Post on 12-Aug-2015
COLEGIO PRE
UNIVERSITARIO
Tercer Año
EL SATELITE SPUTNIK 1
Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en órbita alrededor de la Tierra. Llamado así por la frase rusa "compañero de viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeño satélite que sólo medía 58 cm de ancho. Completaba una órbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmitía información sobre la atmósfera terrestre. Tras un vuelo de 57 días, volvió a entrar en la atmósfera y se destruyó.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
RAZONAMIENTO MATEMATICO 1
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
RAZONAMIENTO MATEMATICO 2
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO
V.L.E.B.TELF.: 540–0814 / 98503121
DPTO. DE PUBLICACIONES
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
TEMA: FRACCIONES
¿Qué es una Fracción?
Es una división indicada de dos números enteros. Como en toda división,
el divisor es diferente de cero.
Representación:
Una fracción puede ser representada así:
ó
Donde a y b son términos de la fracción (b ≠ 0) y reciben el nombre de
Numerador y Denominador respectivamente.
Si a y b N; además a b, podemos dar a una fracción la siguiente
interpretación:
“Una Fracción” expresa una porción de Unidad, donde el Numerador
indica la cantidad de partes que se toma de la Unidad y el Denominador
indica la cantidad de partes en que se ha dividido a la Unidad.
Ejemplo: Si dividimos en 6 Partes iguales la pizarra del salón (que
será la Unidad) y pintamos sólo 5 partes, entonces la parte pintada la
representamos así:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 3
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Esta se representa
Problemas de Aplicación: Una Caja de Herramientas en un taller pesa
55 Kg. más los 6/11 de su peso total. ¿Cuánto pesa la caja de herramientas?
Solución:
Sea el Peso Total “x” entonces: x = 55 Kg. +
Pero: el Peso Total tiene 11/11. Esto significa que 55 Kg. Corresponde a
5/11 del peso total.
55 = x = 121 Kg.
RAZONAMIENTO MATEMATICO 4
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Indique que el triple de la edad
de Júnior, si el doble
aumentado en su quinta parte
es 11.
Rpta.:
02) En un restaurante consumen
100 Kilos mensual de arroz; si
ya han usado 7/20, indicar la
cantidad de arroz sin usar.
Rpta.:
03) En una sección de 20 alumnos,
las 3/4 partes tienen buzos
deportivos. ¿Qué fracción de
los que tienen buzos, no tienen
buzos?
Rpta.:
04) César me debe los 3/5 de S/.
200; si me paga los 3/8 de S/.
200. ¿Cuánto me debe?
Rpta.:
05) Una pelota pierde las dos
quintas partes de su altura en
cada rebote que da. Si se le
deja caer desde un metro de
altura; ¿Qué altura en cm.
alcanzará Después del tercer
rebote?
Rpta.:
06) De una cierta cantidad de
dinero, se gasta la mitad y
luego los 2/3 de lo que queda,
resultando un saldo de 40
soles de 40 soles. ¿Cuánto
tenía inicialmente?
Rpta.:
07) Si tengo los Nueve Quintos de
200 y debo comprar un artículo
que vale 8/7 de 210 ¿Cuánto
de vuelto recibo?
Rpta.:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 5
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
08) Si la cuarta parte de los 2/5 de
un número, se le agrega los 2/5
de sus 3/8 y se le resta los 3/8
de su Quinta parte, se obtiene
21. ¿Cuál es el número?
Rpta.:
09) La edad de Elizabeth es los 4/7
de la edad de Víctor y las 2/3
partes de la edad de Walter. Si
al sumar las tres edades nos
resulta 102 años: ¿Cuál es la
edad de Elizabeth?
Rpta.:
10) Un jugador después de haber
perdido consecutivamente los
4/5 de su dinero, 2/7 del resto y
4/11 del nuevo resto, gana 420
dólares y de esta manera la
pérdida queda reducida a 1/5
del dinero original. ¿Cuál es la
fortuna?
Rpta.:
11) En cuánto excede la Novena
parte de los 6/5 de los 3/2 de
80, a la tercera parte de los 4/5
de los 3/4 de 100.
Rpta.:
12) En un salón de la academia
solo asisten a un examen los
3/4 de los alumnos, y de éstos
aprueban los 4/5; si los
desaprobados son 26.
¿Cuántos alumnos hay en
dicha aula?
Rpta.:
13) El costo de un mini
componente es los 7/2 de 120
y yo dispongo de los 6/5 de
350. ¿Recibo vuelto?
¿Cuánto?
Rpta.:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 6
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
14) Sabiendo que perdí 2/3 de lo
que no perdí, luego recupero
1/3 de lo que no recupero y
tengo entonces 42 soles.
¿Cuánto me quedaría luego de
perder 1/6 de lo que logre
recuperar?
Rpta.:
15) Un padre reparte su herencia
entre sus 3 hijos; el primero le
da la tercera parte; al segundo
la cuarta parte y el tercero el
resto, que es 3000 dólares.
¿Cuánto recibió el segundo?
Rpta.:
16) He gastado los 5/8 de mi
dinero, si en lugar de gastar los
5/8 hubiera gastado los 2/5 de
mi dinero, tendría ahora S/. 72
más de lo que tengo. ¿Cuánto
no gasté?
Rpta.:
17) En la venta de un artefacto, se
intenta ganar la sexta parte del
precio de costo, sin embargo
sólo se logra vender a los siete
octavos del precio de venta
ofrecido; si el precio final de
venta es 245. ¿Cuál fue el
precio de costo?
Rpta.:
18) Una persona recibe viáticos por
4 días. El primer día gasto la
cuarta parte; el segundo día
gastó 1/6 del resto; el tercer día
los 4/3 del primer día; el cuarto
día el doble del segundo día;
y aún le quedó S/. 10. ¿Cuál
fue la cantidad entregada?
Rpta.:
19) Si dejamos caer una pelota
desde cierta altura: ¿Cuál es
esta altura sabiendo que
después del cuarto rebote se
eleva 32 cm. Y que es en cada
rebote se eleva 2/3 de la altura
anterior?
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
RAZONAMIENTO MATEMATICO 7
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
01) El costo de un televisor es los
7/3 de 150 yo dispongo de los
5/4 de 280. ¿Recibo vuelto?
¿Cuánto?
a) Si, 20 b) No, debo 20
c) No, debo 10 d) Si, 10
e) Tengo lo exacto.
02) Marcos me debe los 4/5 de S/.
160; si me paga los 5/8 de S/.
160: ¿Cuánto me debe?
a) Nada b) S/. 10
c) S/. 25 d) S/. 32
e) S/. 28
03) Si tengo los ocho séptimos de
280 y debo comprar una radio
que vale 7/5 de 200; ¿Cuánto
de vuelto recibo?
a) Nada b) S/. 10
c) S/. 20 d) S/. 30
e) S/. 40
04) En cuánto excede la tercera
parte de los 2/7 de los tres
medios de 182, a la cuarta
parte de los 3/5 de los cuatro
tercios de 120.
a) 2 b) 3
c) 4 d) 6
e) 9
05) En una aula de 30 alumnos, las
2/3 partes tienen buzos
deportivos. ¿Qué fracción de
los que tienen buzos no tiene
buzos?
a) 1/2 b) 1/3
c) 2/5 d) 1/4
e) 2/3
06) Una casaca cuesta 3/5 de 200
dólares y yo solo tengo 5/3 de
60 dólares. ¿Cuánto me falta?
a) 30 b) 20
c) 10 d) 15
e) 25
07) David cobra su sueldo y
dispone de la tercera parte en
ropa; la cuarta parte en comida
y la sexta parte en movilidad; si
RAZONAMIENTO MATEMATICO 8
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
tiene un saldo de 60 soles.
