Tautología, Contradicción y Contingencia

Tautología

• Proposición compuesta que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables

• Al tener siempre un resultado verdadero se consideran leyes y se usan para hacer demostraciones de teoremas o para inferir resultados de proposiciones desconocidas

'pp

p p’

1 0 1

0 1 1

'pp

Tautologías comunesnombre Tautología

1 Adición

2 Simplificación

3 Absurdo

4 Modus Ponens

5 Modus Tollens

6 Transitividad de la bicondicional

7 Transitividad de la condicional

8 Extensión de la condicional

9 Dilemas constructivos

qpp

pqp '0 pp

qqpp '' pqqp

rprqqp

rprqqp

rprqqp

sqrpqp

sqrpqp

sqrpsrqp

sqrpsrqp

• P Q, se lee, si P entonces Q• Para probar que las proposiciones anteriores

son tautologías, se debe de cambiar el símbolo por y evaluar la proposición de la forma normal

• Ejemplo: '' pqqp

p q p’ q’

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0 1

qp 'qqp '' pqqp

Contradicción

• Se dice que una proposición es una contradicción o absurdo si al evaluarla el resultado es falso para todos los valores de verdad de sus variables

p p’

1 0 0

0 1 0

'pp

• La contradicción se usa en la demostración de teoremas, ya que si en ésta se obtiene que p es verdadera y también que p’ es verdadera y se sabe que esto es una contradicción, se puede concluir que el teorema es falso

Contingencia

• Proposición compuesta cuyos valores dan como resultado unos y ceros

• Prácticamente cualquier proposición que se invente sería una contingencia

Inferencia Lógica

• Los argumentos basados en tautologías se consideran lógicamente correctos, la forma en que dichos argumentos se relacionan entre sí se conocen como reglas de inferencia.

• Éstas permiten relacionar dos o mas proposiciones para obtener una tercera que es válida en una demostración

• Considere el siguiente argumento– Si es un gato, entonces come carne– Si come carne, entonces es un felino

Si es un gato, entonces es un felino

p: es un gatoq: come carner: es un felino

rprq

qp

• Considere el siguiente argumento– Bajan los impuestos– Si bajan los impuestos, entonces el ingreso se eleva

El ingreso se eleva

p: Bajan los impuestosq: El ingreso se eleva

qqp

p

psqsp

pssq

sqqsp

''''

''

Dónde p es , q es, y r es

qsp ' sq ' ps '

Reglas de inferencia

qpp

pqp

qp

qp

'

rprq

qp

qpq

p

qqp

p

''p

q

qp

10. Adición

11. Simplificación

12. Silogismodisyuntivo

13. Silogismohipotético

14. Conjunción

15. Modus ponen

15. Modus tollens

Equivalencia lógica

• Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si coinciden sus resultados para los mismos valores de verdad y se indica

qp

qp

p q p’ q’

0 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1 1

qp pq '' pq pqqp qp

Equivalentes Equivalentes

'' pqqp qppqqp

Proposiciones equivalentes

pp ''

pqqp pqqp pqqp

rqprqp

rqprqp

rpqprqp

rpqprqp

ppp

ppp

'''

'''

qpqp

qpqp

'' pqqp

17 Doble negación

18 Leyes conmutativas

19 Leyes asociativas

20 Leyes distributivas

21 Leyes de idempotencia

22 Leyes de Morgan

23 Contrapositiva

''

''

qpqpqp

pqqpqp

pqqpqp

Proposiciones equivalentes

0' pp

qqqp

pp

pp

p

p

pp

1

1'

00

11

0

'qpqp

rqprpqp

rqprqrp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

''

'

''

'24 Variantes de la condicional

25 Variantes de la bicondicional

26 Contradicción

27 Leyes de identidad

28 Disyunción exclusiva

Ejercicio

• Demostrar que las proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias

rqprqrp

Ejercicio

rqqprppprqp

• Demostrar que las proposiciones siguientes son lógicamente equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias

Argumentos válidos y no válidos

• Considere lo siguiente:Las aves son ovíparas. El gorrión es ave. Por lo tanto; el gorrión

es ovíparo

p1: Las aves son ovíparas

p2:El gorrión es ave

q: El gorrión es ovíparoqpp 21

Como p1 =1, p2 =1, q=1, entonces se trata de un argumento válido ya que:

1

11

111

111

Caso en el que el argumento es válido y tanto las hipótesis y la conclusión son verdaderas

• Considere lo siguiente:Las mujeres son jóvenes. Miss universo es mujer. Por lo tanto;

Miss universo es joven

p1: Las mujeres son jóvenes

p2:Miss universo es mujer

q: Miss universo es jovenqpp 21

Tenemos que p1 =0, p2 =1, q=1, Y se trata de un argumento válido ya que:

1

10

110

110

Caso en el que el argumento es válido cuando todas o algunas de las hipótesis son falsas, y la conclusión es verdadera

• Considere lo siguiente:Los alemanes son de raza negra. George Bush es de raza negra.

Por lo tanto George Bush es alemán

p1: Los alemanes son de raza negra

p2:George Bush es de raza negra

q: George Bush es alemanqpp 21

Aunque p1 =0, p2 =0, q=0, se trata de un argumento válido ya que:

1

00

000

000

Caso en el que el argumento es válido y las hipótesis y la conclusión son falsas

• Considere lo siguiente:c2=a2+b2. c2=a2+b2 se aplica en triángulos rectángulos. Por lo

tanto, es la segunda ley de Newton

p1: c2=a2+b2

p2: c2=a2+b2 se aplica en triángulos rectángulos

q: es la segunda ley de Newton qpp 21

Podemos observar que p1 =1, p2 =1, q=0Y se trata de un se trata de un argumentoNO válido ya que:

0

01

011

011

Un argumento no se considera válido si está integrado por hipótesis verdaderas y conclusión falsa

• La forma más fácil de determinar si un argumento es válido es por la tabla de verdad

• Si se trata de una tautología el argumento es válido, en caso contrario el argumento es inválido