3) y
B (2 V 2 ; ír/4 ), usando la fórm ula (8), está dada por
4 r sen ( y - d'j + 2 V 2 r sen ( 0 - = 8 V2 s e n ^ |
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COORDENADAS POLARES
5.5 E C U A C IÓ N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A
La ecuación polar de una circunferencia
de centro C(p; a ) y radio a, a > 0, es
r 2 + p 2 — 2 rp cos(9 — a ) = a 2 (9 )
En la Fig. 5.8 se observa que si P(r; 8) es un punto de la circunferencia, aplicando la ley de los cosenos en el
triángulo OCP, se obtiene la ecuación (9).
Observación 3
i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje polar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a
r = 2 p c o s 0 ( 1 0 )
El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|.
ii) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a
r = 2p sen 9 ( 1 1 )
El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\.
iii) Si el centro es el polo (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a
r = ± a ( 1 2 )
E je m p lo 5. Halle la ecuación polar de la circunferencia tal que:
a) Su centro es el polo y su radio es 4 b) Su centro es C ( - 5; n /2 ) y su radio es 5
c) Su centro es C (3; 0) y su radio es 3 d) Su centro .es C(3; 7r/6 ) y su radio es 8So lu c ión
Usando convenientemente las fórm ulas dadas en (9), (10), ( 11) ó (12) se tiene
a) L a ecuación de la circunferencia es r = 4 o r = — 4.
b) L a ecuación de la circunferencia es r = 6 c o s 0 .
c) L a ecuación de la circunferencia es r = — 10 sen 9.
d) L a ecuación de la circunferencia es r 2 - 6 r c o s (0 - n / 6 ) = 55.
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5.<» D I S C U S IÓ N Y G R Á F I C A D E U N A E C U A C IÓ N P O L A R
l’ara trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares E ( r \ Q ) = 0, es
conveniente realizar los siguientes pasos:
I) In tersecciones
a) C on el eje polar. Se hace 6 = nn , n E TL, y se resuelve la ecuación resultante.
b) C on el eje n / 2 . Se hace 9 = tc/ 2 + nn ,n E l , y se resuelve ¡a ecuación
resultante.
c) C on el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la ecuación que resulta.
I I) S im e tría s
a) Con respecto al eje polar. E n la ecuación se reemplaza ( r ; 8) por
( ( _ l ) n r; - 9 + nn), n E l . S i la ecuación no varía para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al eje polar; si la ecuación varía para todo
n e 2, la curva no es simétrica con respecto al eje polar,
b) C on respecto al eje n / 2 . En la ecuación se reemplaza (r; 9) por( _ ( _ l ) n r; + n7rj ( n E TL. S i la ecuación no varia para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al eje n / 2 \ si la ecuación varia para todo
n E l , la curva no es simétrica.
c) C on respecto al polo. Se reemplaza ( r ; 0 ) por ( - ( - l ) n r; 9 + nn), n E TL, en la ecuación de la curva. S i la ecuación no varía para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al polo; si la ecuación varía para todo n EX, la curva no es simétrica.
(* ) S i P ( r ; 9 ) es cualquier punto de la
curva cuya ecuación polar es
E ( r \ 9 ) = 0, el punto simétrico de P con respecto al eje polar es S ( r \ - 9 )(Fig, 5.9).
Por observación 1, también son
coordenadas del punto S los pares
( ( - l ) ’V ; - 9 + nn), n E l . S i el
punto S pertenece a la curva,
( ( - l ) n r; - 9 + nn) también satisface
la ecuación para algún valor de n, es
decir, la ecuación no varía.
Por otro lado, si ( ( - 1 ) nr ; - 9 + n n) no satisface la ecuación de la curva para j
todo n E TL, sign ifica que S no pertenece a la curva, es decir, la curva no es ;
simétrica respecto al eje polar. D e manera sim ilar se deducen las condiciones
para que una curva sea sim étrica con respecto al eje n / 2 y al polo. i
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
i’ (r;6 )
Fia. 5.9
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COORDENADAS POLARES
I I I) Ex ten sión . Se determina la variación de r y 8
IV ) T abu lac ión . Se tabulan los valores de r y 8.
V ) T ra z a d o de la gráfica . E n un sistema de coordenadas polares (es preferible
usar la roseta polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la cu rva con la inform ación obtenida en la discusión.
E jem p lo 6. Determ ine si son simétricas o no respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo, las curvas cuyas ecuaciones son:
a) r = 4 eos 8 + 2 (caracol) b) r 2 = 9 [sen + l ]
c) r — 3 (1 + c o s 0 ) (cardioide)
So lu c ión
a) i) Respecto al eje polar. Reem plazando en la ecuación (r; 8) por (r; - 0 ) ,
se obtiene que r = 4 c o s ( - 0 ) + 2 = 4 c o s 0 + 2. Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.
ii) Respecto al eje n / 2 . A l reemplazar (r; 8) por ( - ( - l ) n r; - 8 + nn) , se
tiene que - ( - l ) n r = 4 c o s ( - 0 + nn) + 2.
S i n es par => - r = 4 eos 8 + 2 (varía).
S i n es impar => r = 2 - 4 eos 8 (varía).
Luego, la curva no es simétrica porque la ecuación varía para todo n G TL.
iii) Respecto al polo. A l reemplazar (r; 8) por ( - ( - l ) n r; 8 + nn) , se tiene que - ( - l ) n = 4 c o s (0 + nn) + 2.
S i n es par => - r = 4 eos 8 + 2 (varía)
S i n es impar => r = 2 - 4 eos 8 (varía)
L a curva no es simétrica con respecto al polo. L a gráfica del caracol r = 4 eos 8 + 2 se muestra en la figura 5.10.
b) i) Respecto al eje polar. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 8 ) por(r; 2n - 8) , se tiene
Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.
ii) Respecto al eje n / 2 . Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 8 ) por ( — r; 2n — 8) , se tiene
Por tanto, la curva es sim étrica con respecto al eje n /2 .
iii) Respecto al polo. L a ecuación no varía al reemplazar (r; 8) por ( — r; 8) (para n = 0). Luego, la curva es simétrica respecto al polo y su gráfica se muestra en la Fig. 5 .1 1.
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c) i:i cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) es simétrico con respecto al eje polar. N o es
simétrico respecto al eje n / 2 ni respecto al polo (verificar).I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se muestra en la Fig. 5.12.
TÓPICO S DE CALCULO - VOLUMEN II
110“ ‘ . \
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s¡§-3 N g Q /
a \ / \\ A
r = 3 (l + co s0 )
E je m p lo 7. D iscu tir y graficar la ecuación r — 4 eos 9 + 2 (caracol).
So lu c ión
Por la periodicidad del coseno, es suficiente considerar 8 6 [0; 2n].
I. In te rsecc iones
a) C on el eje polar. Reem plazam os 9 = nn en la ecuación y se tiene
r = 4 c o s (n 7 r) + 2.
S i n es par => r = 6 => (6; 0 )
S i n es impar => r = — 2 => ( - 2 ; n )
b) C on el eje n / 2 . Reem plazam os 9 = (tt/2 + nn) en la ecuación y obtenemos
r = 4 c o s (7t/ 2 + n n) + 2
S i n es par => r = 2 => (2; n / 2 )
S i n es impar => r — 2 => (2; 3 n / 2 )
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c) C on el polo. Haciendo r = 0 en la ecuación, se obtiene 0 = 4 eos 6 + 2 ó
eos 9 = — 1/2. Luego, 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a curva pasa por el polo.
II. S im etría s. E n el ejemplo 6 hemos visto que este caracol es sim étrico solamente respecto al eje polar.
III. Exten sión , fl £ M A - 2 < r < 6,
IV . T a b u la c ió n
COORDENADAS POLARES
9 0 n / 6 7T/4 n / 3 n / 2 2 n / 3 3 n / 4 S n / 6 7Tr 6 5,5 4,8 4 2 0 - 0 , 8 - 1 , 5 — 2
V. T ra z a d o de la gráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.10.
se" © + 1E je m p lo 8. D iscutir y graficar la ecuación r 2 = 9
So lu c ión
Procedemos de manera sim ilar a lo realizado en el ejemplo anterior.
I. In te rsecc iones
a) C on el eje polar. 9 = nn => r 2 = 9 [sen (n7 r/2 ) + 1],
S i n = 0 => ( 3 ;0 ) y ( — 3; 0). .
S i n = 1 => (4,2; 7r) y (— 4,2; 7r).
S i n = — 1 => (0; — 7r).
7T 71b) Con el eje 6 = - + nn
¿ ¿t( \ + n n \
sen — + 1
S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2).
S i n = 2 => (1,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; Sn/2) .
c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.
II. S im e tría s. L a curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al origen (ver ejemplo 6).
III. Extensión . 9 £ K y - 3 V 2 < r < 3V2.
IV . T a b u la c ió n (Ejercic io para el lector. Considerar que el período de la función es 47r)
V. T ra z a d o de la g ráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.11.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 9. Trace la gráfica de r = 1 — [2 sen 2 0 ] , 0 e [0; n].
So lu c ión
D iv id im os convenientemente el intervalo [0; 7r] de m odo que |[2 sen 2 0 ] tome un
solo valor entero en el subintervalo considerado.
Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 sen 20 < 1 => |2 sen 20 ] = 0 => r = 1.
Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 sen 20 < 2 => [2 sen 20 ] = 1 => r = 0.
Si 0 = ti/4 = ^2 sen 20 = 2 => [2 sen 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .
Si 0 G <7t/4; 5tt/ 12] => 1 < 2 sen 20 < 2 => 12 sen 2 0 ] = 1 => r = 0.
Si 0 6 <5tt/12; jt/2] =* 0 < 2 sen 20 < 1 =* 12 sen 20 ] = 0 => r = 1.
Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 2 0 ] = - 1 => r = 2.
Si 0 6 <7tt/1 2; H tt/ 1 2 ) => - 2 < 2 sen 20 < - 1 =» [2 sen 2 0 ] = - 2 => r = 3.
Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 sen 20 < 0 => 12 sen 2 0 ] = - 1 =» r = 2.
S i 0 = 7r => 2 sen 20 = 0 => [2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1.
La gráfica se muestra en la Fig. 5.13.
5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
P ro p o s ic ió n 1. S i r = / ( 0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares,
entonces
( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z (1 3 )
es también la ecuación de dicha curva.
Considerando esta proposición, para hallar la intersección de dos curvas cuyas
ecuaciones en coordenadas polares son
r = f ( 6 ) y r = g ( 8 )
se siguen los siguientes pasos:
1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (13 ) a
cada una de ellas.
r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ...
r = g ( 9 ) , r = g ^ G ) , r = g 2( 8 ) , ...
2. Se resuelven, para r y para 9, las ecuaciones simultáneas
r = m fr = /i(0) [ r = f(6)r = g ( 9 ) ' l r = ^ ( 0 ) ’ [ r = 5 l ( 0 ) ’ eiC '
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LO Ü K U tN A D A SP O L A R E S
3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en cada
ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la so lución será la m isma).
I ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de dos curvas,
se sugiere trazar sus gráficas previamente de m odo que se sim plifique el trabajo.
E jem p lo 10. Halle las diferentes ecuaciones de las curvas
a) r = 2 + eos 2 0 b) r = 2 + sen 0
a) Ap licando (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por
( - 1 ) nr = 2 + eos 2 (0 + n n ) , n E l
S i n es par = * r = 2 + eos 29 . S i n es impar = > - r = 2 + eos 29.
Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:
r = 2 + eos 29 y r = - 2 - eos 20
b) De manera sim ilar, las ecuaciones de r = 2 + sen 0 están dadas por
( - l ) n r = 2 + se n (0 + n n ) , n E TL
Si n es par => r = 2 + sen 0. S i n es impar = > - r = 2 - sen 0.
Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:
r = 2 + s e n 0 y r = - 2 + s e n 0
E je m p lo 11. Halle los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuaciones en
coordenadas polares son V 2 r = 3 y r 2 = - 9 eos 20.
Las gráficas de estas curvas se muestran en la Fig. 5.14. Considerando las
simetrías de estas curvas (respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo), es suficiente hallar un punto de intersección.
A l resolver simultáneamente sus i— — — — — -♦ i . , i ' - 7 C O S ( Z t
ecuaciones, se obtiene T
9 1
So lu c ión
So lu c ión
Luego, los puntos de intersección son:
- = — 9 eos 2 0 = > c o s 2 0 = —2 2
J lr = l
Fig. 5.14
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
K je inp lo 12. Halle los puntos de intersección de las curvas
r = 2 eos 0 y r = 2 sen 6
So lu c ión
Las gráficas de estas curvas
(circunferencias) se muestran en la figura
5.15. E s evidente que el polo es un punto de
la intersección (en r = 2 eos 6 para
G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 sen G para Q - o => r = 0).
N o es necesario hallar las diferentes
ecuaciones de las dos curvas, ya que al
resolver simultáneamente sus ecuaciones se
obtiene
2 eos 6 = 2 sen 6 => tan 6 = 1 => Q = —4
Luego, los puntos de intersección son P ( V 2; 7r/4) y el polo.
E je m p lo 13. Halle los puntos de intersección de las curvas
r = 4 (1 + sen 6) y r ( 1 - sen 6) = 3
So lu c ión
Las gráficas de r = 4 (1 + sen 6 ) (cardioide) y r ( 1 - sen 0 ) = 3 (parábola) se
muestran en la Fig. 5.16. Se observa que el polo no pertenece a la intersección.
N o es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al resolver
simultáneamente sus ecuaciones se obtienen los cuatro puntos que se observan en
el gráfico. E n efecto,
4 (1 + sen 6) = 3 / (1 - sen 6) ^ 4 e o s26 = 3 => eos 6 = ± V 3 / 2
l l r c
~ 6 ~
Sn 7n
T ’ e - e ’ d
Luego, los puntos de intersección son
4 (6 ; 7r/6) , 6 ( 6 ; 5n /6 ) ,
C(2 ;7 tt/ 6 ) y D (2 ; l l7 r / 6 )
250
Fig. 5.16
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5.8 D E R I V A D A S Y R E C T A S T A N G E N T E S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sea r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fórm ulas
(x = f ( 9 ) eos 9 ( y = / ( 0 ) s e n 0
que son las ecuaciones paramétricas con parámetro 0, de donde
C O O R D E N A D A S PO LA R ES
x = r e o s 9 A y = r sen 6 se obtienen P(y =
d yd y _ ¿e_ d y _ f ' { 9 ) sen 8 + / ( 0 ) eos 9d x dx^' dx / '( 0 ) eos 9 — / ( 0 ) s e n 9
dG
(1 4 )
C om o sabemos, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x ; y ) , es decir,
d y— = tan a dx (1 5 )
donde a es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva.
Sea P ( r \ 9 ) el punto de tangencia y /? el ángulo que forma el radio vector O P y la recta tangente. Exam inarem os los siguientes casos:
En el caso (a): a = 9 + p => p = a — 9
En el caso (b): p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9) , de donde:
tan p = tanfrr + ( a - 0 )] = t a n (a - 9)
L o que sign ifica que en am bas situaciones se verifica tan p = ta n (a - 0 ), esdecir,
tan p =tan a — tan 9
1 + tan a tan 9(1 6 )
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
C o n s id e r a n d o ( 1 4 ) y ( 1 5 ) se o b t ie n e
tan /? =
/ '( 0 ) s e n 0 + / ( 0 ) cosd _ fí f ' ( 9 ) eos 6 - / ( f l) se n 6
i 4. f i a s e n e + f{B) cose 1 + f ' f ñ 'l rnc fí - f fffYcen fí/ ' ( 0 ) eos 0 - / ( 0 )se n fí
Sim plificando se obtiene
/ (« )tan/? = -777^ -, esto es,
f i e y
d rtan P ~ ° d 0 : : : r c o t i? <-1 ? ')
l e
“L a derivada del radio vector r respecto al ángulo polar 6 es igual al producto de
la longitud del primero por la cotangente del ángulo form ado por el radio vector y
la tangente a la curva en el punto dado”.
E je m p lo 14. Halle los valores de P, a y las ecuaciones cartesiana y polar de la
recta tangente a la curva r = a ( 1 — eos 0 ) en 0 = tt/6 ( a > 0).
So lu c ión
L a gráfica de r = a ( l — eos 0 )
(cardioide) se muestra en la Fig. 5.18.
drd6
= a sen 6, de donde
tan /?a ( 1 - eos 0 )
a sen 0
2 se n 2 2
o 0 02 sen 2 eos 2
Luego, tan /? = tan (0 / 2 ), de donde
* = 2 = > *
7T
12
120” J \ \ y*
I
L 60°
/ S /
^ ^1 1 J
240"
K /ap S N T /
270" 300°
El m ism o resultado se obtiene al reem plazar 0 = tt/ 6 en tan /? -
Fig. 5.18
(1 - eos 0)
a = e + p => « = jr/6 + n / \ 2 => a = rr/4 y la pendiente de la recta
m r = 1
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COORDENADAS POLARES
O lía form a de obtener la pendiente es usando la fórm ula (14)
d y / '( 0 ) s e n 8 4- / ( 0 ) c o s 0 d r~ TT7ñ\-------o-----7 7 7 ------ 7 ■ d onde f ' { 9 ) = — = a sen 0d x f ' { 8 ) c o s 8 - f ( 8 ) s e n 8 J d9
Reemplazando 8 = n / 6 en esta expresión se obtiene
d y— • = m r = 1 dx
Las coordenadas rectangulares (x; y ) del punto de tangencia son
V 3 a / V 3 \ a ( V 3x 0 = r c o s 0 = — I 1 - — 1, y 0 = r s e n 0 = - í l - ~
La ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y 0 = l ( x - x 0), es decir,
5 - 3 V 3x - y + • -a = 0
y la ecuación polar de esta recta es
r eos7n \ _ 3 V 3 - 5
4 ) 4 V 2
E jem p lo 15. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la
curva r 2 = 9 eos 2 8 en el punto P ( 3V 2/2 ; n /6 ) .
So lu c ión
C om o r 2 = 9 eos 2 8, derivando implícitamente se obtiene:
9 sen 28
Luego,
d y
dx
r' se n 8 + r eos 8r' eos 8 - r sen 8
Reem plazando
3 V 2 7T , 3 V 3r = - . e = -& y r
obtenemos
d y
dx
3 n À
4 \
— 1 ' 1 1
1 1t
s / s /
.. X p ^ t
V v V Vv / ■
** _
S r 1 —i— j — ► / 7
— X sX \
= 0 = m T
Las coordenadas cartesianas de P son x - 3 ^ / 4 , y
ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3 ^ 2 / 4 .
Fig. 5.19
3\/2/4. Por tanto, la
La ecuación polar de està recta es r sen 8 = 3V 2/4 .
Ln la fig. 5.19 se muestra la gràfica de r 2 = 9 co s 28 (lemniscata de Bernoulli).
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLU M EN II
5.9 Á N G U LO E N T R E D O S C U R VA S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sean C y C' dos curvas que se
intersecan en el punto P. S i T y T' son, respectivamente, las rectas
tangentes a las curvas en el punto P, el
ángulo entre las dos curvas en el punto
P es el ángu lo form ado por las tangentes
T y T'.
S i las ecuaciones de las curvas C y C' están en coordenadas polares y /? y /?'
son, respectivamente, los ángulos que
forman el eje polar y las rectas tangentes
T y T' (F ig. 5.20), entonces:
4-TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, 0 = /?' - P
Luego,
tan 0tan /?' - tan /?
Fig. 5.20
(1 8 )1 + tan /?'tan /?
(tan/ ? ' y t a n /? se calculan aplicando (17) en el punto de intersección de las
curvas)
Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\. En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.
E je m p lo 16. H a lle el ángulo de intersección entre las curvas 4 r c o s 0 = 3 y
r - 3 eos 6.
So lu c ión
D e la gráfica de las dos curvas (fig. 5.21),
se obtiene <p = P' ~ P- Para hallar los puntos de intersección
resolvem os simultáneamente sus
ecuaciones y obtenemos
3=i> eos 0 = -
4 eos 6n Sn
“ " = 6 V 6 = ~ 6L o s puntos de intersección son
P (3 / 2 ; 7r/6) y <2(3/2; S jt/6).
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Solamente hallarem os el ángu lo entre las dos curvas en el punto P (se deja como ejercicio al lector el ángulo en el punto Q).
3 d r 3 sen 60 r - -ñ ^ ~T7T = 1------777 Y tan /?' - cot 0
4 co sfl dd 4 co s20 ^
. „ d rn) r = 3 eos 0 =* — = - 3 sen 0 y tan Z? = - 3 cot 0
dd r
Por la d irección de los ángulos y aplicando (18), se tiene:
tan p - tan /?' -cot 0 - cot 0tan <p = ———---------- tan ó ~ ------------- v 1 + tan p tan /? 9 1 - c o t20
Para 0 = n / 6 => tan 0 = - V 3 . Finalmente, (p = 2 n / 3 .
COORDENADAS POLARES
E JE R C IC IO S
I. Exprese en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares.
1) P ( 3 / 2 ; - 3 / 2 ) 2 ) P ( 1 ; - V 3 ) 3) ( - V 3 ; 1)
4) P ( V 8 ; V 2 ) 5) P ( — 8; 8 ) 6) (4; 4 ^ 3 )
II. Exprese en coordenadas rectangulares ios siguientes puntos dados en coordenadas polares.
I ) P (3 ;3 t t/ 4 ) 2 ) P ( - 2 ; n ) 3) P ( 4 ; - 2 7 r / 3 )
4) P ( — 2; — S tt/ 1 2 ) 5) P ( — 1/2; - tt/ 4 ) . 6) P ( 3 ; 2 )
III. H a lle las ecuaciones polares de:
1 • y - 5 = 0 R. r sen 0 = 5
2. x 2 - x 2y 2 - y 4 = 0
3. x 2 + y 2 — 4x + 2 y = 0 R. r — 2 (2 eos 0 — se n 0 )
4. 6 x y = 5 /?. 3 r 2 sen 2 0 = 5
5 . y 2 = x 3/ ( 2 a - x ) R. 2a tan 0 sen 0 = r
6. x 2 + y 2 — 2 y = 0 fl. r = 2 sen 0
7. 3 ( x — 2 ) 2 + 4 y 2 = 16 ß. r ( 2 - eos 0 ) = 6
8. y 2 - 4x - 4 = 0 R. r ( 1 - eos 0 ) = 2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
9. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0 R. r 2( 3 + sen20 ) = 3 ( 2 r eos 0 - 3 )
1 0 . 2 x y = a 2 R- r 2 sen 20 - a 2
11. x 2 - y 2 = a 2 R. r 2 eos 26 = a 2
IV . H a lle las ecuaciones rectangulares de
1. r = a sen 9 - b c o s O Æ. x 2 + y 2 + b x - a y = 0
2. r 2 = a 2 eos 2 0 R. ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2)
3. r ( l - eos 0) = 4 R. y 2 = 8 ( x + 2 )
4. r ( 2 - eos 0) = 3 R. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0
5. r ( l - 2 eos 0 ) = 4 R. 3 x 2 — y 2 + 1 6 x + 1 6 = 0
6. r = a ( l — eos 0 ) R. ( x 2 + y 2 - a x ) = a 2( x 2 + y 2)
7. r 2 eos 2 0 = 3 fí. x 2 - y 2 = 3
8. r = 2 eos 2 0 R. (x 2 + y 2) 2 = 2 ( x 2 - y 2)
9. r sen 2 0 = 4 R. x 2y 2 = 4 ( x 2 + y 2)
10. r = a sec 0 + b R. (x - a ) 2( x 2 + y 2) = ¿>2x 2
11. r sen20 = 4 eos 0 Æ. y 2 = 4 x
12. r = sen 20 ñ. ( x 2 + y 2) 3 = 4 x 2y 2
V . Eje rc ic ios diversos.
1. Dem uestre que el área del triángulo de vértices Cr i l ^ i) . ( r 3 ^ 3 )
está dada por
1 rsen (02 - 0 i ) se n (0 3 - 0 2) s e n (0 x - 0 3)]
r * ™ í— í — + — ñ — + ü 1
2. Halle la longitud de los lados y el área del triángulo de vértices
a) (1; 7t/ 3 ) , (2; ít/ 6 ) y (3; — tt/6 )
fí. J 5 - 2 V 3 , V 7 , V lÓ , ^ ( 3 V 3 - 2 )
b) (2 ; tt/ 8 ) , (4 ; 3 r r /8 ) y ( - 1 ; 7 tt/ 8 ) _________
/?. 2 j s ^ 2 V I , j 5 - 2 V 2 , V Í 7 , ^ ( 5 V 2 - 4 )
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COORDENADAS POLARES
i. Demuestre que el ángu lo entre las rectas:
r co s (0 - o)) = p y r co s (0 - a>') - p ' es a - (o
'1. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos i4 (r1; 0 1) y S ( r 2; 0 2).
Sugerencia: considere un punto P ( r ; 0 ) cualquiera de las rectas y las áreas de los triángulos OAB, OBP y OPA.
se n (0 t - 0 2) s e n (0 2 ~ 0 ) se n (0 — 0 j )----------------- - H---------------------- 1-------------------- = 0
r r x r2
5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( r ^ - j y es perpendicular a la recta r e o s(0 - cu) = p.
R. r s e n (0 - coi) = T ^ s e n ^ - oj)
6. S i C ( a ; a ) es el centro de una circunferencia de radio a expresado en
coordenadas polares, demuestre que r = 2a eos (0 - a ) es la ecuación de la circunferencia que pasa por el polo.
7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2 re eos (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0.
S i O es el polo y Q un punto sobre OP de manera que:
OP _____i) = = k ii) OP.OQ = d 2
OQHalle la ecuación del lugar geométrico descrito por Q en cada caso.
R. i) k 2r 2 - 2 c k r c o s ( 8 - a ) + c 2 - a 2 = 0
ii) ( c 2 - a 2) r 2 - 2 c d 2r c o s ( 0 - a ) + d* = 0
8. S i el foco de una cónica (parábola, elipse o hipérbola) está en el po lo y ladirectriz de la cónica es una recta perpendicular al eje polar que está a una
distancia de 2 p (p > 0), la ecuación de la cónica está dada por:
2 epr = — ----------- , e es la excentricidad de la cónica (1 9 )
l ± e c o s 0 v J(la cónica es una elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e - 1 y una hipérbola
si e > 1). S i la directriz está a la izquierda del polo, el s igno de (19) es en
cambio, si la directriz está a la derecha del polo, el signo de (19) es + .
S i el foco se mantiene en el polo y la directriz es paralela al eje polar, la ecuación de la cónica está dada por
2 ep
r ~ 1 ± e sen 0 (' 2 0 )
S i la directriz está debajo del eje polar, el s igno de (20) es - y si la directrizestá sobre el eje polar, el s igno es + .
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a) Halle la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad e = - y
directriz perpendicular al eje polar en el punto ( — 4; 0).4
R. r =
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
2 — eos 8
b) Halle la ecuación de la parábola con foco en el polo y directriz
perpendicular al eje polar en el punto ( — 3; 0).
R. r1 - eos 0
c) Describa y grafique la curva r =16
5 + 3 sen 6R. elipse
V I.T ra ce la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.
1. r = 5 sen 0 + 4 c o s 0
3. r eos 0 = 6
5. r 2 = 16 sen 20
7. r ( 1 + se n 0 ) = 8
9. r 2c o s30 = a sen 0
11. r = a se n 2 -
13. r = a 0, espiral de Arquím edes
15. r = a ( l + eos 0 ), cardioide
17. r 2 = a 2se n 20, lemniscata
19. r = 4 eos 30, rosa de 3 pétalos
21. r = a sen 30, rosa de 3 pétalos
23. r = a eos 20, rosa de 4 pétalos
25. r = a eos 40, rosa de 8 pétalos
27. r = a eos 50, rosa de 5 pétalos
28. r = a ( 2 + eos 0 ), caracol de Pascal.
29. r = a ( l - 2 eos 0 ), caracol de Pascal
30. r = 12 + 3 sen 2 0 ]
2. r sen 0 = 4
4. r z sen 2 0 = 16
6. r ( 2 — co s 0 ) = 4
8. r ( l - 2 co s 0 ) = 4, h ipé 'b o la
10. r = 2 a tan 0 sen 0, cisoide
3 012. r = a se n J -
14. r = e a0, espirai logaritm ica
16. r = a ( l - co s 0 ), cardioide
18. r 2 — a 2 co s 20, lemniscata
20. r 2 — 4 r + 3 + 2 co s 0 = 0
22. r = a se n 20 , rosa de 4 pétalos
24. r = a se n 4 0 , rosa de 8 pétalos
26. r = a se n 50, rosa de 5 pétalos
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' 2'
3 tt>R. ( 2 V 2 ; Í ) ; ( 2 V 2 ; ^ )
COORDENADAS POLARES
31. |r| = 3 eos 2 0 , 0 e [0; tt]
32. |r| = - 3 eos 29 , 9 e [0; rr]
V II. Ejercicios sobre simetrías.
