Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Zadanie sterowania

Zadanie sterowania

Sterowanie manipulatorów polega na wyznaczaniu przebiegów czasowychwejściowych sygnałów sterujących poszczególnych złącz układu wieloczło-nowego, pod wpływem których koncówka układu będzie wykonywać zadanyruch. W zależności od struktury układu sterowania, sygnałami wejściowymimogą być siły uogólnione (tzn. siły lub momenty sił) wywierane przez na-pędy na poszczególne złącza lub sygnały napędów, np. napięcia wejściowesilników.

Zadany ruch jest zazwyczaj określany jako sekwencja położeń i orientacjikońcówki manipulatora lub też jako ciągła ścieżka ruchu.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Cele sterowania

Sterowanie pozycyjne

W przypadku sterowania pozycyjnego, celem układu wieloczłonowego jestuzyskanie określonego położenia i oreintacji docelowej, bez względu na topo jakiej trajektori manipuator się porusza.

Śledzenie trajektorii

W przypadku śledzenia trajekorii, celem układu wieloczłonowego jest od-twarzanie zadanej trajetorii. Trajektoria jest określona w przestrzeni złączylub w przestrzeni kartezjańskiej, najczęściej w postaci krzywej zadanej pa-rametrycznie, lub explicite jako funkcja czasu. Ponadto znane są przebiegiprędkości i przyspieszenia wzdłuż krzywej.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Zadanie mechanizmu wieoczłonowego

Zadanie, które ma wykonać mechanizm wieloczłonowy jest zwykle definio-wane w przestrzeni kartezjańskiej (przestrzeni zadań), natomiast sygnałysterujące oddziałują w przesztrzeni konfiguracyjnej (przestrzeni złączy).

Prowadzi to do rozważania dwóch podstawowych kategorii układów stero-wania układów wieloczłonowych

uklad sterowania w przestrzeni złączy,

układ sterowania w przestrzeni zadań.

W obydwu przypadkach wykorzystywane jest sprzężenie zwrotne ze względuna jego właściwości, takie jak odporność na niedokładność parametrówukładu i redukowanie wpływu zakłóceń.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy

Rysunek: Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni złączy

Gdzie: xd - wektor wejściowy opisujący zadane położenie i orientację koncówki w prze-strzeni zadań, qd - wektor zadanych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy,x - wektor rzeczywistego położenia i orientacji końcówki w przestrzeni zadań, q - wektorrzeczywistych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy.

Sterowanie w przestrzeni złączy bazuje na obliczeniu kinematyki odwrotnej off-line.Wadą sterowania w przestrzeni złączy jest to, że wielkości wejściowe określone w prze-strzeni zadań nie są objęte pętlą sprzężenia zwrotnego i są właściwie regulowane wukładzie otwartym. Zatem jakakolwiek niedokładność struktury mechanicznej (np. luzyw przegubach, nieprecyzyjność w określeniu położenienia końcowki manipulatora) pro-wadzi do pogorszenia dokładności działania uładu sterowania.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy

Rysunek: Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni zadań

Sterowania w przesztrzeni zadań, wymaga większegoy nakładu mocy obliczeniowej,gdyż obliczanie kinematyki odwrotnej jest wykonywane on-line przez regulator, objętypętlą sprzężenia zwrotnego. Zaletą tego układu jest oddziaływanie bezpośrednio nazmienne w przestrzeni zadań. Ponieważ sensory mierzą zwykle dokładnie położenia wprzestrzeni złączy, wymagane jest wyznaczenie (estymacja) aktualnych wartości zmien-nych w przestrzeni zadań.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy

Jedną z najbardziej popularnych metod sterowania pozycyjnego w robotycejestmetoda modelu odwrotnego. Jest to metoda linearyzacji i dekompo-zycji modelu matematycznego manipulatora, dzięki której można sterowaćniezależnie wszystkimi ramionami robota z wykorzystaniem technik ste-rowania obiektami liniowymi.

Metoda modelu odwrotnego ma tę zaletę w porównaniu z innymimetodami linearyzacji (np. rozwinięcie w szereg Taylora) modelu,że kompensuje nieliniowości w całym zakresie zmian współrzędnychzłączowych (Q), a nie tylko w pobliżu punktu, wokół którego line-aryzujemy model.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawasterowania

Zależy nam na tym, żeby układ liniowy drugiego rzędu mx + bx + kx = fdoprowadzić do postaci, w której opisujemy ruch masy jednostkowej przywymuszeniu f ′

x = f ′ (1)

Z drugiej strony, chcemy również swobodnie dobierać sztywność oraztłumienie układu zamkniętego niezależnie od parametrów układu (czylim, b i k)

x + kv x + kpx = 0 (2)

Z powyższych równań wynika, że wartość wejścia f ′ należy obliczyć z:

f ′ = −kv x − kpx (3)

co stanowi prawo sterowania o pożądanej sztywności kp i tłumieniu kv(część sprzężeniowa)

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawasterowania

Jeżeli do równania ruchu układu otwartego oryginalnego układumx + bx + kx = f podstawimy x = f ′, mamy

f = mf ′ + bx + kx (4)

ogólnie zapisujemy (tzw. modelowa część prawa sterowania)

f = αf ′ + β (5)

gdzie

α = m

β = bx + kx(6)

Część modelowa sprawia, że mamy liniową zależność między nowymwejściem f ′ sterującym masą jednostkową (bez tarcia i sprężystości) afaktycznym wejściem sterującym f .

