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Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Especialización enDocencia Matemática
Tema 30: Historia de las Matemáticas
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
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Historia de las Matemáticas
Contenido de este documento:
Matemáticas prehelénicas
Grecia: el nacer de una nueva concepción científica
La matemática china
Las matemáticas árabes
De la Edad Media al Renacimiento
El Renacimiento
La aparición del Logaritmo
La concepción de una matemática moderna
Descartes
Pierre Fermat
La transición al Cálculo
Preparando el camino para Newton y Leibniz
1. Matemáticas prehelénicas
La idea de número actual como ente abstracto, que es tan evidente,
es el fruto de una larga evolución y trabajo de abstracción de la mente
humana. En un inicio el único número representado era el uno, como una
marca realizada en un hueso o pedazo de madera, en una piedra, etc. Se
hacía una marca para cada cosa, de esa forma se contaba. De aquí
llegamos, tras largos períodos, hasta la representación; la necesidad de
transmitir cantidades mayores hace necesaria la adopción de una
representación del número. Los signos con las manos son, parece ser, las
formas más primitivas. La asociación de cantidades a las posiciones de
las manos o incluso a lugares del cuerpo, son la base de los signos
numéricos de muchas civilizaciones. Pero una cosa es el número como
cantidad y el signo que lo representa y otra muy distinta es la idea
sucesiva de número y del orden de los números. Los primeros indicios de
Sistemas de Numeración los encontramos en las civilizaciones egipcias,
sumerias y babilónicas. Si bien es cierto que la numeración maya o china
es también muy antigua, esta no ha tenido influencia en la historia de la
matemática europea. El sistema de numeración sumerio se basa en
los conocidos calculi, pequeñas piedras de arcilla datadas de la segunda
mitad del IV milenio a. C., en las que con diversas formas representaban
cifras distintas: el cono pequeño vale 1, la bola 10, el cono grande 60, el
gran cono perforado 3600 y la esfera perforada 36000. Estos objetos
se guardaban en una bola envoltorio hueca, mucho más grande que el
resto, se utilizaba para envolver el contenido. De esta forma, cuando se
cerraba un trato, los calculi se depositaban en el interior de la bola
hueca. La bola sellada hacía perenne el contrato, y si se quería saber el
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contenido, para no tener que romperlo, se realizaba en su superficie
unas muescas que representaban los calculi introducidos.
En Mesopotamia aparece la escritura cuneiforme sobre el 3300 a. C.
cuyo soporte era en arcilla. Se manejaban dos tipos de símbolos: un
clavo para la unidad y una espiga para la decena, y estaba basado en un
sistema de numeración de base 60. En Egipto, la escritura jeroglífica
tenía símbolos para las potencias de diez entre 1 y un millón. En estas
civilizaciones el sistema de numeración es un sistema aditivo, esto es,
para representar el trece se utiliza tres veces el símbolo del uno y una
vez el símbolo del diez, de esta forma no existe todavía en estas culturas
el sistema numérico posicional.
El sistema de numeración romano, según la clasificación de Georges
Ifrah, sería un sistema híbrido entre el aditivo y posicional. Para los
romanos el uno era I, el cinco V, el diez X, el cincuenta L, el cien C,
quinientos Q y mil M. Con la regla de que todo número colocado a la
izquierda de una cifra superior se resta.
El origen de la numeración de posición está en la cultura árabe. Los
primeros datos los encontramos junto al descubrimiento del alfabeto, en
el S. XV a. C., en la zona de Siria-Palestina, los semitas del Noroeste en
un afán de abreviación, buscaron romper con las escrituras inútilmente
complicadas de tipo egipcio o asirio-babilónico. A partir del S. IX a. C. la
escritura alfabética de origen fenicio, de veintidós letras, se expande por
las costas del Mediterráneo y poco a poco fue adoptada por los pueblos
occidentales, que la adaptaron a sus lenguas respectivas, modificándola
y añadiendo algunos signos. Los símbolos actuales nuestros, del 1 al 9
provienen del brahmi, la primera escritura de este tipo data del S. III a.
C. (los edictos de Ashoka en diversas regiones del Imperio de los
Maurya).
Las matemáticas que se reflejan de los documentos obtenidos en
Egipto y Mesopotamia indican un uso de la matemática instrumental, es
decir de indicación más o menos útiles para resolver problemas
similares. La preocupación no radicaba en los objetos matemáticos en sí,
no buscaban sus propiedades ni reglas ni en la fundamentación de las
conclusiones obtenidas, sino que se limitaba a exponer cómo manejar
instrumentalmente esos objetos matemáticos en situaciones concretas.
Hay muchos documentos que se conservan desde la antigüedad: el
papiro de Moscú de 1890 a. C. contiene 25 problemas resueltos; el
Papiro Leather de 1800 a. C. contiene una tabla de 26 descomposiciones
de fracciones unitarias; el papiro de Berlín de 1800 a. C., con dos
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67 1 → 67
134 2
268 4
536 8 → 536
1072 16 → 1072
1675
problemas de ecuaciones, una de ellas de segundo grado; papiro de
Reisner contiene cálculo de volúmenes.
Pero sin duda alguna el más importante documento matemático
egipcio que se conserva es el conocido como Papiro de Rhind o Papiro de
Ahmes. En 1858, el egiptólogo y anticuario escocés Henry Rhind adquirió
en una ciudad comercial del Nilo un papiro de 30 cm de alto y 6 m de
longitud, depositado actualmente en el British Museum. El documento
data de 1650 a. C. El autor es el escriba Ahmes, de ahí los dos nombres
con los que se le conoce, y está escrito con escritura hierática, una
escritura que se adapta mejor al pincel y al soporte sobre el que está
elaborado.
De los métodos utilizados por los egipcios destaca de forma especial
la utilización de las fracciones. Su técnica se basaba principalmente en el
uso de fracciones unitarias. De este modo las fracciones irreducibles de
numerador distinto de uno se descomponían en fracciones unitarias,
aquella cuyo numerador es uno, por ejemplo la fracción
se
descomponía como la suma
De hecho el papiro de Rhind
comienza con una tabla en la que se expresan las fracciones
como
suma de fracciones unitarias distintas para todos los valores desde n = 5
hasta n = 101, de esta forma
,
, y
.
La multiplicación en la época de Ahmes se basa en la duplicación, por
ejemplo para multiplicar 67 por 25, se consideran todas las potencias de
2 menores que 25 desde 20=1, en este caso 1, 2, 4, 8 y 16. Se forma
una tabla de dos columnas, en la primera columna se considera 67 y se
duplica tantas veces como potencias de 2 se consideran, en este caso 4
duplicaciones.
Como el número 25 es suma de
las potencias de dos 1+8+16, se
suman las duplicaciones
correspondientes, esto es,
67+536+1072=1675 obteniendo
el resultado del producto.
En el campo actual de la resolución de ecuaciones algebraicas,
encontramos en las civilizaciones egipcia y babilónica los primeros
antecedentes. En el caso de la civilización egipcia, son los primeros en
aplicar el método, que hoy se conoce como Regula falsi o Método de la
falsa posición, consiste en suponer un resultado cierto y, posteriormente,
calcula la proporción para que el resultado final sea correcto. Por
ejemplo, en el problema 24 se propone, “calcular el valor de un montón,
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si el montón y un séptimo del montón es 19”. La solución dada por
Ahmes es la siguiente: supón que el montón es 7, entonces 87.7
17 .
Pero el resultado correcto debería ser 19, como 198
19.8 , tendremos que
multiplicar 7 por 8
19 , para obtener el valor correcto y lo expresa con
fracciones unitarias como 625,168
1
2
116
En 1930 Neugebauer descubrió que los babilónicos habían trabajado
con ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, en un problema se pide el
lado de un cuadrado tal que si al número de su área le restamos el
número de su lado obtenemos 14,30 (en notación sexagesimal). Esta
ecuación sería la equivalente a la que hoy escribiríamos como
(en notación decimal: ). La solución encontrada era
la siguiente: 1º Toma la mitad de 1, que es 0;30, y multiplica 0;30 por
0;30, que es 0;15; suma este número a 14,30, lo que da 14,30;15. Este
es el cuadrado de 29;30; ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es
30, que es el lado del cuadrado. Es la aplicación directa, en notación
sexagesimal, de la conocida fórmula de resolución de una ecuación
cuadrática Otro elemento que nos muestra
los avances de la matemática babilónica es la resolución de algunas
ecuaciones cúbicas. En Babilonia se habían calculado tablas de
cuadrados, de cubos y de las sumas de los cuadrados y los cubos. Con
ayuda de esas tablas resolvían ecuaciones del tipo . Era
bastante sencillo mirando las tablas obtener . O la ecuación
mirando en las tablas obtenían .
Para las ecuaciones del tipo , los babilonios
usaban su método de sustitución: multiplicaban primero por 12 ambos
miembros y hacían , la ecuación se convierte en ,
de donde mirando en las tablas , por tanto . Las
ecuaciones del tipo se reducían a la forma canónica
multiplicando ambos miembros por
para obtener la ecuación
y resolverla por sustitución.
2. Grecia: el nacer de una nueva concepción científica.
Desde los siglos IX al VII a. C., la crisis social vivida en la Grecia
antigua produjo una serie de corrientes migratorias y colonizaciones de
las costas del Mediterráneo y del mar Negro, lo que se tradujo en unas
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importantes influencias culturales mutuas. El mundo griego descubrió, a
través de las diversas culturas a las que se acercaba, una diversidad de
mitos entre las distintas civilizaciones, claramente incompatibles entre sí.
Desde luego era claro que todos no podían ser verdaderos, pero, dando
un paso más, la pregunta “¿lo serán los mitos griegos?” era inmediata. Y
si éstos eran tan falsos como los demás, ¿dónde estaba la verdad
necesaria?
A mediados del siglo VII a. C., la pérdida sistemática de creencias
produce una profunda crisis intelectual en Grecia, de la que arranca la
filosofía griega, cuya finalidad última era la búsqueda de una explicación
necesariamente verdadera acerca del mundo, de la estructura de lo real
y de sus orígenes. La búsqueda de la verdad, como no podía ser de otra
forma, se apoyó en dos creencias. La primera, que el mundo es
inteligible por la mente humana y la segunda, que en lo que cambia no
puede residir la verdad, la auténtica verdad, la verdad sin condiciones. La
realidad se manifiesta en apariciones cambiantes, y la verdad reside en
el trasfondo inmutable oculto por la realidad aparente.
Las matemáticas griegas se extienden, aproximadamente, en el
período que va entre el 600 a. C. al 640 d. C. Es habitual considerar la
producción matemática griega dividida en tres etapas, con la siguiente
caracterización:
1. Período helénico: 600 al 300 a. C.
a) Períodos jónico y pitagórico: 600 al 450 a. C.
b) Los siglos V y IV: 450 al 300 a. C.
2. Período greco-alejandrino: 300 a. C. al 415 d. C.
a) El siglo III.
Los matemáticos más célebres de este siglo de oro de la
cultura griega son: Euclides, Arquímedes y Apolonio.
b) Los siglos II a. C. al II d. C.
c) Edad alejandrina tardía: 250 al 350 d. C.
Los matemáticos más celebres de esta época son Diofanto y
Pappus (290-350).
d) El final del período alejandrino: 350 al 415 d. C.
3. El final del mundo griego: 415 al 640 d. C.
Es comprensible la relevancia que toman las matemáticas para la filosofía griega. Los números y las figuras geométricas se trataban como
objetos inmutables, no sometidos a cambios, descarnados de cualquier
realidad aparente. Y las matemáticas, pasarán a ser, así, una forma de
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acceso a la verdad. Los nuevos filósofos griegos empiezan a cultivar las matemáticas, pero unas matemáticas puras, alejadas por completo de
aquellas matemáticas aplicadas del mundo prehelénico. Las matemáticas, experimentan un cambio profundo de Egipto y Mesopotamia a Grecia,
pasando de ser una manipulación instrumental de los objetos matemáticos a un estudio de sus propiedades necesariamente
verdaderas, es decir, a buscando una ontología de los objetos
matemáticos.
Las primeras matemáticas griegas, tanto en Thales, que vivió entre
los siglos VII y VI a.C., y su escuela (la Filosofía Natural Jónica), como luego en Pitágoras, que vivió en el siglo VI a.C. y los pitagóricos, tienen
una serie de características distintivas: su objetivo es averiguar propiedades intrínsecas verdaderas de los objetos matemáticos; se trata
de conseguir propiedades necesariamente verdaderas, sencillas y completamente inútiles para las necesidades prácticas de la vida
cotidiana; los teoremas “mostraban” la validez universal de sus afirmaciones.
¿Cuál era éste método que les permitía a Thales y a los pitagóricos estar seguros de que sus afirmaciones eran verdaderas necesariamente?
La demostración, tenía la característica esencial de ser una presentación a la percepción visual; de ahí que el vocablo teorema tenga la misma raíz
griega que teatro, pues en el primer caso indica lo que se contempla, y
el segundo indica contemplar. De este modo los números y las figuras geométricas ponían en evidencia sus propiedades, por un simple proceso
visual que encerraba un grado de certeza irrefutable. Así, Thales para demostrar que “en cualquier círculo cualquier diámetro lo divide en dos
partes iguales”, giraba el círculo media vuelta alrededor del diámetro, con lo que cada semicírculo pasaba a ocupar la posición que ocupaba antes el
otro. De la misma manera, los pitagóricos para demostrar que “la suma de dos números impares cualesquiera es un número par”, disponían los
dos números distribuidos en parejas; como los dos son impares sobrará una unidad en cada uno y al unirlos, ambas constituirán una pareja, con
lo que la suma resultará un conjunto de parejas y consecuentemente un número par.
Este método “empírico visual” más que demostrar en un sentido
actual, a pesar de la aparente irrefutabilidad de sus conclusiones, lo que
hacía era “mostrar”. Y con este método se construyeron las primeras
“matemáticas modernas” durante aproximadamente cien años. Así, con
este método Thales demostró que:
1. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un
diámetro.
2. Al cortarse dos rectas, los ángulos opuestos por el vértice son
iguales.
3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, los ángulos opuestos a
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esos lados son iguales.
4. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de
uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y
un lado del otro, entonces los dos triángulos son
congruentes.
5. Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Pero es la aparición de un “monstruo” en el seno de las matemáticas
pitagóricas la que pondrá fin a este método y será, a su vez, el origen
del método axiomático-deductivo, cuya vitalidad ha persistido hasta
nuestros días, con las matizaciones que más adelante realizaremos.
Para la filosofía pitagórica todo objeto estaba formado por un cierto
número de átomos, entendidos como pequeñas esferas indivisibles, por
lo que los entes podían identificarse por el número de estos átomos, de
suerte que todo podía aritmetizarse. Desde esta óptica los pitagóricos
desarrollan la aritmética y también la geometría, que la aritmetizan. Y es
en esta última, en la medida de los segmentos, en donde se produce la
aparición del primer “monstruo” matemático: los segmentos
inconmensurables.
Desde su concepción filosófica, desde su creencia, concluían que
dados dos entes cualesquiera, uno de ellos estaría formado por un cierto
número de esferas indivisibles y el otro por esferas. Los pitagóricos
creían que siempre sería posible encontrar un cierto número ,
suficientemente pequeño, que esté contenido un número exacto de
veces tanto en p como en , de donde se obtendría que y .
La existencia del valor siempre y en todos los casos, permite obtener
una de una unidad de medida común y por tanto “todo es expresable en
términos de números”, todas las cosas son medibles y expresables como
proporciones. Este proceso para calcular r se llamaba antiphairesis, que
no era otra cosa que lo que más tarde aparecerá y se conocerá como
algoritmo de Euclides, para el máximo común divisor de y . Mediante
este procedimiento, vistos los números como segmentos, el segmento
menor se lleva tantas veces como sea posible sobre el mayor, el resto
se llevará, de la misma forma, sobre el menor de los dos anteriores; el
nuevo resto se llevará ahora sobre , y así sucesivamente, llegándose
necesariamente, desde la concepción atomista de los pitagóricos, a un
resto ; por tanto, será la mayor unidad de medida común a
ambos segmentos.
La teoría pitagórica se basaba por tanto en la proporcionalidad. Y es
dentro de ésta donde Hipaso de Metaponto (siglo V a.C.) encontró una
pareja de segmentos inconmensurables, cuando trató de conocer la
proporcionalidad entre el lado del pentágono regular y la diagonal del
mismo. Al aplicar el método de antiphairesis, observó que al cabo de
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tres etapas se volvía a repetir el proceso con el pentágono interior
formado por la intersección de las diagonales, esto es que
, y así
de forma indefinida. Pero si dos segmentos admiten una unidad de
medida común, la antiphairesis debe tener un número finito de pasos;
por lo que, si este proceso no tiene fin debe ser porque no hay ninguna
unidad de medida común a los dos segmentos.
Pero este no era el único número inconmensurable (que no tiene
medida) encontrado, la diagonal de un cuadrado también lo era, y con él
muchos otros números. El razonamiento utilizado para deducir la
inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado con el lado es el
siguiente. Supongamos un cuadrado cuyo lado AB sea impar, si nos
fijamos en la razón
entre la diagonal y el lado, observamos que
también es la razón entre la hipotenusa y el cateto en un triángulo
rectángulo isósceles ABC.
Como , se tiene que . Entonces dado
que es par, tiene que serlo también, puesto que el cuadrado de
cualquier número impar es impar. Ahora bien, si es par, entonces
y por tanto como se tiene que , de
donde, , por lo que , es decir que es par, en
contra de lo supuesto inicialmente.
Esta demostración, que es la misma que se usa en la actualidad,
aparecía incluida en antiguas ediciones de los Elementos de Euclides
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como proposición 117 del libro X. Sin embargo, lo más probable es que
no apareciera en el texto original de Euclides y, por tanto, se suele omitir
en las ediciones modernas.
Las consecuencias de este hallazgo fueron demoledoras y
condujeron a la primera gran crisis de los fundamentos de las
matemáticas. Desde luego dio al traste con la teoría atómica de los
pitagóricos, pero sobre todo invalidó el método empírico-visual aceptado
hasta el momento. ¿Cuál era la naturaleza de los objetos matemáticos?,
¿de qué estaba hecho un segmento?; si los objetos matemáticos no eran
tan simples como se había pensado, el examen directo de los mismos ya
no podía aceptarse como garantía de verdad, la intuición había entrado
en crisis, ¿por quién sustituirla?, ¿qué método podría garantizar la
verdad de los resultados que se obtuviesen?
Así, el concepto de demostración varía radicalmente, frente a la
percepción de la verdad puesta en evidencia al “mostrar” las cualidades
de los objetos matemáticos, aparece la validación de la verdad a través
de un encadenamiento de afirmaciones sobre un sistema de objetos
matemáticos, que comienzan por axiomas y proceden por aplicaciones
sucesivas de las leyes deductivas correctas. La afirmación final de cada
cadena, necesariamente verdadera, es un teorema. Las demostraciones
han de ser procesos finitos, por eso aunque Hipaso de Metaponto
descubre los segmentos inconmensurables, la demostración de ello no
podía fundamentarse en un proceso ilimitado. Es de la mano de los
eleáticos, escuela antagónica de los pitagóricos, que mantenían que la
realidad era una e indivisible, de la que proviene el procedimiento para la
demostración, concretamente de Zenón (s. V a. C.) que introduce la
demostración indirecta o demostración por reducción al absurdo. Este
método será la característica esencial de la obra de Euclides (365–300 a.
C.).
Los Elementos de Euclides, fue concebido como un libro de texto, no
como un compendio del saber de la época, para estudiantes avanzados.
Los Elementos se componen de trece libros a los que en época posterior
se añadieron dos más: el libro XIV de Hypsicles (S. II a. C.) y libro XV,
presumiblemente de Damasquios (S. V d. C.) el contenido del conjunto
de los libros está estructurado de la forma siguiente:
Planimetría
Libro I. Del punto al teorema de Pitágoras del periodo jónico.
Libro II. Álgebra geométrica del periodo jónico.
Libro III. Teoría del Círculo del periodo jónico.
Libro IV. Polígonos regulares inscritos y circunscritos del periodo
jónico.
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Libro V. Extensión de la teoría de las magnitudes a los irracionales
de periodo helénico (Eudoxo).
Libro VI. Proporciones: aplicación a la planimetría del periodo
helénico.
Teoría de números
Libro VII. Teoría de divisibilidad de números primos de origen
pitagórico.
Libro VIII. Números cuadrados y cúbicos, series geométricas de
origen pitagórico.
Libro IX. Teoría de lo par e impar de origen pitagórico.
Irracionales
Libro X. Clases de irracionales cuadráticos. Anexión de áreas. del
periodo helénico (Teeteto).
Estereometría
Libro XI. Estereometría elemental del periodo jónico.
Libro XII. Método de exhausción: pirámide, cono, esfera del
periodo helénico (Eudoxo).
Libro XIII. Poliedros regulares del periodo helénico (Teeteto).
Si consideramos la estructura de cada libro se puede observar que
está estructurado en definiciones, postulados o axiomas, nociones
comunes, proposiciones y lemas. El libro I comienza con 23 definiciones
y cinco postulados. Se puede afirmar que el quinto de estos primeros
cinco postulados (axiomas) ha sido el gran quebradero de cabeza para
muchos matemáticos hasta el siglo XIX, estos postulados son:
1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera
hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo lado menores que rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el
que están los menores que dos rectos.
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Ninguna proposición de los Elementos ha tenido una vida tan agitada
como la del quinto postulado. Siempre estuvo rodeado de un futuro
incierto. Su redacción, bastante diferente a la de los otros cuatro,
produjo sobre él una gran cantidad de acontecimientos. En algunas
ediciones fue asumido como postulado por la tradición de respetar a su
traductor Adelardo de Bath y en la edición de Giovanni Campano (1482),
así como por varios editores y comentadores renacentistas: Zamberti
(1505), Luca Paccioli (1509), Tartaglia (1543), Commandino(1572). En
otras muchas, quizás a partir de la editio princeps de Simon Grynaeus
(1533), han preferido incluirlo entre las nociones comunes: F. Candalla
(1556), Clavio (1574), Vitale (1682), Gregory (1703).
Pero el trance más radical fue el de parecer una proposición
necesitada de prueba, esta amenaza se cernió sobre él desde un
principio. Proclo, historiador griego y director de la Academia de Atenas
en el S. V, afirma en sus Comentarios al libro I de los Elementos de
Euclides: Debe ser borrado por completo de los postulados porque se
trata de un teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se propuso
resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y
teoremas. Más aún: La proposición conversa es efectivamente
demostrada por el propio Euclides como un teorema. Proclo alude al
parecer a la proposición 17 del libro I: “La suma de dos ángulos
cualesquiera de un triángulo es menor que dos rectos”, pues el postulado
quinto equivale a decir que las rectas, al llegar a encontrarse por el lado
correspondiente a los ángulos cuya suma es menor que dos ángulos
rectos, forman un triángulo.
En el caso presente -continúa Proclo un poco más adelante-, el hecho
de que las rectas convergen cuando los ángulos rectos son minorados,
es cierto y necesario; por contra, la afirmación de que como convergen
más y más a medida que se prolongan, llegarán alguna vez a
encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es necesaria a falta de
un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las líneas
rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan
indefinidamente pero permanecen sin tocarse [asÿmptotoi], por más
improbable y paradójico que parezca, también es cierto y está
completamente comprobado en relación con líneas de otro tipo. ¿Por
qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo que ocurre con las
líneas mentadas?
Finalmente, el intento fallido de reducir el postulado desembocó en
el alumbramiento de las geometrías no euclidianas en el siglo XIX.
El nombre de Eudoxo de Cnido (ca. 408 - ca. 355 a. C.) no puede
pasar desapercibido en cualquier estudio sobre ciencia y cultura griega.
Según algunos autores se le puede considerar el más grande de los
matemáticos griegos, tan solo superado por Arquímedes. Discípulo de
Platón, fue médico, astrónomo, geómetra, legislador y geógrafo. Creó la
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primera teoría astronómica de los movimientos celestes. En el terreno
de la matemática su primera contribución fue dar un nuevo enfoque a
las proporciones. El descubrimiento de cada vez más inconmensurables
hizo necesario hacer frente a este tipo de números. ¿Cómo extender los
procedimientos y demostraciones geométricas que se basaban en
longitudes, áreas y volúmenes conmensurables a los inconmensurables?.
