Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 Separata Uni
1/14
SEPARATA CURSO DE MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A LAINGENIERÍA
UNI
Profesor: Alfredo Marín Suárez
Docteur Ingénieur en Sciences et Techniques Minières - !tion "éostatistique
alfredo#aringeo$hot#ail%co#
htt!:&&'''%geoestadistica%org%co#
1. INTRODUCCIÓN
(a "eoestadística a!orta una herra#ienta deno#inada )ariogra#a* el cual tienea!licaciones en las ciencias geol+gicas , #lti!les a!licaciones en otras
disci!linas% (a "eoestadística fue desarrollada , !resentada !or "eorge
Matheron en la década de los ./ del siglo 00% 1n efecto la "eoestadística
considera que las 2aria3les regionalizadas están #odeladas en un es!acio de
2aria3les aleatorias reales L2 so3re un es!acio de !ro3a3ilidades
4
8/17/2019 Separata Uni
2/14
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
.%67.%68.%6..%64.%65 88888
8 −+−+−+−+−=σ
77%68 =σ
Representación de la variable regionalizada en el espacio.
1n la que se define la funci+n )ariogra#a:
o
9 una etensi+n del )ariogra#a deno#inado )ariogra#a ;ruzado que relaciona
dos 2aria3les:
1n esta !eque
8/17/2019 Separata Uni
3/14
8/17/2019 Separata Uni
4/14
2.5 A#"a *"#edem# a #n!"u&" l# 6a"'"ama de la 4#na A 0 +
"raficando el 2ariogra#a !ara la zona A%
7
( ) ( ) ( )
( ) ( )5//%7
88
7485?6C
///%486
7.84.5?8
87
88
888
=−+−
=
=−+−+−=
−−−−
x
x
x
γ
?Chγ
h
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ///%@88
458.?6C
..D%686
47857.?8
87
88
888
=−+−
=
=−+−+−
=
−−−−
x
x
x
8/17/2019 Separata Uni
5/14
"raficando el 2ariogra#a !ara la zona E%
C#m# e *uede #)e"(a" el em&76a"'"ama% 3ue m8 #m9nmen!e e le den#m&na
(a"'"ama% da uen!a de la $#na e!"u!u"almen!e d&,e"en!e.
5. MODELOS DE 6ARIOGRAMAS MÁS COMUNES
a? 1fecto de Pe!ita Puro
3? Modelo 1sférico o de Mather+n
5
?Chγ
h
Ch
h
8/17/2019 Separata Uni
6/14
c? Modelo de For#er, o 1!onencial
d? Modelo con efecto GB(1H
e? Modelo "aussiano
.
8/17/2019 Separata Uni
7/14
E de n#!a" 3ue e!# m#del# 0 u #m)&nane n# #n neea"&amen!e l#
9n&#.
:. APLICACIÓN DEL 6ARIOGRAMA CRU4ADO EN EL ESTUDIO DE
CORRELACIONES
:.1 Para 2isualizar esta funci+n* considere#os un e=e#!lo de una zona de terreno
e!lorado del cual he#os o3tenidos 2alores geoquí#icos del ro , Plata , desea#os
estudiar la relaci+n entre los dos 2alores% Para este efecto a!licare#os el 2ariogra#a
cruzado%
Siendo la for#ula:
A!licando:
;u,a gráfica es la siguiente:
[ ][ ] 6?C?C?C?C xRh x Z Z h x Z x Z E h B B B A AB ∀+−+−=γ
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
)( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )//%4
84
5D75?7C
85%588
58746D85?6C
66%486
5@7.6884@D.5?8C
85%I87
56786@8.@8.48D45?4C
=−−
=
=−−+−−
=
=−−+−−+−−
=
=−−+−−+−−+−−
=
x
x
x
x
AuAg
AuAg
AuAg
AuAg
γ
γ
γ
γ
h
?Ch AuAg γ
8/17/2019 Separata Uni
8/14
O)e"(am# 3ue uand# a0 una #""ela&/n *#&!&(a al!a en!"e la (a"&a)le% el
(a"'"ama "u$ad# !&ende a !#ma" (al#"e *#&!&(# al!#.
:.2 Ahora 2ea#os que !asa en otra zona* donde los 2alores geoquí#icos de la Plata
to#an otros 2alores:
A!licando la f+r#ula:
;on su gráfica:
O)e"(am# 3ue uand# a0 una #""ela&/n ne'a!&(a al!a en!"e la (a"&a)le el
(a"'"ama "u$ad# !&ende a !#ma" (al#"e ne'a!&(# al!#.
