Stabilitas LyapunovPenyusun :Nama : M. Cahyo Ardi PrabowoNim : 1410501029Pembimbing : R. Suryoto Edy R, S.T., M.Eng.

JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS TIDAR

Daftar Isi• Sejarah Lyapunov• Definisi Stabilitas• Stabilitas Lyapunov• Teorema 1 dan 2 Lyapunov• Daftar Pustaka

Sejarah Lyapunov

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov.Seorang ahli matematika Rusia,yang memiliki teori dalam sistemnon linear, yaitu teori linearstabilitas.

Stabilitas

Stabilitas = Stabil / Kestabilan.Dalam matematika, teori stabilitas membahasstabilitas solusi dari persamaan diferensial danlintasan dari sistem dinamis. Stabil dapatdigambarkan berupa linier atau garis lurus

Teorema 1 LyapunovTeorama 1 :

Jika diketahui, suatu sistem dimana untuk sembarang t, jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu :– V( x,t ) definit positif– V dot ( x,t ) definit negatif

),,( txfx 0),0( tf

Teorema 1 LyapunovTeorama 1 :• Maka keadaan kesetimbangan di titik asal

adalah stabil asimptotik secara uniform. Jika ternyata V(x,t) → ~ untuk ║x║→ ~, maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik global secara uniform.

Teorema 2 LyapunovTeorama 2 :

Jika diketahui, suatu sistem untuk sembarang t , jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu :– V( x,t ) definit positif– V dot ( x,t ) definit negatif

),,( txfx

Teorema 2 LyapunovTeorama 2 :

tidak terjadi nol pada untuk dan dimana

menyatakan trayektori dengan titik awal di pada , maka kedaan kesetimbangan di titik asal dari sistem adalah stabil asimptotik global secara uniform.

),,(),,);(( 00 txfttxtV

0tt 0t 0x ),,( 00 ttx0x

0t

Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Lyapunov stabil

jika, untuk setiap ε > 0 Terdapat δ > 0 sehingga jika, < δ , Maka untuk setiap t ≥ 0.

Sehingga : ∥ x ( t ) - x e < ∥ ε

Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Lyapunov stabil

Contoh :

)(11

3210

tuxx

00

032

10

,0)(,

2

1

2

1

e

e

e

e

xx

xxtuJika

))(),(( tutxfx

1x

2x Equilibrium point

Stabilitas Lyapunov

1x

2x

ex0x

)(tx

Lyapunov Stabil

Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimtotik stabil

Jika Lyapunov stabil dan terdapat δ > 0, maka x ( 0 ) - x e < ∥ ∥ δ.Sehingga : lim t → ∞ x ( t ) - x e = 0.∥ ∥

Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimtotik stabil

Contoh :o Sistem stabil,o KriteriaMaka :

txtxxx eee as ,0)(0

0e

Stabilitas Lyapunov

1x

2x

ex0x

e

)(tx

Lyapunov Asimptotik Stabil

Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimptotik Global

jika stabil asimtotik dan terdapat α > 0 . β > 0 . δ > 0, maka x ( 0 ) - x e < , ∥ ∥Sehingga :

∥ x ( t ) - x e ≤ ∥ α ∥ x ( 0 ) - x e e - ∥ β t, untuk semua t ≥ 0.

Daftar Pustaka• http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod

_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapunov.pdf

• https://translate.google.com/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability&prev=search

• https://www.coursehero.com/file/13894656/MSC-Lecture07ppt/

TERIMA KASIH