¿Cual es su sueldo?
a) 200 b) 180
c) 280 d) 240
e) 320
08) Vilma tiene la quinta parte de
los 2/7 de 875; mientras que
Lili tiene los 2/5 de la sexta
parte de 600. ¿Quién tiene
más? ¿Cuanto?
a) Vilma 10 b) Lili 10
c) Tiene Igual d) Lili 20
e) Vilma 20
09) Tres hijos reciben la herencia
de su padre; al primero le da la
mitad, al segundo la tercera
parte y al tercero el resto, que
es 2400 dólares. ¿Cuánto
recibió el segundo?
a) 3600 b) 4800
c) 6400 d) 7300
e) 6000
10) A la academia sólo asisten a
un examen los 2/3 de los
alumnos; y de éstos aprueban
los 3/7; si los desaprobados
son 24. ¿Cuántos alumnos hay
en dicha academia?
a) 24 b) 23
c) 36 d) 63
e) 96
11) Oswaldo recibe viáticos por 4
días; el primer día gastó la
quinta parte, el segundo día
gastó 1/8 del resto; el tercer día
los 5/3 del primer día, el cuarto
día el doble del segundo día; y
aun le quedo S/. 15. ¿Cuál fue
la cantidad entregada?
a) S/. 50 b) S/. 70
c) S/. 150 d) S/. 45
e) S/. 90
12) Entre Juan y Pedro quieren
comprarse un juego de
“”Fulbito de Mano” cuyo costo
es de 300 dólares; Juan tiene
1/3 de los 2/5 de 1350 mientras
RAZONAMIENTO MATEMATICO 9
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
que Pedro tiene 2/3 de 1/4 de
960. ¿Cuánto reciben de
vuelto?
a) 20 b) 30
c) 40 d) 50
e) 60
13) Manuel compra la mitad de un
rollo de alambre menos 12
metros, Diego compra un tercio
del mismo rollo más de 4
metros, con lo cual recibe 8
metros menos que Manuel.
¿Cuántos metros compra
Manuel?
a) 52 b) 60
c) 72 d) 44
e) 50
14) De los tres caños que fluyen a
un estanque, uno de ellos lo
puede llenar sólo en 36 horas,
otro en 30 horas y el otro en 20
horas. Abriendo los tres caños
a la vez: ¿En cuánto tiempo se
llenarán las 2/3 partes del
estanque?
a) 3h b) 6h
c) 5h d) 8h
e) 4h
15) El número de alumnos de un
aula es menor que 240 y mayor
que 100, se observa que los
2/7 del total usan anteojos y los
5/13 son alumnos de ciencia.
¿Cuál es la suma de los
alumnos que usan anteojos
con los de la especialidad de
ciencia?
a) 160 b) 120
c) 122 d) 148
e) 142
TEMA: RAZONAMIENTO LÓGICO
RAZONAMIENTO MATEMATICO 10
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Este capítulo es ameno, que le mostrará lo divertido que es, el
verdadero Razonamiento Lógico – Matemático y a la vez le incentivará
para medir su criterio Lógico para sacar conclusiones (Sin ser erudito
en las Matemáticas y la Lógica).
Para su mejor entendimiento vayamos a ver algunos
problemas, Pero, antes se recomienda usar el sentido común y parte
de la ordenación de datos.
Ejemplo:
Se cometió un asesinato. Se sospecha de Roberto, José,
Manuel y Luis. De ser Manuel el homicida, el delito fue premeditado. Si
los autores fueran José y Roberto, ocurrió en la noche. Si claro el
asesino es Luis, no ocurrió el día domingo. Como cuestión de hecho
sabemos que el suceso ocurrió el domingo por la tarde. En
consecuencia. ¿Cuál de los mencionados sería el sospechoso
principal?
RAZONAMIENTO MATEMATICO 11
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Solución:
Del texto se tiene que si el homicida es:
Manuel delito Premeditado.
José y Roberto ocurrió en la noche
Luis no ocurrió el día domingo.
Según Dato: “El suceso ocurrió el domingo por la Tarde” con lo cual
se descarta como sospechoso a José y Roberto, además de Luis.
El sospechoso principal es: Manuel.
RAZONAMIENTO MATEMATICO 12
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Un ladrillo tiene 6 lados,
¿Cuántos lados tendrá el
bloque formado por 5
ladrillos del mismo tipo
pegados por uno de sus
extremos?
Rpta.:
02) Si Jorge es mayor que
Manuel, Esteban es menor
que Manuel y mayor que
César ¿Quién de ellos es el
mayor de todos?
Rpta.:
03) 4 estudiantes comen 4
melones en 4 minutos
¿Cuánto tiempo empleará
un estudiante en comer 3
melones?
Rpta.:
04) Escalando una montaña
rocosa se encuentran tres
estudiantes. Alberto está
arriba de Daniel, Felipe está
más arriba que Alberto.
¿Cuál de los estudiantes se
encuentra entre uno y otro
respecto a la base de la
montaña?
Rpta.:
05) Un edificio tiene 40m. de
altura y 5 pisos; si una
persona se encuentra en el
tercer piso: ¿A qué distancia
del primer piso pisan sus
pies?
Rpta.:
06) Mi secretaria demora 10
segundos al escribir una
letra ¿Cuánto tiempo se
demora para escribir ocho?
Rpta.:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 13
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
07) Un granjero tenía 180 patos
y se le murieron 80:
¿Cuántos patos le quedan?
Rpta.:
08) Si necesitamos cercar un
campo de forma triangular
de modo que en cada lado
aparezcan 7 postes y uno
en cada esquina: ¿Cuántos
postes serán necesarios?
Rpta.:
09) Si con cada 3 colillas de
cigarros se puede formar
otro cigarro: ¿Cuántos podrá
fumar un abuelito con 11
colillas de cigarro?
Rpta.:
10) Al trasladarse a la parte
superior de un muro de 11
metros de altura un caracol
lo hace del siguiente modo:
Durante el día sube 3
metros y en la noche baja 2.
¿En cuántos días subirá el
muro?
Rpta.:
11) Una persona cobra S/. 2 por
cortar un árbol en 2 partes.
¿Cuánto cobrará por
cortarlo en 5 partes?
Rpta.:
12) En una caja hay cierta
cantidad de sapos que no
llegan a 50 ni bajan de 40.
Si cada unos de ellos mira a
44 sapos: ¿Cuántos sapos
hay en la caja?
Rpta.:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 14
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
13) El señor Araujo observó que
sus 4 gallinas pusieron 8
huevos en 4 horas
¿Cuántos huevos podrán
poner entonces 8 gallinas en
8 horas?
Rpta.:
14) Ernesto es Diestro y cojo,
entonces es cojo del pie:
Rpta.:
15) ¿Cuántas personas
necesitan como mínimo
para formar 6 filas de 4
personas en cada fila?
Rpta.:
16) Para prender una vela se
necesita:
Rpta.:
17) Jorge tiene 40 soles y Rosa
25 soles; si Jorge le paga a
Rosa la mitad de lo que le
debe y Rosa le da a Jorge
para un libro ¿Cuánto tienen
ahora entre ambos?
Rpta.:
18) Las fachadas de los
edificios, en una calle,
tienen 6 ventanas y 2
puertas. Si en la calle hay 6
edificios en cada acera
¿Cuántas ventanas más que
puertas hay?
Rpta.:
19) Si observamos un ángulo de
30° con una lupa que
aumenta 5 veces el tamaño
de los objetos, el ángulo
medirá:
Rpta.:
20) Si ocho veces la octava
parte de la edad de Esteban
es 13 años: ¿Cuál será su
edad dentro de 8 años?