Al realizar el análisis estadístico descri!ti2o de las líneas de #uestreo de la Jona A , la
Jona E* corres!ondientes a la 2aria3le regionalizada !lo#oK o3tene#os el #is#o
@
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )//%/
84
4475?7
D5%.88
4.745485?6C
66%/86
487.5.8484.5?8C
.%D87
4578588.8..4.445?4C
=−−
=
−=−−+−−
=
=−−+−−+−−
=
−=−−+−−+−−+−−
=
x
x
x
x
AuAg
AuAg
AuAg
AuAg
γ
h
?Ch AuAg γ
8/17/2019 Separata Uni
9/14
resultado estadísticoK es decir* que este análisis estadístico descri!ti2o no nos a,uda a
dar cuenta del as!ecto estructural de estos fen+#enos total#ente diferentes% 1n tanto* al
a!licar la funci+n )ariogra#a 2e#os que sí da cuenta del as!ecto estructural de estos
fen+#enos total#ente diferentes% Por lo que constitu,e una herra#ienta de gran utilidad
en el trata#iento de 2aria3les regionalizadas%
3ser2a#os que cuando ha, una correlaci+n !ositi2a alta entre las 2aria3les
regionalizadas* el 2ariogra#a cruzado tiende a to#ar 2alores !ositi2os altosK #ientras
que* cuando ha, una correlaci+n negati2a alta entre las 2aria3les* el 2ariogra#a cruzado
tiende a to#ar 2alores negati2os altos% Por lo que el 2ariogra#a cruzado se su#a a las
herra#ientas que !er#iten estudiar la correlaci+n entre 2aria3les%
;. TERON
;onsiderando las 2aria3les JCi? que están cerca de un so!orte geo#étrico a
esti#ar , dentro de su aureola de influencia% Aureola definida !or #edio de los
alcances esti#ados a !artir de un estudio de 2ariogra#as%
)isualizare#os el !rocedi#iento a !artir de la siguiente dis!osici+n de las
#uestras con res!ecto a un so!orte geo#étrico )%
?C 44 x z λ
?C 88 x z λ
?C nn x z λ V
8/17/2019 Separata Uni
10/14
Disposición de uestras con respecto a un soporte geo!trico V.
9 desea#os esti#ar la 2aria3le JC? del so!orte geo#étrico ) a !artir de las
#uestras JCi?% 1ntonces necesita#os encontrar los !esos !ara esti#ar la 2aria3le
J2C/?* a !artir de:
1n el e=e#!lo que !resentare#os a continuaci+n considere#os que esta#os en
condiciones de a!licar un Lrigeage ordinario 3a=o la hi!+tesis estacionaria de
orden 8* !or lo que usare#os el siguiente siste#a de ecuaciones%
1ste siste#a resulta de #ini#izar la 2arianza de esti#aci+n su=eta a la condici+n
de uni2ersalidad * que hace que nuestro esti#ador sea insesgado%
1l error co#etido en este !rocedi#iento de esti#aci+n 2iene dado !or la 2arianza
de Lriging de Matheron siguiente:
E?em*l#@
A !artir de los 2alores de la !otencia de un #anto de Be#atita en los !untos A ,
E* se desea esti#ar la !otencia en el !unto ;% ;onsiderando que la !otencia del
#anto tiene el siguiente #odelo de 2ariogra#a%
4/
( ) ( ) ( ) ( )nnV x Z x Z x Z x Z λ λ λ +++= %%%8844/M
( ) ( )∑=
=+n
V vuvv4
**β
α β α β γ γ λ 4=∀α a n
∑=
=n
4
4β
β λ
∑=
=n
4
4β
β λ
( ) ( )V V uV v " "# 48
* γ γ λ σ −+=
( ) =hγ
−
6
6
8
4
8
6
a
h
a
h$
$ ah >∀
[ ]ah */∈∀
a .= % 4=$
8/17/2019 Separata Uni
11/14
1s decir un #odelo de Matheron o ta#3ién deno#inado esférico% A continuaci+n
se #uestra la u3icaci+n de las !otencias , su orden de #agnitud%
Variable regionalizada &otencia en los puntos A % B de un anto de 'eatita
1ntonces tendre#os a !artir del siste#a de ecuaciones anterior* el siguiente
siste#a !articular:
>ee#!lazando:
+
44
8/17/2019 Separata Uni
12/14
I%
II%
III%
>estando CI? N CII? :
Ahora tene#os el siguiente siste#a:
IO%
IIO%
Su#ando CI? Q CII? :
>ee#!lazando en CII? :
1n la !ri#era ecuaci+n inicial:
Des!e=a#os:
48
8/17/2019 Separata Uni
13/14
Pará#etro auiliar que será usado !osterior#ente en la f+r#ula de la 2arianza de
Lriging de Matheron%
Siendo la !otencia esti#ada del #anto igual a:
>ee#!laza#os:
Ahora 2ea#os cuál es el error que se co#ete en esta esti#aci+n* !ara lo cual
!articulariza#os la f+r#ula de la 2arianza de Lriging de Matheron dada
anterior#ente%
>ee#!lazando:
1ste 2alor es el error co#etido en el !roceso de esti#aci+n realizado%
46
8/17/2019 Separata Uni
14/14
REFERENCIAS
- Matheron "% C4.8* 4.6? - Traité de "éostatistique A!!liquée%
1d% Techni!* Paris )(% 4K )(% 8%
- "ui3al D% C48? - Si#ulation de Sché#as Intrinsèques% R-84 1%R%S%M%P%
- ournel A% C4? - "éostatistique Miniere* to#o 4 , 8% 1%R%S%M%P
- Maréchal A%* Derais#e %* ournel A%* Matheron "% C4@? - ;ours de
"éostatistique non (inéaire% ;-7 1%R%S%M%P%
- Marín Suárez A% C4@? - Méthodologie de (Oesti#ation et Si#ulation
Multi2aria3le des "rands "ise#ents Tridi#ensionnels% Thèse !résentée
IOécole Rationale Su!érieure des Mines de Paris
Para o3tener el grado de:
Docteur Ingénieur en Sciences et Techniques Minières - !tion "éostatistique
- Marín Suárez A% C4@.? - Modelo "eoestadístico de Filones de Al#adén% 1d%
Minas de Al#adén S%A%* Al#adén C1s!ae#, R%* Eoucher A%* Uu %* ournel A% C8//? - A!!lied "eostatistics 'ith
"S(IE and S"1MS% 1d% ;a#3ridge Vni2ersit, Press%
47