Post on 22-Aug-2020
MATEMÁTICA
APRESENTAÇÃO
Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três
séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-
lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que
melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.
A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-
tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-
dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito
crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,
histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de
dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-
jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.
As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante
situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos
privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de
questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada
região brasileira.
Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia
intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o
aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.
Gerente Editorial
Trigonometria II
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
© Editora Positivo Ltda., 2010Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:
DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:
GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:
ORGANIZAÇÃO EDIÇÃO DE CONTEÚDO:
EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:
PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:
CARTOGRAFIA:ILUSTRAÇÃO:
PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:
CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:
PRODUÇÃO:
IMPRESSÃO E ACABAMENTO:
CONTATO:
Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeCintia Cristina Bagatin Lapa / Ângela Ferreira Pires da TrindadeMiriam Raquel Moro Conforto / Rose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiCarla Lage da Silva / Tassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaLuciano Daniel Tulio / Thiago Souza GranadoDivanzir Padilha / Deko / Eduardo Borges / Jack Art O2 ComunicaçãoRosemara Aparecida Buzeti© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/ Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltda/Klaus Post; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: posigraf@positivo.com.br2014editora.spe@positivo.com.br
F219 Farago, Jorge LuizEnsino médio : modular : matemática : trigonometria II / Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau
dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2010.: il.
ISBN 978-85-385-6430-0 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6433-1 (livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Jack Art. IV. Título.
CDU 373.33
Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.
Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:
Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.
Cubos
@MAT809
@MAT809
SUMÁRIO
Unidade 1: Funções trigonométricas I
Função seno 5
Função cosseno 10
Função tangente 15
Unidade 2: Funções trigonométricas II
Função cotangente 20
Função secante 21
Função cossecante 22
Relações trigonométricas 23
Unidade 3: Funções trigonométricas III
Adição e subtração de arcos para o seno, o cosseno
e a tangente 28
Duplicação de arcos para o seno, o cosseno e a tangente 33
Equações trigonométricas fundamentais 35
Trigonometria II4
Funções trigonométricas I1
Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos.
Aristóteles
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996. p. 30.
Ensino Médio | Modular 5
MATEMÁTICA
1. Uma pessoa, ao correr na esteira, seleciona um dos programas em que a velocidade aumenta e diminui em intervalo de tempo iguais. Ao acionar o seu funcionamento, a esteira atinge 10 km/h. Desconsidere o tempo necessário para alcançar essa velocidade, que, em km/h, oscila de acordo com a função trigonométrica a seguir, em que t é o tempo decorrido desde o início do movimento, em minutos:
v(t) = 10 + 2 · sen π10
· t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Função seno
© S
hutt
erst
ock/
Ale
ksan
dr M
arki
n
a) Dessa forma, complete a tabela a seguir com o valor da velocidade, em cada tempo dado:
Tempo (minutos) Velocidade (km/h)
05
10152025303540
Gráfico da
função seno
@MAT744
b) No plano cartesiano a seguir, localize os pontos obtidos na tabela e trace o gráfico da função.
12
10
8
6
4
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Velocidade(km/h)
Tempo(min)
c) Qual é a máxima velocidade que a esteira atinge no programa selecionado? E a mínima?
d) Em que tempo ocorreu a velocidade máxima? E a mínima?
e) A partir do início do movimento, qual é o intervalo de tempo que decorre para que as velocidades comecem a se repetir?
f) Considerando que a esteira, em sua programação, repita as velocidades formando ciclos, em quanto tempo ocorre cada ciclo?
g) Após 40 minutos, quantos ciclos ocorreram?
Nessa situação, observa-se a função seno, utilizada para descrever a programação da velocidade de uma esteira, quando uma pessoa está praticando corrida.
Dado um número real x, no ciclo trigonométrico, tal que:
A ordenada do ponto P é o seno de x, ou seja, OP' = sen x. Dessa forma,
denomina-se função seno toda função f: R → R que associa cada x
real a OP' por meio da relação f(x) = sen x.
Trigonometria II6
2. A curva do gráfico da função seno, ou seja, quando f(x) = sen x, é denominada senoide, e sua representação no plano cartesiano é:
f(x)
x
1
–1
0�
2
32�
� 2�
Dessa forma, ao observar o gráfico da função, responda:
a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa?
b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?
c) Complete as tabelas com o valor do seno do ângulo x:
x y = sen x
0
π6
π4
π3
x y = sen x
π2
2
3
π
3
4
π
5
6
π
x y = sen x
π
7
6
π
5
4
π
4
3
π
x y = sen x
3
2
π
5
3
π
7
4
π
11
6
π
2π
Observe mais detalhadamente o gráfico da função seno, ou seja, para f(x) = sen x.
12
–
�
3–
�
4–
�
6–
�
3�
4�
6�
223� 3
4� 5
6�
76� 5
4� 4
3� 3
2� 5
3� 7
4� 11
6�
1
–1
� 2�
x
f(x)
12
3. De acordo com o gráfico, escreva os conjuntos domínio e imagem:
A função f(x) = sen x é periódica, pois sen x = sen (x + 2π), e seu período é 2π. Para uma função f(x) = sen (mx + n), o
período é igual a 2πm
.
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
7
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Certa pessoa entra em uma gôndola de uma roda--gigante. A altura dessa gôndola em relação ao chão é dada pela função
π π5 2
t +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, para t em
minutos
a) Determine a altura da gôndola após:
I. 2 minutos e 30 segundos do início do movi-mento;
II. 5 minutos do início do movimento.
b) Determine o tempo em que essa roda-gigante completa uma volta e a medida do raio dela.
c) Trace o gráfico que representa essa função.