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
RAZONAMIENTO MATEMATICO 15
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
01) ¿Cuántos números enteros
existen entre 8 y 38
incluyendo a 8 y 38?
a) 30 b) 31
c) 29 d) 28
e) 32
02) Si un cubo de hielo de 1m.
de lado cuesta S/. 1:
¿Cuánto costara un cubo de
hielo de 2m. de lado?
a) S/. 2 b) S/. 4
c) S/. 6 d) S/. 8
e) S/. 16
03) Si hay 20 moscas sobre la
mesa y mato 8. ¿Cuántas
quedan?
a) 12 b) 8
c) 6 d) F. D
e) N. A.
04) Maria Luisa tiene 3 blusas;
uno roja, una verde y una
amarilla; además tiene 2
pantalones, uno marrón y
otro azul. ¿De cuantas
maneras podrá vestirse
María Luisa combinando sus
prendas?
a) 5 b) 9
c) 6 d) 12
e) 10
05) En una laguna se observó a
varios patos; un pato estaba
delante de 2 patos, un pato
entre 2 patos y un pato atrás
de 2 patos. ¿Cuántos patos
hay como mínimo en la
laguna?
a) 12 b) 3
c) 9 d) 2
e) 6
06) Dentro de una caja azul se
coloca 3 cajas rojas y dentro
de cada caja roja se colocan
RAZONAMIENTO MATEMATICO 16
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
4 Cajas amarillas. ¿Cuántas
cajas hay en total?
a) 12 b) 36
c) 15 d) 16
e) 38
07) El abuelo del hijo del tío de
mi hijo es mi:
a) Tío b) Hijo
c) Padre d) Sobrino
e) Primo
08) Deorinto nació el año 35 a, C
y murió a los 86: ¿En qué
año ocurrió?
a) 121d. C. b) 121 a. C.
c) 51 d. C. d) 51 a. C.
e) 86 a. C.
09) Cinco Kilogramos mas medio
lingote pesa un lingote.
¿Cuánto pesará lingote y
medio?
a) 5 Kg. b) 10 Kg.
c) 15 Kg. d) F. D.
e) N. A.
10) Si estudio apruebo el
examen; si veo televisión no
estudio; entonces, si no veo
televisión:
a. Estudio y apruebo el
examen.
b. Estudio y no apruebo el
examen.
c. No estudio y apruebo el
examen.
d. No estudio y no apruebo el
examen.
e. No se puede asegurar nada.
11) En un Ómnibus viajan 30
hombres y 17 mujeres.
¿Cuántas personas deben
bajar como mínimo para
poder estar seguros de que
RAZONAMIENTO MATEMATICO 17
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
han bajado un hombre y una
mujer?
a) 18 b) 19
c) 30 c) 31
e) 3
12) Un cuaderno tiene 200
páginas. Si se arrancan 30
hojas ¿Cuántas páginas
quedan?
a) 140 Pg. b) 170 Pg.
c) 70 Pg. d) 70 Hojas
e) Más de una es correcta
13) Si una mesa de 4 esquinas
se le corta una esquina:
¿Cuántas esquinas quedan?
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6
e) 7
14) Sabiendo que un hombre
puede construir una casa en
un terreno de 100 m2 en 100
días, entonces 10 000
hombre se demorarán:
a) 1 día b) Medio día
c) 10 días d) 100 días
e) N. A.
15) Karina no tiene todavía edad
para votar. Karina tiene cejas
pobladas, por tanto:
a. Karina es de baja estatura
b. Karina es Bonita.
c. Karina es menor de edad.
d. Karina talvéz voto.
e. Karina es de ojos rasgados.
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
RAZONAMIENTO MATEMATICO 18
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
El resultado de comparar dos cantidades, ya sea a través de una
diferencia o a través de un cociente, recibe el nombre de razón.
Así Tenemos:
Razón Aritmética ( r ) Donde : a – b = r
Razón Geométrica (K) Donde : a / b = K
Donde: a antecedente y b consecuente
Proporción: Es la igualdad de dos razones, sean estas aritméticos o
geométricos. Así tenemos:
Proporción
Aritmética
Proporción
Geométrica
a – b = c - d a / b = c / d
Propiedad
a + d = c + b
Propiedad
a x d = c x b
Donde: a, d Términos extremos.
b, c Términos medios.
RAZONAMIENTO MATEMATICO 19
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Tipos de Proporciones:
Discreta: Cuando los medios son diferentes.
Continua: Cuando los medios son iguales.
Entonces:
D
I
S
C
R
E
T
A
Proporción
Aritmética
Proporción
Geométrica
19 – 17 = 13 – 11
11 Cuarta Diferencial
35 / 7 = 25 / 5
5 Cuarta Proporcional
C
O
N
T
I
N
U
A
24 – 20 = 20 – 16
16 Tercera diferencial
20 Media diferencial
32 / 8 = 8 / 2
2 Tercera Proporcional
8 Media Proporcional.
Serie de Razones Equivalentes: Cuando igualamos más de dos razones
geométricas se forma una serie de razones geométricas equivalentes:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 20
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Así tenemos:
Donde:
a; c; e; … Son los antecedentes;
b; d; f; … Son los consecuentes
K es la constante de Proporcionalidad.
Luego; en toda serie se cumple las siguientes Propiedades:
Si:
Entonces:
1°
2° Si:
Entonces:
3° Como son tres razones geométricas iguales,
entonces:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 21
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
a x c x e = K 3 Indica el número deb x d x f razones geométricas.
Ejemplo: Si se sabe que:
Hallar b2 - a2
Solución:
Como a y b son proporcionales a 7 y 11 podemos expresar c/ u de ellos
de la siguiente forma: a = 7 K y b = 11 K.
Luego: a + b = 108
7 K + 11K = 108
K = 6
Es decir: a = 7 x 6 = 42 y b = 11 x 6 = 66
Finalmente: b2 + a2 = 662 + 422 = 2592
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) La razón aritmética de dos
números es 12. Si uno de ellos
es el cuádruple del otro, hallar
la suma de dichos números.
Rpta.:
02) La razón aritmética de dos
números es 20 y su razón
geométrica es 2. El numero
mayor es:
Rpta.:
RAZONAMIENTO MATEMATICO 22
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
03) La razón de dos números es
3/5. Determinar la diferencia
entre ellos, sabiendo que se su
suma es 72.
Rpta.:
04) Dos números están en razón
de 3 es a 2. Si la suma de
dichos números excede a la
diferencia de los mismos en 80,
hallar el mayor de los números.
Rpta.:
05) La razón geométrica entre la
suma y la diferencia de dos
números es 5/3. Si la suma del
mayor con el triple del menor
es 14. Hallar la suma de los
cuadrados de los números.
Rpta.:
06) Si
Hallar C:
Rpta.:
07) Si Además:
2a + b + c = 54
Hallar: A = a + 2b + c.
Rpta.:
08) Si calcular
Rpta.:
09) Los ángulos de un triángulo
son entre si como los números
4; 7 y 9. Hallar el menor de los
ángulos.
Rpta.:
10) En una serie de 3 razones
geométricas equivalentes y
continuas, el primer
antecedente es 64 veces el
último consecuente. Hallar el
valor de la constante de
proporcionalidad.
RAZONAMIENTO MATEMATICO 23
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
Rpta.:
11) En una proporción aritmética,
la suma de los extremos es
igual a 22. Si los términos
medios se diferencia 2
unidades, el menor de estos
medios es:
Rpta.:
12) En una proporción aritmética
continua, la media diferencial
es igual a 16 si la razón
aritmética de los extremos es
8, hallar el producto de los
extremos.
