Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS Y PROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

1

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS YPROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

2

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS RESPECTO A UN EJE

Estructura con simetría de forma y de carga

EJE DE SIMETRIA

Estructura con simetría de forma y no de cargas

EJE DE SIMETRIA

PP

q

MM

P

M

q

3

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS Y ANTIMETRICAS

Estructura con simetría de forma y de carga

EJE DE SIMETRIA

Estructura con simetría de forma y antimetría de cargas

EJE DE SIMETRIA

PP

q

M M

P

MM

P

SIMÉTRICA ANTIMÉTRICA

q

q

4

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

q

A B

Diagrama de esfuerzos cortantes antimétrico

Diagrama de momentos flectores simétrico

A B

Deformada simétrica

5

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS: ESFUERZOS

q

A B

A B

M

N

Q

M

N

Q

Corte por el eje de simetría

El esfuerzo axil y el flector son simétricos el cortante no: Q=0

El esfuerzo cortante en el eje de simetría de una estructura simétrica es cero

M

6

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS: MOVIMIENTOS

q

A B

Si el punto M se mueve horizontalmente, se pierde la simetría: uM=0

A B

Deformada simétrica

M

Si el punto M gira, se pierde la simetría: θθθθM=0

El movimiento horizontal y el giro en la sección perteneciente al eje de simetría de una estructura simétrica es cero

7

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ANTIMÉTRICAS

A B

Diagrama de esfuerzos cortantes simétrico

Diagrama de momentos flectores antimétrico

A B

Deformada antimétrica

P

P

8

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS: ESFUERZOS

A B

M

N

Q

M

N

Q

Corte por el eje de simetría

El esfuerzo cortante es antimétrico, el flector y el axil no: M=0; N=0

El esfuerzo axil y el momento flector en el eje de simetría de una estructura antimétrica son cero

A B

P

P

P

P

9

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Si el punto M se mueve verticalmente, se pierde la simetría: vM=0

El movimiento vertical en la sección perteneciente al eje de simetría de una estructura antimétrica son cero

ESTRUCTURAS ANTIMÉTRICAS: MOVIMIENTOS

A B A B

Deformada antimétricaP

PM

10

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS YPROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

11

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

12

METODO DE LOS NUDOS

• Conocidas las reacciones, se separa la estructura en barras y nodos.

A D B

C

P

A

VA

C

D

P

B

VB

HA

• Se plantea el equilibrio en cada nodo (ΣΣΣΣFx= ΣΣΣΣFy=0 )

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

13

• Si sólo se precisa saber las fuerzas en alguna barra, se puede recurrir a estemétodo.

• Para determinar la fuerza en la barra BD, p.e.,se corta la estructura y se plantea su

equilibrio.

• Si se cortan maximo 3 barras, se puedeplantear su equilibrio y determinar los esfuerzos resultantes, incluido NBD.

METODO DE LAS SECCIONES

A

D

B C

1000 N2000 N

E

A

D

2000 N

DBN

ABN

DEN

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS YPROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

14

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS: TEOREMA DE CASTIGLIANO

dsGK

)s(MG

)s(Q

EI)s(M

AE)s(N

UB

A

T

cx∫

+

Ω++=

2222

2

1Energía elásticaen una rebanada

21 ( )

2

B

A

N sU ds

AE

=

∫

Si sólo hay esfuerzos axiles

Esfuerzo axil esconstante en la barra i i

ii

i LEA

NU

2

2

1=

Si hay n barras, la energía almacenadaen la estructura es

∑=n

iii

i LEA

NU

1

2

2

1

15

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS: TEOREMA DE CASTIGLIANO

Derivada de la energía elástica respecto a P = movimiento del

punto de aplicación de P

Interpretando la derivada comouna función unitaria

∑

∂∂=

∂∂=

n

ii

iiiP EA

L

P

NN

P

Uv

1

∑=∂∂=

n

ii

iIiiP EA

LNN

P

Uv

1

0

Estado 0: real Estado I: ficticio

Sistema estructural real con suscargas, del cual queremoscalcular algún movimiento

Sistema auxiliar: estructura sólosometida a una carga de valor unidad en el nudo en el que

queremos conocerdesplazamiento

16

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS: EJEMPLO

A B

C

4 m 4 m

4 kN

3 mDeterminar el desplazamiento vertical de C

E=200 GPa, A=mm2

Estado 0: real Estado I: ficticio

A B

C4 kN

A B

C 1

17

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS: EJEMPLO

Estado 0: real

AB

C4 kN

1

N=2 kN

1,5 kN 1,5 kN

Estado I: ficticio

AB

C

N=0.66 kN

0,5 kN 0,5 kN

0 I iC i i

i i i

LV N N

A E↓ =∑

( ) ( ) ( )( )( )6 6

2,5 0,833 5 2,5 0,833 5 2 0,667 80,133

20010 40010CV mm

−

⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ↓ = =

18

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS Y PROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