1. Determ ine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7r/4.
2. Determ ine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7T/3.
V IH . Halle los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas
1. r sen 9 = 2 a , r eos { 9 - = a R. ( 2a;
2. r = 2 esc 9 , r = 4 sen 0
3. r = a , r = 2a eos 2 0
4. r = a ( l - e o s 0 ) , r = a c o s 0 /?. y e| p 0 |0
5. 3 r = 4 eos 0 , r ( l + eos 0 ) = 1 R. (2/3; ± tt/ 3 )
6. r = 4 tan 0 se n 0 , r = 4 eos 0
7. r 2 sen 20 = 8 , r eos 0 = 2
8. r = 1 + c o s 0 , 2 r = 3
19. r = - se c¿ - , r = 22 2
0 110. 3 r = 4 eos 0 , r e o s2 — = —
2 2
11. r = l + c o s 0 , 2 r ( l - c o s 0 ) = l
12. r eos 0 = 4 , r = 10 sen 0
13. r = a ( 1 + se n 0 ) , r = a ( l - sen 0 )
14. r = 3 + e o s 4 0 , r = 2 - c o s 4 0
15. r = 2 + eos 20, r = 2 + sen 0
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IX . I lalle los ángulos /?, a y la pendiente de la recta tangente para las siguientes
curvas en los puntos dados. Trace la gráfica de la curva.
n _ 37r
1. r = 4 (1 + sen 0 ) ; P (4 ; 0 ) P ~ 4 ' “ “ 4
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUMEN II
2 . r 2 = a z ( c o s 2 0 ) ; p ( - ^ ; - ) P
3 . r ( l + sen 0 ) = 4 ; Px (2 ; —) , P2(4; n )
57T
~6~
7T4. r = 4 sen 30 ; P(4;—)
7T 2715. r = a sen 0 ; 0 =
6. r = a sen 20 ; Px ^ 1a; l ) ' ( ° : f )
7. r ( l - sen 0 ); P(a;7r)
8. r = a sec20 ; P (2 a ;-)
X . Halle el ángu lo de intersección entre las curvas siguientes en los puntos que se
indican.
'V 2 n n
1. r = a c o s 0 , r = a s e n 0 ; en P ^ a;4 j R' 2
/ 2 t a ^2 . r = 4 eos 0 , r = 4 c o s20 - 3 ; en P ^ - 2 ; — J 2
n3 . r = a , r = 2 a sen a ; en P (a ; - )
4 r = - a se n 0 , r = eos 0 ; en el po lo
X I. Halle los ángulos de intersección de las curvas siguientes:
1 . 2 r = 3 , r = a + c o s 0 P .jr/6
2. 3 r = 1 0 , r ( 2 - se n 0 ) = 5 R. n / 3
3 . r = 1 — se n 0 , r = 1 4- se n 0
R . 0 o e n e l p o l o , n/2 e n (1 ; 7r ) ; — e n ( l ; 0 )
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C O O R D E N A D A S PO LA RES
4 . r = e o s 0 , r = se n 29
/ V 2 TTR. 0 o en (0; n / 2 ) ; 79°6 ' aprox. en j[ — ; —
\ 6
5. r 2 s e n 29 = 4 , r 2 = 1 6 se n 2 0 R. tt/3
6. r ( l - e o s 0 ) = 4 , r ( 2 + c o s 0 ) = 2 0
7. r = 3 ( 1 - e o s 0 ) , r = 3 eo s 0
8. r = a e o s 0 , r = - a s e n 2 0
R. 0o en el po lo , arctan 3 V 3 en los otros puntos
9. r = s e c 0 , r s e n 29 = 2 R. La s curvas no se cortan
X II. En los ejercicios del 1 al 4, demuestre que las siguientes curvas se cortan en ángulo recto.
1. r ( 1 + eos 9) = a , r ( 1 - eos 9) - b
2. r = a ( l + eos 0 ) , r = a ( 1 - eos 0 )
3. r - 2 a eos 0 , r - 2b sen 0
4. r = 4 co s(0 — n / 3 ) , r 2 — 6r eos 0 + 6 = 0
5. Halle la condición para que las circunferencias
r 2 - 2 cr e o s (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0 y
r 2 + 2 c ' rcos(9 — a ') + c '2 — a '2 = 0
se corten ortogonalmente.
6. Demuestre que r c o s (0 — oj) = a + c eos ( a — w ) es tangente a la
circunferencia r 2 — 2 c r c o s(0 — a ) + c 2 — a 2 = 0.
7. Halle las coordenadas polares de los centros y los radios de ¡as
circunferencias
r = 4 eos ^0 — — J y r 2 - 2r eos 0 - 2 = 0
Pruebe además que las circunferencias se cortan ortogonalmente (dos circunferencias se cortan ortogonalmente si la sum a' de los cuadrados de
sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros).
R. c 2 + c12 — 2 cc' eos (a — a ' ) = a 2 + a'2
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Ivn esta sección deducirem os una fórm ula que permita obtener el área de una
región F (Fig. 5.22) lim itada por una ecuación polar, esto es,
F = { (r ; 0 ) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < / ( 0 ) }
donde /: [a; /?] -» E es una función continua y no negativa.
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
5.10 Á REA S EN C O O R D E N A D A S PO L A R E S
Fig. 5.22 m g.
En térm inos sim ples, F es la región comprendida entre las gráficas de
r = / ( 0 ) , eje a , eje /? (co n a < /?)
Sea 0o e [ a \ p ] y sea A ( 0 O) el área del sector lim itado por la curva r = f ( 9 ) y por las rectas 9 = a y 8 = 90. Sea 60 + A 0 6 [a; /?], con A 0 > 0, y
. m = m ín f { 9 ) A = m áx / ( 0 )0o<e<eo+Ae tío<0 íeo+A0
El área A ( 6 0 + A9) - A ( 9 0) está comprendida entre las áreas de ios sectores
circulares de radios m y M (Fig. 5.23). Para A0 > 0 se tiene
m 2A9 M2A9
Luego.
< A ( 8 0 + A9) - A ( 9 0) <
m 2 A ( 9 0 + A 9) — A ( 9 0) ^ M2
~ Y ~ A 6 “ ~2
C om o f 2/ 2 es continua en [0O; 0 O + A 0 ] , por el teorema de los valores
intermedios, existe 9 G [90\ 90 + A 0 ] tal que
f 2( 9) A ( 9 n + A 0 ) — A ( 9 0)
2 A 9
Por la continuidad de f 2/2 en 0 O, se sigue que
A { 9 a + A0) - A ( 9 0) f 2( 90)l i m
A 9
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C O O R D E N A D A S PO LA RES
Procediendo de m odo análogo, para A0 < 0 . se tiene
lim A (°o + M ) - M Q 0) f 2(Q0)A 0 -0 - AO 2
l’or tanto,
A ' ( 9 ) = ~ y , V 0 € [ a , P \ ( * )
l’or consiguiente, de ( * ) se deduce que la fórm ula para hallar el área de la región /■' expresada en coordenadas polares es
1 [Pa ^ = 2 ¡ f 2W 0
Observación 5. Sean f , g: [a; /?] -> M funciones continuas en [ a , p] tales que () S g ( 8 ) < f ( 9 ) , V 6 e [a;P] , y sea F la región limitada por las gráficas cíe >' = 9 ( 0 ) , r = f ( 9 ) y ¡as rectas 0 = a y 0 = fJ (Fig. 5.24). Entonces el área de la región F está dada por
A{ F) = \ f [ f 2(6) - g \ d ) ] d OJ ir
l.jem plo 17. Calcule el área de la región /•’ limitada por la curva r - 2 + eos U y los ejes 0 = 0 y 0 = n/ 2 .So lu c ión
I .a gráfica de la región F se muestra en la fig. 5.25.
A l aplicar la fórm ula correspondiente para hallar el área, se tiene
+ 1 6 ,= -----
M F ) = + c o s 0 ) 2 d0 = ^ J g2 (4 + 4 c o s 0 + 1-+ .™ S dd
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E jem p lo 18. Ca lcu le el área de la región lim itada por la lemniscata
r 2 = a 2 eos 20
So lu c ión
C om o la lemniscata es una curva simétrica respecto al eje polar, es suficiente
m ultiplicar por 4 el área de la región R (Fig. 5,2o). Entonces
TOPICO S DE CALCULO - VOLU M EN II
A(F) = 4
ni r*
J 4«Jo2 eos 29 d9
E je m p lo 19. H a lle el área de la región lífnitada por lás parábolas
r ( l + eos 9) = 4 y r ( 1 - eos 0 ) - 4.
So lu c ión
E n este ca¿&, una parábola es simétrica á la otra parábola con respecto al eje n / 2 (al reemplazar 9 por n - 9 efl láf' primera ecuación, se obtiene la segunda
ecuación). Estas parábola» son simétricas con respecto al eje polar y sus puntos de
intersección son los puntos 4 (4 ;7 r/ 2 ) y B (4 ;37 r/ 2 ). Considerando las
simetrías, el área de la región enjre estas parábolas (Fig. 5.27) es 4 veces el área
de la región R. En la integral se utilizará la identidad (1 + eos 9 = 2 e o s20/2 ).
A(F) = 41 f I 16 d9 _ ÍJ d9 _ [2
2 J0 ( l + c o s 0 ) 2 32 J0 [2 eos2 6 / 2 ] 2 J0
Aesec — d9
64
E je m p lo 20. Ca lcu le el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 3 0
y exterior a la circunferencia r = a, a > 0,
So lu c ión
La región se muestra en la Fig. 5.28 (parte sombreada). Para hallar el área total es
suficiente m ultiplicar por 6 el área de la región R. Entonces
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COORDENADAS POI.. A RES
90 '120"
150° N . \ \ \
60°
/ 30"
R T l M k
r = ; a e os 39
Fig. 5.28 Fig. 5.29
I je inp lo 21. Calcule el área de la región que es interior a las curvas
V 2 r = 3 y r z = - 9 c o s 2 0
So lu c ión
La región es la parte som breada que se muestra en la c ig. 5.29. Por sim etría se (iene
A( F) = 41 [ 3 2 f ' i 9- j ¡ ! ( -9 c o s 2 S )d e + - l - M
4 3
3 , — ,= - ( 6 + 7r - 3 ^ 3 ) ^
E jem plo 22. Halle el área de la región que es interior a la curva r = 3 a eos 26 y exterior a la curva r = a ( l + eos 2 0 ) , a > 0.
So lu c ión
La región es la parte som breada que se ilustra en la fig. 5,30. Por simetría, se tiene
A ( F ) = 4 [ A(RX) + A( R z) l . dondfe
1 f 6i ) = y [9 a2cosz.29 - a 2( 1 + eos 26 ) 2]
‘ ^ Jo
. - « ü f i0
d<9
6(3 + 4 eos 4 0 - 2cos 2 0 ) dfl = ^
^(^2) = 2 J [9a2cos22ff - a2( 1 + eos 2 0 )2]d0
(donde a es tal que eos 2 a == - 1 / 4 )
= - y J [3 + 4 e o s40 - 2 c o s2 0 ]d 0 = + ~ 7 r ~ “ 3 a
3Luego, A(F) = a 2 ( 4 7 1 + ^ ^ 1 5 — 6 a j u2 = (9,95 a 2) u2:
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II
5 .1 1 L O N G IT U D DE A R C O EN C O O R D EN A D A S P O L A R E S
Para calcular la longitud de arco de una curva expresada por la ecuación polar
r = f ( 9 ) , 9 6 [a;P] , parametrizamos en términos del parámetro 0. A s í. las
ecuaciones paramétricas de la curva son
x = f ( B ) e o s 9 A y = / ( 0 ) s e n 8 , 9 6 [a;/?]
donde / es una función con derivada continua V 9 6 [a; /?].
A l aplicar la derivada de un producto, se obtiene
dx d y— = f ' { 9 ) eos 9 - / ( 0 ) s e n 9 y — = / '(0 )se !n 0 + / ( 0 ) eos 0uu do
Entonces
ÍS) +Q ’Luego, aplicando la fórm ula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones
paramétricas, se tiene c}ue la longitud de arco de r = / ( 9) desde 9 = a hasta
9 = ¡i está dada por ’
L = f V I / ( 0 ) P + [ / '( 0 ) ] 2 d.9
E je m p lo 23. H a lle a longitud de arco de la curva r = a s e n 3 ( 0 / 3 ) , a > 0.
So lu c ión
L a gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.31. L a curva queda descrita si
9 6 [0; 37rJ (es simétrica respecto al eje rt/2).
6 6 0 QCom o [/ (0 ) ]2 + l/ '( 0 ) ] 2 = a2 se n 5 ~ + a 2sen4 - eos2 - = a 2sen4 — , en tonce s
>J J ví
r37r { 6 f 3n , 0 a f 3n ( 2d \ 3an! ! Ja2 sen4 - d9 = a sen2 — d.9 = — j (1 — eos — )d 9 = — — u
¡ . 3 i p 3 2 J„ y j / 2Jo
Fig. 5.31
266
Fig. 6.32
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E jem p lo 24. Halle la longitud de arco de la parte de la parábola r = a s e c 2( 6 / 2 ) cortada por la recta perpendicular que pasa por eí polo.
So lu c ión
La gráfica se muestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ n f 2 < 0 < n / 2 y
dr¿jj = / '(Ö ) = a sec2(0/2 )tan (0/2 )
Ap licando la fórm ula correspondiente, se tiene
n"2 9
secs — d9
COORDENADAS PO LA RES
1 = / l V [ / ( 0 ) ] 2 + [ / '( 0 ) ] 2 d9 = a f~Z
— í ® i. ® , I ® e V-— a sec — ta n — + ln se c— + ta n — Jl 2 2 1 2 2
2
= 2 a [V 2 + ln (V 2 + l ) ] u
E jem p lo 25. Halle la longitud de la curva r = 2b tan 0 sen 0, b > 0 desde0 = 0 hasta 0 = tt/3.
So lu c ión
La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.33. C on la fórm ula de la derivada obtenemos
drd9 - r' = 2b sen 0 (se c 20 + 1)
Luego,TT
‘ 1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9
n
= 2 b j tan 0 V s e c 20 + 3 d9
Ln la última integral hacem os el cam bio de
variable u 2 = se c 20 + 3. Entonces
2 u d u ~ 2 se c20 tan 0 d9 => tan 0 d6 - u du
u 2 - 3
Cam biando los lím ites de integración, se tiene
f V? U2 du; = 2 b
J 2L = 2b
f v u 2 du H 7 3
i ^ 3 = 2 b l i l + ^ Í > du =
2 ¿ ( V 7 - 2 ) + V 3 f c l n f - p + V ^ ( V 7 ~ V I ) l(2-V3)(V7 + V3).
. V 3 lu - V 3u + — ln ------- -
2 u + V3
V7
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5.12 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O D E R E V O L U C I Ó N E N C O O R D E N A D A S
P O L A R E S
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLU M EN II
En primer lugar, querem os calcular el volum en de un só lido (Fig. 5.35) obtenido
por la rotación alrededor del eje x de un sector circular del p lano x O y (F ig. 5.34)
com prendido entre los ángulos 0* y 02.
i
/
/ y \
1 i A
X
Fig. 5.34
E l sector circular puede ser descrito del siguiente modo:
0 < x < r c o s 02 y f i (x ) < y < f 2{x) ) sect:or entre Qt y 02 r eos 0 2 < x < r eos 0, . y f t (x) < y < fl(x ))
donde
f x(x) = x tan 0r , /2(x ) = x tan 02, g { x ) = J r 2 - x 2
A l aplicar el método del disco, obtenemos
¡•r cos 0, r r cos0i
V/•r eos 02 f r C O S 0 ! | - r c o s 0 !
= .jr [ f2( x) ] 2d x + n \ [ g ( x ) l 2d x — n I l A ( x ) ] 2d rJ q- * r eos 02
r . r eos 0 2 r r c o s 0 ! f r c o s O j
= tt x 2 tan262 dx + u ( r 2 - x 2) d x - n \ x 2 tan201 dxJ n - ¡r eos 02 0
Haciendo los cálculos respectivos, se tiene
2 n r 31/ = — — (eos 0! - eos 0 2) (21)
Ahora, nuestro propósito es calcular el vo lum en V del só lido obtenido por la
rotación en torno al eje polar de la región plana
F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3} donde r = / ( 0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares (/ es
continua en [a; /?]) y F es la región lim itada por las gráficas de la curva r =
/ ( 0 ) y los ejes 0 = a y 0 = /? (Fig. 5.36).
2 6 8 www.FreeLibros.com
COORDENADAS PO LA RES
Sean 90 y 80 + A 8 dos puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y
m = «, A M = m áx f { S )90<8<60T&e 80<8<60-rAe
I- I vo lum en obtenido por rotación del sector F com prendido entre 80 y 8n + A 8 (Fig. 5.37) es. según la fórm ula (21).
¿ 7n n 3 2 tzM 3- J ~ [eos 0O - eos (0O + A0] < V(6„ + A0) - V(80) < — - [eos 0O - eos (0O -i- A0)j
D ivid iendo entre A 0 > 0 se tiene
¿711W? rc o s 0 n - eos (6>0 + A 0 ) 1 V (60 + A 0 ) - V(80) 2ttA/3 r c o s0 c - eos (6 \ + A fl) i
3 ‘ AS j - re ----------- £ — [----------------------------- J
Com o f 3 es continua en [80;8 0 + &8], por el teorema de los valores
intermedios, existe Qx e [0O; 80 + A 0 ] tal que
A 82 n f \ 8 J eos 80 - eo s(8 0 + A 0 ) i
3 A 8
I ornando limite cuando A 8 -> 0 + , debido a la continuidad de f en 8n, se tiene
27r / 3(0 o) n1/ j = ------- --------- sen ^
Del m ism o m odo se hace para A 8 < 0. Por tanto.
f 3(8 0)V '(ßo) = - se n 0,
malmente, el vo lum en del só lido es V = V(ß) - V(a) . esto es
2rr f ß ,i/ = r l f í n ,) s e n 8 dB
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E je m p lo 26. Calcu le el vo lum en del sólido obtenido al hacer girar el cardioide
r = a ( 1 + c o s 0 ) , a > 0, alrededor del eje polar.
So lu c ión
En la figura 5.38 se observa que para obtener el referido vo lum en es suficiente
girar en torno al eje polar la parte del cardioide que está en el sem iplano superior.
Entonces se tiene:
o
(1 + c o : É»)4] 71
r = a (l+ eos 0)
Fig. 5.38
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COORDENADAS POLARES
E JE R C IC IO S
En c a d a u n o de los s ig u ie n te s e je rc ic io s , c a lcu le el á r e a d e la re g ió n l im i ta d a p o r las c u rv a s ( d a d a s en c o o r d e n a d a s p o la re s ) q u e se in d ic a n y b o s q u e j e la g rá f i c a d e la re g ió n .
1. r = a eos 6 , 0 < 0 < n /3 R. (0 ,3 7 a z ) u 2
2. r = a ( l — eos 9) r , ^ l a 2^u 2
3. r = 4 eos 20 R. 4-nu2
4. r = a sen 26 r , n a
5. r = eos 3 0 r , — u 2
2
12
6. r = a eos 5 0 fl. i r a ' ,
~ U7. r 2 = a 2 sen 4 0 f i . a 2u 2
8. r = a ( 1 + 2 sen 8 ), 8 = - ~ v 0 = —6 ' 6
/?. (n 3 V 3 \( H J u
9. r = |4 sen 2 0 ¡ f l . Qnu2
10. r = b + a eos 0 (0 < b < a) R. . - ( 2 ¿ 2 + a 2)w :
11. r = a eos 4 0 R.n a 2
~ ~ T U
12. r z = a 2 eos 8 0 R. a 2u 2
13. L a región es interior a las curvas r = 3 + eos 48 y r = 2 - eos 48.
R. 3 7 tt/6 u2
14. L a región es interior a r = 3 + eos 48 y exterior a r = 2 - eos 40.
15. L a región es interior a r = 2 - eos 40 y exterior a r = 3 + eos 40.
16. L a región es interior a r = 2 + eos 20 y exterior a r = 2 + sen 0.
R. 5 1 V 3 / 1 6 u 2
17. La región es interior a las curvas r = 2 + eos 20 y r = 2 + sen 0.
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las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
in te r io r a V 2 r = 3 y e x te r io r a ' r 2 = - 9 e o s 2 0 ^
2
18. La región es interior a j * gR. ( 3 7 t - 9 + - V 3 j u 2
19. L a región es interior a
a > 0.
20. La región está com prendida entre la parte ex.erna e intetna de
3 e K- “ 2 ----------5 5 --------- “ 2r = a sen '5- \ J
21. L a región está com prendida entre las curvas:
9 n ,a) r — i — eos 2 0 , r — 2 (1 eos 2 0 ) , 0 < 0 ^ R- ~
b ) r = 2 a eos 0 , r = 2 a sen 0, ^ ) , 2
c) r = a se n 0 , r = a ( l i- eos 0 )
d ) r = 2 sen 2 0 , r = 2 eos 20 »• ( F 1)
curva.
1 r = sen 9 , 0 S [0; 2rr]
2 . r = 20 , e e lo ; 2« ) «■ I2W T + 4F + ' " t 2 " +
^ n R- 8 a u3. r = o(l + eos 0 ) , a > 0
4 . e = i ( r + i ) desde r = 1 hasta r = 3 R . Í ( 4 + l n 3 ) U
5. E l a l d e t a espiral logarítm ica r = m > 0, ,u e se encuentra
dentro del círculo r - a.
R. aN
1 + m z -------- - u
m
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RECTAS Y PLANOS L= EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L
I I o b je t iv o de e s ta s e c c ió n , e s r e c o rd a r las o p e r a c io n e s c o n v e c to r e s y sus p ro p ie d a d e s co n la f in a l id ad d e h a c e r uso de e l la s en la s ig u ien te s e c c ió n , razó n por la cua l n o se d e m o s t r a r á n las p ro p ied a d es .
(».6.1 E l E S P A C I O E 3
1.1 e s p a c io d e d im e n s ió n t re s e s el c o n ju n to de t o d a s las t e rn a s o r d e n a d a s de n ú m e ro s re a le s y se d e n o ta con
R 3 = { ( x ; y ; z ) / x , y , z 6 IR}
Así, un v e c to r en el e s p a c io IR3 es u n a te rn a o r d e n a d a de n ú m e r o s re a le s y se d e n o ta c o n á = ( a ^ a ^ a - ^ )
Igualdad de Vectores
Dos v e c to re s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 'l b 2 , b 3 ) en el e sp a c io K 3 so n ig u a le s si solo sí sus c o m p o n e n te s c o r re s p o n d ie n te s son iguales , e s d e c i r
d = b <=> a t = b lt a 2 = b 2 y a 3 = b 3
Vector nulo
I s el v e c to r q u e t ien e to d a s su s c o m p o n e n te s ig u a le s a c e ro y se d e n o ta con
0 -- (0 ; 0; 0 ) . E s te v e c to r e s el ú n ico v e c to r q u e no t ien e d i re c c ió n e sp e c i f ic a
Suma de Vectores
Sean á = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) y b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) d o s v e c to r e s en el e s p a c io IR3 ,
e n lo n c es el v e c to r á + b e s t á d e f in id o c o m o
á + b = ( a 1 + b 1 - ,a2 + b 2 \ a 3 + b 3 )
Multiplicación de un escalar por un vectorSea r un e s c a la r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c to r en el e sp a c io IR3, e n to n c e s1.1 m u lt ip l i c a c ió n de l e s c a la r r p o r el v e c to r ü es tá d e f in id o c o m o
r á = ( r a í , - r a 2 ; r a 3)
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S i d , b , c son vectores en el espacio IR3 y r , s G E se verifican las siguientes
propiedades:
1. a + b es un vector en el espacio E 3.
2. á + b = b + á (Propiedad Conm utativa)
3. a + (b + c) = (a + b j + c (Propiedad Asociativa)
4. Existe un único vector cero 0 = (0; 0; 0 ) tal que á + 0 = a , V a en l 3
5. Para cada vector a = ( a 1; a 2; a 3), existe un único vector (opuesto de a),
- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0
6. r a es un vector en E 3
7. r ( a + b ) = r a + r b
8. (r + s ) a = r d + s a
9. r ( s a ) = ( r s ) a
10. 1 a = a , V a en M3
Cualqu ier sistema matemático en el que estas propiedades son válidas, recibe el
nombre' de espacio vectorial real. D e este m odo E 3 es un espacio vectorial real
de d im ensión tres.
Su stracc ión de vectores
Sean a = (a x; a 2; a 3) y b = (i?x; b2; b3) dos vectores del espacio E 3, entonces
la diferencia de estos vectores se define como
a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = (a x - bx\ a 2 - bz \ a 3 — b3)
6.1.2 R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N E 3
D ado que un vector es un ente matemático que tiene dirección, sentido y longitud;
es representado por un segmento orientado en el que se distingue un origen y un
extremo.
E l vector que tiene com o origen el origen de coordenadas y extremo cualquier
punto P (x - ,y ; z ) del espacio E 3 (Fig. 6.1) se llama vec to r de po s ic ión y se
denota con
a = OP = ( x ; y ; z )
donde O es el origen de coordenadas.
TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
6.1.1.1 PROPIEDADES
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con
a = P0P:
l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectorestí y b.
d - P,P2 - OPz - OPx = (x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = (x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j
275 www.FreeLibros.com
Se dice que dos vectores a y b en el espacio R 3 son paralelos, si uno de ellos es
múltiplo escalar del otro, es decir,
a II í « a = r í V 5 = r ,s G R
D o s vectores paralelos á y b tienen el m ism o sentido si
á = rb , r > 0
D o s vectores paralelos a y b tienen sentidos opuestos si
a = rb , r < 0
TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
6.1.3 VECTORES PARALELOS EN E 3
E jem p lo I
¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2), encuentre los vectores a + b, d + b y
3 a - 2 b
b) Determ ine s; cada par de los vectores dados a — ( — 1; 2; — 3) y
b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y d = (0; 1; 3 ) son paralelos.
So lu c ión
a) A l aplicar las definiciones dadas se tiene
a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 )
a — b = (1; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )
3 a - 2 b = 3(1; 3 ;- 4 ) - 2 ( 2 ; -1 ; 2 ) = (—1; 11; —16).
b) Tenem os
b = — 5 a = > a II b y tienen sentidos opuestos
c = 2a => a \\ c y tienen el m ism o sentido
L o s vectores a y d no son paralelos
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I.» longitud o norm a o módulo de un vector a — ( a ^ a 2; a 3) en el espacio M 3se denota y se define com o
Hall = V a i 2 + a 22 + CL32l’or ejemplo, si a = (1; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3
Observación 2
ti) La norma de un vector es la longitud del segmento orientado que lo representa (Fig. 6.5)
■h) Todo vector de longitud igual a 1 se llama vector unitario, es decir u es unitario si ||u|| = 1
¡'i El vector unitario en la dirección del vector no nulo a es el vector
_ 3.
