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Series de Fourier. 1
Curso de Titulación
Modelado y Análisis de Sistemas Eléctricos bajoCondiciones de Operación no Senoidales
Facultad de Ingeniería EléctricaUniversidad Michoacanade San Nicolás de Hidalgo
Febrero de 2003
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Series de Fourier. 2
Series de FourierContenido
1. Funciones Periódicas2. Serie trigonométrica de Fourier
3. Componente de directa, fundamental y armónicos
4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier6. Simetrías en señales periódicas
7. Fenómeno de Gibbs
8. Forma Compleja de las Series de Fourier
9. Espectros de frecuencia discreta10. Potencia y Teorema de Parseval
11. De la serie a la Transformada de Fourier.
12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT
13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales
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Series de Fourier. 3
Preámbulo
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la“Théorie analyitique de la chaleur” para tratar lasolución de problemas de valores en la frontera en laconducción del calor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de estateoría son muy bastas: Sistemas Lineales,Comunicaciones, Física moderna, Electrónica,
Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entremuchas otras.
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Series de Fourier. 4
Funciones Periódicas
Una Función Periódica f(t) cumple la siguientepropiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo
anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...
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Series de Fourier. 5
Funciones Periódicas
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2k p)=cos(x) para cualquier entero k,entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k 1p, T/4=2k 2pEs decir,
T = 6k 1p = 8k 2pDonde k 1 y k 2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k 1=4, k 2=3, esdecir,T=24p
)?cos()cos(f(t)4t
3t
)cos()cos(T)f(t4Tt
3Tt )cos()cos(f(t)
4t
3t
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Series de Fourier. 6
Funciones Periódicas
Gráfica de la función
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f ( t )
24p
T
)cos()cos(f(t)4
t
3
t
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Series de Fourier. 7
Funciones Periódicas
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno
y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).Para que sea periódica se requiere encontrar dos enterosm, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
Es decir, la relación w1 / w2 debe ser un número racional.
n
m
2
1 ww
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Series de Fourier. 8
Funciones Periódicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica,
ya que no es un número racional.p
ww
33
2
1
0 5 10 15 20 25 30 -2
-1
0
1
2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f ( t )
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Funciones Periódicas
Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes
funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t)= sen2
(2pt)3) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5) f(t)= sen(2 t)
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Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0
+ a1
cos(w0
t)+a2
cos(2w0
t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p /T.
Es decir,
])tn(senb)tncos(a[a)t(f 1n
0n0n021 ww
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Serie Trigonométrica de Fourier
Es posible escribir de una manera ligeramentediferente la Serie de Fourier, si observamos queel término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puedeescribir como
Podemos encontrar una manera más compactapara expresar estos coeficientes pensando en untriángulo rectángulo:
w
w
)tn(senba
b)tncos(
ba
aba 02
n2n
n02
n2n
n2n
2n
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Serie Trigonométrica de Fourier
Con lo cual la expresión queda
n2
n
2
n
n
n2n
2n
n
senba
b
cosba
a
an
bn
2
n
2
nnbaC
n
)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww
)tncos(C n0n w
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Serie Trigonométrica de Fourier
Si además definimos C0
=a0
/2, la serie de Fourier
se puede escribir como
Así,
y
w1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2
n
2
nnbaC
n
n1n
a
btan
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Serie Trigonométrica de Fourier
Tarea:
Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y
n, de manera que la serie de Fourier se pueda
escribir como
w1n
n0n0 )tn(senCC)t(f
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Componentes y armónicas
Así, una función periódica f(t) se puede escribircomo la suma de componentes sinusoidales dediferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:
Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la
componente fundamental y su periodo es elmismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf 0=2p /T se le llama frecuencia
angular fundamental .
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Componentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero C0
, se le
llama componente de corriente directa (cd) y
corresponde al valor promedio de f(t) en cada
periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos n son
respectiva-mente las amplitudes y los ángulos
de fase de las armónicas.
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Componentes y armónicas
Ejemplo: La función
Como ya se mostró tiene un periodo T=24p, por lo tanto
su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental es de la forma:
0*cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12)=cos(t/4)
Cuarto armónico:Cos(4t/12)=cos(t/3)
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f ( t )
24p
)cos()cos(f(t)4
t
3
t
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Componentes y armónicas
Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene
tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su
componente de cd es cero, en cambio
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f ( t )
24p
)cos()cos(1f(t)4t
3t
Tiene tantas partes
arriba como abajo
de 1 por lo tanto,
su componente decd es 1.
