Post on 25-Oct-2015
description
Structuri de date avansate pentru cautare
2-3 arbori B-arbori arbori bicolori Tabele hash Arbori digitali
2-3-arbori: definitie
orice nod intern v are 2 copii (este de aritate 2) sau 3 copii (este de aritate 3)
valStg valStg valMij
subarbore
stanga
subarbore
mijlociu
subarbore
dreapta
p->stg p->drpp->mij
2-3-arbori : definitie
pentru orice nod v de aritate 2, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu
valStg
x < valStg valStg < y
2-3-arbori : definitie
pentru orice nod v de aritate 3, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu < vvalMijl < valorile memorate in subarborele dreapta
valStg valMij
x< valStg
valStg<
y <
valMijvalMij<z
2-3-arbori : definitie
toate nodurile de pe frontiera au acelasi nivel
h
h
cautare in 2-3-arbore
function poz23Arb(t, a)begin
p twhile (p != NULL) do
switch(cmp(a, p))a < p->stg: p p->stg; break;p->stg < a < p->mij: p p->mij; break; p->drp < a: p p->mij; break;otherwise: return p;
return pend
inserare in 2-3-arbore
35
10; 20 40; 50 70; 90; 110; 120
30; 60 100;
80;
50; 35; 10; 20 70; 90; 110; 120
30; 60 100;
80;
40
50; 35;
inserare 2-3-arbore (continuare)
40; 80
10; 20 50; 70; 90; 110; 12035;
100; 60; 30;
60; 30;
10; 20 50; 70; 90; 110; 12035;
100;
80;
40
inserare 2-3-arbore (continuare)
subprograme necesareradNoua(t, x, q)
• creeaza o noua radacina cu cheia xt: intrare – rad subarb. stg. iesire – noua rad.q rad. subarb. drp
poz23ArbMod(t, x, s)• memoreaza drumul de la radacina la x in stiva s
insInNod(p, x, q)• insereaza x innodul p
parametri sunt similari subprogramului radNoua()imparte(p, x, q)
• sparge un nodparametri sunt similari subprogramului insInNod()
inserare 2-3-arbore (continuare)
procedure ins23Arb(t, x)begin if (t == NULL) then radNoua(t, x, NULL) else p = poz23ArbMod(t, x, s) if (p == NULL) then throw ”x in t” else q NULL while(true) do if (p->valMij = ) then insInNod(p, x, q); break imparte(p, x, q) if (p = t) then radNoua(t, x, q); break;
else p = top(s); pop(s);end
stergere 2-3-arbore
daca elementul sters nu se afla intr-un de pe frontiera, atunci se poate interschimba cu un vecin aflat pe frontiera
vecinul cu care face interschimbarea se poate face ca la arborii binari de cautare
asa ca putem considera numai cazul cand elementul care se sterge se afla pe frontiera
stergere 2-3-arbore
70; 10; 20 50; 90; 110; 12035;
100; 60; 30;
40; 80
50; 6010; 20 90; 110; 12035;
100; 30;
40; 80
stergere 2-3-arbore: combinare
30; 40
80;
10; 20 35; 50; 60 90; 110; 120
100;
50; 6010; 20 90; 110; 12035;
100; 30;
40; 80
combina
stergere 2-3-arbore: rotatie
100; ; 30; 40
50; 80
100; 50; 30;
40; 80
60
roteste dreapta
stergere 2-3-arbore
modifica p atat timp cat p are zero elemente && p nu e radacina
fie r radacina lui pfie q fratele lui p (stg. sau drp. dupa caz)daca q este de aritate 3
atunci roteste
altfel combina
r devine p
Exercitiu: Sa se scrie procedura de stergere
Teorema
Clasa 2-3-arborilor este O(log n)-stabila.