6.1.4 M ÓDULO O LONGITUD DE UN V EC TO R EN M3
6.1.4.1 P R O P I E D A D E S
Si a y b son vectores en el espacio R 3 y r es un escalar, entonces
1. ||a|| > 0 y ||a|| = 0 <=> a = 0
2. ||r a|| = |r|||a||
3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (Desigualdad triangular)
4. ||a|| = || —a||
6.1.5 P R O D U C T O I N T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N E 3
Si a = (a t ; a 2; a 3) y b = (b t ; b2;b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces
el producto interno o producto escalar de a y b es el número real definido y denotado por
a • b = a xb1 + a 2b2 + a 3b3 (se lee " a punto ¿ ”)
l’or ejemplo, si a = (5; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3), entonces
d - b = 5 (2 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 3 = 3
2 7 7 www.FreeLibros.com
TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
6.1.5.1 P R O P I E D A D E S
Sean á ,b y c vectores en el espacio R 3 y sea r un escalar. Entonces se tiene
1. á -b = b ■ a (Propiedad Conm utativa)
2. ( r a) ■ (b ) = r (a - b )
3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c (Propiedad D istributiva)
4. a • a = ||al|2 ; a ■ a = 0 <=> á = 0
5. ||a + ¿||2 = Hall2 + ||£||Z + 2a-b
6. ||a — b \\2 = Hall2 + ||fe||2 - 2a • 5
7. ||a + b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (Le y del paralelogram o)
6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S
Sean a y b vi espacio R 3. E l ár
a y b es el ]
0 (0 < Q < n ) del
partir de un m ism o
Teorem a 1 S i 6vectores no nulos
entonces
áeos 6 = —
Ha
D e m o stra c ió n Ejerc icio para el lector
Observación 2 D el teorema 1 se deduce que una form a alternativa para calcular
el producto escalar de los vectores á y b es
a - b = l|a||||£|| eos 9
setores no nulos en el
igulo entre los vectores
menor ángulo positivo
lerminado por ambos al
origen com ún (Fig. 6.6)
es el ángulo entre dos
á y b del espacio R 3,
~b \y e / a
O(origen)
Fig. 6.6
2 7 8 www.FreeLibros.com
i i L A I N U O LIN l l W I V U . 1 U 1 K l U l l V I t I N j I U W A L
(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S
Dos vectores no nulos a y b en el espacio R 3 son ortogonales o perpendiculares si el ángulo determinado por ambos es de 9 0 c
T eorem a 2 D o s vectores no nulos á y b en ei espacio R 3 son perpendiculares si
y solamente si á - b = 0
Observación 3 Sean a. y b vectores no nulos en el espacio R 3. De la figura 6.7 se tiene:
u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“{Teorema de Pitágoras)
ií) á I b «=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘
E jem p lo 2 Halle el ángu lo que forman los vectores d = ( 1 2 ; 0 ; - 6 ) y
/>' = ( — 6; 0; 3)
So lu c ión
a ■ b - 7 2 + 0 - 18 - 9 0 - 9 0eos 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n
||a||¡¡¿>|¡ v l 8 0 v 4 5 2 V 4 5 V 4 5 90
E jem plo 3 Calcule el producto escalar de los vectores a y b si se sabe que
forman un ángulo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3
So luc ión
a - b = l|a||p|| eos 30° = 4 ( ó V 3 ) = 36
Ejem plo 4 Sean a y b dos vectores que forman entre sí un ángulo de 45° y
¡|a|¡ = 3. Calcule |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.
So luc ión
l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene
(a - b) ■ á = 0 <=* á • a = b ■ a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| eos 45°
» 9 = ||¿ ||(3 ) ( -^ j ~ ¡|¿|| = 3V2
Áa + b / r
b b
a
Fig. 6.7
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TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
E jem p lo 5 Sean a ,b y c vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.
p|| = 2 V 3 y ||c|| = 2. Sabiendo que los vectores a y b forman un ángu lo de
30°, los vectores b y c un ángulo de 6QC y los vectores a y c un ángu lo de
90°, calcule
a) a - ( b + c) b) ||a - c||
So lu c ión Tenem os
a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l lp H eos 30° + ||a||||c]| eos 90°
= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 ( 2 ) ( 0 ) = 18
b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 36 - 2||a||l|c|| eos 90° + 4 = 40
D e donde se obtiene
||a - c|| = V 4 Ó
6.1.8 C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R
E N L A D I R E C C I Ó N D E O T R O V E C T O R
Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3
A l vector OM (F ig. 6.8) se llama vecto r p royecc ión o rto go n a l de a sob re b y
se denota com o
OM = P ro y ^ a
En el siguiente teorema verem os el procedim iento para determinar este vector
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Teorem a 3 Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3, entonces
¡i) E l vector proyecc ión ortogonal de a sobre b es el vector dado por
d - úP ro y r a = b =
p ii; pii
I)) A l e sca la r que m u ltip lica al vecto r u n ita r io ur = - J - se denom ina
IMIcom ponente del vecto r a en la d irecc ión b (se denota Com pga), es decir,
~ . a - bC o m p g a =
E jem p lo 6 Halle el vector proyección ortogonal de a sobre b y la componente
del vector á en la d irección b de los vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2; - 1 ; 2 )
S o lu c ión
El vector p royección ortogonal de a sobre b es el vector
-— . „ ( á - b \ r /10 + 0 + 8 \
n a = F F v— 9— J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;
.a componente del vector a en la dirección de b es el escalar
a - b 18
6.1.8.1 P R O P I E D A D E S
C o m p g a = = — = 6
Sean a , b y c vectores no nulos en el espacio K 3 y k un escalar cualquiera distinto de cero. Entonces
I . P r o y ¿ ( a ± b ) = P ro y f a ± Proy,? b
2. P ro y ¿ (k a ) = k P ro y ¿a
3. P ro y (fcf)a = P ro y c-a
4. C o m p ¿ (a ± b ) = C o m p ra ± C om p ró
5. C o m p ^ fc a ) = kCom p¿a
, „ f C o m p ra , si k > 0
' C - W Í - c ün, p , i , s i K ,
281 www.FreeLibros.com
E je m p lo 7 Sean a y b vectores en el espacio E 3 que verifican a + 3b = 0 y
c o m p ga = - 6 . Calcule el va lor de A = 5 (3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2b)
So lu c ión
C om o a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen sentidos opuestos. Luego,
el ángulo que forman estos vectores es 9 = rr. Adem ás,
||a|l = 1I-35H = 3||b|| (1 )
Por otra parte, •
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
á - b Ha || b I eos ti Compga = = ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6 (2 )' W MIReem plazando (2) en (1) obtenemos ||5|| = 2
A h o ra bien, usando las propiedades del producto escalar resulta
A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 (3 6 ) - 4 (4 ) ]
= 1 5 4 0
E je m p lo 8 D ado el triángulo de vértices ¿4(5; 2; 3), B (8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 )
a) Halle las componentes del vector Proy-^M N si se sabe que el vector MN es
paralelo al vector AC , donde M está sobre el lado A B , N sobre el lado BC y
\\MN\\ = 18
b ) Ca lcu le A = 5 ( AC ■ ü jg + - C o m p ^ ^ f l j
So lu c ión
Sean los vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2)
a) C om o M N || ~AC, entonces P roy ^ M N = MN. Adem ás,
W Ñ = kAC = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 )
Por otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6
Por consiguiente, P ro yjg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 )
b) A q u í tenemos
AB 1 N 3 ^ 4^
^ " p f ¡ “ 5 C 3 : 0 ; _ 4 ) " ( 5 ; ; 5
__ , ¿ f l - Z C - 6 - 8 14Com PrcAB = = — 3— - - y
\\AC\\
Luego resulta
/__ , 3 ___a ( 1 4 1 4 \A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y lñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8
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a) Ln el triángulo ABC que se muestra en la
figura adjunta se tiene ,4(3; 1; 1 ) y
^r° y j c ^ = (2; — 1; 5). Determ ine las
coordenadas del punto M , que es el pie de
la perpendicular trazada del vértice B al lado AC.
Ii) Si se sabe que los vectores unitarios
u y v forman un ángulo de 120° y los
Rectores w y v un ángulo de 90°,
calcule el va lor de ||Proyij(4u + vv) j|
So luc ión
,i) U tilizando la defin ición de la proyección de un vector sobre otro, tenemos
AM = P ro y ^ A B = (2; - 1 ; 5)
<=> O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)
xM = 5 , y M = 0 A z M = 6
Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular trazada del vértice B al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )
I)) Tenem os ||u|| = ||i?|| = i, ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^ y w - v = 0. A s í,
ñ— • f * - —n /(4 u + vv) ■ / uProyp(4u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4 - J = - 2 v
Por lo tanto, el módulo buscado es
J| Proy^j (4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2
(.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L
Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y b = (b 1;b 2;b 3) dos vectores en el espacio E 3
Se denom ina p roducto vecto ria l de los vectores
d y b al vector que es perpendicular al plano que
contiene a los vectores á y b y se denota con
ti x b. Antes de dar su definición precisa, es
^inveniente tener en cuenta la siguiente observación.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
E je m p lo 9
B
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Observación 4 Los vectores unitarios que siguen e l sentido positivo de los ejes coordenados son
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
i = (1; 0; 0), / = (0; 1; 0 ) y k = (0; 0; 1)
A estos vectores también se ¡es llanta vectores de la base canónica en M 3
Los vectores unitarios T , j y k se utilizan para representar cualquier vector del espacio R 3 en su form a algebraica. En efecto, si a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene
a = ( a i, a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3)
= a x (1; 0; 0 ) + a 2(0; 1; 0 ) + a 3( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k
Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se puede escribir en su form a algebraica
cí = a-t i + a 2J + a 3k
A ho ra podernos expresar el vector á x b en términos de los vectores í , / y k mediante el siguiente determinante de orden 3 x 3
a x b =T j k
a l a 2 a 3
b , b2
\a 2 a 31 | a l a 3
¿1 b3 \J + b:a l a 2|
= ( a 2b3 - a 3b2) i — (a xb3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k
= (a 2b3 - a 3b2; a 3foj - a x¿ 3; a xb2 - a 2bt )
Se verifica fácilmente que a • ( a x b ) — b • { a x b ) = 0, es decir, el vector
a x b es perpendicular a los vectores a y b.
E je m p lo 10 Considerando los vectores a = ( ( 1 ; — 1; 1 ) y b = (2 ;0 ; 1), halle
un vector que sea perpendicular tanto a a com© a b
So lu c ión
E l vector que es perpendicular a am bos vectores, es el vector á x b . A s í tenemos
á x b =l J k1 - 1 1
2 0 1
- 1 11
0 I I|1 l f - |1 12 i r I2 \ k = - 1 + j + 2k
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REC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L
6.1.9.1 P R O P I E D A D E S
Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cualquier escalar. Entonces
I á x b = —b x a (Propiedad Anticonm utativa)
á x (b ± c ) = (á x b ) ± (á x c ) ), „ > Leyes d istr ib u t iv a s
<. {a + b ) x c = a x c + b x c J
l k d x b = a ( k b ) = k á x ~b
V a x á = 0
><. a x b = Q < = > á \ \ b
/. á ■ ( a x b) = 0
S.. b ■ ( a x b) — 0
'). ||a x ¿|| = ||a||||¿|| sen 6, donde Q es el ángulo entre a y b
10. ||a x ¿||2 = ||a||2 ||5||2 - (a • b ) 2
11. S i a l i y a l c => a | | ¿ x c
12 . X x J = k , j x k = l , k x~í = J
6.1.10 A P L I C A C I O N E S D E L P R O D U C T O V E C T O R I A L
6.1.10.1 Á R E A D E U N P A R A L E L O G R A M O
Sean á y b vectores no nulos y no paralelos en el espacio K 3 . Ahora,
considerem os que estos vectores son los lados de un paralelogramo, tal com o se
muestra en la figura 6.10. E l área A ^ del paralelogramo es
A = (b ase ) • (a ltu ra ) = (||a||)(||6||sen 9) = ||<T x 1>|| u 2
Fig. 6.10
285
Fig. 6.11
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.1.10.2 ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Sean a y b dos vectores no nulos y no paralelos en el espacio
triángulo determinado por lós vectores a y b (Fig. 6.11) es
, _ 11“ X 11 -.2
E l área del
6.1*11 E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R O P R O D U C T O M I X T O D E
V E C T O R E S
Sean á = ( a 1; a 2; a 3), b = (£>!,- ¿?3) y c = ( c i ; c 2;c 3) vectores en el espacio
R 3. E l triple producto escalar de los vectores a, b y c está defin ido y denotado
por
a. ( b x c) =
a l a 2 a 3
¿1 ¿2 ^3
c \ c 2 c 3
E je m p lo 11 D ado s los vectores a = (1; - 1 ; 1), b = (0; 2; - 1 ) y c = (1; 0; 2),
halle á ' ( i x c )
So lu c ión
Por la definición, se tiene
1 - i 1
a • (b x c ) = 0 2 - 1
1 0 2
= 4 + 1 — 2 = 3
6.1.11.1 P R O P I E D A D E S
Sean a, b y c vectores en el espacio M 3
1. E l triple producto escalar de los vectores a , b y c es independiente del
orden circular de la operación, es decir,
a • ( b x c ) = b • (c x a ) = c • ( a x b )
2. L o s vectores a, b y c son coplanares (están en el m ism o plano) si y
solamente si á ■ (b X c ) = 0
3. S i a ■ (b x c) = 0, entonces uno de los vectores es el vector nu lo o dos de 'los
vectores son paralelos o los tres vectores son coplanares.
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RECTAS y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.1.12 A P L I C A C I Ó N D E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R
6.1.12.1 V O L U M E N D E U N P A R A L E L E P Í P E D O
■ '<-an á — AB, b AD y c = AE vectores determinados por las a rism adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).
S d o ° ^ r n Vp del para,elepíped0 determinado por los vectores á, b y c está
VP = \ d - ( b x C)| = \ A B - ( A D x AE )| u 3
D
/ j ^ A
A Q A - ^ Dn av= la.( ?Xc)| v = ^ |2 .(*xc)|
Hg. 6.12 — --------------------- ----------------
6.1.12.2 V O L U M E N D E U N T E T R A E D R O
Fig. 6.13
Sean a AB, b - AC y c = AD vectores determinados por las aristas adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).
IA volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado
1
6
1 . i ___ >VT = - \ a - ( b x c ) \ = - \ A B - ( A C x A D ) \ u 3
por
E jem p lo 12 E l vector de posición a se encuentra en el plano y z y el vector de
* sobre el eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120°.
II&II = v 2 7 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b So lu c ión
Dado que d = (0; a 2; a 3) y b = (0; b2; 0 ) (b2 < 0), se tiene
') ||6|| = = 8 = > b2 = - 8 = > b = (0 ; - 8 ; 0 )
í¡) l|5 x ¿|| = ||a ||p ||s e n 120° = V27 (8) = 36
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1!
iii) á x bl J k0 a 2 a 30 - 8 0
= ( - 8 a 3; 0; 0 )
De ii) y iii) se obtiene ||a x b|| = j 6 4 a 3 - 36 = » a 3 = ± -
Por lo tanto, el vector es a x b — ( + 3 6 ; 0; 0)
E je m p lo 13 E n el paralelepípedo que se muestra en la figura adjunta se tiene
A ( 1; 1; 1), B (3; 1; 1), C (3 ; 4; 1) y E ( 3; 1; 5)
Calcule: ^
a) E l área del paralelogramo CDHE
b) E l vo lum en del tetraedro de vértices A,B, C y H.
So lu c ión
a) De la figura se obtiene
CD = BA — (— 2; 0; 0), CE = (0; — 3; 4). Entonces
CD x C S =? 7 k
- 2 0 00 , - 3 4
(0; 8; 6)
Luego, el áreft paralelogramo CDHE es
A ^ = ||CD X C£|| = V 8 2 + 6 2 = 10 u 2
b)' D e la figura resulta //(l; 1; 5), entonces
B C = (0; 3; 0), BA = ( - 2 ; 0; 0 ) y &H = ( - 2 ; 0; 4). Luego,
BC x BAi J k0 3 0
- 2 0 0
= (0; 0; 6)
Por tanto, el Volum en del tetraedro H-BCA es
VT — \ \BH ■ (BC x WÁ)\ — \ |24| = 4 u 36 6
E je m p lo 14 D ado s los puntos >1(1; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 )
a) Determ ine el vector á , si se sabe que es perpendicular al plano que contiene
al triángulo A B C y que ||a|| = 1 4 u
b) S i el vo lum en del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determine las coordenadas del
punto D.
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Solución
a) L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o plano del triángulo A B C , entonces
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
i j k - 1 3 0- 1 0 2
(6; 2; 3)
C om o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = ( 6 k\ 2k; 3k).
Puesto que ||a|| = 14, entonces
||a|| = V 3 6 fc 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 14 <=> 7|fc| = 14 <=> k = ± 2
Por tanto, a = (12 ; 4; 6 ) V a = ( - 1 2 ; - 4 ; - 6 )
b) L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son
AB = ( - 1 ; 3; 0), A D = (x — 1; 0; 0 ) y AC = ( - 1 ; 0; 2 )
E l triple producto escalar de estos vectores es
___ - 1 3 0
AB ■ (AD x AC ) = x - 1 0 0 = - 6 ( x - 1)
- 1 0 2D ado que el vo lum en del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene
1 ,— _ — . 1 Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3
o 6
Por consiguiente, D ( — 2; 0; 0 ) V D ( 4 ; 0 ; 0 )
-2 V x = 4
E je m p lo 15 C on los puntos ^4(8; 0; 0), C (4; — 1; 1), D (6; 0; 5 ) y B (punto del
primer octante) se form a un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A S ,
AC y AD
a) Ca lcu le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos ¿4, C y D.
b) Sab iendo que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lum en
del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las coordenadas del punto B.
Solución
a) D ado que los vectores adyacentes que forman la cara A C H D (paralelogram o)
del paralelepípedo son AC = ( - 4 ; - 1 ; 1) y AD = ( - 2 ; 0; 5), entonces
A C x A D =i
- 4
- 2
J k - 1 1
0 5
= ( - 5 ; 1 8 ; - 2 )
Luego, el área de la cara del paralelepípedo es
A ^ = \\AC x AD\\ = V 25 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
b) C om o AB II ñ — (1; 1; 1) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0). Luego,
k k kAB ■ (AC x AD = - 4 - 1 1
- 2 0 5
= 1 1 *
Puesto que el vo lum en del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene
VP = \ A B - ( A C x AD)| = |llfc| = 4 4 <=> k = 4
Po r tanto, de AB = (4; 4; 4 ) resulta B = (12; 4; 4 )
E je m p lo 16
a) S i los vectores á , b y e son unitarios y satisfacen la condición:
a + b + c = 0, calcule el va lor de M = a - b + b ■ c + a ■ c
b) L o s vectores a y b son tridimensionales y forman un ángulo de 30°. S i
||a|| = 4 , ||ft|| = 6, utilizando el álgebra vectorial, calcule el área del
triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .
So lu c ión
- » 2a) D ado que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c|| = 0
<=> ||a||2 + ||¿|| + ||c||2 + 2a ■ b + 2a ■ c + 2b • c = 0 ( * )
C om o los vectores a , b y e son unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1
Reem plazando estos valores en ( * ) se obtiene
- - 3l + l + l + 2 a - b + 2 a ' C + 2 b - c = 0 = * M = a - b + a - c + b - c = —
2
b) E l área del triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b es
¿a = j\ \a x ¿|| = ^ ||o ||p ||sen (3 0 °) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2
E je m p lo 17 L o s puntos .4(4; 2; 0), 5 (4 ; 8; 0), D (—2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son
los vértices del paralelepípedo ABCDEFGH
a) Calcule su vo lum en
b) Determ ine la altura del paralelepípedo
So lu c ión
a) L o s vectores de las aristas adyacentes del paralelepípedo son
AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0; 2; 8 )
290 www.FreeLibros.com
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Luego , el vo lum en del paralelepípedo es
0 6 0y = |i4B • G4D X j4£)| = - 6 0 0 = |288| = 2 8 8 u 3
0 2 8
b) Tenem os
AB x A D =í f k0 6 0
- 6 0 0= (0; 0; 3 6 )
A s í, el área del paralelogram o ABCD es A¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2
Puesto que el vo lum en del paralelepípedo ABCDEFGH es
Vp = (á rea de la b a se )(a ltu ra ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u
O bservación 5 Sean P^x^, y t ; z x) y P2 (x 2; y 2; z 2) los extremos de un segmento P iP 2. Entonces las coordenadas del punto P (x ; y; z ) que divide a l segmento en
PtPla ra zón d a d a r = —-= ( r í - 1) son
P °2X1 + r x 2
1 + ry =
y 1 + r y 21 + r
z =Zj + r z 2
1 + r
O bservación 6 Si M (x; y ; z ) es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P i f e ; y x; z x) y P 2( x 2; y 2; z 2) , entonces
X, + x .x = y i + y 2
z =Z i + z 2
E je m p lo 18 D a d o s los puntos P i(5 ; 7; 9 ) y P2(3; - 5 ; - 7 ) , halle los puntos de
trisección del segmento PXP2
So lu c ión
Sean A1(x1; y 1; z 1') y ¿42( x 2; y 2; z 2) los puntos de trisección del segmento P iP 2
P A 1Para encontrar las coordenadas del punto Av la razón es r =
Luego, por la observación 5 se tieneAP-,
x 1 =5 + ^ ( 3) 13 7 + 7 Í - 5 )
1+\ 3 ' y \ = 3 , Z i =9 + ¿ C - 7 ) 1 1
1 4- • 1 + ;
Pt A2 2Analogam ente, para el punto A2 la razón es r = — — = - = 2
A2P2 1
Por consiguiente, las coordenadas del punto A2 son
*25 + 2 (3 ) 11
1 + 2 3 ' yz7 + 2 ( — 5)
1 + 2 = - 1 , z 2 =9 + 2 (-7 )
1 + 2
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1. Exprese el vector a com o la sum a de un vector paralelo b y un vector
ortogonal a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 )
2. Halle el ángulo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y b = (1; 1; 2)
3. S i el ángulo que forman los vectores a y b es de 45° y ||a|| = 3, halle el
m ódulo de b para que a + b forme con a un ángulo de 30°.
R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2
4. Sean a y b dos vectores unitarios en R 3. Demuestre que á + b es un
vector unitario <=> el ángulo form ado por ellos es de 120°.
5. D ado el paralelogramo ABCD, E está a 2/3 de la D F C
distancia de B a C y F es el punto medio de CD.Halle r y s de m odo que YF = r ~AB + s ~AC
R. r = - 1 / 2 , 5 = 1/3
6. Sean a ,b y c tres vectores de m ódulos r, s y t respectivamente. Sea a el
ángulo entre b y c, B el ángulo entre a y c y y el ángu lo entre a y bPruebe que el m ódulo S de la sum a de tres vectores está dado por la fórm ula
S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t eos a + 2 r t eos/? + 2 r s c o s y
7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2; 3; — 4 }
i) Hálle el área del paralelogramo determinado por a y b
ii) H a lle el área del triángulo determinado por a y c
iij) H a lle el vo lum en del paralelepípedo determinado por a ,b y c
S. L o s vértices de un triángulo son los puntos 4 ( 1 ; 2; 3), 6 (0 ; 2; 1) y
C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perímetro del triángulo.
9. L o s vértices de un tetraedro son los puntos ,4(2; 1 ;0 ), 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) ,
C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 ) . Ca lcu le el vo lum en del tetraedro.
10. E n el triángulo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 (0 ; 4; 0 ) y C {0; 0; 5 ) , halle
i) L a s longitudes de cada mediana
i i) L a s longitudes de cada altura
iii) E l centro de gravedad del triángulo
11. Sean P {3; 1; — 1) y Q (4; — 1; 2 ) . Halle las coordenadas del punto R que se
encuentra en la prolongación de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
EJERCICIO S
292 www.FreeLibros.com
13. U n auto recorre 20km hacia el norte y después 4 0 V 2 en una d irección 60° al
oeste del norte. Halle el vector desplazamiento resultante del auto y su
longitud.
R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 km .
14. Sean a y b son vectores en el espacio R3 que verifican: a + 2 b = 0 y
c o m p ra = — 8. Determ ine el valor d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) .R . M = - 1 6 0 .
15. D ado el triángulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 10 ).
a) Halle el vector unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el
lado AC y N sobre el lado BC.
b) Determ ine las componentes del vector MN, si se sabe que MN ■ AC = 56.
R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ) .
16. E n la figura adjunta, M y N son los centros de las caras GDEF y OAFE respectivamente.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
S i ||p|| = 10 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las componentes del vector 2 p - 3 q.
R. 2 p - 3 q = (34; 16; 4 8 )
17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores
a y b form an un ángulo de 60° y los vectores c y d un ángulo de 120°, halle:
a) C o m p g (4 a ) b ) P r o y 4 ¿ ( 4 a ) c) ( P r o y 2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d
R. a) 2 b) 2 b c )2 .
18. E l vector posición a se encuentra en el plano y z y el vector posición b sobre el
eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120". S i ||a|| = V 2 7 y
\\b\\ - 8, halle las componentes del vector a x /;.
R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) .
19.Sean a , b y c vectores no nulos tales que ||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|
a + b + c = 0. Ca lcu le el valor de A = d - b + b- c + d - c.R . —13
4 y
2 9 3 www.FreeLibros.com
20. Dados los puntos: /1(8; 0; 0), C (4; — 1; 1), D (6 ; 0; 5) y 5 un punto del primer ociante.
a) En el espacio R3, grafique el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores
AB, AC y AD.
b) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos A, Cy d .
c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lum en
del paralelepípedo es de 4 4 i í3, determine las coordenadas del punto B .R. b ) V 3 5 3 u 2 c ) . B ( 1 2 : 4 ; 4 ) .
, 19. a) D ado el triángulo de vértices 4 (3 ; 1; 1), 6 (2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6). Halle las
componentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector MÑ es
paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado
BC y ||M77|¡ = V 3 8/ 3 .
b) D ado s los vectores a = ( 2 ; - l ; l ) , b = ( - 2 ; l ; 2 ) y c = ( 4 ; 3 ; - 3 ) .
Calcule 6 ( a • üj¡ ) + V S íC o m p ,? b.R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 ) b) - 1 7 .
21. Dados los puntos A ( 2 ; 4; 3), 6 (4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0).
a) Halle dos vectores unitarios perpendiculares simultáneamente a los
vectores AB y AC.
b) Sea M un punto interior del segmento AC tal que d ( A ; M) = \ d(A-,C).
S i Q ( — 1; 4; 2), determine si el ángulo form ado por los vectores QC y QM es agudo o no.
R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agudo
22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2 y
b ■ c = 4. S i se sabe que los vectores b y c forman un ángulo de 60°. halle
la longitud del vector V 3 a x b ^ 5 a x c.
23. Sean a, b y c vectores no nulos en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P ro y c- b = b y P ro y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b son Ui’itarios, halle el
m ódulo del vector a x b i- a X c . P..2S
25. D ados los puntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 (0 ; 3; 1).
a) Halle dos vectores unitarios paralelos al vector AB .
b) Determ ine dos vectores unitarios perpendiculares al vector AB y paralelo
al vector b = (1; 1; - 1 /2 ) .
R. a) w = ( ± 1/3 ; + 2 / 3 ; + 2 /3 ) b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2 /3 ; + 1 /3 )
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[
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R EC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L
(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O
6.2.1 Á N G U L O S , C O S E N O S Y N Ú M E R O S D I R E C T O R E S D E U N A
R E C T A
Definición 1 Sea L una recta en el
espacio M 3. Se llama conjunto de ángulos directores de la recta L al
conjunto ordenado {a , p , y } , donde a,¡i, y son *os ángulos que form a la recta L con los rayos positivos de los ejes de
coordenadas x, y A z respectivamente
(Fig. 6.14)
Lo s ángu los directores toman valores
entre 0 o y 180°, es decir,
0 C < a , p , y , < 180°
Observación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define como el ángulo form ado por rectas que se intersecan y que, al mismo tiempo son paralelas a las rectas dadas.
Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos conjuntos de ángulos directores que son:
{ a , p , y ) y { 1 8 0 ° - a , 1 8 0 ° - / ? , 1 8 0 p - y }
En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.Definición 2 L o s cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman
cosenos directores de la recta.
U na recta tiene dos conjuntos de cosenos directores.
(eo s a, eos /? , eos y } y { - e o s a , - e o s / ? , - e o s y }
O b se rv a c ió n 8 D o s rectas son paralelas si y so lo sí tienen los m ism os cosenos
directores.
D e fin ic ió n 3 U n conjunto [a ; b; c] es llamado números directores si existe una
constante fe ^ 0 tal que
a = k eos a, b = kcosp, c = kcosy
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6.2.1.1 E X P R E S IÓ N D E LO S CO SEN O S D IR E C T O R E S D E UNA R E C T A Q U E PA SA P O R DOS PUN TO S
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Sea L una recta que pasa por los
puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2)
y sean d = ||PXP2 1| y a > P, Y l° s
ángulos directores de L.
L o s cosenos directores de la recta L
que pasa por los puntos y P2 son
\ ------
cos a = -, eos /? =y z - y i
c o s y =z 2 - z x
Fig. 6.15
S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a Px, entonces los cosenos
directores de la recta son
*2 - *1 „ yi - y-L 22 - Zlco sa = ------- — , cos/? = ------- — , cosy = ------ —
donde d es la distancia entre Pr y P2
6 4 .1 .2 R E L A C IO N E N T R E L O S C O SEN O S D IR E C T O R E S D E UNA R E C T A
S i e levam os al cuadrado cada una de las expresiones de los cosenos directores de
la recta L que pasa por los puntos Px y P2 y sum am os, se obtiene
2 , 2 n i 2 ( *2 - * ) 2 + (y 2 - y i ) 2 + 0 2 - Z l ) 2 „cos*a + eos ¡s + cos¿y = ---------------d 2 d 2
Por lo tanto, una relación fundamental entre los cosenos directores de una recta es
c o s2a + c o s 2p + c o s 2y = 1
Ejemplo 19
a) Halle los cosenos directores de una recta determinada por los puntos
P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig ido de Px a P2
b) S i {45°, 60°, y } es un conjunto de ángulos directores de una recta, calcule los posib les valores del ángulo y
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So lu c ión
a) La distancia entre Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Luego, los cosenos
directores de la recta que pasa por Pt y P2 son
3 - 2 1 2 1eos a = — -— = - , eos B = - , eos y = -
3 3 F 3 3
b) D e la relación entre los cosenos directores de una recta, se tiene
1 1c o s 245° 4- c o s260° + c o s2y = 1 = > eos 2 y = - = > eos y = ± -
De donde resulta eos y = 60° V y = 120°
6.2.2 E C U A C I O N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3
U na recta es un conjunto de puntos que se desplazan en el espacio R 3 en una
d irección constante (Fig. 6.16)
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
6.2.2.1 E C U A C IÓ N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3
Sea L una recta que pasa por el punto Pn(x n-,y 0; z 0) y sigue la d irección dei
vector á = - (a 1; a 2',a3) (F ig. 6.17;. E l vector a se llama vecto r d irección.de la
recta L.
Sea P ( x ; y \ z ) un punto cualquiera de la recta L. Entonces PaP es paralelo al
vector a, luego existe t e M tal que P0P = ta <=> P = P0 + í a , t £ E
Por lo tanto, la ecuación vecto ria l de la recta L es
i : i | L : ( x ; y ; z ) = ( x0; y 0; z 0) + t á , t e R j
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E jem p lo 20 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
/»,(3 ; 2 ; - l ) y P2( 5 ; - 2 ; 4 )
So lu c ión
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E l vector d irección de la recta que pasa por P1 y P2 es a = P1P2 = (2; — 4; 5 )
Tom ando el punto P i ( 3 ; 2 ; - l ) com o P0, Ia ecuación de la recta es
L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 )
6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O
D e la ecuación vectorial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0;zo ) + se tiene que
cualquier punto P (x ; y ; z ) E L verifica la igualdad
O ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + ¿ 0 % ; a 2; a 3)
Luego, de la igualdad de vectores resulta
Ix = x Q + ta ty - y0 + ta2
z = z 0 + t a 3
Estas ecuaciones se denom inan ecuaciones p a ram é tr ic a s de la recta L que pasa
por el punto P0(x 0; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se llam a p a rám e tro de
la ecuación.
E je m p lo 21 H alle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P i ( 2 ; 3 ; 4 ) y P2( — 1 ; — 3 ;2 )
So lu c iónE l vector d irección de la recta es a = PXP2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A s í, las ecuaciones
paramétricas de la recta son
(x = 2 - 3 1L: y = 3 - 6 t , t e
z = 4 - 2t
6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O
Sea L una recta cuyas ecuaciones paramétricas son
x = x 0 + t a t L: y = y 0 + t a 2 , t e r
z = z 0 + t a 3
S i n inguno de los núm eros a t , a 2 y a 3 es cero, entonces despejando t de cada
una de las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados se obtiene
x - x 0 y - y o z - z QL\ -----------= ------------ = ------------ ( * )
a l a 2 a 3
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Estas ecuaciones se llaman ecuaciones sim étricas de la recta L que pasa por el
punto P o (x 0; y 0; z 0) y es paralela al vector á = ( ax; a 2; a 3). L a s componentes
del vector a 1 , a 2 y a 3 son los números directores de la recta L. v
O bservación 9
a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no podem os usar la ecuación (*). En este caso se emplean otras relaciones
Por ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe como, A y - y 0 ¿ - ¿ oL: x = x 0 A --------- = ----------
a 2 a 3
Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como x - x 0 z - z0
L: — = — A =
S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe comox - x 0 y — yo
L: -------------= -------- A z = zna, a 2
b) Si dos de los números directores a, , a 2 ó a 3 son iguales a cero, tampoco se puede usar (*). P or ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se escribe com o L: x = x 0 A z = z 0
E je m p lo 22 Determ ine ¡as ecuaciones vectorial, paramétricas y sim étricas de la
recta que pasa por el punto -4(1; 2; 2) y es perpendicular a las rectas
Lx\ (x ;y ;z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) yL2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 13)
So lu c ión
A q u i el vector d irección a. de la recta L que pasa por el punto A es perpendicular
a los vectores ¿ = ( 2 ; - l ; 0 ) (vector dirección de Lx) y c = ( - 1 2 ; 3; 13)
(vector d irección de L2)• Entonces a \ \b x c , donde
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
b x ci J k2 - 1 0
- 1 3 3 13
= ( - 1 3 ; - 2 6 ; - 6 )
Ahora, tomando el vector á = (13; 26; 6), las ecuaciones de la recta L son:
Form a vectorial L: (x :y , z ) = (1: 2; 2) + £(13; 26; 6), t £ IR
IX = 1 4- 1 3 t
Form a paramétrica L: |y = 2 + 2 6 t
l z = 2 + 6t
x — 1 y — 2 z — 2Form a sim étrica L: -------- = --------- = ---------
13 2 6 6
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En el espacio R 3 las rectas Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + t b pueden tener las siguientes posiciones relativas
6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S
Las rectas y L2 son paralelas si sus vectores dirección d y b son paralelos. C om o consecuencia de este resultado tenemos
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.2.3 PO SICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPA CIO
Observación 10
i) Para todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + tá , t E R , existe una única recta L que pasa por el punto Px y es paralela a la recta Ll
ii) Si Li y ¿ 2 son dos rectas paralelas, entonces = l 2 ó L1 n L2 — 0
6.2 .3 .2 R E C T A S S E C A N T E S
La s rectas Lr y ¿ 2 son secantes si se intersecan en un único punto, esto es,
¿ i n L2 — {Po}
6.2 .3 .3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N
La s rectas Lx y i 2 se cruzan si no se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se
cruzan están en planos paralelos, esto es, no se encuentran en un m ism o plano.
6.2.4 A N G U L O E N T R E D O S R E C T A S
El ángulo entre las rectas L t \ (x \y - ,z ) = P0 + tá y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b (Fig. 6.18) es el ángulo 0 com prendido entre los vectores d irección a y b
£)<¿ la defin ic ión del ángulo entre dos
Véctores, una relación para calcular el
ángulo entre las rectas y l 2 es
eos 0a ■ 0
¡|a|| b
Si el ángulo entre las rectas L, y Lz es
recto. 9C dice que las rectas son
o rtogona le s o perpend icu la re s, esto es.
L i ± L 2 s = > ü ± b < ^ > á - b = Q
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '
6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A
Sean un punto y
L: (x - ,y ;z ) = P0 + tá una recta en el
espacio IR3 .
Ahora, si d es la distancia del punto P, a la
recta L (F ig. 6.19), entonces
d = ||v|| sen 9
donde 8 es el ángulo que forman los
vectores a y v = P0P1
Por una propiedad del producto vectorial se
sabe que
Ha x y|| = Hallllvll sen 9 = ||a||(d)
De donde resulta
Fig. 6.19
a X 17 j a x P0Pt
E je m p lo 23 Ca lcu le la distancia del punto 4 (3 ; 2 ; - 1 ) a la recta
L: P — (1; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K
So lu c ión
En este caso d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2; - 1 ; - 3 ) . entonces
á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . Luego,
V 9 + 9 + 9 _ 27
V 9 + 4 + 1 ^ 14
E je m p lo 24 Sean las rectas;
L . P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R
L2:Q = (3 ; 7; 1 ) + <>(— 1; 2; 3 ) ,s 6 R
¿ 3: x = 2 + 4 t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t
x - 9 z - 3
LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR
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Determine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso
que sean secantes determine su intersección.
a) y Lz b) ¿ i y l 3 c) Lx y Ls
d) l 2 y L 4 e) L2 y L3 f) ¿ 4 y Ls
So lu c ión
a) C om o los vectores dirección á = ( - 2; 1; — 1) y 6 = ( — 1 ;2 ; 3 ) no son
paralelas, entonces las rectas Lt y L2 no son paralelas.
Supongam os que A ( x ; y ; z ) £ n L2, entonces existen valores ún icos para t
y s para los cuales
A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1) + s ( - 1; 2; 3 )
Por la igualdad de vectores, se obtiene
— 2 — 2 t = 3 — s (1 )
1 + t = 7 + 2 s (2 )
- t = 1 + 3s (3 )
7 26Resolviendo (2 ) y (3 ) se obtiene s = - - y t = — , pero estos va lores no
5 5satisfacen (1). Luego, no existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es
decir, Lx y L2 se cruzan.
E n form a análoga se prueba los siguientes resultados.
b) Lx || ¿ 3 A ■= ¿ 3
c) || ¿ 5 A n ¿5 = 0
d) L 2 t t L 4 A L x n L s = >1(5; 3; - 5 )
e) L2 l/¡ L3 A Lz A ¿ 3 se cruzan
E je m p lo 25 H a lle la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 3 ; l ; 5 ) y e s
paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4
So lu c ión
En primer lugar reordenando la ecuación de la recta Lx tenemos
y — 12 x - 2 = l - y A z = 4 <=> x - 1 = — — A z = 4
—2
Luego, la ecuación vectorial de L1 es L^.P = ( l ; l ; 4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R
C om o L || => L || a , donde a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d irección de Lx
Por tanto, la ecuación de la recta buscada es
L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0), A £ R
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
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E je iilp fo 2 6 Halle la ecuación de la recta que pasa por P0 (3; 1; — 2) e interseca y es perpendicular a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
So lu c ión
La form a vectorial de !a ecuación de la
recta es
Ly.Q = ( —1; —2; —1) + A( l ; 1; 1) , A g R
Sea A el punto de intersección de las rectas
Lx y L (Fig. 6.20). C om o A G Lventonces 3 k G K tai que A ( —l +k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .
Por la condición de perpendicularidad
resulta
P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1)
<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0
«=> k = 2
A s í, / 4 (1 ;0 ;1 )
Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es
L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) , t £ R
E je m p lo 27 Determ ine la ecuación de la recta que pasa por P0 ( l ; 4 ; 0 ) y e s perpendicular a las rectas
x + 4 2y - \ 1L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t A ¿ 2 : --------= ----------- A z — —
So lu c ión
Sea a el vector d irección de la recta
L buscada.
Un vector d irección de L2 es
v = (4; 1; 0 ) y el vector d irección de
es b = (1; 1; 1). C om o L 1 L2 y
L i ¿ i ^ a l í y a i i
=> a || v X b = (1; - 4 ; 3)
Luego, la ecuación de la recta buscada
es
L:P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6Fig. 6.21
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Kjc inp ln 28 Determ ine la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de
AH y corta bajo un ángulo de 6 0 c a la
recta que pasa por los puntos R y S. donde 4 (2 ; 4; OV 2?(0; 0; — 2), R (3; 3; 3)
y S ( - l ; 3 ; 3 ) .
So lu c ión
Este problema tiene dos soluciones (Fig.
6 .22 ).
E l punto 'medio del segmento AB es
M ( 1; 2; — 1 ) y la ecuación de la recta L-¡_ que pasa por R y S es
I Ol’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II
p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R
Sea / el punto de intersección de L con Lr
=> I £ => 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)
De la condición de que la recta L interseca a la recta L x bajo^un ángu lo de 60°
resulta
eos 6 0 “ = ■a ■ t>
, donde d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)
t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3)
Ma ll|!u li
D e donde soobtiene
1 t - 2
2 _ ¿ ( t ~ 2 ) 2 + 1 + 16
Luego, tas ecuaciones de las rectas buscadas son
L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3 ; 1 ; 4), r £ U
L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R
E jem p lo 29 Halle el punto en la recta L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £
que equidista de las rectas
L¡: Eje x A
/,2:<2 = (1; 7; 0 ) -r s (0 ; 0; 1), s £ l
So lu c ión
Un bosquejo de este problema se muestra en
la l'ig. 0.23.
La ecuación del eje x e s
Lx\ R = (0; 0; 0 ) + í ( l ; 0 ; 0 ) , t £ E
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Sea A 6 L el punto que equidista de Jas rectas L, y ¿ 2, entonces
A (2 + 2t; 11 + 4t; 14 + S í )
Luego,
d(>l- L ) = X - í,(2 + 2 í ’ 11 + 4 t ' 1 4 + 5 í ) X (1: ° ; 0)11Ü(l ; 0; 0)|!
= V ( 1 4 + 5 t ) 2 + ( l l + 4 t ) 2
d ( A . L -) _ 110^4 x 6j| | | ( 1 + 2 t , 4 + 4 t , 1 4 + 5 t ) x (0 ; 0; 1 ) | |
1 2 p|| 11(0; 0; 1)||
- V ( 4 + 4 t ) 2 + ( l + 2 f ) 2
Reso lv iendo la ecuación que resulta de d(A; Lx) = d ( A \ L 2) se obtiene
í = - 2 V t = - 5 0 / 7
Luego, los puntos de la recta L que equidistan de las rectas y L¿ son
i4v( - 2 ; 3 ; 4 ) y A z ( — 6 6 / 7 ; - 1 2 3 / 7 1 52 / 7 )
E J E R C I C I O S
1. Encuentre la distancia del punto Á(Z\2- ,Y) a la recta que pasa por los puntos P0 ( l ; 2; 9 ) y P i ( - 3 ; - 6 ; - 3 )
2. S i L,: P = ( 1 ; 0 ; - 1 ) + t ( l ; l ; 0 ) , t € K y L2: Q = (0; 0; 1 ) + s ( l ; 0; 0) , s e US.,
halle la ecuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.
3. Determ ine la ecuación de la recta que interseca a las rectas
¿j: P = (1; — 1; 1 ) + t ( l ; 0 ; - l ) , t £ M y L2: Q = (1; 0; 0 ) . + s ( - l ; 1; 1), s £ K
en los puntos A y B respectivamente, de tal manera que la longitud del
segmento AS sea m inima.
4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto / 4 (1 9 ;0 ;0 ) y corta a las
rectas L x: P = (5; 0; - 1 ) -f t ( l ; 1; 1), t c K
L2: Q = ( - l ; 2 ; 2 ) + s ( — 2 ;1 ;0 ) , s E R
5. U na recta pasa por el punto A{1\ 1; 1) y forma ángulos de 60° y 30° con los
ejes x e y respectivamente. Halle la ecuación vectorial de dicha recta.
R. L: P — (1; 1; 1) -f- t ( l ; ± V 3 ; 0 j , t E K
6. U n a recta que pasa por el punto A ( - 2 ; 1; 3 ) es perpendicular e interseca a la
recta Lx: P = (2; 2; 1) 4- t ( 1; 0; — 1), t E R . Halle la ecuación vectorial de
dicha recta. R. Q = ( - 2 ; 1; 3 ) -i- 5 (1; 1; 1), s e l .
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Un plano en el espacio es un conjunto de puntos que se desplazan de tal manera,
que el vector que form a estos puntos con un punto fijo es perpendicular al vector dirección del plano (Fig. 6.24). E l vector dirección se llama vec to r n o rm a l del
plano y se denota con N.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3 PLANO EN EL ESPACIO
Observación 11 La ecuación de un plano queda com pletamente determinado cuando se conoce:
i) Un punto de paso y su vector normal ó
ii) Un punto de paso y dos vectores paralelos al plano ó
iii) Tres puntos no colineales del plano
6.3.1 E C U A C I O N E S D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
6.3.1.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
Sea Q un plano que pasa por el punto PQ(x0-,y 0; z 0) y es paralelo a los vectores
a. = ( a 1(- a 2; a 3) y b = (b1; b2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector
b (Fig. 6.25)
Sea P ( x \ y , z ) un punto cualquiera del plano Q, entonces existen r , s £ 1 tai
que P0P = r á + sb
D e donde, P - P0 = r á + sb ó P = P0 + r a + sb
Por consiguiente, la ecuación vecto ria l del plano Q es
l------------------------------------------—-- ---------------1
Q: (x; y , y.) = P0 + r d + sb, r, s 6 E ¡
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RE C IA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.3.1.2 E C U A C IÓ N P A R A M É T R I C A D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
De la ecuación vectorial del plano Q: P = P0 + r á + s b , se tiene que cualquier
punto P (x \ y ; z ) £ Q verifica la igualdad, es decir
(x; y ; z ) = ( x0; y 0; z 0) + r ( a j ; a 2; a 3) + sC£>i.; b2; b3)
Luego, por la igualdad de vectores resulta
Íx = x 0 + r a x + s b x y = y 0 + r a 2 + s b 2 , r , s 6 R
z = z 0 + r a 3 +
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones p a ram étr ica s del plano Q que pasa por el
punto P0(x 0; y Q-,z0) y es paralelo a los vectores a y b, r y s se llaman
p a rám e tro s de la ecuación.
E je m p lo 30 Halle las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por
los puntos P0 ( 3 ; l ; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2 ) y P2( 2 ;0 ; 3 )
So lu c ión
L o s vectores paralelos al plano Q que pasa por
P0 ,P i y P2 son á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 ) y
5 = P„P2 = ( - l ; - l ; l )
Luego, la ecuación vectorial del plano Q es
Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) , r , s 6 R
y su ecuación paramétrica es:
í x = 3 — 2r — s Q: \ y = \ - 2 r - s , r , s 6 R
Iz = 2 + s
O b se rv a c ió n 12
i) De la ecuación vectorial del plano se obtiene que N = a X b es un vector perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al plano es llamado norm al del plano.
ii) Si N es una normal del plano Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2 son dos puntos del plano, entonces N 1 P\P2.
iii) Si N es la normal del plano Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N entonces Px 6 Q
iv) Si N es la normal del plano Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces Q = { P ( x ; y ; z ) / Ñ.P^P = 0 } y es el único plano que pasa p o r P0 con
normal N
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3.1.3 ECUACION GENERAL DE UN PLANO
Sea Q un plano que pasa por el punto
Po(x o’>yo'' z o) Y cuyo vector normal es
Ñ = (A-.B-.C).
Sea P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera del
plano Q , entonces
P ¡P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0
<=* (A;B; C) . (x - x Q; y - y 0; z - z Q) = 0
<?=> A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C (z - z 0) = 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la forma
j ' " I
i Q; Ax + B y + Cz + D = 0 ¡
Esta ecuación también es llamada ecuación cartesiana del plano.En lo que sigue, por ecuación del plano se entenderá a la ecuación cartesiana.
Ejemplo 31
a) Halle la ecuación del plano que pasa por el punto P0 ( 2 ; 3 ; - 5 ) y es ortogonal
al segmento PQt , donde P ( 3; - 2 ; 1) y ( ^ ( l ; 3; 0)
b) Halle la eEttación del plano que contiene a los puntos P0, P y Qt dados en (a).
So lu c ión
a) Sea Ñ = = (2; — 5; 1) y P 0( 2 ; 3 ; - 5 ) .
entonces la ecuación general del plano es
Q: 2{x - 2 ) - 5 ( y - 3 ) + 1 ( z + 5 ) = 0 ó
Q : 2x - 5 y + x + 16 = 0
b) De la Fig. 6.26 se tiene
& = PaQi = ( - 1 ; 0; 5 ) y
b = P ¿P = (1; — 5; 6)
Enionces Ñ II á x b = (25 ; 11; 5 )
Tom ando Ñ - (25 ; 11; 5), la ecuación del plano es:
Q: 2 5 ( x - 2 ) + U ( y - 3 ) + 5 ( z + 5 ) - 0 ó
Q: 25x + l l y + 5 z - 5 8 = 0
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Observación 13 Sea Q un plano cuya normal es N y L una recta cuyo vector dirección es á , entonces se tiene
i) L \ \ Q < = $ N ± a < = * N ' á = 0 (Fig. 6.27)
ii) L ± Q « N II a (Fig. 6.28)
KtUIAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
L
Ñi k
l ] /
Fig. 6.27 Fig. 6.28
iii) Si L \\ Q => L n Q = <Ji ó L c Q
iv) L c Q =$ N 1 a y P0 e L => P0 6 Q (Fig. 6.29)
v) Si L # Q => L fl Q = / es un punto. (Fig. 6.30)
Ni k
/ J h
Fig. 6 .29 Fig 6.30
E je m p lo 32 Halle la ecuación del plano que contiene a la recta
L: P — (1; 2; 2 ) + t(0 ; 3; 1), t 6 M y el punto Q0( 2; - 3 ; 8 ) ,
So lu c ión
Sea N el vector norm al del plano Q que
contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces
N 1 á = (0; 3; 1) A N I P0Q0 = (1; - 5 ; 6),
d o n d e P 0 ( l ; 2 ; 2 )
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Por lo tanto, al tomar N = (23; 1; 3 ) como vector normal del plano Q que pasa por el punto Q0, su ecuación es
Q: 2 3 ( x - 2 ) + ( y + 3 ) + 3 (z - 8 ) = 0 ó
Q\ 2 3 x + y + 3 z — 9 7 = 0
6.3.2 P O S I C I O N E S R E L A T I V A S D E D O S P L A N O S E N E L E S P A C I O
En el espacio los planos
Q[: A 1x + B1y + Ct z + Dx = 0 y Q2\ A2x + B2y + 2 z + D2 = 0
pueden tener las siguientes posiciones relativas
6.3.2.1 P L A N O S P A R A L E L O S
L o s planos y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi » ÑQi = A - Ñ q
Observación 14 Si Qy y Q2 son dos planos paralelos, entonces
0 Q1 - Q 2 (p la n o s co in c id e n te s )
ii) Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)
6.3.2.2 P L A N O S S E C A N T E S
L o s pianos Qr y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=> n Q2 = L, donde L es la
recta de intersección de los planos. 1
La ecuación de la recta de intersección d^ los planos y Q2 se escribe como
(A-^x + Bxy + CjZ + D j = 0
\ a 2x + B2y + C2z + D2 = 0
ó L: A xx + Bt y + Cxz + Oj = 0 A A2x + B2y + C2z + D2 - 0
Observación 15
i) Los planos secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solam ente s í sus vectores normales son perpendiculares, esto es.
Plano Qx 1 p la n o Q2 <=> Nqi 1 ^ ' Ñqz
ii) Si Qx: AjX + Bry + C1z + D j = 0 y Q2: A2x + B2y + C2z + D2 — 0 sonplanos secantes, entonces Ia ecuación de la fam ilia de planos que pasan p o r laintersección de estos planos es
QF\ A-^x + Bxy + C ,z + Dj + k ( A 2x + B2y + C2z + D2) = 0
donde k es e l param étro de la familia.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1
Luego. Ñ || & x P ¡ ÍQ ¡ = (2 3 ; 1; 3 ) ;
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K t C lA Í> Y r L A N U S t N t L t S P A U Ü 1 K lU lM b N S lO N A L
Observación 16 Las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos paralelos a estos son
i) Ecuación del plano coordenado x y: z = 0
ii) Ecuación del plano coordenado xz: y = 0
iii) Ecuación del plano coordenado y z : x = 0
iv) Ecuación del plano paralelo al plano x y que p a sa p o r el punto (0; 0; k ) esz = k
v) Ecuación del plano paralelo a l plano x z que pa sa p o r el punto (0; k; 0 ) es y = k
vi) Ecuación del plano paralelo al plano y z que pa sa p o r el punto ( k ; 0; 0 ) es x = k
E je m p lo 33
a) Halle la ecuación del plano que contiene al punto P0 (2; 6; - 1 ) y es paralelo al plano Q\ 4x — 2 y + z - 1 = 0
b) Halle la distancia del punto @0( 2 ; — 1 ;3 ) a la recta
L: 2x - y + z - 3 = 0 A x + 2 y - z + l = 0So lu c ión
a) Sea el vector norm al al plano que pasa por el punto P0, entonces
Ñx II ÑQ = (4; - 2 ; 1). A s í, al tomar Nt - (4; - 2 ; 1), la ecuación del plano
Qi es
Qi. 4 ( x - 2 ) - 2 ( y - 6 ) + l ( z + 1) = 0 ó 4x - 2 y + z + 5 = 0
b) Para hallar la distancia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecuación
de la recta en su form a vectorial. A s í, al resolver simultáneamente las
ecuaciones de los dos p lanos que da origen a la recta L, se tiene:
( 2x — y + z — 3 = 0 (1 )
\ x + 2 y — z + l = 0 (2 )
Sum ando (1) y (2) resulta 3x + y - 2 = 0 => y = 2 - 3x (3 )
Reem plazando (3) en (1) se obtiene z = 5 - 5 x (4 )
Haciendo x = t, se tiene la ecuación paramétrica de la recta L, esto es,
x — tL: y = 2 - 3 t , t e R
z = 5 - 5 t
Luego, la ecuación vectorial de la recta L es
L: P = (0; 2; 5 ) + t ( l ; - 3 ; - 5 ) , t € R
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Sean v = P0Q0 = (2; — 3; — 2) y á = ( 1 ; — 3 ; — 5), donde P0 (0 ;2 ;5 ) .
Mmonccs la distancia del punto Q0 a la recta L es
||i; x ¿t|| _ V 8 1 + 6 4 + 9 _ 22
d = l|a|| V H
E jem p lo 34 Halle la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de
los p lanos x — y 4 - 2 z 4 - 4 = 0 , 2 x 4 - y 4 - 3 z — 9 = 0 y es paralelo a la recta
cuyos números directores son [ 1; 3; — 1 ]
So lu c ión
La ecuación de la fam ilia de planos que pasan por la intersección de los pianos
dados es
x — y 4- 2 z 4- 4 + k ( 2 x + y + 3z — 9 ) = 0
« (1 + 2 k ) x + ( k - 1 ) y + (2 4- 3 k ) z + 4 - 9k = 0
Luego N = (1 4- 2 k; k — 1; 2 4- 3 k) es el vector normal de la familia. C om o el
plano es paralelo al vector a = (1; 3; — 1), entonces IV l a «
Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2
Por tanto, la ecuación del plano descrito es
5 x + y 4- 8 z — 14 = 0
E jem p lo 35 D adas las rectas Lr \ P — (1; 2; — 1) 4- t ( l ; 3; 1), t € 1 y
L2: Q = (5; — 1; — 2 ) + s (2 ; — 1; 2 ),5 6 K
Halle las ecuaciones de dos planos paralelos
Q\ }' Qz de m odo que
¿i c Q y ¿2 c QzSo lu c ión
Sea N el vector norm al com ún de los planos
<2i Y Qz => Ñ ± a = (1; 3; 1 ) y
J V 1 ¿ = ( 2 ; - 1 ; 2 )Fig. 6.31
Luego, yv II a x b = (7; 0; — 7)
S i utilizamos, el vector normal N — (1; 0; — 1) y el punto Px( 1; 2; — 1) E Lr como punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la
recta L x es
TOPICOS DI- CALCULO - VOLUMEN II
Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - í ( z + 1) = 0 <=> Qr : x - z - 2 = 0
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Análogam ente, si u sam os el vector norm al A? = (1; 0; — 1) y el punto
P2( 5 ; - l ; — 2 ) £ L2 com o punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la recta l 2 es
Q2: l ( x - 5 ) + 0 ( y + 1 ) - l ( z + 2 ) = 0 <f=> Q2: x - z - 7 = 0
E je m p lo 36 E n cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano. Determ ine si L es paralela o no al plano Q y halle L n Q
a) L: P = (1; - 1 ; 2 ) + t ( 2; - 1 ; 3), t £ R y Q: x + 5 y + z + 1 = 0
b) L: P = (2; 0; 1 ) + t ( 1; 2; - 1 ) , t é R y Q: x + 2 y + 5 z - 7 = 0
c) L: P = (3; - 1 ; 0 ) + t ( 2; 1; - 1 ) , t e 1 y Q: 4x + 2 y - 2 z + 2 = 0 !
d) L: P = ( 1 ; - 1 ; 1 ) + t ( l ; 2 ; - 1 ) , t e R y Q : 3 x - y - z + 5 = 0So lu c ión
S i a es el vector d irección de la recta L y Ñ es la norm al del plano Q , se tiene
a) a = (2; - 1 ; 3 ) y Ñ = (1; 5; 1) =* á ■ Ñ = 0 =* L || Q
Pará verificar si L n Q = 0 ó L c ( J , consideram os un punto P0 £ L y com probam os si P0 £ Q ó P0 £ Q . S i P0 £ Q =* L c Q; si P0 g (? =>
L n Q = 0 . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente verificar si sus coordenadas satisfacen o no la ecuación del plano.
C om o P0(l-, — 1; 2 ) £ L , entonces reemplazando en la ecuación del plano se
tiene 1 + 5 ( — 1) + 2 + 1 0 (P0 no satisface la ecuación del plano). Lu e go
Po $ Q •
Por tanto L n Q = 0
b) L c Q ó LC\ Q = L
c) L L Q y L n Q = / ( l; — 2; 1)
d) a = (1; 2; — 1) y W = ( 3 ; - 1 ; - 1 ) => a • Ñ = 3 - 2 + 1 * 0
=> L n Q = / (un punto) =* / £ L A l e Q
¡ E L => / ( I + t; — 1 + 2 1; 1 - t)
/ £ Q => 3 (1 + t) - ( - 1 + 2 t ) - (1 - t) + 5 = 0 => t = - 4
Por consiguiente, / ( - 3 ; — 9; 5 )
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
3 1 3 www.FreeLibros.com
E jem p lo 37 Por el punto 4 (1 ; 0; 1) se traza una perpendicular al plano
Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. S i 6 es el pie de dicha perpendicular, determine un
punto C en la recta L: P = (— 1; 1; 0 ) + t(0; 1; 5), t e E de m odo que el
volum en del tetraedro de vértices 4 , 6 , C y D es igual a 4 u 3, donde D es el
punto de intersección de la recta L con el plano Q .
So lu c ión
En primer lugar, determinaremos el punto B.
Sea LN: P = A + s N , s G R la recta que
pasa por el punto A y es perpendicular al
plano Q. A s i,
B e L N n Q < = > B e L N A B e Q
<=* 5 ( 1 + 2 s ; s ; l - a) 6 Q
«=> 2 (1 + 2 s ) + s — ( 1 - s ) — 7 = 0
< = > s = 1
D e donde resulta B (3 ; 1; 0 )
C om o D = L n Q s = $ D E L A D 6 ( ? < = > D ( — 1; 1 + t; 5 1) 6 Q
<*=> 2 ( — 1) + (1 + t) - 5 t - 7 = 0 <=* t = - 2
A s í, £ )(— 1; — 1; — 1 0 )
Por otro lado, dado que C 6 L = > C ( — 1; 1 + t; 5 t). Ahora, sean
a = BC = ( - 4 ; t; 5t), b = BD = ( - 4 ; - 2 ; - 1 0 ) y c = S 4 = ( - 2 ; - 1 ; 1)
Entonces ¿ x c = ( - 1 2 ; 2 4 ; 0 ) y
1 _ i yT = - | a - ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 + 24t| = 4<= * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 V í = - 3
6 6
Por lo tanto, el punto es C ( — 1; 0; — 5 ) V C ( - l ; - 2 ; - 1 5 )
E je m p lo 38 Sean 4 (3 ; 2; 1 ) y B ( - 5 ; 1; 2 ) dos puntos del espacio. H a lle un
punto C en el plano Q: x - y + 2 z - 4 = 0 de m odo que AC + CB sea
m ínimo.
Solución
Para que AC + CB sea m ínim o, necesariamente 4 , B y C deben estar en un plano
perpendicular al plano Q . E n la Fig. 6.33 se muestra al plano Q de canto. S i B'
es el punto sim étrico de B respecto al plano Q (*), entonces CB + CB' = d 2 .
Luego d t + d 2 es m ín im o si C es la intersección de 4 6 ' con el plano Q .
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Fig. 6 .3 2
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K tc I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(* ) D o s puntos B y B '__ son simétricos respecto al plano Q, si (J es
perpendicular al segmento BB' en el punto medio M de ~BBi
En primer lugar determinaremos M. Sea
Ln \ P = B + t ( l ; — 1; 2), t E IR
la recta que pasa por B y es perpendicular al
plano Q, entonces M £ LN y M 6 Q
= > M ( - 5 + t ; l - t ; 2 + 2 t ) y
( - 5 + t) - (1 - t) 4- 2 (2 + 2 t) - 4 = 0
<=» t = 1 => M (—4; 0; 4 )
C om o M es el punto m edio entre B y B'. por la fórm ula de punto m edio se obtiene
B ' ( — 3, — 1,6)
Asf, la ecuación vectorial de la recta que pasa
L: Q = (3; 2; 1) + r ( — 6; — 3; 5), r E
D ado que C = L n Q =* C 6 L y C & Q
» C ( 3 - 6 r , 2 - 3 r , 1 + 5 r > A (3 - 6 r ) - (2 - 3 r ) 4- 2 (1 + 5 r ) - 4 = 0
r = 1/7
Por consiguiente, se tiene C (1 5 / 7 ; 1 1 / 7 ; 12/7 ).
6.3.4 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N P L A N O
Sea Q un plano cuya ecuación general es Q: Ax + B y + Cz + D = 0 y
P i O i í y i ^ i ) un punto del espacio. S i d es la distancia del punto Pr al plano Q (la longitud del segmento perpendicular trazado de Px a Q (Fig. 6.34)), entonces
^ = l l ^ ^ U l c o s e l .... ( a )
Donde P0(x 0; y 0; z 0) es un punto del
plano Q y 9 es el ángulo entre el vector
P0Pt y el vector norm al N.
por A y B' es
R
3 1 5
Fig. 6.34
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
C om o P0 e Q => A x0 + B y0 + C z0 + D = 0
D e donde D = - A x 0 - B y0 - C zQ (/?)
Por otro lado,
( K pI ) - ñeos 9 - ------ , ( y )Ito lllM I
Reem plazando (y) en (a) se obtiene
\A (xx - X0) + B (y t - y 0) + C (zt - z 0)|d = -------------------- - ----- ---------------- _ (X)
V ¿ 2 + B 2 + C 2
Reem plazando (/?) en ( A ) , la fórm ula para la distancia del punto al plano Q se escribe como
\Axj_ + B y 1 + Czx + D\a =
tJA2 + B 2 + C2
Observación 17 La distancia d entre los planos paralelos
Qt : Ax + B y + Cz + D-l = 0 y Qz : Ax + B y + C z + D2 = 0
está dada p o r la fórm ula
d ='¡Ar + W T c 2
E je m p lo 39 Ca lcu le la distancia del punto P1( 1 ; 2 ;3 ) a l v i n o
Q :P = (2; 1; — 1) + r ( l ; 1; 1) + s ( — 1; 1; 0), , r , s 6 E
So lu c ión
E l vector norm al del plano Q es Ñ = á x b = ( - 1 ; 1; 0 ) X (1; 1; 1) = (1; 1; - 2 )
A sí, la ecuación del plano Q es l ( x — 2 ) + l ( y - 1 ) — 2 (z + 1) = 0 ó
(?: x + y - 2 z - 5 = 0
Por tanto, la distancia entre / ^ ( l ; 2; 3 ) y el plano Q es
|1 + 2 — 2 (3 ) — 5| 4 V 6d =
V i + 1 + 4 3
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejem plo 4 0 Encuentre la distancia entre los planos paralelos
Qi". x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: 3 x — 6 y + 6 z — 7 = 0 Solución
Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones
Qt : x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: x - 2 y + 2 z - 7 / 3 = 0
En consecuencia, la distancia entre los planos Q^ y Q2 es
E je m p lo 41 L a distancia del punto P ( l ; 0; 2 ) al plano Q es 1. S i el plano Q pasa
por la intersección de los p lanos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 A 2x - y + z — 2 = 0, halle la ecuación del plano.
So lu c ión
L a ecuación de la fam ilia de p lanos que pasan por la intersección de los planos dados es
. Q f : 4 x - 2 y - z + 3 + k ( 2 x - y + z - 2 ) = 0 ó
Qf : (4 + 2 k ) x - (2 + k ) y + (k - 1 ) z + 3 - 2k = 0
Per ia condición descrita, la distancia del punto P al plano QF resulta
1 |(4 + 2 k ) — 2{k — 1 ) + 3 — 2k\ _ \2k + 5|
” V ( 4 + 2 k Y + ( 2 + k Y + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 21
« 6 k 2 + 1 8 k + 21 = 4 k 2 + 2 0 k + 25
<=> 2fcz - 2 k - 4 = 0 = > k = - l V k = 2
Luego, las ecuaciones del p lano Q (hay dos soluciones) son
(?!: 2 x - y - 2 z + 5 = 0
- Q2: 8 x - 4 y + z — 1 = 0
E je m p lo 42 Se tiene el punto / \ ( - 3; 2; — 1) y la recta L: x = 2 y = z . Halle
las ecuaciones de dos p lanos paralelos si se sabe que uno de ellos contiene a Pt y
el otro contiene a L, además, la distancia entre d ichos planos es V2.
So lu c ión
L a ecuación vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0 ) + t ( 2; 1; 2), t £ IR
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Sea Ñ — (A-, B; C) el vector normal com ún de los p lanos paralelos. Entonces, la
ecuación general del plano que contiene al punto P1( - 3 ; 2 ; - l ) y la del plano
que contiene a la recta L son respectivamente
Qx: A( x + 3 ) + B ( y - 2 ) + C ( z + 1 ) = 0 y
Qz : Ax + B y + Cz - 0
C om o el plano Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2 )
*=>Ñ. a = 2A + B + 2C = 0*=> B = - 2 A - 2 C ( a )
Ahora, utilizando la fórm ula de la distancia entre dos p lanos resulta
\ 3 A - 2 B + C\V 2 = . ___ :
y¡Az + B 2 + C2
<=> 2 (A2 + B2 + C2) = (3A - 2 B + C )2 (/?)
Reem plazando (a ) en (/?) se obtiene
10A 2 + 10 C2 + 16AC = 4 9 A2 + 25 C2 + 70AC
<=> 13A 2 + 18AC + SC2 = 0
<=> (13i4 + 5 C)(A + C) = 0 <=> A = - C ó A = - 5 C / 1 3
S i A = - C => B = 0 => = ( — C; 0; C ) = - C ( 1; 0; - 1 )
Considerando Ñx = (1; 0; - 1 ) se obtiene las soluciones
x - z + 2 = 0
Q2: x - z = 0
S i A = - 5 C / 1 3 => B = - 1 6 C / 1 3 => Ñ¡ = ( - 5 C / 1 3 ; - 1 6 / 1 3 ; C )
Para C = - 1 3 se obtiene Ñ2 = (5; 16; - 1 3 ) . E n este caso las so luc iones son
Qx: Sx + 1 6 y - 1 3 z - 3 0 = 0
Q2\ Sx + 1 6 y - 1 3 z = 0
E je m p lo 43 U n p lano se encuentra a una distancia de 2 /7 unidades del origen
de coordenadas. H a lle la ecuación del plano si se sabe que contiene a la recta
L: x = 2 y = 3 z - 1.
So lu c ión
L a recta L puede ser considerada com o la intersección de los p lanos x — 2y A x = 3z - 1. L a fam ilia de los p lanos que pasan por la intersección de estos
p lanos es
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Qf : x - 2 y + k ( x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k ) x - 2 y - 3 kz + k = 0
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REC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L
A sí, de la distancia del origen de coordenadas al plano QF resulta
2 \k\<=> 4 0 k 2 + 8 k + 2 0 = 4 9 k 2
7 y / ( l + k ) 2 + 4 + 9 k 2
«=> k = 2 ó k = - 1 0 / 9
Por tanto, existen dos soluciones al problema y estas son
Q . 3x — 2 y — 6 z + 2 = 0 (para k — 2)
Qz’ x + l Q y - 3 0 z + 10 = 0 (para k = - 1 0 / 9 )
6.3.5 Á N G U L O E N T R E D O S P L A N O S
D o s p lanos no paralelos y Q2 forman dos ángu los (diedros) 9 y 180° - 9 (Fig. 6.35), luego es suficiente conocer uno de los ángulos. U n o de estos ángulos
es igual al ángulo que form an sus normales. S i 9 es este ángulo, entonces
eos 9 =W i - i V 2
w m m .
donde y N2 son respectivamente, los vectores normales de los planos
<?i Y <?2-
Fig. 6 .35
E je m p lo 44 Halle el ángulo obtuso que forman los planos
Q t : 2x — y + z — 4 = 0 y Q2: x + y + 2z - 5 = 0
So lu c ión
L o s vectores normales de los p lanos Qa y Q2 son respectivamente
Ñ, = (2; — 1; 1) y Ñ2 = (1; 1; 2 )
Entonces
j V i v 2eos 9 =
\N,
3 1— — - = - <=> 9 = 60°V ó V ó 2
Luego, el ángulo obtuso entre los p lanos es a = 180° — 60° = 120°
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 45 H alle la ecuación del plano perpendicular al plano y z , que form a un
ángulo 6 = a rc c o s (2 / 3 ) radianes con el plano Q2: 2x — y + 2 z - 3 = 0 y pasa
por el punto
So lu c ión
Sean Ñ = (¿4; B ; C ) el vector normal del plano buscado, = (1; 0; 0 ) el vector
ftormal del plano y z (x = 0 ) y Ñ2 — (2; — 1; 2 ) el vector norm al del plano Qz
C om o el p lano buscado es perpendicular al plano y z (N 1 Nt ) y form a un ángulo
9 con el plano Q2 , entonces se tiene
N. Ñt = 0 =*> A = 0 (1 )
Ñ ■ Ñ2 2 A - B + 2Ceos 0 = „ = ..........— (2 )
\\N\\\\N2\\ V í42 + B2 + C 2.V 9
Reem plazando (1) en (2) se obtiene
2 _ 2 C - B
3 _ 3V S 2 + C2
D e donde 4 ( B 2 + C 2) = 4 C2 - A B C + B 2 «=> 3 B 2 + ABC = B( 3B + 4 C ) = 0
<=> B = 0 ó B = - 4 C / 3
S i B = 0 entonces Ñ - (0; 0; C ) = C (0 ; 0; 1). Luego, la ecuación buscada del
plano que pasa por el punto P1( 0 ; 1 ; 1 ) es
Qi. 0 ( x - 0 ) + 0 ( y - 1) + l ( z - 1 ) = 0 ó Qi- z = 1
S i B — 4C/3, entonces Ñ = (0; — 4C/3 ; C ) = — (C /3 )(0 ; 4; — 3). Luego, la
ecuación buscada del plano q,ue pasa por le punto ?*((); 1 ;1 ) es
Q3: 0 ( x - 0 ) + 4 (y - 1) - 3 ( z - 1 ) = 0 ó Qz : 4 y - 3 z - 1 = 0
6.3.6 P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N A R E C T A S O B R E U N P L A N O
Sea P un punto del espacio y Q un plano. Se l i c e que el punto P' e Q es la
proyección (ortogonal) del punto P sobre el plano Q si PP' 1 Q (Fig. 6.36).
Sea L una recta y Q un plano. A la recta contenida en Q , que se obtiene
proyectando los puntos de la recta L se denom ina recta de p royecc ión de L sob re
el p lano Q . A esta recta se denota con LQ (F ig. 6.37). S i L es perpendicular al
plano Q , la proyección de L sobre Q se reduce a un punto.
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RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
E je m p lo 46 E n los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano Determ ine la p royección de L sobre Q .
a) L: P = (2; - 1 ; 4 ) + t { 2; 1; 1), t 6 R , Q: 2x + y + z - 2 5 = 0
b) L: P = (1; 2; 1 ) + t ( l ; - l ¡ 2 ) , t 6 R , Q: x - y - z - 4 = 0
c ) L: P = (2 ; 1; - 1 ) + t(2 ; - 1 ; 1), t 6 R , Q: x + 3 y - z + 16 = 0
So lu c ión
a) L o s vectores d irección de la recta L y el plano Q son respectivamente
a = ( 2 ; l ; l ) y Ñ = (2; 1; 1 ) entonces L 1 Q. Luego, ia p royección de L sc jre Q se reduce al punto / = L n Q (Fig. 6.38a). A l hallar la intersección de la recta L con el plano Q, obtenemos /(8; 2; 7)
b) Análogam ente tenemos
^ = (1* — 1; 2 ) y W — (1; — 1; — 1) => a ■ Ñ — 0 L \\ Q. Por ser L || Q será suficiente proyectar un punto de L y considerar al vector á com o el vector d irección de l Q (F ig. 6.38 b).
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
S e a n P 0 ( l ; 2 ; 1 ) E L y LN la r e c t a q u e p a s a p o r P 0 e n la d i r e c c i ó n d e Ñ.A sí, la ecuación vectorial de la recta l N es
Ln : P = (1; 2; 1) + s ( l ; - 1 ; - 1 ) , s 6 R
Ahora, si P ¿ es la proyección de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q. A l resolver la intersección de LN con Q se obtiene P q(3; 0; — 1)
Por lo tanto, L q \ R = (3; 0; — 1) + A ( l ; — 1; 2), X 6 E
c) E n este caso, tenemos
d = (2; - 1 ; 1 ) y Ñ = (1; 3; - 1 ) , entonces L no es paralela ni perpendicular
al plano Q (Fig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente hallar
I — L n Q y proyectar el punto Po(2; 1 ;— 1) sobre el plano Q. A l hallar
/ = L n Q, se obtiene /(24; - 1 0 ; 10). A l proyectar el punto P0(2; 1; - 1 )
sobre el plano Q se obtiene P ¿(0 ; — 5; 1).
Luego Lq es la recta que pasa por los puntos / y Pq. Po r tanto,
Por lo tanto, la fórm ula para hallar el ángulo entre las rectas L y el plano Q es
Lq \ R = (24 ; - 1 0 ; 1 0 ) + A (24 ; - 5 ; 9 )
6.3.8 Á N G U L O E N T R E R E C T A Y P L A N O
Sea L una recta con vector dirección
a y Q un plano cuyo vector norm al es
Ñ .
E l ángulo entre la recta L y el plano Q se define com o el ángulo que form a L con Lq , donde LQ es la p royección de
L sobre Q (F ig. 6.39).
S i a es uno de los ángu los que form a L con Q (E l otro ángulo es 180° — a), entonces 6 + a = 90°, donde 6 es el
ángulo que form an el vector TV y el
vector á. Luego,
Fig. 6.39
Ñ ■ âsen a = eos Q =
Ñ • asen a =
Ñ IIa||
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E je m p lo 4 7 H alle el ángu lo agudo que form an el plano Q: 2x + y + z — 5 = 0 con la recta L: P - (2; 3; 5 ) + t ( 1; - 1 ; 2), t 6 RSo lu c ión
En este caso los vectores dirección de la recta L y del plano Q son
respectivamente d = (1; - 1 ; 2 ) y Ñ = (2; 1; 1). Luego, si a es el ángulo que forma la recta L con el plano Q, tenemos
\á.Ñ\
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
sen a — 1 n= - =» a - aresen
G K
Por tanto, el ángulo agudo que form an L y Q es de 30°
E jem p lo 48 Sean L \ P — (1; 0; 0 ) + t ( 0; 1; 1), í 6 IR una recta y
Q: x - z = 0 un plano. S i L'Q es la proyección de V sobre Q, halle la
ecuación de la recta que pasa por L' n Q, form a un ángulo de 45° con UQ y está
contenida en el plano Q .
So lu c ión
Sea L la recta buscada (Fig. 6.40). C om o
I — L n Q — L ' ñ Q , entonces se obtiene
/ (1 ;1 ;1 ) . A l hacer las operaciones
correspondientes para proyectar V sobre el plano Q, obtenemos
L'q : P = (1; 1; 1) s ( l ; 2; 1), s 6 R
Sea a — ( a i ; a 2; a 3) el vector d irección de L.C om o la recta L está contenida en el plano Q y
forma un ángu lo de 45° con la recta L'q, tenemos Fig. 6.40
a - Ñq - 0 => a t ~ a3
eos 45°a • (1; 2; 1) a x + 2a 2 + a 3
(1)
(2)V e llall V 6 ||a||
Reem plazando (1) en (2) s ; obtiene
1 2 (ü i + a 2)
+ 8 a ^ - 2 a ‘ = » = * =
Así, el vector d irección de la recta L es
a = (a j; ( - 4 ± 3 ^ / 2 )% ; a j = a ^ l ; - 4 ± 3 V 2 ; 1)
Por tanto, la ecuación buscada de la recta es
L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l) ,A 6 E (Dos soluciones)
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Ejemplo 49 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que pasa por i4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0 ; -1 ; 0) + t ( 0 ; 0; 1), t e IR sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que el ángulo entre L y Q es de 45°.Solución
Se observa que el punto A pertenece a la recta L(¡ (Fig. 6 .41).
Sea a = (a ; b; c) el vector dirección de L.Como la recta L forma un ángulo de 45° tanto con la recta LQ como con el plano Q, entonces tenemos
TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
eos 4 5 ° =
sen 4 5 ° =
óí * (0; 0; 1) _ c
Hall ~ V a 2 + 6 2 + c 2
a . ( 1 ; —1 ;0 ) ) a - b
» a 2 + b 2 = c 2 (1 )
V2||a|| V 2V a2 + b 2 + c 2
(2)o a 2 + b2 + c 2 = a 2 - lab + b2
De (1) y (2 ) obtenemos
a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=> a - -b
Reemplazando b = - a en (1 ) obtenemos c 2 = 2 a 2 =* c = ± V 2 a
Así, el vector dirección de la recta L es a = ( a ; -a; ±V2a) = a ( l ; - 1 ; ±V2) Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de ia recta L son
L: R = (0 ; - 1 ; 0 ) ) + A (l; - 1 ; ± V 2 ) , A € E
6 .3 .9 D ISTA N CIA M IN IM A E N T R E R EC T A S
Sean ¿ 1: P = P0 + í a , t e l y Lz: Q = Q0 + s b , s e espacio.
Las dos posiciones relativas de estas rectas son
i) II L2 « a II b
ii) ln tt /,2 <=> a Jt b
dos rectas en ei
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Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d ((?0; ¿ i ) . distanciade Q0 a la recta Lí ó d = d(P 0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6 .42).
Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud delsegmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6 .43 ).
R EC T A S Y PLA N O S EN EL ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L
Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que ¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■ Luego d es la distancia entre los planos Qx y Q2.
Sea N = a x b y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces
d = ¡C|||cos0|
C - ÑDado que eos 0 =
se escribe como
, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan
donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ
Observación 18 Si Lx y L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre ellas, entonces
i) Si ¿ i II L2 , d ( ¿ 1; ¿ 2) = 0 <=> Lx = L2
ii) Si Lj ¿ 2 , d^Li, L2) = 0 <=> Lj fl ¿2 ^ 0 (la intersección es un punto)
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 50 Halle la distancia mínima entre las rectas
L1: P = (1; 1 ;4 ) 4- £(0; 1; -3), t £ R y
L2: x = 4 + t l y — 5, z = -3 + 2 t
So lu c ión
El punto de paso y el vector dirección de Lx son P0(l;l;4) y a = (0; 1; — 3).El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0(4; 5; —3) y b = (0; 1; —3)
Así, tenemos a x b — (2; —3; — 1) y C = PqQq — (3; 4; — 7)
Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es
|c • (a x g)| | 6 - 1 2 + 7| 1
||a X b|| _ V 4 + 9 + 1 ~ V Í 4
E je m p lo 51 Una esfera metálica es soltada en el punto A(l-, 2; 1 0 ) y cae■(verticalmente) hasta el plano Q: 2x + y + z — 12 = 0; luego resbala por élhasta chocar con el plano x y . Halle la distancia total recorrida por la esfera.
So lu c ión
La distancia total recorrida por la esfera es
d = \AB\ + d(B-,Li)
donde B es la intersección de la recta L: P = (1; 2; 1 0 ) + í(0 ; 0; 1), t G R
con el plano Q y es la recta de intersección de los planos Q y x y (Fig.6.44).
Como B = L n Q, entonces B ( 1 ; 2 ; 8 ) y \J b \ = V 0 + 0 + 4 = 2
Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es
(2x + y + z — 12 = 0 ^ p = (0;i2;0) + A(1;-2;0),A £ E ( z - 0
||axPñfi|| ||(1; — 2; 0 ) x (1; — 10; 8)|| n ^LuCRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡Jj— = --------------- -------------------= 8^675
Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es
d = \AB\ + d ( B ; L¡) = 2 + 8 ^ 6 / 5
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R EC T A S Y P LA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L
E je m p lo 52 Po r la recta L: P = (4; 2; — 3 ) + t ( l ; 0; 1) pasa un p lano cuyas
intersecciones con los p lanos coordenados x y e y z form an un ángu lo de 60°. Halle la ecuación del plano.
So lu c ión
Sea N = (A ;B ;C ) el vector normal del plano buscado Q. C om o el plano Q contiene a la recta L, entonces
P0(4; 2; - 3 ) £ Q y Ñ. d = (A ; B; C). (1; 0; 1) = A + C = 0 <=> C = - A ( a )
Por otro lado, las rectas intersección del plano Q: Ax + B y + Cz + D = 0 con
los p lanos x y e y z son respectivamente
L B y + Cz + D = 0 By + Cz + D — Q
Ahora, si á y b son los vectores dirección de las rectas y L2 respectivamente, entonces
d = Ñ x k = (A ;B ;C ) x (0; 0; 1) = (B; - A ; 0 ) y
b = Ñ x T = ( A ; B ; C ) x (1; 0; 0 ) = (0; C; - B )
D ado que las rectas Lx y l 2 form an un ángulo de 60°, entonces tenemos
Reem plazando (a ) en (/?) se obtiene
A sí, el problem a tiene dos soluciones
S\ B = A => Ñx = (A; A ; - A ) = i 4 ( l ; l ; - l
S i B .= - A =» Ñ2 = 04; —A ; - A ) = A ( l ; - 1 ; - 1 )
Luego, las ecuaciones de los p lanos que satisfacen las condiciones del problem a son
l ( x - 4 ) + l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0 ó x + y - z - 9 = 0
Q2: 1 ( x - 4 ) - l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0 ó x - y - z - 5 = 0
E je m p lo 53 Sean P, Q, R y S los vértices consecutivos de un cuadrado contenido en el plano Qx\ 2x + 2 y - z - 10 = 0. S i P ( 2; 9; 1 2 ) y R ( - 2; 11; 8 )
son los extremos de una de las d iagonales del cuadrado, halle las coordenadas de los vértices Q y S.So lu c ión
á ■ b 1 - A Ceos 60° =
l l á l l l l S H ^ Z V B 2 + A2 J C 2 + B2
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PR = ( - 4 ; 2; - 4 ) y \\PR\\ = 6
Ahora, si a es el vector dirección de la recta L que contiene a la d iagonal Q5, entonces
a l P R A a 1 ÑQl = > a || PR X ÑQl = 6 (1 ; - 2 ; - 2 )
A s í, la ecuación vectorial de la recta L es
L: (x; y; z ) = (0; 10; 1 0 ) + t ( l ; - 2 ; - 2 ) , t £ R
C om o Q € L, entonces Q (t; 10 — 2t; 10 - 2t). D ado que,
¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» V t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 3 «=* t = ± 1
Por tanto, las coordenadas buscadas de los puntos son Q ( l ; 8; 8 ) y 5 ( - l ; 12; 1 2 )
TOPICOS D E C A L C U L O - V O L U M E N II
En la figura 6.45, el punto medio del cuadrado es M (0; 10; 10),
E jem p lo 54 U n a recta L, interseca a los p lanos coordenados x y e y z , de tal
manera que el segmento com prendido entre los puntos de intersección está en el
primer octante. S i desde d ichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes
coordenados, quedan determinados los cuadrados Cx y C2 respectivamente. E l
área de Cx es el cuádruple del área de Cz . Halle la ecuación vectorial de la recta L si su distancia al origen es 18.
Solución
Sean <4(0; b; b) el punto de intersección de L con el plano y z y B ( a ; a; 0 ) el
punto de intersección de L con el plano x y (a > 0 , b > 0). C om o el área de Cx es cuatro veces el área de C2 (F ig. 6.46), entonces tenemos
A(Cr) = a 2 = 4/1 (C2) = 4 b 2 =¡> a = 2b
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R EC T A S Y PLA N O S EN E L E SPA C IO T R ID IM E N S IO N A L
A sí, el vector d irección de L es AB = ( 2 b; b ; —tí) = b (2 ; 1; - 1 ) y la ecuación
vectorial de esta recta es L: P = (0; b; b) + A(2; l ; - l ) , Í e l
U tilizando la fórm ula de distancia del punto (0(0; 0; 0)) a la recta L, tenemos
I N x (2; l ; - l)| |18 = d ( 0 ; ¿ ) =
V 6<=> b = 9 V 2
Por lo tanto, la ecuación vectorial buscada de la recta es
L: P = ( 0 ; 9 V 2 ; 9 V 2 ) + A (2; 1 ; - 1 ) , A e R
E je m p lo 55 U n a recta L que pasa por el punto A(2; 2; 2), es paralela al plano
cuya ecuación es Q: x + 2 y + 4 z — 4 = 0. H a lle la ecuación vectorial de la
recta L si el área del triángulo AOB es igual a V l 4 u 2, donde O es el origen de
coordenadas y B es la intersección de L con el plano coordenado y z .
So lu c ión
Sean 6 (0 ; a; b ) el punto de intersección de
L con el plano y z (F ig. 6.47) y
a = BA = (2; 2 - a; 2 — b) el vector
d irección de L.
C om o L II Q, entonces a 1 NQ. D e donde
tenemos
a - ÑQ = a - ( 1 ; 2 ; 4 )
= 2 + 2 (2 - a ) + 4 (2 - b) = 0
= > a = 7 — 2b ( a )
Por otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo tenemos
i | | ó l x ó s | | = i |A& = \ \ \ O A * O B \ \ = i | | ( 2 ; 2 ;2 ) x (0 ;a ;6 )| |
= - > / 8 a 2 + 8 b 2 — 8 ab = V l 4 <=* a 2 + b 2 - ab = 7 (0)
Reem plazando (a ) en (/?) se obtiene
¿)2 - 5b + 6 = 0 <=> (b - 2 ) (b - 3 ) = 0 < = > b - = 2 V b = 3
Po r consiguiente, tenemos
S i b = 2 => 5 (0 ; 3; 2 ) y P = (2; 2; 2 ) + t(2 ; - 1 ; 0), t £ R
S i b = 3 =* B '( 0 ; 1; 3 ) y L 2: P = (2; 2; 2 ) + s (2 ; 1; - 1 ) , s e l
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p»! TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
K jcm p lo 56 U n plano pasa por el punto E ( 2; 0; 0 ) y es paralelo a la recta
L: P = (5; 6; 1 ) + t(0; 1; —1), t £ l
S i el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivamente, halle la
ecuación del plano si se sabe que el área del triángulo EFG es igual a (3 / 2 ) u 2 (dos soluciones).
So lu c ión
Sea Q el plano que interseca al eje z en G (0 ;0 ; c ) y al eje y en F (0;b;Q ) (Fig. 6.48). Entonces, tenemos
a = EF = ( - 2 ; b; 0), b = E G = ( - 2 ; 0; c) y ÑQ = a x b = (be; 2c; 2b)
Dado qué
Q II L = > ÑQ 1 d = > ÑQ ■ d = (be; 2c; 2b) ■ (0; 1; - 1 ) = 2c - 2b = 0
= > b = c (a )
Por otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo obtenemos
A a = i | |E F x EG|| = ^ b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 = \¿é ¿
= > b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 ~ 9 (/?)
Reem plazando (a) en (ft) resulta
c 4 + 8 c 2 - 9 = 0 <=> ( c 2 - l ) ( c 2 + 9 ) = 0 <=> c = ± 1
Por lo tanto, las ecuaciones de los p lanos que satisfacen las condiciones del problema son
S i c = 1 = > b = 1 = > ÑQ = (1; 2; 2 ) y Qt : x + 2 y + 2 z - 2 = 0
S i c = - 1 = > b = - 1 = > Nq = (1; - 2 ; - 2 ) y (?2: at - 2 y - 2 z - 2 = 0
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R EC T A S Y PLA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L
Kjem plo 57 Sean las rectas Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . H a lle la longitud
del menor segmento que es paralelo al plano Q: x - 2 y + z — 2 = 0 y une a las
rectas y L2
So lu c ión
U n bosquejo del problem a se muestra en la Fig. 6.49. L a s ecuaciones vectoriales de las rectas Lx y Lz son
Lj: P = ( 0 ; 0 ; t ) , t E K y L2. Q = (3; 0; 4 ) + s (0 ; 1; 0 ) , s 6 E
Sean A E Lx y B E L2, entonces i4 ( 0 ;0 ; t ) para algún va lor de t E l y
B ( 3; s; 4 ) para algún va lor de s E M.
C om o AB = (3; s; 4 — t ) es paralelo al plano Q, entonces tenemos
AB 1 Nn (1; - 2 ; 1) = > AB ■ N0 = 3 - 2s + 4 - t = 0 = » t = 7 - 2s
Así, la longitud del m enor segmento es
f ’í s ) =
p B | | = V 9 + s 2 + ( 2 s - 3 ) 2 = V l 8 - 2 sv + 5 s 2 = f ( s )
Para encontrar el va lor de s que hace m ínim o a f(s), derivam os con respecto a s y tenemos
5 s - 6 6... :------ - ..... = 0 =» S = -
V 1 8 - 125 + 5 s 2 5
E l criterio de la primera derivada confirm a que / ( s ) es m ín im o cuando s = 6/5 y
los puntos son i4(0 ; 0 ; 2 3 / 5 ) y B { 3 ; 6/5 ; 4).
Por lo tanto, la longitud del menor segmentó es ||i4B|j = 3 ^ 6 / 5 = 3,286...
E je m p lo 58 Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3; 4; - 5 ) ,
corta a la recta Lx: Q = (1; 3 ; - 2 ) + t(4 ; 3; 2), I E E y es perpendicular a la x — 4 y + 2
recta L2: —— = —~ ■ 2 “ 5
So lu c ión
Sea B 6 Llt entonces ñ ( 1 + 4 í ; 3 + 3 í; 2 t - 2 ) para algún t 6 l . Como el vector dirección
a = AB = (4 t - 2; 3 t - l ; 2 t + 3 ) de ¿ es
perpendicular al vector dirección b = ( 2 ; 3 ; 0 )de L2, entonces
a - b = 2 ( 4 í - 2 ) + 2 ( 3 t - l )
= 1 7 t - 7 = 0 «=» t «= 7 /1 7
Por tanto, la ecuación de la recta L es
L: P = ( 3 ; 4 ; - 5 ) + A ( - 6 ; 4 ; 6 5 ) , l € #
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E jem p lo 59 Halle la ecuación del plano que pasa por P 0( 5 ; 0 ; - 2 ) y form a un ángulo de 30° con el eje z. (dos soluciones).
S o lu c ión
Sea N = ( A ; B ; Q el vector normal del plano Q que pasa por P0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) . Entonces su ecuación es
Q: A (x - 5 ) + B y + C (z + 2 ) = 0 ( * )
C om o el ángulo que form a el plano Q con el eje z es 30° (Fig. 6.51), entonces
1 |C4; 6; C) ■ (0; 0; 1)1sen 30° = — — - ; 'J ± <=» 3C 2 = A2 + B 2 ( a )
2 V ¿ 2 + B 2 + C2 ^
Por otro lado, si K (0 ; 0 ; z 0) es el punto de intersección del plano Q con el eje z,
entonces P0V = ( - 5 ; 0; z 0 + 2 ) y el eje z forman un ángulo de 30°. Luego,
V 3 P o ? • (0; 0; 1) ^— = e o s 30° — - W | | « z . ^ 2 ± 5 V 3 ( «
Dado que V (0; 0; z 0) e Q , entonces satisface la ecuación ( * ) , esto es
— 5i4 + C (z0 + 2 ) = 0 <=> — SA + C ( — 2 ± 5 V 3 ) = 0 <=> ¿4 = +V3^C (y )
Reem plazando ( y ) en ( a ) se deduce que B = 0. De este modo, el vector normal
del plano Q es Ñ = ( ± V 3 C; 0; C) = C ( ± V 3 ; 0; 1)
Por consiguiente, la ecuación buscada del plano Q resulta
(?: ± V 3 x + z + 2 + 5 V 3 = 0
TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II
E je m p lo 60 U n rayo lum inoso ¿ £: P = (1; 4; 3 ) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R incide en
el espejo plano Q; 3x — y + 4 z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecuación del rayo reflejado.
So lu c ión
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL
Sea I = n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se muestra de canto).
Luego,
/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t ) e Q e* 3 (1 + t) - (4 + 2 t) + 4 (3 - t ) = 2 <=> t = 3
= » /(4; 10; 0 )
Ahora, la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 y sigue la
dirección del vector normal es LN: P = (1; 4; 3 ) + A (3; — 1; 4 ) , X £ IR
S i M = Ln fl Q, entonces al hacer las operaciones respectivas obtenem os
/ 1 113 4 2 \
2 6 '" 2 6 " '2 6 /
Dado que Ai es el punto m edio del segmento P0Qo , entonces el punto Q0 es
/ 14 61 3 \
V 1 3 '1 3 '1 3 /
Por tanto, la ecuación vectorial del rayo reflejado que pasa por el punto I y sigue
la d irección del vector b = Q0I — — (66; 69; — 3) es
Lr : R = (4; 10; 0 ) + r ( 6 6 ; 69; - 3 ) , r £ IR
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1; 3; 2), es paralelo al plano
Q: P = (1; 4; 0 ) + r ( 1; 1; 1) + s ( 0; 1; 2), r, s £ E y form a un ángulo de
60° con la recta Lx\ R = (1; — 2; 3 ) + t(0 ; 1; 0), t £ E
R. L: = (1; 3; - 2 ) + t ( 3 ± 2V 2 ; 2 ± V 2 ; l ) , t 6 E
2. Halle la ecuación del plano que pasa por (3; 1; — 2 ) y form a ángu los iguales
con las rectas Lx: P = (1; 4; 2 ) + t ( l ; 1; 1), t £ E , ¿ 2; eíe x y L3: e ] e yR. {x - 3 ) + (y - 1 ) + ( V 3 - 2 ) ( z + 2 ) = 0
3. Sean las rectas:
Li'. P = ( 3 ; 0 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t £ E
L2- Q — (2; 9; 1) + s ( l ; 3; — í) , s £ E
Halle la ecuación del plano que es paralelo a Lr y Lz , y d iv ide en 2 partes
iguales al segmento de m enor longitud que une a d ichas rectas.
4. Sea el plano con ecuación 2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no nu los de
m anera que los dos vectores A = i + j + k y B = n j + m k están en un
plano perpendicular al dado.R . m = 1 / 2 , n = - 1 / 2
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5. ln : P = (1; 2; — 3 ) + t ( l ; — 1 ;5 ), t G R
L2: Q = (0; 1 ;4 ) + s ( l ; 0 ; - 1 ) , s e l
son dos rectas, ¿se intersecan?. E n caso afirmativo, halle el punto de
intersección y la ecuación del plano que los contiene. En caso contrario, halle la distancia m ín im a entre Lx y ¿ 2
6. Halle la ecuación del plano paralelo al plano 2x - y + 2 z + 4 = 0 si se sabe
que el punto P0 ( 3 ; 2 ; — 1) equidista de ambos planos.
R. 2x — y + 2 z - 8 = 0
7. Dadas las rectas P = (1; - 1 ; 1) + t ( 0; 1; 1), t e l
¿ 2: Q = (0; 1;0) + 5(1;0; — 1), s £ R
Halle las ecuaciones de dos planos paralelos Qx y Q2 de m odo que Lx c Qxy. L2 c Q2 . ¿C u á l es la distancia entre Qt y Q21
8. Halle la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que pasa por el
punto P0 ( 2 ; 2 ; 2 ) y que form a un ángulo de 60° con el plano
y [3 x + 2 y — 3 z + 2 = QR. 4 V 3 x + y - 2 (1 + 4 V 3 ) = 0
9. Dadas las rectas:
L x : P = (1; 2; - 1 ) + t ( 2; - 2 ; - 3 ) , t G R
L2. Q = (2; 3; 1) + s ( l ; 2; - 1 ) , 5 G R
L3: R = (3; 1; - 1 ) + r ( 1; 1; 1), r G R
Halle, si existe, la ecuación del plano Q que contiene a L3 y a su vez el
plano sea paralelo a las rectas Lx y L2.R. no existe
10. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por ( 2 ; 6 ; 1 ) y contiene a laX z
recta - = - , y = - 5
R. 8 8 x — 1 3 y — 3 3 z — 65 = 0
11. La recta L que pasa por ( - 1 ; 1; 6 ) es paralela a los p lanos x + y = 0 A
2x — z — 6 . L a recta LQ es la proyección de L sobre el plano x y . H a lle las
ecuaciones de las rectas L y LQ.
12. Halle la ecuación de la recta que contiene al m enor segmento horizontal
(paralelo al plano x y ) que une las rectas
P = ( 0 ; 0 ; 0 ) + t1( l ; 2 ; 8 ) , t E R
l‘¿: Q = (1; 3; 0 ) + t2(0; 1; 4), t 6 R
R. L: P = (1; 2; 8 ) + t3( 0; 3; 0), t3 G R
13. Halle la ccunción cartesiana del plano que pasa por P0( l ; 0; 0), sabiendo que
la recta L: P — (5; 1 ;— 5) + t ( l ; 0 ; — 1), í G R está a una distancia de 1 unidad de d icho plano (Z, II Q).
TOPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II
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I I. Halle la ecuación cartesiana del plano, sabiendo que es paralelo al plano
2 x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; - 3 ) equidista de am bos planos.
R. 2x + 2 y - z - 41 = 0
15.Sean L\ P = (1; 1; 3 ) + t ( 2 ; 0 ; l ) , t G E y Q: 2 y - y + z - 15 = 0 unarecta y un plano respectivamente. S i A — L n Q, halle la ecuación de la recta
L1 que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta Lq . L a recta Lx está
contenida en el plano Q.
16. D adas las rectas = (3; 4; 5 ) + tx(0; 1 ; - 2 ) , t x G E
L2: P2 = (4; - 2 ; 1) + t2( 1; 2; 3), t2 G E
L3: P 3 = (0; 0; 0 ) + t3 ( 2; 1; 0), t3 G E
Halle la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos
A, B y C respectivamente, de m odo que AB = BC, E l plano solicitado es
paralelo a la recta x = y = z y los puntos A, B y C están alineados.
R. 19x - 2 0 y + z - 81 = 0
17.a = (4; 0; 3 ) y b = ( - 3 ; VTT ; 4 ) son los vectores d irección de las rectas
y l 2 respectivamente. La s rectas se intersecan en (3; 2; 1). Halle la ecuación
de la recta ¿ 3 que pasa por el punto P0(3 1 / 5 ;2 ; 1 7 / 5 ) y determina con
Lx y L2 u n tr iá n g u lo de área 6 u 2 .
18. Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (3; 4; — 6 ) y es paralela a
los p lanos x + 2 y - z = 4 A 3 x - y + 2 z = - 6 .
R. L: P = (3; 4; - 1 ) + t ( - 3 ; 5; 7), t G E
19. Halle la ecuación del plano que dista del origen V 2 3 4 unidades y pasa por la
intersección de las rectas P = (9; 5; 4 ) + t ( l ; 1; 2), t e E y
L 2: Q = (1; 2; 3 ) + s (2 ; 1; 1), 5 G ER. 11 (x - 1 1 ) + 7 (x - 7 ) + 8 (z - 8 ) = 0
20. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1 ) y es
perpendicular a los p lanos x - y - 4 A x + z = 6.R. x + y - z - 6 = 0
21. S i L1: P = (2; 1 ;0 ) + t ( l ; — 1; 1), t G E , halle la ecuación de la recta L que
- sea simétrica a la recta L x con respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .
x + 4 5 - y.25. Dado el p lano x - 2 y + 3z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _ 1
Halle la ecuación de la recta que pasa por (0; 2; — 1), es paralela al plano dado
y corta a la recta L.R. L1\ P = (0; 2; - 1 ) + t(4; - 1 ; - 2 ) , t £ E
22. D adas las rectas
Ly. P i = (1; 1; 2 ) + t ^ l ; 2; 0), t x G M
L2- P2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) + t2( l ; — 1; 1). t2 G E
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^ 3* ^3 = (0; 3; — 2) + t3 (S; 0; 2), ¿3 6 ®
Halle la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas Lu Lz y L 3 en
los puntos M, N y P respectivamente, de tal manera que MN = NPR. L: P = (0; - 1 ; 2 ) + t ( 2; 2; - 1 ) , t £ E
23. Sean las rectas ¿ j = {(1 ; 0; 0 ) + r ( 1; 1; 1) / r e E } y
¿2 = {(7 ;4 ;3) + s (3;4;2) / s &E}Halle los vértices de un triángulo equilátero de lado 2 V 2 u , tal que un vértice
pertenece a ¿ 2 y el lado opuesto en L1.
R. ( 4 ; 0 ; 1 ) , ( 2 ± V 2 7 3 ;
24. Dadas las rectas no coplanares concurrentes en P0( l ; - 2 ; 3 )
x - 1 y + 2 z - 3 x — 1 3 - z1 . : — - — = — . W - — = — A y = - 2 y
x — 1 y + 2 z - 3L o : -------- = -- ------ = ---------
3 2 1 2Halle la ecuación de un plano que pasa por el punto A { —4; 2; 6 ) y form a
ángulos iguales con estas rectas.
R. 3x — y - z + 2 0 = 0
26. Dadas las rectas:
x — í y + 2 5 - z y - 1 z + 2¿ . — = — - — = — -— ■ y L2. x = - 2 ,— -— = — - —
1 2 3 4 * z 1 2
que se cruzan. H alle la ecuación de la recta que pasa por i 4 ( - l ; - 2 ; 0 ) , es
perpendicular a Lí (en el espacio) e interseca a ¿ 2.
R. P = ( - 1 ; - 2 ; 0 ) + t ( — 1; 6 ; 4), t 6 E
27. D ado s los p lanos Qt : 2x + 2 y - 2 z + 2 = 0. y <32; x - 2 y — z = 1 y el
punto >4(2; 1; 4 ). H a lle la ecuación de una recta que pasa por A , es paralela a
Q2 y form a un ángu lo de 30° con
R. ¿ = { ( 2 ; l ; 4 ) + t ( l l ± 6 V 2 ; 2 ± 3 V 2 ; 7 ) / t 6 i }
28. Halle la ecuación de una recta que pasa por (3; 1; 2 ) y corta a la rectas
Lt : P = {(2 ; 4; - 1 ) + t ( 0; 1; 2 ) / t e E }
f x - y + z = 4
l 2 jc + z = 6R. Q = ( 3 ; l ; 2 ) + s ( - l ; 1 0 ; l l ) , s é E
29. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el puntó ' <2(3;— 5; 2 ) ' y es
perpendicular a los planos 2 x + 3 y - z - 5 = 0 A x - 2 y + 2 z - 3 = 0.
R. 4 x - 5 y - 7 z — 23 = 0
30. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos ( - 2 ; 5; 3 ) y
(4; 8 ; - 8 ), y es perpendicular al plano xz.R. l l x + 6 z + 4 = 0
V TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
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31. Encuentre la ecuación del plano que pasa por origen, es perpendicular a&pJano
2x + 3 y - Sz = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1; - 1 ; 3) y (2; 1; - 2 ) .
R. Sx — 5 y — z = 0
32. Encuentre la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y — Y l z = 4 y
pasa por la intersección de los planos 2x - y - Sz = 4 A 3x + y - z = 0.
R. Y 2 x - y ~ \ 7 z = 12
33. U n plano pasa por los puntos P1( l ; 0; - 1 ) y P2( - 1; 2; 1 ), y es paralelo a la
recta de intersección de los p lanos 3x + y - 2 z = 6. A 4 x - y + 3 z = 0. H a lle su ecuación.
R. 5 x - 3 y + 8 z + 3 = 0
34. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por ¿ 4 ( 1 ; - 2 ; 1 ) y es
perpendicular al vector OA, donde O es el origen de coordenadas.
R. x - 2 y + z = 6
3 5 .Encuentre la ecuación de un plano que pasa por los puntos P ! ( l ; 2 ; 3 ) y
P2 ( 3; 2; 1), y es perpendicular al plano 4 x - y + 2 z = 7.
R. x + 6 y + z = 16
36. Encuentre la distancia del origen de coordenadas
x — 2 y — 1 2 — z
3 ~ 4 ~ 5R. 3 u
Í„ — 2 z — 3 — 0y _ 2 Z = o interseca al plano x + 3 y — z + 4 = 0.
Encuentre el punto de intersección P y halle la ecuación de la recta contenida
en este plano, que pasa por P y es perpendicular a L.
R. P ( 1; - 2 ; - 1 ) , = L t l = £ ± 1— 5 3 4
3 8 .Calcu le la distancia m ín im a entre la rectas Lx y L2, donde l x pasa por el
origen y el punto (1; 1; 1), y ¿ 2 pasa por (1; 2; - 2 ) y es paralelo al vector
2 í - j + 2k.R. 3V2/2
39. H a lle la ecuación del p lano que form a un ángu lo de 60° con el plano»
2x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1; 8; 1) + t ( l ; — 3; 1), t 6 M.
R. x + y + 2 z = 11, l l x + 2 y — 5 z — 2 2 = 0 (dos soluciones)^
40. H a lle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1 ) y es ortogonal a
los p lanos P: x - y — 4 A Q: x + z = 6
R. x + y - z - 6 = 0
REC TA S Y PLANOS EN EL ESPA C IO TRID IM EN SIO N A L
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41. Halle las ecuaciones de tres planos
equidistantes, que pasan por los puntos
(1; 4; 0), (2; — 5; 1) y (3; 0; - 2 )
respectivamente, de tal manera que sean a su
vez paralelas a la recta
L = {(1 ; 4; 0 ) + t ( l ; 1; 1) / t G M}.
Suge renc ia : Considere P1P2 = P2P3 R. 9 x - 2 y - 7 z - 1 = 0
9x — 2 y - 7 z - 2 1 = 0
9 x - 2 y - 7 z - 41 = 0
42. Halle la longitud del m enor segmento paralelo al p lano x y , que une las rectas
Lx = {(1 ; 2; 0 ) + ^ ( 1 ; 2; 1 ) / ^ G R } y = {(0 ; 0; 0 ) + t2( 1; 1; l ) / t 2 G ®¡}
R. l u
43. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3; - 1 ; 6 ) y es paralela a los
p lanos x — 2 y + z = 2 A 2 x + y - 3 z = 5.
R. x — 3 = y + l = z - 6
44. Halle la ecuación del plano que es paralelo al plano 1 2 x — y - 1 7 z = 14 y
pasa por la intersección de los p lanos 2 x - y - 5 z = 4 A 3x + y — z - 0.R. 1 2 x - y - 1 7 z = 6
4 5 .Encuentre la ecuación de los p lanos que bisecan el ángu lo entre los p lanos
2 x + y + z = 4 A 7 x - y — 2 z = 2.R. x — 4 y — 5 z + 10 = 0
4 6 .C o n los puntos j4 (1 ;2 ;3 ) , B ( 0 ; - l ; 4 ) y C ( — 1 ; 2 ; 6 ) se form a el
paralelogram o ABCD. H a lle la ecuación de la recta que pasa por los puntos Cy d .
R. L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + t ( — 1; — 3; 1 ) / t G K }
47. Halle la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la
intersección de los p lanos x — y + z — 4 = 0 A 2 x + y - 2 z — 6 = 0.
R. x + 5 y - 7 z = 0
48. Halle la ecuación cartesiana de un plano que pasa por (1; 2; — 3 ) y por la
intersección del plano x — y + 2 z = 4 con el plano xy .R. 3 x - 3 y - 5 z - 12 = 0
49. Encuentre la longitud m ín im a del cordel que se necesita para llegar desde el
punto Pq(8; 6; - 5 ) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos
Qx(3; 5; 3 ) y <?2( 8 ; 3 ; 1 )
R. d = 5 ,65 u
TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
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5 0 .L a s rectas Lx = {(5 ; 11; — 2 ) + ^ ( 0 : 8 ; —1), 6 R }
L2 = {(8 ; - 2 3 ; 3 ) + t2( 3; - 1 0 ; - 4 ) , t2 6 R }
¿ 3 = {(8 ; 1; -6 ) + t3(3; - 2 ; - 5 ) , t3 6 R }
contienen a los lados del triángulo ABC. H a lle la distancia del centro de
gravedad de d icho triángulo al plano 5 x + 1 2 z + 14 = 0.
R. 5 u
51. D a d o s los puntos no colineales .4(0; 0 ;0 ),
f í ( 0 ; l ; 5 ) , C ( 5 ; 2 ; — 1) y D ( 3; 7 ; - 7 ) , determine la
ecuación de los p lanos paralelos que pasan por d ichos puntos, de tal manera que las distancias que los separan sean iguales.
R. Qt : 9x + y - 1 2 z + 59 = 0,
Q2: 9x + y - 1 2 z = 0
Q3: 9x + y - 1 2 z - 5 9 = 0,
<?4 : 9x + y — 1 2 z — 1 18 = 0.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPA CIO TRID IM EN SIO N A L
Su ge renc ia : E n el gráfico adjunto, para determinar
las coordenadas del punto P (x 0; y Q; z 0) la ra zónos
DP 2 _r = = = — y la norm al del plano es N — á x b
BP 1 F
52. U n hom bre que se encuentra en
0 (0 ; 0; 0 ) lanza una flecha desde
¿4 (0 ;0 ;1 6 ) hacia un blanco en
f í ( 5 0 ; 1 2 ; 1 6 ) que se encuentra
sobre el plano
2 5 * - 6 y - 1 1 7 8 = 0 ,
haciendo impacto a 0,1 unidades
del blanco. S i la flecha fue lanzada
con una trayectoria paralela al
plano x y , halle el ángu lo que
debió g irar el hom bre para no
fallar.
R. 3,62°
53. Se tienen dos túneles que parten de la superficie (suponer que la superficie es
lisa y es el plano x y ) desde los puntos P1A(0 ;5 / 2 ; 0 ) y P1B(5 ; 2 ; 0) y llegan
respectivamente a los puntos P2/»(— 7; — 1; — 7) y P2B( - 5 ; 3 ; - 5 ) . H a lle la
m ín im a distancia que debe tener un túnel para quedar a n ivel (paralelo al plano
xy) y sirva para interconectar a los túneles A y B.R. d = 2 ,457
Suge renc ia : E l túnel que debe intersecar a los dos túneles debe ser paralelo al
plano x y para que quede a nivel, luego igualar las coordenadas z de los puntos
que se toma sobre cada túnel.
Z ÁkA(0;0;16) a B (50;12;16)
...Sugerencia:0,1 = \IB\
O (0;0;0) ^y, =15,96 / y
* * eos a = 0,988 => a (i,62°)
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TOPICO S DE CALCULO - VOLUMEN II
54. Un niño patea una pelota desde el punto P0(8; - 1 0 ; 1 2 ) y ésta se mueve en
línea recta en la dirección del vector v = (2; 2; 2), con velocidad constante. S i la pelota se d irige hacia una ventana de vidrio, ¿qué tiem po tardará en
impactar con el v id rio si la ventana está en el plano 2x + 8 z = — 4 ?
R. V 2 u
55. Halle la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta
L = {(1 ; 2; - 3 ) + t ( l ; - 4 ; 2 ) / t 6 R }
y se encuentra a una distancia 8 / V 4 1 unidades del punto (2; — 4; — 5).R. 6x + 2 y + z — 7 = 0 A 3 0 * + 2 y - l l z - 6 7 = 0
56. U n rayo de luz parte del punto (1; 4; 2), se refleja en el espejo plano y z . E l
rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano x z y este últim o rayo
reflejado pasa por (5 ; 1; 4 ) . Halle la ecuación de este últim o rayo reflejado.
R. L = { (1 9 / 5 ; 0 ; 1 8 / 5 ) + t(6 ; 5; 2 ) / t E l )
57. U n rayo de luz parte del punto (2; 1; 6 ) , se refleja en el espejo plano xz; este
rayo reflejado se refleja nuevamente en el espejo plano yz , y este últim o rayo
reflejado pasa por (3; 8; 2). Halle la ecuación de este últim o rayo reflejado.
R. L = { (0 ; 13/5 ; 2 2 / 5 ) + t ( 5; 9; - 4 ) / t e R}
58. En los p lanos paralelos Pj: 4x — 8 y — z + 9 = 0 y P2\ 4x — 8y — z — 18 = 0,
se tienen los puntos Qt y Q2 respectivamente. Halle el vo lum en del cilindro
cuya d iagonal QÍ Q2 m ide 9 unidades.
R. V = 5 4 7r u 3
59. U na puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos p lanos
P1: 5x + 3 y - z ~ 9 - 0 y P2: 3x - 2 y + 5 z - 6 = 0
Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de tal manera que pase por la
recta de intersección de am bos planos y que sea paralelo a la co lum na que
describe la ecuación de la recta Lx = {(3 ; 1; 6 ) + t ( l ; 1; 0 , ) / t 6 R } . Halle
la ecuación de d icho plano.
R. 1 9 * - 1 9 y + 4 1 z - 39 = 0
60. U n barco se encuentra en el punto P ( 2 ; 3 ; 0 ) y tiene un m ovim iento
rectilíneo con una velocidad constante — (1; 5; 0). E n ese m ism o instante
un avión com ercial empieza a caer desde el punto (5; 4; 6 ) con una velocidad
constante v 2 = (2; 11; - 6 ) en línea recta. C on estos elementos de ju ic io se
pregunta
a) ¿K l avión cae sobre el barco?
b) S i no es así, ¿cuá l será la m enor distancia entre ellos?.
R. a) N o b) 2,5 u
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SUPERFICIES
U na superficie es un conjunto de puntos P ( x ; y ; z ) e R 3 cuyas coordenadas satisfacen una ecuación dada en las variables x, y y z, esto es,
S — { (x ; y ; z ) 6 E 3 / £ ( x ; x; z ) = 0 } es generalmente una superficie.
U n ejemplo de superficie es el plano (su ecuación es Ax + B y + Cz + D = 0) Observación 1 Existen ecuaciones tales como
a) x 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2 + 8 = 0
b) (x + l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 + 3 ( z - 5 ) 2 = 0
que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números reales x, y , z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a) representa al conjunto vacío (0)
Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son x = —1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto P C-l; 2; 5).
Observación 2 (Traslación de ejes) De modo similar a la traslación de ejes en el plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.