2. Qual o valor de Sπ3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
para a função definida por
S(x) 2 + 8(sen x)3?
3. O lucro mensal de uma empresa foi descrito, apro-ximadamente, por uma função trigonométrica. Na função a seguir, L é o lucro expresso em centenas de reais e t é o dia do mês (t = 0 é o último dia do
mês anterior). Considere o mês com 24 dias, isto é, excluindo-se os finais de semana.
π12
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a) Determine o lucro máximo e mínimo da empresa.
b) Trace o gráfico que representa essa função.
c) Em quais dias do mês o lucro é nulo?
4. gráfico. Determine os valores de a e b.
Função ímparDenomina-se função ímpar toda função f: A → B, tal que:
para todo x ∈ A, tem-se f(−x) = −f(x), com f(x) ∈ B.
Observe o valor da função seno para x = π6
:
f π6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= sen π6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= 1
2
Logo,
f(−x) = f −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π6
= sen −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π6
= sen 11
6
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − 1
2 = −f(x)
Observe outro exemplo da função seno para x = 2
3
π:
f 2
3
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= sen 2
3
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= 3
2
Logo,
f (−x) = f −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = −2
3
2
3
4
3
3
2
π π πsen sen f x ( )
Dessa forma, pela simetria dos arcos em relação ao eixo horizontal, pode-se afirmar que, para um arco cuja medida é x, tem-se:
sen (x) = −sen (−x) Assim, sen (−x) = −sen (x)Logo, a função seno é ímpar.
Propriedades da função seno
Quadrantes 1o. 2o. 3o. 4o.
Sinais + + – –
Flutuação crescente decrescente decrescente crescente
Domínio D = IR
Imagem Im = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1} ou Im = [−1, 1]
Período 2π
Paridadeímpar
sen (−x) = −sen x
Trigonometria II8
5. b e os lados congruentes medem 10 cm. O ângulo formado pela
b um dos lados congruentes é α. Escreva a ex-pressão da área em função do ângulo α.
6. Determine o(s) valor(es) de a para que as igualda-des a seguir sejam verdadeiras:
a) sen x = a + 2
b) sen x = 2a 16−
c) sen x = 2 a
3−
7. (UFPR) Nesta figura está representado um perío- do completo do gráfico da função
πx4
:
Para cada ponto B f, fica deter-minado um triângulo de vértices O, A e B, como na figura. Qual é a maior área que um triângulo
a) 12 b) 3
c) 6π d) 8
e) 9
8. (UFMS) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei
π · t2
, com t medido em ho-
mínimo desse produto são
a) 320 e 200.
b) 200 e 120.
c) 200 e 80.
d) 320 e 80.
e) 120 e 80.
9. -creva o conjunto-imagem e o período.
10. Dada a função f: R → R, definida por
f(x) = 1
4 2 · sen x−, determine o maior e o menor
valor de f(x).
11. Escreva o conjunto-imagem da função definida por
f(x) = 1
5 + 4 · sen x.
12. (UFPE) Esta ilustração é parte do gráfico da função πx) + c, com a, b e c sendo constantes
reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com coordenadas (0, 3) e (1/2, 5).
Determine a, b e c 2.
Desafio
13. Marque a opção que representa a função do gráfico:
a) y = sen x
b) y = 2sen x
2 c) y = 2 sen x
d) y = 2 sen 2x
e) y = sen 2x
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
9
FÍSICAMATEMÁTICA
Função cosseno
O volume máximo de ar, nos pulmões e nas vias respiratórias, é de aproximadamente 5 litros para uma inspiração forçada e, após uma expiração forçada, resta nas vias aéreas 1,2 litro de ar. A frequência respiratória de uma pessoa que esteja em relativo repouso é da ordem de 10 a 15 movimentos por minuto. Como, normalmente, a respiração é um movimento periódico, pode-se representá-la por uma função trigonométrica. Observe:
Tempo (segundos)
Volume (litros)
0
1
2
3
4
5
6
v(t) = 3,1 + 1,9 · cos π2
· t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Nessa função, v é o volume de ar, em litros, nos pulmões e nas vias respiratórias; t é o tempo em segundos.
1. Complete, na tabela, os valores de v que estão faltando:D
ivan
zir P
adilh
a. 2
011.
Dig
ital.
Gráfico da
função cosseno
@MAT702
Trigonometria II10
2. Localize, no plano cartesiano, os pontos obtidos na tabela e trace o gráfico da função:
Tempo(segundos)
Volume(litros)
3. Qual é o máximo volume de ar que o pulmão suporta? E o mínimo?
4. Em que tempo ocorreu o volume máximo? E mínimo?
5. Qual é o intervalo de tempo necessário para que ocorra uma expiração e uma inspiração?
6. Cada ciclo de uma expiração e de uma inspiração ocorre em quanto tempo?
7. Após 20 segundos, quantos ciclos (expiração e inspiração) ocorreram?
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
11
FÍSICAMATEMÁTICA
Nessa situação, observa-se a função cosseno sendo utilizada para descrever a respiração de uma pessoa em condições específicas.
Dado um número real x, no ciclo trigonométrico, tal que:
A abscissa OP'' do ponto P é o cosseno de x, ou seja, OP'' = cos x. Dessa forma, denomina-se função
cosseno toda função f: R → R que associa cada x real, a OP'' por meio da relação f(x) = cos x.
O gráfico da função cosseno, ou seja, quando f(x) = cos x, é denominado de cossenoide, e sua representação no plano cartesiano é:
8. Dessa forma, ao observar o gráfico da função, responda:
x y = cos x
0
π6
π4
π3
x y = cos x
π2
2
3
π
3
4
π
5
6
π
x y = cos x
π
7
6
π
5
4
π
4
3
π
x y = cos x
3
2
π
5
3
π
7
4
π
11
6
π
2π
a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa? b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?