2-3-4-arbori
sunt generalizari ale 2-3 arborilorun nod intern poate avea 2, 3 sau 4 copiiun nod cu 4 copiii va memora 3 cheise mentin proprietatile de arbore de cautare si aceeasi
inaltime pentru toate nodurile de pe frontiera ca si in cazul celorlalti abori de cautare, exista doua moduri de
implementare:elementele multimii memorate in nodurile interne (si frunze)elementele multimii doar in nodurile frunza (pe frontiera)
inserarea se face tot prin spargerea nodurilorla momentul inserarii si propagarea spre radacinasau in timpul cautarii, fiecare nod plin este spart in doua
Arbori de cautare pe M-cai
generalizare de la 2-3 si 2-3-4 la M un nod poate avea n copii cu 2 <= n <= M numarul de chei memorate intr-un nod este n-1; cheile k1,..., kn-1
sunt ordonate crescator are proprietatea de arbore de cautare:
elementele memorate in subarborele Ti sunt mai mici decat cheia ki
elementele memorate in subarborele Ti+1 sunt mai mari decat cheia ki
B-arbori - motivatie
Un index ordonat este un fisier secvential. Pe masura ce dimensiunea acestuia creste, cresc si dificultatile de administrare
un acces la disc este mult mai scump decat executia unei instructiuni ( 200,000 instructiuni)
memoria secundara (discul) este divizata in blocuri egale (512, 1024, 2048 etc)
o operatie I/O transfera un bloc scopul este de a minimiza numarul de accesari ale discului Solutia: indexarea pe mai multe nivele .
un posibil instrument : B arborii (arbori de cautare multicai)
Organizarea pe nivele a indexului
B-arbori
sunt arbori de cautare pe M-cai cu proprietatipresupunem ca M = 2f
• f = factorul de minimizare• ordinul arborelui este 2f-1
fiecare nod intern are cel putin un numar de f-1 chei (f fii) si cel mult 2f-1 chei (2f fii)
doar radacina poate avea mai putin de f fiilungimea oricarui drum de la radacina la o frunza trebuie sa
fie aceeasi (generalizeza 2-3 si 2-3-4 arborii)
B-arbore: structura unui nod
Optimizarea accesului la disc
Daca fiecare nod necesita accesarea discului atunci B-arborii vor necesita numar minim de astfel de accesari
Factorul de minimizare va fi ales astfel incat dimensiunea unui nod sa corespunda unui multiplu de blocuri ale dispozitivului de memorare
Aceasta alegere optimizeaza accesarea discului
Inaltimea h a unui B-arbore cu n > 0 chei si f > 1 este
h <= logf[(n+1)/2]
B-arbori: cautarea
cauta in nodul curent daca nu gaseste, cuta in subarborele care corespunde
intervalului la care apartine cheia
function B-Tree-Search(v, k)
i 0; while (i < v->nrChei k > v->cheie[i]) do i i + 1 if (i <= v->nrChei k = v->cheie[i] ) then return (v, i) if (v->tipNod = frunza) then return NULL citesteDisk(v->fiu[i]) return B-Tree-Search(v->fiu[i], k)end
B-arbori: insertia
Pentru a efectua o insertie intr-un B-arbore trebuie intai gasit nodul in care urmeaza a se face insertia. Pentru aceasta se aplica un algoritm similar cu BTree-
Search. Apoi cheia urmeaza a fi inserata
Daca nodul determinat anterior contine mai putin de 2f-1chei se face inserarea
Daca acest nod contine 2f-1 chei urmeaza spargerea acestuia• Procesul de spargere poate continua pana in radacina • Pentru a evita doua citiri de pe disc ale aceluiasi nod,
algoritmul sparge fiecare nod plin (2f-1 chei) intalnit la parcurgea top-down in procesul de cautare a nodului in care urmeaza a se face inserarea
Timpul de spargere a unui nod este O(f) Rezulta pentru insertie complexitatea timp O(f log n)
B-arbori: eliminarea
daca nodul gazda a cheii ce urmeaza a fi stearsa nu este frunza, atunci se efectueaza o interschimbare intre acesta si succesorul sau in ordinea naturala a cheilor. Se repeta operatia pana se ajunge intr-o frunza, care devine nod curent;
se sterge intrarea corespunzatoare cheii; daca nodul curent contine cel putin f-1 chei, operatia de stergere
se considera terminata; daca nodul curent contine mai putin decat f-1 chei se considera
fratii vecini; daca unul din fratii vecin are mai mult decat f-1 chei, atunci se
redistribuie una dintre intrarile acestui frate in nodul parinte si una din intrarile din nodul parinte se redistribuie nodului curent (deficitar);
daca ambii fratii au exact f-1 chei, atunci se uneste nodul curent cu unul dintre fratii vecini si cu o intrare din parinte;
daca nodul parinte devine deficitar (contine mai putin decat f-1 chei) acesta devine nod curent si se reiau pasii de mai sus.
