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8/20/2019 Teorema de Recursión, variantes
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Teoría de Conjuntos I
VARIANTES A
RECURSIÓN PARA
Hay muchas versiones o variantes de Recursión para ( en ZF− ), veamosalgunas. Estas solamente las enunciaremos y daremos una sugerencia para su
demostración.
a). Si A es una clase, a ∈ A y G 1 : A A, entonces hay una única función f 1tal que
f 1 : A
I) f 10 a
II) ∀n ∈ f 1n G1 f 1n, n
Observación:
f 10 a f 12 G1 f 11, 1 G1 G1a, 0, 1
f 11 G1 f 10, 0 G1 a, 0 f 13 G1 f 12, 2 G1 G1 G1a, 0, 1 , 2
Para una prueba de a), solo hay que rehacer la prueba original.
Ejemplo: El factorial de un natural:
! :
I) 0! 1II) n! n! n
En este caso: A , a 1 y G 1 : , con G 1 p, q p q para toda p, q ∈ .
b). Versión Paramétrica.Si P es un conjunto, A una clase, H : P A y G 2 : P A A, entonces hay
una única función f 2 tal que
f 2 : P A
I) ∀ p ∈ P f 2 p, 0 H p
II) ∀ p ∈ P ∀n ∈ f 2 p, n G2 p, f 2 p, n, n
Para la prueba de b) se puede usar I). Sugerencia: define por recursión f 1 : P A como : f 10 H y f 1n G1 f 1n, n donde G 1 : P A P A esta
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Teoría de Conjuntos I Variantes a Recursión
dada por G 1i, n p G2 p, i p, n. Finalmente ∀ p ∈ P ∀m ∈ f 2 p, m f 1m p.
Ejemplo: La Suma entre Naturales:
:
I) ∀m ∈
m 0 mII) ∀m ∈ m n m n
En este caso: P , A , H : , con H Id y G 2 : , con
G2 p, q, r q para todos p, q, r ∈ .
c) Si a es un conjunto, denotamos el conjunto de todas las sucesiones finitas deelementos de a por
a; formalmente,
a n∈
n
a
Si a es un conjunto y g :
a a , entonces hay una única función f 3 tal que
f 3 : a
∀n ∈ f 3n g f 3 n
Observación:
f 30 g f 3 0 g f 3 ∅ g ∅ g 0 y f 31 g f 3 1 g 〈0, g 0
Para la prueba de c) se puede usar a). Sugerencia: Sea G 1 : S A,G1 x, n x n, g x, Por a), hay f 1 : S tal que f 10 ∅ y
f 1n G f 1n, n. Finalmente, sea f 3 f 1.
Ejemplo: Para obtener la Sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,..., basta tomar:
a y g :
, dada como sigue, para cada t ∈
, sea
g t
1 si DOM t 0
1 si DOM t 1
t n t n 1 si DOM t n 2 para algún n ∈
por c) tendríamos que hay una única F : tal que ∀n ∈ F n g F n. Así,
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Teoría de Conjuntos I Variantes a Recursión
F 0 g 0 1
F 1 g F 1 1
F 2 g F 2 F 20 F 21 F 0 F 1 1 1 2
F 3 g F 3 F 21 F 22 F 1 F 2 1 2 3
F 4 F 2 F 3 2 3 5
Podríamos decir, hay una única función F : tal que
1. F 0 1 y F 1 1
2. ∀n ∈ F n 2 F n F n 1
d) Si A es un conjunto, a ∈ A y g una función con DOM g ⊆ A e IMG g ⊆ A,entonces hay una única función f 4 tal que
0) DOM f 4 o DOM f 4 k 0 donde k 0 min k ∈ / f k , k ∉ DOM g
00) IMG f 4 ⊆ A
I) f 40 a
II) ∀n n ∈ DOM f 4 f 4n g f 4n, n
Para la prueba de d) se puede usar a). Sugerencia: Sea A∗ A a∗ donde
a∗
∉ A. Define g ∗
: A∗
A∗
como sigue:
g ∗ x, n g x, n si x, n ∈ DOM g
a∗ en otro caso
con a) obtendrás f ∗. Si f ∗i a∗ para algún i ∈ , considera f ∗ i para el menor detales i.
Ejemplo: Si X ⊆ , entonces hay una función inyectiva f con IMG f X y tal que DOM f o DOM f ∈ .
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