19

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Hiperestática externa Hiperestática interna

A B

C4 kN

A B

C 4 kN

Se elimina una coacción externa, sustituyendola por una fuerza

desconocida; se imponedesplazamiento asociado a esa

fuerza igual a cero

Se elimina una barra y se impone que el desplazamientorelativo entre nodos es igual al

alargamiento de la barra

20

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Hiperestática externa

AB

C4 kN

A B

C4 kN

F

Estructura isostática

F fuerza valor desconocido

0 0I iB i i

i i i

LU N N

A E= =∑

A B

C

1

Estado 0: real

Estado I: ficticioSe despeja el valor de F

Ecuación de compatibilidad

21

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Hiperestática externa Hiperestática interna

A B

C4 kN

A B

C 4 kN

Se elimina una coacción externa, sustituyendola por una fuerza

desconocida; se imponedesplazamiento asociado a esa

fuerza igual a cero

Se elimina una barra y se impone que el desplazamientorelativo entre nodos es igual al

alargamiento de la barra

22

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Hiperestática interna

A B

C4 kN

F

Estructura isostática

F fuerza valor desconocido

A B

C 4 kN

F

D

E

F

FD

E

DE DEL= ∆δ

D

E

DE DE DEDE

L N L FL

EA EA∆ = =

Estado 0: real

Ecuación de compatibilidad

La distancia que se separan los puntos D y E es igual al

alargamiento de la barra DE 23

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

1

1

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Hiperestática interna

A B

C4 kN

F

0 I iDE i i

i i i

LN N

A Eδ =∑

A B

C

Estado 0: real

Estado I: ficticio

F

Para calcular la distanciaque se acercan los

puntos D y E

Ecuación de compatibilidad

0 I i DEDE i i

i i i

L L FN N

A E EAδ = = −∑

F

F

D E

D

E

D

E

F

Se despeja el valor de F24

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS: EJEMPLO

Hiperestática interna grado 1

3

2 5 kN1

2 m

2 m

4

Se elimina una barra: barra 13

F

F

3

21

4

F

F

3

15 kN

Compatibilidad de desplazamientos

0 1313

I ii i

i i i

L L FN N

A E EAδ = = −∑

Necesito conocerlo que se acercanlos nudos 1 y 3 de

la estructura

5 kN 5 kN

5 kN

25

+

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS: EJEMPLO

F

F

3

21

4

Estructura isostática

Barra Axil

1-2 -F/◊2

2-3 5-F/◊2

3-4 5-F/◊2

4-1 -F/◊2

2-4 -5◊2+F

5 kN

Estado 0: real Estado I: ficticio

1

1

3

21

4

Estructura isostática

Barra Axil

1-2 -1/◊2

2-3 -1/◊2

3-4 -1/◊2

4-1 -1/◊2

2-4 126

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS: EJEMPLO

Barra Axil 0 Axil 1 L [m]

1-2 -F/◊2 -1/◊2 2

2-3 5-F/◊2 -1/◊2 2

3-4 5-F/◊2 -1/◊2 2

4-1 -F/◊2 -1/◊2 2

2-4 -5◊2+F 1 2◊2

013

(4 2 2) 10(2 2)1 Ii i i

i

FN N L

EA EA EAδ + +

= = −∑

(4 2 2) 10(2 2) 2 2F F

EA EA EA

+ +− = −

3,53F KN=27

F

F

3

1

13

2 2F

EAδ =

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS: EJEMPLO

3

2 5 kN1

2 m

5 kN 5 kN

5 kN

2 m

los axiles serán:

Barra Axil Axil [KN]

1-2 -F/◊2 -2,5

2-3 5-F/◊2 2.5

3-4 5-F/◊2 2.5

4-1 -F/◊2 -2.5

2-4 -5◊2+F -3.53

1-3 F 3,53

4

3,53F KN=

28

Si

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

RESISTENCIA DE MATERIALESCurso 2010/11

Temas 6Cálculo de Movimientos en Estructuras

Articuladas

SIMETRIA Y ANTIMETRÍA

REPASO CALCULO ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CALCULO DE MOVIMIENTOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS TÉRMICAS Y PROVINIENTES DE ERRORES DE EJECUCIÓN

