Post on 20-Dec-2015
description
Aturan dan Sifat turunan fungsi aljabar
Soal 1
Petunjuk
Pembahasan
Soal 2
Petunjuk
Pembahasan
Soal 3
Suatu perusahaan menghasilkan x unit barang dengan biaya total sebesar
Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp50,00 untuk setiap unitnya, laba
maksimal yang diperoleh adalah …. Penyelesaian :
Petunjuk
Laba = Total Penjualan – Modal
Pembahasan
Soal 4
Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75.
Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….
Petunjuk
Berikan pemisalan pada bilangan pertama dan bilangan kedua
Pembahasan
Petunjuk
Berikan pemisalan pada bilangan pertama dan bilangan kedua
Pembahasan
Soal 5
Jika f′(x) adalah turunan pertama dari f(x)=(1/2).x4+(2/3).x3−4x+1, maka f ′(x)=....
Petunjuk
Jika y = axn, maka y' = a.n.x
(n - 1).
Pembahasan
Oleh karena turunan pertama dari axn adalah a.n.x
(n - 1), maka
Soal 6
Diketahui f(x) = x6 + 12x
4 + 2x
2 - 6x + 8 dan f'(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f'(1)
adalah ….
Petunjuk
Jika y = axn, maka y' = a.n.x
(n - 1).
Pembahasan
Oleh karena turunan pertama dari axn adalah a.n.x
(n - 1), maka
f'(x) = 6x5 + 48x
3 + 4x - 6, sehingga f'(1) = 6 + 48 + 4 - 6 = 52.
Soal 7
Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t
jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus
Reaksi maksimum tercapai setelah … jam.
Petunjuk
Reaksi maksimum jika
Pembahasan
Soal 8
Jika f(x)=(x−1)/2x, maka nilai dari f'(2) adalah ….
Petunjuk
Misalkan f(x)=u(x)v(x) dan tentukan turunan pertamanya. Selanjutnya, tentukan nilai dari f'(2).
Pembahasan
Jika dimisalkan
u(x) = x - 1 v(x) = 2x
maka f(x)=x−12x=u(x)v(x), sehingga
Dengan demikian, f′(2)=1/(2*(22))=18.
Soal 9
Petunjuk
Pembahasan
Soal 10
Petunjuk
Pembahasan
..............................
Soal 1
Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya
rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal jika perhari produksi ….
Petunjuk
Pembahasan
Biaya produksi misal
Sehingga biaya akan minimum saat
Soal 2
Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya
rupiah. Jika harga per unit adalah Rp500, biaya produksi minimum yang harus dikeluarkan
adalah….
Petunjuk
Pembahasan
Biaya produksi misal p(x). sehingga biaya akan minimum saat p’ (x) = 0 dan p”(x) < 0
Jadi, biaya minimum saat x= 500
Biaya minimum = 500 × Rp500,00 = Rp250.000,00
Soal 3
Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari dengan biaya setiap harinya
juta rupiah. Agar biaya proyek minimum maka proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu
….
Petunjuk
Pembahasan
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam 5 hari.
Soal 4
Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi
Dalamribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ….
Petunjuk
Biaya mencapai minimum saat
Pembahasan
Biayamencapai minimum saat
Soal 5
Suatu fungsi hubungan antara banyaknya pekerja dengan keuntungan perusahaan dinyatakan
oleh f(x) = −2x2 + 240x + 900 dengan x banyaknya pekerja dan f(x) keuntungan perusahaan
dalam satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum perusahaan tercapai ketika banyaknya
pekerja ….
Petunjuk
keuntungan mencapai maksimum saat
Pembahasan
keuntungan mencapai maksimum saat
Soal 6
Biaya produksi x barang dinyatakan dengan fungsi
ribu rupiah. Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut adalah ….
Petunjuk
Biaya minimum pada saat
Pembahasan
Biaya minimum pada saat
maka
Nilai f(x) pada saat x = 50
satuan dalam ribuan rupiah, sehingga biaya minimum adalah:
2000 × Rp1.000,00 = Rp2.000.000,00
Soal 7
Sebuah balon dipompa. Volume balon yang berjari-jari r cm adalah
jika r berubah maka V juga berubah. Laju perubahan V terhadap r pada r = 2 adalah ….
Petunjuk
cari terlebih dahulu
kemudian substitusikan nilai r
Pembahasan
Soal 8
Sebuah bola dilempar keatas setelah t detik akan mencapai ketinggian h meter, dengan
Ketinggian bola pada saat kecepatannya 0 m/det adalah ….
Petunjuk
kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi ketinggian.