Si el sistema de coordenadas o x y z se traslada a un nuevo origen 0 ' ( h ; k; l), de
modo que las coordenadas de cualquier 7 z
punto P E I 3 antes y después de la 11 ‘ 1traslación son (x \ y \ z ) y ( x 1; y ' ; z ' ) f|P
respectivamente (Fig. 7.1), entonces las ]
relaciones de tranformación del sistema " z -original (oxyz) al nuevo sistema de ^ Y
coordenadas (o’x 'y 'z ') son
x = h + x' y = k + y '■ z = l + z'
Fig. 7.1
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S I J I ' I Í K I ' I C I E S
7.1 E S F E R A
Definición: U na esfera es el conjunto de
todos los puntos del espacio IR3 que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante de cualquier punto al
centro se llam a radio y se denota con
r > 0 .
Sea P ( x ; y ; z ) cualquier punto de la esfera
de centro C (h',k;l) y radio r > 0.
Entonces, por defin ic ión tenemos
d (C ; P) = V ( * - h) 2 + ( y - k ) 2 + (z - l ) 2 = r
D e donde,
(x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) z = r 2 ( * )
Esta ecuación se llama form a ordinaria de la ecuación de la esfera.
La esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r > 0 tiene por ecuación
x 2 + y 2 + z 2 — r 2
y esta ecuación se denom ina form a canónica de la ecuación de la esfera.
S i desarrollam os la form a ordinaria de la ecuación de la esfera, obtenemos una ecuación de la form a
x 2 + y 2 + z 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 ( a )
que es la ecuación de la esfera en su form a general.
Cualqu ier ecuación de la forma (a), empleando el método de completar
cuadrados, se puede expresar en la forma
(x - h Y + ( y - k ) 2 + (z - i)2 = t (P)
Com parando las ecuaciones ( * ) y (¡3), se tienen tres posibilidades:
S i t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C ( h ; k ; l ) y radio V t
S i t = 0, (/?) representa al punto C ( h \ k \ l )
S i í < 0, (/?) representa al conjunto vacío
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SUPERFICIES
E je m p lo 1
a) H a lle la ecuación de la esfera de centro C(2; — 1; 0 ) y ra d io r = 3
b) H alle la ecuación de la esfera si uno de sus d iám etros es el segmento de extremos „4(3; 1; 4 ) y B ( 5; — 1; 2)
c) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a unpunto o al conjunto vacío.
i) x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y - 6 z + 1 = 0
ii) x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 2 z f 6 = 0
iii) x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 6 y ~ 8 z + 35 = 0
Solucióna) U tilizando la form a ordinaria de la ecuación de una esfera, tenemos,
(x - 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + z 2 - 9 ó x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 = 0
b) C om o el centro de la esfera es el punto medio de AB, es decir, C ( 4 ; 0 ; 3 ) y el
radio r = d iC ;A ) — V 3 ; entonces la ecuación de la esfera es de la form a
(x - 4 ) 2 + y 2 + ( z - 3 ) 2 = 3 ó x 2 + y 2 + z 2 - 8x - 6 z + 22 = 0
c) A l completar los cuadrados en cada una de las ecuaciones, obtenemos
i) (x — l ) 2 + ( y + 2 ) 2 + (z — 3 ) 2 = 13. Esfera de centro C ( l ; - 2 ; 3 ) y
radio r = V l 3
ii) (x — 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + (z - l ) 2 = 0. Luego, la ecuación representa el punto C ( 2 ; - l ; l )
iii) {x + l ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z — 4 ) 2 = - 9 . L a ecuación dada representa al conjunto vacío.
E je m p lo 2 Halle la ecuación de la esfera que es tangente a los planos
<21: x + 2 y + z - 4 = 0 y
Q2'- x - y + 2 z - 5 = 0,
y tiene su centro en el eje z . (D o s soluciones)
So lu c ión
Sea C (0; 0; l ) el centro de la esfera buscada.
Entonces, utilizando la fórm ula de distancia
de punto a plano, tenemos
d ( C ,Q i ) = d(C , Q2) « = £ L l 5 !
<=> i = 1 V 1 = 3 F ig . 7.3
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S i / = 1 , la ecuación buscada de la esfera es
3x 2 + y 2 + ( z - l ) 2 = - ó 2 x 2 + 2 y z + Z z2 — 4 z - 1 = O
S i / = 3 , la ecuación buscada de la esfera es
1x 2 + y 2 + ( z — 3 ) 2 = - ó 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 — 3 6 z + 53 = 0
6
E je m p lo 3 E l plano Q pasa por el punto y contiene a la recta
y + 1L : x - 1 —- ~ = z + 4
'H a lle la ecuación de la esfera, con centro
C ( 0 ; - 2 ; l ) y tangente al plano Q.¿C uá l es el punto de contacto?
So lu c ión
D ado que el punto de paso de la recta L es
(1; — 1; — 4), entonces los vectores que
están contenidos en el plano Q son
SUPRRriClLS
3 = PoPi — (0; 0; — 4 ) y b = (1; 4; 1)
Luego, el vector norm al Ñ del plano es
N = a X b = ( 1 6 ; - 4 ; 0 )
A sí, la ecuación del plano Q es
Q: 1 6 ( x - 1 ) - 4 ( y + 1 ) = 0 ó < ? : 4 x - y - 5 = 0
Utilizando la fórm ula de distancia de punto a plano, el radio de la esfera es
. |2 — 5| 3r = d (C ; Q) = = —=
V T 7 V I 7
Así, la ecuación de la esfera de centro C (0 ; — 2; 1) y radio r = 3 / V l 7 es
9x 2 + (y + 2 ) 2 + (z - l ) 2 =
17
«=> 1 7 x 2 + 1 7 y 2 + 1 7 z 2 + 6 8 y - 3 4 z + 7 6 = 0
E l punto de contacto entre el plano Q y la esfera es I = Q ñ LN, donde LN es la
recta que pasa por el centro de la esfera y sigue la d irección del vector N\ su
ecuación vectorial es LN :P = (0; - 2 ; 1 ) + t ( 4; - 1 ; 0), t £ E .
Hallando la intersección de LN con el plano Q, se obtiene el punto de tangencia
/ (1 2/ 1 7 ; — 3 7 / 1 7 ; 1)
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E jem p lo 4 Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano x z y es tangente al plano Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).
So lu c ión
La ecuación vectorial de la recta LN que pasa
por el punto P i ( l ; 5; 7 ) y sigue la dirección
del vector normal Ñ = (2; - 1 ; 1 ) (Fig. 7.5) es
Ln : (x ; y ; z ) = (1; 5; 7 ) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E
S i C es el centro de la esfera, entonces
C £ Ln D P lano x z
<=> C £ Ln A C £ P lano x z
«=> C (1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ P lano x z ( y = 0)
Luego, el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 12 ) y su radio r = d ( C ; P J = V i 50
Por consiguiente, la ecuación buscada de la esfera es
(x - l l ) 2 + ( y - O )2 + (z - 1 2 )2 = 1 5 0 ó
x 2 + y 2 + z 2 - 22x - 2 4 z + 115 = 0
E JE R C IC IO S
1. Halle la ecuación de la esfera de centro C(4; 3; - 1 ) y radio r = V 7 .
R. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y + 2 z + 1 9 = 0
2) H a lle la ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de
extremos i 4 ( 1 0 ; - 5 ; 8 ) y B ( 2 ; 5 ; - 1 4 )
R. x 2 + y 2 + z 2 — 1 2 x + 6 z — 1 1 7 = 0
3) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un
punto o al conjunto vacío. S i representa a una esfera determine su centro y su radio.
a) x 2 + y 2 + z 2 - Í 6 x + 8 y + 4 z + 75 = 0
b) x 2 + y 2 + z 2 + 8 x - 6 y - 4 z + 2 9 = 0
c) x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 15 = 0
R . a) Esfera, C (8 ; - 4 ; - 2 ) y r = 3 b) Punto c) 0
3. H a lle la ecuación de la esfera que es tangente al plano x - 8 y + 4 z + 7 = 0
y es concéntrica a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y r 6 z + 33 = 0.
R . X2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y - 6 z + 4 8 = 0
SU PER FIC IES
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SU PERFIC IES
4. Halle la ecuación de la esfera que tiene su centro en el eje x y pasa por los
puntos P 1( 0 ; 5 ; 0 ) y P2( - 2 ; 1 ; Ó ) .
R. x 2 + y z + z 2 — 1 0 * - 2 5 = 0
5. Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano coordenado
y z y es tangente al plano x + 3 y — 2 z + 1, = 0 en el punto P ( 5; 0; 3).
R. x 2 + y 2 + z 2 .+ 3 0 y - 2 6 z — 1 0 6 = 0
6. Determ ine la ecuación de la esfera que pasa por, el punto P0 ( — 2 ;4 ; 0 )
y por la intersección de las esferas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y — 4 z + 2 = 0
x 2 .+ y 2 + z 2 - 4 x — 2 y — 6 z + 10 = 0
R. x 2 + y 2 + z 2 - I9 x — 3 2 y - 2 1 z + 70 = 0
Suge renc ia . S i = 0 y Sz — 0 son las ecuaciones de dos esferas, entonces
+ kSz = 0, para k =é — 1, representa la fam ilia de esferas que pasan por la
intersección de las esferas dadas, con la excepción de la esfera S 2 = 0
7. Determ ine la ecuación de la esfera que pasa por la circunferencia de
intersección de las esferas:
x 2 + y 2 + z z - 4 x - 8 y + 6 z + 12 - 0
x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 4 y - 6 z - 12 = 0
y es tangente al plano x + 2 y - 2 z — 3 = 0
,, R. 5 t : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 6 y + 4 z + 8 = 0
S2. x 2 + y 2 + z 2 — 4 x - 2 4 y + 2 2 z + 4 4 = 0
8. U na recta L pasa por fil punto A(3; - 4 ; 6 ) , interseca a la recta
l x: P = (6; - 1 0 ; 1 2 ) + t ( l ; 0; 0 ) y a la esfera
3 29
( * + 2 )Z + ( y “ 1)2 + 2)2 = T
en una cuerda de longitud 3 unidades. H alle la ecuación vectorial de L (dos
soluciones).
9. Halle la ecuación del plano Q que contiene a la recta
L: P = (1 ; 2 : 3 ) 4 - t < l ; - l ; 0 ) , t é E
de m odo qué dicho, plano sea tangente a la superficie x 2 + y 2 + z z — 1 = 0
(dos so luciones)
Sugerencia. U sa r la condic ión d (C ; Q ) = 1 donde C (0 ; 0 ; 0 )
R. Qt i 2 x .+ 2y - z - 3 = 0, Qz \ 4x + 4 y - 7 z + 9 = 0
10. U n plano contiene a la recta L: 6 x = 2 y = - 3 z e interseca a la esfera
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x — 4 y — 1 0 z + 5 = 0 en una circunferencia de radio 3.
Halle la ecuación del plano (dos soluciones).
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De m anera sim ilar a la d iscusión que se efectúa en la ecuación de una curva plana,
en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente su
ecuación antes de construir su gráfica. Para discutir la ecuación E ( x ; y; z ) = 0 de una superficie se siguen los siguientes pasos:
I) In te rse cc ión con los ejes coordenados. So n las intersecciones de la superficie con cada uno de los ejes coordenados.
i) Con el eje x. Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
ii) Con el eje y . Se reemplaza x - z = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
iii) Con el eje z. Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
II) T razas sobre los planos coordenados. L a traza de una superficie es una
curva form ada por la intersección de la superficie con el plano coordenado.
A s í, las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente manera
i) Con el plano x y . Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie se analiza la ecuación resultante.
ii) Con el plano y z . Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
iii) Con el plano x z. Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
I I I ) T razas en los planos paralelos a los planos coordenados. So n las
intersecciones de la superficie con p lanos paralelos a los planos coordenados.
i) Con planos paralelos al plano xy. Se reemplaza z = k en la ecuación
de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
ii) Con planos paralelos al plano xz. Se reemplaza y - k en la ecuaciónde la superficie y se analiza la ecuación resultante.
iii) Con planos paralelos al plano yz. Se reemplaza x — k en la ecuaciónde la superficie y se analiza la ecuación resultante.
IV ) Extensión de una superfìcie Se entiende por extensión de la superficie a
los intervalos de variación, en los cuales las variables x, y A z tienen valores reales.
SU PER F IC IE S
7.2 D IS C U S IÓ N Y G R Á F IC A DE LA E C U A C IÓ N D E UNA S U P E R F IC IE
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SUPERFICIES
V ) S im e tr ía s con respecto a los p lanos coordenados, a lo s ejes co o rde n ado s
y a l origen. Se dice que dos puntos P y Q son sim étricos con respecto a un
plano, si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto
medio.
Por otro lado, se dice que una superficie es sim étrica con respecto a un
plano, cuando el plano es perpendicular al segmento que une dos puntos de
la superficie en su punto medio.
Observación 3
Si P(x; y ; z ) es un punto del espacio, entonces tenemos
a) El simétrico de P con respecto al plano x y es Q(x\ y ; —z)
■ b) El simétrico de P con respecto al plano x z es Q(x\ — y ; z )
c) El simétrico de P con respecto al plano y z es Q (—x \ y , z )
d) El simétrico de P con respecto al eje x es Q (x ; —y ; —z )
e) El simétrico de P con respecto al eje y es Q (—x; y; — z )
f ) El simétrico de P con respecto al eje z es Q (—x ; —y ; z )
g) El simétrico de P con respecto al origen es Q {~ x \ — y; — z)
Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si e l simétrico de cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia superficie.
Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la superficie.
De acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la siguiente tabla:
Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se reemplaza
La superficie es simétrica con respecto al
x p or —x Plano y z
y p or - y Plano x z
z por —z Plano x y
z por - z A y por —y E je x
x p or —X A z p or —z Eje y
x p or —X A y por - y Eje z
x p or - x A y por - y A z p o r - z origen
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SU PER F IC IES
V I) C onstrucción de la superficie (gráfica). C o n la ayuda de los pasos
anteriores se construye la gráfica de la ecuación de una superficie.
E je m p lo 5 D iscu tir y graficar la ecuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0
Solución
I. Intersecciones con los ejes
i) C on el eje x: haciendo y = z = 0 en la ecuación se obtiene 9 x 2 = 0,
entonces x = 0. L a superficie interseca al eje x en el origen de coordenadas.
A l estudiar las otras intersecciones se com prueba que el origen es el único punto de intersección.
II. T razas sobre los planos coordenados
i) Sobre el plano x y . H aciendo z = 0 se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 0. Estaecuación, en el plano x y , representa al origen de coordenadas.
ii) Sobre el plano xz. Se hace y = 0 y se obtiene 9 x 2 - 1 2 z = 0. Esta
ecuación, en el plano x z , representa a una parábola.
iii) Sobre el plano y z . Haciendo x = 0 se tiene la parábola 4 y 2 - 1 2 z = 0
III. T razas en los planos paralelos a los planos coordenados
i) C on planos paralelos al plano xy . Haciendo z = k en la ecuación de la
superficie se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 12fc. Se observa que hay intersección
solamente cuando k > 0 (si k = 0 es un punto, si k > 0 es una elipse).
ii) C on p lanos paralelos al plano xz. Reemplazando y = k en la ecuación
de la superficie se obtiene 9 x 2 - 1 2 z + 4 k 2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola V k G R.
iii) C on p lanos paralelos al plano y z . Reem plazando x = k en la ecuación
se tiene 4 y 2 - 1 2 z + 9 k 2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola V f e E M.
IV. Extensión
La ecuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0 está definida
Vx G R (de I I I - iii), V y G ñ (de I I I - ii) y V z G [0; +oo ) (de I I I - i).
V. Sim etrías
A l reemplazar x p o r —x en la ecuación de la superficie se observa que esta
no varía, es decir, la superficie es simétrica con respecto al plano y z . D e
manera sim ilar, la superficie es simétrica con respecto al plano x z y al eje z.
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r r - SUPERFICIES
VI. Gráfica
1.a gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 7.6 y se llama paraboloide elíptico.
Ejemplo 6 D iscutir y graficar la superficie cuya ecuación es y 2 - 4 y 4- 2z = 0
Solución
I. Intersección con los ejes
i) C on el eje x. Haciendo y = z = 0 se obtiene 0 = 0, esto sign ifica que
todo punto del eje x satisface la ecuación de la superficie, es decir, la
intersección de la superficie con el eje x es el eje x.
ii) C on el eje y. S i x = z = 0 => y 2 - 4 y = 0 => y = 0 V y = 4.
Luego, las intersecciones con el eje y son los puntos
P1( 0 ; 0 ; 0 ) y P2 ( 0 ;4 ; 0 )
iü) C on el eje z. S í x = y = 0 => 2 z = 0 <=> z = 0. A s í, la intersección
con ele eje z es el origen de coordenadas.
II. T razas sobre los planos coordenados
i) Sobre el plano xy . La s trazas son las rectas y = 0 (eje x ) e y = 4
(recta paralela al eje x).
ii) Sobre el plano xz. L a traza es la recta z = 0 (e jex).
iíi) Sobre el plano yz. La traza es la parábola y 2 — 4 y + 2 z = 0
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i) C on p lanos paralelos al plano xy.
z = k => y 2 — 4 y + 2k = 0 ==> y = 2 ± V 4 — 2 k
Existe intersección para k < 2 (Para k = 2 es una recta, para k < 2son dos rectas paralelas)
ii) C o n p lanos paralelos al plano xz. y = k => 2 z - 4k - k 2, es una recta
V k e M
iii) C on p lanos paralelos al plano y z . x = A: => y 2 - 4 y + 2 z = 0 , es una
parábola, V fc 6 IR
IV . E x te n sió n
L a ecuación y 2 - 4 y + 2 z = 0 está definida V x 6 l (de I I I - iii), V y £ E
(de 111- ii) y V z 6 (— oo; 2] (de 111- ii).
V. S im e tr ía s
Existe simetría con respecto al plano y z .
V I. G rá f ic a
En la Fig. 7.7 se muestra la parte de la superficie que se encuentra en el
primer octante. L a superficie se denom ina c ilin d ro parabó lico .
E J E R C I C I O S
E n cada uno de los siguientes ejercicios efectúe la d iscusión y trace la gráfica de
la superficie representada por las ecuaciones dadas.
TO PICO S DE CALCULO - VOLU M EN II
l l i . Trazas en lo s p la n o s p a ra le lo s a lo s p la n o s c o o rd e n a d o s
1. 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 (elipsoide)
2. x 2 + y 2 - z 2 - 0 (cono circular)
*»4 . X 2 + z 2 - 4 y = 0 (Paraboloide de revolución o circular)
4, y 2 - x 3 = 0 (C ilindro )
5. 9 x 2 - 4y 2 - 4 z 2 = 36 (H iperboloide circular de dos hojas)
6. 9 x 2 - 4y 2 + 4 z 2 = 36 (H iperboloide elíptico de una hoja)
7. y 2 - x 2 = 2z (Paraboloide hiperbólico)
8. x 2 + y 2 + z 2 = 4 (esfera)
9. y 2 - x 2y = 0
10. z = |y|
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SU PERFICIES
Un cilindro es una superficie generada por una recta que se m ueve a lo largo de
una curva plana dada, permaneciendo siempre paralela a una recta fija que no está
en el plano de dicha curva. L a recta que se mueve se llama generatriz del cilindro y la curva plana se llama directriz del cilindro.
S i la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro
es llamado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.
S i la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.
En lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados.
7.3 C IL IN D R O S
Supongam os que la directriz está en el plano x y (F ig. 7.8). Luego, su ecuación es
de la form a E ( x ; y ) = 0 A z — 0. S i P ( x ; y ; z ) es un punto del cilindro cuya
generatriz tiene por vector dirección al vector a — ( a x; a 2; a 3) y si P0 ( x '; y '; 0 )
es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa por P, entonces
E ( x ' , y ' ) = 0 , z ' = 0 ( a )
La ecuación de la recta que pasa por P y P0 es:
x - x' y — y ' z — z'--------- = ------ i - = -------- ( £ )
«, a z a 3
De (a ) y (/í), elim inando las variables x ' , y ' y z ' se obtiene la ecuación del cilindro.
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E j e m p lo ? H a lle la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva y 2 = 4x A z = 0 y a = (1 ; — 1; 1 ) es el vector dirección de la generatriz.
So lu c ión
Sea P (x - ,y ; z ) un punto del cilindro y
P0( x ' ; y ' ; z ' ) la intersección de la directriz
con la generatriz que pasa por P, entonces
la ecuación de dicha generatriz es
x - x' y — y' z - z'(a)
TOPICO S DE CA LCU LO - VOLU M EN II
1 - 1 1
C om o PQ es un punto de la directriz,
entonces se tiene
y ' 2 = 4x' A z ' = 0 (/?)
Reem plazando z ’ — 0 en (a) se obtiene:
x — x ' = z A y — y ' = —z
D e donde x ' = x — z A y ' 2 = {y + z ) 2. Reem plazando festos valores en
y ' 2 = 4x ' se obtiene ( y + z ) 2 - 4{x - z).
Por tanto, la ecuación de la superficie cilindrica es ( y + z ) 2 = 4{x - z )
Este c ilindro se llam a c ilin d ro p a rab ó lico ob licuo. E n la Fig. 7.9 se muestra su
gráfica (para z > 0).
E je m p lo 8 Halle la ecuación del cilindro recto cuya directriz es la curva 2\x\
z =1 + X2
A y = 0
So lu c ión
Supongam os que la generatriz que pasa por
el punto P ( x ; y ; z ) (Fig. 7.10) de la
superficie corta a la directriz en el punto
P o ( x ' : y ' ' , z ' ) , entonces la ecuación de la
generatriz (eje y ) es
x = x ' A z = z ' (a )
C om o P0 pertenece a la curva, entonces
2|x'|
= l T T 2 A y ^Reem plazando (a ) en (0 ) se obtiene
2 jx l
Z l + x 2Se observa que esta ecuación es sim ilar a la ecuación de la directriz.
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Observación 3 En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos de las tres variables x, y , z es un cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable (altante, es decir.
1) E ( x ; y ) = O representa (en el espacio) a un cilindro con:
Directriz: E(x-,y) = O A z = O
Generatriz: eje z (variable que ja ita en la ecuación)
2) E ( x ; z ) = O representa a un cilindro con
Directriz: E(x-,z) — O A y = O
Generatriz: eje y
3) E ( y \ z ) — O representa a un cilindro con
Directriz: E ( y ; z ) = O A x = O
Generatriz: eje x
E je m p lo 9 Trace la gráfica de la superficie representada por cada una de las
ecuaciones
a) x 2 + y 2 - 4 y = 0
b) z - e x = 0
c) z 2 - y 3 = 0
d) x 2 = ( y + l ) y 2
So lu c ión
Las gráficas se muestran en las figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14
SU PERF IC IES
f ¡9 7 11
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Topiros nr r \ i m n - voi i 'm fn u
E JE R C IC IO S
I. E n cada uno de los siguientes ejercicios halle la ecuación del c ilindro usando las ecuaciones de la directriz y el vector d irección de la generatriz.
1. x 2 + 4 y = 1 A z = 0 , a = (1; 1; 3 )
R. 9 x 2 + z 2 - ó x z - 3 6 y 4- 1 2z = 0
2. y 2 ~ z 2 = 1 A x = 0 , d = ( - 1 ; 1; 2)
3. x 2 + y = 1 A z = 0 , a = (2; 1 ;0)
II. Esboce la gráfica de la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones
1. y 2 — 2 y + 4 = z
2. y = c o s x , x e [0; An]
3. y 3 = x 2
4. x 2 - y 2 = 1.
5. 4 x 2 + y 2 — 4
6. y = l n x
8. y 2 = 4 z
9. z = x e x
n n1 0 .y = t a n z , z e < ~ 2 : 2^
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SU PERFIC IES
7.4 S U P E R F IC IE S D E R E V O L U C IÓ N
La superficie generada por la rotación de
una curva plana alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva, se
llama superficie de revolución. L a recta
fija se llama eje de revolución y la curva
plana se llama cu rva generadora.
S i por un punto cualquiera P ( x ; y ; z ) se
traza un plano perpendicular al eje de
revolución, la intersección de la superficie
con d icho plano es una circunferencia
(Fig. 7.15).
S i C es el punto de intersección del plano con el eje de revoluc ión L y Q es el
punto de intersección con la curva generadora, entonces se verifica
d{P-,C) = d ( Q ,C )
A la ecuación generada por esta igualdad se denom ina ecuación de la superficie de revolución.
En lo que sigue, se considera que la curva generadora está contenida en un plano
coordenado o en un plano paralelo a un plano coordenado.
Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la form a de la ecuación de una superficie de revolución generada por una curva que se encuentra en un plano coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.
Ecuación de la curva
generadora
Eje de
revolución
Ecuación de la superficie de
revolución
oIIxIIN eje y x 2 + z 2 = [ / ( y ) ] 2
* = / ( y ) , z = o eje y x 2 + z 2 = [ f ( y ) ] 2
y- = / ( * ) , y = 0 eje x y 2 + z 2 — [ f { x ) Y
y = f ( x ) , z = 0 eje x y 2 + z 2 — [ / ( x ) ] 2
y = / ( z ) , x = 0 e j e z x 2 + y 2 = [ / ( z ) ] 2
x = A * ) . y = 0 e j e z x 2 + V 2 = í f ( z ) ] 2
Fig. 7.15
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TO PICO S DE CALCULO - VOLU M EN II
Dem ostrem os la prim era fórm ula de la
tabla, donde la ecuación de la curva
generadora es C: z = / ( y ) , x - 0 y el
eje de rotación es el eje y.
Sea P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera de la
superficie de revolución. S i Q es el punto
de intersección del plano perpendicular al
eje y que pasa por P con la curva
generadora y C es el punto de intersección
de d icho plano con el eje y, entonces
<2(0;y;/(y)) y c ( 0 ; y ; 0 )
Luego, de la defin ic ión de la superficie de revolución resulta
d(P; C) = D(Q; C) <=> J x 2 + z 2 = |/(y)| <=> x 2 + y 2 = [ f ( y ) ] 2
E n los otros casos, la dem ostración es similar.
Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O '( x 0; y 0; z0),
las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las siguientes formas:
i) (x - x 0) 2 + ( z - z 0) 2 = [ / ( y - y 0) ] 2
¡O (y " yo)2 + (z - z0)2 = [/(* - *0)]2iii) (x - x 0) 2 + ( y - y 0) 2 = [/ ( z - z0) ] 2
E je m p lo 10 E n cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la
curva generadora y el eje de revolución L, determine la ecuación de la superficie de revolución y esboce su gráfica.
a) C: z = e y , x = 0 ; L: e je y
b) C: z = e v , x = 0 ; L: e je z
c) C: z 2 - 4 y 2 = 1, x = 0 ; L: e je y
2\x\d ) C : z = Y + x 2 ' y = 0 ' L: eJe x
e) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je x
f) C: y - x 2, z = 0 ; L: e je y
So lu c ió n
Fia. 7.16
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SU PERFIC IES
a) C: z = e y , x = O ; L: e je y
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = e 2y.
L a gráfica se muestra en la F ig. 7.17
b) C: y = l n z , x = 0 ; L\ e je z
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + y 2 = ln2z.
L a gráfica se muestra en la Fig. 7.18
c) E n este caso, C: z = J 1 + 4 y 2, x = 0 ; L: e je y
L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 - 1 + A y2
L a gráfica se muestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se llam a h ipe rb o lo id e derevo luc ión o h ipe rbo lo ide c irc u la r de una hoja)
d ) c z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .
Ax2La ecuación de la superficie es y 2 + z 2 = -------- — .
( 1 + x 2) 2
La gráfica se muestra en la Fig. 7.20
e) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je x
La ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z 2 = x 4.
La gráfica se muestra en la Fig. 7.21
f) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je y
La ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = y .