Arbori bicolori
un arbore bicolor este caracterizat de urmatoarele proprietati:sint arbori binari de cautare in care nodurile pendante
(coresp. intervalelor) fac parte din structurafiecare nod este colorat cu negru sau rosutoate nodurile de pe frontiera sint negredaca un nod este rosu atunci ambii fii ai acelui nod sint
negripentru orice nod v, toate drumurile simple care pleaca din
acel nod si se opresc intr-un nod de pe frontiera, au acelasi numar de noduri negre
Exemplu de arbore bicolor
70
40
20 60
50
100
80
90
110
arbori bicolori - proprietati
Notatiebh(x) = numarul de noduri negre aflate pe un drum din x pe
frontiera (x nu se considera)bh(x) nu depinde de drum (ultima conditie)
12 )( xbh
Lema
Subarborele cu radacina in x contine cel putin
noduri interne.
TeoremaInaltimea unui arbore bicolor este cel mult 2log(n + 1).
TeoremaArborii bicolori sint echilibrati.
arbori bicolori - inserare
2
1
14
11
7
8
15
4
5
x
y
unchiul lui x
recolorare
arbori bicolori - inserare
unchiul lui x
roteste stanga
2
1
14
11
7
8
15
4
5
x
y
arbori bicolori - inserare
7
1
14
11
2 8 15
4
5
x
y
unchiul lui x
roteste dreapta
arbori bicolori - inserare
7
1 14
11 2
8
15 4
5
recoloreaza
arbori bicolori - inserare
7
1 14
11 2
8
15 4
5
Discrepanta SSr
B D
A
C
unchiul lui C
B D
A
Cx
unchiul lui C
Daca bunicul e radacina, devine negru
Discrepanta SDr
B D
A
C
unchiul lui C
B D
A
C
unchiul lui C
Daca bunicul e radacina, devine negru
Discrepanta SSn
B D
A
C
unchiul lui C
B
D
A C
B
D
A C
Discrepanta SDn
B D
Aunchiul lui C
C
D
A B
C
D
A B
C
arbori bicolori - inserare
se considera si transformarile simetrice ...
arbori bicolori - stergere
nodul sters are cel mult un fiu (daca nu se face o interschimbare cu un “vecin” din lista ordonata)
daca nodul sters este rosu, arborele ramane unul bicolor
daca nodul sters este negru si are un fiu rosu, atunci acesta (fiul) se recoloreaza cu negru
in celelalte cazuri avem o discrepanta ce trebuie rezolvata (a se vedea slide-urile urmatoare) Legenda:
D sau S dau pozitia nodului sters (Dreapta sau Stanga)
n sau r dau culoarea nodului frate
0, 1sau 2 da numarul de fii/nepoti rosii ai nodului frate
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dn0
nodul sters este Dreapta, fratele negru care are ambii copii negri
A
B
A
B
copiii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dn1
nodul sters este Dreapta, fratele negru care are un copil rosu si unul negru
A
B
A
B
copiii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dn1
nodul sters este Dreapta, fratele negru care are un copil rosu si unul negru
A
B
C
A B
C
copiii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dn2
nodul sters este Dreapta, fratele negru care are ambii copii rosii
A
B
C
A B
C
copiii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dr0
nodul sters este Dreapta, fratele rosu care are toti nepotii negri
A
B
A
B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dr1
nodul sters este Dreapta, fratele rosu care are un nepot rosu
A
B
C
A B
C
nepotii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dr1
nodul sters este Dreapta, fratele rosu care are un nepot rosu
A
B
C
A B
D
D
C
nepotii lui B
arbori bicolori – stergere – discrepanta Dr2
nodul sters este Dreapta, fratele rosu care are doi nepoti rosii
A
B
C
A B
D
D
C
nepotii lui B
Hashing (dispersie) Tipul de data abstract TabelaDeSimboluri
entitati de tip data: o colectie de perechi (nume, atribute) in care numele identifica unic perechea
operatii:• Atribut(TS, nume) – cauta numele in tabela TS
numele nume si intoarce atributele acestuia (daca il gaseste)
• Insereaza(TS, nume, atribut)- insereaza in tabela TS perechea (nume, atribut)
• Elimina(TS,nume) – cauta in tabela TS numele nume si daca-l gaseste il elimina impreuna cu atributele sale.