9. Complete as tabelas com o valor do cosseno do ângulo x:
Trigonometria II12
Função parDenomina-se função par toda função f: A → B, tal
que: para todo x ∈ A, tem-se f(−x) = f(x), com f(x) ∈ B.
Observe o valor da função cosseno para x = π3
rad:
f π π3 3
1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=cos
Logo,
f(−x) = f −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π3
= cos −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π3
= cos 5
3
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= 1
2 = f(x)
Observe outro exemplo da função cosseno para x = 3
4
π :
f 3
4
3
4
2
2
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −cos
Logo,
f(−x) = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − =3
4
3
4
5
4
2
2
π π πcos cos ( )f x
Quadrantes 1o. 2o. 3o. 4o.
Sinais + – – +
Flutuação decrescente decrescente crescente crescente
Domínio D = IR
Imagem Im = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1} ou Im = [−1, 1]
Período 2π
Paridadepar
cos (–x) = cos x
Observe, mais detalhadamente, o gráfico da função cosseno, para f(x) = cos x:
�
2–
�
3–
�
4–
�
6–
�
3�
4�
6�
2
23� 3
4� 5
6�
76� 5
4� 4
3�
32� 5
3� 7
4� 11
6�
1
–1
�
2� x
f(x)
12
–
12
10. De acordo com o gráfico, escreva os conjuntos domínio e imagem:
A função f(x) = cos x é periódica, pois cos x = cos (x + 2π), e seu período é 2π. Para uma função f(x) = cos (mx + n), o
período é igual a 2πm
.
Dessa forma, pela simetria dos arcos em relação ao eixo horizontal, pode-se afirmar que, para um arco cuja medida é x, tem-se:
cos (x) = cos (−x)
Assim,
cos (−x) = cos (x)
Logo, a função cosseno é par.
Propriedades da função cosseno
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
13
FÍSICAMATEMÁTICA
1. τ, realizado por uma força, pode ser calculado pela relação:
τ θ
em que F é a força (constante), d é a medi-da do deslocamento do corpo e θ é o ângulo formado pela direção da força e a direção do deslocamento.
Determine o ângulo θ para uma força F cons-tante e um deslocamento d, no qual o maior
2.
3. Determine o(s) valor(es) de b para que as igualdades a seguir sejam verdadeiras:
a)
b) cos x = 2b 14−
c) cos x = 1 b
2−
4. O fenômeno das marés ocorre devido à atra-ção gravitacional entre Sol, Terra e Lua. O nível das águas aumenta e diminui, em algumas re-giões, duas vezes por dia, atingindo um nível máximo e um mínimo. Em uma praia, foram
da curva, formada pelos níveis da água, em função da hora do dia: π
6t⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
em que h(x) é a medida da altura do nível da maré em determinada hora t do dia.
que:
( ) o nível
(
( ) o nível mais alto da maré é de 3,1 metros;
( ) às 6 horas, a maré atinge o nível máximo;
( ) às 12 horas, a maré atinge o nível mínimo.
5. Nas funções f: R → R a seguir, determine o con-junto-imagem e o período de cada uma delas:
a)
b)
6. Os desertos têm uma variação de temperatura
Considere que, em um deserto, em certa época do ano, a temperatura possa ser expressa por uma função trigonométrica em função da hora do dia pela expressão:
π12
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Determine as temperaturas mínima e máxima e trace o gráfico que representa essa função.
7. Nas funções representadas a seguir, com x ∈ R, determine o maior e o menor valor de y:
a) y = 2
4 cos x−
b) f(x) = 1
3 + 4cos x
8. Esta figura representa o gráfico da função f: R → R, definida por f(x
Determine os valores de a e b.
9. Determine os valores de p e k, na função
π
Trigonometria II14
10. -trica:
y
x
2
0
�
2
32� 2�
1
�
Analise as afirmações:
I. O gráfico representa a função f(x) = 1 + cos x.
II. No intervalo do domínio de [0, 2π y = 0,5 intercepta o gráfico da função em valores que estão no 2o. e no 3o. quadrantes.
III. O período da função representada é igual a 2π radianos.
Pode-se concluir que:
a) as afirmações I, II e III são verdadeiras;
b) somente as afirmações I e III são verdadeiras;
c) somente as afirmações I e II são verdadeiras;
d) somente as afirmações II e III são verdadeiras;
e) as afirmações I, II e III são falsas.
11. (UNESP) Uma máquina produz diariamente x
o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milha-res de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 – cos
xπ6
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ e V(x) = 3 2. sen
xπ12
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ,
0 ≤ x ≤ 6.
-zenas de peças é:
a) 500 b) 750
c) 1 000 d) 2 000
e) 3 000
Função tangente
Dado um número real x, no ciclo trigonométrico, tal que:
A medida do segmento AT é a tangente de x, ou seja, AT = tg x. Dessa forma, denomina-se função tangente toda
função f: R − π π2
+ ∈{ }k k, � → R que associa cada x real
à medida de AT, por meio da relação f(x) = tg x.
O gráfico da função tangente está representado neste plano cartesiano:
1. Ao observar o gráfico da função, responda: a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa?
b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?