Rpta.:
13) En una proporción geométrica,
la suma de los términos medios
es 16 y la razón aritmética de
los mismos es 4. Hallar el
producto de los extremos.
Rpta.:
14) La suma de la media
diferencial de 28 y 12 con la
cuarta diferencial de 18, 12 y
10 es igual a ;
Rpta.:
15) Si m es la media proporcional
de 9 y 4; n es la cuarta
proporcional de 8, m y 12.
Hallar m + n.
Rpta.:
16) José y Juan tienen $ 700 entre
ambos, lo que tiene José es lo
que tiene Juan como 4 es a 3.
¿Cuánto tiene José?
Rpta.:
17) En un salón hay 40 varones y
30 mujeres. ¿Cuántas parejas
RAZONAMIENTO MATEMATICO 24
COLEGIO PREUNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año
deben retirarse para que los
varones que quedan sean a
las mujeres que quedan como
7 es a 5?
Rpta.:
18) El producto de los cuatro
términos de una proporción
geométrica es 576. Si el
segundo término es 8. Hallar el
tercer término.
Rpta.:
19) La suma de los extremos de
una proporción geométrica
continua es 15 y su diferencia
es 9. Hallar la media
proporcional.
Rpta.:
20) Dos números son
proporcionales a 2 y 5. Si se
aumenta 175 a uno de ellos y
115 al otro, se obtienen
cantidades iguales. ¿Cuál es el
menor?
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
RAZONAMIENTO MATEMATICO 25
01) La suma, la diferencia y el
producto de dos números
están en la misma relación que
los números 4; 2 y 15. ¿Cuál
es el mayor de los números?
a) 4 b) 10
c) 14 d) 15
e) 16
02) A una fiesta asistieron 140
personas entre hombres y
mujeres. Por cada 3 mujeres
hay 3 hombres. Si se retiraron
20 parejas. ¿Cuál es la razón
entre el número de mujeres y
el número de hombres que se
quedan en la fiesta?
a) 2/3 b) 4/5
c) 1/3 d) 3/4
e) 5/3
03) La razón geométrica de dos
números cuya suma es 65, se
invierte si se añade 17 al
mayor. ¿Cuál es el menor de
dichos números?
a) 31 b) 29
c) 28 d) 25
e) 24
04) Los antecedentes de varias
razones geométricas iguales
son 2; 3; 4 y 5; el producto del
primer antecedente y los
últimos consecuentes es
41160, la suma de los
consecuentes es:
a) 94 b) 98
c) 95 d) 96
e) 97
05) El producto de los 4 términos
de una proporción discreta es
15876. Si el primero de estos
términos es 7, calcular el
producto de los términos
medios.
a) 120 b) 122
c) 126 d) 127
e) 128
06) En una proporción geométrica
la suma de los dos primeros
términos es 20 y la suma de
los dos últimos términos es 25.
Calcular el menor de los
términos medios si la suma de
los consecuentes es 27.
a) 10 b) 12
c) 14 d) 16
e) 18
07) Si
Hallar:
a) 12 b) 24
c) 36 d) 72
e) 8
08) Si con a; b y c
Enteros positivos y
.
Hallar el valor de b.
a) 8 b) 10
c) 12 d) 15
e) 16
09) Si la suma de los 4 términos
de una proporción es 65;
cada uno de los tres últimos es
a los 2/3 del precedente. Cuál
es el último término.
a) 6 b) 7
c) 8 d) 19
e) 10
10) En una proporción
geométrica continua la suma
de los 4 términos es 64 y la
diferencia entre los extremos
es 48. Hallar la suma de los
extremos.
a) 49 b) 72
c) 50 d) 85
e) 63
11) Si se sabe que: y a
+ b = 108; Hallar: b2 – a2
a) 2196 b) 2240
c) 2396 d) 2592
e) 2764
12) Calcular la media proporcional
de la media diferencial de 10 y
14, y la tercera proporcional de
3 y 9.
a) 12 b) 15
c) 16 d) 18
d) 20
13) Si y a2 + b2 = 2664
hallar: b – a
a) 6 b) 8
c) 10 d) 12
e) 16
14) La media diferencial de una
proporción es 24. Hallar la
razón de la proporción si el
primer extremo es el doble del
segundo.
a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
d) 10
15) La media geométrica de una
proporción es de 15. hallar la
suma de los extremos si la
razón de la proporción es 1/3.
a) 40 b) 45
c) 50 d) 55
e) 60.
TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES
Para estudiar este tema tenemos que recordar:
PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B no vacíos, el producto Cartesiano A x B es
otro conjunto de todos los pares ordenados (a; b) que se puedan formar con
los elementos de ambos conjuntos donde a A y b B.
Si escribimos por comprensión el conjunto Producto Cartesiano,
tendremos:
A x B = (a; b) / a A b B
Recordemos que respecto de los pares ordenados, se cumple que:
(a; b) ≠ (b; a)
Es decir, el orden es importante; por ejemplo:
(5, 9) ≠ (9; 5)
Asimismo, si: (a; b) = (c; d)
Entonces: a = c b = d
Veamos un ejemplo de producto cartesiano:
Dados los conjuntos A = 1; 2; 3 y B = 4; 5 el producto cartesiano A
x B será:
A x B = (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)
Gráficamente A x B se representa por medio del siguiente Diagrama
Sagital o de Flechas:
RELACIÓN .
Una Relación R de A en B (o También R: A B), es un subconjunto del
Producto Cartesiano A x B, de modo que R A x B.
Aquí el conjunto A se llama Conjunto de Partida y el conjunto B se
llama Conjunto de Llegada.
En A x B del ejemplo anterior podemos establecer las siguientes
relaciones:
R1 = {(1; 4); (2; 5)}
R2 = {(2; 4); (3; 5)
R3 = {(3; 4)}
Si seguimos observando el ejemplo veremos que:
En R, la segunda componente de cada par resulta de sumar 3 a la
primera componente, o:
y = x + 3 ¡Regla de correspondencia!
En R2, la segunda componente de cada par resulta de sumar 2 a la
primera componente, o:
y = x + 2 ¡Regla de Correspondencia!
En R3, la segunda componente de cada par resulta de sumar 1 a la
primera componente, o:
y = x + 1 ¡Esta es la Regla de Correspondencia!
Los diagramas sagitales de las relaciones R1; R2 y R3 serán:
Recordemos que al conjunto de las primeras componentes de los pares
ordenados en una relación se le llama DOMINIO DE LA REALCION (R)
Así mismo al conjunto de las segundas componentes de los pares
ordenados en una relación se llama RANGO DE LA RELACION R (R)
FUNCIÓN
Si en una Relación R: A B ocurre que no existen dos o más pares
ordenados con la misma primera componente; tal Relación recibe el nombre
de Función f.
Expresado de otro modo:
R1
R2 R3
Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tales
que a cada elemento a A le corresponde un único elemento de B.
Ejemplo:
Como la función es también una relación, será también un conjunto de
pares ordenados. En este caso, según la gráfica, la función f será:
f = (7; t), (5; r), (1; t)}
Recordemos también que el DOMINIO de una función f o simplemente
D (F) es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados
de la función.
En el ejemplo: D (F) = {7; 5; 1}
Así mismo, el RANGO de una función f o simplemente R (F), es el
conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la
función.
En el ejemplo: R (F) = {t; r}
Veamos otro ejemplo:
Dados los conjuntos A = {5; 9} y B = {1; 5}, entonces el diagrama sagital de
la función f: A B con regla de correspondencia y = x – 4 es:
Podemos observar que cada elemento del rango le corresponde un único
elemento del dominio, entonces se denomina FUNCIÓN INYECTIVA.
