Post on 06-Feb-2018
GUÍA DE ESTUDIO MODALIDAD ADI
TEMA No 1.
PROPIEDADES TERMODINÁMICAS
DE LOS FLUIDOS.
Profesora: Ing. Koralys Goitía
2
PROPIEDADES TERMODINÁMICAS
DE LOS FLUIDOS.
Las propiedades termodinámicas de los fluidos, son características
puntuales de un sistema, que definen y particularizan una sustancia de trabajo.
Estas, permiten determinar la energía que puede transferir o recibir un sistema,
motivo que explica la importancia de la predicción de las propiedades tales como:
entalpía (H), entropía (S), energía interna (U), entre otras. Las formas más
importantes de energía en el estudio termodinámico son el calor, y el trabajo; lo
cual pueden ser determinados mediante la aplicación de leyes termodinámicas.
Cuantificar el calor y trabajo de un sistema, es tarea ingenieril; sin las
propiedades termodinámicas de los fluidos esta tarea sería de ensayo error,
trayendo como consecuencia pérdidas económicas y el malgasto de energía
innecesaria.
Por estas razones, el propósito de esta unidad temática es desarrollar a
partir de la primera y segunda ley de la termodinámica expresiones
fundamentales para la evaluación de las propiedades características de un
sistema de composición constante, tales como H, U, y S. Dadas las propiedades
mesurables (medibles) temperatura (T), presión (P), volúmenes (V), y los
calores específicos, se podrán conocer los valores de las propiedades
conceptuales (U, S, H), que nos permitan a su vez evaluar equipos industriales
tales como compresores, turbinas, intercambiadores de calor, etc. A su vez, se
definirán dos nuevas propiedades, las energías libres, que sirven como base para
establecer criterios de equilibrio para las unidades temáticas siguientes.
Objetivo de la Unidad Temática.
Capacitar a los estudiantes en la determinación de las propiedades
termodinámicas de un fluido de composición constante, a partir del desarrollo de
correlaciones generalizadas cuando se carece de información experimental.
3
PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE LOS FLUIDOS.
1.1. Relaciones Entre Las Propiedades Termodinámicas Para Una Fase
Homogénea De Composición Constante.
En este tema se trabajará exclusivamente con propiedades por unidad de
mol, TODAS las relaciones vistas aquí se pueden generalizar para propiedades
extensivas por medio de una transformación trivial, casi siempre multiplicando
todos los términos por los moles del sistema, n. Esto es así en virtud de que el
tema 1 solo trata con sustancias puras. Al haber mezclas, la situación se hace
diferente.
Para comenzar con las relaciones termodinámicas, debemos partir de la
combinación de la primera y segunda ley de la termodinámica como se mostrará
a continuación;
La ecuación (1.1) es la primera ley para un sistema cerrado. Recordemos
que las propiedades de estado son independientes de la trayectoria del proceso
por ello podemos determinar el cambio de energía interna realizando las
suposiciones necesarias para un sistema cerrado y el cambio de entropía en un
proceso reversible.
La segunda ley para sistemas reversibles es representada por la ecuación (1.2):
De la ecuación (2.1) tenemos:
El trabajo termodinámico está definido como:
Recordemos que el símbolo d (derivada) se utiliza para derivadas exactas,
como lo son las propiedades termodinámicas, y el símbolo δ se utiliza para
4
diferenciar derivadas inexactas como lo son la energía en tránsito (dependencia
de la trayectoria) W y Q.
Sustituyendo (1.3) y (1.4) en la ecuación (1.1) tenemos:
Esta relación es la 1era relación fundamental desarrollada para procesos
reversibles, pero como las propiedades no dependen del proceso (trayectoria)
esta ecuación se aplicara a cualquier proceso homogéneo de composición
constante.
La ecuación (1.5) para un sistema cerrado homogéneo se considera a U
como función de S y V, y si U es conocida, todas las demás propiedades
termodinámicas son conocidas aplicando simples relaciones matemáticas. Aunque
se puede escoger cualquier otra variables independientes para determinar U, no
hay ningún otro que proporcione un significado físico más simple de la función de
U. Por esta razón el grupo de variables U, S, V se denominan grupo fundamental.
Un aspecto importante de la ecuación (4) es que presenta a U como
función de S y V. Si la variación de dU se lleva a cabo en un proceso en donde S
y V son constantes entonces:
0, ≤VSdU (1.6)
= 0 para procesos reversibles
< 0 para procesos irreversibles
U tiende a un mínimo en un proceso irreversible que se produzca en un
sistema cerrado; y permanece constante en un proceso reversible, puesto que los
procesos reales tienden a un estado de equilibrio, todo acercamiento al equilibrio
a entropía y volumen constante viene acompañado de una disminución de la
energía interna del sistema. Por lo tanto la ecuación (1.6) proporciona un criterio
de equilibrio en un sistema cerrado.
