Post on 24-Dec-2015
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Teoria de conjuntosConceitos básicos
Relações entre conjuntos
Operações com conjuntos
Resolução de problemas
I. CONCEITOS BÁSICOS
Conjunto: agrupamento/colecção de objectos/indivíduos.
Exemplo: - conjunto das vogais do alfabeto.
- conjunto dos rios de Moçambique.
- conjunto dos números ímpares positivos
- conjunto das equipas do moçambola
Elemento: cada mebro/objecto que forma o conjunto.
Exemplo: - segunda-feira pertence ao conjunto dos dias da semana.
- 1 pertence ao conjunto dos números ímpares positivos
- O Armando pertence ao conjunto dos alunos da turma da 10ª A.
Teoria de conjuntos
Designação de um conjunto
• Os conjuntos indicam-se, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, …
• Os elementos são, em geral, indicados por letras minúsculas: a, b, c, …
Exemplos:
, ,
vogais do alfabeto português
Bairros da cidade da Matola
A a b c
V
D
Teoria de conjuntos
Representação de conjuntos
1. Em chavetas
2. Em diagrama de Venn
Exemplo: , ,A a b c
Exemplo:
Relação de pertença
Seja A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos:
Para indicar que x não é elemento de A, escrevemos: .
Ax
Ax
Teoria de conjuntos
Definiação de um conjunto
Um conjunto define-se de duas formas:
1. por extensão: enumera-se/cita-se/escreve-se os elementos do conjunto.
Exemplos:
2. Por compreensão: indica-se uma característica comum dos elementos ou um padrão.
Exemplos:
, , , ,
Maputo,Sofala,Nampula
4,5,6
V a e i o u
M
B
| é vogal
| é província de Mocambique
| é um número inteiro maior que 3 e menor que 7
V x x
M x x
B x x
Teoria de conjuntos
Cardinal de um conjunto
O cardinal de um conjunto é o número de elementos que um conjunto possui, e denota-se por #A ou n(A).
Exemplo:
Determine o cardinal de cada um dos seguintes conjuntos:
a) V = {a, e, i, o, u}
b) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Teoria de conjuntos
Conjunto vazio e conjunto singular
1. Conjunto vazio: não possui elemento algum, e representa-se por Ø ou {}.
Exemplo: A = {x| x é um homem que vive no sol} → n(A) = 0.
→ n(B) = 0.
2. Conjunto singular ou unitário: possui um único elemento.
Exemplo: A = {x ϵ IN| x é um número primo e par} → n(A) = 1.
B = {x ϵ IN: x + 2 = 5} → n(B) = 1.
2B = { IN : 0}x x
Teoria de conjuntos
Conjunto finito e conjunto infinito
1. Conjunto finito: quando é possível contar os seus elemento e terminar a
contagem.
Exemplo: - A = {x| x é um homem que vive no sol}
- D = {1,2,4,8}
- M = {0,1,2,3,…,500}
2. Conjunto infinito: apresenta uma quantidade ilimitada de elementos.
Exemplo: - o conjunto dos números inteiros →{…-3,-2,-1,0,1,2,3,…} .
- o conjunto dos números reais → ]0;1[
Teoria de conjuntos
II. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1. Conjunto universal
Conjunto univ ersal ou Universo de um conjunto: conjunto de todos oselementos que sao considerados num determinado estudo, designadogeralmente por U.
Exemplo:
Teoria de conjuntos
• No estudo dos alunos da Willow, o Universo é o conjunto formado por todos os alunos da Willow;
• Se procuramos as soluções reais de uma equação, o Universo é o conjunto dos números reais (IR).
2. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais se, cada elemento do conjunto A for, também, elemento do conjunto B, e vice-versa.
Exemplos:
Teoria de conjuntos
• A = {2, 4, 6, 8} e B = {8, 4, 2, 6} → A = B, porque ambos conjuntos têm os mesmos elementos.
• , porque tem os mesmos elementos.
•
2B = { : 0} e C {0;1} B Cx x x
{1, 3, 5, 7, ...} { | é inteiro, positivo e ímpar}x x
A repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo
inútil pois, por exemplo: {a, b, d} = {a, a, b, b, b, d}.
Se A não é igual a B, escrevemos .
Teoria de conjuntos
A B
3. Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
Representa-se e lê-se “A é subconjunto de B”
ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.
Exemplo:
Teoria de conjuntos
A B
Sinal de inclusão " "
a, b a, b, c, d
1 1, 2
a, b a, b
| é inteiro e par | é inteirox x x x
Exemplo:
Seja A = {a,b}, B = {a,b,c}, e C = {a,d}. Qual das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa? Justifique.
a) b) c) d)
Resolução
a) F → porque c pertence a B mas não pertence a A.
b) V → porque todo elemento de A e também elemento de B.
c) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.
d) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.
B A A B C B C A
Teoria de conjuntos
- Quando também podemos escrever , que se lê “B contém A”.
- Usamos a notação , para indicar que A não é subconjunto de B.
Exemplo:
A B B A
"A B"
a, b, c b, c, d, e
a, b c, d, e
| é inteiro e par | é inteiro e primox x x x
Teoria de conjuntos
Conjunto das partes de A
Ao conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A,
chama-se conjunto das partes de A e indica-se por P(A).