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawasterowania

Część modelowaf = mf ′ + bx + kx

Część sprzężeniowa (prawo sterowania)

f ′ = −kv x − kpx

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Sterowanie nadążne

Zadana jest trajektoria (xd , xd , xd)

Prawo sterowania dla uchybów e = xd − x i e = xd − x ma postać:

f ′ = xd + kv e + kpe (7)

Z zależności f ′ = x oraz e = xd − x mamy:

e + kv e + kpe = 0 (8)

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowaniezakłóceń

Równanie uchybu układu o zamkniętej pętli

e + kv e + kpe = fdist (9)

W stanie ustalonym e = e = 0 mamy:

e = fdist/kp (10)

czyli im większe wzmocnienie tym mniejsza odchyłka w stanie ustalonym

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowaniezakłóceń

Prawo sterowania z członem całkującym (PID) eliminuje odchyłkę wstanie ustalonym:

f ′ = xd + kv e + kpe + ki

∫edt (11)

Wadą tego podejścia jest występowanie przeregulowania, dlatego teżczęściej stosuje się regulator postaci PD+I

f ′ = xd + kv e + kpe + ki

∫(kv e + kpe)dt (12)

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie

Rysunek: Schemat blokowy układu sterowania z modelem odwrotnym

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie

W strukturze sterowania możemy wyróżnić dwie pętle sprzężenia zwrot-nego:

Pętlę wewnętrzną linearyzującą i rozdzielająca prawo sterowania nacześć modelową oraz sprzężeniową

Pętlę zewnętrzną sprzężenia zwrotnego pozwalającą na sterowaniemanipulatora w żądany sposób

Głównym wymaganiem przy stosowaniu metody odwrotnego modelu dosterowania jest konieczność zapewnienia dokładnych oraz szybkich pomia-rów współrzędnych złączowych, oraz znajomość dokładnych wartości para-metrów kinematycznych i dynamicznych. W rzeczywistości jest to zawszeobarczone błędami, co powoduje ze stosowane są różne metody kompen-sacji niedokładności w trakcie pracy robota (kompensacja w czasie rzeczy-wistym).

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Dynamika układu wieloczłonowego ma postać

τ =M(Q)Q + V (Q, Q) + G (Q) + F (Q, Q) (13)

Gdy dynamika manipulatora jest znana, prawo sterowania może zostaćzapisane jako:

τ = M(Q) · U + H(Q, Q) (14)

gdzie: M(Q) oraz H(Q, Q), stanowią oszacowania M(Q) 'M(Q),H(Q, Q) ' V (Q, Q) + G (Q) + F (Q, Q).

Natomiast syngały sterujące po odsprzęgnięciu przyjmują postać

U = Qd +KV ·(Qd − Q

)+KP · (Qd − Q) (15)

gdzie: KV = diag[kvi ] ∈ Rn×n,KP = diag[kpi ] ∈ Rn×n - macierzewzmocnień regulatorów w przegubach.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Po podstawieniu (2) i (3) do (1) otrzymuje się zależność

M(

(Q) · Qd +KV · (Qd − Q)

+KP ·(Qd − Q)+H(Q, Q)] =M(Q)Q+H(Q, Q)

(16)Ostatecznie otrzymuje się tzw. równanie błędu postaci

E +KV · E +KP · E = M−1 ·(

∆M(Q) · Q + ∆H(Q, Q))

(17)

∆M(Q) =M(Q)− M(Q) (18)

∆H(Q,Q) = H(Q, Q)− H(Q, Q) (19)

E = (Qd − Q) (20)

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

W przypadku gdy model jest całkowicie znany, zachodzą zależności:

M(Q) = M(Q)⇒ ∆M(Q) = 0 (21)

H(Q, Q) = H(Q, Q)⇒ ∆H(Q, Q) = 0 (22)

otrzymuje się liniowe równanie błedu:

E +KV · E +KP · E = 0 (23)

W idealnym przypadku, po odsprzęgnieciu, porzez odpowiedni dobórstałych KV oraz KP , uzyskać można żądaną odpowiedź układu regulacji.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Rysunek: Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego -odsprzęganie

Schemat ten pokazuje kilka istotnych elementów, na które należy zwrócić uwagę. Popierwsze wymagana jest zajomość wszystkich zmiennych przegubowych, oraz ichpochodnych - co wymaga dla danej trajektorii efektora rozwiązania zadania kinematykiodwrotnej. Po drugie, wymagany jest pomiar lub estymacja wektora Q.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie

Osiąnięcie idealnej sytuacji w praktyce jest bardzo trudne. Głównie z powodu zmien-ności wartości parametrów modelu. W wiekszości sytuacji nie znany jest idealny modelobiektu. Występuje także wiele zjawisk trudnych do modelowania (m.in. tarcie, luzyprzekładni).