29

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CARGAS TÉRMICAS Y ERRORES DE EJECUCIÓN

Barra sometida a un incremento de temperatura

Incremento térmicoproporcional al incremento

de temperatura

Carga térmica

T∆T L L T α∆∂ = ∆ = ∆

Barra presenta error en fabricaciónError de ejecución

e L∂ = ∆

21

2e Ti i

i i i ibarras barras barrasi

con error con T

N LU N N

E A∆

∆

⋅= + ∂ + ∂⋅∑ ∑ ∑Energía elástica

almacenada

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Aplicando el teorema de Castigliano:

CARGAS TÉRMICAS Y ERRORES DE EJECUCIÓN

∑∑∑ ∆∂+∂+Ω

=∂∂= T

iIi

ei

Ii

barras i

iIii

jj NN

E

LNN

P

Ud 0

∑ ∂ei

IiN

∑ ∆∂ Ti

IiN

Axiles estado ficticio multip. error de ejecución

Axiles estado ficticio multip. alargamiento térmico

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CARGAS TÉRMICAS : APLICACIÓN

A

E

D C B∆∆∆∆T

A

E

D CB∆∆∆∆T

A

E

D C B

+

F F

FF

No hay movimientos, sólo axil en DC

F EA Tα= ∆

F: fuerza necesaria para eliminar alargamiento

∆∆∆∆TFF

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ERROR DE EJECUCIÓN: APLICACIÓN

A

E

D C B

A

E

D CB

A

E

D C B

+F F

F

F

No hay movimientos, sólo axil en DCF: fuerza necesaria para eliminar

alargamiento

F

F

δδδδ

F

EAF

L

δ=

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CARGAS TÉRMICAS: EJEMPLO

No hay movimientos, sólo axil en AC

F EA Tα= ∆

F: fuerza necesaria para eliminar alargamiento

∆∆∆∆TFF

A B

D

E

A B

D

E

A B

D

E

F

F

C

C

C

F

F

Estado I

Estado II

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

CARGAS TÉRMICAS: EJEMPLO

Reacciones son cero: fuerzas alineadas y opuestas

A B

D

E

C F

F

Aplicamos nudos: todos los axiles son cero menos los de la barra AC

Estado II

Estado I: todos axiles son cero menos el de la barra CA

Estado II: todos axiles son cero menos el de la barra CA CAN F=CAN F= −

Estado I+II: todos axiles son cero

Cargas térmicas o errores de ejecución no producen esfuerzos axiles en estructuras isostáticas, sólo movimientos

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS CON INCREMENTO DE TEMPERATURA

3

21

2 m

2 m

4

en barra 24∆T

3

21

4

TF

TF

TF EA Tα= ∆0; 0i iu v= =

3

21

4

TF

TF

Reaccionesson cero

Estado térmico

Estado mecánico

24 TN F= −

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS CON INCREMENTO DE TEMPERATURA

3

21

4

Estado mecánico

Estructura hiperestática

3

21

4

TF

TF

FF

F

FTF

TF24

24

L F

EAδ = −

2

4

1

13

21

4

Estado mecánico 0(real)

Estado mecánico I (ficticio)

( )024

I I Ii ii i i T i

i ii i i i

L LN N N F F N

A E A Eδ = = −∑ ∑

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS CON INCREMENTO DE TEMPERATURA

Estructura isostática

Barra

1-2 -1/◊2 1/2 2 1

2-3 -1/◊2 1/2 2 1

3-4 -1/◊2 1/2 2 1

4-1 -1/◊2 1/2 2 1

1-3 1 1 2◊2 2◊2

1

13

21

Estado mecánico I (ficticio)

4

( )2IiNI

iN

( )24 24I I

T i i ii

F F N N L L Fδ = − = −∑

iL ( )2Ii iN L

( )( )4 2 2 2 2TF F F− + = −

( )4 2 2

4 4 2

TFF

+=

+

BarraAxil estado

mecánico

Axil estado

térmico

1-2 -1/◊2(F-FT) 0

2-3 -1/◊2(F-FT) 0

3-4 -1/◊2(F-FT) 0

4-1 -1/◊2(F-FT) 0

1-3 (F-FT) 0

2-4 F -FT

Tema 6. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

BIBLIOGRAFÍA

LIBRO CAPÍTULOS

L. Ortiz Berrocal, Resistencia de Materiales. McGraw-Hill, 2007 6

J. Gere, Timoshenko. Resistencia de materiales, Thompson, 1984 7

R.C. Hibbeler, Structural Analysis,Prentice-Hall, 2006. 10