También el rango de f es el mismo conjunto de llegada, entonces se trata de
una FUNCIÓN SOBREYECTIVA; luego por ambas características, la
función se denomina BIYECTIVA.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.
Siendo f una función real de variable real, la gráfica de f esta formada
por el conjunto de puntos del plano que representa al conjunto de pares
ordenados de la función.
5.
9.
.1
.5Dominio
de fRango
de f
Conjunto de partida
Conjuntode llegada
Debemos considerar que la gráfica de una función en el plano
cartesiano es un trazo continuo sólo si la función es real de variable real. Si
no es así, la gráfica esta formada por puntos que no conforman un trazo
continuo.
Ejemplo: Graficar la función:
F = {(x; y) / x e y R y = x + 1}
Establezco una tabla de valores de x (dominio) y determinemos los
correspondientes valores de y (rango).
x -4 -3 -2 -1 1 2 3
y -3 -2 -1 0 2 3 4
Graficamos los puntos determinados en el cuadro y se tendrá:
Y
La gráfica quedaría así, si se nos hubiera dicho que la función es f: Z Z; pero como la función es f: R R, entonces debe ser una línea continua; así:
FUNCIONES ESPECIALES.
1. Función lineal.
Es aquella cuya gráfica siempre es una línea recta y cuya regla de
correspondencia tiene la siguiente forma general:
y = a x + b Función Lineal o a fin.
Donde: a, es la pendiente de la recta
b, es el intercepto de la gráfica con el eje y.
1 2 3 4 ...... -4 -3 -2-1 -1-2-3-4
4321
1 2 3 4 ...... -4 -3 -2-1 -1-2-3-4
4321
X
Y
X
2. Función Constante.
Es aquella cuya representación gráfica es una línea paralela al eje de
las abscisas y cuya regla de correspondencia es:
y = c; c es constante
y = ax + bb
x
y
D = RR = R
D = RR = {c}
3. Función Identidad.
Es aquella cuya regla de correspondencia es la siguiente:
f (x) = x ó y = x
Es decir todos los puntos de su representación gráfica tienen la forman
(h ; n) para todo n R; veamos:
4. Función Valor Absoluto.
Recordemos que: * Entonces la función valor
Absoluto será:
x = Y = x ó f (x) =x
Donde:
F (x) =x =
Gráficamente:
2 3 -1
1
32
x
y = xD = RR = R
5. Función Cuadrática.
La forma general de la regla de correspondencia de la función
cuadrática es:
y = ax2 + b x + c; a ≠ o
* Si a 0 * Si a < 0
Las coordenadas del vértice se determinan mediante:
6. Función Máximo Entero.
Es aquella en la que a cada número real x se le asocia un número
entero n, por medio de la notación x de la siguiente manera:
y
x y = -x y = x
x
Y
v
VÉRTICE
x
D = RR = 0; +
y
n x n + 1 x = n
Su representación gráfica es:
1 2 3 -2-1 -1-2
2
1X
YD = RR = Z
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Sean los conjuntos: A
= {1; 2; 3; 4};
B = {1; 2; 3; 4; 5; 10} y la
relación R = {(a; b)
A x B/ b = a2 + 1}.
Determinar el número de
elementos del rango de dicha
relación.
Rpta.:
02) Para qué valor de a, la
relación: R = {(7; a), (3a2– 1, -
3), (7; 8 - 3a)} es una
fracción:
Rpta.:
03) Sea la relación: R = {(3; y + 5),
(6; x – 3), (x; 1 +3y), (6; 6 – 2x)}
Determinar el valor de :
S = x2 + y2 si es una función:
Rpta.:
04) Determinar el área de la
Región determinada por las
gráficas de las funciones:
Y = 3; Y = X, con el eje de
coordenadas.
Rpta.:
05) Determinar el área del
triángulo que se genera al
interceptar los gráficos de las
relaciones: X = 4; Y = 2; Y
= 2x.
Rpta.:
06) Dada la función:
f:(x)= x + 3 - x + 6 Hallar:
f (5) – f (-5)
Rpta.:
07) Si se sabe que f es una
fracción lineal, tal que;
f(5) = 27; f (-2) =6 Determinar:
f(1) + f(2)
Rpta.:
08) Determinar el rango de la
siguiente función: f(x) = x + |x|
Rpta.:
09) Indicar el mínimo valor de la
función cuadrática f si:
f(x) = 2(2x2 – 6x + 7)
Rpta.:
10) Si una función cuadrática es
tal que: f (0) = 2; f (1) = 6; f
(2)=16 .Determine: f (3) + f (4).
Rpta.:
11) Cuál es el máximo valor que
puede tomar la función:
f(x) = 24x – 7 -9x2
Rpta.:
12) Sea F la función tal que:
F(x + 1) = 3x + F(x). Además:
f (5) = 6; Hallar f (3)
Rpta.:
13) Para qué valor de m; la
relación: A = {(5 – m; 6);
(8; 3m – 5); (23; m + 13)}.
Resulta una función.
Rpta.:
14) Indicar el valor de a, si se sabe
que: B = {(2; m – 1); (3; a); (2;
5 – m); (m; 5) } es una función:
Rpta.:
15) Se da la relación:
F = {(5 + n; n2 – 12), (9; 6 + n),
(5 + n; n(n – 3))}. Hallar el
valor de: R = (1 – nn) 1/2 Si F
es una función.
Rpta.:
16) El rango de la función
mostrada es: E = {(6; n + 5),
(6; 9 – 3n) , (n; n)}
Rpta.:
17) Cuántos pares ordenados
conforman la relación R,
si: R = {(a; b) / a b Z+ a
+ b = 12}
Rpta.:
18) Sabiendo que: f(x) =
Hallar: f(4) + f(5) + f(6)
Rpta.:
19) Si la relación:
Es una función; determinar su
Rango:
Rpta.:
20. Sea la función F, cuya regla de
correspondencia es: Y = ax +
b; si los valores de la función
para X = 5 y x = 1 son 22 y 10
respectivamente. Hallar:
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA01) Calcular el rango de la función
mostrada:
a) {4; 8} b) {1; 2; 3}
c) {1; 4; 8} d) R
e) {1; 8}
02) Determinar el Rango de la
Función F, si:
a) {5} b) {25}
c) {50} d) {}
e)
03) Determinar la función lineal
que pasa por el origen de
coordenadas y por el punto
(3; 15).
a) X = 5Y b) Y = 5x
c) Y = X c) X = 2Y
e) Y = X + 5
04) Si el punto (2, 0) pertenece a
la gráfica de la función cuya
regla de correspondencia es: Y
= 5x – mx2 + 6. Hallar el valor
de A = 19 – m2
a) 3 b) 4
c) 16 d) 9
e) 4
05) Hallar el punto de intersección
de las gráficas de las
funciones lineales: Y = 4x + 6;
Y = 2x – 8; Dar como
respuesta la ordenada.
a) -20 b) -60
c) 0 d) -7
e) -22
06) Hallar la regla de la
correspondencia de la función
lineal que pasa por los puntos:
(-2; 3); (4; 33)
a) x = 5y + 13 b) x = 13y
c) x = 5y + 1 d) y = 5x + 13
e) y = x + 5
07) Se sabe que le punto (3; 38)
pertenece a la gráfica de la
función: Y = 3x2 + 2x + a.