5
A partir de la ecuación (1.5) intentaremos definir 3 relaciones alternativas.
Para hacer esto Legender (1985) hizo transformaciones en la posición de las
variables que permitieran tener otras nuevas propiedades en función de las
mismas.
Una nueva propiedad definida a partir de la ecuación (1.5) fue llamada
entalpía, se intercambia las variables P y V entonces:
Diferenciando:
Sustituyendo en (1.5)
Se aplica el criterio anterior, cuando el cambio de entalpía se da en un
proceso a S y P constantes la entalpía tiende a un mínimo en un proceso
irreversible, y permanece constante en un proceso reversible.
0, ≤PSdH (1.8)
Ahora realizaremos la transformación pero ahora intercambiando a S y T; para
ello debemos definir una nueva propiedad, esta se llamo energía de Helmholtz
(A):
Diferenciando:
Sustituyendo en (1.5)
Como criterio de equilibrio:
0, ≤VTdA (1.10)
Por último se define la energía libre de Gibas, se intercambian T y S y V por P de
la ecuación (1.5):
6
Derivando y sustituyendo en (1.5).
0, ≤PTdG (1.12)
La ecuación (1.12) es uno de los criterios de equilibrio más importante ya que es
a P y T constante, propiedades totalmente mesurables. La desigualdad exige que
todos los procesos irreversibles que se realizan a T y P constante deben ocurrir
en tal dirección de modo que la función total de Gibbs del sistema disminuya.
Relaciones de Maxwell
Aplicando el criterio de exactitud para las expresiones diferenciales se
obtiene otro conjunto de ecuaciones denominadas relaciones de Maxwell y se
derivan a partir de las relaciones fundamentales. Estas nos permitirán
intercambiar variables por medio de simples relaciones matemáticas.
Escribamos un forma general para las cuatros ecuaciones fundamentales (1.5,
1.7, 1.9 y 1.11):
Sabemos además que Z(f)= Z(X,Y) se expresa matemáticamente como:
Comparando ambas ecuaciones podemos establecer que: (1.13) Aplicando a la ecuación (1.5) relación fundamentales tenemos que:
NdYMdXdZ +=
dYYZdX
XZdZ
XY
∂∂
+
∂∂
=
XYZN
∂∂
=YX
ZM
∂∂
=
7
Comparando (1.5) y (1.14) tenemos:
TSU
V
=
∂∂
PVU
S
=
∂∂
La S y el V, dan información directa sobre las propiedades T y P. Para las
ecuaciones (1.7, 1.9 y 1.11) podemos aplicar el mismo criterio, y obtenemos
información directa.
Aplicando el criterio de exactitud matemático (2da derivadas) a las ecuaciones
(1.13) tenemos:
YXZ
XN
YXZ
YM
Y
X
∂∂∂
=
∂∂
∂∂∂
=
∂∂
2
2
(1.15)
Aplicando el criterio a cada ecuación fundamental (1.5, 1.7, 1.9 y 1.11) queda:
8
Las ecuaciones (1.16, 1.17, 1.18 y 1.19) son las relaciones de Maxwell.
PROBLEMA 1.
Determine la expresión para la H, en función de T y P.
Solución
H=H(T,P)
El primer término de dH, es conocido como Cp
El segundo término, se busca mediante las relaciones estudiadas.
Con la ecuación (1.7) buscamos la relación derivando (1.7) con respecto a P
a T constante.
yx xN
yM
∂∂
=
∂∂
(1.16)
(1.17)
vS SP
VT
PdVTdSdU
∂∂
−=
∂∂
−=
vT TP
VS
PdVSdTdA
∂∂
=
∂∂
−−=
PT TV
PS
VdPSdTdG
∂∂
−=
∂∂
+−=
Ps SV
PT
VdPTdSdH
∂∂
=
∂∂
+=
(1.18)
(1.19)
9
Por la relación de Maxwell (1.19) tenemos que:
Sustituyendo (1.22) en (1.21) se tienen:
La ecuación (1.23) es una ecuación general, aplicable a cualquier ecuación de
estado (EDE), ya que viene de relaciones matemáticas, es exacta. La ecuación
(1.23) se particulariza cuando se introduce en ella una ecuación de estado (PVT),
donde deja de ser general, para convertirse en una ecuación particular a sistemas
que se rigen sólo a sistemas que se ajusten a la ecuación de estado seleccionada.
