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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
www.edpsciences.org
22 eurosISBN : 978-2-7598-0765-9
Théorie des systèmes dynamiques : Une introduction
Luís Barreira et Claudia Valls
Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique.
Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus spécialisés.
L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté.
Luís Barreira et Claudia Valls sont professeurs à l’Instituto Superior Técnico, à Lisbonne. Ils sont spécialistes en équations différentielles et systèmes dynamiques, domaines dans lesquels ils ont publié plusieurs livres.
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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
Luís Barreira et Claudia Valls
Théorie des systèmes dynamiques : Une introduction
Théorie des systèmes dynamiques : Une introduction
L3M1
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Théorie des systèmesdynamiques :
une introduction
Luis Barreira et Claudia Valls
Traduit par les auteurs
17, avenue du HoggarParc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France
Extrait de la publication
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Imprimé en France
ISBN : 978-2-7598-0765-9
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute re-production ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiéesdans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste etnon destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractèrescientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 etL. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avecl’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c© 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,91944 Les Ulis Cedex A
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TABLE DES MATIÈRES
Avant-Propos vii
I Notions de base 1I.1 Notion de système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Exemples pour le temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2.1 Rotations du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2.2 Applications dilatantes du cercle . . . . . . . . . . . . 5I.2.3 Endomorphismes du tore . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Exemples pour le temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.3.1 Équations différentielles autonomes . . . . . . . . . . 9I.3.2 Temps discret et temps continu . . . . . . . . . . . . . 13I.3.3 Équations différentielles sur le tore T2 . . . . . . . . . 15
I.4 Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Dynamique topologique 23II.1 Systèmes dynamiques topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.2.1 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.2.2 Temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.3 Récurrence topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3.1 Transitivité topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.3.2 Mélange topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.4 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.4.1 Notions de base et exemples . . . . . . . . . . . . . . 39II.4.2 Invariance topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.4.3 Caractérisations alternatives . . . . . . . . . . . . . . 42
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Théorie des Systèmes Dynamiques
II.4.4 Applications expansives . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III Systèmes dynamiques en basse dimension 55III.1 Homéomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.1.1 Relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III.1.2 Nombre de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.1.3 Nombre de rotation rationnel . . . . . . . . . . . . . . 61III.1.4 Nombre de rotation irrationnel . . . . . . . . . . . . . 64
III.2 Difféomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III.3 Applications de l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.3.1 Existence de points périodiques . . . . . . . . . . . . . 72III.3.2 Le théorème de Sharkovsky . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.4 Le théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . 80III.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IV Dynamique hyperbolique I 85IV.1 Ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.1.2 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IV.1.3 Continuité des espaces stables et instables . . . . . . . 92
IV.2 Ensembles hyperboliques et cônes invariants . . . . . . . . . . 96IV.2.1 Cônes et caractérisation des ensembles hyperboliques 96IV.2.2 Existence de cônes invariants . . . . . . . . . . . . . . 98IV.2.3 Critère d’hyperbolicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV.3 Stabilité des ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 104IV.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
V Dynamique hyperbolique II 109V.1 Comportement près d’un point fixe hyperbolique . . . . . . . . 109
V.1.1 Le théorème de Grobman-Hartman . . . . . . . . . . 109V.1.2 Le théorème de Hadamard-Perron . . . . . . . . . . . 117
V.2 Variétés invariantes stables et instables . . . . . . . . . . . . . 128V.2.1 Existence de variétés invariantes . . . . . . . . . . . . 128V.2.2 Structure produit locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
V.3 Flots géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134V.3.1 Géométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . 134V.3.2 Quotients par isométries . . . . . . . . . . . . . . . . 139V.3.3 Flot géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141V.3.4 Flots hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
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Table des matières
V.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
VI Dynamique symbolique 149VI.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VI.1.1 Espace de suites et décalage . . . . . . . . . . . . . . 149VI.1.2 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VI.1.3 Suites bilatérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
VI.2 Exemples de codages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VI.2.1 Applications dilatantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 154VI.2.2 Applications quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 157VI.2.3 Fer à cheval de Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
VI.3 Chaînes de Markov topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VI.3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VI.3.2 Points périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162VI.3.3 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164VI.3.4 Transitivité et mélange topologiques . . . . . . . . . . 165
VI.4 Fers à cheval et chaînes de Markov topologiques . . . . . . . . 169VI.5 Fonctions zêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171VI.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
VII Théorie ergodique 177VII.1 Notions de théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VII.2 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180VII.3 Récurrence non triviale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183VII.4 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185VII.5 Exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VII.6 Entropie métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193VII.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Bibliographie 199
Index 201
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AVANT-PROPOS
Ce livre est une introduction autonome à la théorie des systèmes dynamiques,avec un accent particulier sur le temps discret. Cela inclut les systèmes dyna-miques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsiqu’une brève introduction à la théorie ergodique. Le livre peut être utilisé commemanuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancédu premier cycle ou étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pourune étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plusavancés.