Gráfico da
função tangente
@MAT960
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
15
FÍSICAMATEMÁTICA
2. Complete as tabelas com o valor da tangente do ângulo x:
x y = tg x
0
π6
π4
π3
x y = tg x
π2
2
3
π
3
4
π
5
6
π
x y = tg x
π
7
6
π
5
4
π
4
3
π
x y = tg x
3
2
π
5
3
π
7
4
π
11
6
π
2π
�
2 �
3�
4�
6
2�
0�
116
�
74�
53�
76�
54�
43�
32�
56�
34�
23�
�3
3–
�3
3
�3
–�3
1
–1
Observe, mais detalhadamente, o gráfico da função tangente, ou seja, para f(x) = tg x:
3. De acordo com o gráfico, escreva os conjuntos domínio e imagem:
A função f(x) = tg x é periódica, pois tg x = tg (x + π), e seu período é π. Para uma função f(x) = tg (mx + n), o período é igual a π
m .
Da circunferência trigonométrica, pode-se destacar o triângulo OAT:
4. Utilizando os catetos dos triângulos retângulos, estabeleça a semelhança entre eles.
Trigonometria II16
1. Determine o domínio das funções a seguir:
a)
b) x3
c) f(x) = tg 2x
2. Determine tg α, em que α ∈ 1o. quadrante, sa -
do que sen α = 13
e cos α = 2 2
3.
3. Determine tg β, em que β ∈ 2o. quadrante, -
do que sen β = 12
e cos α = −3
2 .
4. Determine tg θ, em que θ ∈ 3o. quadrante, -
do que sen θ 23
.
5. Determine tg γ, em que γ ∈ 4o. quadrante,
que sen γ 2
2.
6. S3
10 e que x ∈ 2o.
quadrante, determine o valor de tg x.
7. Qual é o valor numérico da função 2 o?
8. e registra, com um teodolito, as medidas dos ângulos α e β nas posições A e B de acordo com o desenho a seguir. Determine a distância H
A ao ponto B em função da distância D e das medidas dos ângulos α e β.
9. Se tg x = 13
e 0 < x < π2
, então determine
sen x + cos x.
10. Na circunferência trigonométrica a seguir, mar-
que, no eixo das tangentes, o valor de tg 45° e
tg 116π :
11. Na circunferência trigonométrica a seguir, mar-
que, no eixo das tangentes, o valor de tg 120° e
tg76π :
Desafio
12. Determine o valor da expressão A = 3 . tg
1+ tg2
αα
,
quando sen α 3
2 e π < α < 3
2
π .
i
FÍSICA
17
FÍSICAMATEMÁTICA
1. O gráfico representa a função: a)
b) y = cos x2
c) y = 2 sen x
d) y = sen x2
e) y = 2 sen 2x
Leia o trecho a seguir da música “Simples de coração”, da banda Engenheiros do Hawaii:
Volta voando (vinda do alto), derrete o chumbo do céuAntes que eu saia pela tangente no giro do carrosselFalta uma volta (ponteiros parados): tudo dança em torno de tiVolta pra casa... fim da viagem: bem-vinda à vida real.
GESSINGER, Humberto. Simples de coração. Intérprete: Engenheiros do Hawaii. In: Simples de coração. São Paulo: BMG Brasil, p1995. 1 CD, digital, estéreo. Faixa 3.
A expressão “sair pela tangente” é muito comum em nosso vocabulário, mas a verdadeira origem está na Física.
Segundo o conceito físico de inércia, um corpo tende a manter seu estado de movimento (repouso ou movimento retilíneo uniforme). Um motociclista, por exemplo, ao derrapar em uma curva, sem nenhuma força resultante agindo sobre ele, tende a continuar o seu movimento em linha reta, conforme mostra a ilustração.
Uma reta tangente é aquela que toca uma curva em um único ponto, sem cortá-la. Repare que a reta em vermelho atinge a curva em apenas um local, “escapando” dela em seguida. Por isso, diz-se que o corpo sai pela tangente.
Ao ler o trecho da letra da música, é possível supor que o autor anseia muito pela volta de sua amada, prevendo que, se ela não o fizer logo, ele pode mudar a trajetória de sua vida, saindo pela tangente.
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Boco
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nedi
ct
Trigonometria II18
2. (UPE) O gráfico representa uma função trigonomé-
É correto afirmar que:
a) A = 2, B = 3 e m = 2;
b) A = 3, B = 2 e m = 4;
c)
d)
e)
3. -minada cidade é dada por
T(x) = 14 sen[ 2360
π T é a
temperatura em graus centígrados e x é o número de dias decorridos desde o início do ano.
De acordo com essa função, a temperatura mé-dia diária nessa cidade oscila entre __________ e __________ graus centígrados, sendo que a temperatura média mais alta ocorre no mês de __________.
Assinale a alternativa que preenche correta e res-pectivamente as lacunas acima.
a) b)
c) 0; 11; janeiro. d)
e)
4.
Podemos afirmar que:
a) π2
b) π2
c) π2
d) π2
e)
5. Determine a forma mais simplificada da expressão 1+ sen x
cos x+
cos x1+ sen x
1cos x
− .
6. (PUCPR) Um terremoto de magnitude 8 graus da es-
de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 me-tros. A maré alta nesse local ocorreu à meia-noite. Suponha que o nível de água na maré alta era de
Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma
corresponde à fórmula para o nível da água na re-gião em função do tempo?
a) 1,515 + 1,485 . sen π6
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
b) 1,485 . cos π6
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
c) 1,515 + 1,485 . cos π6
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
d) 1,485 . sen π6
t⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
e) 1,485 + 1,515 . cos (π t)
7. -fico da função f(x) = cos x, entre 0 e 2π, a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coor-denados um triângulo de área:
a) π2
b) π4 c) π d) π
8 e)
π6
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FÍSICA
19
FÍSICAMATEMÁTICA
Trigonometria II20
Funções trigonométricas II2
Na figura, tem-se uma circunferência trigono-
métrica e uma reta r tangente a ela no ponto T,
de coordenadas (0, 1). O ponto C é o ponto de
intersecção da reta que passa pelos pontos O
e P e a reta r.