Veamos el problema 2 para estudiar el caso particular de sistemas de gases
ideales.
PROBLEMA 2.
Particularice la ecuación (1.23) para sistemas que se rigen por la
ecuación de estado de gas ideal.
Solución
La ecuación de gas ideal es:
Para sustituir en la ecuación (1.23) se debe encontrar la derivada del volumen
con respecto a la T manteniendo la P constante.
Sustituyendo la derivada en (1.23) y despejando el volumen de la ecuación de
gas ideal para sustituirlo en (1.23), se tiene:
El termino dentro del corchete se cancela por ser igual, matemáticamente queda
demostrado que la entalpía de un gas idea, es independiente de la P. La ecuación
(1.23a) permite calcular el cambio de entalpía para un sistema ideal.
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TAREA 1.
Determine la expresión para la S, en función de T y P.
Resp:
Determine la expresión para la S, en función de T y V.
Resp:
Determine la expresión para la U, en función de T y V.
Resp:
Aplicaciones Matemáticas.
Para este tipo de relaciones matemáticas, y como ya hemos visto que las
ecuaciones fundamentales pueden ser tratadas como ecuaciones diferenciales,
apliquemos dos aplicaciones matemáticas que nos permitirán relacionar de
manera adecuada las propiedades. Estas son:
Relación de reciprocidad:
Relación Cíclica:
PROBLEMA 3.
Determinar la expresión del coeficientes de Joule Thompson como
función de T,P,V y Cp.
Solución
La ecuación de Joule Thompson es:
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Para obtener valores del coeficiente de Joule Thompson de la ecuación (1.29) se
debe tener una expresión de la T, en función de la P y H. Esto normalmente se
hace poco práctico, ya que en un proceso determinado, las mediciones que se
realizan con mayor frecuencia son de T,P y V. Por ello la importancia de convertir
mediante relaciones matemáticas las ecuación (1.28), en una ecuación con data
empírica fácil de medir.
Para ello apliquemos la relación (1.28).
Se despeja el primer término, que es el coeficiente de Joule Thompson:
Aplicamos la relación (1.27) para que nos quede el término (1.22) ya conocido,
Sustituyendo (1.22) en (1.31) y recordando que Cp=
La ecuación (1.32) es una ecuación general y exacta, expresada en función de
data PVT. Para particularizarla a sistemas en específicos, se debe introducir una
ecuación de estado.
TAREA 2.
¿Cuánto vale el coeficiente de Joule Thompson para un gas ideal?
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Coeficientes de Dilatación Isobárica (expansión volúmetrica) y
Compresibilidad Isotérmica .
El coeficiente de dilatación isobárica (1.33) es una medida de la expansión
volumétrica a P constante.
El coeficiente de compresibilidad isotérmica (1.34), es una medida del volumen a
T constante.
Son utilizados ampliamente para la determinación de propiedades de la fase
líquida. Para fluidos incompresibles, el son cero. casi siempre es positiva,
y siempre es positiva.
PROBLEMA 4.
Evaluar el coeficiente de dilatación isobárica por Van der Waals (VDW).
Solución
La ecuación (1.33) debe ser particularizada para sistemas que se rijan por la
ecuación de Van der Waals. Esta ecuación de estado es:
Derivar el V, de la ecuación (1.35), es una tarea ardua. Por ello se aplica una
solución más sencilla. Se busca con la relación (1.28).
Las derivadas de (1.37) son fáciles de encontrar, de esta manera determinamos
la derivada del V, con respecto a T, a P constante.
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Sustituyendo ambas derivadas en (1.37)
Finalmente se sustituye en (1.33)
La ecuación (1.38) permite calcular el coeficiente de expansión isobárica para
sistema que se ajustan a la ecuación de VDW.
PROBLEMA 5.