L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats formulésdans le livre sont prouvés. On a essayé que chaque démonstration soit la plussimple possible. Parfois, cela nécessite une préparation ou la restriction à classesappropriées de systèmes dynamiques, ce qui se justifie pleinement dans un coursintroductif. Le texte comprend aussi de nombreux exemples qui illustrent en détailles concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux dedifficulté.
La théorie des systèmes dynamiques est très large et très active en termesde recherche. Elle dépend aussi substantiellement de la plupart des principauxdomaines des mathématiques. Ainsi, afin de donner une vue suffisamment large,mais toujours autonome et avec une taille contrôlée, il était nécessaire de faireune sélection des sujets traités. De ce fait, certains sujets ont été exclus, notam-ment la dynamique hamiltonienne et la dynamique holomorphe. On a indiqué desréférences pour ces autres sujets qui sont des prolongements naturels de ce livre.
Luís Barreira et Claudia VallsLisbonne, avril 2013
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INOTIONS DE BASE
On introduit dans ce chapitre la notion de système dynamique, à temps discretet temps continu. On décrit aussi plusieurs exemples qui, avec d’autres exemplesintroduits au long du livre, sont utilisés pour illustrer les nouveaux concepts etles nouveaux résultats. On décrit également quelques constructions de base quidéterminent de nouveaux systèmes dynamiques.
I.1. Notion de système dynamique
Un système dynamique à temps discret est simplement une application.
Definition I.1. Une application f : X Ñ X est appelée un système dynamiqueà temps discret ou simplement un système dynamique.
On définit récursivementfn`1 “ f ˝ fn
pour chaque n P N. On écrit aussi f0 “ Id, où Id est l’application identité. Onnote que
fm`n “ fm ˝ fn (I.1)
pour m,n P N0, où N0 “ N Y t0u. Lorsque l’application f est inversible, on définitaussi f´n “ pf´1qn pour chaque n P N. Dans ce cas, l’identité (I.1) est satisfaitepour tous m,n P Z.
Exemple I.2. Soient f : X Ñ X et g : Y Ñ Y des systèmes dynamiques. On définitun nouveau système dynamique h : X ˆ Y Ñ X ˆ Y par
hpx, yq “ pfpxq, gpyqq.
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Chapitre I. Notions de base
On note que si f et g sont inversibles, alors l’application h est aussi inversible eta pour application réciproque
h´1px, yq “`f´1pxq, g´1pyq
˘.
On considère maintenant le cas du temps continu.
Definition I.3. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t ě 0 telles queϕ0 “ Id et
ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs pour tous t, s ě 0
est appelée un semi-flot. Une famille d’applications ϕt : X Ñ X pour t P R
telles que ϕ0 “ Id et
ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs pour tous t, s P R
est appelée un flot.
On dit aussi qu’une famille d’applications ϕt est un système dynamique àtemps continu ou simplement un système dynamique si elle est un flot ou unsemi-flot. Si ϕt est un flot, alors
ϕt ˝ ϕ´t “ ϕ´t ˝ ϕt “ ϕ0 “ Id.
Donc, chaque application ϕt est inversible et a pour application réciproque ϕ´1t “
ϕ´t.Un exemple simple d’un flot est un mouvement de translation avec vitesse
constante.
Exemple I.4. Soit y P Rn. On considère les applications ϕt : Rn Ñ Rn définies par
ϕtpxq “ x` ty pour t P R et x P Rn.
On a ϕ0 “ Id et
ϕt`spxq “ x ` pt ` sqy“ px ` syq ` ty “ pϕt ˝ ϕsqpxq.
Donc, la famille des applications ϕt est un flot.
Exemple I.5. On considère les flots ϕt : X Ñ X et ψt : Y Ñ Y , pour t P R. Lafamille des applications αt : X ˆ Y Ñ X ˆ Y définies pour chaque t P R par
αtpx, yq “`ϕtpxq, ψtpyq
˘2
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I.2. Exemples pour le temps discret
est aussi un flot. En outre,
α´1t px, yq “
`ϕ´tpxq, ψ´tpyq
˘.
On souligne que l’expression système dynamique est utilisée à la fois pour lessystèmes dynamiques à temps discret et les systèmes dynamiques à temps continu.
I.2. Exemples pour le temps discret
On décrit dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques àtemps discret.
I.2.1. Rotations du cercle
On considère d’abord les rotations du cercle. Le cercle est défini ici par S1 “R{Z, c’est-à-dire que S1 est obtenu à partir de la droite réelle en identifiant lespoints x, y P R tels que x´ y P Z. Autrement dit,
S1 “ R{Z “ R{„,
où „ est la relation d’équivalence dans R définie par x „ y ô x ´ y P Z. Lesclasses d’équivalence, qui sont les éléments de S1, peuvent être écrites sous laforme
rxs “�x `m : m P Z
(.
En particulier, on peut introduire les opérations
rxs ` rys “ rx` ys et rxs ´ rys “ rx´ ys.
On peut aussi identifier S1 avec r0, 1s{t0, 1u, où les extrémités de l’intervalle r0, 1ssont identifiées.
Definition I.6. Soit α P R. On définit la rotation Rα : S1 Ñ S1 par
Rαprxsq “ rx` αs
(voir la figure I.1).
On écrit aussiRαpxq “ x` α mod 1,
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Chapitre I. Notions de base
1
1
α
x
Rαpxq
Figure I.1. Rotation Rα.
en identifiant rxs avec son représentant dans l’intervalle r0, 1r. L’applicationRα pourrait aussi être appelée une translation de l’intervalle. On observe queRα : S1 Ñ S1 est inversible et son application réciproque est R´1
α “ R´α.On introduit maintenant la notion de point périodique.
Definition I.7. Soit q P N. Un point x P X est dit q-périodique pour une appli-cation f : X Ñ X si f qpxq “ x. On dit aussi que x P X est un point périodiquepour f s’il est q-périodique pour un certain q P N.
En particulier, les points fixes, c’est-à-dire les points x P X tels que fpxq “ xsont q-périodiques pour tout q P N. En outre, un point q-périodique est kq-périodique pour tout k P N.
Definition I.8. On dit qu’un point périodique a pour période q s’il est q-périodique mais n’est pas l-périodique pour tout l ă q.
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I.2. Exemples pour le temps discret
On considère maintenant le cas particulier des rotations du cercle Rα. Onvérifie que leur comportement est très différent selon que α est rationnel ou irra-tionnel.
Proposition I.9. Soit α P R.
1. Si α P RzQ, alors Rα n’a pas de point périodique.
2. Si α “ p{q P Q avec p et q premiers entre eux, alors tous les points de S1
sont périodiques pour Rα et ont pour période q.
Démonstration. On note que rxs P S1 est q-périodique si et seulement si rx`qαs “rxs, c’est-à-dire si et seulement si qα P Z. Les deux propriétés dans la propositiondécoulent facilement de cette remarque.
I.2.2. Applications dilatantes du cercle
On considère dans cette section une autre famille d’applications de S1 danslui-même.
Definition I.10. Soit m ą 1 un entier. L’application dilatante Em : S1 Ñ S1 estdéfinie par
Empxq “ mx mod 1.
Par exemple, pour m “ 2 on a
E2pxq “
#2x si x P r0, 1{2r,2x´ 1 si x P r1{2, 1r
(voir la figure I.2).On détermine maintenant les points périodiques pour l’application dila-
tante Em. Puisque Eqmpxq “ mqx mod 1, un point x P S1 est q-périodique siet seulement si
mqx´ x “ pmq ´ 1qx P Z.
Donc, les points q-périodiques pour l’application Em sont
x “p
mq ´ 1, pour p “ 1, 2, . . . ,mq ´ 1. (I.2)
En outre, le nombre nmpqq de points périodiques pour Em de période q peut êtrecalculé facilement pour chaque q (voir le tableau I.1 pour q ď 6). Par exemple, siq est premier, alors
nmpqq “ mq ´m.
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Chapitre I. Notions de base
1
112 x
E2pxq
Figure I.2. Application dilatante E2.
Tableau I.1. Nombre nmpqq de points périodiques pour Em de période q.
q nmpqq1 m´ 12 m2 ´m “ m2 ´ 1 ´ pm´ 1q3 m3 ´m “ m3 ´ 1 ´ pm´ 1q4 m4 ´m2 “ m4 ´ 1 ´ pm2 ´ 1q5 m5 ´m “ m5 ´ 1 ´ pm´ 1q6 m6 ´m3 ´m2 `m
I.2.3. Endomorphismes du tore
On considère dans cette section une troisième famille de systèmes dynamiquesà temps discret. Soit n P N. Le n-tore ou simplement le tore est défini par
Tn “ Rn{Zn “ Rn{„,
où „ est la relation d’équivalence dans Rn définie par x „ y ô x ´ y P Zn. Leséléments de Tn sont donc les classes d’équivalence
rxs “�x` y : y P Zn
(,
avec x P Rn. Soit maintenant A une matrice de dimension pn, nq à coefficientsdans Z.
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I.2. Exemples pour le temps discret
Definition I.11. L’endomorphisme du tore TA : Tn Ñ Tn est défini par
TAprxsq “ rAxs pour rxs P Tn.
On dit aussi que TA est l’endomorphisme du tore induit par A.
Puisque A est une application linéaire,
Ax ´Ay P Zn lorsque x´ y P Zn.
Cela montre que Ay P rAxs lorsque y P rxs et, donc, TA est bien défini.En général, l’application TA n’est pas nécessairement inversible, même si
la matrice A est inversible. Lorsque TA est inversible, on dit aussi qu’elle estl’automorphisme du tore induit par A. On représente sur la figure I.3 l’automor-phisme du tore T2 induit par la matrice
A “ˆ
2 11 1
˙.
r0, 1s2
r0, 1s2
Apr0, 1s2q
Apr0, 1s2q
Figure I.3. Un automorphisme du tore T2.
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Chapitre I. Notions de base
On détermine maintenant les points périodiques pour une classe d’automor-phismes du tore.
Proposition I.12. Soit TA : Tn Ñ Tn un automorphisme du tore induit par unematrice A sans valeur propre de module 1. Alors les points périodiques pour TAsont les points de coordonnées rationnelles, c’est-à-dire les éléments de Qn{Zn.
Démonstration. Soit rxs “ rpx1, . . . , xnqs P Tn un point périodique. Alors il existeq P N et y “ py1, . . . , ynq P Zn tels que Aqx “ x` y, c’est-à-dire,
pAq ´ Idqx “ y.
Puisque A n’a pas de valeur propre de module 1, la matrice Aq ´ Id est inversibleet on peut écrire
x “ pAq ´ Idq´1y.
En outre, puisque les coefficients de Aq ´ Id sont des nombres entiers, chaquecoefficient de pAq ´ Idq´1 est un nombre rationnel et donc x P Qn.
On suppose maintenant que rxs “ rpx1, . . . , xnqs P Qn{Zn et on écrit
px1, . . . , xnq “ˆp1
r, . . . ,
pnr
˙, (I.3)
où p1, . . . , pn P t0, 1, . . . , r ´ 1u. Puisque les coefficients de A sont des nombresentiers, pour chaque q P N, on a
Aqpx1, . . . , xnq “ˆp11
r, . . . ,
p1n
r
˙` py1, . . . , ynq
pour certains p11, . . . , p
1n P t0, 1, . . . , r ´ 1u et py1, . . . , ynq P Zn. Mais puisque le
nombre de points de la forme (I.3) est rn, il existe q1, q2 P N avec q1 ‰ q2 tels que
Aq1px1, . . . , xnq ´Aq2px1, . . . , xnq P Zn.
En supposant, sans perte de généralité, que q1 ą q2, on obtient
Aq1´q2px1, . . . , xnq ´ px1, . . . , xnq P Zn
(voir l’exercice I.12) et donc T q1´q2A prxsq “ rxs.
L’exemple suivant montre que la proposition I.12 ne peut être étendue à toutendomorphisme du tore.
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I.3. Exemples pour le temps continu
Exemple I.13. Considérons l’endomorphisme du tore TA : T2 Ñ T2 induit par lamatrice
A “ˆ
3 11 1
˙.
On remarque que TA n’est pas un automorphisme puisque detA “ 2 (voir l’exer-cice I.12). On observe maintenant que
TA
´0,
12
¯“
´12,12
¯, TA
´12,12
¯“ p0, 0q et TAp0, 0q “ p0, 0q.