Define-se cotangente de x, representada por cotg x,
a abscissa do ponto C; e a reta r como o eixo das co-
tangentes.
Com base na figura e nas definições, responda:
a) Qual o ângulo formado por OT e a reta r? Justifique:
b) O que as medidas dos segmentos OP' e OP" re-presentam?
c) Os triângulos OCT e OPP" são semelhantes? Jus-tifique:
d) Represente os triângulos OCT e OPP" e expresse a medida do segmento CT em função das medidas dos segmentos OP' e OP" ?
Função cotangente
Ensino Médio | Modular 21
MATEMÁTICA
e) Escreva essa medida por meio de uma relação trigonométrica:
f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a cotangente em relação ao seno e ao cosseno? E em relação à tangente?
g) Para quais valores de x a cotangente está definida?
Função secante
Na figura, tem-se uma circunferência trigonométrica e uma reta r tangente a ela no ponto P, formando o arco AP cuja medida é x, e que intersecta o eixo das abscissas no ponto S: Define-se secante de x, representada por sec x, a abscissa do ponto S.
Com base na figura e nas definições, responda:
a) Qual o ângulo formado por OP e a reta r? Justifique:
b) O que as medidas dos segmentos OP' e OS repre-sentam?
c) Os triângulos OPS e OP’P são semelhantes? Justi-fique.
Função
cotangente
@MAT1541
d) Com base na resposta do item anterior, como é possível expressar a medida do segmento OS em função da medida do segmento OP'?
e) Escreva essa medida por meio de uma relação tri-gonométrica.
f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a secante em relação ao cosseno?
g) Para quais valores de x a secante está definida?
Função cossecante
Na figura, tem-se uma circunferência trigonométrica e uma reta r tangente a ela no ponto P, formando o arco AP cuja medida é x e que intersecta o eixo das ordenadas no ponto C:
Define-se cossecante de x, representada por cossec x, a ordenada do ponto C.Com base na figura e nas definições, responda:
a) Qual o ângulo formado por OP e a reta r? Justifique:
b) O que as medidas dos segmentos OP' e OC repre-sentam?
c) Os triângulos OPC e OP’P são semelhantes? Justifique.
Trigonometria II22
d) Como é possível expressar a medida do segmento OC em função da medida do segmento OP'?
e) Escreva essa medida por meio de uma relação trigonométrica.
f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a cossecante em relação ao seno?
g) Para quais valores de x a cossecante está de-finida?
Relações trigonométricas
As relações estabelecidas com as funções trigonométricas referentes a um mesmo arco são cha-madas de relações trigonométricas. Até o momento, foram estudadas as relações trigonométricas fundamentais. São elas:
sen2 x + cos2 x = 1 (com x ∈ R)
tg xsen x
x=
cos (com x k≠ +π π
2 e k ∈ Z)
cotcos
g xx
sen x= (com x ≠ kπ e k ∈ Z) ou cotg x
tg x= 1
(com x k≠ +π π2
e kπ ∈ Z)
seccos
xx
= 1 (com x k≠ +π π2
e k ∈ Z)
cossec xsen x
= 1 (com x ≠ kπ e k ∈ Z)
1. 35
e que x é um arco do 1o.
quadrante, determine o valor da expressão trigo-
nométrica 1 tg x1 cotg x
−−
.
2. Considerando que x ∈ 1o. quadrante e cos x = 1213
,
determine o valor da expressão 1+ sen xsec x + tg x
.
3. (IFECT – TO) O valor numérico da expressão sec 60° + cossec 30° – cotg² 30° é:
a) 0 b) 7
c) 1 d) 3
e) 2
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FÍSICA
23
FÍSICAMATEMÁTICA
4. Qual é a forma mais simples da expressão trigono-métrica
–1?
5. (FURG – RS) As relações sen x = 12+ k e
tg x = 11
+−
kk
são satisfeitas para valores de k. O
produto desses valores de k é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
6. Determine a forma mais simplificada da expressão
11
2 22+
cos . cosssec .
x ec xx−
7. 2 2 x e escreva a forma mais simplificada.
8. Determine o valor numérico da expressão
9. (UFAC) Seja x ∈ Rπ2
+ kπ, com k ∈ Z}.
Então, a expressão 2 x é
igual a:
a) 1 – sen π b) 1 + cos 3πc) 1 – cos π d) πe) π
Com base nas relações trigonométricas fundamentais, é possível definir outras relações impor-tantes que serão estudadas a seguir.
1. Na relação sen² x + cos² x = 1, divida ambos os membros por cos² x, determinando uma nova relação trigono-métrica e os valores de x para os quais ela está bem definida.
2. Na relação sen² x + cos² x = 1, divida ambos os membros por sen² x, determinando uma nova relação trigono-métrica e os valores de x para os quais ela está bem definida.
Trigonometria II24
1. -mine o valor do produto ab.
2. Determine a forma simplificada da expressão
sec x 1tg x+1
2
2− .
3. Toda igualdade envolvendo razões trigonomé-
tricas que se verifica para qualquer valor de x,
respeitadas as restrições, é uma identidade trigo-
nométrica. Sendo assim, demonstre a identidade
tg² x + sen² x = sec² x – cos² x.
4. (UE 2 x.
a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
e) 10
5. (UECE) Para valores de x tais que cos x ≠ 0, a ex-
pressão sec2 x – tg2 x é igual a:
a) 0
b) 1
c) sen2 x
d) cos2 x
6. Demonstre a identidade cos x sec x
tg x= sen x
−.