Obténgase una expresión para la variación de entalpía en un proceso
isotérmico de un gas cuya ecuación de estado es:
Solución
La ecuación (1.35) es una función explícita en P. A simple vista, podríamos creer
que utilizar la ecuación (1.23), soluciona el problema. Veamos:
Con esta ecuación, tendríamos que derivar el V, y la ecuación (1.35) es explicita
en P. Despejar el volumen de (1.35) es una tarea poco práctica. Aplicar la
relación encontrada en el ejercicio anterior , tampoco ayudaría ya que al
sustituir en (1.23) el volumen sigue siendo una incógnita y se tendría que
despejar. ¿Cómo podemos resolver entonces el problema?, mediante las
relaciones termodinámicas. Buscamos una propiedad que este expresada en
función de P, para poder derivar directamente la ecuación (1.35), y mediante
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relaciones entre las propiedades determinar la entalpía. La ecuación (1.26) es la
apropiada. Por ejemplo:
Se sustituye en (1.26) la derivada y la P. Recuérdese que el proceso es
isotérmico.
Simplificando:
Integrando desde un estado 1 a 2:
Aun no se ha determinado la entalpía, para ello utilizamos las relaciones antes
definidas.
Aplicando deltas se tiene que:
Se sustituye en y se obtiene la expresión buscada:
1.2. Propiedades Residuales.
Desafortunadamente, se desconoce algún método experimental para la
medida directa de valores numéricos de G. Por ello se utiliza el método de
propiedades residuales, que por definición es:
GR=G- Ggi
Donde:
G= Valores de Gibbs real
Ggi
= Valores de Gibbs ideal a las mismas condiciones de T y P
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Para todas las propiedades, se generaliza una ecuación:
giR MMM −= (1.39)
Donde M= H, S, U, G, V, A
Por ejemplo para el volumen:
giR VVV −= pero P
RTV gi = y P
ZRTV =
Sustituyendo:
PRT
PZRTV R −=
sacando factor común nos queda:
)1( −= ZP
RTV R
Para la Entalpía se tiene de la ecuación (1.22):
La ecuación (1.22) también se puede escribir como:
La ecuación (1.40) representa una ecuación aplicable para cualquier tipo de
sistema.
Para un sistema de gas ideal, la ecuación (1.22) se convierte en:
Es decir la entalpía de un gas ideal a T constante, es igual a cero:
La entalpía residual se escribe como: giR HHH −= derivando esta ecuación
obtenemos:
dHR= dH - dHgi (1.42)
Sustituyendo (1.41) y (1.40) en (1.42) se tiene que:
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Ahora para determinar la entalpía del sistema despejamos de (1.42):
dH= dHR + dHgi
∫=T
T
Igi dTCpdH0
(1.44)
Sustituimos la ecuación (1.43). Por otro lado la entalpía del gas ideal se
determina por:
(1.45)
Para la entropía de modo similar:
S(f)= S(T,P)
dPPSdT
TSdS
TP
∂∂
+
∂∂
= (1.46)
De la relación (1.19)
PT TV
PS
∂∂
−=
∂∂
La ecuación (1.46) queda:
Se utiliza la ecuación (1.7), despejando dS, para derivarlo en función de la
variable que se desea, en este caso en función de T a P constante.
TVdPdHdS −
= (1.48)
∂∂
−
∂∂
=
∂∂
PPP TPV
TH
TTS 1
(1.49)
Se sustituye en (1.47)
dPTv
TdT
THds
PP
∂∂
−
∂∂
=
Cp
17
dPTV
TdTCpds
P
∂∂
−= (1.50)
Para un gas ideal la ecuación (1.50) queda:
PdPR
TdTCpdS gi −= (1.51)
Aplicando el concepto de residual, se tiene que:
dSR= dS - dSgi
dPPR
TVdS
P
R
+
∂∂
−=
(1.52) Evaluando (1.50) y (1.51) en un proceso a T constante queda y sustituyendo en
(1.52):
(1.53)
Despejando de (1.52) el cambio de entalpía real:
dS= dSR + dSgi (1.54)
Sustituyendo (1.53) y (1.51) en (1.54) se tiene:
En los apartados 1.7 y 1.8 de esta guía se estudiara con mayor profundidad, las
propiedades residuales.
1.3. Deducción de la ecuación De Clapeyron. Ecuación de Antoine. Las curvas mostradas en este diagrama PT representan los límites de fases para
una sustancia pura. Ocurre una transición de fases a P y T constantes siempre
que se cruzan estas curvas. En consecuencia los valores molares y específicos de
las propiedades extensivas cambian respectivamente. Esto es para v, h, u, s, a la
misma P y T. La excepción es la energía molar o especifica de Gibbs, que para
una sustancia pura no cambia durante una transición de fases como la fusión, la
vaporización o la sublimación.
18
La ecuación (1.11) también la podemos
escribir de forma molar debido que para
un sistema cerrado los moles son los
mismos:
dTnSdPnVnGd )()()( −=
En un sistema donde la sustancia esta a T
y Psat
0, ≤PTdG
(sistema en saturación; fases
coexistiendo), la T permanecerán
constantes hasta que se termine una de
las fases que coexisten, por ejemplo: la T
permanecerán constantes hasta que se
termine la última gota de líquido o el
proceso inverso. Entonces podemos escribir la ecuación (1.12):
Al integrar G de la fase α debe ser igual a G de la fase β para que se
cumpla dicha ecuación (proceso reversible). Si la temperatura de un sistema de
dos fases cambia, en consecuencia la P también debe cambiar de acuerdo a la
relación de P de saturación y T siguen coexistiendo en equilibrio entonces para el
cambio de estado se debe cumplir que: βα dGdG = (1.56)
Se sustituyen (1.11) en ambos lados de (1.56):
dTSdPVdTSdPV SATSAT ββαα −=−
0=+−− dTSdPVdTSdPV SATSAT ββαα
Se rearregla
( ) ( ) 0=−−− dTSSdPVV SAT βαβα
( )( )βα
βα
VVSS
dTdPSAT
−−
=
Aplicado a Fase L y V tenemos se tiene:
( )( )fg
fgSAT
VVSS
dTdP
−
−= ó
cteTP
v
=
∂∂
Fig 1.1 Diagrama P-T para un sustancia pura. Fuente: Smith y col
19
( )( )fg
fgSAT
VS
dTdP
= (1.57)
La ecuación (1.7) a P cte queda:
Despejando:
fgfg S
Th
=
Se sustituye en (1.57) y queda:
TVh
dTdP
fg
fgSAT
= (1.58)
La ecuación (1.58) es la ecuación de Clayperon, se utiliza a menudo para
determinar presiones de saturación a partir de la entalpía de vaporización.
Ecuación de Antoine.
Para calcular la presión de vapor existen varias ecuaciones, una de las más
utilizadas es la Ecuación de Antoine. Esta correlación matemática provee de
muy buenas aproximaciones a los valores reales. Se compone de tres constantes
que incorporan las propiedades características de cada sustancia y la temperatura
del sistema:
)(
)(lnKTC
BAkPaP+
−= (1.59)
Las constantes para cada sustancia las tomaremos de la guía adjunta de
Joan Peixoto y Miguel Gama (2205-2006) que a su vez trae consigo las
propiedades críticas de cada sustancia. (Esta guía está disponible en el tema 1 en
la carpeta de anexos, ver anexo 1.1.)
TdSdH =
20
1.4. Diagramas termodinámicos T vs. S, P vs. H.
El diagrama T-S tiene varias propiedades interesantes que lo hacen útil
para visualizar procesos y ciclos. A continuación ilustraremos en la Fig. 1.2,
algunas de estas propiedades importantes.
En un diagrama T-S un ciclo de Carnot
queda representado por dos horizontales
(isotermas) y dos verticales (isentrópicas). Por
lo tanto un ciclo de Carnot es un rectángulo.
Además el área encerrada dentro de un
ciclo (o bajo la curva) representa los calores
intercambiados con el exterior o en cada
evolución.
Lo anterior se debe a que si la evolución
es reversible, se cumple que dQ = T·dS. En el
ejemplo que se ilustra, el calor absorbido es el
área S1-2-3-S2 y el calor cedido es el área S1-1-4-S2
.
Un concepto interesante que
surge de este diagrama es el de Ciclo
de Carnot correspondiente. En la Fig.
1.3 se observa que si en un diagrama
T-S se traza un ciclo cualquiera, el
rectángulo que circunscribe al ciclo es
el ciclo de Carnot correspondiente.
La diferencia de área entre
ambos ciclos representa la pérdida de
eficiencia entre el ciclo real y el Carnot
Fig. 1.2. Diagrama T-S. Fuente: Guía estudio. F. Bello
Fig. 1.3. Diagrama T-S. Fuente: Guía estudio. F. Bello
21
correspondiente. Este concepto nos será de mucha utilidad al estudiar los ciclos
típicos de Centrales Térmicas.