Determinar el valor de a.
a) 3 b) 4
c) 6 d) 5
e) 8
08) Si los puntos (2; 11) y (3; 18)
pertenecen a la gráfica de la
función cuya regla de
correspondencia es:
Y = x2 + nx + m; hallar
R = m2+ n2 – m n.
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9
e) 10
09) Si una función lineal f es tal
que su gráfica pasa por los
puntos (1; 5) y (3; 1); hallar:
R = f (2) + f (4).
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
10) Se sabe que la gráfica de la
función cuya regla es:
Y = ax2 + b x + 2; contiene a
los puntos (2; 22) y (3; 47):
hallar el valor de: S = ab +2a.
a) 10 b) 12
c) 26 d) 13
e) 28
11) Determinar el rango de la
función mostrada: {(2; 3),
(5; 7), (2; a + 1), (a; b +2)}
a) {3; 7} b) {5}
c) {7} d) {2}
e) {2; 5}
12) Si una función lineal f pasa por
el origen de coordenadas y por
el punto (2; 8); determinar:
f (1) + f(3) + f(5) + f(7)
a) 48 b) 60
c) 56 d) 64
e) 60
13) Si un punto de la
representación gráfica de la
función; P(x) = 2x2 + 3x + m;
es (m; 12); hallar: (m + 1)2.
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
14) Si: (m; n) pertenece a la
gráfica de la función
f (x) = 3x2 + 5. Hallar:
a) 9 b) 6
c) 4 d) 2
e) 12
15) Hallar el punto de intersección
de la función lineal: Y = x + 6
con la función constante:
Y = 4.
a) (4; 0) b) (6; 2)
c) (-2; 4) d) 1
e) 0
TEMA: RAZONAMIENTO GEÓMETRICO
En este tema recordaremos los conceptos básicos de la geometría:
Segmento: Es la porción de recta, determinada entre dos puntos que se
encuentran en la misma.
Recta L
Ángulos: Es la porción de un plano situado entre dos semirectos,
llamados lados, que tiene un origen común, denominada vértice.
Ángulono convexo
Ánguloconvexo
Clasificación:
Llano Recto
Agudo
Obtuso
Ángulos entre Rectos Paralelos: Según la figura:
Si L1 // L2
a b
cd
e f
g h
P
L
L 2
1
Entonces:
a; b; g; h ángulos exteriores.
c; d; e; f ángulos interiores.
a y h; b y g ángulos alternos externos.
Donde: a = h y b = g
c y f; d y e ángulos alternos internos.
Donde: c = f y d = e.
a y g; b y h ángulos conjugados externos.
Donde: a + g = 180° y b + h = 180°
c y e; d y f ángulos conjugados internos.
Donde: c + e = 180° y d + f = 180
a y e; b y f; c y g; d y h ángulos correspondientes.
Donde: a = e; b = f; c = g; d = h
EJERCICIOS PARA LA CLASE
01) En la figura:
A B C D
¿Qué figura resulta de:
Rpta.:
02) En la figura:
A B C
AC = 48 y AB = 2BC; calcular
BC
Rpta.:
03) En la figura mostrada:
BC = 3AB y AC = 20; Hallar
AB
Rpta.:
04) En la figura, M es punto medio
de ; calcular el valor de x:
Rpta.:
05) Los puntos P, Q, R y S son
colineales y consecutivos.
PQ = RS = QR + 2 y PS = 37
Calcular QR:
Rpta.:
A B
F MX - 2 10 - x
06) Calcular “x” en el siguiente
gráfico:
x52° 70°
Rpta.:
07) Calcular “x” si:
127°X
Rpta.:
08) En el gráfico calcular “x”.
Rpta.:
09) Calcular “x” si: . Bisectriz
del BOC.
Rpta.:
10) Calcular “x” en el gráfico
siguiente:
Rpta.:
11) Calcular “x”: Si L1 // L2
Rpta.:
12) Hallar “x” en: Si L1 // L2
A 0 C
X160°
B
M
L
L2
156°
51°X
160ºX 125º
X + 20º X 0
Rpta.:
13) En el gráfico hallar “x”:L1 // L2
Rpta.:
14) Hallar “x” en: Si L1 // L2
Rpta.:
15) Calcular “x” en el gráfico
siguiente Si L1 // L2
Rpta.:
16) Las longitudes de todas las
aristas de un cubo suman 36 cm.
¿Cuánto mide cada arista?
Rpta.:
17) Un prisma tiene en total 20
vértices. ¿Cuántas caras tiene
en total?
Rpta.:
18) ¿Cuál es el área total de un
cubo cuya arista mide 2 cm?
Rpta.:
19) Una pirámide tiene en total 12
aristas. ¿Hallar el número total
de caras?
Rpta.:
20) ¿Cuántas caras tiene una
pirámide cuya base es el
pentágono?
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) En la figura:
X
135°
L
L2
1
L3
L1L3
2x L1
L23x80°
L1
L2X
105°
L
L2
1
70°
X
A que es igual:
a) b)
c) d)
e)
02) En el siguiente gráfico calcular
“x”:
: Bisectriz del AOC; :
Bisectriz del COE
a) 72° b) 71°
c) 70° d) 69°
e) N. A
03) Hallar “x” en: L1 // L2
a) 90° b) 91°
c) 92° d) 93°
e) 94°
04) Un prisma tiene en total 10
caras ¿Cuántos lados tiene la
base?
a) 8 b) 7
c) 6 d) 5
e) 4
05) El área de un cuadrado es
81 cm2. Calcular el perímetro.
a) 34 cm. b) 36 cm.
c) 38 cm. d) 32 cm.
e) N. A.
06) En la figura:
EF = DE + 10 y DF = 60
Calcular: DE
a) 23 b) 24
c) 25 d) 26
e) 27
07) En el gráfico:
PQ = QR = RS y PR + QS =
100 Calcular: PS
x160°
L1
L2
X +12°
200° - X
D E F
P Q R S
a) 73 b) 75
c) 77 d) 79
e) N. A.
08) Hallar “x” en: Si : bisectriz
AOB
a) 35° b) 36°
c) 37° d) 38°
e) N. A.
09) En la figura hallar “x”,Si L1 // L2
a) 31° b) 32°
c) 33°° d) 34°
e) 35°
10) La base de un prisma es un
pentágono regular, ¿Cuántas
aristas tiene dicho prisma?
a) 14 b) 15
c) 5 d) 10
e) N. A.
11) ¿Cuántos vértices tiene una
pirámide cuya base es un
hexágono?
a) 7 b) 8
c) 9 d) 16
e) N. A.
12) A, B y C son tres puntos
consecutivos de una recta. AC
= 120 y AB = BC + 10 Calcular
BC.
a) 65 b) 75
c) 60 d) 55
e) 50.
13) Calcular “x”:
a) 58° b) 68°
c) 69° d) 59°
x 3xA 0 E
BM
160ºx
2x 33º 72º
L1
L2
x
112°
e) N. A. 14) En el gráfico calcular “x”
L1 // L2
a) 75° b) 80°
c) 85° d) 90°
e) N. A.
15) ¿Cuántas caras tiene un
cubo.?
a) 4 b) 6
c) 8 d) 10
e) 2.
40°L1
L260°
X
b
h
h
b
d
D
TEMA: ÁREAS SOMBREADAS
Para solucionar problemas sobre áreas sombreadas es necesario conocer algunas
formulas de áreas de algunas figuras para lo cual te presentamos una lista de figuras
con sus respectivas fórmulas, para luego solo ponernos a aplicar dichas fórmulas.
AREAS DE FIGURAS PLANAS
01. TRIANGULO 06. CUADRADO
2
.hbA
02. TRIANGULO RECTANGULO 07. RECTANGULO
2.ca
A
03. T. FORMULA TRIGONOMETRICA 08. PARALELOGRAMO (Romboide)
04. TEOREMA DE HERON 09. ROMBO
))()(( cpbpappA Donde:
p =
P: semiperimetro
05 TRIÁNGULO EQUILATERO 10. TRAPECIO
b
h
c
a
b
a
b
a C
1
1
d
2Senb.a
A
hl
B
m
b
°
r
l
D
ra b
c
a b
c
AP
Donde:
11. POLIGONO REGULAR 17. LONGITUD DE CIRCUNFERNCIA Donde: p: Semiperimetro Ap: Apotema
12. CÍRCULO18. L. DE ARCO DE
CIRCUNFERENCIA
Donde:
13. SECTOR CIRCULAR 19. T. EN FUNCION DEL INRADIO
Donde: P = a + b + c
2
14. SEGMENTO CIRCULAR20. T. EN FUNCION DEL
CIRCUNRADIO.
15. CORONA CIRCULAR 21.TRIANGULO RECTANGULO
D
r
r°r
°
r
l
4
32lA
3
32hA
B
rR
Ar
m n
R
16. TRAPECIO CIRCULAR 22. TRIANGULO RECTANGULO
En donde veremos algunas aplicaciones:
Ejemplo:
* Hallar el área de la siguiente figura si:
R = 7 y r = 4
Solución:
Sabemos que: A = (R2 – r2)
A = (72 – 42)
A = 33
EJERCICIOS PARA LA CLASE
r
R
O
°
r
R
A
B C
DE
Calcular el área de la región
sombreada, en cada uno de los
siguientes casos:
01)
Rpta.:
02) Si AE = ED
Rpta.:
03)
Rpta.:
04)
Rpta.:
05)
Rpta.:
06) Si AD = 3 y AF = 1
Rpta.:
07)
Rpta.:
A
B C
DE
S1
S2 S3
A B
CD
E
a
2
08)
Rpta.:
Hallar el área sombrada, si el lado
de los cuadrados de las figuras
siguientes mide 4 cm.
09)
Rpta.:
10)
Rpta.:
11)
Rpta.:
12) hallar el área de la región
sombreada, si el área del
cuadrado es 24
Rpta.:
13)
Rpta.:
14)
Rpta.:
15) Hallar el área sombreada, si el
diámetro mayor es 4 cm.
Rpta.:
16) Hallar el área sombreada, si el
área del triangulo es 16 u2.
Rpta.:
17) Hallar el área sombreada, si el
lado del rombo mide 6 cm. Y
su menor ángulo es 60°.
Rpta.:
18) Hallar el área sombreada, si el
diámetro mayor es 8 cm.
Rpta.:
19) Hallar el área sombreada, si
el lado del sector circular
mayor es 8 cm.
Rpta.:
20) Hallar el área sombreada, si el
lado del sector circular mayor
es 4 cm.
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Hallar el área de la región
sombreada
Rpta.:
a) b) c) d) e)
02) Hallar el perímetro de la región
sombreada.
Rpta.:
03) Hallar el área de la región
sombreada. El lado del
cuadrado es 6 cm.
Rpta.:
04) Hallar el área de la región
sombreada, si el lado del
cuadrado mide 8m.
Rpta.:
05) Hallar el área de la región
sombrada, si el lado del
triangulo equilátero mide 8 cm.
Rpta.:
06) Hallar el perímetro de la región
sombreada.
Rpta.:
4
18
8
2
2
22
8
12
07) Si el lado del cuadrado es 4
cm., hallar el área de la región
sombreada.
Rpta.:
08) Hallar el área de la región
sombreada, si el lado del
cuadrado es 4 cm.
Rpta.:
09) Hallar el área de la región
sombreada.
Rpta.:
10) Hallar el área de la región
sombreada.
Rpta.:
11) El área sombreada es al área
del cuadrado ABCD como:
Rpta.:
12) El área sombreada es 2. ¿Cuál
es el área del paralelogramo
ABCD?
Rpta.:
13) Calcular el área de la región
sombreada; si el lado del
cuadrado mide 4.
53°
37°
100
A
D
B C
13
3
1 3
1
A B
CD
Rpta.:
14) Calcular el área de la región
sombreada.
Rpta.:
15) Hallar el área de la región
sombreada.
Rpta.:
6U
6U
a
c
d
e
b
0 r
r
A
r B
0
TEMA: PERÍMETROS
Para solucionar problemas de este tipo es necesario saber que el
perímetro viene a ser la distancia que hay alrededor de cualquier figura.
Por lo tanto tendremos:
1. El primer perímetro de un polígono es la suma de longitudes de todos
sus lados:
P = a + b + c + d + e
2. La longitud de un circunferencia de radio “r” es:
L = 2 x x r
3. La longitud de un arco AB, de ángulo central con medida “” en una
circunferencia de radio “r” es:
4. Al semiperímetro se le cono con una letra “P” y representa la mitad del
perímetro.
360
xrx2ABL
Ósea:
Ahora veamos algunos ejemplos:
El Perímetro de un cuadrado es 24 cm. Calcular la longitud de la
circunferencia inscrita.
Solución:
Grafiquemos la figura:
Sea el cuadrado ABCD, si P = 24
Entonces el lado es = 6 Entonces el diámetro = 6
a. Si el lado = 6 Donde el radio = 3
En consecuencia: L = 2 x x r
L = 2 x x 3
L = 6
0 r
A B
CD
EJERCICIOS PARA LA CLASE
01) Hallar el perímetro de un
rectángulo cuya base es doble
de la altura, sabiendo que esta
última mide 5 cm.
Rpta.:
02) Hallar el perímetro de un
rectángulo, cuya altura mide
10 cm. y la base 3 cm. más.
Rpta.:
03) Dos lados de un cuadrado
miden (12 – 3x) cm. y (14 – 4x)
cm. Calcular el perímetro.
Rpta.:
04) El área de un rectángulo es 24
cm2 y la altura mide 4 cm.
Calcular el perímetro.
Rpta.:
05) Dos lados de un triángulo
equilátero miden (x + 3) cm. y
(2x – 7) cm. Calcular el
perímetro.
Rpta.:
06) El área de un rectángulo es 15
cm2 y sus lados tienen por
longitudes números enteros de
cm. Hallar el perímetro de
dicho rectángulo, sabiendo
que es el mayor posible.
Rpta.:
07) Calcular la longitud de una
circunferencia de diámetro
cm.
Rpta.:
08) Calcular el perímetro de la
figura sombreada.
1 cm.
Rpta.:
09) Calcular el perímetro de la
figura sombreada, si las
semicircunferencias tienen
radios iguales a 2 cm.
Rpta.:
10) Calcular el perímetro de la
región sombreada, si r = 2 cm.
Rpta.:
11) Calcular el perímetro de:
Rpta.:
12) Hallar el perímetro del
cuadrado ABCD; si M es punto
medio del lado CD y AM =
Rpta.:
13) El área de la cruz de la figura
formada por cuadrados iguales
es 80 cm2. ¿Cual es el
perímetro de la cruz?
Rpta.:
14) En la figura se muestran los
cuadrados A, B y C Hallar:
Perímetro de A + Perímetro de B
Perímetro de C
r
rr
3
4
B C
M
A D
Rpta.:
15) Dado el cuadrado ABCD y el
triangulo Isósceles EGF de
lados EF = FG = a. Hallar el
perímetro de la región
sombreada en la figura.
Rpta.:
16) Hallar el perímetro de la figura
sombreada, si ABCD es rectángulo.