Esto, que hoy es algo usual, para los griegos, y sobre todo desde que
Platón introdujera el rigor en el procedimiento deductivo, debía
comenzarse por unas premisas y mediante una cadena de razonamientos
deductivos llegar a una proposición. Esto era la demostración legítima de
la proposición. En este campo, Eudoxo introdujo la idea de magnitud
continua. No se trataba de números sino de entidades, tales como
segmentos, ángulos, áreas, volúmenes y tiempo que podían variar de
una manera continua. No se producía un salto desde el tres al cuatro. Es
importantísima la introducción de este hecho puesto que lleva implícita
en sí misma la idea de cálculo infinitesimal. Para tomar consciencia de la
importancia y dificultad de este concepto consideremos la definición del
axioma 5 del libro V de los Elementos que Euclides tomó de Eudoxo: Se
dice que dos magnitudes están en la misma razón, la primera a la
segunda y la tercera a la cuarta, cuando, tomados cualesquiera
equimúltiplos de la primera y la tercera y cualesquiera equimúltiplos de
la segunda y la cuarta, entonces los primeros equimúltiplos ambos
exceden, son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos,
tomados en el orden correspondiente.
Es decir,
si y solo si, dados dos números naturales cualesquiera
y , si entonces , o si entonces , o bien
si entonces . Por ejemplo, para demostrar que
,
elegimos 3 y 5 al azar, si multiplicamos 3 y 4 por 3 obteniendo 9 y 12, si
multiplicamos 6 y 8 por 5, obteniendo 30 y 40, como se verifica que
9<30 entonces se tiene que 12<40, Por el contra, como
podemos
encontrar dos números 3 y 7, tales que multiplicando 3 y 2 por 7
obtenemos 21 y 14 y multiplicando 6 y 5 por 3, obtenemos 18 y 15 y se
tiene que mientras que 21>18 no es cierto que 14>15. Por lo que hemos
encontrado una pareja de números, 7 y 3, que no cumplen la condición
de equimúltiplos.
Hoy día utilizamos esta proposición para caracterizar la igualdad de
proporciones en el sentido de que,
, la definición de
Eudoxo, se utilizó en el S. XIX para generar una cortadura de Dedekind,
tomando los racionales en dos subclases, según que o .
Pero la mayor contribución de Eudoxo a la matemática fue lo que se
conoce como Método de Exhausción. Surge de la comparación entre las
áreas de figuras curvilíneas o, lo que es lo mismo, la cuadratura de estas,
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que era uno de los grandes retos de la matemática griega. En la
proposición 1 del libro X de los Elementos se recoge la base fundamental
de este método: Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la
mayor una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda una
magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una
magnitud que será menor que la magnitud dada. Este enunciado equivale
a los que hoy escribiríamos así,
entonces tal que si se verifica que por lo que se
puede afirmar, en términos actuales que
Veamos la aplicación que Eudoxo hizo de este método a la
demostración de que las áreas de dos círculos son en sí como las áreas
de los cuadrados construidos sobre sus diámetros, demostración que los
Elementos de Euclides recogen en la proposición 2 del libro X. Sean dos
círculos y de diámetros y y áreas y . Se trata de probar que
Veamos que no puede ocurrir que
; en ese caso existiría
tal que
; sea como . Inscribimos en los círculos
y dos polígonos regulares de lados y sean y sus áreas
respectivas.
Si consideramos las áreas intermedias entre los polígonos y los
círculos, es obvio que estas áreas intermedias son menores la mitad de
las áreas de los círculos. Por lo tanto, si duplicamos el número de lados
de los polígonos, estas áreas intermedias se van reduciendo hasta que
se tenga , y entonces, dado que , tendremos que
. Ahora bien, se sabe que las áreas de los polígonos semejantes
inscritos en círculos son uno a otro como los cuadrados de los diámetros
(Libro XII, prop. 1 de los Elementos), esto es que
, y como
habíamos supuesto que
resulta que
; por lo tanto si
entonces deberá ser . Pero es el área de un polígono inscrito en
el círculo de área , con lo que también
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- 15-
Contradicción, es falsa la premisa de que
-.De forma análoga se
comprueba que
tampoco puede ocurrir. Con lo cual la única
posibilidad es que
Arquímedes de Siracusa estudió en Alejandría y fue discípulo de
Euclides. Pero Arquímedes (ca. 287- ca. 212 a. C.) nació y vivió en
Siracusa, su vida ha sido muy novelada, como suele ocurrir con los
grandes. Es sin duda uno de los matemáticos más grandes de la historia.
Fue el primero en expresar con corrección la idea de infinitamente grande
e infinitamente pequeño que expresaba así: Si hay mucho, éste debe ser
a la vez grande y pequeño, y efectivamente grande hasta la inmensidad
y pequeño hasta la insignificancia.
Arquímedes utilizó el método de Eudoxo para resolver los primeros
problemas de integración. Este método, con un razonamiento formal, lo
expuso en Método de los teoremas deducibles mecánicamente. Con él
da una rigurosa demostración de la cuadratura de la parábola en la que
emplea, por primera vez en la historia, la suma de una serie geométrica
infinita. En el año 225 a. C., escribe Sobre la cuadratura de la parábola
donde obtiene el primer avance importante, calcular que el área de un
segmento de parábola es igual a
del área de un triángulo con la misma
base y vértice o
del área de paralelogramo circunscrito.
Dado un segmento parabólico con base en el segmento , el punto
es el más alejado desde la base y se llama vértice del segmento, y la
(perpendicular) distancia de a es su altura. Arquímedes probó que
el área del segmento es cuatro tercios del área del triángulo inscrito .
Esta área, la del segmento de la parábola, es
veces el área de un
triángulo con la misma base y la misma altura.
En la obra titulada Medición del círculo demuestra las tres
proposiciones siguientes:
1. Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo, uno de los
catetos es igual al radio y el otro al perímetro del círculo.
2. El área del círculo es al cuadrado de su diámetro como 11 es a 14.
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- 16-
3. El perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro
aumentado en un segmento comprendido entre
de dicho
diámetro.
Veamos el razonamiento de Arquímedes para demostrar estas
proposiciones. Considera la relación conocida de que el área de un
polígono regular de perímetro y apotema es
. Para demostrar que
Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo en el que uno de los
catetos es igual al radio y el otro al perímetro del círculo considera las
dos figuras: un círculo de radio , circunferencia y área , y un
triángulo rectángulo con base , altura y área . La proposición
sostiene que y para comprobarlo comprueba que no puede ser
, ni .
Supongamos que el área del círculo es mayor que el área del
triángulo, esto es que o lo que es lo mismo que es positivo.
Al inscribir un cuadrado dentro de un círculo y dividir en dos partes
iguales repetidamente sus lados, se puede llegar a un polígono regular
inscrito en el círculo cuya área difiera del área del círculo en menos que
una cantidad positiva prefijada (Método de Exhausción), o sea que
llamando al área del polígono regular inscrito . De ahí se
deduce que el área del triángulo es menor que el área del polígono
. Por otro lado, el perímetro del polígono es menor que el perímetro
del círculo, al ser este inscrito y su apotema es menor que el radio, se
tiene que
, entonces , contradicción con que
.
Supongamos ahora que ; en ese caso es positiva,
circunscribimos alrededor del círculo un polígono regular, entonces su
área es superior a la del círculo, si llamamos ’ al área del polígono
regular circunscrito, tenemos que, siguiendo un razonamiento similar al
anterior, puedo tomar el polígono de forma que la diferencia con el
círculo sea menor que una cantidad prefijada, esto es ,
resulta entonces que, pero la apotema del polígono es igual al
radio del círculo mientras que el perímetro es mayor que la circunferencia
del círculo, entonces
, entonces está en
contradicción con . Por tanto, al no poder ser el área del círculo ni
mayor ni menor que el área del triángulo, tiene que ser igual a ella.
Arquímedes dedujo la segunda proposición una vez demostrada la
tercera, la cual la deduce del siguiente modo: Arquímedes toma un
hexágono inscrito y otro circunscrito al círculo, entonces el perímetro del
círculo se encuentra comprendido entre el perímetro de los hexágonos
inscritos y circunscritos, esto es
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- 17-
Posteriormente duplica el número de lados del hexágono, inscribiendo
un dodecágono y calcula su perímetro, este proceso le obliga a calcular
la raíz de tres con unos métodos similares a los utilizados por los
babilonios, llegando a la aproximación
Después continúa
con los polígonos de 24, 48 y 96 lados. En cada paso tuvo que aproximar
los valores de raíces cuadradas desconocidas y al llegar al polígono de 96
lados encontró que
valor que sustituyó por los valores más sencillos
Volvió a repetir los cálculos con los polígonos circunscritos de 12, 24,
48 y96 lados llegando a que la razón del perímetro del círculo con el
diámetro es menor que
, valor que sustituyó por
. Esto nos da
que Arquímedes llegó, sin conocer todavía , a establecer que su valor
está entre 3.1412989 y 3.1428265.
Arquímedes había obtenido que el área de dos círculos están en la
misma proporción que los cuadrados de sus diámetros, proposición ya
conocida por Euclides, es decir que el área de un círculo es igual que
donde es una constante. Esa constante sabemos que hoy día es
, y
Arquímedes vuelve a sorprendernos con la aproximación
(el valor real
es 0,785398 y el de Arquímedes es 0,785714). Arquímedes ha
calculado el valor de
, como la relación entre el área de un círculo y el
cuadrado de su diámetro. Hay que tener en cuenta que la aproximación
de este valor ha sido una de las constantes en la búsqueda de resultados
matemáticos en toda la historia. De hecho, la demostración de la
irracionalidad de conseguida por Lambert en 1761 se consigue
demostrando la irracionalidad de esa misma fracción de .
En los libros Sobre la esfera y Sobre el cilindro se dedica al cálculo
de superficies no poliédricas y al manejo de longitudes de arcos. Expone
que la relación entre el volumen de un cilindro y de la esfera por él
contenida está en proporción
. Este descubrimiento debió de
satisfacerle especialmente ya que quiso que en su tumba quedara
representada la figura del cilindro y la esfera.
Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos, conocido como El
método es sin duda una de las principales obras de Arquímedes. En
1906 Heiberg descubrió en una biblioteca de Constantinopla un
palimpsesto, esto es, un pergamino que se ha lavado para poder volver
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- 18-
a escribir de nuevo, que procede del siglo X y lavado en el S. XIII para
escribir textos de carácter religioso. Heiberg mediante técnicas
fotográficas consiguió recuperar 185 páginas donde había copias de:
Sobre la esfera y el cilindro, Sobre el equilibrio de los planos, Sobre
cuerpos flotantes, la mayor parte de Sobre espirales y parte de Sobre la
medida del círculo. Pero además pudo descubrir un nuevo texto
desconocido hasta el momento, lo que será la única copia superviviente
de El Método. Este documento volvió a perderse tras la primera guerra
mundial y apareció en 1991 en manos de una familia parisina que
intentaba venderlo pensando que era un texto religioso. Al texto se le
habían añadido falsas miniaturas de imágenes con la intención de
incrementar su valor. Tras numerosos análisis se comprobó que era el
texto descubierto por Heiberg y en 1998 fue sometido a subasta por la
conocida empresa de subastas Christie’s. Finalmente fue adquirido por
2.2 millones de dólares por una persona anónima y que puso el
documento a disposición de los investigadores en el museo Walters de
Baltimore. En este museo se limpió y proceso el libro con técnicas
modernas de tratamiento de imágenes, lo que ha permitido rescatar el
texto casi en su totalidad.
Esta investigación ha permitido comprobar que Arquímedes llegó a
conclusiones sobre suma de indivisibles muy similares a aquellas que
años más tarde permitieron la invención del Cálculo diferencial por
Newton y Leibniz. Lo fundamental de los trabajos de Arquímedes, tanto
en matemáticas como en física, es su estructuración lógica, el rigor de
sus demostraciones, la originalidad y profundidad de la actividad
intelectual. Así como un magistral dominio de las herramientas de
cálculo.
La muerte de Arquímedes entra en los dominios de la Leyenda. Con el
asedio de Siracusa por los romanos durante la segunda guerra Púnica,
destacó como ingeniero al hacerse cargo de la defensa de la ciudad
cuando ésta fue atacada por Roma. Durante dos años mantuvo en
jaque a la armada de Marcelo; construyó máquinas para lanzar piedras a
gran distancia y palancas con las que, con una sola mano, volcaba los
barcos. De ahí la famosa frase: “Dadme un punto de apoyo y moveré el
mundo”. Se dice, aunque más bien parece cosa de leyenda, que incendió
las embarcaciones de los sitiadores por medio de un sistema de espejos
parabólicos. Finalmente cuando los romanos lograron entrar en Siracusa,
según cuenta Plutarco en Vidas Paralelas, Marcelo quiso conocer a
Arquímedes y ordenó que lo trajeran vivo a su presencia. Arquímedes
absorto en la resolución de un problema no respondió a las órdenes de
un soldado romano quien, sin conocerle, se irritó al no obtener de él
ninguna respuesta y lo mató.
El gran trabajo de Apolonio de Perga (ca. 262- ca. 190 a. C.) en
matemáticas es Cónicas, aunque estas fueron estudiadas mucho antes
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- 19-
por otros matemáticos, fue Apolonio quien les dio una forma sistemática.
Se sabe que Apolonio escribió además varias obras: Reparto rápido,
Sección de una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones
determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares Planos. No se
conserva ningún original de estas obras, sin embargo podemos conocer
el contenido de ellas con bastante precisión según las
descripciones de Pappus. Por ejemplo, de Lugares
planos se sabe que trató los siguientes problemas:
1. El lugar geométrico de los puntos tales que la
diferencia entre los cuadrados de sus distancias
a dos puntos fijos es constante. (La solución es
una recta perpendicular a la que determinan
estos dos puntos).
2. El lugar geométrico de los puntos cuya razón de
distancias a dos puntos fijos es constante y
distinta de uno. (Es una circunferencia, conocida
como “círculo de Apolonio”)
Pero una de las principales contribuciones de
Apolonio es el sistema utilizado para la representación
del movimiento de los planetas: los ciclos y epiciclos.
Propuso dos sistemas:
Sistema epicíclico: el planeta P se mueve girando
uniformemente sobre una circunferencia que tiene su centro C sobre
otra mayor o deferente, con centro en la Tierra (E).
Sistema excéntrico: el planeta P se mueve uniformemente sobre una
circunferencia de centro C que está sobre un círculo menor con
centro en la Tierra (E).
Es evidente que si las distancias de P a C en el sistema epicíclico es la
misma que la distancia de C a E en el excéntrico el movimiento de P es
equivalente en los dos casos.
Este sistema alcanzó gran popularidad entre los astrónomos
durante más de 1800 años debido a que fue adoptado por Ptolomeo
en su Almagesto.
Veamos algunas curiosidades de las Cónicas, de esta obra se
conserva la mitad del original, cuatro de los ocho libros que lo
componen, aunque Thabit ibn Qurra tradujo otros tres al árabe antes de
que se perdieran. En 1710 Edmund Halley publicó una traducción al latín
de los siete libros y desde esta se han realizado después muchas otras
versiones. En esta obra Apolonio da la definición de cono (de dos hojas)
que actualmente manejamos, el generado por una recta que gira sobre
un punto fijo y una circunferencia que no está el en mismo plano que el
punto. Además da el nombre a las cónicas: elipse, parábola e hipérbola
que obtiene y estudia en profundidad en ese cono. Es el primero en
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- 20-
considerar la hipérbola como una curva de dos ramas en vez de dos
curvas diferentes.
Además propuso un problema que ha jugado un papel importante a
lo largo de la historia: El lugar geométrico determinado por tres o cuatro
rectas. Se trata de lo siguiente: dadas tres (o cuatro) rectas en un
plano, hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal
manera que el cuadrado de la distancia de P a una de estas rectas es
proporcional al producto de las distancias de las otras dos midiendo
siempre estas distancias en direcciones que formen ángulos dados con
las líneas correspondientes. En el caso de las cuatro rectas el producto
de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las
distancias a las otras dos. Con los métodos analíticos modernos es fácil
demostrar que este lugar geométrico es una cónica, en el caso de
técnicas geométricas no es sencillo, Apolonio necesitó más de 50
proposiciones para dar la solución. Si las rectas tienen ecuaciones
,
, y los ángulos según los cuales
hay que medir las distancias son y entonces el lugar
geométrico es:
Que al ser una ecuación de segundo grado sobre y es, en general,
el lugar geométrico es una cónica. Posteriormente, Pappus, propuso una
generalización de este problema para más de cuatro rectas y fue esta
generalización del problema la utilizada por Descartes en 1637 para
demostrar la utilidad de su geometría analítica.
Los métodos de Apolonio no difieren en gran medida del
planteamiento analítico moderno, su método se ha llegado a considerar
como una anticipación a la geometría analítica de Descartes. Utiliza
rectas para establecer sistemas de referencia, las distancias medidas
sobre un diámetro a partir de un punto de tangencia son las abscisas y
los segmentos paralelos a la tangente, interceptadas por el diámetro y la
tangente son las ordenadas. Lo que no se consideraban era magnitudes
negativas y cada curva tenía un sistema de referencia propio y diferente
del de otras curvas. No se planteaba describir una curva a partir de un
sistema de referencia, sino al revés, el sistema de referencia depende de
la curva.
Aristarco de Samos (ca. 310 - ca. 230 a. C) escribe sobre el 260 a. C.
el libro Sobre los tamaños de y distancias del Sol y la Luna, en el que
supone un universo geocéntrico, a pesar de que según Arquímedes y
Plutarco, había expuesto un sistema astronómico heliocéntrico. En esta
obra, Aristarco realiza la observación de que cuando la Luna está
exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del
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- 21-
Sol y la visual dirigida al centro de la Luna es menor que un ángulo recto
en un treintavo de ese cuadrante (esto es
). Al no disponer
de tablas trigonométricas, Aristarco recurre a las desigualdades
siguientes
, para 0°< α < β < 90°.
De aquí llega a la conclusión de que
, con lo que el Sol
está entre 18 y 20 veces más lejos que la Luna. Hay que destacar que si
bien los resultados se alejan mucho de la realidad, más de 400 veces
más lejos, el procedimiento es totalmente correcto y los resultados
serían válidos si en vez de obtener un ángulo de 87° hubiera obtenido los
89° 50’ correctos. A partir de aquí y con una sencilla semejanza de
triángulos obtuvo la relación de radios entre el Sol y la Luna con la
Tierra.
Para conseguir una estimación de los tamaños reales de la tierra y el
sol, se necesitaba medir el radio de la Tierra. Entonces Eratóstenes de
Cirene (ca.276 - ca. 195 a. C.) realiza los cálculos más precisos de la
época griega. Eratóstenes observó que el día del solsticio de verano, a
mediodía, el Sol alumbraba directamente en vertical el fondo de un pozo
muy profundo en Syena (cerca de Assuan).
Con ayuda de un compañero observaron que en Alejandría, a unos
5000 estadios al norte de Syena, el Sol proyectaba una sombra que
indicaba que el ángulo con el cenit del Sol era de un cincuentavo del
círculo, entonces, por la igualdad de ángulos y , la
circunferencia de la tierra debe ser de 50 veces la distancia entre Syena
y Alejandría. Esto supone un perímetro de 250000 estadios, o bien, como
cada estadio son unos 185 m., unos 46000 Km. Posteriores
aproximaciones llegaron a 252000 estadios, unos 46620 Km.
Otro hecho por el que Eratóstenes es conocido es por su famosa
criba. Es un método para obtener los números primos. Escribe en una
tabla todos los números naturales ordenados de forma creciente, a partir
del dos se va suprimiendo alternativamente uno sí, el siguiente no, a
partir del tercer número (de la sucesión original) se suprime cada tres,
así sucesivamente. Los huecos que quedan son los números primos.
Esto se conoce como “La criba de Eratóstenes”.
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- 22-
Claudio Ptolomeo (ca. 83 - ca. 161) escribió el
libro Sintaxis Matemática que tuvo gran
trascendencia en las obras astronómicas y
trigonométricas posteriores, hasta el punto que en
Arabia se le conocía como Almagesto (el más
grande) y desde entonces se le conoce con este nombre. En este libro
se exponen una gran cantidad de tablas trigonométricas y los métodos de
cálculo empleados. Entre esas construcciones está el cálculo de cuerdas
en un círculo, de aquí surge el conocido “teorema de Ptolomeo”:
Teorema: Si es un cuadrilátero convexo inscrito en una
circunferencia, entonces , es decir la suma
de los productos de lados opuestos, es igual que el producto de las
diagonales.
La demostración es sencilla si trazamos el segmento tal que el
ángulo sea igual al ángulo y observamos que el triángulo
es semejante entonces al triángulo y también es semejante a
, entonces
o lo que es lo mismo .
Como también se tiene que
entonces .
Sumando miembro a miembro ambos resultados.
A partir de aquí considera el caso en el que es un diámetro,
entonces si llamamos a , al arco y al arco ,
entonces , ,
y
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- 23-
Por lo tanto, el teorema de Ptolomeo conduce a los siguientes
resultados conocidos:
De forma similar se obtendrían
3. La matemática china
La civilización china, una de las más antiguas del mundo situemos
científicamente tiene sus los orígenes unos milenios antes de los griegos.
Entre los muchos autores que podrían destacarse, señalamos al
matemático, geógrafo y astrónomo Zhang Heng (78 - 139), llegó a ser
Astrólogo Jefe y Ministro bajo el Imperio An’ti de China. En el año 123
corrigió el calendario para introducir las estaciones. Posteriormente, en
132, Heng inventó el primer seismoscopio para medir terremotos. El
aparato tenía forma de cilindro con ocho cabezas de dragón rodeando la
parte superior, cada dragón tenía una bola en la boca. Rodeando la parte
inferior había ocho ranas, debajo de cada una de las cabezas de dragón.
Cuando ocurría un terremoto una bola caía desde la boca del dragón
hasta la boca de la rana haciendo ruido. Heng fue la primera persona en
China en construir un Globo celeste giratorio. Escribió sobre el tema en
su libro Hun-i chu donde describe su versión del universo: El cielo es
como un huevo de gallina, y da vueltas como el perdigón de una
ballesta. La tierra es la yema del huevo, completamente sola en el
centro. El cielo es grande y la tierra es pequeña.
La civilización china también realizó aproximaciones al número , en
el S. III Liu Hiu, mediante el cálculo a través de un método similar al de
Arquímedes con un polígono de 3072 lados llega a la aproximación de
3.14159 y, posteriormente, Tsu Cheng-Chih llega al valor de 3.1415927
por exceso y 3.1415926 por defecto, situándolo muy cerca del valor real.
Uno de los documentos más antiguos es el Chui-chang suan-shu o
“Nueve capítulos sobre el arte matemático”, es la obra que
probablemente ejerció la mayor influencia de todos los libros chinos.
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Contiene 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía,
ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de
los triángulos rectángulos. Entre las técnicas de resolución expuestas
destaca el método de la “falsa posición”.
Uno de los problemas más conocidos del noveno y último capítulo de
libro es el “problema del bambú roto”: Hay un bambú de 10 pies de
altura que se ha roto de tal manera que su extremo superior se apoya en
el suelo a una distancia de tres pies de la base, se pide calcular a qué
altura se ha producido la rotura.
Es muy destacable en los Nueve capítulos la introducción de los
cuadrados mágicos; según cuenta una leyenda, en los días del
emperador Yii, famoso ingeniero hidráulico, vio una tortuga del río que
llevaba en su caparazón el siguiente cuadrado mágico:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
También destacamos la resolución de un sistema de ecuaciones
mediante el método que hoy conocemos como Método de Gauss. Para a
resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
escribiendo el sistema en columnas y mediante operaciones sobre dichas
columnas de la matriz reduciéndola a la forma triangular
con lo que se obtiene el sistema de ecuaciones
de donde se obtiene fácilmente, y de forma sucesiva que las soluciones
son
Uno de los últimos matemáticos chinos fue Chu Shih-Chieh (ca. 1270 - ca.1330), que escribió dos tratados Suan-hsüeh ch’i-meng o
“Introducción a los métodos matemáticos”, que estuvo desaparecido
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hasta el S. XIX y que no es más que un libro de matemática elemental. El otro Ssu-yüan yü-Chien o ”Espejo precioso de los cuatro elementos”,
escrito en 1303 y que estuvo también perdido durante un siglo, marca la cota del desarrollo chino donde se dan métodos para resolver
ecuaciones individuales de grados hasta 14. Se desarrolla el método de resolución Horner, llamado por él fan fa, si se pretende resolver la
ecuación obtenemos la primera aproximación, que
es o , se aplica, el fan fa que es la transformación
, para obtener la ecuación , el valor
aproximado de la raíz de esta ecuación está entre y , y es
, por lo tanto la solución a nuestra ecuación es
.