Pembahasan
Jadi, kecepatan 0 m/det terjadi pada ketinggian 17 meter.
Soal 9
Suatu persegi panjang dengan panjang (2x + 4)cm dan lebar (4 – x)cm. Agar luas persegi panjang
maksimum, ukuran panjang adalah …
Petunjuk
L akan mencapai maksimum saat L’ = 0
Pembahasan
Misal luas persegi panjang adalah L, maka:
L akan mencapai maksimum saat L’ = 0, maka:
Ukuran panjang p pada saat x = 1
Soal 10
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi
kecepatan tertinggi mobil itu dicapai pada waktu t =
Petunjuk
v(t) merupakan turunan pertama dari s(t)
Pembahasan
.............................................
Soal 1
Fungsi
turun untuk semua x yang memenuhi ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 2
Grafik fungsi
naik pada interval ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 3
Grafik fungsi
naikpada interval ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 4
Kurva
turun pada interval
Kurva tersebut melalui titik (2, -13). Nilai a, b, dan c berturut-turut adalah ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 5
Kurva yang naik pada interval
adalah ….
Petunjuk
Perhatikan intervalnya, jika fungsi naik maka tandanya (>)
Pembahasan
Perhatikan intervalnya
Soal 6
Kurva
selalu naik untuk setiap
Batas-batas
adalah ….
Petunjuk
Pembahasan
Dengan menggunakan garis bilangan maka
yang memenuhi adalah
Jadi,
Soal 7
Grafik fungsi
naik untuk nilai x yang memenuhi ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 8
turundalam interval ….
Petunjuk
Pembahasan
Soal 9
Petunjuk
Pembahasan
Soal 10
f(x)=(x2+3)/(x−1) turun untuk nilai x yang memenuhi ….
Petunjuk
f(x) turun jika f'(x)< 0.
Pembahasan
Jika dimisalkan
u(x) = x2 + 3
v(x) = x - 1
maka f(x)=x2+3x−1=u(x)v(x), sehingga
Oleh karena f(x) turun jika f'(x)< 0, maka
Jadi, f(x)=(x2+3)/(x−1) turun untuk -1 < x < 1 atau 1 < x < 3.
....................................
Soal 1
Garis singgung pada kurva y = x3 – 3x
2 di titik potongnya dengan sumbu x dengan absis positif
mempunyai gradien ….
Petunjuk
gradien merupakan turunan pertama dari fungsi y
Pembahasan
Perpotongan dengan sumbu x, berarti:
Soal 2
Gradien garis singgung pada kurva y = x3 + 4x
2 + 5x +8 di titik (–3, 2) adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
Titik singgung (–3, 2)
m = f’(x₁) f(x) = x
3 + 4x
2 + 5x + 8
f’(x) = 3x2 + 8x + 5
f’(–3) = 3(–3)2 + 8(–3) + 5 = 27 – 24 + 5 = 8
m = 8
Soal 3
Gradien garis singgung pada kurva y = x2 + 4x +1 di titik (2, 13) adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
Titik singgung (2, 13)
Soal 4
Garis l menyinggung kurva
di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
Gradien garis singgung di
Ordinat titik singgung
Persamaan garis singgung di titik (4, 12) dengan gradien
Garis singgung memotong sumbu x maka
Jadi, garis singgung memotong sumbu x di titik (-4,0)
Soal 5
Diketahui kurva dengan persamaan
Garis
menyinggung kurva di titik dengan absis 1. Nilai
adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
Soal 6
Absis titik singgung pada kurva
yang mempunyai gradien 8 adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
Soal 7
Jika garis singgung pada kurva
di titik (1,2) mempunyai gradien 20 maka nilai
masing-masing adalah ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
gradien garis sunggung di titik (1, 2) adalah 20.
Persamaan kurva menjadi:
Kurva melalui titik (1, 2) maka
Soal 8
Grafik
mempunyai garis singgung mendatar pada titik ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Pembahasan
garis singgung mendatar (sejajar sumbu x) maka m = 0
Jadi, titik singgungnya (1, -1).
Soal 9
Persamaan garis singgung pada kurva
di titik (2, 12) adalah …
Petunjuk
Tentukan terlebih dahulu gradiennya kemudian susun persamaan garis singgungnya.
Pembahasan
kurva melalui titik (2, 12)
persamaan garis singgungnya
Soal 10
Garis yang sejajar dengan garis g: 4x + y + 3 = 0 menyinggung kurva y = -x2 di titik ….
Petunjuk
gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.
Gradien dua garis yang sejajar adalah sama.
Pembahasan
Garis
mempunyai gradien m₁ = −4
Kurva y = −x2 mempunyai gradien garis singgung m₂ = y = −2x
Garis sejajar garis singgung kurva maka m₂ = m₁
−2x = −4
x = 2
untuk x = 2 maka y = −22 = −4
Persamaan garis singgung tersebut menyingung di titik (2, -4)
mempunyai gradien m₁ = −4
........................................
Soal 1
Persamaan garis singgung kurva y = x2 + 4x + 1 di titik (2,13) adalah ….
Petunjuk
Tentukan nilai gradien garis singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis
singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :
Pembahasan
Turunan pertama kurva y = x2 + 4x + 1 adalah y' = 2x + 4.
Gradien garis singgung kurva y = x2 + 4x + 1 di titik (2,13) adalah
Persamaan garis singgung kurva di titik (x1 , y1) = (2,13) adalah
Soal 2
Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 4x
2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah ….
Petunjuk
Tentukan nilai gradien garis singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis
singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :
Pembahasan
Turunan pertama kurva y = x3 + 4x
2 + 5x + 8 adalah y' = 3x
2 + 8x + 5.
Gradien garis singgung kurva di titik (-3 , 2) adalah
Persamaan garis singgung kurva di titik (x1 , y1) = (-3 , 2) adalah
Soal 3
Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x - 12 di titik (2,12) adalah ….
Petunjuk
Tentukan nilai gradien garis singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis
singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :
Pembahasan
Turunan pertama kurva y = 5x2 + 2x - 12 adalah y' = 10x + 2.
Gradien garis singgung kurva di titik (2,12) adalah
m = y' |x = 2 = 10(2) + 2 = 22
Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x - 12 di titik (x1 , y1) = (2 ,12) dengan gradien m =
22 adalah
Soal 4
Gradien garis singgung kurva y = x3 – 6x
2 di titik potongnya dengan sumbu X yang absisnya
positif adalah ….
Petunjuk
Kurva y = x3 – 6x
2 akan memotong sumbu X jika y = 0.
Pembahasan
Kurva y = x3 – 6x
2 akan memotong sumbu X jika y = 0.
Oleh karena absis titik potong kurva dengan sumbu X bernilai positif (x > 0) , maka absis titik
potong yang dimaksud adalah x = 6. Dengan kata lain, titik singgung kurva adalah (6,0).
Turunan pertama kurva y = x3 - 6x
2 adalah y' = 3x
2 - 12x.
Gradien garis singgung kurva y = x3 - 6x
2 di titik (6,0) adalah
m = y' |x = 6 = 3(62) - 12(6) = 36
Soal 5
Garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax
2 + b di titik dengan absis 1. Nilai a adalah
….
Petunjuk
Oleh karena garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax
2 + b maka garis y = -4x – 2
adalah garis singgung kurva y = 2x3 + 2ax
2 + b.
Pembahasan
Oleh karena garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax
2 + b maka garis y = -4x – 2
adalah garis singgung kurva.
Dengan demikian, gradien garis singgung kurva sama dengan gradien garis y = -4x – 2, yaitu m
= -4.
Turunan pertama kurva y = 2x3 + 2ax
2 + b adalah y' = 6x
2 + 4ax.
Oleh karena absis titik singgung kurva adalah x = 1, maka
Soal 6
Garis singgung kurva y = x2 + 4x + 8 mempunyai gradien 8 di titik yang mempunyai absis ….
Petunjuk
Jika dimisalkan titik singgung kurva y adalah (a,b), maka gradien garis singgung kurva adalah
Pembahasan
Turunan pertama kurva y = x2 + 4x + 8 adalah y' = 2x + 4.
Jika dimisalkan titik singgung kurva adalah (a,b), maka
Dengan demikian, garis singgung kurva y = x2 + 4x + 8 mempunyai gradien 8 di titik yang
mempunyai absis 2.
Soal 7
Jika garis singgung kurva y = ax2 + b di titik (4,1) mempunyai gradien 8, maka nilai dari 16a dan
2b berturut-turut adalah ….
Petunjuk
Jika gradien garis singgung kurva y di titik (p,q) adalah r, maka r = y' |x = p
Titik (p,q) berarti bahwa x = p dan y = q
Pembahasan
Turunan pertama kurva y = ax2 + bx adalah y' = 2ax + b.
Oleh karena gradien garis singgung kurva di titik (4,1) adalah 8, maka
Selanjutnya, karena titik singgung kurva adalah (4,1), maka untuk x = 4 diperoleh y = 1.
Jika persamaan (1) dan (2) kita eliminasi, maka diperoleh a = 31/16 dan b = -15/2.
Jadi, 16a = 31 dan 2b = -15.
Soal 8
Grafik y = x3 – 3x
2 + 3x – 2 mempunyai garis singgung mendatar pada titik ….
Petunjuk
Jika garis singgung kurva bentuknya mendatar (sejajar sumbu X), maka m = y' = 0.
Pembahasan
Oleh karena garis singgung kurva bentuknya mendatar (sejajar sumbu X), maka m = y' = 0.
Dengan demikian,
Jadi, titik singgung kurva adalah (1, -1).
Soal 9
Garis g menyinggung kurva y = 6√x di titik yang berabsis 4. Titik potong garis g dengan sumbu
X adalah ….
Petunjuk
Garis singgung ax + by + c = 0 akan memotong sumbu X jika y = 0.
Pembahasan
Gradien garis singgung di titik berabsis 4 adalah
Oleh karena absis titik singgung adalah 4, maka ordinat titik singgung adalah 6√4 = 12. Dengan
kata lain, titik singgung kurva adalah (4,12).
Persamaan garis singgung di titik (4,12) dengan gradien 3/2 adalah
Garis singgung 2y - 3x = 12 akan memotong sumbu X jika y = 0
2.0 – 3x = 12
<=> 0 - 3x = 12
<=> -3x = 12
<=> x = -4
Jadi, garis singgung kurva akan memotong sumbu X di titik (-4,0).
Soal 10
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = -x2 dan sejajar dengan garis 4x + y + 3 = 0 adalah
….
Petunjuk
Tentukan nilai gradien garis singgungnya dan titik singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :
Pembahasan
Garis 4x + y + 3 = 0 mempunyai gradien m1 = -4.
Oleh karena garis singgung kurva y = -x2 sejajar dengan garis 4x + y + 3 = 0 maka gradien garis
singgung kurva adalah m = m1 = -4.
Jika dimisalkan titik singgung kurva adalah (a,b), maka gradien garis singgung kurva adalah
m = y' |x = a
<=> -4 = -2a
<=> a = 2
Selanjutnya, karena a = 2 maka b = -22 = -4.
Dengan demikian, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah persamaan garis melalui titik
(2 , -4) dengan gradien -4.
.................................................
Soal 1
Persamaan garis normal pada kurva y = x3 + 4x
2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah ….
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung
Pembahasan
Titik singgung (–3, 2) sebagai (x₁,y₁)
Persamaan garis nomalnya adalah
Soal 2
Persamaan garis normal pada kurva
di titik (2,13) adalah ….
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.
Pembahasan
Titik singgung (2, 13) …………….(x₁,y₁)
Persamaan garis nomalnya adalah
Soal 3
Garis normal pada kurva
di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien …..
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.
Pembahasan
Perpotongan dengan sumbu x, berarti:
Gradien garis nomalnya adalah
Soal 4
Diketahui kurva dengan persamaan
Garis
merupakan garis normal kurva di titik dengan absis 1.
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.
Pembahasan
y=x3+2ax2+by'=3x2+4axGaris g: y = −9x – 2m = y'(1) =3(1)2+ 4a(1)=3+4a
Gradien garis singgungnya adalah
Soal 5
Garis normal pada kurva
mempunyai gradien 8 di titik dengan absis ….
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.
Pembahasan
Soal 6
Jika garis singgung pada kurva
di titik (1,2) mempunyai gradien 20 maka nilai
masing-masing adalah….
Pembahasan
gradien garis singgung di titik (1, 2) adalah 20.
Persamaan kurva menjadi:
Kurva melalui titik (1, 2) maka
Soal 7
Grafik
mempunyai garis normal mendatar pada titik ….
Pembahasan
garis singgung mendatar (sejajar sumbu X) maka m=0. sehingga gradien garis normal juga 0.
Soal 8
Persamaan garis normal pada kurva
di titik (1, 3) adalah ….
Petunjuk
garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.
Pembahasan
Soal 9
Persamaan garis normal pada kurva
di titik (2, 12) adalah ….
Pembahasan
kurva melalui titik
Persamaan garis singgung melalui titik (2, 12) dengan gradien m= 12 adalah:
Persamaan garis nomalnya adalah
Soal 10
Diketahui sebuah garis menyinggung kurva
dan sejajar dengan garis
, persamaan garis normalnya adalah ….
Pembahasan
Persamaan garis singgung yang melalui (2, -4) dan bergradien -4:
Jadi, persamaan garis singgung kurva
Persamaan garis nomalnya adalah