Hashing (dispersie)
Implementarea prin tehnica dispersieistructura de date
• o tabela (hash sau de dispersie) T[0..p-1] cu p numar prim de obicei
• o functie hash h: mult. numelor [0..p-1]
0
1
2 curs
3
4
5
6
7
[curgere, mergere, expunere]
(curs, [curgere, mergere, expunere])nume = cursvaloare = [curgere, mergere, expunere]h(curs) = 2
Hashing (continuare I)
operatii• cautarea
i = h(nume)if (T[i] )then return T[i]->atrib
• inserareai = h(nume)if (T[i] )then throw “ERR: coliziune”else T[i]->atrib atribut
• eliminareai = h(nume)if (T[i] )then T[i]
Alegerea functiei hash
modul h(x) = x % p
0
1
2 18
3
4
5 35
6
7
h(18) = 18 % 8 = 2h(35) = 35 % 8 = 5h(58) = 58 % 8 = 2 ???
Alegerea functiei hash
“folding” h(64747488286) = (647+4748+8286) % 8 = 5
0
1
2
3
4
5 64747488286
6
7
Alegerea functiei hash
“binning” domeniul cheilor: 0..1000 dimensiunea tabelei: 10 h(x) = 0, 0 <= x < 100 h(x) = 1, 100 <= x < 200 …
0
1
2 218
3
4
…
h(218) = 2
Alegerea functiei hash
cazul cand cheia x este sir: suma codurilor ASCIIint h(String x, int p) { char ch[]; ch = x.toCharArray(); int xlength = x.length();
int i, sum; for (sum=0, i=0; i < x.length(); i++) sum += ch[i]; return sum % p; }
x = “prelegere”, sum = 955, p = 8, h(x, p) = 3
x = “aaaabbbb”, sum = 780, p = 8, h(x, p) = 4
x = “abababab”, sum = 780, p = 8, h(x, p) = 4
Alegerea functiei hash
cazul cand cheia x este sir: suma a cate 4 octeti
long sfold(String s, int M) { int intLength = s.length() / 4; long sum = 0; for (int j = 0; j < intLength; j++) { char c[] = s.substring(j * 4, (j * 4) + 4).toCharArray(); long mult = 1; for (int k = 0; k < c.length; k++) {
sum += c[k] * mult; mult *= 256;
} }
Alegerea functiei hash (cont.)
char c[] = s.substring(intLength * 4).toCharArray(); long mult = 1; for (int k = 0; k < c.length; k++) { sum += c[k] * mult; mult *= 256; }
return(Math.abs(sum) % p); }
x = “prelegere”, sum = 13238595, p = 8, h(x, p) = 3
x = “aaaabbbb”, sum = 12779715, p = 8, h(x, p) = 3
x = “abababab”, sum = 12714189, p = 8, h(x, p) = 4
Alegerea functiei hash
cazul cand cheia x este sir:
int h(String x, int p) { char ch[]; ch = x.toCharArray(); int xlength = x.length();
int i, sum; for (sum=0, i=0; i < x.length(); i++) sum = (sum << 5) + ch[i]; return sum % p; }
Distributia cheilor
demo: http://research.cs.vt.edu/AVresearch/hashing/
Hashing (continuare III)
coliziuneainlantuire (demo)
• numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor cu succes = 1 + b/2, unde b = #S/p este factorul de incarcare al tabelei (demonstratia pe tabla)
adresare deschisa liniara (demo)• se cerceteaza pe rind pozitiile
h(x,i), i = 0,1,2, ...
unde h(x,i) =(h1(x)+i) % p• numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor FARA
succes = 1/(1-b) • numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor CU
succes = ½(1 + 1/(1-b))
Arbori digitali
se mai numesc si structuri “trie” (de la information retrieval) cautarea depinde de lungimea cheii salveaza spatiu prin memorarea o singura data a prefixelor
comune spatiul de cautare este micsorat dinamic pe masura parcurgerii
cheii utile, de exemplu, la memorarea dictionarelor
Arbori digitali - I
Cazul cheilor de aceeasi lungimeS = {102, 120, 121, 210, 211, 212}
Arbori digitali - II
algoritmul de cautare
function poz(a, m, t) i 0 p t while ((p != NUL) && (i<m)) do p succ[a[i]] i i+1 return pend
Arbori digitali - III
Cazul cheilor de lungime diferita
Arbori digitali - IV
compactarea lanturilor
Arbori digitali - V
Inserarea lui 0111 in structura compactata
Arbori digitali - VI
Eliminarea lui 1011 in structura compactata