Los diagramas mencionados están esquematizados en las Fig. 1.4 y 1.5.
Estas figuras se basan en los datos del agua y cambiarán en los detalles al pasar
de una a otra sustancia. En todos los casos las líneas gruesas representan los
límites de las fases, mientras que las líneas delgadas son ejemplos de curvas que
muestran la relación entre las coordenadas para un valor constante de una
propiedad particular.
Fig. 1.4 Diagrama T-S de una sustancia pura. Fuente: Smith y Col.
El diagrama P-H es muy utilizado para visualizar procesos en sistemas de
refrigeración.
22
Fig. 1.5. Diagrama P-H de una sustancia pura. Fuente: Smith y col.
PROBLEMA 6.
Se sabe que Cp=A+BT es válido para una isóbara a presión baja, P=P*
Para resolver este problema, utilizaremos de apoyo gráfico los diagramas T-S
antes estudiados, Fig. 1.4.
Ubiquemos en el diagrama (fig. 1.6) un gas en estado inicial (P
.
Obténgase una expresión para el cambio de entropía de un gas si la
ecuación de estado es:
Solución
1), el Cp, dado es
un dato que debemos utilizar a bajas P es decir a P1*, entonces utilizaremos el
camino isotérmico para utilizar el Cp de referencia. Para llegar al estado (2), se
utiliza el camino isobárico desde P1* a P2*(estado de referencia de gas ideal).
Finalmente el camino isotérmico de P2* a P2
.
23
Fig. 1.6. Diagrama T-S. Trayectoria problema 6. Fuente: Propia.
Como la ecuación de estado es explicita en P, podemos utilizar la ecuación (1.25)
De P1 a P1* (trayectoria Isotérmica), la ecuación (1.25) queda:
De P1* a P2* (trayectoria Isobárica), como es isobárica podemos utilizar la
ecuación (1.24), de este modo se utiliza el dato de referencia que es el Cp,
quedando:
Finalmente de P2* a P2 (trayectoria isotérmica), la ecuación (1.25) queda:
Cada una de las trayectorias se suman para conseguir el cambio de la entropía
del estado 1-2.
P2
P2*
P1
T
S
Punto Crítico
P1*
24
Sustituimos la derivada de la ecuación de estado explícita en P. Se resuelve la
integración especificando los límites de cada una de las integrales:
También podemos observar que el cambio de entropía de 1-2 no son más que
sumas de las propiedades residuales, es decir:
SR = S - Sgi
De 1 a 1*, es la entropía real menos la ideal, para obtener el cambio de entropía
de 1 a 1*, dado que en el diagrama podemos observar que la entropía ideal es
mayor a la real, la entropía residual será negativa. Es por eso que el primer
término de la ecuación (1.60) resulta ser negativo. De 1* a 2*, los estados son
ideales (no hay cambio de entropía residual). Y de 2* a 2 la entropía residual es
positiva.
Evaluando (1.60) el cambio de entropía queda:
1.5. TABLAS DE PROPIEDADES TERMODINÁMICAS
Las Tablas de Vapor tienen la ventaja de permitir trabajar con mayor
precisión con todas las variables termodinámicas relevantes, pero sin tener la
posibilidad de visualizar lo que ocurre.
La información presentada por medio de gráficas puede suministrarse en
tablas. La más ampliamente utilizadas son las tablas de vapor de agua, y éstas
representan tabulaciones bastantes detalladas de datos para H2
Hay una para líquido saturado y vapor saturado, una para la región de
vapor, para la región líquida, y otra tabla para sólido saturado.
O sólida, líquida y
vapor.
25
En la bibliografía expuesta en las referencias así como en cualquier libro de
termodinámica, se observan las tablas de agua en las diferentes fases.
1.6. Correlaciones Generalizadas De Las Propiedades Termodinámicas
Para Gases.
En termodinámica básica se abordaron las correlaciones generalizadas para
gases con la ley de estado correspondientes de 2 parámetros, ahora abordaremos
la ley de estados correspondientes de 3 parámetros. El tercer parámetro
involucrado se le llamara factor acéntrico (w). Este factor se buscara para cada
sustancia en la tabla de propiedades críticas adjuntas en el tema 1 (anexo 1.2.).
Este factor corrige al factor de compresibilidad, acercándose con mayor exactitud
al valor real.
