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8/3/2019 solucion practico 3
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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005
Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -1 - H. Roche
Ej. (3.10)
1. Resolver Grficamente
3x1+x2=6 si x1=0, x2=6 o x1=2, x2=0x1-x2=2 si x1=0, x2= -2 o x1=2, x2=0
FO 2x1+x2=2x1=0, x2=2
x1=1, x2=0
SOLUCIN PTIMA x*1=1, x*2=3, z
*=5
Solucin del Prctico 3
Ejercicios Domiciliarios
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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005
Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -2 - H. Roche
2. Tableaux del Simplex
La solucin ptima es :x*1=1x*2= 3z*=5
Ej. (3.11)
5 Productos P1, P2, P3, P4, P52 reas de Trabajo A1, A2
P1 P2 P3 P4 P5A1 p11 p12 p13 p14 p15 aA2 p21 p22 p23 p24 p25 b
Ganancia S1 S2 S3 S4 S5
1. Formular PL
xi= cantidad producida de cada producto
Max Z= x1S1+x2S2+x3S3+x4S4+x5S5s.r.
x1p11+x2 p12+x3 p13+x4 p14+x5 p15 a
x1p21+x2 p22+x3 p23+x4 p24+x5 p25 b
VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 s1 s2 s3 LD
0 1 -2 -1 0 0 0 0s1 1 0 3 1 1 0 0 6 6/3=2s2 2 0 1 -1 0 1 0 2 2/1=2s3 3 0 0 1 0 0 1 3 3/0=no existe
0 1 0 -1/3 2/3 0 0 4x1 1 0 1 1/3 1/3 0 0 2 2/(1/3)=6s2 2 0 0 -4/3 -1/3 1 0 0 0/(-4/3)=0s3 3 0 0 1 0 0 1 3 3/1=3
0 1 0 0 2/3 0 1/3 5x1 1 0 1 0 1/3 0 -1/3 1s2 2 0 0 0 -1/3 1 4/3 4x2 3 0 0 1 0 0 1 3
empate, elijoarbitrariamente
Le sumo s1multiplicado por
2/3
Divido S1
entre 3
Le sumo S3
multiplicado 1/3
Divido S3
entre 1
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -3 - H. Roche
2. Tengo 5 variables y 2 restricciones
5variables-2restricciones = 3 grados de libertad
entonces por lo menos 2 variablessern positivas y 3 o ms sern cero
Conclusin: no voy a poder producir los 5 productos,a lo sumo voy a producir 2 (#restricciones)
Ej. (3.12)
i)
VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 s1 s2 LD
0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 0 0,4 -0,2 1 -0,2 3
x1 2 0 1 0,6 1,2 0 0,2 3
Si bien no tenemos ningn coef. Negativo, por locual se detuvo la iteracin, si tenemos que uncoef. de la FO es cero (x2) y no es variable bsica(si lo son x1 y s1).
SOLUCIONESPTIMAS
ALTERNATIVAS
Entonces tenemos
Solucin ptima:x*1=3
x*2=0x*3=0z* =15
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -4 - H. Roche
ii)
Mi solucin ptima ser la combinacin lineal de los dos puntos encontrados
w1(3,0,0,3,0)+w2(0,5,0,1,0)
Ej. (3.13)
(a)
Forma Standard Ampliada
mx. z - 2x1 - 3x2 - 0x3 - 0x4 = 0
s.r. 4x1 + 8x2 +1x3 = 16
5x1 + 2x2 +1x4 = 6
x1, x2 0
VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 s1 s2 LD
0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 0 0,4 -0,2 1 -0,2 3 3/0,4=7,5x1 2 0 1 0,6 1,2 0 0,2 3 3/0,6=5
0 1 0 0 5 0 1 15s1 1 0 -2/3 0 1 1 -1/3 1x2 2 0 5/3 1 2 0 1/3 5
Solucin ptima:x*1=0x*2=5x*3=0z* =15
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -5 - H. Roche
La solucin ptima es: x1*
= 1/2x2
* = 7/4
z* = 25/4
(b)
Forma Standard Ampliada
mx. z - 2x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 = 0
s.r. 4x1 + 8x2 +1x3 = 16
2x1 + 2x2 +1x4 = 6
x1, x2
0
var bs. z x1 x2 x3 x4 l.d.
z 1 -2 -3 0 0 0
x3 0 4 8 1 0 16 16/8 = 2
x4 0 5 2 0 1 6 6/2 = 3
z 1 - 1/2 0 3/8 0 6
x2 0 1/2 1 1/8 0 2 2/1/2 = 4
x4 0 4 0 - 1/4 1 2 2/4 = 1/2
z 1 0 0 11/32 1/8 25/4
x2 0 0 1 5/32 - 1/8 7/4
x1 0 1 0 -1/16 1/4 1/2
12
1
2
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -6 - H. Roche
Conjunto de soluciones ptimas:
w1 x (x1 =2; x2 =1) + w2 x (x1 =3; x2 =0) z* = 6
Ej. (3.14)
(a)
var bs. z x1 x2 x3 x4 l.d.
z 1 -2 -2 0 0 0
x3 0 4 8 1 0 16 16/8 = 2
x4 0 2 2 0 1 6 6/2 = 3
z 1 -1 0 1/4 0 4
x2 0 1/2 1 1/8 0 2 2/1/2 = 4
x4 0 1 0 - 1/4 1 2 2/1 = 2
z 1 0 0 0 1 6
x2 0 0 1 1/4 -1/2 1 1/1/4 = 4
x1 0 1 0 -1/4 1 2 2/-1/4 = -8
z 1 0 0 0 1 6
x3 0 0 4 1 -2 4
x1 0 1 1 0 1/2 3
12
1
2
3
3
var bs. n ec. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 l.d.
z (0) 1 0 0 1 1
x2 (1) 0 1 0 1 -1
x4 (2) 0 0 1 -1 2
porque son variables bsicas
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -7 - H. Roche
A = b = c =
B-1 = cB = B =
Calculo:
b* = z* = 9 B-1A = cB B-1A c =
y con estos datos completo el cuadro:
Nota: los valores de las columnas x2 y x4 ya los conocamos pero los verificamos con el clculo de lasmatrices.
