Post on 12-Aug-2021
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución de triángulos. Apli-
caciones
1. Introducción.
El origen de la palabra trigonometría es de origen griego ( trigo-triángulo, metron-medida).
Así mediante el estudio de la trigonometría podemos estudiar las relaciones entre los 6 ele-
mentos que lo forman (3 ángulos y 3 lados). Como veremos con sólo 3 elementos de los 6
(siempre que uno al menos sea un lado) podemos determinar el valor de los otros 3.
El triángulo y sus propiedades son sin ninguna duda el polígono más estudiado, su impor-
tancia reside en que todo polígono se puede descomponer en triángulos. Destacar el impulso a
la geometría, y en particular a la geometría del triángulo en la Grecia clásica de manos de ma-
temáticos importantes como Pitágoras, Tales o Ptolomeo. Las razones trigonométricas de los
triángulos rectángulos eran ya conocidas en la Grecia clásica, Ptolomeo tenía tablas de valores
de las mismas respecto a los ángulos cuando estos aumentaban de medio en medio grado.
En la Eda Moderna la trigonometría tuvo gran importancia de manos de la astronomía,
surge así el concepto de función trigonométrica. Copérnico en su libro fundamental dedica el
primer capítulo a la trigonometría.
En la actualidad las funciones trigonométricas son utilizadas en muchos campos de la física
y la ingeniería: la mecánica, cinética, y en general en todas las magnitudes vectoriales la trigo-
nometría es básica para la descomposición vectorial del vector.
2. El ángulos. Definición y distintas unidades de medida.
2.1. Definición de ángulos
Dadas dos semirrectas con origen en común el ángulo que forman
es el espacio comprendido entre ambas, definiendo así dos ángulos:
- Interior: ángulo menor (menos parte del planno)
- Exterior: ángulo mayor (mayor parte del plano)
Los ángulos tiene sentido, así el sentido positivo es el antihorario,
siendo negativo el horario.
2.2. Unidades de media de los ángulos.
Para medir los ángulos se usan tres escalas de medida, todas basadas en la circunferencia:
1. Grados sexagesimales: el valor de un ángulo en grados sexagesimales se basan en el
asignar el ángulo de una circunferencia el valor de 360o. Para calcular el ángulo forma-
do por dos semirrectas se hace por proporcionalidad entre la superficie del sector cir-
cular y el circulo de mismo radio: α=360o·
circuloarea
torarea sec
2. Grados centesimales: en esta escala la circunferencia forma un ángulo de 400og. Al
igual que los grados sexagesimales se calcular por proporcionalidad con el área de l
sector que ocupa y el del círculo de mismo radio: α=400og·
circuloarea
torarea sec
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 2
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
3. Radianes: un radian es el ángulo que hace que el arco que ocupa el ángulo sea igual al
radio de la circunferencia. En una circunferencia hay 2π rad, luego podemos calcular
de forma equivalente a los casos anteriores los grados en radianes como
α=2π·circuloarea
torarea sec
Para convertir unas unidades en otras basta con usar la equivalencia 360o=400
og=2π rad.
2.3. Rango de los ángulos.
Desde un punto de vista geométrico los ángulos definidos entre el ángulo nulo, definida
como el interior de dos semirrectas coincidentes(0o=0
og=0rad) y el ángulo abarcado por toda la
circunferencia, exterior de las anteriores dos semirrectas (360o=400
og=2πrad).
Si el estudio se hace desde un punto de vista analítico (funciones circulares) el ángulo pue-
de tomar cualquier valor real, α∈ℝ. Si queremos definir a un ángulo fuera del rango [0,360o)
de manera geométrica no tenemos más que tomar módulo 360, es decir quedarnos con el
resto de dividir el valor de α entre 360o. Ejemplo: 760
O=40
O.
