TEOREMAS DE CASTIGLIANO

Vigas y armaduras

Temas

Introduccion

Primer teorema de castigliano Ejemplos

Segundo teorema de castigliano Vigas Armaduras

Introducción

Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

PRIMER TEOREMA

Primer teorema

Consideremos un sistema de cargas actuando sobre la estructura, y todos los elementos estructurales sometidos a esfuerzos para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico.

Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo se deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2'.

Cada fuerza realiza un trabajo elástico de valor:

½ . P . Δ

Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de

acción de la fuerza.

Al resolver encontramos que

Desplazamientos lineales

Desplazamientos angulares

“La derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza

que actúa en un cuerpo es igual al desplazamiento en el punto de

aplicación de la fuerza”

"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un

incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del

mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en el régimen elástico."

Ejemplo: Calcular el desplazamiento en el punto de la carga P de la viga siguiente considerando el efecto del momento flexionarte.

Ejemplo 2: Sea el caso de una viga empotrada en A y cargada en el extremo libre B con una fuerza y un momento.

SEGUNDO TEOREMA

Castigliano se dio cuenta que la derivada parcial de la energía de deformación U, con respecto a una fuerza, momento o torque, es igual al desplazamiento, rotación y giro respectivamente, con respecto a su línea de acción. Tiene la desventaja que solo se puede aplicar en estructuras linealmente elásticas.

U: Energía de deformación interna en la estructura

δi=Deflexion en el punto de aplicación de la carga Pi

θi=Rotacion en el punto de aplicación del momento Mi

Para resolver estructuras hiperestáticas, suponemos se conoce que tanto la deflexión como la pendiente son 0 en los empotramientos asi como el desplazamiento horizontal

Enunciado

La derivada parcial de la energía con respecto a una reacción hiperestática de un apoyo que no se desplaza es igual a cero

Teorema de Manabrea

Cuando existe un sistema hiperestático buscaremos un total de ecuaciones acordes al grado de hiperestaticidad del mismo para poder después aplicar las ecuaciones de estática.

Supongamos que tenemos las siguiente figura

Si en un sistema tenemos cinco incógnitas eso quiere decir que la viga tiene un grado dos de hiperestaticidad, o sea dos incógnitas hiperestáticas. Podemos considerar que estas dos incógnitas hiperestáticas son, por ejemplo las reacciones X1 y X2 en los apoyos móviles B y C y calcularemos la energía de deformación como función de estas dos incógnitas.

En estos apoyos moviles, en los que el desplazamiento es perpendicular a la direccion de la reaccion, las derivadas parciales del potencial interno respecto a estas dos incognitas, en virtud del teorema de Castigliano, deben ser igualesa cero:

Ejemplos

Calcule las reacciones de la siguiente viga

Ejemplo 2

Determine la pendiente de la viga de la figura en el punto B, con EI constante