Otro trabajo destacable es el de Ch’in Chiu Shao (cas 1202 - ca.
1261) que en su libro Shu-Shu Chiu-Chang o “Tratado matemático en
nueve secciones” marca un sistema de congruencias simultáneas que
posteriormente fue utilizado por Gauss, Lebesgue y Stieltjes. Además es
curioso que utiliza reiteradamente el método Horner para calcular la raíz
cuadrada de 71824. En primer lugar parte de la ecuación ,
determina que la solución es mayor de , por tanto aplica la
transformación x = y – 200 llegando a la ecuación
. Para esta segunda ecuación encuentra que es una aproximación de
la raíz y aplica la transformación – ., obteniendo la ecuación
de la que es una raíz, y por tanto encuentra que
De una forma análoga llega a resolver ecuaciones cúbicas y
cuárticas.
Otro matemático chino fue Yang Hui (ca. 1238 - ca. 1298) que
escribió Cheng Chu Tong Bian Ben Mo o “Alfa y omega de variaciones en
multiplicación y división”. A él se le deben los primeros cuadrados
mágicos chinos de orden mayor que tres y hasta el orden diez, de hecho
dio dos ejemplos de cada orden hasta el ocho, un ejemplo de nueve y
otro de diez. Este tipo de cuadrado ha intrigado a mucha gente desde
entonces, incluso el mismísimo Benjamin Frankiln, diputado por
Filadelfia y redactor, junto a Jefferson y Adams, de la declaración de
Independencia de los Estados Unidos e inventor del pararrayos, en los
debates políticos del congreso se dedicaba a confeccionar cuadrados
mágicos cuando estos se volvían tediosos.
4. Las matemáticas árabes
Mahoma nace aproximadamente en el año 570 en La Meca y muere
en Medina en el año 632. Un siglo después los árabes tienen el control
del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India, etc. En el año 755 el
estado islámico se escindió en dos partes, el reino occidental, con capital
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en Córdoba, y la oriental en Bagdad. Los árabes recogen la herencia
griega, los trabajos de Diofanto, etc. Alrededor del 800 traducen al árabe
los Elementos de Euclides de los bizantinos. Traducen a Ptolomeo en el
año 827. También, entre otros, a Apolonio, Arquímedes, Herón y las
obras hindúes. Conocieron el sistema posicional de los hindúes, pero a
pesar de que estos últimos aceptaban los números negativos, ellos los
rechazaron. Del 650 al 750 fue un desierto intelectual.
De no ser por el despertar cultural de la civilización árabe durante la
segunda mitad del siglo VIII, se habrían perdido una gran cantidad de
obras y conocimientos de ciencia y matemática. En esa época el imperio
Árabe estaba escindido en dos reinos con capitales en Bagdad y Córdoba.
Las dos capitales atrajeron a científicos y apoyaron fuertemente su
trabajo, si bien Bagdad fue la que realizó una labor más importante. Los
sabios procedentes de Siria, Irán y Mesopotamia, judíos o cristianos,
fueron trasladados a Bagdad y formaron la “Casa de la Sabiduría”
comparable al Museo de Alejandría. Los Califas Al-Mansur , Harun Al-
Rasid y Al-Mamun convirtieron a Bagdad en centro de la cultura, durante
el reinado del segundo, conocido por Las mil y una noches, se tradujeron
al árabe parte de la obra de Euclides, pero fue durante el reinad de Al-
Mamun (809 - 833) cuando se dieron rienda suelta a las traducciones.
Se dice que Aristóteles se le apareció al Califa y a consecuencia de ello
decidió traducir al árabe todas las obras griegas, de los bizantinos
trajeron los Elementos de Euclides, en 827 tradujeron el Almagesto y
Tetrabiblos de Ptolomeo, y muchas otras obras de Arquímedes,
Aristóteles, Apolonio, Herón, Diofanto y obras de origen hindú.
Después de leer y asimilar las obras se dedicaron a mejorarlas e
introducir comentarios en ellas. En este proceso surgen grandes
científicos y matemáticos como Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-
Khwarizmi (ca. 780 - ca. 850). El tratado sobre álgebra Hisab al-jabr
w’al-muqäbala, escrito en el 830, es el más famoso e importante de
todos los trabajos de Al-Khwarizmi. En este libro de inspiración en la obra
de hindú Bramagupta (c. 598), aunque también tiene influencias
babilónicas y griegas, introduce métodos de resolución de ecuaciones
lineales y de todos los tipos de ecuaciones cuadráticas. Al-jabr significa
“restauración” del equilibrio mediante la transposición de términos de
una ecuación; muqäbala significa la “simplificación” de la expresión
mediante la cancelación de términos semejantes de cada lado de la
ecuación. Trata también de problemas geométricos, de cálculo de
volúmenes y áreas y de la aritmética de objetos algebraicos.
Precisamente cuando se tradujo esta obra al latín, se conocen dos
versiones, una en árabe y, la primera del S. XII, se tradujo como Ludus
algebrae et almucgrabalaeque, (Juegos de restauración y simplificación).
En todas las traducciones aparece la adaptación de Al-jabr a la palabra
actual álgebra, por ejemplo, la traducción Liber algebrae et almucabala, a
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la que le falta el prólogo.
En este prólogo Al-Khwarizmi nos indica que el Califa Al-Mamun le
anima a: ... componer una obra breve sobre el Cálculo por las reglas de
la Completación y de Reducción, limitándose a lo que es a la vez más
fácil y más útil en la aritmética, y tal como lo que los hombres necesitan
constantemente en los casos de herencias, legados, particiones, pleitos,
así como en el comercio y en todas sus relaciones unos con otros, o
donde se necesitan mediciones de tierras, excavaciones de canales,
cálculos geométricos y otros asuntos de muy diversos tipos.
El libro se inicia con una introducción sobre notación posicional para
los números y expone, en seis capítulos, la solución de los seis tipos de
ecuaciones considerando la presencia de los tipos de cantidades: Tesoro
(cuadrados), raíces y números, esto es, x2, x y números. Así se obtienen
las siguientes ecuaciones:
Tesoro igual a raíces
Tesoro igual a números
Raíces igual a números
Tesoro y raíces igual a números
Tesoro y números igual a raíces
Tesoro igual a raíces y números
Donde a, b y c son siempre positivos. En su trabajo evita los
números negativos en solitario y la sustracción de cantidades mayores
que el minuendo. Al-Khwarizmi reconoce que una ecuación cuadrática
puede tener dos raíces, pero da solamente las que son reales y positivas,
aunque sean irracionales. Las soluciones están formuladas en forma de
recetas orientadas a completar cuadrados y aplicados a ejemplos
concretos. Las fórmulas se justifican mediante construcciones
geométricas. Veamos a continuación la forma de resolver ecuaciones de
segundo grado propuestas por Al-Khwarizmi, concretamente nos
referimos al cuarto caso, una ecuación del tipo:
Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco,
y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25, al que le sumas
el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada
de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces
y obtienes 3, que es el valor buscado
En notación moderna tendríamos que
que se
corresponde para una ecuación, en general, de la forma q, con
observar que la ecuación se transforma en
y
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como
, se tiene que
Al-Khwarizmi aporta una justificación geométrica en la que para
resolver esta ecuación identifica con un cuadrado unido a un rectángulo
de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades.
Continúa con la división del rectángulo en dos partes iguales, de base
5 cada una, trasladando y girando 90° se llega a la figura:
Completando ésta con un cuadrado de lado 5, tendríamos una figura
en la cual el área total es de unidades y que también es un
cuadrado de lado .
Pero, como su área es de 64 unidades, el lado debe ser 8, y por
tanto x debe ser 3. En este caso, aunque Al-Kwarizmi es consciente de
que la solución −7, también es posible, no la contempla por ser
negativa.
Otro ejemplo interesante es la resolución del quinto caso: Divide 10
en dos partes, multiplica cada parte por sí misma, sumas y obtendrás 58
dirhams. La solución que él expone para este problema es la siguiente:
Llamamos a una de las partes x, la otra será , multiplícala por si
misma, así obtendrás , y multiplicando por , tendrás
. Súmalas y obtendrás , 58 dirhams. Enriquece los
del deficiente que añadirás a los 58 obteniendo
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- 29-
,
Devuelve esto a un único , lo que harás tomando la mitad de todo lo
que tienes, obtendrás
x.
Haz el equilibrio ahí dentro, es decir quita de los 50 los 29, se quedará
Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5,
multiplícalo por sí mismo, obtienes 25 al que debes restar los números,
en este caso 21, obteniendo 4. Extrae la raíz cuadrada que es 2 y lo
restas del número de la mitad de las raíces, que era 5, y obtienes 3 que
es la solución. Si deseas puedes también sumar ese valor 2 a la mitad
de las raíces que es 5 y obtienes 7, que también es solución. Cuando un
problema está dado en esta forma, puedes ensayar con la adición. Si no
resulta, es indudable que resultará con la sustracción. Este es el único
caso en que hay que tomar la mitad de las raíces, y que puede ofrecer
solución por adición o sustracción.
Si observamos este procedimiento de forma geométrica, vemos que
la solución para este problema es la siguiente: Supone que es un
cuadrado de lado desconocido x y añade un rectángulo de la misma
altura y base indeterminada pero con área 21.
Al ser igual que , como la altura de la figura es x, entonces la base
debe ser 10, por lo que divide esta base por la mitad y levanta un
cuadrado con este lado.
Ahora resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de
lado 5 y las áreas sombreadas son iguales.
Por lo tanto el área sombreada de la siguiente figura también es 21.
Pero el área del cuadrado grande era 25, por lo que el área del
cuadrado más pequeño es , de donde su lado es 2 y por tanto,
, que es la altura del rectángulo, mide . Utilizando un dibujo
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semejante Al-Khwarizmi encuentra la otra solución positiva x = 7.
Otros libros interesantes de Al-Khwarizmi son: Algoritmi de numero
Indorum, sólo se conserva una traducción al latín, habla sobre el
funcionamiento del sistema decimal de numeración y del cero que se
usaba en la India; Sindhind zij sobre astronomía, basado en los trabajos
hindúes sobre astronomía y en él expone calendarios; cálculos correctos
de la posición del Sol, la Luna y varios planetas; tablas de senos y
tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de eclipses
y visibilidad de la Luna. Al-Khwarizmi también escribió el mayor trabajo
de la época sobre geografía, en él daba las latitudes y longitudes de 2402
localizaciones de todo el mundo: ciudades, montañas, mares, islas,
regiones geográficas y ríos.
El S. IX es un siglo fundamental para la matemática árabe, además
de las obras de Al-Khwarizmi, tenemos a Abu-I-Hasan Thabit Ibn-Qurra
ibn Marwan al-Harrani (826 - 901), que fue fundador de una escuela de
traductores, especialmente del griego y del sirio. A él se le deben las
traducciones de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y
Eutocio. De no ser por Ibn Qurra, conoceríamos los cuatro primeros libros
de las Cónicas de Apolonio en vez de los siete primeros. Pero Thabit
además de traducir las obras intentaba generalizar y sugerir
modificaciones. Una de las más notables es la siguiente: si son
números primos de la forma: y
entonces los números y son números amigos, es
decir, cada uno de ellos es igual a la suma de todos los divisores propios
del otro.
En el libro Sobre el movimiento de las estrellas, escrito por Abu
Allah Mohammad ibn Jabir Al-Battani (ca. 850 - 929), que se le conoce
en Europa como Albategnius, nos encontramos las ideas básicas de la
trigonometría moderna. Y en esa misma época Abu’l-Wefa Muhammad
inb Yahya ibn Ismail ibn al-Abbas al Buzgani (940 - 998) ordena el
Almagesto de Ptolomeo reemplazan- do el cálculo con cuerdas por la
utilización de la función seno. Da las fórmulas de seno de ángulo doble y
ángulo mitad. Desarrolló con una formulación clara y precisa el teorema
de los senos para triángulos esféricos, construyó una nueva tabla de
senos de ángulos de cuarto en cuarto grado con ocho cifras decimales,
una tabla de tangentes, y todos sus cálculos los hizo utilizando las seis
razones trigonométricas y sus relaciones.
Su sucesor, Abu Bakr Muhammad ibn al-Hassan al-Hasib al-Karkhi (
ca.1020) se interesó más por el álgebra de Al-Khwarizmi y llegó a
realizar la primera resolución numérica de una ecuación de la forma
c, en la que sólo consideraba las raíces positivas
abandonando la restricción diofántica de no tener en cuenta más que los
números racionales. Se le considera el primer árabe que enunció y probó
teoremas de la teoría de números sobre la suma de cuadrados y de
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cubos para los primeros números naturales.
Hemos de destacar también a Abu Rayhan Muhammad ibn Al-Buruni
(973- 1048) quien para resolver la inscripción del polígono de nueve
lados en una circunferencia llega a la conclusión de que el problema se
reduce a la resolución de la ecuación , dando una solución
aproximada en fracciones sexagesimales equivalente a 1.8798352468,
con una precisión de al menos seis cifras decimales exactas.
Abu Ali al-Hasan ibn Al-Haytam (ca. 965 - 1039), conocido como
Alhazén en occidente, fue uno de los grandes médicos y matemáticos
árabes. Se conocen más de 92 títulos de sus obras, de ellas 25 versaban
sobre matemáticas. En el tratado más importante, Los tesoros de la
óptica, realiza una contribución muy importante al sustituir los rayos
visuales , que según Ptolomeo partían del ojo, por rayos luminosos que
van desde el objeto hasta el ojo. Analizó el aumento aparente de las
dimensiones de la Luna cerca del horizonte, la estimación de la altura de
la atmósfera partiendo de la observación de que los rayos del Sol
permanecen visibles hasta el momento en el que el Sol está situado a
191º por debajo del horizonte. Dejó un problema, conocido con su
nombre: Dado un espejo esférico, encontrar un punto del mismo que
tenga la propiedad de reflejar hacia un observador un rayo luminoso que
parte de una fuente neta.
Llegamos a Abu-I-Fath Umar ibn Ibrahim al-Jayyami Giyat al-Din (ca.
1048- ca. 1122), que era poeta, algebrista y reformador del antiguo
calendario persa. Escribió un Álgebra que extendía la Al-Khwarizmi hasta
las ecuaciones cúbicas. Para las ecuaciones cuadráticas daba dos tipos
de soluciones: las aritméticas y las geométricas, mientras que para las
ecuaciones cúbicas pensó que no habría posibilidad de dar soluciones
aritméticas, por lo tanto sólo daba soluciones geométricas. Utilizó la idea
expresada por Mecnemo, Arquímedes y Alhazén de utilizar intersecciones
de cónicas para resolver las ecuaciones cúbicas, aunque su éxito se basa
en dar un método general para cubrir todas las ecuaciones cúbicas que
tengan alguna raíz positiva. A este respecto Umar Jayyam expresa la
observación siguiente: esto no puede resolverse por medio de la
geometría plana debido a que tiene un cubo, para resolverlo necesitamos
secciones cónicas. Los métodos que utilizaba Umar Jayyam para resolver
ecuaciones cúbicas se pueden expresar actualmente de una forma más
sencilla: Sea la ecuación cúbica si sustituimos en
ella por obtenemos , que es la
ecuación de una hipérbola, entonces la solución de la ecuación cúbica es
la intersección de la hipérbola y la parábola de ecuación
Para tomar conciencia de la dificultad de método utilizado, hay que
tener en cuenta que Umar Jayyam no tenía bien asimilada la raíz
negativa, la expresión de una cónica en términos de parámetros, los
coeficientes negativos o cero, el conocimiento de todas las intersecciones
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de cónicas, etc.
A todo esto hay que añadir que, mientras que en el álgebra griega las
soluciones geométricas se obtenían por segmentos y daban segmentos,
el tratamiento de Umar Jayyam era con números. En este sentido
podemos afirmar que, en cierta forma, se anticipa a Descartes cuando
afirma: Quien quiera que piense que el álgebra es un sistema de trucos
para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente. No se debe
prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son
en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos
que están demostrados.
En el texto de su Álgebra expresa que ha encontrado una regla para
hallar las potencias cuartas, quintas, sextas y de grado más elevado de
un binomio, pero hasta ahora no se ha encontrado dicho texto. Se
supone que debido a las conexiones de China con Persia por la antigua
ruta de la seda pudo pasar alguna información científica y entre ella el
conocido triángulo de Pascal, que según todos los indicios, apareció en
China por esa misma época. En este triángulo podría ser la referencia de
Umar Jayyam para las potencias del binomio.
Como hemos visto hasta el momento, los árabes se sentían más
atraídos por el álgebra y la aritmética que por la geometría. Sin
embargo, hay un aspecto de ésta que merece un análisis más detallado.
Ya en la época de Euclides, como habíamos comentado, hubo intentos de
demostrar el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro.
Los árabes continuaron con este intento, en este sentido Alhazén
comenzó considerando un cuadrilátero trirectángulo, cuadrilátero
conocido hoy como “cuadrilátero de Lambert”, en su “demostración”
suponía Alhazén que el lugar geométrico de un punto que se mueve
permaneciendo a una distancia constante de una recta dada es siempre
otra recta paralela a la dada, hipótesis equivalente al postulado de
Euclides. Umar Jay- yam criticó, en su obra Comentarios sobre las
dificultades de los postulados de los Elementos de Euclides, este
planteamiento ya que la idea de movimiento había sido excluido, de
forma terminante por Aristóteles, en la geometría. Entonces inició su
planteamiento partiendo de un cuadrilátero que tiene dos lados
semejantes y perpendiculares a la base, lo que hoy se conoce como
“cuadrilátero de Saccheri”, y se pregunta sobre la naturaleza de los
ángulos superiores del cuadrilátero que son necesariamente iguales.
Elimina, en virtud de la convergencia de dos líneas que implica una
intersección común, la posibilidad de que sean agudos y obtusos, por lo
que solo serían rectos.
De esta forma mediante 4 principios y 8 proposiciones desarrolla una
argumentación que, por primera vez en la historia, conduce a la hipótesis
del ángulo agudo, del ángulo obtuso y del ángulo recto. Estas tres
hipótesis fueron ampliamente estudiadas por Girolano Saccheri (1667 -
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- 33-
1733) y condujeron respectivamente a la geometría no euclídea de
Bolyai-Lobatchevski y a la geometría de Riemann.
En esa misma obra, Comentarios, realiza una exposición crítica de la
teoría de las proporciones de los Elementos de Euclides. Su formulación
sobre la igualdad de dos proporciones podemos considerarla como un
avance de la teoría de Dedekind y Cantor sobre la definición del número
real, de hecho afirma: dos razones son iguales si pueden ser
expresadas mediante la razón de números enteros, con un nivel de
precisión tan grande como se desee. Es, indudablemente, una igualdad
en la que recurre a la idea actual de límite.
Tras la muerte de Umar Jayyam la ciencia árabe entra en un proceso
de decadencia. Las discordancias de tipo religioso y político podrían estar
entre las causas de esta decadencia. En esta decadencia aún quedan
unos pocos trabajos que destacan. Uno de ellos es el de Nasir al-Din al-
Tusi (1201 - 1274), astrónomo al servicio del nieto de Gengis Khan, que
continuó con los esfuerzos de demostrar el axioma de las paralelas, sus
trabajos fueron publicados en el S. XVII por Wallis y parece ser que son
la base de los trabajos de Saccheri. También escribió el primer tratado
sistemático de trigonometría plana y esférica exponiéndolo como una
materia independiente de la astronomía. También se le debe una de las
primeras críticas a la teoría de ciclos y epiciclos de Ptolomeo, en su
trabajo indicaba que si daban ciertas condiciones el movimiento del
planeta podría ser rectilíneo. El resultado se conoce como el “Teorema
de Nasir al-Din”.
Finalmente señalamos también a Ulugh Beg (1394 - 1449), quien a
los dieciséis años fue gobernador de Samarcanda, convirtiéndola en un
importante centro militar, político y cultural de la zona. Ulugh Beg era en
primer lugar científico, fundamentalmente matemático y astrónomo, pero
también se dedicaba a la poesía, teología e historia. En este último
campo escribió Historia de los cuatro Ulús (tribus oriundas de Gengis
Kan). Construyó el observatorio de Samarcanda y escribió excelentes
libros sobre métodos numéricos de resolución precisa para ecuaciones
cúbicas, teoremas del binomio, fórmulas de trigonometría esférica.
Elaboró tablas precisas de senos y tangentes con hasta ocho decimales
correctos y es especialmente importante su Catálogo de las estrellas de
1437, el primer compendio estelar desde Ptolomeo, que da la posición
de 992 estrellas. Un ejemplo de sus tablas trigonométricas es
mientras que la aproximación correcta es
.
Llegó a establecer que un año solar tiene una duración de 365 días 5
horas 49 minutos y 15 segundos, muy cercana a la que hoy día se
considera de 365 días 5 horas 59 minutos y 45,5 segundos. Teniendo en
cuenta que hay una variación de aproximadamente medio segundo por
siglo, la medida de Ulugh Beg se puede considera muy buena. Al
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- 34-
servicio de Ulug Beg se encontraba Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-
Kashi (ca. 1380 - ca. 1429), científico y escritor fecundo que cuenta en
su haber numerosas obras sobre matemáticas y astronomía. Su
estimación del número π, utilizando el método Horner, no fue mejorada
hasta finales del siglo XVI. Con este método llegó a dar el valor de 2л,
en forma sexagesimal: 6; 16, 59, 28, 34, 51, 46, 15, 50, y en forma
decimal: 6,2831853071795865. También nos encontramos en su obra el
desarrollo del binomio en la forma del triángulo de Pascal.
5. De la Edad Media al Renacimiento
Para analizar bien el paso de la ciencia por la Edad Media es
inevitable tropezar con el desarrollo de la Iglesia. Demos un breve repaso
a la situación de Europa en esta Edad Media, a principios del S. IV los
hunos condujeron hacia el oeste a los godos y a las tribus germánicas
que ocupaban Europa central.
En el S. V los godos conquistaron el Imperio Romano de Occidente.
Incluso antes de la caída del Imperio Romano, la Iglesia Católica estaba
organizada y era poderosa. La iglesia convirtió gradualmente a los
bárbaros germánicos y godos al cristianismo y comenzó a fundar
escuelas; estas estaban asociadas a monasterios ya existentes, que
conservaban fragmentos de las culturas griega y romana y habían estado
enseñando a la gente a leer los servicios de la iglesia y los libros
sagrados. La necesidad de formar hombres para puestos eclesiásticos
motivó el desarrollo de escuelas superiores.
En la última mitad del s. VIII, algunos dirigentes seglares fundaron
más escuelas. En el imperio de Carlomagno, las escuelas fueron
organizadas por Alcuino de York (730 - 804), un inglés que vino a Europa
por invitación del mismo Carlomagno. Estas escuelas también estuvieron
asociadas a catedrales o monasterios, y enfatizaban la teología cristiana
y la música. En realidad, las universidades en Europa se desarrollaron a
partir de las escuelas eclesiásticas, con profesores suministrados por las
órdenes religiosas, como los franciscanos y los dominicos. Bolonia, la
primera universidad, fue fundada en 1088 y le siguieron las
universidades de París en 1200, Oxford en 1214, Padua en 1222 y
Cambridge en 123. Por supuesto que, en sus comienzos, difícilmente
podían ser consideradas como universidades en el sentido actual.
Además, aunque formal- mente eran independientes, estaban
esencialmente dedicadas a los intereses de la Iglesia.
A medida que la Iglesia extendía su influencia, iba favoreciendo e
imponiendo una determinada cultura, el latín era la lengua oficial de la
Iglesia y por ello se convirtió en el lenguaje internacional de la ciencia.
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- 35-
Se imponía la necesidad de unos traductores. El principal traductor,
cuyas obras fueron ampliamente utilizadas hasta el siglo XII, fue Anicio
Manlio Severino Boecio (ca. 480 - 524), descendiente de una de las más
antiguas familias romanas. Su Institutione aritmetica libri duo (Tratado
de aritmética en dos libros) basada en la obra de Nicómaco de Gerasa (S.
II) sirvió para dar a conocer a los estudiosos medievales la teoría de
números de Pitágoras. Tradujo algunos libros los Elementos de Euclides y
obras de Aristóteles, escribió una astronomía basándose en Ptolomeo.
Las obras de este traductor junto a Aurelio Casiodoro (ca. 480 - ca. 575)
e Isidoro de Sevilla (ca. 560 - 636) sirvieron de base para la enseñanza
del quadrivium en los centros de enseñanza medievales. En esa época
formaban el quadrivium: aritmética, geometría, astronomía y música.
Estas cuatro materias junto con las del trivium : gramática, lógica y
retórica, constituían las siete artes liberales. De este modo parece que la
división tradicional de Letras y Ciencias sea, en nuestros planes de
estudios, un resto arqueológico del trivium y quadrivium.
Hacia finales del primer milenio, Gerberto (ca. 940 -1003), un francés
educado en las escuelas árabes de España, que más tarde fue el papa
Silvestre II, introdujo el uso de un tipo de ábaco. Al crearse las
universidades, se crean también las llamadas escuelas de ábaco que
podrían considerarse como las primeras escuelas de formación
profesional ya que en ellas se impartía la formación necesaria para los
comerciantes y mercaderes.
A finales de la Edad Media lo que se busca es la restauración de la
ciencia clásica, se pretende volver a la ciencia y cultura griega,
recuperar los momentos dorados del saber humano. Por ello surgen
escuelas de traductores, la más importante fundada por Alfonso X el
Sabio (1252 - 1284) en Toledo. En esta Escuela de Traductores de
Toledo están personas como Gerardo de Cremona (1114 - 1187), que él
solo tradujo del árabe más de ochenta obras; Adelardo de Bath (ca. 1075
- 1160), traductor junto a Pedro Alonso de las Tablas astronómicas de Al-
Khwarizmi (1126), de los quince libros de los Elementos de Euclides
(1142) -Euclides solo escribe trece- y del Almagesto de Ptolomeo;
Roberto de Chester tradujo Álgebra de Al-Khwarizmi en 1145 y otros
muchos más. Desde Toledo se extienden todas estas obras hacia toda
Europa y co- mienza a admirarse la matemática árabe. Es en esta época
cuando comienza, con las traducciones, la confusión entre el nombre Al-
Khwarizmi y la palabra “algorismo” o “algoritmo”.
En 1202 escribe Leonardo de Pisa (ca. 1180 - 1250), conocido como
Fibonacci, su libro Liber abaci (Libro del ábaco), que curiosamente no
trata sobre el ábaco, sino que es un tratado muy completo sobre
métodos y problemas algebraicos en el que recomienda enérgicamente
el uso de los números hindú-arábigos. El libro comienza defendiendo la
idea de que la aritmética y la geometría están conectadas y cada una se
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apoya en la otra. Sin embargo, se ocupa mucho más del número que de
la geometría; en primer lugar describe las nueve formas hindúes del
número junto con el signo 0 que llama zephirum (en árabe) y es esa
palabra la que da origen a las palabras “cifra” y “cero”. Él mismo indica el
motivo de tal presentación:
Cuando mi padre, escribano público en la oficina de Bugía
para los mercantes pisanos que a ella afluyen, fue por la
República encargado de dirigirla, me hizo ir junto a él en mi
adolescencia, y dándose cuenta de la utilidad que me
proporcionaría, quiso a continuación que por bastantes días
permaneciera allí para estudiar el ábaco y que sobre él fuera
instruido.
Fui introducido en tal arte de una maravillosa enseñanza
por medio de las nuevas figuras de los hindúes, mucho me
gustó por lo demás conocer tal arte.
Y esforzándome a fondo comprendí todo lo que de él se
estudiaba en sus varios aspectos en Egipto, Siria, Grecia,
Sicilia y Provenza, lugares comerciales que sucesivamente
visité y donde aprendí a confrontarme en disputas...
Asumido en breve tal procedimiento de los hindúes y
aplicándome con celo a él, y añadiendo algunas cosas mías,
y, más aún, adjuntando algunas sutilezas de Euclides, me
he dedicado a componer, en el modo más comprensible
que me ha sido posible, este libro, donde presento con
prueba cierta casi todo lo que en él he introducido. Y todo
esto con el objetivo de que aquellos que, por esta ciencia
se sientan atraídos, vengan instruidos en ella de modo
perfecto, y que la gente latina no se halle excluida de ella
como hasta ahora.
Resulta curioso que el libro que introduce los numerales hindú-
arábigos no haga referencia alguna a la mayor utilidad de estos: a las
fracciones decimales y se expongan todo este tipo de cálculos con
fracciones sexagesimales o unitarias. El libro no es fácil de leer, sin
embargo, tuvo que tener un gran éxito ya que han llegado a nuestros
días más de quince ejemplares. Sin duda alguna el problema de Fibonacci
que más ha inspirado a los matemáticos es el siguiente: ¿Cuántas
parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja
única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se
reproduce a su vez desde el segundo mes?.
Este famoso problema da lugar a la conocida “sucesión de Fibonacci”:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., ... donde para . Una
sucesión que contiene muchas e interesantes propiedades tales como la
relación con la proporción áurea y que despiertan el interés de muchas
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personas.
Además en 1941, el arquitecto cubista Charles Edouard Jeannet-Gris,
llamado Le Corbusier, patentó el sistema de medida conocido como
Modulor basado en la aplicación de la proporción áurea a la arquitectura.
Consiste en la aplicación del número de oro para construir dos series de
Fibonnacci de números enteros entre las que es posible elegir para
seguir más exactamente las necesidades de cada programa.
Tras el Liber abaci se produjeron muchos tratados similares para
utilizar en las escuelas el ábaco. A los autores de estos tratados se les
llama abacistas y en la actualidad se conservan más de 300 de estos
textos escritos entre los siglos XIII y el XVI.
6. El Renacimiento
La matemática clásica era, para las gentes del S. XV y XVI, una
materia fuertemente esotérica, accesible sólo a aquellos que contaban
con un alto grado de entrenamiento previo, y por lo tanto la divulgación
de los tratados griegos sobre estos temas no fue muy grande. Tan solo
se exceptuaba la parte más elemental de los Elementos de Euclides. Por
otro lado, los estudios latinos medievales sobre geometría elemental y la
teoría de proporciones, así como las contribuciones árabes a la teoría de
las operaciones aritméticas y de los métodos algebraicos, no presentaban
evidentemente dificultades comparables con las que tenían las obras de
Arquímedes o Apolonio. De este modo las ramas más elementales de las
matemáticas fueron el centro de atención general.
Johann Müller (1436 - 1476), matemático y astrónomo alemán,
conocido como Regiomontano había estudiado en las universidades de
Leizpig y Viena, acompañó al cardenal Bearión en su viaje por Italia,
donde aprendió griego y se familiarizó con las corrientes científicas y
filosóficas de entonces. A su regreso a Alemania instaló una imprenta y
un observatorio en Nuremberg con el objeto de promover el interés por
la ciencia y la literatura. Tenía la intención de imprimir traducciones de
las obras de Arquímedes, Apolonio, Herón y Ptolomeo, entre otros
científicos, pero su muerte temprana acabó con el proyecto. La obra de
Regiomontano comienza con la reedición del Almagesto de Ptolomeo,
consideraban que necesitaba de una nueva adaptación y limpieza de las
aberraciones introducidas por la traducción realizada hasta el momento
de las lenguas árabes. Este proyecto dio lugar a varias obras, la primera
de ellas era Epítome del Almagesto de Ptolomeo al que le pone un gran
énfasis en la parte matemática de la obra, que era lo que se omitía casi
siempre. Mucho más importante fue De triangulis omnimodis, escrito
hacia el año 1464, es una exposición sistemática de los métodos de
resolución de triángulos que marcó el verdadero renacimiento de la
trigonometría. El primer Libro del De tríangulis comienza con una
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exposición de los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones,
inspirada evidentemente por Euclides; a continuación vienen más de 50
proposiciones que tratan de la resolución de triángulos basándose en las
pro- piedades de los triángulos rectángulos. El Libro II comienza
enunciando con claridad el teorema de los senos y demostrándolo, y
siguen diversos ejemplos de problemas sobre determinación de lados,
ángulos y áreas de triángulos planos, conocidos otros datos.
Entre las novedades que nos encontramos en el De triangulis de
Regiomontano está el uso de “fórmulas” para el área, aunque escritas
con palabras del lenguaje ordinario, pero en cambio esta obra desmerece
un tanto el tratamiento de la función tangente. Sin embargo, la función
tangente sí se incluye en otro tratado trigonométrico de Regiomontano,
sus Tabulae directionum. Las sucesivas revisiones de la obra de Ptolomeo
habían puesto de manifiesto la necesidad de nuevas tablas de funciones
trigonométricas y a calcularlas se dedicaron un cierto número de
astrónomos del siglo XV, entre los que se contaba Regiomontano. Para
evitar el uso de fracciones se acostumbraba, ya desde la antigüedad,
adoptar como radio del círculo básico un valor grande, que recibía el
nombre de sinus totus. En una de sus tablas Regiomontano sigue a sus
predecesores inmediatos utilizando un radio de 600000 unidades,
mientras que para otras adoptó los valores de 10000000 o de
600000000, y para su tabla de tangentes en las Tabulae directionum
eligió como radio 100000. Regiomontano no llama “tangente” a esta
función, sino que usa solamente la palabra numerus para los valores,
grado por grado, en la tabla titulada “Tabula fecunda” o “Tabla
fructífera”. La repentina muerte de Regiomontano se produjo antes de
que se publicaran sus dos obras trigonométricas, lo que retrasó
considerablemente su efecto. Las Tabulae directionum se publicaron el
año 1490 y De triangulis en 1533, aunque se conocían de forma
manuscrita.
El año 1484 apareció en Francia un manuscrito que, tanto por su nivel
como por la importancia de las ideas expuestas, era quizá el más notable
desde la publicación, casi tres siglos antes, del Liber abaci de Fibonacci,
y que, al igual que el Liber abaci, tampoco fue impreso hasta el siglo XIX.
La obra a que nos referimos, titulada Triparty en la science des nombres,
fue escrita por Nicolás Chuquet (?- ca. 1500). El Triparty apenas se
parece a ninguna obra anterior sobre aritmética o álgebra, y los únicos
autores que se citan en ella son Boecio y Campano. Sí se observa, sin
embargo, una evidente influencia italiana, que debe provenir
posiblemente de que Chuquet conociese bien el Liber abaci de Fibonacci.
La primera de las “Tres partes” trata de las operaciones aritméticas
racionales con números, incluyendo una explicación detallada del sistema
de numeración hindú árabe. De los numerales hindú árabes, dice
Chuquet que “la décima figura no tiene o significa ningún valor”. La obra
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está escrita en un estilo esencialmente retórico, aunque con las
importantes sincopaciones que veremos más adelante, y las cuatro
operaciones fundamentales vienen representadas por las palabras plus,
moins, multiplier par y partyr par, de las que las dos primeras aparecen a
veces abreviadas a la manera medieval como y . En la segunda
parte de la obra, que trata del cálculo con raíces de números, hay ya una
cierta sincopación, y así lo que sería en nuestro lenguaje moderno,
aparece en la forma no demasiado distinta, aunque sí
ambigua,
La última parte y, con mucho, la más importante del Tripart y se
refiere a la “Regle des premiers”, es decir, la regla de las incógnitas o lo
que nosotros llamaríamos álgebra. Durante los siglos XV y XVI se
utilizaron diversos nombres para la «cosa desconocida», tales como res
en latín, chose en francés, cosa en italiano o coss en alemán; en este
contexto la palabra premier que utiliza Chuquet es completamente
inusual. A la segunda potencia le llama champs, mientras que el nombre
latino solía ser el de census, la tercera potencia cubiez, y la cuarta
champs de champ. La segunda mitad de la última parte del Triparty está
dedicada a la resolución de ecuaciones. Aquí nos encontramos con
muchos de los problemas que habían aparecido ya en sus predecesores,
pero también hay por lo menos una novedad importante y es que por
primera vez aparece un número negativo aislado en una ecuación
algebraica. Chuquet no admitía en general el cero como raíz de una
ecuación, pero por lo menos en una ocasión hace observar que el número
buscado era cero; al estudiar ecuaciones de la forma
, donde los coeficientes y los exponentes son todos ellos números
positivos, se encontró con que en algunos casos habría raíces
imaginarias, limitándose a añadir en estos casos que “tel nombre est
ineperible”. El Triparty no se imprimió hasta el 1880, y por lo tanto
debieron conocerlo pocos matemáticos de la época.
Sin duda la obra más importante de Luca Pacioli (1445 - 1514) es la
Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita, escrita
en italiano en 1487 y publicada en 1494, que, a su vez, puede ser
considerada como el mejor y más famoso tratado de ábaco. La Summa
acabó con los tratados de ábaco de manera definitiva. Su influencia fue
tremenda y las razones habría que buscarlas en el hecho de que fue
impresa, lo que facilitó su difusión, y que lo fue en lengua vulgar, en
italiano y no en latín, facilitando el acceso a lectores que no conocían otra
lengua que la propia. La primera parte de la Summa se dedica a la
aritmética y al álgebra y está dividida en nueve distinzioni, cada una de
las cuales se divide en tratados. Entre las fuentes usadas cita a Boecio,
Euclides, Jordano Nemorario, Blaslus de Parma, Alberto de Sajonia,
Arquímedes, Sacrobosco y Leonardo de Pisa, entre otros. La parte
aritmética incluye las operaciones con los números y la aritmética
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- 40-
comercial, que recibe un trato muy elaborado, como corresponde a su
importancia en esa época. Se incluyen muchos ejemplos prácticos de
cómo aplicar las operaciones elementales a las diferentes situaciones en
que se ve envuelto un comerciante. En la parte algebraica se incluye la
resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Sigue después una
tabla de pesos, monedas y medidas, usados en las principales ciudades
italianas y las conversiones entre ellas. La obra termina con un resumen
de la geometría de Euclides.
La parte quizá más original de la obra de Pacioli es la titulada De
computis et scrituris dedicada a la contabilidad. Introduce por primera
vez la llamada contabilidad de doble entrada, conocida también como
contabilidad veneciana o sistema veneciano. Por este motivo a Pacioli se
le considera el padre de la contabilidad moderna. La Summa de Pacioli
compiló todos los conocimientos de álgebra de los siglos anteriores en
una sola obra de carácter enciclopédico y más de 600 páginas. Se
convirtió en lectura básica para los algebristas del siglo XVI, que,
apoyados en ella, pudieron hacer nuevos descubrimientos. Todos ellos
citan a Pacioli en sus obras. Cardano, en su Arithmetica, lo hace de
manera reverencial, a pesar de dedicar un capítulo entero a corregir
innumerables errores de la obra de Pacioli. Rafael Bombelli (1526 -1572),
en la introducción de su Álgebra, llega a afirmar que después de
Leonardo Fibonacci, Pacioli “primo fu que luce diedi a questa scientia”
(fue el primero que dio luz a esta ciencia).
Otro libro destacable de Pacioli, publicado en 1509, es De divina
proportione en el que estudia los polígonos y los poliedros regulares y la
razón que se conocería más tarde como “sección áurea”. En este libro
destacan las ilustraciones de las figuras que se atribuyen a Leonardo Da
Vinci (1452 - 1519).
Italia fue indiscutiblemente una de las principales vías por las que la
ciencia árabe penetró en Europa. Por otra parte, en otras zonas de
Europa, a pesar de la posición privilegiada de Italia, se progresaba con
igual éxito, como hemos visto en el caso de Regiomontano y Chuquet.
En Alemania, fueron tantas las obras de álgebra que se imprimieron que,
durante un cierto tiempo, la palabra germánica Coss (incógnita) se
impuso en otras partes de Europa; el álgebra se llamó incluso durante
una época «arte cósico». Además, los símbolos germánicos + y - para la
adición y la sustracción provocaron el abandono de los símbolos italianos
p y m. Entre las numerosas álgebras germánicas, la del célebre
Rechenmeister (maestro calculista en alemán) Adam Riese (1492-
1559) ocupaba un lugar importante debido a la eficacia y a la precisión
de sus métodos. Titulada Die Coss (la incógnita), y escrita en 1524,
forma parte de los numerosos libros de aritmética que hicieron célebre a
Riese, hasta el punto que aún hoy se utiliza la expresión “nach (según)
Adam Riese” como tributo a la precisión de los procedimientos
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- 41-
aritméticos.
En Alemania, durante la primera mitad del siglo XVI, aparecen
muchas obras de álgebra, las más importantes de las cuales son Die Coss
(1525) de Christoph Rudolff (ea. 1500 ca. 1545), Rechnung (1527) de
Apiano (1495 1552), y Arithmetica integra (1544) del célebre
matemático Michael Stifel (ca. 1487, 1567). En Die Coss encontramos
por primera vez en un libro impreso la utilización de fracciones
decimales, así como el símbolo moderno para las raíces. En el libro de
Apiano, obra de aritmética comercial, el triángulo de Pascal aparece
impreso en primera página casi un siglo antes del nacimiento de Blaise
Pascal. El tercer libro, la Arithmetica integra de Stifel, es el más
importante de los libros alemanes de álgebra impresos durante el siglo
XVI. Además de contener el triángulo de Pascal, se ocupa de manera
significativa de los números negativos, los radicales y las potencias.
Stifel, al utilizar coeficientes negativos en las ecuaciones, puede reducir
muchas ecuaciones cuadráticas a una forma única, pero se cree en la
obligación de explicar, siguiendo una regla especial, cuándo debe
emplearse el + y cuándo el -. Aunque no admite los números negativos
como raíz de una ecuación, difunde el uso de los signos - y + en
detrimento de la notación italiana. Conocía bien las propiedades de los
números negativos, aunque los llamó numeri absurdi. Además, llamó la
atención sobre las relaciones entre las progresiones aritméticas y
geométricas, como Chuquet lo había hecho con las potencias de cero a
veinte de dos. Stifel añadió a la tabla de Chuquet las relaciones:
,
:
, :
(aunque sin notación exponencial). Para las potencias
de la incógnita, Stifel utilizaba en su álgebra abreviaturas de las palabras
alemanas coss, zensus, cubus y zenzizensus, pero en un tratado
posterior propuso la utilización de una letra sencilla para la incógnita y la
repetición de esa letra para las potencias de la incógnita, lo que hará el
inglés Harriot en el siglo XVII. La Arithmetica integra fue un tratado
completo de álgebra hasta el año 1544, pero al año siguiente esta
álgebra quedó en cierto modo anticuada como consecuencia de la
publicación de una obra que contenía la resolución de ecuaciones cúbicas
y bicuadráticas. En efecto, la solución de la ecuación cúbica y de la
bicuadrática fue probablemente el más espectacular de los resultados
matemáticos obtenidos por los matemáticos italianos del siglo XVI.
Las necesidades prácticas y científicas del S.XVI (trabajo científico,
avance tecnológico, descubrimientos geográficos, avances en la
astronomía y cartografía) impulsan el desarrollo de la aritmética y el
álgebra. A partir de 1545, fecha de publicación del Ars Magna de
Cardano, se puede considerar que el álgebra, como teoría de la
resolución de ecuaciones algebraicas, es una rama autónoma de las
matemáticas. En los 70 años que van de 1480 a 1550 el álgebra se
constituye en una nueva rama de las matemáticas (la teoría de
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- 42-
ecuaciones algebraicas), que es la primera manifestación de la corriente
de ideas que cristalizará en la Revolución Científica. Entre 1580 y 1590
se generaliza y difunde el uso de la coma y cifras decimales, lo que es de
especial importancia para la ampliación del concepto de número. El
álgebra como complemento de la aritmética comercial.
Las características más notables de las matemáticas de la época son:
1. Los métodos algebraicos se conciben como herramientas para
la resolución general de problemas. Se traducen los problemas a
lenguaje algebraico y se desarrolla el cálculo formal (literal) en
detrimento de las justificaciones geométricas.
2. Algebrización de los problemas de geometría plana. Aplicación
sistemática de métodos algebraicos en problemas de geometría.
3. Utilización del álgebra no para resolver problemas específicos,
sino generales. Los métodos generales son en sí mismos objeto
de estudio. Este esfuerzo culmina en 1545 con el Ars Magna de
Cardano.
En 1546, Nicolo Fontana (1499-1557) o Tartaglia, publica Quesiti, et
inventione diverse, una obra de 9 tomos que toca una gran diversidad de
cosas y cuyo último tomo dedica a problemas de aritmética, geometría y
álgebra, acompañándolo de referencias históricas que ha permitido
reconstruir el proceso de descubrimiento de las soluciones de las
ecuaciones cúbicas.
Dice Tartaglia, en el Quesiti XIV del libro noveno, que Zuanne de Coi
(Profesor de Brescia) le propuso resolver dos ecuaciones que conducían a
ecuaciones cúbicas: Encontrad un número el cual multiplicado por su raíz
más 3, me resulte 5. Por otra parte, encontradme tres números con la
condición de que el segundo sea dos más que el primero, que el tercero
sea también dos más que el segundo, y que multiplicados el primero
por el segundo y este producto por el tercero dé 1000. El primer
problema, en lenguaje actual, si es el número y x su raíz, lo
simboliza así , es decir . El segundo problema
tiene la forma , o lo que es lo mismo
. Dice Tartaglia que Fray Luca Pacioli y otros han juzgado este
tipo de problemas como imposibles de resolver. Apostó a Zuanne diez
ducados contra cinco a que no sabría resolverlos, mientras que él
sí, pues había hallado la regla general para resolver los problemas del
primer tipo ( ):”cubo y cuadrado igual a número", añadiendo
que no quiere desvelar dicha regla. Del segundo tipo dice no haber
encontrado la solución.
Al parecer, el primero en resolver las ecuaciones del tipo
fue Scipione del Ferro (1465-1526) alrededor de 1506, quien lo contó
poco antes de morir a su discípulo Antonio María del Fiore (n. 1506)
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- 43-
quien, según cuenta Tartaglia en el Quesiti XXV del libro noveno, le acusó
de impostor por no saber resolver las ecuaciones cúbicas. Tartaglia dice
saber resolver las ecuaciones del tipo y por lo
que le desafió. Depositaron un dinero ante notario, que se llevaría el que
más problemas resolviera en cuarenta días, de una lista de treinta
problemas propuestos por el adversario. Tartaglia resolvió todos, pues los
problemas propuestos por Fiore se reducían a ecuaciones cúbicas que
Tartaglia sabía resolver; por su parte, Fiore no resolvió ninguno.
En los Quesiti XXXI a XXXV aparecen diversas epístolas de Gerolamo
Cardano (1501 - 1576) a Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 - 1565) en
las que se solicitan y transmiten información sobre la resolución de las
ecuaciones cúbicas y cuárticas con la intención de justificar la autoría de
la resolución de la cúbica por parte de Tartaglia. El propio Cardano
reconoce estos hechos en el siguiente texto extraído del Ars Magna:
Scipione del Ferro, de Bolonia, hace más de treinta años inventó esta
regla y la comunicó a Antonio Maria del Fiore, de Venecia, quien celebró
un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, lo que dio ocasión a que
Niccolo por sí mismo la descubriera, el cual me la dio a mí, suprimida la
demostración, como consecuencia de mis ruegos. Pertrechado de este
auxilio, busqué la demostración por varios caminos, lo que fue muy
difícil.
También admite que la solución de la cuártica fue descubierta por su
secretario Ludovico Ferrari. Ferrari entró al servicio de Cardano,
convirtiéndose en su discípulo y colega. En 1543 Cardano y Ferrari
viajaron a Bolonia, donde examinaron los papeles de Scipione del Ferro,
encontrando la solución de la cúbica disminuida, por lo que Cardano no
se sintió ya obligado por la promesa hecha a Tartaglia y en 1545 publica
Ars Magna, dando a conocer la solución general de la ecuación cúbica.
Ello provocó la respuesta airada de Tartaglia que condujo a un
enfrentamiento público (”cartelli ") en Milán entre Tartaglia y Ferrari, en
el que venció este último.
El titulo completo de la obra de Cardano es Artis Magnae, sive de
regulis algebraicis que quiere decir: “El Gran Arte, o las reglas del
álgebra”. Es el primer tratado “avanzado” de teoría de ecuaciones,
concibiendo las ecuaciones como un método para resolver problemas
numéricos particulares. Se observa una preocupación por fundamentar
los resultados enunciados y se preocupa por dar resultados que sean
generales, aunque se enuncien a partir de la demostración de un caso
particular. Con esta obra nace el álgebra, como rama autónoma de las
matemáticas. En los capítulos XI al XXII se aborda el estudio completo
de las ecuaciones cúbicas. El capítulo XI (titulado Sobre el cubo y la cosa
igual al número) está dedicado al estudio de la cúbica disminuida; se
inicia con el ejemplo y procede a resolver la ecuación de
forma geométrica, mediante la consideración de un cubo descompuesto
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- 44-
en seis trozos.
A continuación describimos el procedimiento que sigue Cardano. Se
representa por un cubo de arista al que se añaden en tres de sus
caras concurrentes, tres prismas de volumen y a estos últimos tres
prismas de volumen
Observemos que . Este volumen ,
será 6x si uv=2, y en ese caso la figura nos indica que
. Ahora bien, y pueden determinarse de
nos indica que u3 − v3 = x3 + 6x = 20.
Si – y son las raíces de una ecuación de 2º grado, se tiene que la
suma es 20 y que el producto es -8, ello proporciona una ecuación de
segundo grado, que había estudiado en el capítulo V (considerando los
casos ). Por ello, puede obtener
que y – . Teniendo en cuenta que ,
resulta
El procedimiento general para una ecuación de la forma
es el siguiente:
1. Considerar la identidad que es
inmediata hoy día, pero cuya deducción se hacía de modo
geométrico, como se ha indicado anteriormente.
2. Por analogía de la identidad anterior con , se hace
, ,
3. De
se tiens que
,
que es una ecuación de segundo grado en .
Resolviendo se tiene que
y
; y finalmente que
Y que Cardano dio según los siguientes versos: Quando che’l cubo
con le cose appresso // se agguaglía a qualche numero discreto //
trovan dui altri differnti in esso.// Da poi terrai questo per consueto //
che il lor producto sempre sia eguale // al terzo cubo delle cose neto, //
El residuo poi suo generale // delli lor lati cubi ben sottratti // varrà la
tua cosa principale. Que traducidos es: Cuando está el cubo con las cosas
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- 45-
3
preso // y se iguala a algún número discreto// busca otros dos que
difieran en eso. // Después tú harás esto que te espeto // que su
producto siempre sea igual // al tercio cubo de la cosa neto// Después
el resultado general // de sus lados cúbicos bien restados // te dará a ti
la cosa principal.
En definitiva lo que quiere decir es lo siguiente: Cuando está el cubo
con las cosas preso, es decir, cuando en el mismo miembro de la
ecuación se encuentra el cubo, con las cosas, , es decir: . Y
se iguala a algún número discreto, en definitiva Busca
otros dos que difieran en eso. Hay que buscar dos números t y s, que
verifiquen Después tú harás esto que te espeto, que su
producto siempre sea igual, o sea ; al tercio cubo de la cosa neto,
quiere decir que sea igual a un tercio del coeficiente de la elevado al
cubo:
. Después el resultado general, la solución de ese
sistema de ecuaciones, de sus lados cúbicos bien restados, con lados
cúbicos se refiere a sus raíces cúbicas, por lo que tenemos
, te
dará a ti la cosa principal, por lo que
Como en aquella época se exigía que todos los coeficientes fuesen
positivos, Cardano tuvo que considerar como diferentes hasta trece
casos:
2
2
y ver que se pueden reducir a uno de los tres casos denominados “críticos” o “cúbicas disminuidas
En el capítulo XVII titulado “Del cubo, cuadrado, y la cosa igual al
número”, Cardano resuelve una ecuación cúbica completa, . Una ecuación general
puede reducirse
a una ecuación disminuida de la forma mediante la
transformación
Para el caso
, se efectúa el cambio
, considerando la identidad:
) y mediante un
razonamiento similar al anterior se obtiene que:
Y análogamente se hace para sin más que cambiar en el
primer caso por . Por otro lado, puede ocurrir que
, por
lo que aparece la raíz cuadrada de un número negativo, de manera que
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- 46-
la ecuación resultaría, históricamente hablando, irresoluble. Sin embargo,
por ejemplos concretos, se sabía que había solución real. Por ejemplo la
ecuación tiene como raíces , Aparece de
este modo lo que se llama el caso de la “cúbica irreducible”. Cardano
pasó por encima de esta dificultad y habrá que esperar hasta 1572 en
que Rafael Bombelli (1526-1573) diera un paso adelante.
El período que separa la publicación del Ars Magna (1545) de Cardano
hasta la aparición, en 1637, de la Geometría de Descartes (1596-1650)
en 1637, constituye la fase más espectacular de formación y constitución
del álgebra simbólica. En menos de cien años se avanzó más que en
todos los siglos anteriores.
Paralelamente al desarrollo del álgebra, de la mano de Stevin (1548-
1620), en 1585, se fundamentan los números decimales, en su obra (en
holandés) De Thiende. Primero define los números decimales y luego
enuncia las reglas para realizar con ellos las operaciones elementales. Su
concepto del número es muy avanzado, pues todos los números son
considerados como iguales y el tipo sólo depende de la elección de la
unidad.
De la escuela alemana destaca Stifel (1486-1567) quien considera
coeficientes negativos en las ecuaciones, aunque no acepta los números
negativos como soluciones. En su obra Arithmetica integra, de 1544,
aparece claramente el concepto de logaritmo. El cálculo logarítmico se
desarrollará a finales de este siglo y principios del siguiente de la mano
de Bürgi (1552-1632) y Napier (1550-1617).
El cálculo de probabilidades está a punto de iniciar su desarrollo de la
mano de Blais Pascal (1623-1662), con un claro e ilustre predecesor en la
figura de Cardano y de sus obras Liber de ludo alae, publicado
póstumamente, y De Regula Aliza, de 1570.
El inglés Robert Recorde (1510-1558) introduce el signo = en su libro
The Wheststone of Witte, de 1557. Se estaba gestando el álgebra
simbólica, pero aún permanecía en la frontera del álgebra sincopada. El
álgebra proporcionaba un lenguaje de operatividad inmediata que servía
para abordar problemas que se pudiesen traducir a este lenguaje y
fundamentaba sus procedimientos en la geometría. Con el álgebra se
habían resuelto muchos problemas, pero habían aparecido otros nuevos,
como:
1. El caso de las cúbicas irreducibles. 2. El problema de las raíces negativas e imaginarias.
3. La relación entre los coeficientes de una ecuación y sus raíces, clave para abordar el problema más general: la resolubilidad de
las ecuaciones de grado superior a cuatro. El proceso de investigación llevó a la creación de un álgebra que se
independiza de las justificaciones geométricas que están en su origen.
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- 47-
En este proceso de creación de una nueva rama de las matemáticas Bombelli y Viète tendrán un papel decisivo.
Es la figura central y más brillante del proceso de construcción del
álgebra. Su mérito reside en que ordenó y adecuó todo el material
existente, otorgándole unidad y sentido lógico. En su obra In artem
analyten isagoge (Introducción al arte del análisis) de 1591, expone los
principios fundamentales del álgebra, estableciendo unos postulados en
los que se han de fundar las transformaciones algebraicas, definiendo los
símbolos operativos y las entidades literales. La explicitación de las reglas
del cálculo ofrece por primera vez un modelo para proceder a
demostraciones formales de las proposiciones algebraicas. A partir de
Viète ya se pueden efectuar demostraciones de resultados algebraicos
sin acudir a la geometría; en este sentido, Viète libera al álgebra de las
ataduras de la geometría.
Usa las vocales para representar las incógnitas e indeterminadas y
las constantes para representar los números. Distinguiendo (por primera
vez) entre parámetro e incógnita. Adopta también los símbolos + y -,
pero el resto de su álgebra sigue usando retórica y abreviaturas; por
ejemplo lo designa por “cubus” y por A “quadratus”. El producto
lo representa por “in”, el igual por “aequalis”. Usa una “ley de
homogeneidad”, según la cual sólo pueden compararse magnitudes de
igual dimensión. Tales magnitudes son: el lado, el cuadrado, el cubo, el
cuadrado cuadrado, el cuadrado cubo, etc. y sus géneros son la longitud,
el plano, el sólido, el plano plano, el plano sólido, etc.
Su obra más estrictamente algebraica es De Aequetionem
recognitime et emendatione. Tractatus duos, que versa exclusivamente
sobre teoría de ecuaciones, está escrito en 159 y publicado en 1615. La
ecuación de segundo grado la resuelve del siguiente modo:
Hace , por lo que , teniendo en cuenta
la ecuación se tiene así de donde
y por tanto .
Para la ecuación de tercer grado , mediante el
cambio
se obtiene una cúbica disminuida .
Haciendo
llamando
se tiene tal que .
Por tanto
, multiplicando por
,
, de donde
. Pero como
sabemos que y que
las raíces obtenidas son
y
Como se llega
finalmente a
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- 48-
3
La condición muestra que sólo
hay 3 valores de a partir de los 6
(complejos) de . Aunque Viète admite
coeficientes positivos y negativos, racionales
e irracionales, no considera sino las raíces positivas.
En De Aequationem Recognitione et Etmendatione pudo Viète resolver
el caso irreducible de la ecuación de tercer grado, empleando la identidad
trigonométrica cos 3A = 4 cos3 A − 3 cos A, evitando así la fórmula de
Cardano. Este método aún está hoy en uso. Utilizando un recurso
geométrico de trisección de un ángulo, Albert Girard (1595-1632) aporta
un curioso método de resolución:
Sea la ecuación con la condición de que , con
positivos. Recordemos que entonces
, resultando en la
fórmula de Cardano (y de Viète) que
es complejo. Girard
considera una circunferencia de diámetro
.
Por la desigualdad , existirá una cuerda
. Si se triseca
el ángulo , con , entonces es raíz positiva de la
ecuación. En efecto, es un ángulo recto, por lo que
. De la misma manera, el ángulo es recto, por lo que
pero
, luego
De donde:
dónde se ha tenido en cuenta la identidad .
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- 49-
p
Luego se verifica la ecuación, resultando que
es raíz positiva
de la ecuación , para lo que hay que construir el ángulo , es
decir, la cuerda
.
Si a partir de se divide la circunferencia en tres partes iguales,
mediante los puntos y , las cuerdas y son los
valores absolutos de las otras dos raíces de la ecuación, ambas
negativas.
Girard escribía las ecuaciones en forma completa, admitiendo como
nulo el coeficiente de una potencia de la incógnita cuando ésta no existe.
En su obra L’Invention Nouvelle en l’Algèbre, de 1629, afirma, sin
demostración, el Teo- rema Fundamental del Álgebra, es decir, que “toda
ecuación polinómica tiene tantas raíces como su grado”, para lo que
considera raíces positivas, negativas, nulas, complejas, simples y dobles.
Incluso, aporta ejemplos en los que las raíces negativas tienen
interpretación concreta. Utiliza las raíces negativas e imaginarias,
llamadas por él raíces imposibles, a los solos efectos de asegurar la regla
general.
7. La aparición de Logaritmos
John Napier (1550 - 1617) no era un matemático profesional y se
dedicaba a administrar sus extensas propiedades. En su tiempo libre se
dedicaba a escribir sobre temas variados y, dentro de la matemática,
sólo estaba interesado en temas relacionados con el número y la
trigonometría. Otro tema de interés para Napier eran las progresiones, o
sucesiones de potencias de un número.
La idea clave de la obra de Napier se puede explicar con gran
sencillez: para conseguir que los términos de una progresión geométrica
formada por las potencias enteras de un número dado estén muy
próximos unos a otros, es necesario tomar este número muy próximo a
uno. En consecuencia, Napier decidió tomar – como el
número dado; entonces los términos de la progresión (decreciente) de
potencias enteras crecientes, están ciertamente muy próximos entre sí,
demasiado próximos de hecho. Para conseguir un cierto equilibrio y evitar
el uso de decimales, multiplicó Napier todas las potencias por .
Entonces, si
L será el “logaritmo” de Napier del número
N; así pues, el logaritmo de será 0, el logaritmo de
será 1, etc. Si dividiéramos tanto los números como los
logaritmos por , tendríamos prácticamente un sistema de logaritmos
de base
, puesto
que no se diferencia ya demasiado del
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- 50-
107 e
.
Hay que recordar, sin embargo, que Napier no utilizaba ninguna idea
de lo que es una base de un sistema de logaritmos, siendo como es su
definición diferente de la nuestra. Los principios de su obra los explica
Napier en términos geométricos de la manera siguiente: Sea un
segmento y una semirrecta dados. Sea un punto que parte de
y se mueve a lo largo de con velocidad variable que decrece en
proporción a su distancia a ; supongamos que un punto parte al
mismo tiempo de y se mueve a lo largo de la semirecta con
velocidad uniforme igual a la velocidad inicial del punto ; entonces
Napier llama a la distancia variable el logaritmo de la distancia .
Esta segunda definición geométrica de Napier está de acuerdo, desde
luego, con la primera definición numérica dada más arriba. Para
demostrarlo, sea y . Si lo tomamos igual a y también
tomamos igual a la velocidad inicial de , entonces, en el simbolismo
moderno del cálculo infinitésimal, tenemos que
y
con
. Entonces
, o bien , donde la constante
puede calcularse a partir de las condiciones iniciales y resulta ser ;
así pues,
bien
.
Es decir, que si las distancias y estuvieran divididas por ;
entonces la definición de Napier nos conduciría precisamente a un
sistema de logaritmos de base
, tal como decíamos anteriormente. No
es necesario decir que Napier calculó sus tablas numéricamente y no
geométricamente, desde luego, tal como indica la palabra “logaritmo”
inventada por él. Al principio Napier llamó a sus índices de potencias o
exponentes “números artificiales”, pero más tarde se decidió por la
palabra compuesta de las dos palabras griegas logos (o razón) y
arithmos (o número).
Napier no pensaba, como hemos hecho notar ya, en una base para su
sistema, pero no obstante sus tablas venían calculadas por medio de
multiplicaciones repetidas, equivalentes a elevar a potencias el número
. Obviamente la potencia (o número) disminuye según el índice
(o logaritmo) aumenta, lo cual era de esperar ya que estaba, utilizando
esencialmente como base
que es menor que 1. Una diferencia más
notable entre sus logaritmos y los nuestros consiste en el hecho de que
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- 51-
su logaritmo de un producto (o de un cociente) no es igual, en general, a
la suma (o a la diferencia) de los logaritmos.
Si y , entonces y
, y por lo tanto
, de manera que la
suma de los logaritmos de Napier no será directamente el
logaritmo de , sino de
. Modificaciones análogas tienen lugar,
desde luego, en los casos de logaritmos de cocientes, potencias y raíces.
Estas diferencias no son, hay que reconocerlo, demasiado importantes,
ya que se refieren únicamente a la posición de la coma decimal, según
los casos.
La idea de la función logarítmica está ya implícita en la definición de
Napier y en toda su obra sobre los logaritmos, pero el hecho es que esta
relación funcional no ocupaba el primer plano en su pensamiento. Napier
construyó laboriosamente su sistema con un objetivo concreto, la
simplificación de los cálculos, especialmente en el caso de los productos y
cocientes. Además, es muy revelador de que tenía en la mente los
cálculos trigonométricos concretos el hecho de que lo que nosotros
hemos llamados, para simplificar la exposición, logaritmo de Napier de un
número, él lo llama el logaritmo de un seno. En la figura anterior el
segmento recibió el nombre de logaritmo del seno , lo cual no
supone diferencia alguna ni en la teoría ni en la práctica.
La publicación del sistema logarítmico en 1614 fue acogida y aceptada
con gran rapidez, y entre los admiradores más entusiastas de la nueva
teoría estaba Henry Briggs (1561 - 1630), que fue el primer Savilian
Profesor de geometría en Oxford. Al año siguiente, en 1615, Briggs visitó
a Napier en su residencia en Escocia, donde discutieron ambos las
posibles modificaciones del método de los logaritmos. Briggs proponía
que se utilizasen potencias de diez, a lo que contestó Napier que ya
había pensado en ello y que estaba de acuerdo. Napier mismo había
sugerido en un cierto momento una tabla basada en las igualdades
y , para evitar las fracciones, pero al final los
dos hombres llegaron a la conclusión de que lo más conveniente sería
que el logaritmo de uno fuese cero y que el logaritmo de diez fuese uno.
Sin embargo, Napier se encontraba ya viejo y sin las energías
necesarias para llevar a la práctica estas ideas y murió en 1617.
El segundo de sus tratados clásicos sobre los logaritmos, el Mirifici
logarithmorum canonis constructio, en el que daba Napier una
exposición completa de los métodos que utilizó para calcular sus tablas,
apareció póstumamente en 1619. Así pues, recayó en Briggs la tarea de
construir la primera tabla de logaritmos llamados logaritmos vulgares o
de Briggs. En vez de tomar potencias de un número muy próximo a uno,
como había hecho Napier. Briggs comenzó a partir de la igualdad
, y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces
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- 52-
sucesivamente. Por ejemplo, de obtiene Briggs que
, y análogamente, de
, que
. Continuando de esta misma manera calculó otros loga- ritmos
vulgares. En el año 1617, el de la muerte de Napier, publicó Briggs su
obra Logarithmorum chilias prima, es decir, los logaritmos de los números
del 1 al 1000, todos ellos con catorce cifras decimales. En 1624, en su
Arithmetica logarithmica, extendió Briggs su tabla hasta incluir los
logaritmos vulgares de los números del 1 al 20000 y del 90000 al
100000, siempre con catorce cifras decimales.
Ahora se podía trabajar ya con los logaritmos exactamente igual que
lo hacemos hoy, puesto que las tablas de Briggs gozan de todas las
propiedades usuales de los logaritmos. Incidentalmente, hay que decir
que nuestros nombres “característica” y “mantisa” se derivan del libro de
Briggs de 1624. Mientras que Brigss calculaba estas tablas de logaritmos
vulgares, un contemporáneo suyo, John Speidell, calculaba los logaritmos
naturales (o neperianos) de las funciones trigonométricas, publicándolos
en su obra New Logarithmes de 1619; de hecho, ya anteriormente, en
1616, habían aparecido algunos logaritmos naturales, en una traducción
inglesa de la primera obra de Napier sobre los logaritmos, hecha por
Edward Wright (1559 1615). Raramente un descubrimiento nuevo se
aceptó tan rápidamente como el invento de los logaritmos, y el resultado
de ello fue la inmediata aparición de tablas de logaritmos que eran más
que suficientes para la época.
8. La concepción de una matemática moderna
Tycho Brahe (1546 1601) apasionado por la astronomía, tras visitar
observatorios extranjeros, volvió a su país en 1571 y se estableció en el
monasterio de Herridsvadd. Al año siguiente, reconoció y pudo estudiar
una nueva estrella de la constelación Casiopea, que fue el objeto de su
primera obra: De nova stella anni 1572. Federico II le regaló la isla de
Hveen, en el Sund, un feudo en Noruega y una pensión. En esta isla hizo
edificar el castillo de Uraniborg (“palacio de Urania”), en cuyas
dependencias se encontraban una imprenta, una fábrica de papel, etc.,
y también el observatorio Stelborg (castillo de las estrellas). Sin
embargo, su independencia religiosa, su desdén por los señores, le
expusieron a toda clase de calumnias y, a la muerte de Federico II en
1588), Cristián IV le retiró la pensión; en 1597, Brahe dejó Uraniborg y
partió hacia Alemania. Rodolfo II le ofreció asilo en Praga, donde
reemprendió sus trabajos. Se le deben notables mejoras en las teorías de
la luna; fue el primer astrónomo que tuvo en cuenta la refracción y
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confeccionó una tabla de corrección; redactó un catálogo de 777
estrellas. Aunque fue un gran experto en astronomía, su inspiración fue
menor en cosmología: abandonó el sistema heliocéntrico que acababa de
proponer Copérnico, y volvió a un sistema geocéntrico inspirado en el de
Heráclides Póntico, aunque reconocía cierto movimiento de la Tierra.
El material acumulado por Brahe era extraordinariamente amplio y
minucioso sobre el recorrido de los planetas en la bóveda celeste, sin
embargo no se sentía feliz con su colaborador, Longomontano, a quien
había confiado la interpretación matemática de sus observaciones. Por
ese tiempo Johannes Kepler (1571 - 1630) había tomado cierto
reconocimiento por el libro Mysterium cosmographicum publicado en
1595. En este libro daba una audaz visión especulativa de conjunto que
añade a los cinco poliedros regulares seis ámbitos de forma esférica
sobre los cuales pasan las órbitas, supuestas circulares, de los planetas
más conocidos: La tierra es un círculo que es medida de todo.
Circunscríbele un dodecaedro, el círculo que lo circunscribirá será Marte.
Circunscribe a Marte con un tetraedro, el círculo que comprende a éste
será Júpiter. Circunscribe a Júpiter con un cubo. El círculo que comprende
a éste será Saturno. Ahora inscribe en la Tierra un Icosaedro. El círculo
inscrito en este será Venus. Inscribe en Venus un octaedro. El círculo
inscrito en él será Mercurio. Tienes la razón del número de los planetas.
Brahe invita a Kepler para que fuese junto a él a Praga en calidad
de ayudante, pero frustrado y amargado por los resultados obtenidos
hasta el momento sólo puso a disposición de Kepler los datos de Marte.
Kepler se puso a trabajar con verdadero afán, pero el cálculo de la órbita
de Marte oponía dificultades insospechadas. A la muerte de Tycho Brahe,
el Kaiser Rodolfo II nombra a Kepler sucesor de Brahe y en 1609 publica
Astronomia Nova. Por una feliz coincidencia Brahe le había encomendado
la órbita de Marte, la de mayor excentricidad, ello llevó a Kepler a
convencerse de que los datos no se ponían en concordancia con la
hipótesis del círculo. Sólo la hipótesis elíptica producía la precisión
deseada. En Astronomía Nova formula las dos primeras leyes: I) Un
planeta se mueve a lo largo de una órbita elíptica con el sol en uno de
los focos de la elipse y II) El radio vector desde el sol al planeta barre
áreas proporcionales al tiempo empleado.
En la demostración de la segunda ley calculaba el área de un sector
de la elipse y su método consistía en imaginar las áreas como sumas de
las áreas de pequeños arcos de elipse con igual longitud de arco. Kepler
tenía poco tiempo para el rigor griego y fue afortunado al obtener una
respuesta correcta después de cometer errores en sus trabajos. Uno de
ellos es suponer que la velocidad de un planeta es inversamente
proporcional a la distancia del planeta al sol en vez de inversamente
proporcional a la distancia del sol a la recta tangente a la elipse que pasa
por el planeta. Hay que recordar que Kepler había trabajado en las
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secciones cónicas en 1604 exponiendo curiosos resultados en Ad
Vitellionem paralipomena en el que exponía la continuidad de las cónicas
y llegó a identificar la parábola como el caso límite entre la elipse y la
hipérbola.
En 1619 publica Harmonices Mundi en el que se incluye la tercera ley:
III) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas. La
obra de Kepler, tanto Nova Astronomia como Harmonices Mundi se
pueden considerar como precursoras del posterior desarrollo de la física,
en ella no sólo se analizaron por primera vez las formas de las órbitas
planetarias, sino que además se desarrollaron ideas (liberadas de la
mística y de la religión) sobre las causas del movimiento planetario. Los
ángeles ya no guiaban a los planetas, sino que una especie de
magnetismo. El mismo Kepler, en 1621, señaló como causa del
movimiento de los planetas una fuerza, que llama vis, emanada del Sol.
En el libro Nova steriometría doliorum vinariorum (Nueva geometría
de los barriles de vino) publicada en 1615 intentaba facilitar a los
mercaderes un método exacto para calcular el volumen de los barriles.
Sus trabajos concentrados sobre sólidos de revolución determina (exacta
o aproximadamente) el volumen de noventa de estos sólidos. El método
de Kepler en su Steriometría consiste en diseccionar el sólido dado en un
(aparentemente) número infinito de infinitesimales piezas, o sólidos
llamados “indivisibles”. Por ejemplo, la esfera es descompuesta en un
número infinito de pequeñas pirámides con altura igual al radio de la
esfera. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio de la
superficie multiplicada por el radio. Como los volúmenes de las pirámides
son un tercio del prisma con la misma base y la misma altura, la suma de
todas las bases nos da la superficie de la esfera y al ser la altura de las
pirámides igual que radio, entonces tenemos que:
Kepler demostró también que el volumen del anillo de un ancla o toro
es generado por revolución de un círculo de radio a sobre un eje vertical
a una distancia b de su centro y es igual al producto del el área del
circulo y la distancia recorrida por su centro, esto es:
. Él dedujo esta fórmula al imaginar el toro diseccionado en
infinitas rebanadas circulares sobre planos que contienen al eje de
revolución.
La principal contribución de Galileo Galilei (1564 -1642) al mundo de
las matemáticas consiste en infundir la mentalidad de que el mundo es
de naturaleza matemática, aunque la matematización a la que procedió
era aún bastante somera. Desempeñó un papel fundamental en la
introducción de las matemáticas para la explicación de las leyes físicas y
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expresó sus relaciones funcionales con palabras. En sus trabajos sobre el
movimiento, por ejemplo, descubrió que el espacio recorrido por un
cuerpo al caer desde el reposo con movimiento uniformemente acelerado
está en relación con el cuadrado del tiempo empleado en ese recorrido
(esto sirvió cien años más tarde a Newton), que se podía escribir como
(donde s es el espacio, t el tiempo y K una constante). Demostró
que la trayectoria descrita por un proyectil disparado al aire era una
parábola y consideró la curva como el lugar geométrico de un punto
móvil. Usó las matemáticas para probar algunos experimentos de
Arquímedes. Fue profesor de matemáticas en Pisa y Padua.
Puede considerarse el fundador de la mecánica moderna. Determinó
las leyes de caída de los cuerpos y la independencia de la masa de los
cuerpos. Formuló el principio de la relatividad del movimiento. Definió las
leyes del péndulo y utilizó éste para medir el tiempo. Demostró, de forma
poco rigurosa, las leyes del movimiento parabólico. Sus experimentos
acerca de la caída de los cuerpos sobre un plano inclinado le llevaron a
considerar, en el caso límite de un plano horizontal, una primera
formulación del principio de inercia. Construyó varios telescopios que
llegaban a aumentar hasta 30 veces un cuerpo. Con esto des- cubrió
Júpiter, el anillo de Saturno, las manchas y la rotación del Sol sobre su
eje, las fases de Venus, etc. Estudió profundamente la Luna llegando a
medir la altura de sus montañas.
Defendió las ideas heliocéntricas de Copérnico sin considerarlas como
una hipótesis, lo que le produjo un gran enfrentamiento con la Inquisición
de la Iglesia, la prohibición de enseñar esa doctrina y el juicio en 1633
que terminó con su condena, la obligación de abjurar de sus ideas y la
pronunciación de la famosa frase “Eppur, si muove” (Sin embargo, se
mueve) refiriéndose a la tierra. La negación de la inmovilidad de la Tierra
se enfrentaba a las ideas aristotélicas sobre el mundo y sobre todo a los
relatos bíblicos sobre los orígenes del mundo interpretados, en aquella
época, de manera literal. Galileo, en una carta a la Duquesa de Lorena,
manifestaba claramente que la interpretación literal de la Biblia debía
descartarse y no tenía por qué sustituir a la ciencia dado que su objetivo
era, ante todo, religioso.
Las obras de Galileo son: en 1606 publica Le operacioni del Compasso
Geométrico e Militare un libro sobre los distintos usos del compás
geométrico que había diseñado y construido. El 12 de marzo de 1610
publica, Sidereus Nuncios (el mensajero de los astros). De la obra se
hacen 500 ejemplares que se agotan en pocos días debido a su éxito
inmediato. Un libro en el que expone todas las observaciones realizadas
con su nuevo telescopio. En mayo de 1612 publica Discurso sobre las
cosas que flotan en el agua o se desplazan por ella, en donde exponía
experimentos al alcance de todos y de forma que rebatía todos los
argumentos que hasta la fecha le habían expuesto. Demuestra, además,
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que el aire es 800 veces menos pesado que el agua. En marzo de 1613
publica Historia y demostración a propósito de las manchas solares en el
que expone su versión del origen de las manchas solares. En 1623
publica Il Saggiatore, considerada como una de las obras maestras de la
literatura italiana, es una obra en la que expone sus consideraciones
propias sobre la obra de Copérnico para rebatir las ideas y controversia
surgidas con la aparición de nuevos cometas. En 1632, animado por el
Papa Urbano VIII, escribe Dialogo supra i due massimi sistemi del mondo
ptolemaico e copernicano (Diálogo sobre los dos máximos sistemas del
mundo ptolemaico y copernicano) escrito en forma de dialogo entre tres
amigos: Salviati (un intelectual bien informado científicamente que
defiende la idea de Copérnico), Sagredo (un inteligente profano en la
materia que desea aprender) y Simplicio (un obtuso defensor del sistema
ptolemaico). En 1638, encerrado en su casa por orden de la inquisición,
escribe Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos
ciencias nuevas en el que inaugura la mecánica moderna y expone sus
todos sus experimentos realizados sobre física. El libro se publicó en
Amsterdam para evitar problemas con la Inquisición.
Entre sus descubrimientos astronómicos podemos destacar:
La existencia de montañas en la Luna, lo que falseaba la
distinción aristotélica entre región sublunar y supra lunar
(celeste).
Las fases de Venus, descubrimiento que refutaba el modelo
Ptolemaico, según el cual Venus se encontraba siempre entre la
tierra y el Sol, y por tanto, sólo podía ser visto desde la Tierra en
fase creciente. La importancia de este descubrimiento se ve
acrecentada por el hecho de haber sido predicho por Copérnico,
aunque no podía comprobarlo.
Descubrimiento de cuatro planetas que giran en torno a Júpiter
(astros mediceos). Estos satélites constituyen un modelo de
sistema solar copernicano.
Descubrimiento de que la Vía Láctea es un gigantesco conjunto
de estrellas, hecho que hacía verosímil la idea de la enorme
extensión del universo y por tanto justifica la inobservancia del
paralaje estelar.
Las manchas solares que giran sobre el Sol, que constituyen un
modelo de la rotación de la Tierra, y falsean la afirmación de la
incorruptibilidad y perfección de los cielos.
Bonaventura Cavalieri (ca 1598-1647), nacido en Milán, religioso
jesuato (no confundir con jesuita) fue alumno de Galileo. Enseñó
matemáticas en Bolonia desde 1629 hasta su muerte. Escribió varias
obras de matemáticas, óptica y astronomía y fue en gran parte el
responsable de la rápida introducción de los logaritmos en Italia. Pero
debe su fama a un tratado, cuya primera versión se publicó en 1635,
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consagrado al método de los indivisibles. El Tratado de los indivisibles de
Cavalieri es verbal y no muy claro. El autor no dice en ninguna parte de
su obra qué entiende exactamente por el término “indivisible”, que
caracteriza a los elementos infinitesimales utilizados en su método. Para
Cavalieri una superficie está constituida por un número indefinido de
rectas paralelas equidistantes y un sólido por planos paralelos
equidistantes. En el método de Cavalieri no existe ningún proceso de
aproximaciones sucesivas y, contrariamente a la afirmación según la
cual Cavalieri despreciaba los infinitesimales de orden superior, no omite
ningún término, puesto que recurre a la correspondencia biunívoco para
asociar los elementos de dos configuraciones que quiere comparar.
Podemos ilustrar el método de los indivisibles con la siguiente
proposición, conocida en estereometría con el nombre de “Teorema de
Cavalieri”: Si dos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que se
obtienen por planos paralelos a las bases y a igual distancia de éstas
están siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los sólidos
están también en la misma razón.
Pero también se le debe otro resultado que iba a tener igualmente
consecuencias importantes. La espiral de Arquímedes y la
parábola habían sido bien conocidas desde la antigüedad, pero
nadie había descubierto previamente ninguna relación entre ellas hasta
que Cavalieri tuvo la idea de comparar indivisibles rectilíneos con
indivisibles curvilíneos. Si se deseara, por ejemplo, torcer la parábola
en torno a su vértice dándole la forma de una espiral de reloj, de
manera que el vértice permanezca fijo mientras que el punto P pase a
ocupar la posición P’, entonces las ordenadas de los puntos de la parábola
las podemos considerar como transformadas en radios vectores por
medio de las relaciones que ahora llamamos coordenadas cartesianas y
polares. Los puntos de la parábola de Apolonio se transformarán
así en los de la espiral de Arquímedes . En este problema
podemos ver una interacción de elementos que pertenecen a la
geometría analítica con otros que corresponden al cálculo infinitesimal, y,
sin embargo, Cavalieri escribía cuando aún ninguna de estas dos ramas
de la matemática había sido inventada formalmente. La falta de rigor en
Cavalieri fue muy criticada por Christiaan Huygens (1629-1695) diciendo
que es necesario en una demostración que al menos sea convincente en
el rigor con que debe ser construida. Huygens ejercía una gran influencia
en Leibniz y así jugó un papel importante en producir un gran avance en
el cálculo. Lo mismo que pasa en otras partes de la historia de la
matemática, vemos aquí que los grandes hitos históricos no aparecen
casi nunca de una manera repentina y espontánea, inesperada, sino que
suelen ser simplemente las formulaciones más claras y precisas que
culminan un largo y espinoso camino de desarrollos irregulares.
Posteriormente John Wallis (1616-1703) generalizó este resultado
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q para valores de exponentes no enteros en su Aritmetica Infinitorum (La
Aritmética de los Infinitos) de 1655. Aunque el caso en el que
sea un
número racional positivo ya fue abordado por Fermat y Evangelista
Torricelli (1608-1647), este último discípulo de Galileo y Cavalieri. Si bien
estas investigaciones son de fecha anterior a las de Wallis, fueron
publicadas con fecha posterior.
9. Descartes
En esta época aún no existía ninguna organización matemática de tipo
profesional, pero tanto en Italia como en Francia e Inglaterra había ya
algunos grupos de científicos más o menos organizados: la Accademia dei
Lincei (a la que perteneció Galileo) y la Accademia del Cimento en Italia,
el Cabinet Du Puy en Francia y el Invisible College en Inglaterra. Hubo
además, durante el período que estamos considerando, un personaje
que, a título individual, sirvió como central de información matemática
gracias a sus amplios contactos por correspondencia. Se trataba del
fraile minimita Marin Mersenne (1588 1648), muy amigo de Descartes y
de Fermat, así como de muchos otros matemáticos de la época. Si
Mersenne hubiera vivido un siglo antes, el retraso en circular la
información relativa a la resolución de la cúbica no se había producido,
porque en cuanto que Mersenne tenía noticias de alguna cosa nueva,
toda la “República de las Letras” era puntualmente informada acerca de
ella. Así pues, a partir del siglo XVII la matemática se desarrolló más
bien movida por su propia lógica interna que por fuerzas de tipo
económico, social o tecnológico, tal como se pone de manifiesto
claramente en la obra de Descartes, el matemático más conocido de la
época.
René Descartes (1596 -1650) nació en una familia bien acomodada y
recibió una formación sólida y esmerada en el colegio de los jesuitas de
La Flèche, en el los libros de texto de Clavius ocupaban un lugar
destacado. Después se graduó en la Universidad de Poitier, en la que
estudió derecho sin demasiado entusiasmo. Más tarde viajó Descartes
por diversos países durante unos cuantos años, participando en algunas
campañas militares, y sus breves períodos de servicio estuvieron
separados por largos intervalos de viajes independientes y de estudio,
durante los cuales entró en contacto con algunos de los intelectuales
más importantes entonces de varias partes de Europa: Faulhaber en
Alemania y Desargues en Francia, por ejemplo. En París conoció a
Mersenne y al círculo de científicos que discutían y criticaban libremente
el pensamiento peripatético; estimulado por este ambiente intelectual,
Descartes llegó a convertirse en el “padre de la filosofía moderna”, así
como a presentar una nueva concepción científica del mundo y a crear
una nueva rama de la matemática.
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En el más famoso de todos sus tratados, el Discours de la méthode
pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences
(Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las
ciencias), de 1637, anunciaba Descartes su programa de investigación
filosófica, por medio del cual, y a través de la aplicación de la duda
sistemática, esperaba alcanzar unas ideas claras y distintas de las que
sería posible entonces deducir una cantidad innumerable de
consecuencias válidas. Este planteamiento le condujo, en el campo de la
ciencia, a suponer que todo podía explicarse en términos de materia (o
extensión) y de movimiento. El universo entero, según postulaba
Descartes, estaba hecho de materia moviéndose incesantemente en
forma de “vórtices” o remolinos, y todos los fenómenos debían ser
explicados mecánicamente en términos de fuerzas ejercidas por
porciones de materia sobre otras en contacto directo con ellas. La ciencia
cartesiana gozó de una gran popularidad durante casi un siglo, pero
finalmente cedió su lugar a la teoría razonada matemáticamente de
Newton. No deja de ser irónico que fuera en gran parte la matemática de
Descartes la que hizo posible más tarde la derrota de la ciencia
cartesiana.
La primera contribución matemática de Descartes se remonta al
comienzo de su período de viajes y se refiere al descubrimiento de la
fórmula, atribuida generalmente a Euler, v +c = a+2 donde v, c y a
representan, respectivamente, el número de vértices, de caras y de
aristas en un poliedro simple. En 1628 escribe su primer tratado,
Regulae ad directionem ingenii; a continuación una obra de cosmología
titulada El mundo o Tratado de la luz, que estaba ya en manos del
impresor cuando sobrevino la condena de Galileo. Se abstuvo, pues, de
publicar su física, con el fin de no exponerse a polémicas y quizá, incluso,
a persecuciones. Sin embargo, se vio obligado, para completar su obra
científica, a recurrir a los poderes públicos para obtener del Estado
créditos suficientes. Es también el fin que persigue publicando su célebre
Discurso del método y algunos de sus descubrimientos científicos.
Publicado sin el nombre del autor en Leiden en 1637, el Discurso servía
como prefacio a tres tratados científicos: Geometría, Dióptrica y
Meteoros. La Geometría, que fue la única obra de Descartes sobre
matemáticas, contiene sus ideas sobre la geometría de coordenadas y el
álgebra. Pueden encontrarse sus restantes contribuciones matemáticas
en diversas cartas.
En una carta dirigida a Isaac Beckmann en 1628 encontramos el
origen de la geometría analítica de Descartes. Subrayaba en esta carta
que los progresos realizados en aritmética y en geometría en los últimos
nueve años eran tales que ya no estaba interesado en proseguir estudios
en esos campos. Y justificaba esta afirmación dando la regla para
construir todas las cúbicas y las cuárticas por medio de una parábola.
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Mediante este enfoque geométrico, se situaba en la prolongación directa
de los trabajos de Viète, ya que la construcción de las raíces de las
ecuaciones algebraicas determinadas había sido uno de los principales
temas de estudio de éste último.
Así, este esfuerzo por utilizar la geometría para resolver ecuaciones
algebraicas ilustraba bien el enfoque fundamental que desarrollaría en su
Geometría. Había descubierto que las interrelaciones entre el álgebra y la
geometría resultaban más inteligibles mediante el uso de coordenadas en
el estudio de las ecuaciones con dos incógnitas, y su método,
esencialmente nuevo, consistía en utilizar la representación gráfica de las
ecuaciones indeterminadas. Descartes comprobó el valor de su método
cuando resolvió en poco tiempo el problema de lugar de Pappus con tres
y cuatro rectas, propuesto por Golius. Aunque tenía la impresión de que
los antiguos, no habían podido resolver este problema, se dio cuenta de
las posibilidades que ofrecía su enfoque y, consecuentemente, dio a
conocer la geometría analítica a sus contemporáneos con su célebre
tratado.
La Geometría de Descartes está dividida en tres libros: el primero
trata de los problemas que se pueden construir empleando sólo
circunferencias y rectas. El segundo se refiere a la naturaleza de las
curvas, mientras que el tercero abarca la construcción de “problemas
sólidos o más que sólidos”.
La geometría cartesiana, en el sentido de Descartes, perseguía un fin
muy diferente de nuestra geometría analítica moderna. En efecto, en el
primer párrafo de la Geometría, puede leerse: Todos los problemas de
geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales que no hace
falta más que conocer la longitud de algunos segmentos rectos para
construirlos. No se trata, pues, de reducir necesariamente la geometría al
álgebra, sino más bien de realizar una construcción geométrica. Así,
desde las primeras páginas del libro I, Descartes proporciona una base
geométrica al álgebra mostrando que las cinco operaciones aritméticas
corresponden a construcciones sencillas con la regla y el compás.
Después, Descartes introduce su notación algebraica, y en particular su
notación exponencial para las potencias. Resalta a continuación el hecho
de que las potencias tales como etc., se interpretan
geométricamente como segmentos simples y no, según los griegos,
como cuadrados o cubos; en esto rompe con la tradición griega. Para la
resolución de un problema en geometría, Descartes indica cómo se debe
proceder: Se debe, en primer lugar, considerarlo como ya hecho, y dar
nombres a todas las líneas que aparecen necesarias para construirlo,
tanto las que son desconocidas como las otras. Después, sin considerar
ninguna diferencia entre las líneas conocidas y desconocidas, se debe
recorrer la dificultad, según el orden que muestre más naturalmente en
qué medida dependen mutuamente unas de otras, hasta que se haya
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encontrado el medio de expresar una misma cantidad de dos maneras:
lo que se llama una ecuación.
Descartes afirma a continuación que, si un problema puede ser
resuelto mediante la “geometría de líneas rectas y circulares trazadas
sobre una superficie plana” -geometría de la regla y el compás-, la
ecuación final contendrá “A un cuadrado desconocido” y este segmento
se encuentra fácilmente. Porque, prosigue, si tengo por ejemplo
Construyo un triángulo rectángulo con el lado igual la
raíz cuadrada de la cantidad conocida , y el otro lado, igual
, la
mitad de la otra cantidad conocida que está multiplicada por , la cual es
el segmento desconocido por hipótesis. Prolongando , la hipotenusa
de este triángulo, hasta O, de manera que sea igual a , el
segmento es la línea buscada.
Esto se expresa de esta formal
Descartes aplica su método a otras
ecuaciones de segundo grado y subraya a
continuación que las raíces obtenidas en
estos ejemplos podían encontrarse por
otros métodos, y que los matemáticos antiguos no parecían haber
descubierto un método tan eficaz para el mismo género de problemas. Lo
enlaza a continuación con el célebre problema de lugar de Pappus y,
después de una larga exposición sobre el tema, intenta demostrar que
su método le permite resolver el problema, incluso si el número de rectas
es mayor de seis u ocho.
El libro II es el que se acerca más a nuestra concepción moderna de
la geometría analítica. Después de una exposición crítica sobre las
distinciones aportadas por los griegos en el tema de la clasificación de las
curvas planas, sólidas y lineales propone una nueva clasificación que
reposa esencialmente sobre “la exactitud del razonamiento”. Las curvas
geométricas como la recta, la circunferencia y las cónicas, son curvas
algebraicas descritas exactamente, por oposición a las curvas mecánicas
como la cuadratriz y la espiral logarítmica, que son más bien curvas
trascendentes descritas inexactamente. La clasificación de Descartes
permitió abrir el campo de las curvas admisibles, que era muy restringido
entre los griegos, y preparar el camino de una clasificación de las curvas
basada en parte en la existencia de ecuaciones algebraicas.
El libro III de la Geometría vuelve al tema desarrollado en el libro I,
es decir, la solución de problemas de construcciones geométricas y, en
particular, la construcción de raíces de ecuaciones determinadas.
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Descartes resuelve así problemas de construcciones geométricas en los
que las longitudes desconocidas (raíces) satisfacen ecuaciones de tercer
grado y grado superior. Nos dice que para la construcción de cada
problema hace falta tener cuidado de escoger siempre la más sencilla de
aquellas mediante las que es posible resolverlo; se debe, pues, conocer
bien la naturaleza de las raíces de las ecuaciones a estudiar y saber, en
particular, cuándo una ecuación es reducible. Este último libro constituye
una exposición elemental de la teoría de ecuaciones, escrita en un
lenguaje y con una notación que se parecen mucho a los de nuestros
libros modernos. Se encuentran en él reglas para combinar, factorizar,
transformar y resolver ecuaciones. También se muestra cómo descubrir
las raíces racionales cuando existen, disminuir el grado de una ecuación
cuando se conoce una raíz, aumentar y disminuir las raíces, cambiar su
signo, determinar el número posible de raíces positivas y negativas,
verdaderas y falsas en el lenguaje de Descartes, mediante la célebre
“regla de los signos”, etc.
En la búsqueda de la solución de problemas de construcciones
geométricas, Descartes no recurre al método gráfico apropiado a un
sistema de coordenadas. Utiliza esencialmente la construcción
geométrica, el conocimiento de una longitud desconocida que satisface
una ecuación y las propiedades geométricas de las cónicas. Su solución
ofrece un aspecto puramente algebraico, y se sirve de las ecuaciones de
las cónicas para deducir hechos referentes a las curvas y a su
construcción geométrica. Su clasificación de los problemas reposa sobre
el grado de las ecuaciones algebraicas obtenidas a partir de la
formulación algebraica de los problemas de construcción. Es así como
una construcción realizada por medio de rectas y circunferencias se
formula en términos de una ecuación de primero o de segundo grado. Los
grados tres y cuatro de una ecuación implican la utilización de las
secciones cónicas. En particular, Descartes afirma, de manera incidental,
que la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo son de grado tres,
porque las rectas y las circunferencias no bastan para su construcción. Si
el grado de una ecuación es superior a cuatro, se pueden necesitar
curvas más complicadas que las secciones cónicas para asegurar su
construcción geométrica.
El grado de la ecuación de una curva resulta ser, en Descartes, una
especie de medida de su simplicidad. Nos recuerda, por otra parte, al
final de su libro, que ha presentado las construcciones más sencillas
posibles para problemas de diferentes clases, lo que significa que ha
utilizado el grado menor posible para resolver un problema de
construcción. En lo que se refiere a las expresiones “sistema de
coordenadas cartesianas” y “producto cartesiano”, podemos decir que son
anacronismos. En efecto, Descartes no elaboró un sistema de
coordenadas que le habría permitido localizar puntos como pudiera
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hacerlo un geógrafo, de la misma manera que sus coordenadas no son
consideradas como parejas de números. Lo que Descartes hizo, fue
utilizar una recta como una línea de base con un origen. Los valores de x
son entonces longitudes medidas sobre esta recta, mientras que los
valores de y son longitudes medidas desde la recta y que forman un
cierto ángulo constante con esta última. Esto era, de hecho, recurrir a
coordenadas oblicuas para situar puntos en el plano, pero Descartes
prefirió insistir en la idea misma de coordenadas en lugar de servirse de
ellas para trazar las curvas.
Oresme representaba una ley trazando el gráfico de la función
correspondiente, y la curva obtenida ilustraba geométricamente esta
relación de dependencia entre dos variables. A Descartes no le
interesaban los lugares de puntos que satisfacen una ecuación dada,
sino la posibilidad de construir estos puntos. Por otra parte, en la
Geometría no se encuentra ninguna curva trazada directamente a partir
de su ecuación. En lo que se refiere a la utilización de cantidades
negativas, aunque sabía que los segmentos negativos están dirigidos en
el sentido opuesto a los segmentos positivos, no se preocupó de
establecer un principio general aplicable en un sistema de coordenadas.
La determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado
es una de las constantes en los problemas de los matemáticos en todas
las épocas. Descartes abordó el problema de las tangentes en 1637
intentando determinar la “normal” a la curva de un punto M dado: Si N es
el punto donde la normal (perpendicular) corta al eje de las x, la
circunferencia descrita con este punto como centro, con radio N M, será
tangente en M a la curva. Pero si N no coincide exactamente con el pie
de la normal, el radio N M cortará a la curva en un segundo punto P que
se aproximará indefinidamente a M, cuando N se aproxime
indefinidamente al punto que coincide con el pie de la normal. Este
método está fundado en el principio siguiente:
Una línea cualquiera variable que corta a una curva dada en un
punto fijo M dado y en un segundo punto P variable que se aproxima
indefinidamente a M, llega a ser tangente a esta curva cuando los dos
puntos de intersección coinciden.