3. Propiedades fundamentales de los triángulos.
En este apartado veremos dos propiedades fundamentales (teoremas) para la resolución
de los triángulos: Teorema de Pitágoras y Teorema de los ángulos de un triángulo.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo (un ángulo recto o de 90o) el cuadra-
do del la hipotenusa (el opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos (los otros dos lados). a2=b
2+c
2
Demostración: es uno de los teoremas más demostrados y de más diferentes formas. En
esta demostración usaremos una de las más clásicas basada en el cálculo del área de un cua-
drado dividió en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño de lado igual a la hipotenusa.
área total=at=acuadrdo grande= (b+c)2=b
2+c
2+2·b·c
area total=areacuadrado pequeño+4·atriangulo=a2+4·bc/2=a
2+2·b·c
Igualando: b2+c
2+2·b·c= a
2+2·b·c, despejando a
2=b
2+c
2
Teorema de los ángulos: la suma de los ángulos de todo triángulo es 180o:
oCBA 180ˆˆˆ =++
Demostración: trazamos por un vértice del triángulo una
recta paralela al lado opuesto, formándose tras ángulos que
por paralelismo son iguales a los del triángulo, y por tanto
suma un ángulo llano, es decir 180o:
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
4. Razones trigonométricas. Definición y propiedades.
4.1 Definición de razones a partir de triángulos (ángulos agudos)
Los triángulos rectángulos la semejanza se cumple si tienen entre sí un ángulo común
(además del ángulo recto). Como sabemos los lados de los triángulos semejantes son propor-
cionales, por tanto sabiendo el ángulo de este triángulo rectángulo quedaran determinadas los
valores de las relaciones de los lados de cualquier triángulo rectángulo con este ángulo fijado.
Estas razones entre los lados se llaman razones trigonométricas:
contiguocateto
opuestocatetotg
b
c
b
c
b
c
hipotenusa
contiguocateto
a
b
a
b
a
b
hipotenusa
opuestocatetosen
a
c
a
c
a
c
====
====
====
)(
)cos(
)(
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
α
α
α
Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángu-
lo y no del triángulo. El ángulo en esta definición cumple α∈(0o,90
o)
Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un trián-
gulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que:0<sen(α)<1,
0<cos(α)<1 cuando α∈(0,90º).
A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes:
opuestocateto
contiguocateto
tgg
contiguocateto
hipotenusa
senec
opuestocateto
hipotenusa
==
==
==
)(
1)(cot
)(
1)(cos
)cos(
1)sec(
αα
αα
αα
a3 a2 a1
b1
b2
b3
c3
c2
c1
α
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
4.2. Razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Para poder definir las razones de ángulos de más de 90
te la circunferencia goniométrica
(x2+y
2=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al
eje positivo de abscisas. De esta forma I cuadrante α
cuadrante α∈[1800, 270
o], IV cuadrante α[270
Sobre esta circunferencia podemos definir el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo
de la siguiente forma:
A partir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trig
nométricas a partir de la definición y buscando triángulos semejantes donde el denominador
de las razones trigonométricas se haga igual a 1. Veamos en los 4 cuadrantes.
ador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
4.2. Razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Para poder definir las razones de ángulos de más de 90o tenemos que definir primerame
niométrica: siendo circunferencia centrada en el origen de radio unidad
=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al
eje positivo de abscisas. De esta forma I cuadrante α∈[0,90o], II cuadrante α
], IV cuadrante α[270o,360
o].
Sobre esta circunferencia podemos definir el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo
sen(α)=Coordenada y del punto=P
cos(α)=Coordenada x del punto=P
tg(α)=Py/Px
artir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trig
nométricas a partir de la definición y buscando triángulos semejantes donde el denominador
de las razones trigonométricas se haga igual a 1. Veamos en los 4 cuadrantes.