W celu minimalizacji wpływu tych czynników na jakość sterowania wprowadza się doukładu sterowania moduły oparte na układach dynamicznych, modelujących on-linezachowanie układu wieloczłonowego (np. sieci neuronowe, obserwatory stanu). Możliwesą różne podejścia:

Kompensacja on-line: element dynamiczny może być użyty w celu generacjidodatkowego momentu kompensującego efekty związane z niepewnościami wukładzie wieoczłonowym.

Uczenie off-line i kompensacja on-line: element dynamiczny może modelowaćskładowe sprzężenia linearyzującego związane z modelem manipulatora,zmieniając parametry modelu podczas pracy układu jeśli zajdzie taka potrzeba.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie ikompensacja on-line

Rysunek: Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego -odsprzęganie i kompensacja on-line

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie, uczenieoff-line oraz modyfikacja on-line

Rysunek: Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - uczenieoff-line oraz modyfikacja on-line

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wybór napędów złączy

Wybór napędów złączy (silniki z przekładniami mechanicznymi) ma wpływna wybór odpowiedniej strategii sterowania.

Wykorzystanie silników elektrycznych z przekładniami(gearboxes) do napędzania ogniw układu wieloczłonowego.Stosowanie dużych przełożeń prowadzi do linearyzacjidynamiki układu wieloczłonowego, wskutek czego następujeodsprzęganie poszczególnych złączy. Negatywnym efektem jestzwiększenie wpływu tarcia w złączach, występowanie elastyczności iluzu. Może to bardziej ograniczyć efektywność działania układuwieloczłonowego niż siły inercji odśrodkowe i Coriolisa.

Wykorzystanie napędów bezpośrednich (ang. direct drives) donapędzania ogniw układu wieloczłonowego. Są to zwykle silnikiprądu stałego z magnesami trwałymi, charakteryzujące się dużymmomentem obrotowym, połączone mechanicznie z osią złącza.Pominięcie przekładni eliminuje lub zmniejsza występowanietarcia, elastyczności i luzu, ale wpływ nieliniowości dynamiki isprzężeń między złączami staje się istotny. Wymaga też znaczniebardziej złożonych algorytmów sterowania

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Niezależne sterowanie osiami robota

Założenia upraszczające:

z punktu widzenia układu sterowania każda oś jest autonomiczna,czyli mamy układ o jednym wejściu i jednym wyjściu,

regulator jest układem liniowym,

sprzężenia dynamiczne pomiędzy stopniami swobody są dostateczniemałe i są traktowane jako zakłócenia.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Niezależne sterowanie osiami robota/silnik z przekładnią

τm = kmia – moment obrotowy wirnika, gdzie ia – natężenie prądutwornika, km – stała momentu silnika

η – przełożenie przekładni

Im, I – momenty bezwładności wirnika i koła zamachowego

bm, b – współczynnik tarcia wiskotycznego w łożyskach wirnika i kołazamachowego

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Niezależne sterowanie osiami robota

Silnik z przekładnią

Moment obrotowy w zależności od zmiennych obciążenia

τ =(I + η2Im

)q +

(b + η2bm

)q (24)

gdzie: I + η2Im – zredukowany moment obrotowy, b + η2bm – tłumieniezastępcze.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Niezależne sterowanie osiami robota

Założenia upraszczające, wynikające z zastosowania przekładni:

Indukcyjność silnika może być pominięta.

Zakładając duże przełożenia zredukowany moment bezwładnościjest stały i równy Imax + η2Im.

Podatności manipulatora są pomijane, ale przy ustalaniuwspółczynników wzmocnienia należy wziąć pod uwagę częstośćrezonansu strukturalnego ωrez - do jego oszacowania należyokonać analizy częstotliwościowej układu.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Niezależne sterowanie osiami robota

Sterowanie jednym stopniem swobody

Stosujemy rozdzielne prawo sterowania{α = Imax + η2Im

β = b + η2bm(25)

Wejście sterująceτ ′ = qd + kv e + kpe (26)

Wzmocnienia (zależne od częstotliwości rezonansu strukturalnego - ωrez)kp =14ω2rez

kv = 2√kp = ωrez

(27)

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie układami nieliniowymi

Linearyzacja lokalna (wokół punktu pracy) np. za pomocą rozwinięcia wszereg Taylora nie nadaje się do sterowania manipulatorami.

Metoda rozdzielonego prawa sterowania pozwala na linearyzację układunieliniowego w całym zakresie współrzędnych.

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych