Sistemas de equações do 1º grau

com duas incógnitas

Método Gráfico

Sistemas de equações do 1º grau

com duas incógnitas

Considere a seguinte situação:

Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer

ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes.

Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma

diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um?

Representemos por x o total de pontos de Fábio e por y os pontos de João. Os números

x e y são naturais.

1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6.

Podemos indicar essa informação por x + y = 6

Pontos

Fábio x 0 1 2 3 4 5 6

João y 6 5 4 3 2 1 0

Par (x, y) (0, 6) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (6, 0)

A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:

(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)

2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4.

Podemos indicar essa informação por x - y = 4

Pontos

Fábio x 4 5 6 7 8 9 10

João y 0 1 2 3 4 5 6

Par (x, y) (4, 0) (5, 1) (6, 2) (7, 3) (8, 4) (9, 5) (10, 6)

A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:

(4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)

A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1).

Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto.

X + Y = 6

X – Y = 4

As equações representadas constituem

um exemplo de sistemas de equações do

1º grau com duas incógnitas.

O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as

duas equações, é a solução do sistema.

Método da Substituição

Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir

a expressão encontrada na outra equação.

Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição.

X + Y = 5

X – Y = 3

Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar

a incógnita X.

X = 5 – Y

Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos:

(5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1

Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4.

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)

Exercício de Fixação

Resolva estes sistemas pelo método da substituição:

Método da Adição

Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro

as equações de modo a anular uma das incógnitas.

Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição.

X + Y = 8

X – Y = 6

Para resolvê-lo,

vamos adicionar

membro a membro

as duas equações.

Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)

X + Y = 8

X – Y = 6

2X = 14, logo X = 7

Exercício de Fixação

Resolva estes sistemas pelo método da adição:

Método da Comparação

Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de

uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da

mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das

equações.

Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação.

X + Y = 10

X + 3Y = 14

Iremos isolar a

incógnita x em

ambas as equações.

Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

X = 10 - Y

X = 14 – 3Y

10 – y = 14 – 3 Y,

logo Y = 2

Exercício de Fixação

Resolva estes sistemas pelo método da comparação:

X + Y = 5

X – Y = 1

X + Y = 20

X – 3Y = -12

Y = 3X + 2

2X – Y = -4

(3, 2) (12, 8) (2, 8)

Estas balanças estão equilibradas

a) Chame de x a massa da

pêra e de y a massa da

maçã. Determine o sistema

de equações

correspondente a essa

situação.

b) Resolva o sistema

c) Quantos gramas têm a pêra

e a maçã?