7. Calcule o valor numérico da expressão
a=sec x 11+tg x
2
2− 1
2.
8. Simplifique a expressão numérica
1+ cotg x1+ tg x
coss ec x +12
22− .
1. (UEL – PR) O gráfico de uma função f, figura abaixo, mostra o deslocamento vertical de um surfista sobre uma onda, em função do tempo.
Com base no gráfico e nos conhecimentos sobre funções, considere as afirmativas a seguir.
I. Para todo t t , t3 7∈( ), f é constante.
II. Para todo t 0, t3∈ ⎡⎣ ), f t = cos t +2( ) ( ) .
III. Para todo t t , t7 10∈ ( ), f t = m t +b( ) ⋅ , onde m > 0.
IV. A função f assume seu valor máximo em t = t2.
Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e III são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.c) Somente as afirmativas II e III são corretas.d) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas.e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.
2. (UDESC) Sendo x um arco do segundo quadrante
tal que sen x = 3
7, o valor de tg x é:
a) 10 10
3
b) 3 10
20
c) −2 3
5
d) −3 10
20
e) −10 10
33. (UFRR) Sabendo-se que tg x = −
1
3 e sen x < 0,
podemos afirmar que:
a) cossec x = 10−
b) cossec x = 10
c) cossec x = 3−
d) cossec x = 3
e) cossec x =3
2−
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FÍSICA
25
FÍSICAMATEMÁTICA
Trigonometria II26
Funções trigonométricas III3
A Trigonometria surgiu por volta de 300 a.C. da necessidade de resolver problemas de Astro-nomia e agrimensura. Ao longo do tempo, as aplicações foram se estendendo de acordo com o desenvolvimento tecnológico, por exemplo, nas engenharias, na cartografia e na navegação. Por isso, nesta unidade, o estudo da Trigonometria será aprofundado.
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Tirolesa é uma atividade es-portiva de aventura. Originária da região de Tirol, na Áustria, a ativi-dade consiste em se deslocar en-tre dois pontos em uma cadeirinha com roldanas presa por um cabo.
Pessoa se deslocando em uma tirolesa
Latin
Stoc
k/Co
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(DC)
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bis/
Mic
hael
Han
son
Ensino Médio | Modular 27
MATEMÁTICA
Em um hotel-fazenda, será construída uma tirolesa. O ponto de partida será em uma plataforma situada a 100 metros de altura em relação ao ponto de chegada. O cabo de aço dessa tirolesa deverá formar um ângulo de 15° em relação ao chão, como mostra a ilustração:
a) Qual é a expressão trigonométrica que deter-mina o comprimento do cabo dessa tirolesa?
b) Com auxílio da calculadora, determine a me-dida do cabo.
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.
Em situações como a da tirolesa, em que a medida do ângulo é diferente de 30°, 45°, 60° e 90°, o cálculo pode ser efetuado com auxílio da tabela trigonométrica, da calculadora científica e em alguns casos pela adição ou subtração de dois arcos que serão estudados a seguir.
Comparando as expressões cos (30° + 60°) e cos 30° + cos 60°, pode-se afirmar que elas são iguais?
De modo análogo, verifica-se:
sen (a + b) ≠ sen a + sen b
sen (a – b) ≠ sen a – sen b
cos (a + b) ≠ cos a + cos b
cos (a – b) ≠ cos a – cos b
tg (a + b) ≠ tg a + tg b
tg (a – b) ≠ tg a – tg b
1. Em relação ao triângulo retângulo ODC, responda:
a) Como é possível expressar a medida do ângulo DÔC?
b) Expresse, de forma simplificada, o cosseno do ângulo DÔC.
2. Em relação ao triângulo retângulo OEC, responda:
a) Qual é a medida do ângulo CÔE?
b) Expresse, de forma simplificada, o seno e o cosseno do ângulo CÔE.
Traçando o segmento CE perpendicular ao segmento OB, obtém-se o triângulo OEC, retângulo em E:
Adição e subtração de arcos para
o seno, o cosseno e a tangente
Nesta unidade, serão estabelecidas relações matemáticas que envolvem adição e subtração de dois arcos para as funções seno, cosseno e tangente.
Cosseno da adição de dois arcos
Na circunferência trigonométrica, considere os arcos BC e AB cujas medidas são b e a, respectiva-mente. Traçando o segmento CD, perpendicular ao eixo x, obtém-se o triângulo OCD, retângulo em D:
Seno e cosseno
da soma de
dois arcos
@MAT1041
Trigonometria II28
3. Por meio de razões trigonométricas no triângulo CFE, expresse a medida de EF, em função de sen a (lembre-se de que CE = sen b).
4. Do triângulo OHE, expresse a medida OH, em função de cos a (lembre-se de que OE = cos b).
5. É posível observar que EF = DH. Nessas condições, qual expressão trigonométrica representa OH = OD + DH?
Traçando o segmento EF perpendicular a CD, obtém-se o triângulo retângulo CFE, cujo ângulo reto é F. Observe que o triângulo OGD é semelhante ao triângulo CGE. Logo, a medida do ângulo ECF é a.
O cosseno da soma de dois arcos a e b, com a, b R, pode ser determinado por:cos (a + b) = cos a ∙ cos b – sen a ∙ sen b
1. Se -ção cos é válida para esses valores.
2. Calcule os valores de:
a) cos 75°
b) cos 105°
3. Determine o valor da sec 285°.
4. Desenvolva as expressões:
a) cos ( + x)
b) cos 32
+ x
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FÍSICA
29
FÍSICAMATEMÁTICA
Cosseno da subtração de dois arcos
Determine o valor de cos (a – b).
1.
válida para esses valores.
2. Qual o valor do cos 15°?
3. Sendo sen a = 35
513
, com a e b
pertencentes ao 1.º quadrante, calcule:
a)
b)
4. Simplifique a expressão
y = cos (60° + x) + cos (60° – x)cos x
, com
cos x 0.
5. Desenvolva a expressão cos 2
– x .
6. A água utilizada para a irrigação da plantação
rio para uma caixa-d’água a 60 metros de dis-tância. A plantação está a 150 metros de dis-tância da caixa-d’água, e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/captação e caixa- -d’água/plantação é de 15º. Pretende-se fazer uma ligação direta da captação para a planta-ção. Para tanto, serão necessários aproximada-mente quantos metros de encanamento?
(Use: 2 = 1,4, 6 = 2,4 e 10 = 3,16)
Qual a expressão que determina
Para determinar essa expressão, pense que
a função cosseno é
x, pois a função seno
Dek
o. 2
011.
Dig
ital.
Edua
rdo
Borg
es. 2
011.
Vet
or.
30
Seno da adição e da subtração de dois arcos
Para obter a expressão para o seno da adição de dois arcos, ou seja, sen (a + b), lembre-se de que sen = cos
2 – .
Assim:
sen (a + b) = cos 2
– (a + b)
sen (a + b) = cos 2
– a – b
sen (a + b) = cos 2
– a – b
Dessa forma, obtenha a expressão que determina sen (a + b).
Agora, obtenha o seno da subtração de dois arcos, ou seja, sen (a – b):
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FÍSICA
31
FÍSICAMATEMÁTICA
1. Calcule os valores de:
a) sen 15° b) cossec 105°
2. Para atender determinada região, existem A, B e
C. A está ligada com B, e B está ligada com Cfuncionar, toda a região ficará sem energia elétrica. Para evitar que isso ocorra, a solu-
A e C, assim elas
determine a distância da estação A para a C.
(Use: 2 = 1,4 e 6 = 2,4)
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Aro
gant
Subestação de energia elétrica
Edua
rdo
Borg
es. 2
011.
Vet
or.
3. Simplifique a expressão sen (120° + x) + sen (120° – x).
4. Se sen a = 15
14
, sendo a e b arcos
5. Desenvolva as seguintes expressões:
a) sen (2 + x) b) sen 2 – x
6.
Tangente da adição e da subtração de dois arcos
Dados dois arcos, a e b, tais que a 2
+ k · e b 2
+ k · , com k Z, tem-se:
1. Calcule os valores de:
a) tg 75°
b) tg 15°
2. A tangente da adição dos arcos a e b é –3. Determine tg a
3. Calcule tg (
4. Determine o valor da cotg de 105°.
5.
a) tg x b) tg y
Tangente de (a + b):
tg (a + b) = tg a + tg b1 – tg a · tg b
com (a + b) 2
+ k · , k Z,
a 2
+ k · , k Z,
b 2
+ k · , k Z
Tangente de (a – b):
tg (a – b) = tg a – tg b1 + tg a · tg b
com (a – b) 90°+ k · 180°, k Z,
a 2
+ k · , k Z,
b 2
+ k · , k Z
Trigonometria II32
P.Im
agen
s/Iv
onal
do A
lexa
ndre Em alguns postes de distribuição de energia elétrica, são
instalados transformadores. Eles têm a função de garantir que as residências recebam a voltagem correta. Por se tratar de um equipamento pesado, a companhia de energia elétrica instala ca-bos de sustentação nos postes, como mostra a ilustração a seguir.
O comprimento do cabo de sustentação varia de acordo com o espaço disponível para sua instalação. A maioria das instalações tem a extremidade do cabo distante a 30 metros da base do poste, utilizando o equivalente a 20 3 metros de cabo (aproximadamente 34,6 m). Em postes instalados em locais com pouco espaço, a extre-midade do cabo fica a 10 metros da base do poste, distância mínima permitida pela empresa, utilizando 20 metros de cabo, como mostra a ilustração ao lado.Nessas condições, responda:
a) Qual a medida do ângulo a?
b) Determine a medida do ângulo b.
c) O ângulo b tem quantos graus a mais que o ângulo a?
O que se pode concluir sobre a medida do ângulo b em relação à medida do ângulo a?
Duplicação de arcos para o seno,
o cosseno e a tangente
Edua
rdo
Borg
es. 2
011.
Vet
or.
Seno e
cosseno de
arco duplo
@MAT1042
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FÍSICA
33
FÍSICAMATEMÁTICA
Com base na situação anterior, observe as seguintes figuras:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Na figura 1, tem-se um arco de medida a. Acrescentando um arco de mesma medida, ou seja, a + a (figura 2), obtém-se um novo arco de medida 2a (figura 3), chamado arco duplo.
Utilizando as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente da soma de dois arcos (a + b), sendo b = a, determine.
a) o seno de 2a.
b) o cosseno de 2a.
c) a tangente de 2a.
Para a R, tem-se: sen 2a = 2 · sen a · cos acos 2a = cos2 a − sen2 aPara a R, com a ≠
4 + k ·
2e a ≠
2 + k · e k Z, tem-se:
tg 2a = 2 · tg a1 – tg2 a
Trigonometria II34
1. Determine o valor de sen 2x + cos 2x para sen x = 0,6, com
2 < x < .
2. Desenvolva a expressão (sen x + cos x)².
3.