Signo de las razones trigonométricas:
sen(α) cos(α)
I Cuadrante + +
II Cuadrante + -
III Cuadrante - -
IV Cuadrante - +
Nota: si α>360o se divide entre 360
resto (lo que ha dado después de n vueltas)
4
Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
tenemos que definir primeramen-
: siendo circunferencia centrada en el origen de radio unidad
=1), de forma que cada punto de la misma define un ángulo midiéndose con relación al
], II cuadrante α∈[90o,180
0], III
Sobre esta circunferencia podemos definir el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo
sen(α)=Coordenada y del punto=Py
cos(α)=Coordenada x del punto=Px
artir de esta definición podemos representar la tangente y las demás razones trigo-
nométricas a partir de la definición y buscando triángulos semejantes donde el denominador
gno de las razones trigonométricas:
cos(α) tg(α)
+
-
+
-
se divide entre 360o y se toma el
resto (lo que ha dado después de n vueltas)
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 5
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
4.3. Propiedades elementales.
A partir de la definición de las razones trigonométrica, es decir que P(cos(α),sen(α)) es un
punto de la circunferencia se cumplen las siguientes propiedades que relacionan las razones
trigonométricas.
Propiedad 1: se cumple que seno y coseno valen entre 1 y -1: -1≤≤≤≤sen(α)≤≤≤≤1, -1≤≤≤≤cos(α)≤≤≤≤-1.
Propiedad 2: relación fundamenta, sen2(α)+cos
2(α)=1 . Nota: sen
2(α)=(sen(α))
2
Propiedad 3: Relación con la tangente ����� = ���������� .
Propiedad 4: + ������ = �������, + �������� =
�����
Demostraciones:
Propiedad 1: como sen(α) y cos(α) son coordenadas de los puntos de la circunferencia de
radio la unidad se cumple que siempre serán menores o iguales (extremos) a la unidad
Propiedad 2: al ser P(cos(α), sen(α)) perteneciente circunferencia unidad se cumple ecua-
ción circunferencia x2+y
2=1 � sen
2(α)+cos
2(α)=1
Propiedad 3: Por la definición de tangente tg(α)=Py/Px
Propiedad 4: 1+tg2(α)=1 + �������
������� = ���������������������� = �
�������
5. Razones trigonométricas en ángulos notables.
α=0,90o, 180
o, 270
o:
α=0o=0 rad: P(1,0) α=90
o=π/2rad:P(0,1) α=180
o=π rad: P(-1,0) α=270
o=3π/2rad: P(0,-1)
sen(α) 0 1 0 -1
cos(α) 1 0 -1 0
tg(α) 0 ∝ 0 ∝
α=30o, 45
o, 60
o:
α=30o=π/6 rad α=45
o=π/4rad α=60
o=π/3 rad
sen(α) 12
√22
√32
cos(α) √32
√22
12
tg(α) √33 1 √3
Demostración 30o y 60
o a partir de triángulo equilátero:
l l
l
h
h= ll l
2
3)( 2
22 =−
sen(30)=cos(60)=�/�
� = ��
sen(60)=cos(30)= √!
� "�� = √#
�
60o
30o
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 6
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
Demostración de 45o a partir de triángulo isósceles rectángulo:
sen(45o)=cos(45
o)=
2
2
2=l
l
l
6. Paso al primer cuadrante.
En este apartado vamos a relacionar las raciones trigonométricas situadas en los cuadran-
tes II, III y IV con las razones situadas en e I cuadrante.
1) Ángulos complementarios (α1+α2=90o=ππππ/2 rad)
Se cumple las siguientes relaciones:
$%&�'� = (ℎ = cos �90 − '�
12$�'� = 3ℎ = sen �90 − '�
67�'� = (3 = cotg�90 − '�
2) Ángulos suplementarios (α1+α2=180o=ππππ rad). Del II al I cuadrante
$%&�'� = sen�180 − '� 12$�'� = −cos �180 − '�
67�'� = −tg�180 − '�
l2 l
l
45o
45o
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 7
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
3) Ángulos que difieren 180o (α2=α1+ 180o). Del III al I cuadrante
$%&�'� = −sen �180 + '�
12$�'� = −cos �180 + '�
67�'� = tg�180 + '�
4) Ángulos que suman 360o (α1+α2=360o). Del IV al I cuadrante
$%&�'� = −sen �360 − '�
12$�'� = cos�360 − '� 67�'� = −tg�360 − '�
7. Razones trigonométricas ángulos suma, diferencia doble y mitad.
7.1. Razones trigonométricas ángulo suma.
En este apartado vamos a ver las razones trigonométricas de los ángulos suma:
(1) sen(α+β)=sen(α)·cos(β)+cos(α)·sen(β)
(2) cos(α+β)=cos(α)·cos(β)-sen(α)·sen(β)
(3) tg(α+β)=<=����<=�β�
�><=���·<=�β�
Demostración: Para demostrar (1) y (2) nos apoyaremos en la siguiente figura, donde te-
nemos tres triángulos rectángulos.
