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Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Maestría en Estructuras
Matemática Aplicada a la Ingeniería Estructural
MSc. Fernando Ajiatás Pinto
INVESTIGACIÓN:
PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO INTERNO
ORTOGONALIDAD RESPECTO A LA MASA
Grupo No. 7:
Gilberto de Jesús Guerra Flores, 200946235
Raúl Alonzo Ramírez Méndez, 200615123
Henry David López Rodríguez, 223485934
Índice
I. Resumen ...................................................................................................................................... 3
II. Contenido .................................................................................................................................... 4
A. Producto Escalar y Producto Interno ...................................................................................... 4
B. Ortogonalidad ....................................................................................................................... 10
III. Conclusiones.......................................................................................................................... 15
IV. Bibliografía ............................................................................................................................ 16
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I. Resumen
El producto escalar o producto interno, es una operación entre dos vectores en un mismo espacio
geométrico, donde se satisfacen los axiomas de Euclides (Espacio Euclídeo). Esta operación sirve
para analizar algunas propiedades de la geometría euclídea, como: longitudes, ángulos,
perpendicularidad y ortogonalidad. Es comúnmente utilizado en espacios vectoriales de dos y tres
dimensiones, aunque el mismo está definido en cualquier dimensión. Su resultado se expresa
como un solo número o escalar.
La ortogonalidad en espacios vectoriales es un sinónimo de perpendicularidad, sin embargo fuera
de este contexto pierde significado geométrico. En espacios vectoriales de dos o tres dimensiones,
dos vectores son ortogonales cuando producto interno es igual a cero. De forma similar, se puede
decir que dos funciones distintas son ortogonales si su producto interno es cero, siendo en este
caso una integral definida la que representa al producto interno. Este concepto tiene particular
importancia en la matemática diferencial y en el análisis dinámico de estructuras, en donde el
significado se extiende hasta a llegar al concepto de ortogonalidad con respecto a la masa, el cual
es considerado como la base para la realización de un análisis modal en una estructura.
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II. Contenido
A. Producto Escalar y Producto Interno
Si y son vectores en , entonces y se consideran como matrices de n x 1. La transpuesta
es una matriz de 1 x n y el producto matricial se le llama producto interior de y , y se
escribe como , también se conoce como producto punto.
Si los vectores y son:
Entonces el producto interior de y es:
En matemáticas, se considera que una función es la generalización de un vector. Y los conceptos
vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las
funciones.
Bajo la suposición de que y son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno
de los vectores, que también se escribe posee las siguientes propiedades (Zill, 1997):
i. Propiedad Conmutativa :
ii. Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar
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iii. Propiedad distributiva respecto al producto por un escalar w
iv.
Ejemplo 1:
Suponiendo ahora que son funciones definidas en un intervalo . Como una integral
del producto definida en el intervalo también posee las propiedades anteriores,
siempre y cuando existan las integrales, entonces Zill (1997) expresa la definición del producto
interno de la siguiente manera:
El producto interno de dos funciones en un intervalo es el número:
(
Teorema
Sean y vectores en , y un escalar. Entonces,
Las propiedades b) y c) se pueden combinar varias veces para obtener la siguiente regla útil:
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Longitud de un vector
Si está en , con entradas ,…, , entonces la raíz cuadrada de está definida, ya que
es no negativo.
Suponga que v está en , es decir . Como es usual, si se identifica a con un punto
geométrico en el plano, entonces coincide con el concepto estándar de la longitud del
segmento de recta que va del origen a . Esto se deduce a partir del teorema de Pitágoras
aplicado a un triángulo como el de la figura 1.
Un cálculo similar con la diagonal de una caja rectangular demuestra que la definición de
longitud de un vector en coincide con el concepto habitual de longitud.
Para cualquier escalar , la longitud de es veces la longitud de . Es decir,
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Vector unitario
Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Si un vector distinto de cero se divide
entre su longitud —es decir, se multiplica por —, se obtiene un vector unitario ya que
la longitud de es . El proceso de crear a partir de en ocasiones se llama
normalización de v, y se dice que está en la misma dirección que .
El ejemplo que se presentan a continuación emplea notación de vectores (columnas), para
ahorrar espacio.
Ejemplo 2:
Sea Encuentre un vector unitario en la misma dirección que .
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Distancia en
Ahora ya estamos listos para describir qué tan cerca está un vector de otro. Recuerde que si
son números reales, la distancia sobre la recta numérica entre es el número
. En la figura 3 se ilustran dos ejemplos. Esta definición de distancia en tiene una analogía
directa en .
Productos interiores definidos en espacios Vectoriales usuales:
Estos productos también llamados canónicos son solo algunos de los infinitos productos interiores
que se pueden definir en sus respectivos espacios.
En el espacio vectorial Rn se suele definir el producto interior llamado producto punto
En el espacio vectorial Cn se define el producto interior por:
En el espacio vectorial de las matrices de m x n con elementos reales
B) donde tr(A) es la traza o la suma de los elementos de la diagonal principal de la
matriz A y AT es la matriz transpuesta de A
En el espacio vectorial de las matrices de mxn , con elementos complejos
Donde tr(A) es la traza de la matriz B y A* es la matriz transpuesta conjugada de A
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a,b], acotadas por a
y b
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En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado є R tal que
]
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B. Ortogonalidad
El concepto de líneas perpendiculares en la geometría euclidiana ordinaria tiene un análogo en
. Si se considera o y dos líneas que pasen por el origen determinadas mediante los
vectores y . Las dos líneas que se muestran en la siguiente figura son geométricamente
perpendiculares si, y sólo si, la distancia desde hasta es igual a la distancia desde hasta – .
Esto es análogo a pedir que los cuadrados de las distancias sean iguales (Lay, 2007).