La gráfica se muestra en la Fig. 7.22
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E jem p lo 11 E n cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la curva
generadora C y el eje de giro halle la ecuación de la superficie de revolución.
a) C: z = / (y ) , x = a ; L\ z = b , x - a
b) C: z = 2 y - 3, x = 5 ; L: z = - 1 , x = 5
c) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y - l ) 2 = 1, z - 3 ; L: el eje im aginario de la hipérbola
d) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hipérbola
So lu c ión
a) En la Fig. 7.23 se muestra la curva C y
la recta L en el plano x = a . Luego,
C(a; y: b ) , Q (a ;y ; / ( y ) ) y P ( x ; y ; z )
De la defin ic ión de la superficie de revolución, tenemos
d(P; C) = d(Q-,C)
Por tanto, la ecuación de la superficie de revolución es
(x - a ) 2 + (z - b Y = [/ (y ) - b ]2
Esta ecuación también puede obtenerse
trasladando previamente el origen al
punto 0 '( a ; 0 ; ¿ ) .
b) ( x — 5 ) 2 + (z + l ) 2 = ( 2 y — 2 ) 2 (cono de revolución o cono circular)
( y + 1 )2c) (x + 2 )2 + (z — 3 ) 2 -------- ------ = 1 (h iperboloide circu lar de una hoja)
4
d) ( y + l ) 2 + (z - 3 ) 2 = 4 ( x + 2 ) 2 - 1 ó
4 ( x + 2 ) 2 — ( y + l ) 2 — (z — 3 ) 2 = 1 (hiperboloide circular de dos hojas)
E jem p lo 12 En cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es una
superficie de revolución. Luego, determine el eje de revolución y la ecuación de la curva generadora.
a) x 2 = 5 + z 2 — y 2
b) 2 x 2 + 4 z 2 + y 2 = 1
c) x 2 + 2 y 2 4- 2 z 2 — 4 x 4- 8 y — 4 z — 4 = 0
d) 2 x 2 4 2 z 2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0
So lu c ión
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lU l ' I L U ^ U t L A IX U L U - V O L U M b N H
a) x 2 + y 2 = 5 + z 2 (hiperboloide circular de una Jioja)
i) Eje de revolución L: x - 0, y — 0 (e jez)
ii) C u rva generadora C: x = 0, y = v 5 -f z 2 ó y = 0 , x = V 5 + z 2 (hipérbola)
b) N o es una superficie de revolución (n inguna de las trazas en los planos
paralelos a los p lanos coordenados es una circunferencia).
(x — 2)2c) ( x + 2 ) 2 + (z - l ) 2 = 9 --------------- (e lip so id e de re vo lu c ió n o e sfe ro ide )
i) Eje de revolución L: x = —2 , z = 1
18 - (x - 2 ) 2ii) Curva generadora C: x = —2, z - 1 +
N
d) (x + l ) 2 + (z - l ) 2 = - 1 (p a rabo lo ide c ircu la r)
(e lipse)
i) Eje de revolución L: x - — 1, z = 1
y¡~ 2ii) Curva generadora C:x = — 1, z = l + (parábola)
7.5 S U P E R F I C I E S C U A D R A T I C A S
U na supe rfic ie cu ad rá tica o simplemente cuád rica es la gráfica de una ecuación
de segundo grado en las variables x ,y ,z .
A lgu n a s superficies c ilindricas o superficies de revoluc ión son ejemplos de
cuádricas. En ésta sección se presentará algunas form as usuales de las superficies
cuadráticas cuyas ecuaciones están en su form a m ás sim ple (fo rm a canónica).
Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una
superficie, nos lim itarem os a describir algunas propiedades de estas superficies.
7.5.1 E L I P S O I D E
L a form a canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es
x 2 y 2 z 2 a2 ^ b 2 + ^2 = 1
donde a, b y c son núm eros reales positivos. Adem ás, los intervalos de variación
de las variables x, y a z son
x £ [ - a ; a], y 6 [ - b ; b] A z e [ - c ; c]
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SU PERFICIES
Si a ¿ = b 2 = c 2, la superficie es una esfera.
S i a 2 = b 2 (ó b 2 = c 2, ó a 2 = c 2) la superficie es un e lip so ide de re vo lu c ióno esferoide. U n esferoide cuyo tercer número es m ayor que los dos núm eros
iguales, se llama esfero ide a la rgado. (L a elipse que la genera g ira alrededor de su
eje mayor). S i el tercer número es menor que los dos núm eros iguales, se llama esferoide acha tado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).
Las trazas en los p lanos paralelos a los planos Coordenados son elipses o
circunferencias. (E n los planos x ~ ¿ a , y = + b , z — + c se reduce a un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen de coordenadas.
La gráfica del e lipsoide se muestra en fá Fig. 7.24
La forma ordinaria de la ecuación del elipsoide con centro C ( h ; k ; l ) es
(1, _ lr\2 fr* I\2■ * ) , ( y - * ) 2- . 0 - - 0 2 ñ-------i---------------- 1--------:—
7.5.2 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E U N A H O J A
La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el origen es
x y “-
ñ 2 + b 2= 1
x 2 y 2 ~ü~ ~ +V a ¿ b 2 c
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.25 se muestra la gráfica de
z 2 x 2 y= 1 ó - - T +
b 2z
+ - r = 1
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Los intervalos de variación de las variables x, y A z son
x 6 ( - 00; - a ] U [a; + 00), y e (— 00; - b ] U [fe; + 00) y z £ < - 00; + 00)
Si a 2 = b 2, es una superficie de revolución (hiperboloide circu lar de una hoja)
Si a 2 & b 2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una hoja, las trazas en los planos paralelos al plano x y son elipses o circunferencias según sea el caso en que
a 2 b 2 ó a 2 = b 2
Las trazas en los planos paralelos a los planos x z e yz son hipérbolas, (en los planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el punto C(h) k; l) es
(x - h) 2 (y - k)2 (z - O 2
a2 b2 c2 1
7.5.3 H IP E R B O L O ID E E L ÍP T IC O ( C IR C U L A R ) D E D O S H O J A S
La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el origen es
x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z 2 , x 2 y 2 z 2
~ a 2 + b 2 ~ 7 2 = 1 \ ° ^ 2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 ° ~ á 2 ~ b 2 + c 2
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.26 se muestra la gráfica de
x 2 y 2 z 2 ~~¿2 + ¥ ~ c 2 = 1
Los intervalos de variación de las variables x ,y A z para estasuperficie son
x £ ( - 00; + 00),
y £ (— 00; -b] U [b; +co) y
Z £ ( - 00; + « > )
TO PICO S DE CALCULO - VOLU M EN II
A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie
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SUPERFICIES
S i a 2 = c 2, es una superficie de revolución (h ipe rbo lo ide c ir c u la r de do s hojas)
Si a 2 c 2, la superficie es el h ipe rbo lo ide elíptico de dos hojas.
Las trazas en los p lanos paralelos al plano x z son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = c 2 ó a 2 c 2. (En el plano y = b es un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el
punto C(ft; k\ í) es
(x - h ) 2 | (y - fe)2 (z - Q 2 _ ^
Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.
En general cualquier ecuación de ¡a forma:
(x - h ) 2 ( y - k ) 2 (z - l ) 2± - -----r ^ ± 7-2" ± 2 = 1a 2 b 2 c 2
donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central con centro en C (h ;k ; l) .
Sí los tres signos son positivos: elipsoide
Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja
Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.
Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.
7.5.4 P A R A B O L O I D E E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )
La form a canónica de la ecuación del paraboloide con vértice en el origen es
x 2 y 2 / x 2 z 2 y 2 z 2
? + ^ = I,6 ^ + ^ = b y 6 ¥ + ^ = ax
donde a y b son núm eros positivos y c =/= 0
En la l'ig. 7.27 se muestra la gráfica de
x 2 y 2— + — = cz, con c > 0
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TO PICO S DE C A L C U L O - V O L U M E N II
S i c < 0 el paraboloide se abre hacia la
parte negativa del eje z.
Lo s intervalos de variación de las variables
x, y A z para la ecuación de esta superficie son:
x £ (— c°; + c o ) , y 6 ( — 00; + 0 0 ) y
z £ [0; + 0 0 ) ( s i c < 0, z £ ( - 0 0 ; 0])
S i a 2 = b 2 , la superficie es una superficie
de revolución (p a rabo lo id e c ircu la r)
S i a 2 & b 2, la superficie es el p arabo lo ide elíptico.
Las trazas en los p lanos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * b 2. (En el plano z = 0. la traza es un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano ‘x z y al plano y z .
La form a ordinaria de la ecuación del paraboloide con vértice en el punto V ( h ,k ; l ) es
(x - h.)2 ( y - k ) 2= c (z - i)
a 2 b 2
En los otros casos, la ecuación es de la forma
{ x - h ) 2 ( z - l ) 2 ■ H----------- b ( y - k) ó
(y - k ) 2 ( z - 0+ ■ = a (x - h)
7.5.5 P A R A B O L O I D E H I P E R B Ó L I C O ( S I L L A D E M O N T A R )
La form a canónica de la ecuación del paraboloide h iperbólico con punto de silla en el origen de coordenadas es
y -
b 2
x c
a2cz
í z 2 x 1 ó — - — = b y , ó
V, c L a 2z 2 y 2 \
c ‘ b 2 )
donde a y b son núm eros positivos y c i d ,
En la Fig. 7.28 se muestra la gráfica de
y 2 x 2- r r ------- - CZ , con C > 0o 2 a 2
L o s intervalos de variación para las variables x , y A / de esta superficie son
X £ ( - 0 0 , + 0 0 ) , y 6 ( - 0 0 , + 0 0 ) V Z £ ( - 0 0 , + 0 0 )
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SU PERF IC IES
l.iis secciones transversales al plano x y
son hipérbolas (En el plano z = 0 son
ilos rectas que se cortan). La$ trazas en
los planos paralelos a los planos xz e
yy. son parábolas.
lista superficie es simétrica con respecto
al eje z, al plano x z y al plano y z .
E l origen de coordenadas es el punto de
silla de esta superficie.
La forma ordinaria de la ecuación del
paraboloide h iperbólico con punto de
silla en S {h ; k\ l) es
(y ~ k ) 2 (x - h y= c ( z - l)
b 2 a 2
En los otros casos, la ecuación es de la forma
( z - / ) 2 ( x - h ) 2 „ ; (z-— 3 -------------- -5— = b ( y - k ) o —
O2 { y - k f= a ( x - h )
7.5.6 C O N O E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )
La forma canónica de la ecuación del cono con vértice en el origen de
coordenadas es
donde a, b y c son núm eros reales positivos.
En la Fig. 7.29, se muestra la gráfica de la superficie
x 2 y 2 z 2
a 2 + b 2 c 2
Los intervalos de variación de las variables
x, y A z son
x e 1 , y e 1 a z e E
S i a ¿ — b'¿, la superficie es de revolución
(cono c ircu la r).
S i a 2 * b 2, la superficie es el cono elíptico.
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r o n c o s DE CALCULO - VOLUM EN 11
Las trazas en los planos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * h 2. (En el plano z = 0 la traza es el origen
de coordenadas). Las trazas en los planos paralelos al plano x z y al plano y z son
hipérbolas (E n los p lanos y = 0 A x = 0 son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.
La form a ordinaria de la ecuación del cono con vértice el punto V(Iv, k\ l) es
(x - h ) 2 ( y - fe)2 _ (z - l ) 2
a - o*- c*-
En los otros casos, la ecuación es de la forma
(x - h )2 (z - Q 2 __ ( y - fe)2 . (z - Q 2 ( y - k ) 2 _ (x - h ) 2a 2 + c 2 b 2 ° c 2 + b 2 ~ a 2
E je m p lo 13 D iscutir y graficar la ecuación 9 x 2 + 4 z 2 + 9 y = O
So lu c ión
I) Intersección con los ejes coordenados: el origen de coordenadas.
II) T razas sobre los planos coordenados
i) Sobre el plano xy :
la parábola x 2 + y = O
ii) Sobre el plano yz:
la parábola 4 z 2 4- 9 y = O
iii) Sobre el plano xz:
el origen de coordenadas
II I ) T razas en planos paralelos a los
planos coordenados
A I plano xy : parábolas
A l plano y z : parábolas
A l plano xz: elipses, (para y < 0)
IV ) Extensión: x E l , y £ ( —oo; Oj, z £ K
V ) La gráfica de la superficie se muestra en la l-ig. 7.30 (paraboloide elíptico).
Fig. 7.30
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¡ f ” SUPERFICIES
F.Jcinplo 14 Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones
a) iíjfl /. + y 2z - 9 z 2 = 0
x ¿ y 2 z lz l
b ) T + T 6 — = 1
So lu c ión
a) 3 x 2z + y 2z - 9 z 2 = 0 <=> ( 3 x 2 + y 2 - 9z ) z = 0
<=> 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 ó z = 0
La ecuación 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 representa a un paraboloide elíptico.
La ecuación z = 0 representa al plano xy.
La gráfica de la ecuación ( 3 x 2 + y 2 — 9 z ) z = 0 se muestra en la Fig. 7.31
b) U tilizando la defin ición del va lor absoluto en
x 2 y 2 z \z \~ 9 + 1 6 ~ ~ 9 ~ ~ 1
se tiene
x 2 y 2 z 2S i z < 0 => '^■ + 7 7 + 7 r : = l (e lipso ide)
9 16 9
x 2 y 1 z 2S i z > 0 => — + — — — = 1 (h iperbo lo ide de una hoja)
9 16 9
x 2 y 2 z \z \La gráfica de la ecuación — + — -— = 1 se m uestra en la Fig. 7.32
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Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional, aparíe de las
rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas esféricas.
7.6.1 C O O R D EN A D A S C ILIN D R IC A S
S i P es un punto del espacio
tridim ensional y ( x ; y ; z ) son sus
coordenadas rectangulares, se define
las coordenadas cilindricas de P
com o la terna ( r ; 8 ; z ) , donde ( r ; 8 )
son las coordenadas polares de la
proyección ortogonal de P sobre el
plano x y y z es la distancia d irig ida
de (r; 0 ) a P (Fig. 7.33).
7.6.1.1 R E L A C IÓ N E N T R E LA S CO O RD EN AD AS C A R T E S IA N A S Y C ILIN D R IC A S
S i (x ; y ; z ) y ( r ; 0 ; z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las
coordenadas cilindricas de un punto P € 1R3, entonces se tiene
C artesian as en térm inos de las cilindricas
x - r eos 9, y = r se n 8, z = z
Cilindricas en térm inos de las cartesianasy
tan 9 = - , r 2 = x 2 + y 2, z = z x
Observación 7
a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 0 < 2n A z E l
b) Las coordenadas cilindricas del origen son ( 0 ; 9 ; z ) para cualquier 8
c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas cartesianas es x 2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su ecuación es r = a.
TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
7.6 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Y C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S
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i) Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilindricas dadas
3) ( 3 ; f ; 5 j b) ( 7 ; y : - £ ) c) (1; 0; 1)
ii) Encuentre un conjunto de coordenadas cilindricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son
a) (4; 4 ; - 2 ) b) ( - 3 V 3 ; 3; 6 ) c) (1; 1; 1)
So lu c ión
i) a) S i las coordenadas cilindricas de P son (3; n / 2 ; 5 ) , entonces r = 3.
0 - n /2 y z = 5. Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas coordenadas con las cartesianas se tiene
x = 3 cos(7r/2) = 0, y = 3 s e n ( n / 2 ) = 3 y z = 5
Por tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)
Procediendo de manera sim ilar se obtiene
u- í 7 \— ; - 4 c) (1; 0; 1)
V ^ *- ¡
ii) a) Si las coordenadas cartesianas de P son (4; 4 ; - 2 ) . entcnces x = 4,y - 4 y z = 5
Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas coordenadas con las cilindricas tiene
y 4 ntan 0 = - = - = 1 => 6 = - , r ‘ = x 2 + y 2 = 32 => r = 4 V 2 , z = 5
X i 4Por tanto, las coordenadas cilindricas de P son (4 V 2 ; 7r/4 ; 5)
b) (6 ; 5n/6 ; 6) c) (V 2 ; n/4] l )
E jem p lo 16 Halle una ecuación en coordenadas c ilindricas para la superficie representada por la ecuación cartesiana
a) 2x -f y — z = 0 b) x 2 + y 2 = 4 z
c) x z - y 2 - 4 z z - 4 = 0 •
So lu c ión
Reem plazando x = r eos 0, y = r sen G y z = z, se obtiene
a) 2 r eos 6 + r sen 9 - z = 0
b) r 2 - 4 z
c) r 2 eos 2 0 - 4 z 2 - 4 = 0
s u p e r f i c i e s
r jc m p io 15
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TO PICO S DE CALCULO - VO LU M EN II
7.6 .2 C O O R D EN A D A S E S F E R IC A S
La s coordenadas esféricas de un punto
P 6 R 3, se define com o la terna
(p; 8; 0 ) , donde p representa la distancia
del punto P al origen, 0 es la m edida del
ángulo que form a el segmento OP con el
rayo positivo del eje z (el ángulo 0 se
llama co-Iatitud de P, el ángu lo n / 2 — 0
se llama latitud de P) y 0 es la medida
del ángulo que form a el rayo positivo del
eje x y el segmento OQ, donde Q es la
proyección (ortogonal) de P sobre el plano x y (F ig. 7.34) Fig. 7.34
7.6 .2 .1 R E L A C IÓ N E N T R E LA S CO O RD EN AD AS C A R T E S IA N A S Y E S F É R IC A S
S i (x ; y ; z ) y (p; 9; (p) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las
coordenadas esféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene
C artesian as en térm inos de las esféricas
Z = p COS 0
x = p sen 0 eos 8
y = p se n 0 se n 8
Esféricas en térm inos de las cartesianas yx 2 + y 2 + z 2 = p 2, x 2 + y 2 = p 2 se n 20 A - = ta n f l
Observación 8
a) Si se incluye los puntos del eje z, las restricciones
p > 0 , 0 < 8 < 2 n , O < 0 < 7 r
determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos del espacio y las coordenadas esféricas (p; 8; 0 )
b) Las coordenadas esféricas del origen son (0; 9; 0 ) , donde 8 , 0 son arbitrarios.
c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es
x 2 + y 2 + z 2 = a 2
Al transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a
371 www.FreeLibros.com
i) Encuentre las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas
rectangulares son
a) (2; 2; 2 ) b) (0; 0; — 3 )
ii) Encuentre las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas
esféricas son *
a) (3; 7t/2; 7t/4 ) b) ( 2 ; -7 r/3 ;7 r/6 )
So lu c ión
i) U tilizando las fórm ulas de transformación de coordenadas cartesianas a esféricas, tenemos
SU PERFIC IES
E je m p lo 17
a) (2 V 3 ; 7r/4; a r c c o s ( l/ V 3 ) ) b) (3; 0; zr)
ii) U sando las fórm ulas de transform ación de coordenadas esféricas a cartesianas,
se tiene
a) (0; 3 V 2 / 2 ; 3 V 2 / 2 ) b) ( l / 2 ; - V 3 / 2 ; V 5 )
E J E R C I C I O S
1. Encuentre coordenadas esféricas para los siguientes puntos especificados por sus coordenadas rectangulares
a) (4; 2 ; - 4 ) b) ( 1 ; - V 3 ; 4 )
c) (1; 1; 1 ) d) (2; 0; 2 )
2. Halle las coordenadas cilindricas para los puntos del ejercicio 1.
3. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas cilindricas
a) ^2; a r c c o s - ; o j b)
d ) ( - í . - í . i ) o ( ^ 2 )
4. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas esféricas
/ n n \ / n n\
b> ( 3 : r - 6 )
/ TI T l\ r TI 7T\
C> (,: 6 ' i ) d) (6: «)
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5. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas de la superficie cuya ecuación en coordenadas cartesianas es
TO PICO S D E CALCULO - VOLU M EN II
6. La s siguientes superficies están descritas en coordenadas esféricas. Encuentre sus ecuaciones rectangulares.
7. H a lle una ecuación en coordenadas esféricas, para la esfera de radio 3 con
centro en (0; 1; 0)
8. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la esfera del ejercicio 7.
9. En los siguientes ejercicios, encuentre las ecuaciones en coordenadas
cilindricas y en coordenadas esféricas para la superficie dada.
a) E l paraboloide x 2 + y 2 = 4 z b) E l h iperboloide x y = z
10. De scrib ir la superficie z = 2 r (coordenadas cilindricas), y obtener una
ecuación de la m ism a en coordenadas cartesianas.
11. H a lle una ecuación en coordenadas rectangulares(cartesianas) de la superficie
a) (x + y ) 2 = z — 5 b ) x 2z 2 = 25 — y 2z 2
d ) ax + b y + cz = x 2 + y 2 + z 2
a) co t 0 = sen 8 + eos 6
c) p = a sen 0 sen 8 d)
b) p 2 eos 2 0 = a 2
p 2 se n 20 sen 28 = a 2
z 2 = i _ ( r _ 2 ) 2
7.7 A P L I C A C I O N E S
E je m p lo 17 Ca lcu le el vo lum en del só lido lim itado por la superficie z = x 2 + y 2
y el plano z = 4
So lu c ió n _________________________________
L a ecuación z = x 2 + y 2 representa un
paraboloide circular. La s secciones
transversales perpendiculares al eje z son
c írcu los de radio r = V i (F ig. 7.35).
E l área de cada sección transversal es
A (z ) = n z , z G [0; 4]Y
Por consiguiente, el vo lum en del só lido es
x
Fig. 7.35= 8 n u 3
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SU PERFICIES
E jem p lo 19 ¿ L a ecuación x 2 + y 2 - e 2z = 0 representa una superficie de revoluc ión? Ln caso afirmativo, halle el área de la superficie com prendida entre
los planos z — 0 y z = 1 y calcule la longitud de arco de la curva generadora.
So lu c ión
x 2 + y 2 = e 2z representa una superficie de revolución. E l eje de revoluc ión es el
eje z, ( x - 0 , y = 0 ) y una curva generadora es C: y = e z, x = 0
Para determinar el área de la superficie de revolución com prendida entre los
planos z — 0 y z = 1 (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y — e z . z e [0; 1] en el plano x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (Fig. 7.37)
i
NII
0 1 ” z
Fig. 7.36
Luego, el área de esta superficie de revolución es
Fig. 7.37
~ly J1+[§] iz * i evl+e”‘¡ze V 1 + e 2 + ln |
/T ~,;— 7 i /e + Vi + e2 = - e V 1 + e 2 + ln ------------— —
2 V 1+V2La longitud de arco de la curva generadora resulta
- V 2
Haciendo la sustitución trigonométrica e z = tan 0 <=* z = ln (ta n 0 ), obtenemos
- a r c ta n e ^ ¿-arctane
------ r ------sen 0 e o s2#
4 4
/•arctan e
- I ( ese 9 + tan 9 sec 9 ) d9
lnVi + 1
- ln(V2 - l ) + V i + e2 - V 2
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 20 Calcule el vo lum en del sólido lim itado por las superficies
9 x 2 — 9 y 2 + 4 z 2 — 36x — 8 z 4- 4 = 0. y = — 1 A y = 4
So lu c ión
A l completar cuadrados en la ecuación de la
superficie se obtiene
( * 2 ) 2 + ( z - l ) 2
4 9
A si. la superficie es un hiperboloide elíptico
de una hoja cuyo centro es C ( 2 ; 0 ; l ) .
L a gráfica del só lido se muestra en la Fig.
7.38. La s secciones transversales del sólido
perpendiculares al eje y son las elipses
(.x - 2 ) z (z - l ) 2■ ■ - t - —— — — —
4
(x - 2 )2
4 1■ 4- ■
9
(z - l ) 2
9 1
= 1 + :
1, donde t =4 4- y 2
Luego, el área de la elipse (sección transversal) es
/ 4 4- y 2A (y ) = í r ( 2 V t ) ( 3 V t ) = 6 n : (— - — y 6 [ - 1 : 4 ]
U sando el método de secciones transversales, el vo lum en del só lido es
- 4 3 r4j A ( y ) d y = - n J (4 + y 2) d y =
E je m p lo 21 Calcule el vo lum en del sólido lim itado por la superficie
y 2 4- z 2 - 2 se n 2* - 2 sen * - c o s 2x = 0 y los planos x = 0 y x = n /2 .
So lu c ión
L a ecuación se puede escribir com o y 2 + z 2 = ( s e n x 4- l ) 2. Esta ecuación
representa una superficie de revolución cuyo eje de giro es el eje x.
L a sección transversal del só lido perpendicular al eje x es el circulo
y 2 4- z 2 = (sen x + l ) 2, x £ jo;- ]
A sí, el área de la sección transversal es
A (x ) = 7r(señx 4 -1)2. x e [0 ; - |
Por consiguiente, el vo lum en del só lido resulta
f n/ z f 1 , ít(37t 4- 8)V(S) = I A {x ) d x ~ n (sen x 4-1)2 dx = -------
jo 'ou
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SU PERFICIES
E jem plo 22 C a lc u le e l v o lu m e n d e l s ó l id o l im i ta d o p o r la s s u p e r f i c ie s
o - x , y2 Z — —— b —— 4 9
y — * 4
= z 2
So lu c ión
x yLa ecuación 2z = — + — representa
representa a un paraboloide con vértice en el origen y la ecuación „2 ,,2
representa a un cono conx . y 2 T + T = zrepresenta a un cono con vértice en el origen.
Estas superficies se intersecan cuando
L a sección transversal del sólido,
perpendicular al eje z, es el anillo
elíptico cuya área es
A (z ) = 7 r ( V 8 z ) ( V l 8 z ) - n ( J a z 2) ( V 9 ? ) = I 2 n z - 6 n z 2, z 6 [0; 2]
Por lo tanto, el vo lum en del só lido es
y ( S ) = í (127TZ — 6 n z 2) d z = 8n u 3 ■>o
E je m p lo 23 U n só lido está lim itado por las superficies
1S i : p = - cot <p ese (p (en coordenadas esféricas)
S2: z = 3 (en coordenadas c ilindricas)
Bosqueje la gráfica y calcule el vo lum en del sólido.
So lu c ión
Utilizando las relaciones entre las
coordenadas esféricas y las coordenadas
cartesianas: z — p eos (p,
y = p sen (p sen 0. x = p sen (p cos:0 se
tiene x z + y 2 = p 2 s e n 2(p.
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De la ecuación de resulta
cosrf) -, -, , ,,3 p = ----- r—- <=> 3 p 2 se n 2<p = p eos cp => 3 0 " + y ) = z
sen ¿q)
Esta ecuación representa a un paraboloide circular.
Por otro lado, la ecuación cartesiana de S2 es z = 3.
L a gráfica del só lido se muestra en la Fig. 7.40. L a s secciones transversales del
sólido, perpendiculares al eje z, son círculos de radio r = *Jz~/3. A s í, el área de
la sección plana es
A (z ) = y , z 6 [0; 3]
U sando el método de secciones planas, el vo lum en del só lido resulta
f 3 n z 3n ,n s ) = Jj T * = y U
E je m p lo 24 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto Pt ( 0; - 2 ; 4 ) y
es tangente al c ilindro 5: 2 y = x 2 . E l ángulo que form a dicha recta con el plano
x y es de 30° (4 soluciones).
So lu c ión
Sea P0 (a; b; c) el punto de tangencia (Fig. 7.41 izquierda). En la vista horizontal
(visto desde arriba hacia abajo - F ig. 7.41 derecha), se tiene
TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
y + 2Pendiente de la tangente: m = (a )
d y y + 2Tam bién m = — = x. Luego, --------= x (p )
dx x
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SUPERFICIES
Por otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces
2 y = x 2 (y)
D e (y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2
S i se reemplaza m = ± 2 en (a ) se obtiene las ecuaciones de los p lanos
tangentes Qx: y + 2 = 2x y Q2: y + 2 = —2x
1. Considerando el plano tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:
P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0
P0 £ S => 2b = a 2
D e estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2
D ado que el ángu lo que form a la recta con el plano x y es 30°, entonces
l , __________ i;. - 1 1 _________l l v í l l 2 + (6 + 2 )! + (c - 4 ) 2
Reem plazando el va lor de a - 2 y b = 2, se obtiene
1 | c - 4 | 2 V l 5- = => C = 4 ± — - —4 V 2 0 + (c - 4 ) 2 3
Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son
L x: P = ( 0 ; — 2 ;4 ) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R
¿ 2 : Q = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A £ R
2. Considerando el plano tangente Q2: 2 x + y + 2 = 0, se obtienen las
soluciones:
¿ 3: P = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , t E R
L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ — 1 ; 2 ; - ^ ) , A 6 R
2 V Í5Los puntos de tangencia son (— 2; 2; 4 ± — -— )
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I. En cada uno de los siguientes ejercicios, d iscutir y graficar la superficie representada por cada ecuación
TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
E JE R C IC IO S
II. E n cada uno de los ejercicios, calcule el vo lum en del só lido lim itado por las superficies
III. Halle la ecuación de la recta L que pasa por P ^ O ; - 7 ; 3 ) y es tangente a la
superficie c ilindrica y = 5 - (x - 4 ) 2 . La recta L corta a la recta
W- P - (1; 1; 1) + t(0; 2; - 3 ) , t 6 M (dos so luc iones)
R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; -8 ) , t e R
L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l ; 4; 4), X 6 R
a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6 b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0
d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4
í) x 2 + 9 y 2 = z 2
h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1
j) x 2 + y 2 = 1 + z
I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2
c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4
e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0
g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0
i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4
k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 1 4 4 = 0
2) 8 z = x 2 + 4 y 2 , z = 1 R. (V 2 7 i ) u 3
R. ( 3 6 n )u 3
4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6 (dos soluciones)
x 2 y 2 z|z| 7) T + V -
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