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Suites arithmétiques etgéométriques
Xavier Hallosserie
Lycée Blaise Pascal
mars 2016
un vn
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 1 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 2 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 3 / 46
Suites arithmétiques
un
n
Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur un.
Que vaut un ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 4 / 46
Suites arithmétiques
Premier défilé
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 5 / 46
Suites arithmétiques
1
n = 1
1,5
n = 2
2
n = 3
2,5
n = 4
3
n = 5
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
1,5
n = 2
2
n = 3
2,5
n = 4
3
n = 5
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
2
n = 3
2,5
n = 4
3
n = 5
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
2,5
n = 4
3
n = 5
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
3
n = 5
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
3,5
n = 6
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
4
n = 7
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
4,5
n = 8
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
5
n = 9
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
5,5
n = 10
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 6 / 46
Suites arithmétiques
Deuxième défilé
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 7 / 46
Suites arithmétiques
2
n = 0
0
n = 1
-2
n = 2
-4
n = 3
-6
n = 4
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
0
n = 1
-2
n = 2
-4
n = 3
-6
n = 4
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-2
n = 2
-4
n = 3
-6
n = 4
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-4
n = 3
-6
n = 4
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-6
n = 4
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-8
n = 5
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-10
n = 6
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-12
n = 7
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-14
n = 8
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
-16
n = 9
un = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 8 / 46
Suites arithmétiques
Revue générale
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 9 / 46
Suites arithmétiques
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 10 / 46
Suites arithmétiques
Changement de rang !
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 11 / 46
Suites arithmétiques
u1
1
u1 + r
2
u1 + 2r
3
u1 + 3r
4
u1 + 4r
5
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + r
2
u1 + 2r
3
u1 + 3r
4
u1 + 4r
5
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + 2r
3
u1 + 3r
4
u1 + 4r
5
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + 3r
4
u1 + 4r
5
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + 4r
5
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + (n− 1)r
n
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 +nr
n + 1
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites arithmétiques
u1 + (n + 1)r
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 12 / 46
Suites géométriques
vn
n
Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur vn.
Que vaut vn ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 13 / 46
Suites géométriques
Premier défilé
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 14 / 46
Suites géométriques
0,5
n = 0
1
n = 1
2
n = 2
4
n = 3
8
n = 4
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
1
n = 1
2
n = 2
4
n = 3
8
n = 4
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
2
n = 2
4
n = 3
8
n = 4
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
4
n = 3
8
n = 4
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
8
n = 4
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
16
n = 5
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
32
n = 6
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
64
n = 7
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
128
n = 8
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
256
n = 9
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 15 / 46
Suites géométriques
Deuxième défilé
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 16 / 46
Suites géométriques
4
n = 1
-2
n = 2
1
n = 3
− 12
n = 4
14
n = 5
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
-2
n = 2
1
n = 3
− 12
n = 4
14
n = 5
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
1
n = 3
− 12
n = 4
14
n = 5
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
− 12
n = 4
14
n = 5
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
14
n = 5
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
− 18
n = 6
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
116
n = 7
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
− 132
n = 8
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
164
n = 9
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
− 1128
n = 10
vn = ?
n
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 17 / 46
Suites géométriques
Revue générale
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 18 / 46
Suites géométriques
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 19 / 46
Suites géométriques
Changement de rang !
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 20 / 46
Suites géométriques
v1
1
v1 × q
2
v1 ×q 2
3
v1 × q3
4
v1 ×q 4
5
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 × q
2
v1 ×q 2
3
v1 × q3
4
v1 ×q 4
5
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 ×q 2
3
v1 × q3
4
v1 ×q 4
5
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 × q3
4
v1 ×q 4
5
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 ×q 4
5
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 × qn−1
n
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 ×q n
n + 1
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Suites géométriques
v1 × qn+1
n + 2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 21 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 22 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers impairs
1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 23 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Somme des entiers naturels
1 + 2 + . . . + n = ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 24 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 25 / 46
Suites arithmétiques
Définition 1Une suite (un)n>0 est une si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :
r est alors appelé la de la suite (un)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 26 / 46
Suites arithmétiques
Définition 1Une suite (un)n>0 est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :
r est alors appelé la de la suite (un)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 26 / 46
Suites arithmétiques
Définition 1Une suite (un)n>0 est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :
un+1 = un + r
r est alors appelé la de la suite (un)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 26 / 46
Suites arithmétiques
Définition 1Une suite (un)n>0 est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :
un+1 = un + r
r est alors appelé la raison de la suite (un)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 26 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, .
Pour tout n > 0 et .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, .
Pour tout n > 0 et .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, un = u0 + nr .
Pour tout n > 0 et .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, un = u0 + nr .
Pour tout n > 0 et .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, un = u0 + nr .
Pour tout n > 0 et p > 0, un = up + (n− p)r .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.
Pour tout n > 0, un = u0 + nr .
Pour tout n > 0 et p > 0, un = up + (n− p)r .
u0
0
u0 + r
1
u0 + 2r
2
u0 + 3r
3
u0 + 4r
4
u0 + (n− 1)r
n− 1
u0 +nr
n
u0 + (n + 1)r
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 27 / 46
Suites arithmétiques
Démonstration :
En sommant terme à terme les n égalités suivantes :
un = un−1 + r
un−1 = un−2 + r
. . .
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
un = u0 + nr
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 28 / 46
Suites arithmétiques
Démonstration :
En sommant terme à terme les n égalités suivantes :
un = un−1 + r
un−1 = un−2 + r
. . .
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
un = u0 + nr
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 28 / 46
Suites arithmétiques
Démonstration :
En sommant terme à terme les n égalités suivantes :
un = un−1 + r
un−1 = un−2 + r
. . .