A pesar de que el uso de las ecuaciones basada en el Teorema de Estados
Correspondientes con dos parámetros conduce a resultados mejores que la
ecuación de gas ideal; aún se tiene desviaciones considerables respecto a lo
experimental. Los resultados se mejoran con la introducción del nuevo
parámetro, el factor acéntrico (w).
La correlación para Z desarrollada por Pitzer y colaboradores es la siguiente:
10 wZZZ +=
En donde Z0 y Z1
r
r
TP
TcRPcB
TRPBZ ⋅
⋅⋅
+=⋅⋅
+= 11
se leen en las tablas que desarrollaron Lee/ Kesler. Estas
correlaciones dan buenas aproximaciones a sistemas de gases no polares o
ligeramente polares y además el sistema debe estar a bajas presiones, con
respecto sus propiedades críticas.
Otra correlación de Pitzer es la desarrollada para la ecuación virial truncada
en el 2do coeficiente.
En donde:
26
2,41
6,10
10
172,0139,0
422,0083,0
r
r
TB
TB
BwBTcRPcB
−=
−=
⋅+=⋅⋅
1.7. Aplicación de las correlaciones generalizadas de Pitzer en
determinación de la entalpía residual y la entropía residual.
A las ecuaciones determinadas para la entalpía y entropía residual (1.43
y 1.53) se le aplican correlaciones generalizadas, esto se detalla en la guía de
estudio de la Prof. Yolanda Reyes publicada en el apartado del tema 1, (pág.
101-109).
Como resultado de esta aplicación quedan las siguientes ecuaciones:
- Para La ecuación Virial truncada en el segundo coeficiente correlación de
Pitzer:
Entalpía
∂∂
−+∂∂
−= )(1
10
0
rr
rrr
R
TBTBw
TBTBP
RTH (1.61)
Donde:
( ) 6.216.1
0 675.0422.06.1r
rr T
TTB
==∂∂ −−
( ) 2.512.4
1 722.02.4172.0r
rr T
TTB
==∂∂ −−
27
Entropía
∂∂
+
∂∂
−=TrBw
TrB
RS R 10
Pr (1.62)
- Para la Correlación de Pitzer desarrollo de valores por Lee/kesler
10
+
=
C
R
C
R
C
R
RTHw
RTH
RTH
(1.63)
RSw
RS
RS RRR 10 )()(
+= (1.64)
Los valores supra ceros y supra 1, de la ecuación (1.63) y (1.64) se pueden leer
directamente del anexo 1.3. que se encuentra en la carpeta de anexo del tema 1.
1. 8. Estimación de propiedades utilizando el concepto de propiedades
residuales.
A partir de las ecuaciones (1.61, 1.62, 1.63, 1.64) podemos determinar las
propiedades de H, y de S, de la siguiente manera.
Aplicando el concepto de residual para la entalpía y entropía se sabe:
El cambio de la entalpía y entropía de gas ideal fueron definidas con anterioridad
como la ecuación (1.45) y (1.51) respectivamente.
Integrando la ecuación (1.45) y (1.51), desde un estado de referencia de gas
ideal, hasta otro estado como gas ideal, se tiene:
Sustituyendo en las ecuaciones (1.65) y (1.66) se tiene:
28
La HR y SR
∫
∫
++=
++=
1
0
2
0
101
202
T
T
Rgigi
T
T
Rgigi
HdTCpHH
HdTCpHH
de las ecuaciones (1.69) y (1.70) pueden ser calculados por las
correlaciones generalizadas estudiadas, por las ecuaciones (1.61, 1.62, 1.63, y
1.64).
Por ejemplo, para calcular la entalpía de los estados 1 y 2 quedara la ecuación
(1.67) del siguiente modo:
(1.69a)
Para determinar el cambio 12 HHH −=∆ restamos las ecuaciones (1.69a) de esto
resulta:
∫ −+=∆2
1
12
T
T
RRgi HHdTCpH (1.71)
Con la ecuación (1.71) determinamos el cambio de entalpía en un sistema.
Para la entropía de modo análogo al anterior;
RT
T
gigi SPPR
TdTCpSS +−+= ∫
1
0 0
101 ln (1.70a)
RT
T
gigi SPPR
TdTCpSS +−+= ∫
1
0
2
0
202 ln
∫ −+−=∆2
112
1
2lnT
T
RRgi SSPPR
TdTCpS (1.72)
Con la ecuación (1.72) determinamos el cambio de entropía en un sistema.