Los mismos cálculos con y – intercambiados muestran que
Las dos distancias elevadas al cuadrado son iguales si, y sólo si, , lo cual sucede si,
y sólo si,
Estos cálculos muestran que cuando los vectores y se identifican con puntos geométricos, las
líneas correspondientes que pasan por los puntos y el origen son perpendiculares si, y sólo si,
La siguiente definición generaliza a esta noción de perpendicularidad (u
ortogonalidad, como se le llama comúnmente en álgebra lineal).
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Dos vectores y en son ortogonales (entre sí) si
Así también, el teorema de Pitágoras establece una relación de ortogonalidad entre dos vectores
y en la siguiente definición:
Dos vectores y son ortogonales si, y sólo si,
Zill (1997) se expresa con respecto a las funciones ortogonales de la siguiente manera:
Dos funciones son ortogonales en un intervalo si cumplen con la siguiente condición
(1):
(
A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”,
en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico.
Ejemplo 3:
Las funciones y son ortogonales en el intervalo porque
(
Una vez explicado el concepto de las funciones ortogonales, es de interés presentar el concepto de
un “conjunto ortogonal”, el cual es un conjunto infinito de funciones ortogonales. Zill (1997) lo
define como:
Un conjunto de funciones de valor real
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Es ortogonal en un intervalo si
Así también, la norma o longitud , de un vector se puede expresar en términos del
producto interno; concretamente, , o bien . La norma, o longitud
generalizada, de una función , es ; es decir,
El número
Se llama norma cuadrada de . Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo
y tiene la propiedad que
se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo.
Ejemplo 4:
Demuestre que el conjunto es ortogonal en el intervalo
Si se define y , debemos demostrar que
y que
En el primer caso,
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Y en el segundo caso,
Proyección ortogonal
El Departamento de Matemáticas de ITESM, ofrece el siguiente teorema para definir la proyección
ortogonal:
Teorema: Sea una matriz y un espacio lineal de dimensión , ambos dentro de un
espacio lineal . Entonces, existe una única matriz en tal que ( .
Si entonces
Si entonces se puede expresar como , donde
forman una base ortonormal de y .
Además, si y sólo si . La matriz se llamará la proyección ortogonal de
sobre y cumple que para toda en y hay igualdad si y sólo si .
Ortogonalidad con respecto a la masa en Dinámica de Estructuras
Dentro del campo de la Dinámica de Estructuras, se aplica el concepto de ortogonalidad con
respecto a la masa, el cual se refiere a una propiedad de las estructuras, en donde se verifica que
la masa de la estructura esté distribuida de una manera que permita discretizar los modos de
vibración que pueda tener al momento de responder frente a una fuerza externa.
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Esta propiedad de ortogonalidad con respecto a la masa es utilizada en el análisis modal, donde
sirve para verificar la correcta distribución de la masa de la estructura. Esta condición, es utilizada
además, para realizar comprobación de los cálculos realizados en un análisis modal.
Paz (1992), define esta propiedad como: “la base de uno de los métodos más atractivos para
resolver problemas dinámicos de multigrados de libertad”.
Goicoela (2001), propone la siguiente demostración de la condición de ortogonalidad:
Suponga dos modos de vibración y , correspondientes a autovalores distintos ,
son ortogonales respecto a la matriz de masa :
La expresión anterior se puede interpretar como la anulación del producto interior de los vectores
y , en la métrica definida por .
En efecto, debe cumplirse:
Donde representa la matriz de rigidez de la estructura.
Premultiplicando la primera igualdad por , la segunda por y restando ambas entre sí,
gracias a la simetría de y de obtenemos
Al ser , queda demostrada la ortogonalidad.
La ortogonalidad con respecto a implica también ortogonalidad con respecto a .
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III. Conclusiones
- El producto interno, escalar, interior o punto, es una función que relaciona un par de
vectores u y v, en un espacio vectorial definido. El concepto en este procedimiento
matemático es multiplicar cada elemento de cada vector por su correspondiente
elemento en el otro vector transpuesto, siendo su resultado un número real o escalar,
este concepto se puede ampliar para evaluar de una forma análoga el producto interno de
funciones. Su aplicación, permite examinar algunas importantes propiedades geométricas
del espacio vectorial bajo análisis. Se trata de una de las operaciones esenciales del
algebra lineal y matricial, definido en un espacio vectorial .
- Matemáticamente, una matriz es ortogonal, cuando su matriz inversa concuerda con la
matriz transpuesta. Su representación geométrica, se interpreta como transformaciones
isométricas en espacios vectoriales reales. Debido a sus propiedades, son utilizadas en
múltiples áreas de la física, entre las cuales destaca, el movimiento de cuerpos rígidos.
- La ortogonalidad con respecto a la masa, es una propiedad sumamente importante en la
Dinámica de estructuras, siendo la base de un análisis modal. Sirve para verificar que la
masa, en una estructura sometida a cargas externas, se encuentre debidamente
distribuida y de esta manera discretizar los modos de vibración. Además, suele utilizarse
como una comprobación de los cálculos realizados luego de un análisis de este tipo.
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IV. Bibliografía
- Departamento de Matemáticas ITESM. Álgebra Matricial y Optimización Ma130 Producto
Interno y Ortogonalidad.
- Goicolea Ruigómez, José María (2001) Curso Breve de Dinámica. 1ª edición. Colegio de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Servicio de Publicaciones - Colección Escuelas.
- Lay, David C. (2007) Álgebra lineal y sus aplicaciones 3ª edición. Pearson Educación,
México. 584p.
- Paz, Mario (1992) Dinámica Estructural, Teoría y Cálculo. 3ª edición. Editorial Reverté.
España.
- Zill, Dennis. G. (1997) Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones del modelado. 6ª edición.
International Thomson Editores. México.