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Componentes y armónicas
Tarea: ¿Cuál es la componente fundamental, las
armónicas distintas de cero y la componente de
directa de
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Justifícalo además mostrando la gráfica de las
funciones y marcando en ellas el periodo
fundamental y la componente de cd.
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Se dice que un conjunto de funciones f k
(t) son
ortogonales en el intervalo a<t<b si dos
funciones cualesquiera f m(t), f n(t) de dicho
conjunto cumplen
nmparar
nmpara0dt(t)(t)f f
n
b
anm
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo – 1< t <1, ya que
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en
el intervalo – p / 2< t <p / 2, ya que
04
tdttdttt
1
141
1
31
1
2
02
tsensentcostdt
2
p
pp
p
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Tarea:
Dar un ejemplo de un par de funciones que sean
ortogonales en el intervalo:
a) 0<t<1b) 0<t<p
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de
funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidadde funciones ortogonales en el intervalo -T / 2<t< T / 2.
1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...
(para cualquier valor de w0
=2p / T
).
Para verificar lo anterior podemos probar por pares:
1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):
Ya que m es un entero.
0m
)(msen2
m
T/2)(msen2
m
t)(msent)dtcos(m
00
0
2 / T
2 / T
0
02 / T
2 / T0
wp
ww
ww w
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Ortogonalidad de senos y cosenos
2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):
3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):
0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m
1
m
t)(mcost)dtsen(m
00
0
2 / T
2 / T
0
02 / T
2 / T0
www
w
w w
ww
0nmpara2 / Tnmpara0t)dtt)cos(ncos(m2 / T
2 / T00
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Ortogonalidad de senos y cosenos
4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):
5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):
n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2 / T
2 / T00 ww
ww
0nmpara2 / T
nmpara0t)dtt)sen(nsen(m
2 / T
2 / T00
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5,
son útiles las siguientes identidadestrigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
Además:sen2 = ½ (1-cos2)
cos2 = ½ (1+cos2)
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemoscomo calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando laortogonalidad de las funciones seno y cosenocomentada anteriormente.
])tn(senb)tncos(a[a)t(f 1n
0n0n021 ww
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
Multiplicando ambos miembros por cos(nw0
t) e
integrando de – T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) eintegrando de – T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, integrando de – T/2 a T/2,
obtenemos:
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(f a2 / T
2 / T0T
2n w
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(f b2 / T
2 / T
0T2
n w
2 / T
2 / TT2
0 dt)t(f a
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
El intervalo de integración no necesita ser
simétrico respecto al origen.
Como la ortogonalidad de las funciones seno ycoseno no sólo se da en el intervalo de – T/2 a
T/2, sino en cualquier intervalo que cubra unperiodo completo:
(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)
las fórmulas anteriores pueden calcularse encualquier intervalo que cumpla este requisito.
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la
siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en – T / 2<t<T / 2 es
1f(t)
t. . . -T / 2 0
T / 2 T . . .
-1
2T
2T
t0para1
0tpara1)t(f
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes an
:
w
2 / T
2 / T 0T
2
ndt)tncos()t(f a
w w
2 / T
0
0
0
2 / T
0T2 dt)tncos(dt)tncos(
w
ww
w
0
2 / T
0
02 / T
0
0
0T2 )tn(sen
n
1)tn(sen
n
1
0npara0
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Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficiente a0
:
2 / T
2 / TT
2
0dt)t(f a
2 / T
0
0
2 / T
T2 dtdt
0
2 / T
2 / T
0
T2 tt
0
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Series de Fourier. 33
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes bn:
w
2 / T
2 / T 0T
2
n dt)tn(sen)t(f b
w w
2 / T
00
0
2 / T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
w
ww
w
0
2 / T
0
02 / T
0
0
0T2 )tncos(
n
1)tncos(
n
1
)1)n(cos())ncos(1(n1 ppp
0npara))1(1n
2 n p
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Series de Fourier. 34
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier
queda como
En la siguiente figura se muestran: lacomponente fundamental y los armónicos 3, 5 y
7 así como la suma parcial de estos primeroscuatro términos de la serie para w0=p, es decir,T=2:
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0 www
p
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Series de Fourier. 35
Cálculo de los coeficientes de la Serie
-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Componentes de la Serie de Fourier
t
C o m p o n e n
t e s
Suma fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
Cál l d l fi i d l S i
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Series de Fourier. 36
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Tarea: Encontrar la serie de Fourier para la
siguiente señal senoidal rectificada de media
onda de periodo 2p.
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f ( t )
F i P I
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Series de Fourier. 37
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par
(o con simetría par) si su gráfica es simétrica
respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es
par si f(t) = f(-t)
p 2p
f(t)
tp2p
F i P I
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Series de Fourier. 38
Funciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se dice
función impar o con simetría impar, si su gráfica
es simétrica respecto al origen, es decir, si
cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
p 2p
f(t)
tp2p
F i P I
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Series de Fourier. 39
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o
impares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1),
Solución:
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) esfunción impar.
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lotanto g(t) es función par.
F i P I
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Series de Fourier. 40
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o
impar?, donde f es una función arbitraria.
Solución:
Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),
Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es
función par, sin importar como sea f(t).
F i P I
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Series de Fourier. 41
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas
las siguientes funciones son pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2)+1
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2
etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
F i P I
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Series de Fourier. 42
Funciones Pares e Impares
Como la función sen(nw0t) es una función impar
para todo n0 y la función cos(nw0t) es unafunción par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrátérminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
•
Si f(t) es impar, su serie de Fourier nocontendrá términos coseno, por lo tanto an= 0para todo n
F i P I
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Series de Fourier. 43
Funciones Pares e Impares
Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en
un ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie de
Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T / 2 0
T / 2 T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0 wwwp
Si t í d M di O d
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Series de Fourier. 44
Simetría de Media Onda
Una función periodica de periodo T se dice
simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son
un reflejo de las positivas pero desplazadas
medio periodo:
)t(f )Tt(f 21
f(t)
t
Si t í d C t d O d
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Series de Fourier. 45
Simetría de Cuarto de Onda
Si una función tiene simetría de media onda y
además es función par o impar, se dice que tienesimetría de cuarto de onda par o impar
Ejemplo: Función con simetría impar de cuartode onda:
f(t)
t
Si t í d C t d O d
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Series de Fourier. 46
Simetría de Cuarto de Onda
Ejemplo: Función con simetría par de cuarto de
onda:
f(t)
t
Simetría de C arto de Onda
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Series de Fourier. 47
Simetría de Cuarto de Onda
Tarea: ¿Qué tipo de simetría tiene la siguiente
señal de voltaje producida por un triac
controlado por fase?
f(t)
t
Simetrías y Coeficientes de Fourier
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Series de Fourier. 48
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría Coeficientes Funcionesen la serie
NingunaSenos y
cosenos
Par bn=0 únicamentecosenos
Impar an=0únicamente
senos
media
onda
Senos ycosenos
impares
w2 /
0
04 )cos()(T
Tn dttntfa
w2 /
0
04 )()(
T
Tn dttnsentfb
w
imparndttntf
parna
T
Tn
2 /
0
04 )cos()(
0
w
imparndttnsentf
parnb
T
Tn
2 /
0
04 )()(
0
w2 /
2 /
02 )cos()(
T
T
Tn dttntfa
w2 /
2 /
02 )()(
T
T
Tn dttnsentfb
Simetrías y Coeficientes de Fourier
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Series de Fourier. 49
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría CoeficientesFunciones
en la serie
NingunaSenos y
cosenos
¼ de
onda par
an=0 (n par)
bn=0
Sólo
cosenos
impares
¼ de
onda
impar
an=0
bn=0 (n par)Sólo
senos
impares
w2 /
2 /
02 )cos()(
T
T
Tn dttntfa
w2 /
2 /
02 )()(
T
T
Tn dttnsentfb
)(
)cos()(
4 /
0
08
imparn
dttntfaT
Tn w
)(
)()(
4 /
0
08
imparn
dttnsentfbT
Tn w
Simetrías y Coeficientes de Fourier
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Series de Fourier. 50
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en
un ejemplo previo:
Es una función con simetría de ¼ de onda impar,por ello su serie de Fourier sólo contienetérminos seno de frecuencia impar:
1f(t)
t
. . . -T / 2 0 T / 2 T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0 wwwp
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 51
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que amedida que agreguemos más armónicos, lasumatoria se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidadesde f(t), en donde el error de la suma finita notiende a cero a medida que agregamosarmónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsosanterior:
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 52
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 53
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 54
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 55
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 56
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 57
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
Fenómeno de Gibbs
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Series de Fourier. 58
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 59
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
función periodica f(t), con periodo T=2p / w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando
las fórmulas de Euler:
Donde
])tn(senb)tncos(a[a)t(f 1n
0n0n021 ww
)ee()tn(sen
)ee()tncos(
t jnt jn
j21
0
t jnt jn
2
1
000
00
ww
ww
w
w
1 j
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 60
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Sustituyendo
Y usando el hecho de que 1/j=-j
Y definiendo:
Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya
que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
])ee(b)ee(a[a)t(f 1n
t jnt jn
j21
n
t jnt jn
21
n021 0000
wwww
]e) jba(e) jba([a)t(f 1n
t jnnn2
1t jnnn2
102
1 00
ww
) jba(c), jba(c,ac nn21
nnn21
n021
0
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 61
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
)ecec(c)t(f 1n
t jn
n
t jn
n000
w
w
w
w 1n
t jn
n
1n
t jn
n000 ececc)t(f
wn
t jn
n0ec)t(f
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 62
Forma Compleja de la Serie de Fourier
A la expresión obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse apartir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, obien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
wT
0
t jn
T1
n dte)t(f c 0
wn
t jn
n0ec)t(f
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 63
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Los coeficientes cn son números complejos, y
también se pueden escribir en forma polar:
Obviamente,
Donde ,
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un número real:
n j
nn ecc
n j
n
*
nn eccc
2
n
2
n21
n bac )a
barctan(
n
nn
021
0 ac
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 64
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la
serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los
coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):an=0 para todo n
y
1f(t)
t. . . -T / 2 0 T / 2 T . . .
-1
ntodopara])1(1[b n
n2
n p
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 65
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Podemos calcular los coeficientes cn de:
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
])1(1[ j] jba[c n
n2
21
nn21
n p
])1(1[ jc n
n1
n p
...)eeeeee(... j)t(f
t5 j
51t3 j
31t j
t jt3 j
3
1t5 j
5
12
000
000
www
www
p
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 66
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Solución 2. También podemos calcular los
coeficientes cn mediante la integral
wT
0
t jn
T1
n dte)t(f c 0
)dtedte(
T
2 / T
t jn
2 / T
0
t jn
T1 00 ww
)ee(2 / T
T
t jn jn
1
0
2 / T
t jn jn
1T1 0
o
0
owwww
)]ee()1e[(2 / T jnT jn2 / T jn
T jn1 000
o
wwww
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 67
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Como w0T=2p y además
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
jsencose j
)])1(1()1)1[(c nn
T jn1
n o w
])1(1[ j
n
Tn
2
o
w
])1(1[ j n
n1 p
Forma Compleja de la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 68
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Tarea: Calcular los coeficientes cn para la
siguiente función de periodo 2p.
a) A partir de los coeficientes an,bn
b) Directamente de la integral
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f ( t )
Espectros de Frecuencia Discreta
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Series de Fourier. 69
Espectros de Frecuencia Discreta
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn
contra la frecuencia angular w de la componentecorrespondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase n de loscoeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la frecuenciaangular w=nw0 es una variable discreta y losespectros mencionados son gráficas discretas.
Espectros de Frecuencia Discreta
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Series de Fourier. 70
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde
una y sólo una serie de Fourier, es decir, lecorresponde un conjunto único de coeficientes
cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en
el dominio de la frecuencia de la misma manera
que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta
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Series de Fourier. 71
spect os de ecue c a sc eta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Se encontró que
Por lo tanto,
1f(t)
t. . . -T / 2 0
T / 2 T . . .
-1
])1(1[ jc n
n1
n p
])1(1[c n
n1
n p
Espectros de Frecuencia Discreta
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Series de Fourier. 72
p
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de w0).
-30 -20 -10 0 10 20 30 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
C n
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
Espectros de Frecuencia Discreta
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Series de Fourier. 73
p
Tarea. Dibujar el espectro de amplitud para la
función senoidal rectificada de ½ onda.
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 74
y
El promedio o valor medio de una señal
cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puedecalcular como la altura de un rectángulo que
tenga la misma área que el área bajo la curva de
f(t)
1f(t)
t
h=Alturapromedio
T
0
dt)t(f Area
T
Area=Th
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 75
y
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica
f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga
resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2
y elpromedio en un periodo será el promedio en
cualquier otro periodo.
2 / T
2 / T
2
T1 dt)]t(f [
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 76
y
El teorema de Parseval nos permite calcular la
integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-plejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
n
2
n
2 / T
2 / T
2
T
1
cdt)]t(f [
1n
2
n
2
n212
041
2 / T
2 / T
2
T1 )ba(adt)]t(f [
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 77
y
Una consecuencia importante del teorema de
Parseval es el siguiente resultado:
El valor cuadrático medio de una funciónperiódica f(t) es igual a la suma de los valorescuadráticos medios de sus armónicos, es decir,
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo yC0 es la componente de directa.
1n
2
n2
0
2 / T
2 / T
2
T1
2
CCdt)]t(f [
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 78
y
Para aclarar el resultado anterior es conveniente
encontrar la relación entre los coeficientescomplejos cn de la serie
Y los coeficientes reales Cn de la serie
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo yC0 es la componente de directa.
wn
t jn
n0ec)t(f
w1n
n0n0)tncos(CC)t(f
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 79
y
Por un lado
Mientras que
Entonces, Por lo tanto,
Además, para el armónicoSu valor rms es , por lo tanto su valorcuadrático medio es
Para la componente de directa C0, su valor rmses C0, por lo tanto su valor cuadrático medioserá C02.
,baC 2
n
2
nn 2
n
2
n21
n bac
n21
n Cc 2
n41
2
n Cc
)tncos(C)t(f n0nn w2 / Cn
2 / C2
n
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 80
y
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de
la función f(t):
Solución.
Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T /
2
0
T / 2
T . . .
-1
n
2
n
2 / T
2 / T
2
T1 cdt)]t(f [
])1(1[c nn1
n p
p
...49
1
25
1
9
11
8c
2n
2
n
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 81
y
La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperarse.
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
cdt)]t(f [2
n
2
n
2 / T
2 / T
2
T1
p
Potencia y Teorema de Parseval
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Series de Fourier. 82
y
Tarea.
Calcular el valor cuadrático medio para la señal
senoidal rectificada de media onda de periodo
2p.
De la Serie a la Transformada de Fourier
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Series de Fourier. 83
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuenciapara funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las seriesde Fourier para obtener el dominio de la
frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periodica de
periodo T
De la Serie a la Transformada de Fourier
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Series de Fourier. 84
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo
T:1
f(t)
t
. . . -T -T / 2 0
T / 2 T . . .
p
-p / 2 p / 2
2T
2
p
2
p
2
p
2
p
2T
t0
t1t0
)t(f
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Series de Fourier. 85
Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier
en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn contra
w=nw0.
)n(
)n(sen)(c
2
p
0
2
p
0T
p
n ww
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Series de Fourier. 86
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c
n
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Series de Fourier. 87
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=2
t
f ( t )
t -20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f ( t )
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f ( t )
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f ( t )
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Series de Fourier. 88
En el límite cuando T, la función deja de ser
periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=
t
f ( t )
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Series de Fourier. 89
-50 0 50 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
p=1, T=5
-50 0 50 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
p=1, T=10
-50 0 50
-0.02
0
0.02
0.04
0.06 p=1, T=20
-50 0 50 -0.2
0
0.2
0.4
0.6 p=1, T=2
w=nw0
c n
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Series de Fourier. 90
Si hace T muy grande (T): El espectro se
vuelve ¡ continuo!
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Series de Fourier. 91
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar
la expresión de una función f(t) no periódica enel dominio de la frecuencia, no como una sumade armónicos de frecuencia nw0, sino como unafunción continua de la frecuencia w.
Así, la serie
Al cambiar la variable discreta nw0 (cuandoT) por la variable continua w, se transformaen una integral de la siguiente manera:
wn
t jn
n0ec)t(f
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Series de Fourier. 92
Como
La serie queda
O bien,
cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoriase convierte en
w
w
n
t jn
2 / T
2 / T
t jn
T1 00 edte)t(f )t(f
w2 / T
2 / T
t jn
T1
n dte)t(f c 0
w
wp w
n
t jn
0
2 / T
2 / T
t jn
21 00 edte)t(f )t(f
w
wp w
dedte)t(f )t(f t jt j
21
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Series de Fourier. 93
Es decir,
Donde
Estas expresiones nos permiten calcular laexpresión F(w) (dominio de la frecuencia) apartir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
wp ww de)(F)t(f t j
21
ww dte)t(f )(F t j
Identidadde Fourier
TransformadaDe Fourier
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Series de Fourier. 94
Notación: A la función F(w) se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota porF , es decir
En forma similar, a la expresión qu enos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama
transformada inversa de Fourier y se denotapor F – 1 ,es decir
wp
www de)(F)t(f )](F[ t j
211
F
ww dte)t(f )(F)]t(f [ t jF
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Series de Fourier. 95
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso
rectangular f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del tiempo
de la función es
-p / 2 0 p / 2
1f(t)
t
t0
t1
t0
)t(f
2
p
2
p
2
p
2p
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Series de Fourier. 96
Integrando
Usando la fórmula de Euler
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido
para cn cuando T , pero multiplicado por T.
w
w
w
2 / p
2 / p
t jt j
dtedte)t(f )(F
2 / p
2 / p
t j
j1 e
ww
)ee( 2 / p j2 / p j j1 www
2 / p
)2 / p(senp)(F
ww
w
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Series de Fourier. 97
En forma Gráfica
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F ( w )
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Series de Fourier. 98
Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de
la función escalón unitario u(t):
Graficar U(w)=F
[u(t)]¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
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Series de Fourier. 99
Cuando la función f(t) está dada por una lista de N
valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la
Transformada de Fourier:
Se convierte en la sumatoria
(Donde k es la frecuencia discreta)
Llamada Transformada Discreta de Fourier
w
w dte)t(f )(F
t j
Nn1para,e)t(f )n(FN
1k
)1k ( j
k N
n2
p
La Transformada Rápida de Fourier
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Series de Fourier. 100
La Transformada Discreta de Fourier (DFT)
requiere el cálculo de N funciones exponencialespara obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo decálculo enorme para N grande.
Se han desarrollado métodos que permitenahorrar cálculos y evaluar de manera rápida laTransformada discreta, a estos métodos se les
llama
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
La FFT y la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 101
Podemos hacer uso de la FFT para calcular los
coeficientes cn y c-n de la Serie compleja deFourier como sigue:
Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p yperiodo T.
1f(t)
t
. . . -T -T / 2 0
T / 2 T . . .
p
-p / 2 p / 2
La FFT y la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 102
La versión muestreada f(k) de f(t) sólo puede
tomar un número finito de puntos. Tomemos porejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el
intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):
0 1 20
0.5
1
1.5 32 muestras de f(t), de 0 a T
k
f ( k )
La FFT y la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 103
Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se
puede hacer lo siguiente:
k=0:31
f=[(k<8)|(k>23)]
Plot(k,f,’o’)
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Series de Fourier. 104
Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante
la FFT, por ejemplo, en Matlab:
F=fft(f)/N;
Con lo que obtenemos 32 valores complejos de
F(n). Estos valores son los coeficientes de la
serie compleja ordenados como sigue:
n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32
F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1
La FFT y la Serie de Fourier
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Series de Fourier. 105
Podemos graficar el espectro de amplitud
reordenando previamente F(n) como sigueaux=F;
F(1:16)=aux(17:32);
F(17:32)=aux(1:16);
F(n) queda:
Y para graficar el espectro de amplitud:stem(abs(F))
Obteniéndose:
n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32
F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15
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Series de Fourier. 106
Si deseamos una escala horizontal en unidadesde frecuencia (rad/seg):
0 10 20 30 0
0.2
0.4
0.6
Para el tren de pulsos p=1,T=2
n
| F ( n )
|
Espectro de Amplitud |F(n)|
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Series de Fourier. 107
w0=2*pi/T;
n=-16:15; w=n*w0;
Stem(w,abs(F))
Obteniendo:
-50 0 50 0
0.2
0.4
0.6
para el tren de pulsos, p=1,T=2
w
| F ( w ) |
Espectro de Amplitud |F(n)|
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Series de Fourier. 108
También podemos obtener los coeficientes de la
forma trigonométrica, recordando que:
Podemos obtener
Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para
n par), además para n impar:
) jba(c), jba(c nn21
nnn21
n
)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00
n 1 3 5 7 9 11 13 15
an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062
bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625
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Series de Fourier. 109
Como el tren de pulsos es una función par, se
esperaba que bn=0; (el resultado obtenido eserróneo para bn, pero el error disminuye para N
grande):
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
Coeficientes bn Coeficientes an
a0
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Series de Fourier. 110
Tarea: Usar el siguiente código para generar 128
puntos de una función periódica con frecuenciafundamental w0=120p (60 hertz) y dos armónicosimpares en el intervalo [0,T]: N=128; w0=120*pi;
T=1/60;t=0:T/(N-1):T;f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);
Usando una función periódica diferente a la subrayada:
a) Graficar la función.b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la señalusando la función FFT
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Series de Fourier. 111
La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo
electrónico digital con la capacidad de cálculo deespectros de frecuencia para señales del mundo
real, por ejemplo:
1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)
2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)
3) Power Platform PP-4300
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El Fluke 123 scope meter
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Tektronix THS720P (osciloscopio digital)
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