Exemplo:
• O cardinal de P(A), ou seja, o número de subconjuntos de um conjunto A, é dado pela formula, , onde n é o número de elementos de A.
Teoria de conjuntos
1. Se A 1 , então P A ,{1}
2. Se A 1,2 , então P A ,{1},{2},{1,2}
3. Se A 1,2,3 , então P A ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
#P 2nA
Propriedades da inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, temos:
1. A
2. A A propriedade reflexiva
3. Se A B e B A, então A B propriedade anti-simétrica
4. A B e B C, então A C propriedade transitiva
5. O número de subconjuntos de um conjunto com elementos é 2 .nn
Teoria de conjuntos
1. Reunião de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Denota-se por e lê-se “A reunião B”. Simbolicamente, escreve-se
Exemplo:
Teoria de conjuntosII. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A B
A B | A ou Bx x x
Se A { , , , } e B { , , , }, então
A B { , , , } { , , , } { , , , , , }
a b c d a c e f
a b c d a c e f a b c d e f
Exercício
Determine a reunião de cada par de conjuntos seguintes.
a) A = {a, b, c, d, e, f};
B = {a, d, g, h}
b) C = {1, 3, 5, 7, 9};
D = {1, 3, 5}
b) E = {x, y, z};
F = {m, n, p, k}
Teoria de conjuntosResolução
Propriedades da Reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
Teoria de conjuntos
1. A A A Idempotência
2. A B B A Comutativa
3. A B C A B C Associativa
4. A A Elemento neutro
5. A U U
Teoria de conjuntos2. Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, a A também a B. Denota-se por e lê-se “A intersecção com B”. Simbolicamente, escreve-se
Exemplo:
A B
A B | A e Bx x x
Se A { , , , } e B { , , , },
então, A B { , , , } { , , , } { , }
a b c d a c e f
a b c d a c e f a c
Exercício
Determine a intersecção de cada par de conjuntos seguintes.
a) A = {a, b, c, d, e, f};
B = {a, d, g, h}
b) C = {1, 3, 5, 7, 9};
D = {1, 3, 5}
b) E = {x, y, z};
F = {m, n, p, k}
Teoria de conjuntosResolução
Conjuntos disjuntos
Quando , isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B dizem-se disjuntos.
Exemplo:
Resolução:
Teoria de conjuntos
A B
Seja A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7} então . Assim os conjuntos A e B são disjuntos.
A B
Propriedades da intersecção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
Teoria de conjuntos
1. A A A Idempotência
2. A B B A Comutativa
3. A B C A B C Associativa
4. A U A Elemento neutro
5. A
Leis distributivas
Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6} e C = {1, 2, 5, 7}. Determine os seguintes conjuntos e compare-os.
a) A ∩ B ∪ C e A ∩ B ∪ A ∩ C
b) A ∪ B ∩ C e A ∪ B ∩ A ∪ C
Resolução:
Teoria de conjuntos
3. Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjuntoformado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Representa-se por A – B ou A\B e lê-se “A menos B”.
Simbolicamente,A − B = 𝑥 𝑥 ∈ A e 𝑥 ∉ B}
Exemplo:
Sejam A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {b, c}, D = {c, d, e, f}, E ={a, b} e
F = {a, b, c, d, e}. Determine:
a) A – B b) A – C c) E – D d) E – F
Teoria de conjuntos
4. Complementar de um conjunto
Chama-se complementar de A, o conjunto de elementos de U que não pertencem a A e denota-se por “ A” ou “Ac”.
Simbolicamente,
A = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 e 𝑥 ∉ A .
Exemplo:
Seja U = {3, 4, 5, 7, 8, 9, a, b} e A = {a, 3, 7, 9}.
Determine:
a) A b) A ∪ A c) A ∩ A d) A
Teoria de conjuntos
AA A
Problemas concretos da vida real
Os problemas sobre os quais se aplicam a Teoria de conjuntos,
geralmente, tomam as formas seguintes:
1. É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões
ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado
dele.
2. É dada a proporção ou percentagem de alguns subconjuntos de algum
conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.
A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn,
marcando-se em cada área o número (ou percentagem) de elementos,
começando-se sempre do mais interno para o mais externo.
Teoria de conjuntos
Exemplo:Numa turma de 36 alunos, 24 gostam de Matemática e 18 de Português. Quantos alunos gostam de Matemática e Português?
Resolução:
Teoria de conjuntos
Exemplo:
Em uma cidade, 15% da população foi exposta ao Antrax, 20% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 77% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Que percentagem população foi expostas a Antrax e Peste Bubônica?
Resolução:
Teoria de conjuntos
Problema – Tarefa em grupo
Em 2014, os alunos da Willow tiveram como opções curriculares “ o currículoCambridge” e “o currículo Nacional”. Sabe-se que todos os alunos escolherampelo menos um dos dois currículos. O número de alunos que optou peloCambridge foi 114, o número de alunos que optou pelo Nacional foi 228 e onúmero de alunos que optou por ambos currículos foi 80.
a) Quantos alunos teve a Willow naquele ano?
b) Quantos alunos optaram pelo currículo Cambridge, somente?
c) Quantos alunos optaram apenas, pelo currículo Nacional?
d) Quantos alunos optaram por um só currículo?
Teoria de conjuntos