$%&�'� = @AB@ = C@
D@ 12$�'� = BAB@ = CD
D@
$%&�β� = D@BD 12$�β� = B@
BD
sen(α+β)=EDBD = CD�@A
BD = CDBD + @A
BD = cos�'� · D@BD +sen(α)·
B@BD=
= cos(α)·sen(β)+sen(α)·cos(β)
cos(α+β)=BEBD = BA>EA
BD = BABD − EA
BD = cos�β� cos�'� − $%&�β� · $%&�'�
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 8
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
Para calcular la tangente lo haremos en función del sen(α+β) y cos(α+β):
67�' + β� = ������β�FGH ���β� = FGH�β������������β�·FGH �I�
FGH�I� FGH�β�>HJK�I�·HJK�β� =LMN�β�OPQ�R�SOPQ�β�·LMN �T�
LMN�T�LMN �β�LMN�T� LMN�β�UNVW�T�·NVW�β�
LMN�T�·LMN �β�= XY�I��XY�β�
�>XY�I�·XY�β�
7.2. Razones trigonométricas ángulo diferencia.
En este apartado vamos a ver las razones trigonométricas de los ángulos diferencia:
(1) sen(α-β)=sen(α)·cos(β)-cos(α)·sen(β)
(2) cos(α-β)=cos(α)·cos(β)+sen(α)·sen(β)
(3) tg(α-β)=<=���><=�β�
��<=���·<=�β�
Demostración: sen(α-β)=sen(α+(-β)) y cos(α+(-β)) y utilizando que sen(-β)=-sen(β),
cos(-β)=cos(β), tg(-β)=-tg(β)
7.3. Razones trigonométricas ángulo doble
Las razones de los ángulos dobles es:
(1) sen(2α)=2·sen(α)·cos(α)
(2) cos(2α)=cos2(α)-sen
2(α)
(3) tg(2α)=�·<=���
�><=����
Demostración: sin más que aplicar las razones trigométricas del ángulo suma
sen(2α)=sen(α+α), cos(2α)=cos(α+α) y tg(2α)=tg(α+α).
7.4. Razones trigonométricas ángulo mitad.
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
(1) sen(α)=2
)cos(1 α−
(2) cos(α)= 2
)cos(1 α+
(3) tg(α)= )cos(1
)cos(1
αα
+−
Demostración: en el apartado anterior en el cos(2α) renombramos a 2α como α, y enton-
ces α será α/2: cos(α)=cos2(α/2)-sen
2(α/2)=1-2·sen
2(α/2). Despejando sen(α/2) tenemos la
igualdad primera. Para obtener la segunda no tenemos más que poner el sen2(α)=1-cos
2(α) y
despejar el coseno. La tangente se obtiene dividiendo (1) entre (2).
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 9
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
8. Transformaciones razones trigonométricas sumas en producto.
Muchas veces resulta interesante expresar una suma de razones trigonométricas, de igual
o diferente argumento, como un producto de otras razones trigonométricas. El ejemplo más
clarificador de su utilidad es la resolución de una ecuación trigonométrica donde al transfor-
mar la suma en producto obtendremos una ecuación factorizada. Las transformaciones son:
Demostración: demostraremos las igualdades del cuadro de la derecha pues los de la iz-
quierda se deducen del anterior, llamando A=x+y, B=x-y . La demostración se hace a partir del
ángulo suma y resta del seno y del coseno:
(a) sen(x+y)=sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)
(b) cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)
(c) sen(x-y)=sen(x)cos(y)-cos(x)sen(y)
(d) cos(x+y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)
(a)+(c) � (1)sen(x+y)+sen(x-y)=2·sen(x)cos(y); (a)-(c)=(2); (b)+(d)=(3) y (b)-(d)=(4)
9. Resolución de triángulos rectángulos
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, de 90o. En este triángulo el lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, a, y los otros dos lados catetos, b y c. Podemos
aplicar en estos triángulos:
(1) Suma de ángulos (Z[ + \] = 90)
(2) Teorema de Pitágoras: a2=b
2+c
2
(3) Razones trigonométricas.
Para resolver un triángulo rectángulo necesitamos tener dos datos (uno un lado).
1. Conocido los dos catetos (b y c): a=22 cb + ,
=c
barctgB̂ , BC o ˆ90ˆ −=
2. Conocido un cateto y la hipotenusa (b y a): c=22 ba − ,
=a
barcsenB̂ , BC o ˆ90ˆ −=
3. Conocido ángulo e hipotenusa ( B̂ y a): b=a·sen( B̂ ), c=a·cos( B̂ ) , BC o ˆ90ˆ −=
4. Conocido ángulo y cateto contiguo ( B̂ y c): b=c·tg( B̂ ), a=c/cos( B̂ ), BC o ˆ90ˆ −=
5. Conocido ángulo y cateto opuesto ( B̂ y b): c=b/tg( B̂ ), a=b/sen( B̂ ), BC o ˆ90ˆ −=
−
+−=−
−
+=+
−
+=−
−
+=+
2·
2·2)cos()cos()4(
2·cos
2·cos2)cos()cos()3(
2·
2·cos2)()()2(
2·cos
2·2)()()1(
BAsen
BAsenBA
BABABA
BAsen
BABsenAsen
BABAsenBsenAsen ( )
( )
( )
( ))cos()cos(2
1)()·()4(
)cos()cos(2
1))·cos(cos()3(
)()(·2
1)()·cos()2(
)()(2
1))·cos(()1(
yxyxysenxsen
yxyxyx
yxsenyxsenysenx
yxsenyxsenyxsen
−−+−=
−++=
−−+=
−++=
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
10. Resolución de triángulos no
10.1. Teoremas del seno y coseno.
Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trig
nométricas, sólo el teorema de la suma de los tres ángulos. Se necesitan dos teoremas nuevos:
Teorema de coseno o de Pitágo
(1) a2=b
2+c
2-2·b·c·cos(A)
(2) b2=a
2+c
2-2·a·c·cos(B)
(3) c2=a
2+b
2-2·a·b·cos(C)
Demostración:
Teorema del seno:
Bsen
b
Asen
a
)()(==
Demostración:
10.2. Resolución triángulos no rectángulos.
Tenemos varios casos:
1. Conocemos los tres lados: a, b, c.
a2=b
2+c
2-2·b·c·cos(A)
b2=a
2+c
2-2·a·c·cos(B)
C=180-B-A
Se cumple que siempre existirá la solución, C>
los otros dos y el menor mayor que la resta de los otros dos.
A
C
a
cb x
y
ador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
Resolución de triángulos no rectángulos.
Teoremas del seno y coseno.
Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trig
nométricas, sólo el teorema de la suma de los tres ángulos. Se necesitan dos teoremas nuevos:
Teorema de coseno o de Pitágoras generalizado:
Si A=90o (1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a
Rcsen
c2
)(= con R=radio circunferencia circunscrita.
Resolución triángulos no rectángulos.
Conocemos los tres lados: a, b, c.
2·b·c·cos(A) � A=arcos((b2+c
2-a
2)/(2·b·c))
2·a·c·cos(B) � B=arcos((a2+c
2-b
2)/(2·a·c))
Se cumple que siempre existirá la solución, C>0, si el lado mayor menor que la suma de
los otros dos y el menor mayor que la resta de los otros dos.