Cela montre que les points de coordonnées rationnelles p0, 1{2q et p1{2, 1{2q nesont pas périodiques. D’autre part, les valeurs propres 2 `
‘2 et 2 ´
‘2 de A ont
des modules différents de 1.
I.3. Exemples pour le temps continu
On donne dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques àtemps continu.
I.3.1. Équations différentielles autonomes
On considère d’abord des équations différentielles (ordinaires) autonomes,c’est-à-dire des équations différentielles qui ne dépendent pas explicitement dutemps. On vérifie qu’elles donnent lieu naturellement à la notion de flot.
Proposition I.14. Soit f : Rn Ñ Rn une fonction continue telle que, pour chaquex0 P Rn, le problème de Cauchy #
x1 “ fpxq,xp0q “ x0
(I.4)
a une solution unique xpt, x0q définie par t P R. Alors la famille des applicationsϕt : Rn Ñ Rn définies pour chaque t P R par
ϕtpx0q “ xpt, x0q
est un flot.
Démonstration. Pour chaque s P R, considérons la fonction y : R Ñ Rn définie par
yptq “ xpt` s, x0q.
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Chapitre I. Notions de base
On a yp0q “ xps, x0q et
y1ptq “ x1pt ` s, x0q “ fpxpt` s, x0qq “ fpyptqq
pour t P R. Donc, la fonction y est aussi une solution de l’équation x1 “ fpxq.Puisque par hypothèse le problème de Cauchy (I.4) a une solution unique, onobtient
yptq “ xpt, yp0qq “ xpt, xps, x0qq,
ouxpt` s, x0q “ xpt, xps, x0qq (I.5)
pour tous t, s P R et x0 P Rn. Il résulte de (I.5) que ϕt`s “ ϕt ˝ ϕs. En outre,
ϕ0px0q “ xp0, x0q “ x0,
c’est-à-dire ϕ0 “ Id. Cela montre que la famille des applications ϕt est unflot.
On considère maintenant deux exemples spécifiques d’équations différentiellesautonomes et on décrit les flots qu’elles déterminent.
Exemple I.15. Considérons l’équation différentielle#x1 “ ´y,y1 “ x.
Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors
px2 ` y2q1 “ 2xx1 ` 2yy1 “ ´2xy ` 2yx “ 0.
Donc, il existe une constante r ě 0 telle que
xptq2 ` yptq2 “ r2.
Soientxptq “ r cos θptq et yptq “ r sin θptq,
où θ est une fonction différentiable. Il résulte de l’identité x1 “ ´y que
´rθ1ptq sin θptq “ ´r sin θptq.
Donc, θ1ptq “ 1 et il existe une constante c P R telle que θptq “ t` c. Pour
px0, y0q “ pr cos c, r sin cq P R2,
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Extrait de la publication
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I.3. Exemples pour le temps continu
on obtient ˆxptqyptq
˙“
ˆr cospt` cqr sinpt` cq
˙
“ˆ
cos t ¨ r cos c ´ sin t ¨ r sin csin t ¨ r cos c ` cos t ¨ r sin c
˙
“ˆ
cos t ´ sin tsin t cos t
˙ˆx0
y0
˙.
On remarque que
Rptq “ˆ
cos t ´ sin tsin t cos t
˙
est une matrice de rotation pour chaque t P R. Puisque Rp0q “ Id, il résulte de laproposition I.14 que la famille des applications ϕt : R2 Ñ R2 définies par
ϕt
ˆx0
y0
˙“ Rptq
ˆx0
y0
˙
est un flot. On note que l’identité ϕt`s “ ϕt ˝ϕs est équivalente à l’identité entrematrices de rotation
Rpt` sq “ RptqRpsq.
Exemple I.16. On considère maintenant l’équation différentielle#x1 “ y,
y1 “ x.
Si px, yq “ pxptq, yptqq est une solution, alors
px2 ´ y2q1 “ 2xx1 ´ 2yy1 “ 2xy ´ 2yx “ 0.
Donc, il existe une constante r ě 0 telle que
xptq2 ´ yptq2 “ r2 ou xptq2 ´ yptq2 “ ´r2. (I.6)
Dans le premier cas, on peut écrire
xptq “ r cosh θptq et yptq “ r sinh θptq,
où θ est une certaine fonction différentiable. Puisque x1 “ y, on a
rθ1ptq sinh θptq “ r sinh θptq
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Extrait de la publication