F.E.V. -
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 3
(b)Ecuaciones de definicin para la solucin FEV ptima:
(1)x1 = 0
(2)4x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5
(3)x3 = 0(4)3x1 + x2 + 2x3 +x4 = 4
4 2 1 1
3 1 2 1
5
4
4 3 1 2
1 -1
-1 2
3 2 2 1
1 1
13
1 1 -1 02 0 3 1
3 0 2 0
No estn en la base
var bs. n ec. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 l.d.
z (0) 1 3 0 2 0 1 1 9
x2 (1) 0 1 1 -1 0 1 -1 1
x4 (2) 0 2 0 3 1 -1 2 3
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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005
Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -8 - H. Roche
Ej. (3.15)
(a)
cB B-1A c = c = cB B
-1A -
c = + =
= + =
Los coeficientes de la Funcin Objetivo son: 120, 200, 180, 400
(b)
B-1 = B = 350 x =
A = B.B-1.A = X = = A
-200/7 0 -100/7 0 -200/7 0 -100/7 0
3/7 1 5/7 0
1/70 0 2/35 1200 400 200/7 0 100/7 0
640/7 200 1160/7 400 200/7 0 100/7 0 120 200 180 400
4/35 -1/35
-1/350 9/350
9/350 1/35
1/350 4/35
9 10
1 40
9 10
1 40
3/7 1 5/7 0
1/70 0 2/35 1
4 9 7 10
1 1 3 40
var bs. n ec. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 l.d.
z (0) 1 -120 -200 -180 -400 0 0 0
x5 (1) 0 4 9 7 10 1 0 6000
x6 (2) 0 1 1 3 40 0 1 4000
A I Se Pide c)
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -9 - H. Roche
(c)
mx. z = 120x1 + 200x2 + 180x3 + 400x4
s.r. 4x1 + 9x2 + 7x3 + 10x4 6.000
x1 + x2 + 3x3 + 40x4 4.000
xi 0
(d)
b* = = B-1.b = xx = =
Ej. (3.16)
a) Problema Dual
Min Y = 12 y1 + y2
s.r.y1 + y2 -1 (1)
y1 + y2 -2 (2)
2 y1 - y2 -1 (3)
y1, y2 0
b)Funcin Objetivo
12y1 + y2 = 6
A
B
4/35 -1/35
-1/350 9/350
6.000
4.000
4.000 / 7
600 / 7
A
B
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -10 - H. Roche
Optimo del dual : y1* = 0
y2* = 0
Y* = 0
Primal: Z* = 0
Ej. (3.17)
a) Problema Dual
Min Y = 3 y1 + 5 y2
s.r.y1 2 (1)
y2 6 (2)
y1 + 2 y2 9 (3)
y1, y2 0
b)
Funcin Objetivo:3 y1 + 5 y2 = 15
Optimo del dual: y1* = 2
y2* = 6
Y* = 36
Precios sombra del primal:
y1* = 2
y2* = 6
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Soluciones Prctico 3 -11 - H. Roche
c) Forma standard ampliada
Z - 2 x1 - 6 x2 - 9 x3 = 0
x1 + x3 + x4 = 3
x2 + 2x3 + x5 = 5
VAR.BSICAS #EC Z x1 x2 x3 x4 x5 LD
z 0 1 -2 -6 -9 0 0 0
x4 1 0 1 0 1 1 0 3 3/1 = 3
x5 2 0 0 1 2 0 1 5
5/2
z 0 1 -2-
3/2 0 0 9/2 45/2
x3 1 0 1 0 1 1 0 3
3/1 = 3
x4 2 0 0 1/2 1 0 1/2 5/2 no existe
z 0 1 0 -3/2 2 2 9/2 57/2
x1 1 0 1 0 1 1 0 3 no existe
x4 2 0 0 1/2 1 0 1/2 5/2
(5/2) / (1/2)
z 0
1
0 0 5 2 6 36
x1 1 0 1 0 1 1 0 3
x2 2 0 0 1 2 0 1 5
Se verifica que los precios sombra del problema primal son 2 y 6
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -12 - H. Roche
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Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -13 - H. Roche
Ej. (3.18)
a)
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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005
Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -14 - H. Roche
b) Problema Dual
Min Y = - 2 y1 + 4 y2
s.r.- y1 + 4 y2 1 (1)
y1 + y2 2 (2)
y1, y2 0
c) Funcin Objetivo:- 2 y1 + 4 y2 = 4
Ej. (3.19)
a) Problema Dual
Max Y = y1 + y2
s.r.- 2 y1 + y2 1 (1)
y1 - 2 y2 2 (2)
y1, y2 0
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METODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA ADMINISTRACINAO 2005
Soluciones del Prctico 3PL : Mtodo Simplex y Teora de dualidad
Soluciones Prctico 3 -15 - H. Roche
b) Como en el problema dual la funcin objetivo es no acotada, entonces en el problema primal
no existe solucin factible.