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
un = u0 + nr
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, un = u1 + (n− 1)r .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 28 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 29 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 2Pour tout n > 1 :
Démonstration :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)
S = n(n + 1)2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 30 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 2Pour tout n > 1 :
1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)2
Démonstration :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)
S = n(n + 1)2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 30 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 2Pour tout n > 1 :
1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)2
Démonstration :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1
2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)
S = n(n + 1)2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 30 / 46
Suites arithmétiques
Exemple :
S = 1 + 2 + . . . + 99 + 100
= 100× (100 + 1)2
= 50× 101= 5 050
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 31 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 32 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un
2
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 32 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un
2
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 32 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un
2
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
Sn = u1 + u2 + . . . + un = n× u1 + un
2
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 32 / 46
Suites arithmétiques
Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un
2
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
Sn = u1 + u2 + . . . + un = n× u1 + un
2
De façon générales on peut retenir :
Sn = nombre de termes× premier terme + dernier terme2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 32 / 46
Suites arithmétiques
Démonstration :
Sn = u0 + u1 + . . . + un
= u0 + (u0 + r) + . . . + (u0 + nr)= (n + 1)u0 + r(1 + 2 + . . . + n)
= (n + 1)u0 + r × n(n + 1)2
= (n + 1)(
u0 + nr
2
)= (n + 1)
(u0 + u0 + nr
2
)= (n + 1)
(u0 + un
2
)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 33 / 46
Suites arithmétiques
Exercice 1
On considère la suite arithmétique définie par un = −12n + 4 avec n > 0.
Calculer S12 = u0 + u1 + . . . + u12
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 34 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 35 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 36 / 46
Suites géométriques
Définition 2Une suite (vn)n>0 est une si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :
q est alors appelé la de la suite (vn)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 37 / 46
Suites géométriques
Définition 2Une suite (vn)n>0 est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :
q est alors appelé la de la suite (vn)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 37 / 46
Suites géométriques
Définition 2Une suite (vn)n>0 est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :
vn+1 = q × vn
q est alors appelé la de la suite (vn)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 37 / 46
Suites géométriques
Définition 2Une suite (vn)n>0 est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :
vn+1 = q × vn
q est alors appelé la raison de la suite (vn)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 37 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, .
Pour tout n > 0 et p > 0, .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, .
Pour tout n > 0 et p > 0, .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, vn = v0 × qn .
Pour tout n > 0 et p > 0, .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, vn = v0 × qn .
Pour tout n > 0 et p > 0, .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, vn = v0 × qn .
Pour tout n > 0 et p > 0, vn = vp × qn−p .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.
Pour tout n > 0, vn = v0 × qn .
Pour tout n > 0 et p > 0, vn = vp × qn−p .
v0
0
v0 × q
1
v0 ×q 2
2
v0 × q3
3
v0 ×q 4
4
v0 × qn−1
n− 1
v0 ×q n
n
v0 × qn+1
n + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 38 / 46
Suites géométriques
Démonstration :
En multipliant terme à terme les n égalités suivantes :
vn = q × vn−1
vn−1 = q × vn−2
. . .
v2 = q × v1
v1 = q × v0
vn = qn × v0
Remarque :
Si le premier terme de la suite est v1, on a, pour tout n > 1, .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 39 / 46
Suites géométriques
Démonstration :
En multipliant terme à terme les n égalités suivantes :
vn = q × vn−1
vn−1 = q × vn−2
. . .
v2 = q × v1
v1 = q × v0
vn = qn × v0
Remarque :
Si le premier terme de la suite est v1, on a, pour tout n > 1, vn = v1 × qn−1 .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 39 / 46
Sommaire
1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles
2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes
3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 40 / 46
Suites géométriques
Propriété 5Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :
Démonstration :
S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn
qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1
S − qS = q0 − qn+1
S(1− q) = 1− qn+1
S = 1− qn+1
1− q
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 41 / 46
Suites géométriques
Propriété 5Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :
q0 + q1 + . . . + qn = 1− qn+1
1− q
Démonstration :
S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn
qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1
S − qS = q0 − qn+1
S(1− q) = 1− qn+1
S = 1− qn+1
1− q
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 41 / 46
Suites géométriques
Propriété 5Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :
q0 + q1 + . . . + qn = 1− qn+1
1− q
Démonstration :
S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn
qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1
S − qS = q0 − qn+1
S(1− q) = 1− qn+1
S = 1− qn+1
1− q
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 41 / 46
Suites géométriques
Exemple :
S = 20 + 21 + . . . + 212
= 1− 213
1− 2= 213 − 1= 8 191
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 42 / 46
Suites géométriques
Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 43 / 46
Suites géométriques
Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :
Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1
1− q
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 43 / 46
Suites géométriques
Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :
Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1
1− q
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 43 / 46
Suites géométriques
Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :
Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1
1− q
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
Sn = v1 + v2 + . . . + vn = v1 ×1− qn
1− q
De façon générales on peut retenir :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 43 / 46
Suites géométriques
Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :
Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1
1− q
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1 on a :
Sn = v1 + v2 + . . . + vn = v1 ×1− qn
1− q
De façon générales on peut retenir :
Sn = premier terme× 1− qnombre de termes
1− q
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 43 / 46
Suites géométriques
Démonstration :
Sn = v0 + v1 + . . . + vn
= v0 + v0q + . . . + v0qn
= v0 × (q0 + q1 + . . . + qn)
= v0 ×1− qn+1
1− q
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 44 / 46
Suites géométriques
Exercice 2On considère la suite géométrique définie par vn = −3× 2n avec n > 0.Calculer S12 = v0 + v1 + . . . + v12.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 45 / 46