B
c
x=b·sen(C)
y=b·cos(C)
c2=x
2+(a-y)
2=b
2·sen
2(C)+a
2+b
2·cos
c2=a
2+b
2-2·b·c·cos(C)
Dado el triángulo ABC, denotamos por
mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segme
to BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que
además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos
inscritos que abren el segmento BC
paz). Por definición de la función trigonométrica s
sen(A)=sen(P)=R
a
BP
BC
2=
Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :
sen(B)=b/2R y sen(C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema
10
Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
Para resolver triángulos no rectángulos no podemos aplicar Pitágoras ni razones trigo-
nométricas, sólo el teorema de la suma de los tres ángulos. Se necesitan dos teoremas nuevos:
(1) T. de Pitágoras, (2)cos(B)=c/a, (3) cos(C)=b/a
con R=radio circunferencia circunscrita.
0, si el lado mayor menor que la suma de
·cos2(C)-2·a·b·cos(C)
ABC, denotamos por O su circuncentro y dibuja-
mos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmen-
hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
es recto, puesto que BP es un diámetro, y
son iguales, porque ambos son ángulos
BC (Véase definición de arco ca-
paz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene:
Podemos hacer lo mismo sobre los lados b y c :
C)=c/2R. Despejando 2R obtenemos el teorema
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 11
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
2. Conocemos un lado y dos ángulos:
A=180-B-C
b=a·sen(B)/sen(A)
c=a·sen(C)/sen(A)
Siempre una solución.
3. Conocemos dos lados y ángulo comprendido (por ejemplo a, b, C)
c=(a2+b
2-2·a·b·cos(C))
1/2
B=arcsen(b·sen(C)/c)
A=180-B-C
Siempre una solución.
4. Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (por ejemplo a,b,A)
Este caso es el más complejo, pudiendo el problema no tener solución, una o incluso dos:
B=arcsen(b·sen(A)/a)
a) Si a<b 3 opciones:
−=−=
−=>
2212
111
o
180,180B
180B:soluciones dos 1<sen(B):b·sen(A)>a
solución una problema ely 90=B:bsen(A)=a
solución no entonces :b·sen(A)<a
BCB
BCyA
b) Si a=b entonces B=A y C=180o-2A (no solución si A≥90ο)
c) a>b solución única: B=arcsen(b·sen(A)/a) con la solución que haga B<A y C=180-B-A.
11. Aplicaciones geométricas.
Las aplicaciones geométricas de las razones trigonométricas y de los teoremas del seno y
coseno son muy amplias, pues todo problema métrico que pueda identificarse con un triángu-
lo se puede resolver con estas expresiones como hemos visto en los apartados anteriores.
Ejemplo 1: Cálculo de la la altura de un edificio conocido un ángulo y distancia horizontal:
h
d
α
h=d·tg(α)
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 12
TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución triángulos. Aplicaciones
Si la base no accesible (datos α, β y d)
Ejemplo 2: cálculo área de polígono regular de n lados de longitud l
12. Conclusiones
La trigonometría es fundamental para la resolución de problemas métricos, así como para
la descomposición de vectores. Su aplicación ene le mundo de las ciencias e ingeniería es muy
amplio.
En el currículo de 4º ESO (las dos opciones) se aborda la trigonometría, así como la resolu-
ción de triángulos rectángulos. En 1º de Bachillerato de Ciencias la trigonometría es también
otra unidad didáctica, en este caso a demás de repasar lo visto en el curso anterior también se
trabaja los teoremas del seno y coseno y la resolución de triángulos cualesquiera, no sólo
rectángulos.
h
d α
α'
90o-α'
$%&�'�ℎ = $%&�90 − '′�
_
ℎ = _ · $%&�'�$%&�90 − '`�
h
α β
d x
Sistema:
h=(d+x)·tg(α)
h=x·tg(β)
Operando h=a
��<=���>��<=�β�
α
l
α=360/2n=180/n
tg(α)=�/�bc � ap=
��·<=���
area=c�d·bc
� = �·��e·<=��� = �·��
e·<=�fghQ �