4. Se tg x + cotg x = 2, calcule o valor de sen 4x.
5. (UNESP) Um farol localizado a 36 m acima do
distância xângulo , conforme a figura a seguir.
a) Admitindo-se que sen = 35
, calcule a dis-tância x.
b) -
zada, na qual o ângulo passou exatamente para 2 , calcule a nova distância x a que o
Uma maneira de determinar a área de um triângulo quando são conhecidas as medidas de dois lados a e b e o ângulo compreendido entre eles é por meio da relação:
Equações trigonométricas
fundamentais
A = 12
· a · b · sen
Considere um triângulo cuja área é 6 cm2 e dois lados têm medidas iguais a 4 cm e 6 cm. Qual a medida do ângulo formado por esses lados?
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
35
FÍSICAMATEMÁTICA
Nessas condições, responda:
a) A equação sen x – cos 2x = 0 é trigonométrica? Justifique.
b) Pode-se considerar que a equação x² – cos 60° ∙ (x – 2) = 10 é trigonométrica? Justifique.
c) Das equações abaixo, assinale somente as equações trigonométricas.
( ) sen x = cos 2x – 2
( ) x + tg 45° = 0,8
( ) tg2 x + cos x – 4
= 1
( ) x2
= sen 2
– 3
a) Qual a medida dos arcos AB, AC, AD e AE?
b) Sendo sen x = sen a, dada a equação sen x = 22
, responda:
Com base no ciclo trigonométrico, determine quan-tas e quais são as soluções dessa equação, no inter-valo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).
Muitas das equações trigonométricas podem ser reduzidas a equações mais simples, denominadas equações fundamentais.
Observe o ciclo trigonométrico e responda às questões a seguir.
Equação trigonométrica: para que a equação seja trigonométrica, ela deve apresentar uma incógnita em uma razão trigonométrica.
Trigonometria II36
Para o intervalo ]– , + [, quantas soluções tem essa equação?
Escreva o conjunto-solução dessa equação para o intervalo ]– , + [.
c) Determine o conjunto-solução da equação sen x = – 22
.
d) Sendo cos x = cos a, dada a equação cos x = 12
, responda:
Com base no ciclo trigonométrico, determine quantas e quais são as soluções dessa equa-ção, no intervalo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
37
FÍSICAMATEMÁTICA
Para o intervalo ]– , + [, quantas soluções tem essa equação?
Escreva o conjunto-solução dessa equação para o intervalo ]– , + [.
e) Determine o conjunto-solução da equação cos x = – 12
no intervalo [0°, 360°].
f) Sendo tg x = tg a, dada a equação tg x = 3, responda:
Com base no ciclo trigonométrico, determine quantas e quais são as soluções dessa equação, no intervalo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).
Para o intervalo ]– , + [, quantas soluções tem essa equação?
Escreva o conjunto-solução dessa equação para o intervalo ]– , + [.
Trigonometria II38
1. Escreva o conjunto-solução das seguintes equações, para x R:
a) sen x = sen 60°
b) cos x = 22
c) tg x = tg 65
d) cossec x = cossec 25
2. Determine o conjunto-solução das equações:
a) sen x = – 2
2, para x
b) tg x = 1, para x [0, 2
c) sec x = 2, para x [0, 2
d) cos 2x = 3
2, para x
3. Determine o conjunto-solução das seguintes equações:
a) x 360°
b)
4. (UEL – PR) O conjunto-solução da equação sen x = sen 2x no universo U = [0, 2
a) 0, 3
, 23
, , 2
b) 0, 3
, , 53
,2
c) 0, 3
, 2
, , 2
d) 0, 4
, 3
, 2
e) 0, 3
, , 2
5. (UTFPR) O valor de x para que
tg 3x2
+ = – 3, é:
a) –29
+ 2k3
, k Z
b) –23
+ 2k9
, k Z
c) 23
+ k9
, k Z
d) 32
+ k , k Z
6. (UFSCAR – SP) O conjunto-solução da equação
sen 89
+ 827
+ 881
... = cos x, com
x [0, 2 [, é:
a) 23
, 43
b) 56
, 76
c) 34
, 54
d) 6
, 116
e) 3
, 53
7. (FGV – SP) A soma das raízes da equação sen² x – sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2 , é:
a) 72
b) 92
c) 52
d) 3
e) 32
Desafio
8. (FUVEST – SP) Um arco x está no terceiro qua-drante do círculo trigonométrico e verifica a
os valores de sen x e cos x.
9. Dada a equação sen4 x – cos4 x = 14
, deter-
x está no
Ensino Médio | Modular
FÍSICA
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FÍSICAMATEMÁTICA
1. Determine tg 105°.
2. Determine o valor de cos (x – 90°), sabendo que sen x = 0,6.
3. (UNICAMP – SP) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura:
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação , tal que cos( ) = 0,99 . Su-ponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na segunda figura. Com base nos dados da figura e sabendo que a mede 22 cm, calcule o compri-mento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
4. Se cos
2 + x + cos ( – x) + cos (2 – x)
sen 32
+ x – cos 2
– x + sen (2 + x) = 1,
então qual o valor de tg x no 1.º quadrante?
5. (UFG – GO) A figura abaixo representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m:
Nessas condições,
a) expresse a área da quadra em função do ângulo θ.b) determine as dimensões da quadra que possui
área máxima.
6. (CEFET – RJ) O maior valor possível da expressão (sen 3x + cos 3x)2 é:
a) 0
b) 1
c) 32
d) 2
7. (UNIR) Seja A = sen 20°sen 10°
+ cos 20°cos 10°
,
então 1A
é igual a:
a) sec 20o
b) cos 20o
c) tg 20o
d) sen 20o
e) cossec 20o
8. (UFSC) Na figura a seguir, determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6:
9. Determine a solução da equação
≤ x ≤ 90º.
10. Determine o conjunto-solução da equação
Trigonometria II40