Este primer método de las tangentes
apareció en el libro II de la Geometría, y fue
seguido de otros dos métodos propuestos por
Descartes para apoyar su argumentación en la
polémica que le enfrentó a Fermat. El segundo
método consistía en “determinar la tangente a una curva considerándola
como la posición particular de una secante que gira en torno al pie de la
tangente, hasta que dos de sus puntos de intersección con la curva llegan
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- 64-
a coincidir”. Fue propuesto como respuesta a las modificaciones y
correcciones hechas por Descartes a la regla de los máximos de Fermat.
El último método de Descartes, que dio a conocer algunos días después
del segundo, expresa el punto de vista generalmente adoptado ahora: la
tangente está determinada por una recta que gira alrededor del punto de
contacto dado, hasta que el otro punto en el que aquélla corte a la curva
venga a coincidir con el primero.
Aunque Descartes manifestara antes de 1637 un cierto interés por los
métodos infinitesimales, no participó en su desarrollo porque sus
trabajos matemáticos, hay que recordarlo, no representan más que un
episodio en el desarrollo de su filosofía. Sin embargo, con motivo de la
polémica con Fermat, puso de manifiesto su interés matemático en el
problema de las tangentes. Descartes se dio cuenta plenamente de la
importancia de este problema en los siguientes términos: Por esto creeré
haber puesto aquí todo lo que se requiere para los elementos de las
líneas curvas, cuando haya ofrecido, en general, la manera de trazar
líneas rectas que formen ángulos rectos en aquellos de sus puntos que
se quiera escoger. Y me atrevo a decir que éste es el problema más útil y
más general, no sólo que yo sepa, sino incluso que yo haya deseado
jamás conocer en geometría.
Hay que señalar que el método de Descartes es puramente
algebraico y no recurre a conceptos de límite o de infinitésimo. Sin
embargo, queriendo corregir la regla de los máximos y mínimos de
Fermat, utiliza un procedimiento que es prácticamente equivalente a
definir la tangente como límite de la secante. Descartes evitó el uso de
métodos infinitesimales a causa de los riesgos que presentaban y debido
a la ausencia de bases teóricas para el razonamiento infinitesimal. Se
oponía así a un movimiento importante de su época.
10. Pierre de Fermat
Pierre de Fermat (1601 - 1665) nació en Beaumont-de-Lomagne,
cerca de Montauban. Su padre era comerciante de cueros y después de
dar una sólida formación en su familia, le envió a estudiar Derecho a
Tolouse. Allá pasó el resto de su vida, ejerciendo Derecho; después, a
partir de 1631, fue consejero en el Parlamento, y murió en Castres.
Fermat tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejemplar
de hacer bien su tarea y, en sus momentos de ocio, supo crearse
ocupaciones literarias y apasionarse por las matemáticas.
Fermat publicó rara vez sus descubrimientos; apenas algunas notas
como apéndices a tratados escritos por otros. Como trabajaba para
entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los márgenes de
estos tratados, y un gran número de sus trabajos se han perdido.
Mantuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su
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- 65-
reputación de matemático competente fue inmensa, y la estima en la
que se le tuvo fue general. Pascal confesó que era “aquel a quien tengo
por el gran geómetra de toda Europa”, y este personaje tan atrayente, de
un carácter constante, afable, poco susceptible, sin orgullo, contribuyó
ampliamente a la evolución de las matemáticas en campos tan variados
como la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, la teoría de
números y la teoría de probabilidades. Los principales escritos de Fermat
fueron publicados, después de su muerte, por su hijo Samuel en 1679,
bajo el título de Varia opera mathematica. Aunque esta publicación no
encierra más que una parte de su producción, basta por sí sola para
clasificar al célebre habitante de Toulouse como el más importante
matemático francés del siglo XVII.
El trabajo de restauración de los grandes clásicos de Alejandría
emprendido por sus predecesores interesó a Fermat después de 1621
hasta tal punto que se propuso reconstruir los dos libros de Apolonio
sobre los Lugares planos a partir de informaciones contenidas en la
Colección matemática de Pappus. Este trabajo le condujo al problema de
las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de Apolonio,
que generalizó en términos de esferas tangentes a cuatro esferas dadas.
Esta primera actividad matemática de Fermat le llevó en 1629, a la edad
de 28 años, a un estudio analítico de los máximos y los mínimos.Luego,
algún tiempo después, aplicó el análisis de Viète a los problemas de
lugares geométricos y, en un corto ensayo titulado Ad locos planos et
solidos isagoge, que data como mucho de 1636, presentó en un estilo
moderno, con las notaciones de Viète, los principios fundamentales de la
geometría analítica. Esta obra, muy corta como todos sus ensayos,
comienza con una alusión al hecho de que los estudios sobre lugares
geométricos han podido hacer que en ciertos casos los antiguos parezcan
difíciles a causa de su incapacidad de enunciar el problema en una forma
general. Es así como se propone someter la teoría de los lugares
geométricos a un análisis que indique el camino hacia un estudio general
de los problemas de lugares. Prosigue, a continuación, enunciando el
principio fundamental de la geometría analítica: Cuando una ecuación
contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y
el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o
una línea curva. Esta proposición constituye uno de los enunciados más
significativos de la historia de las
matemáticas. En efecto, introduce no
sólo la geometría analítica, sino
también la muy útil idea de variable
algebraica. En la terminología de
Viète la cantidad desconocida
representaba una magnitud
determinada, mientras que en Fermat
el extremo de una de las variables
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- 66-
puede ocupar diversas posiciones consecutivas, de manera que
represente una línea.
El extremo de E es fijo (B) cuando la longitud de A está determinada
a partir de un punto O, que se toma como origen, y hasta el punto C. Así,
Fermat utiliza coordenadas oblicuas, aunque el eje de las y no exista
explícitamente y aunque no emplee coordenadas negativas.
Las cantidades desconocidas y son auténticas variables que
utiliza en ecuaciones algebraicas que representan lugares. Subrayemos
que ni Descartes ni Fermat utilizaron la denominación de “sistema de
coordenadas” o la idea de dos ejes, y que Fermat se limitó a hacer
representaciones geométricas en el primer cuadrante solamente, sin
considerar posibles los valores negativos. En su presentación, introduce
la división clásica de los lugares en tres tipos plano, sólido y lineal de la
manera siguiente: si el extremo de E describe una línea recta o una
circunferencia, tenemos un lugar plano; sí describe una parábola, una
hipérbola o una elipse, es un lugar sólido; para todas las demás curvas,
el lugar correspondiente es un lugar lineal (locus linearis). Según Fermat,
las ecuaciones pueden visualizarse fácilmente cuando las dos cantidades
desconocidas son tales que forman un ángulo dado, que ordinariamente
es recto.
En 1629, Fermat había desarrollado su geometría analítica y, poco
tiempo después, hizo dos descubrimientos importantes estrechamente
ligados a sus trabajos sobre los lugares. El más importante es, sin duda,
una regla para la determinación de los extremos de las funciones
algebraicas que sería descrita, sin demostración, en un pequeño tratado
titulado Methodus ad disquirendam maximam el minimam, escrito en
1637. Se puede enunciar su método de la manera siguiente: se trata
de buscar el máximo o el mínimo de la función f cuya variable es y lo
resuelve así:
Reemplacemos por (donde desempeña el papel de nuestra
habitual) en , y hagamos , dividamos cada
término por y, finalmente, eliminemos todos los términos que
contengan . La ecuación resultante se anula para uno o varios
valores de la variable , y estos valores corresponden a máximos o
mínimos.
Veamos una aplicación de su método al problema de dividir un
número en dos partes de forma que el producto sea máximo. Sea el
número conocido y la cantidad desconocida. Tendremos que
. Para calcular el máximo, sustituimos por , por
consiguiente ,
igualamos a la anterior , y tenemos
, de donde simplificando y dividiendo por E obtenemos
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- 67-
. Finalmente, haciendo en la última igualdad,
tendremos 2A = N. Es decir, es máximo cuando
.
Es importante señalar que este método algorítmico, a efectos
prácticos, es equivalente al cálculo
aunque Fermat no
poseía el concepto de límite. Sin embargo, el cambio de variable de a
y los valores próximos utilizados por Fermat constituyen la
esencia del análisis infinitesimal. Hacia 1632, Fermat aplica su método de
los extremos a la determinación de las normales y tangentes o, más
precisamente, de las subtangentes a una curva.
El método de cuadratura, cálculo de áreas encerrada bajo una curva,
conocido como método de los indivisibles de Cavalieri muestra
principalmente que el área de una curva del tipo en los valores 0 y a
es
es lo que hoy día indicamos como
, para todas las
potencias enteras positivas. Sin embargo, Cavalieri después de la
publicación de este resultado en 1635, no proporcionó ninguna
demostración completa más que para . En 1635, Fermat demostró
rigurosamente este resultado general y, en la misma época, consiguió
extenderlo a las potencias fraccionarias positivas por medio de parábolas
generales de la forma . Además, encontró las cuadraturas y
los centros de gravedad de estas parábolas. Se interesó por la
cuadratura de la hipérbola fraccionaria aplicando una técnica equivalente
a la que se utiliza para el cálculo de la integral definida: división del área
bajo la curva en pequeños elementos, estimación de la suma de los
elementos del área mediante rectángulos y de la ecuación analítica de la
curva, procedimiento utilizado por Fermat para expresar el equivalente
de lo que se obtiene sirviéndose del límite de la suma. En cierta manera
podemos afirmar que Fermat llegó a reconocer todos los aspectos de la
integral salvo el de la integral misma.
Fue sobre todo en la teoría de números, inaugurada por Diofanto en
la Antigüedad, donde Fermat se reveló sin rival, como Pascal atestigua
en una carta: Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones
numéricas; os confieso que me superan con mucho; no soy capaz más
que de admirarlas. Los trabajos de Fermat en teoría de números están
contenidos en sus “observaciones”, escritas en los márgenes de su
ejemplar del Diofanto de Bachet y en su “correspondencia”. Para hacerse
una idea más exacta de las contribuciones de Fermat a la reina de las
ciencias matemáticas, según Gauss, hay que tener en cuenta sus dos
fuentes: la correspondencia aporta un complemento precioso a sus
observaciones. Los primeros estudios de Fermat en teoría de números
se remontan a 1636, año en el que consigue dilucidar el problema
siguiente: “Sea , donde son racionales.
Demostrar que si x es raíz, entonces es una diferencia de dos números
inconmensurables”. Pero es desde 1638 hasta 1644 cuando Fermat
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- 68-
demuestra su verdadero talento. En esta época da a conocer, entre
otras, las proposiciones siguientes:
1. Ningún triángulo rectángulo tiene por área un cuadrado.
2. Las ecuaciones son irresolubles
en términos de números racionales, así como. .
3. Ningún número de la forma es cuadrado o suma de dos
o tres cuadrados.
4. Todo número es la suma de tres números triangulares o más,
de cuatro números cuadrados, de cinco números
pentagonales, etc.
5. es compuesto si n es compuesto; si es primo, es
congruente con 1 módulo , y sus divisores primos son de
la forma .
6. , si es primo.
7. Cuando , con primos entre sí, no tiene
ningún divisor de la forma .
8. (llamado número de Fermat) no es primo si
Uno de sus métodos favoritos de demostración es el conocido como
de “descenso infinito”, que está fundado en una especie de inducción
inversa. En efecto, si se supone que un número goza de una propiedad
específica, y se puede probar que un número inferior goza también de
esta propiedad, por iteración se llega a la conclusión del absurdo de la
suposición, porque los números no pueden decrecer indefinidamente.
En cuanto al célebre “último teorema de Fermat” sobre la ecuación
, no aparece en ninguna parte en su correspondencia. La
referencia que se tiene se debe a la publicación por su hijo publicó de
una Aritmetica de Diofanto con todas las anotaciones al margen de su
padre, en donde figura la famosa frase: Cubum autem in duos cubos,
aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam
in infinitum utra quadratum potestatem in duos eiusdem nomini fas
dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis
exiguitas non caperet (Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos
o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia
cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he
descubierto una demostración verdaderamente maravillosa pero este
margen es demasiado estrecho para contenerla).
Se han necesitado unos 300 años y construcciones de teorías muy
complicadas para poder demostrarlo. En 1995, Adrew Wiles publicó, tras
un intento fallido en 1993, la última parte de la demostración en Annal of
Mathematics.
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- 69-
En 1494, Luca Pacioli publica su Summa de arithmetica, en la que
discute los juegos de azar y sugiere el célebre problema de los puntos,
que consiste en repartir equitativamente la apuesta entre jugadores cuya
destreza es igual, y que convienen en dejar la partida antes de que ésta
termine, con la condición de que, para ganar la partida, el primero debe
alcanzar un número dado de puntos, diferente para cada uno de los
jugadores. Durante el siglo XVI, dos científicos italianos estudiaron sobre
todo las probabilidades en relación con el juego de los dados. En su
manual del jugador titulado Liber de ludo aleae, publicado en 1663,
Jerónimo Cardano enuncia ciertas reglas válidas para resolver problemas
de dados y hace una relación de las precauciones a tomar para evitar las
trampas en los juegos de azar. Según Ore, Cardano formuló
correctamente los principios fundamentales y comprendió en cierta
medida la ley de los grandes números, además de obtener en su forma
casi general la ley de sucesos repetitivos. Por su parte, Galileo resolvió el
problema siguiente: con tres dados, demostrar que el número 10 aparece
más frecuentemente que el 9. Así, en los 216 casos posibles, Galileo
encuentra que 27 son favorables al número 10, contra 25 favorables al
número 9.
A principios del siglo XVII, Kepler afirma, a propósito de la aparición
súbita de una estrella en 1605, que tales acontecimientos, como los del
juego de dados, no pueden producirse fortuitamente. Con esta
afirmación, Kepler demuestra no ser ajeno al campo de las
probabilidades. Sin embargo, el cálculo de probabilidades nace
verdaderamente en 1654, de un intercambio de correspondencia entre
Blaise Pascal (1623 - 1662) y Fermat. Mientras Pascal vivía una actividad
matemática muy intensa, el caballero de Méré, su amigo, le sugirió dos
problemas que se hicieron célebres: el problema de la partida, enunciado
por Pacioli, y el de los dados. Siguió una correspondencia entre Pascal y
Fermat sobre estos problemas y los dos eminentes científicos franceses
llegaron a soluciones originales, ligadas esencialmente al análisis
combinatorio. En particular, la solución de Fermat al problema de los
puntos era válida para un número de jugadores superior a dos.
Subrayemos el hecho de que Fermat encuentra, antes de 1636, la
fórmula
.
Ni uno ni otro publicaron sus resultados sobre el cálculo de
probabilidades, y fue Huygens quien, al corriente de esta
correspondencia, se interesó por ella hasta el punto de reunir los
problemas ya resueltos y añadir algunos nuevos, cinco de ellos de Fermat
y uno de Pascal; el conjunto fue publicado en un pequeño tratado, el
primero que haya aparecido sobre el tema, en 1657.
11. La transición al Cálculo
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Evangelista Torricelli (1608 1647), físico y matemático italiano, nació
el 15 de octubre de 1608 en Faenza, cerca de Ravena. Estudió primero
en el colegio de los jesuitas de su ciudad natal. A los veinte años fue
enviado a Roma, donde recibió una formación matemática. En 1638,
Torricelli entró en contacto con los trabajos de Galileo y se sintió
profundamente impresionado. En 1641, atrajo la atención de Galileo por
un trabajo sobre el movimiento de los cuerpos pesantes, y este último le
invitó a Florencia. Torricelli se apresuró a responder a esta invitación, y
se convirtió a la vez en secretario y amigo de Galileo durante tres meses.
Sucedió a Galileo como matemático del gran duque de Toscana. Torricelli
mantuvo una correspondencia importante con los matemáticos de su
época, en particular con Roberval y Mersenne. La publicación, en 1644,
de su Opera geométrica fue el origen de una larga polémica que le afectó
mucho. Murió el 25 de octubre de 1647 en Florencia.
Torricelli conocía bien los trabajos de Arquímedes, de Galileo y el
método de los indivisibles de Cavalieri. Sabemos que Cavalieri se había
preocupado poco por el rigor matemático de los indivisibles y por las
dificultades lógicas con que tropezaba su método. Por el contrario, su
joven amigo Torricelli parece haber sido consciente de esas dificultades y
haberse dado cuenta plenamente de las ventajas e inconvenientes del
método. Por eso, no satisfecho de las demostraciones por el método de
Cavalieri, elaboró otras pruebas a la manera de Arquímedes (método de
exhausción) a guisa de suplemento a estas demostraciones. Así, por
ejemplo, en su De dimensione parabolae, Torricelli presentó veintiuna
demostraciones de la cuadratura de la parábola, diez de ellas elaboradas
por el método de los antiguos, y otras once utilizando los indivisibles.
Además, Torricelli y Cavalieri sabían perfectamente que el método de los
indivisibles conducía a veces a resultados absurdos, Y estos dos
discípulos de Galileo imaginaron incluso algunos ejemplos de esta
naturaleza con el fin de refutar los que otros habían encontrado, o de
profundizar aún más en la cuestión.
Sirviéndose del antiguo método de exhausción de los antiguos, del
método de los indivisibles de Cavalieri y, probablemente, de la
composición de movimientos de Galileo, Torricelli llegó a un cierto
número de anticipaciones notables en el cálculo. Mencionemos los
numerosos teoremas sobre las cuadraturas y las tangentes y algunas
rectificaciones de curvas. Sin embargo, hablamos de anticipaciones, a
propósito del cálculo diferencial e integral, porque debía franquearse
todavía otra etapa antes de poder afirmar que el cálculo estaba bien
fundamentado. Aludimos, evidentemente, al teorema fundamental del
cálculo integral que expresa la relación de reciprocidad entre la
diferenciación y la integración. Sin embargo, algunos matemáticos casi
llegaron a elucidar esta relación fundamental antes que Newton y Leibniz.
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- 71-
Torricelli reconoce, según parece, esta relación de reciprocidad desde un
punto de vista mecánico en un manuscrito que data de 1647, y que no
fue publicado hasta 1919. Es en los trabajos de Galileo publicados en su
célebre Discorsi e dimostrazione matematiche intorno a due nuove
scienze donde Torricelli busca la inspiración para sus propias
investigaciones sobre esta cuestión. En su Discurso, Galileo representa el
movimiento uniformemente acelerado mediante un diagrama en el que
el tiempo está como abscisa y la velocidad como ordenada. Considerando
los dos diagramas del espacio y de la velocidad como función del tiempo,
Torricelli enunció que las ordenadas de la curva del espacio son
proporcionales a las áreas limitadas por la curva de la velocidad,
mientras que las ordenadas de los puntos sobre la curva de la velocidad
son los coeficientes angulares de las tangentes de la curva del espacio.
Sin duda alguna, Torricelli fue uno de los matemáticos más
prometedores del siglo XVII y, gracias al trabajo de Mersenne, pudo
mantener correspondencia e intercambiar ideas con los grandes
matemáticos franceses de esa época. En la actualidad, Torricelli es
probablemente más conocido como físico, porque, siendo discípulo de
Galileo, su interés por la física le condujo, en particular, a la invención del
barómetro. Murió a los 39 años, en plena posesión de sus facultades
intelectuales y, si el destino hubiera querido prolongar su vida hasta una
duración normal, quizá, los títulos de gloria de Torricelli se habrían
multiplicado otro tanto.
Blaise Pascal (1623 1662), nació en Ciermont Ferrand. Era el segundo
hijo de Etienne Pascal, presidente del Tribunal de Impuestos. Este perdió
a su mujer en 1626 y decidió, en 1631, instalarse con su hijo y sus dos
hijas en París, con el fin de consagrarse a la educación de Blaise. Etienne
Pascal era también un matemático aficionado que, manteniéndose al
corriente de las principales actividades matemáticas de su tiempo, fue
capaz de realizar con éxito algunos estudios de naturaleza matemática.
Por ejemplo, el “caracol de Pascal” recibió ese nombre en honor de
Etienne y fue Gilles Personne de Roberval (1602-1675) quien sugirió esta
denominación. Además, Mersenne nos habla de proposiciones admirables
que al parecer demostró sobre los triángulos y Fermat también habla de
ello.
En 1634 1635, Blaise se inicia en las matemáticas contra la voluntad
de su padre quien, según se dice, temiendo que este estudio le
apasionara hasta el punto de perjudicar su débil constitución y le
distrajera del latín o las lenguas, había prohibido que se le enseñara la
geometría e incluso que su hijo pudiera tener acceso a obras de
matemáticas. Sin embargo, sobre la base de una información que
reducía la geometría a una ciencia consistente en trazar figuras exactas,
el joven Pascal emprende un día, a los doce años, la tarea de demostrar
la trigésimo segunda proposición de Euclides, y su padre le sorprende en
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- 72-
ese trabajo. Asombrado por la precocidad de su hijo, Etienne suspende la
prohibición, le facilita los Elementos y Blaise puede, desde ese momento,
dar rienda libre a su inteligencia. Después de haber leído a Euclides, el
joven Pascal se sumerge en los trabajos de Désargues. A los catorce
años es admitido, junto con su padre, en la Academia de Mersenne, que
agrupa a hombres como Mersenne, Désargues, Roberval, Mydorge y
otros. A los dieciséis años, expone allí teorías interesantes, como el
descubrimiento de una propiedad fundamental de las cónicas llamada
desde entonces el “hexágono de Pascal”. En 1640, publica una pequeña
obra titulada Ensayo sobre las cónicas, del que nos quedan solamente
dos ejemplares, uno en París y el otro en Hannover. Este pequeño
ensayo, muy corto, termina con la promesa de un trabajo más extenso y
parece, en efecto, que Pascal prosiguió este estudio a lo largo de su
vida, redactando un trabajo de conjunto en forma manuscrita hacia 1654.
Pero Pascal, aun siendo un geómetra, consagró varios años, a partir
de 1640, a la construcción de una máquina aritmética, destinada a
simplificar los cálculos fastidiosos que debía efectuar su padre como
comisario para la recaudación de impuestos en Normandía. Su salud
comenzó a alterarse cuando cumplió los dieciocho años, pero esto no le
impidió inventar su máquina de calcular cuando sólo tenía diecinueve
años. Más tarde, en Ruán, a los veintitrés años, después de una visita de
Pierre Petit que repitió ante él los experimentos de Torricelli sobre la
gravedad, se apresuró a disponer todo para verificar las conclusiones del
físico italiano, cosa que realizó con éxito. En 1647, gravemente enfermo,
Blaise Pascal se instala en París con su hermana Jaequeline y prepara,
después de una entrevista con Descartes, su experimento del Puy de
Dóme, pues no estaba enteramente satisfecho de los experimentos de
Ruán. Y el 19 de septiembre de 1648, el experimento sobre la gravedad
realizado en el Puy de Dóme (1465 m) fue un éxito completo. En 1651,
Etienne Pascal muere y, un año más tarde, Jaequeline, la hermana menor
de Blaise, entra en el convento de Port Royal. Así, desde 1652 hasta
1654 vive solo en París y emprende la redacción del Tratado del vacío,
revisa el Tratado del equilibrio de los licores y el Tratado de la gravedad,
presenta un “Memorial a la Academia parisina” en el que enumera sus
proyectos científicos, intercambia cartas sobre el problema de las
partidas y el cálculo de probabilidades con Fermat, y redacta el Tratado
del triángulo aritmético y diversos trabajos anejos.
El lunes 23 de noviembre de 1654, es la “noche de fuego” en el curso
de la cual Pascal, que se había convertido parcialmente al jansenismo en
1646, vive un éxtasis religioso intenso que le lleva a abandonar todo para
seguir a los jansenistas. Se une a su hermana en Port Royal y, durante
cuatro años, se consagra a la religión. Habiendo atacado los jesuitas a
los jansenistas, Pascal responde, en 1656 1657, con dieciocho cartas
llamadas las Cartas provinciales que constituyen un monumento de la
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- 73-
literatura francesa. Mientras tanto, mantiene una correspondencia
matemática con Fermat, Huygens y De Sluse. Una tarde del año 1658,
Pascal sufre un terrible dolor de muelas y, según parece, como
distracción, aborda el estudio de la cicloide. Es la vuelta de Pascal a las
matemáticas y el desafío lanzado a los matemáticos en una carta circular
anónima que contiene seis proposiciones sobre la ruleta. Después, bajo
el nombre de Amos Dettonville, anagrama transparente de Louis de
Montalte (célebre gracias a las Cartas provinciales), publicó, en diciembre
de 1658, en forma de nueve fascículos, sus métodos y resultados, que
son considerados como los tra- bajos matemáticos más significativos
publicados durante su vida. A finales de 1659, Pascal, gravemente
enfermo, abandona todo trabajo científico y consagra sus últimos años a
sus Pensamientos y al establecimiento de una línea de autobuses,
comúnmente llamada “empresa de carrozas a cinco sueldos”. El 19 de
agosto de 1662, muere Pascal a los 39 años.