29
Las ecuaciones (1.71) y (1.72) las podemos determinar paso a paso mediante el
uso de gráficos que permiten observar el cambio de estado con estados
hipotéticos como referencia.
Fig. 1.7. Trayectoria de cálculo para los cambios en la propiedad . Fuente: Smith y col.
La línea discontinua representa el cambio directo de la propiedad, es decir
es la representación del proceso real, sin tomar referencias. Como se observa en
la Fig 1.7, las flechas (no lineales) representan el cambio de la propiedad real, a
la ideal. La Fig. 1.7, representa a 2 estados termodinámicos, con sus estados de
referencia ideales. Este proceso, como podemos observar esta a diferente T y P,
describiéndose en 3 etapas:
1era: proceso del estado 1 al estado de gas ideal (nótese que la T y P no
cambian, cambian es la H, S, entre otras). Como va desde 1 a 1 ideal, queda la
propiedad residual:
ó
30
2da: proceso del estado 1 ideal al estado 2 ideal, el cambio de entalpía se calcula
por (1.45) y el de entropía por (1.51).
∫=−=∆2
1
12
T
T
gigigigi dTCpHHH
1
212 ln
2
1PPR
TdTCpSSdS
T
T
gigigigi −=−= ∫
3era: proceso del estado 2 ideal al estado 2 real, el cambio de entalpía y entropía
se mide:
Al sumarse las 3 etapas quedan las ecuaciones (1.71) y (1.72).
PROBLEMA 7
En un compresor que funciona en régimen estacionario se comprime
metano de manera isoterma, desde 100 kPa y 20°C hasta 20 MPa.
Calcule, la potencia mínima necesaria si el flujo másico es de 0,02 kg/s.
Resuelva por ecuación virial, Pitzer.
Solución
Como es potencia mínima, es un trabajo en un proceso ideal reversible. Es decir
que el calor lo podemos determinar por segunda ley.
El trabajo lo calculamos por primera ley, para un sistema abierto estable:
Como el sistema es isotérmico T1= T2, y Tr1=Tr
Tc (K)
2
Las propiedades críticas de metano se leen en la tabla anexa en anexo 1.2. del
tema 1, llamada propiedades críticas.
Pc (kPa) w masa molar
190,6 4599 0,012 16,043
31
R=8,314 kJ/kgmolK
T=293,15 K
P1= 100 kPa
P2
RR SSPPRS 12
1
2ln −+−=∆
= 20000 kPa
Inicialmente determinamos el calor, mediante el cálculo del cambio de entropía
por la ecuación (1.72). Como el proceso es isotérmico el primer término se
cancela quedando:
Se determinan las entropías residuales mediante la ecuación (1.62), tanto para el
estado 1 (inicial) y para el estado 2 (final).
-0,040009
-8,001703
Sustituyendo y resolviendo para el cambio de entropía:
-52,012
El calor entonces es:
-15247,29
Calculamos el cambio de entalpía con la ecuación (1.71) para determinar por
primera ley el trabajo y con el trabajo la potencia. La ecuación (1.71) para un
proceso isotérmico queda:
32
Gráficamente establecemos que la trayectoria de 1 a 2, es isotérmica, por eso
podemos trazar una linealidad (línea punteada) que representa esto. El cambio
de entalpía ideal cera cero, ya que la entalpía de gas ideal sólo depende de T, al
ser un proceso sin cambio de T, giH∆ =0. El cambio de entalpía y entropía
entonces es: RR HHH 12 −=∆
RR SSPPRS 12
1
2ln −+−=∆
Se calculan las entalpías residuales para ambos estados, con la ecuación (1.61)
quedando:
-16,1246859
-3224,93718
-3208,81
El trabajo es:
-12038,48
La potencia se calcula con el flujo másico
-12038,48 = -15,007 kW.
33
Referencias
Smith J., Van Nees H., y Abbott M. Introducción a la Termodinámica en
Ingeniería Química. 7ma Edición. 2007. Editorial McGraw Hill.
PhD. Yolanda Reyes. Principios De “Termodinámica Aplicada” Para El Área De
Ingeniería Química. 2001.
Balzhiser R. Michael R.S. Termodinámica Química para Ingenieros. Editorial
Pretince-Hall Internacional. 1974
Praunitz J.M. Molecular Thermodynamics of Fluids Phase Equilibria.