La primera obra impresa de Pascal, Ensayo sobre las cónicas, es el
único estudio de geometría publicado en vida del autor. Se presenta en
la forma de un pequeño anuncio de formato 35 cm x 43 cm, impreso por
un solo lado, con un número inusitado de errores de impresión o
tipográficos, y del que se tiraron 50 ejemplares. Parece como si
Désargues no hubiera encontrado más que un solo oyente para apreciar
las ideas fundamentalmente nuevas que introduce en el campo de la
geometría y sus aplicaciones. Pascal no sólo comprende el interés de un
estudio unitario de las cónicas tal como el que emprende Désargues con
ayuda de consideraciones proyectivas, sino que intenta realizar este
estudio por otro camino, el que anuncia su corto texto de 1640. Según el
testimonio del mismo Pascal, la obra de Désargues le sirvió de inspiración
y modelo. El texto se compone de tres definiciones seguidas de tres
lemas que deben servir de base al futuro tratado de las cónicas, y
después de un esquemático programa de conjunto del que el autor extrae
cinco enunciados de propiedades fundamentales y algunos ejemplos de
problemas que debe tratar.
La primera definición introduce la noción de haz de rectas (ordenación
de líneas) que Pascal extrae de los trabajos de Désargues y que asocia el
caso de las rectas concurrentes al de las rectas paralelas. La segunda
definición se refiere a la noción de sección de cono y enumera los tres
casos generales (elipse, hipérbola y parábola) y dos casos particulares.
Una tercera definición se limita a anunciar el empleo de la palabra recta
en lugar de línea recta. El primer lema formula, en el caso particular de la
circunferencia, la propiedad de alineación de tres puntos de intersección
de los lados opuestos de un hexágono inscrito. El segundo lema afirma
que el eje de un haz de planos pertenece al haz espacial de rectas
determinado por las intersecciones de los planos del haz con otro plano.
El tercer lema extiende el teorema del hexágono (primer lema) a una
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- 74-
cónica cualquiera. A continuación, a partir de estos tres lemas y de
algunas de sus consecuencias, Pascal anuncia un tratado completo de las
cónicas y enumera teoremas destinados a dar una idea bastante precisa
de la generalidad de su método, además de ofrecer algunos ejemplos de
los problemas que debe tratar.
Los trabajos ulteriores de Pascal en geometría proyectiva son
descritos y comentados en su “Memorial de la Academia parisina” y en
una carta de Leibniz a Etienne Périer, el 30 de agosto de 1676. En lo que
se refiere al gran Tratado de las cónicas, no fue editado, y su manuscrito
parece definitivamente perdido. La valoración de la obra geométrica de
Pascal no es cosa fácil a causa de la insuficiencia de las informaciones,
por lo que preferimos citar la opinión del historiador René Taton, que es
el especialista en la cuestión: Al revelar la riqueza de un pensamiento
profundamente consciente de la potencia de los métodos proyectivos,
este análisis nos conduce a considerar la obra geométrica de Pascal,
desgraciadamente desaparecida, como una de las creaciones
matemáticas más originales del siglo XVII. Nos confirma igualmente en
la opinión de que la geometría fue uno de los campos de la ciencia donde
el genio de Pascal se manifestó de forma más fecunda.
En 1640, la familia Pascal dejó París para instalarse en Ruán, donde
Etienne había sido nombrado comisario para la recaudación de impuestos
en Normandía. Blaise pensó realizar una máquina que permitiera efectuar
las operaciones aritméticas elementales con el fin de facilitar las penosas
operaciones contables de las que había sido encargado su padre. Pero,
partiendo de este objetivo utilitario, el hijo de Etienne se interesó
pronto por el problema general de la mecanización del cálculo aritmético.
Se ha creído durante mucho tiempo que Pascal había sido el primero en
abordar el problema de la construcción de una máquina aritmética. De
hecho, Wilhelm Schickard (1592 1635), profesor de astronomía,
matemáticas y hebreo en la Universidad de Tubinga, había realizado en
1623 una máquina de ruedas dentadas capaz de calcular, a partir de
unos números dados, instantánea y automáticamente la suma, la
diferencia, el producto y el cociente de estos números.
Desgraciadamente, el ejemplar que había hecho construir para Kepler
fue destruido, y la correspondencia ulterior de Schickard no hace ya
ninguna alusión a esta máquina. Únicamente se han conservado copias
de cartas que incluyen dibujos de la máquina, y se ha podido construir
una máquina que funciona correctamente a partir de las indicaciones de
esas cartas.
Pascal utiliza, según sus palabras, “las luces de la geometría, la física
y la mecánica” para elaborar los planos de su máquina. Contrata obreros,
manda realizar más de cincuenta modelos, debe luchar también con un
imitador, y supera toda suerte de dificultades tanto en el plano técnico
como en el de la confección y la realización de las piezas. Finalmente,
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puede presentar al público, al canciller Séguier y a la reina Cristina de
Suecia el prototipo final, que se vende a cien libras, y cuyo
funcionamiento explica Roberval a quien lo desea. Existen todavía varios
ejemplares en el Conservatorio Nacional de Artes y Oficios de París y en
otros museos. Aunque la máquina de Pascal sea todavía rudimentaria en
su mecanismo y efectúe sólo las operaciones de adición y sustracción,
tiene el mérito de funcionar eficazmente y de servir, desde 1662, como
prototipo de varios modelos de “sumadoras”, además de interesar a
Leibniz en este problema.
Mientras que Pascal pone a punto diversos trabajos geométricos, su
amigo, el caballero De Méré, le interroga con respecto a problemas del
juego de dados y de las partidas. Por ejemplo, el primer problema del
juego de dados que aparece en la primera carta de Pascal a Fermat
consiste en responder a la cuestión siguiente: un jugador debe obtener
un seis con un dado lanzado ocho veces; supongamos que después de
tres lanzamientos sin éxito, decide retirarse; ¿qué proporción de la
apuesta le corresponde? Este fue el comienzo de una correspondencia
mantenida entre los dos matemáticos franceses, y las seis cartas
intercambiadas sirvieron de punto de partida de la moderna teoría de
probabilidades. Pascal relacionó el estudio de las probabilidades con el
triángulo aritmético y las combinaciones, y de esta manera elaboró un
método de demostración conocido actualmente con el nombre de
“inducción matemática”.
Los estudios de Pascal en análisis versaron casi exclusivamente sobre
las sumaciones, las integraciones necesarias para calcular arcos,
superficies, volúmenes, y para determinar centros de gravedad. Por el
contrario, no se ocupó en absoluto del problema de las tangentes. Pascal
conocía los indivisibles y estaba al corriente de las discusiones sobre la
falta de rigor y los fallos observados en algunos autores. Por eso,
aprovechando las advertencias hechas por algunos críticos del método,
decidió, no obstante utilizar los indivisibles, porque veía en ese lenguaje
una manera breve y elegante de expresar sus ideas.
Al introducir en su Tratado de los senos del cuadrante de
circunferencia la noción de triángulo característico, Pascal estuvo
notablemente cerca del descubrimiento del cálculo diferencial. En efecto,
Leibniz declaró que fue la lectura de ese tratado y, particularmente, la
utilización del triángulo característico, lo que le inspiró la invención del
cálculo diferencial.
Pascal imagina un radio y una división del cuadrante de la
circunferencia en arcos iguales que tenderán a cero cuando su número
aumente indefinidamente. Desde los puntos de división, como por
ejemplo, traza tangentes sucesivas cuyas intersecciones formarán un
polígono regular circunscrito. Pascal llama al triángulo rectángulo el
“triángulo característico”.
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Sirviéndose de ese triángulo, llega a la integración del seno y
encuentra teoremas equivalentes a lo que hoy día escribiríamos como
Pascal no se consideraba a sí mismo como una persona cuya primera
actividad fuera la matemática, por lo que no creía necesario estar al
corriente de las actividades matemáticas de su época. Era no sólo un
virtuoso aficionado a las matemáticas, sino también un diletante que se
permitía elegir los temas a los que consagraba su tiempo. Pascal fue,
efectivamente, un genio para captar rápidamente lo esencial de una idea
y para introducirla a veces en situaciones completamente nuevas. Sus
trabajos ejercieron una influencia cierta en el desarrollo de las
matemáticas. Subrayemos entre otras, el estímulo ejercido por la
publicación de las Cartas de Dettonville sobre el estudio de la cicloide, la
influencia que ejerció sobre Huygens, con ayuda de Fermat, a propósito
del cálculo de probabilidades. Sus contribuciones originales en el
dominio de las matemáticas son diversificadas y numerosas;
mencionemos solamente la geometría proyectiva, la inducción
matemática, la integración de los senos y el cálculo de probabilidades.
Gérard Désargues (1591 1661) nació en Lyon, donde fue bautizado el
2 de marzo de 1591. Era, según parece, el menor de una familia de
cuatro hijas y cuatro hijos. Su padre fue sucesivamente inquisidor en la
senescalía, recaudador de los diezmos de la ciudad y de la diócesis y
notario real. No se tienen informaciones ni sobre los estudios que hizo, ni
sobre la profesión que escogió. La primera indicación cierta sobre su vida
nos la presenta en 1630, instalado en París, donde le había sido
concedido un privilegio real para diversos escritos que proyectaba
publicar. Desde esta época, participa en la vida científica de la capital y
entabla amistad con Mersenne, Mydorge, Pascal y Claude Hardy.
Ingeniero cuyo talento era, según parece, apreciado por el cardenal de
Richelieu, lleno de curiosidad por todas las cosas, tanto de la ciencia pura
como de la técnica, de genio vivo, original y muy profundo, Désargues
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se sintió atraído también por ciertas técnicas ligadas a la arquitectura.
Reflexionando sobre las diferentes técnicas referentes a la
perspectiva, la gnomónica, la práctica del corte de las piedras y la
construcción de los cuadrantes solares, Désargues se esforzó por poner a
punto nuevos métodos universales, basados en una comprensión de los
fundamentos geométricos comunes a esas diferentes técnicas. En
1636, publicó un corto texto de perspectiva que muestra que la
geometría en para él bastante más un medio de simplificar y generalizar
las diversas reglas gráficas utilizadas por las diferentes técnicas; y la
perspectiva era, en su opinión, una aplicación directa de la geometría.
Descartes y Fermat descubrieron en esta obra el talento geométrico de
su autor; en cambio, ciertos teóricos de perspectiva no supieron
descubrir su profunda originalidad.
En 1638, Désargues tomó parte en una controversia que implica,
entre otros, a Descartes y Fermat sobre problemas de física y sobre el
famoso problema de la determinación analítica de las tangentes a las
curvas planas. Désargues, estimado por las dos partes enfrentadas,
desempeñó, según parece, un papel muy objetivo, intentando conciliar
las tesis de cada uno y excluir toda animosidad personal. A finales de
1638, discutió con Descartes su nueva teoría geométrica de las cónicas
que estaba a punto de publicar en forma de pequeño tratado. Este
tratado vio la luz en los primeros meses de 1639: fue su célebre Brouillon
project d’une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un
Plan (Borrador de un proyecto que trata de los resultados de los
encuentros de un cono con un plano), que recibió una acogida muy tibia;
sólo Pascal tuvo el gran mérito de apreciar todo su valor e interés. Desde
1640 hasta 1644, Désargues parece haber estado profundamente
afectado por las violentas polémicas que se desataron sobre su obra y
sobre sí mismo. Desde 1644 hasta su muerte, acaecida en 1661, vivió
sucesivamente en París, Lyon, y otra vez París en 1657, donde ocupó su
tiempo en realizaciones arquitectónicas y fue de nuevo objeto de vivas
críticas. No se sabe si murió en París, en Lyon o en Condrieu, pero una
cosa es cierta: su obra no fue reconocida en su tiempo, y los ataques de
que fue objeto eran desmesuradamente exagerados. El Borrador, del
que se hicieron sólo cincuenta ejemplares por el propio Désargues, se
convirtió rápidamente en una pieza rara. Gracias a Michel Chasles fue
encontrada una copia en una librería de lance en 1847, copia que sirvió
de base a Poudra para su edición de las Obras completas de Désargues
en 1964. Sin embargo, este documento no era un ejemplar original;
afortunadamente, las investigaciones emprendidas por René Taton han
permitido rastrear un original en la Biblioteca Nacional con la ayuda,
según parece, de Pierre Moisy.
La obra de renovación de la geometría presentida por Durero, Werner
y Maurolico, fue claramente concebida por Désargues. Así, empujado por
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el deseo de racionalizar las diversas técnicas gráficas la perspectiva, el
trazado de planos y la construcción de cuadrantes solares, había
conseguido no sólo discernir los principios geométricos subyacentes a
estas técnicas, sino también poner de relieve los procedimientos de la
geometría proyectiva y las propiedades de la perspectiva geométrica. Su
Borrador es esencialmente un libro sobre las cónicas en el que Désargues
estudia las propiedades comunes a las tres cónicas: parábola, elipse e
hipérbola, que pertenecen igualmente a la circunferencia, buscando
siempre en las propiedades de la circunferencia las que se conservan por
perspectiva. La técnica utilizada es la proyección a partir de una
circunferencia, y el concepto clave de su obra es el de “involución”. Las
principales ideas rectoras que se encuentran en su obra son las nociones
de punto y de recta en el infinito; la relación involutiva entre los puntos
de un eje, o entre las rectas de un haz; la involución de cuatro puntos,
introducida para la división armónica de puntos; las definiciones de polos,
de polares, de triángulo polar; la involución de puntos conjugados con
respecto a una cónica; la definición del diámetro como el polar de un
punto en el infinito; los ejes, los diámetros conjugados, las asíntotas de
una cónica obtenidas por proyección a partir de una circunferencia, o de
otra cónica.
Diversos problemas de geometría
perspectiva fueron resueltos por
Désargues después de 1639. El más
célebre, al cual va unido su nombre,
fue publicado en 1648 en el Tratado de
perspectiva de Abraham Bosse (1611
1678), su discípulo y amigo. Es el
teorema de Désargues, que enuncia
que dos triángulos perspectivos, y
’, en el espacio o en el plano son
tales que los tres puntos de
intersección de sus lados homólogos
están alineados y
recíprocamente.
La geometría proyectiva fundada sobre la obra original de Désargues
y el Ensayo de Pascal quedó olvidada rápidamente, y sólo el genio de
Monge invirtió parcialmente la marcha de la corriente matemática que
prevaleció durante más de un siglo. Este olvido se explica en gran
medida por el éxito casi inmediato de la Geometría de Descartes, los
progresos fulgurantes del análisis infinitesimal, fundamentado en la
utilización de los indivisibles y el punto de vista analítico que se extendió
muy ampliamente en los métodos del análisis.
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12. Preparado el camino para Newton y Leibniz
Hasta aquí hemos visto la inmensidad de problemas que se han
tratado y resuelto en esta etapa hasta el siglo XVII. Se ha dilapidado en
general el rigor impecable de la exhaución griega, pero se han ingeniado
magníficos métodos heurísticos de rápido descubrimiento. Se han puesto
de manifiesto hechos significativos (el incremento infinitesimal de la
variable independiente de Fermat y Barrow, el triángulo característico y
sus semejantes vinculados a cada punto de la curva, la relación inversa
entre cuadraturas y tangentes, cte.). En algo más de medio siglo las
técnicas infinitesimales han dado un salto de gigante. A partir de aquí se
plantea, históricamente, la necesidad de dos hechos fundamentales:
1. la generalización y unificación de los problemas y métodos
infinitesimales, es decir la elaboración de un algoritmo aplicable
a todos los problemas
2. la reformulación sobre bases rigurosas del nuevo Análisis
infinitesimal.
La parte 1 es, lo que llamamos, el descubrimiento final del Cálculo
por Newton y Leibniz. La parte 2 es la puesta en orden lógico del Cálculo,
que realiza Cauchy y sus continuadores, la llamada Aritmetización del
Análisis.
Puede decirse que el Cálculo anterior a Newton y Leibniz es una
ingente casuística de métodos heurísticos, aplicados a problemas
geométricos específicos, que se resuelven mediante técnicas ad hoc,
obteniéndose multitud de resultados particulares que, al traducirlos al
lenguaje moderno, muestran los conceptos esenciales del Cálculo, que de
alguna manera yacían en ellos, pero de forma tan fragmentaria que sólo
se referían a problemas individuales y no a teorías generales. Pero la
perspectiva de generalización estaba implícita en esos métodos. Si no se
acertó a encontrar la técnica algorítmico general bastante tuvo que ver
en ello el lenguaje matemático al uso, todavía primitivo, que se utilizaba.
Esto, es patente en el caso de Pascal que con admirable destreza y sin
utilizar fórmula alguna elabora enunciados que pueden traducirse
inmediatamente en fórmulas de nuestro Cálculo integral.
El dominio incomparable del lenguaje le permite evitar el simbolismo
algebraico, con su claridad y precisión, pero su rechazo de las fórmulas le
impidió descubrir el Cálculo diferencial de Leibniz, vía el triángulo
característico, así como la fórmula binomial de Newton, descubrimientos
que como Leibniz reconoce, se hicieron gracias a él. Como consecuencia
del precario lenguaje, era difícil acertar a vislumbrar las posibles
conexiones entre los problemas que se trataban, pero aun en el caso de
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advertirlas, como por ejemplo la relación entre la rectificación de la
parábola y la cuadratura de la hipérbola, o la esencial relación inversa de
las tangentes con las cuadraturas, era difícil formularlas con exactitud, y
mucho más captar el profundo significado y la importancia que tales
conexiones tenían en el camino de la generalización de los métodos.
El gran acierto de Leibniz es precisamente la elaboración de una
notación especialmente afortunada, tan identificada con los propios
conceptos y tan significativamente definitiva, que, a veces, nos resulta
inevitable utilizarla, anacrónicamente, para exponer los resultados
infinitesimales de sus predecesores. Su virtuosismo en la creación del
simbolismo le permitiría traducir en fórmulas los resultados y en
algoritmos los métodos, tanto los de sus antecesores como los
descubiertos por él mismo, lo que a su vez le facilitaría la utilización de
los recursos algebraicos para independizar el discurso matemático de las
figuras geométricas (a las que estuvo esclavizado Barrow, por ejemplo) y
con todo ello reconocer y aislar los conceptos fundamentales del Cálculo
infinitesimal, creando un cuerpo de doctrina dotado de algoritmos
eficaces, es decir funcionando como un Cálculo operacional que resuelve
todos los problemas planteados anteriormente, mediante procedimientos
uniformes y con una proyección a nuevos y más complicados problemas,
como un potente instrumento de investigación. En palabras del propio
Leibniz, se trataba de hacer con las técnicas del Cálculo lo mismo que
había hecho Viète con la teoría de ecuaciones y Descartes con la
Geometría.
El descubrimiento final del Cálculo infinitesimal, requería la
confrontación y contrastación de los métodos geométricos de Cavalieri y
Barrow con los métodos analíticos de Descartes, Fermat y Wallis, con los
métodos aritméticos de Roberval, Fermat y Wallis y con los métodos
cinemáticos de Torricelli, Roberval y Barrow. No se ajusta por tanto del
todo a la realidad histórica la asignación categórica de Newton a la
tradición cinemática representada por Arquímedes, Galileo, Torricelli,
Roberval y Barrow y de Leibniz a la tradición atomística representada por
Demócrito, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal y Huygens. Las dos
tradiciones afectaron tanto a Newton como a Leibniz. El descubrimiento
final del Cálculo requería asimismo y sobre todo el reconocimiento de la
importancia del teorema fundamental del Cálculo como núcleo de un
algoritmo universal, que establecería una forma general de proceder
aplicable a todos los problemas infinitesimales. El Cálculo de Newton
comienza con la consideración de elementos infinitesimales a la manera
de Fermat y Barrow (cuya aplicación extiende mediante el teorema
binomial), pero en seguida deriva hacia una concepción mecánica,
basada en la idea intuitiva del movimiento continuo, manejando el
concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo y de
fluxión como su velocidad de cambio respecto al tiempo, y utilizando
constantemente las series infinitas para universalizar la aplicabilidad del
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cálculo fluxional, valiéndose de la derivación término a término. En
cuanto a la integración, Newton cambia radicalmente la concepción
tradicional del área como límite de una suma de infinitesimales, a base
de considerar la razón de cambio del área respecto de la abscisa,
calculando después el área, mediante una antiderivación, dejando
completamente claro, por vez primera, el carácter inverso de la
cuadratura y la tangente.
Newton recoge la influencia de Barrow (que en su versión del
teorema fundamental maneja la integral indefinida a expensas de la
integral definida), trocando la preeminencia que históricamente había
tenido la integración sobre la derivación. Con Newton la derivación
ocupará el papel principal, quedando la integración reducida a ser el
problema inverso. De hecho Newton, con su intuición algorítmica,
concebirá la idea de sustituir todas las operaciones de carácter
geométrico involucradas en el Cálculo, por una única operación analítica,
la derivación, que resolverá además por inversión, la integración
(teorema fundamental del Cálculo), para lo que se auxiliará con el
reciente y poderoso algoritmo de los desarrollos en serie (derivación e
integración término a término).
El Cálculo de Leibniz tiene en cambio una hechura más analítica y
simbólica, siendo las diferencias infinitesimales y la suma de
infinitamente pequeños las bases de su Cálculo diferencial e integral,
respectivamente, lo que le permite, extrapolando el carácter inverso de
la suma y la diferencia, como operaciones, descubrir el vínculo entre
tangentes y cuadraturas, y a través del triángulo característico reducir
todos los problemas de cuadratura a una antiderivación, considerando lo
que se llama la cuadratriz o sumatriz, y auxiliándose, además, con
transformaciones a modo de sustituciones, que son operaciones
totalmente análogas a la integración por partes y por cambio de variable.
A lo largo del recorrido de la etapa empírica del desarrollo del Cálculo
anterior a Newton y Leibniz, hemos visto cómo se iba abriendo paso
lenta y subrepticiamente el concepto de límite. Aunque muchos
matemáticos aplican intuitivamente nociones muy próximas a las
nuestras, contextualizando sus resultados advertimos las dificultades
inherentes al ejercicio del pensamiento aritmético en términos de límites,
que tan imprescindible se fue manifestando durante dos siglos en la
ardua tarea de reconstruir y sistematizar el Análisis, fundamentándolo en
bases rigurosas. Newton, intentando evitar los infinitamente pequeños,
se ve abocado a considerar las primeras y últimas razones de
cantidades evanescentes, que es un remedio más de la idea de límite
aunque ya más próximo al rigor, pero no lo suficiente, como para no
encender la dura crítica del obispo Berkeley. Leibniz en cambio con su
reformulación de los conceptos infinitesimales (los diferenciales)
disfraza, como habían hecho sus predecesores, el concepto de límite bajo
su notación y terminología.
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Como conclusión, Newton y Leibniz, bajo concepciones y métodos
infinitesimales diferentes, fueron capaces de separar la carga geométrica
de los resultados de sus antecesores, encontrando el principio general
que les permitiría reducir las operaciones fundamentales del Cálculo
infinitesimal a un algoritmo universalmente válido, produciendo una
ruptura radical, un cambio sustancial en el tratamiento y resolución de
los problemas. Recogiendo todos los componentes de lo heurístico de la
fase empírica anterior, Newton y Leibniz, sin añadir grandes cotas de
rigor, desarrollan lo algorítmico con la fecundidad, coherencia y
generalidad de sus diferentes sistemas infinitesimales, abriendo la
puerta a lo riguroso en el Análisis moderno. Gracias a la ilustre pléyade
de matemáticos que les precedieron, estos sabios bien pudieron haber
manifestado la frase que se atribuye a diversos científicos: Si he podido
vislumbrar más allá, es porque me he subido a hombros de gigantes.