Rpta.:
17) En la figura la razón entre el
perímetro del rectángulo
ABCD y el perímetro del
rombo ECFD es:
Rpta.:
18) Hallar el perímetro de la región
sombreada si las semi
circunferencias son iguales.
Rpta.:
19) Si el perímetro de la figura es
45, el lado mayor mide:
Rpta.:
C
B
A
a a
a
a a
A
B C
Da
R
2X +7
X
X + 82X
A
B C
D
E F
G
P
Q
A
B C
D
EF
30°
20) El perímetro de un rombo
es 60 cm. ¿Cuánto mide el
área del cuadrado cuyo
lado es la tercera parte
del lado del rombo.
Rpta.:
EJERCICIOS PARA LA CASA
01) El perímetro del cuadrado es
28 cm. ¿Cuánto mide el lado
de un rombo, si excede el lado
del cuadrado en 12 cm?
a) 48 cm. b) 76 cm.
c) 19 cm. d) 18 cm.
e) 20 cm.
02) ¿Cuánto mide el área del
rectángulo donde el largo es el
doble del ancho y que
perímetro es 36 cm?
a) 32 cm2 b) 64 cm2
c) 128 cm2 d) 16 cm2
e) 72 cm2
03) Hallar el área de un cuadrado
cuyo perímetro es 28 cm.:
a) 7 m2 b) 9 m2
c) 16 m2 d) 37 m2
e) 49 m2
04) Hallar el área del rectángulo
en el cual el largo excede en
12 cm. al ancho y su
perímetro es 56 cm.
a) 100 m2 b) 120 cm2
c) 60 m2 d) 120 m2
e) 110 m2
05) ¿Cuánto mide el lado de un
triangulo equilátero cuyo
perímetro mide 63 m?
a) 69 cm. b) 21 cm.
c) 60 cm. d) 29 cm.
e) N. A.
06) El perímetro de un triángulo
equilátero cuyo lado mide 1/6
m es:
a) 0,5 m b) m
c) m d) cm
e) 2 m.
07) Los lados de un cuadrilátero
son 4 números consecutivos y
su perímetro mide 26 cm. El
lado mayor mide:
a) 6 cm. b) 9 cm.
c) 7 cm. d) 8 cm.
e) 10cm.
08) Si el perímetro de un triángulo
equilátero mide 12 cm., su
lado tiene:
a) 3 cm. b) 36 cm.
c) 4 cm. d) 6 cm.
e) 8 cm.
09) Los lados de un triángulo
miden: x/2, x – 7 y x/3 y su
perímetro 15. Su lado mayor
mide:
a) 12. b) 6
c) 5 d) 4
e) 9
10) Hallar el área de un cuadrado
cuyo lado mide igual que el
lado de un triángulo equilátero
cuyo perímetro es 9m.
a) 4 m2 b) 6 cm2
c) 81 m2 d) 16 m2
e) 9 m2
11) Los lados de un triángulo
miden: a, a + 2 y a – 3 y su
perímetro 20. ¿Cuánto mide el
lado menor?
a) 4 b) 9
c) 7 d) 5
e) 3
12) Las medidas de los lados de
un triángulo son números
enteros consecutivos cuya
suma es 54. ¿Cuánto mide el
lado intermedio del triángulo?
a) 17 b) 19
c) 16 d) 18
e) 20
13) Un terreno de cultivo tiene
60m de largo por 40m de
ancho. ¿Cuántas parcelas
cuadradas de 5m de lado se
podrán obtener?
a) 94 b) 95
c) 96 d) 98
e) 97
14) El perímetro de un triángulo
equilátero mide 36 cm.
¿Cuánto mide en metros el
perímetro de un rectángulo
cuyo ancho es igual al lado del
triángulo y cuyo largo es el
triple de su ancho?
a) 0,95 m b) 0,92 m.
c) 0,94 m. d) 0,96 m.
e) 0,90 m.
15) Los lados de un cuadrilátero
miden: x – 1, x + 3, 2x + 1 y
2x – 3 y su perímetro 48.
¿Cuánto mide el lado mayor?
a) 13 b) 17
c) 11 d) 7
e) 8
MISCELANEAS DE PROBLEMAS
01) La edad de Marco es los 2/3
de 1/4 de 144 y la de Andrea
es ¾ de 1/6 de 128. ¿Qué
edad tenia Marco cuando
Andrea nació?
a) 8 b) 6
c) 4 d) 2
e) 9
02) Al tesorero de una sección le
falta 1/7 del dinero que se le
confío. ¿Qué parte de lo que le
queda restituirá lo pedido?
a) 6/49 b) 1/6
c) 1/7 d) 1/8
e) 1/5
03) Rosario gasta en alimentos la
mitad de lo que gana y los 2/3
de lo que resta lo gasta en
otras necesidades. Al cabo de
dos años, ahorró S/. 1600.
¿Cuánto gana por mes?
a) S/. 500 b) S/. 400
c) S/. 450 d) S/. 350
e) S/. 470
04) En 5 y 8 manzanas pesan un
kilogramo. ¿Cuánto pasearán
como mínimo 8 docenas de
manzanas?
a) 10 Kg. b) 8 Kg.
c) 5 Kg. d) 12 Kg.
e) 13 Kg.
05) Si se duplicara tu estatura y
tus otras dimensiones: ¿Por
cuánto habría que multiplicar
tu peso?
a) 2 b) 8
c) 6 d) 4
e) 5
06) Yéssica es la hija de la esposa
del hijo único de mi abuela. ¿Qué
parentesco me une a Yéssica?
a) Es mi prima
b) Es mi cuñada
c) Es mi esposa
d) Es mi amiga
e) Es mi hermana
07) Si la base de un rectángulo
mide 16 cm y su altura los ¾ de la base, el perímetro del
rectángulo mide:
a) 28 cm b) 56 cm
c) 30 cm d) 60 cm
e) 58cm
08) En la figura adjunta, el
semiperimetro mide:
a) b)
c) d)
e)
09) Si la longitud de una
circunferencia mide 31,40 cm,
entonces su radio mide:
b
a
( = 3,14)
a) 8 cm b) 6 m
c) 5 m d) 4 cm
e) 4,5 cm
10) Dos números son entre si
como 5 es a 8, si la suma de
sus cuadrados es 712 su
diferencia es:
a) b)
c) d)
e)
11) En una proporción geométrica
discreta la diferencia entre los
medios es 14. hallar uno de los
términos medios si se sabe
que el producto de los cuatro
términos de la proporción es
2601.
a) 4 b) 2
c) 1 d) 3
e) 5
12) La suma, la diferencia y el
producto de dos números
están en la misma relación que
los números 11; 3 y 560. hallar
uno de los números.
a) 85 b) 90
c) 110 d) 120
e) 140
13) Dados los conjuntos:
A = { 2; 3; 4; 5 } y
B = { 3; 6; 7; 10 } con la
relación:
R = { (x, y) A x B / “y” divide
a “x” exactamente }
. Los pares ordenados que
satisfacen la relación R son:
a) (3 ; 3) (2 ; 6) (2 ; 10) (5 ; 10)
b) (3 ; 4) (6 ; 4)
c) (4 ; 7) (4 ; 10)
d) (4 ; 3) (3 ; 3) (5 ; 3)
e) (4 ; 7) (5 ; 6) (3 ; 7) (3 ; 10)
14) Dados los conjuntos:
A = { 1; 2; 3; 4 } y
B = { 1; 4; 6; 9 } y la relación:
R = { (x , y) A x B / y = x2 }
¿Cuántos pares ordenados
satisfacen la relación “R”?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
15) Hallar: “a” para que el conjunto
de pares ordenados.
F = { (2 ; 3) , (-1 ; -3) ,
(2; a + 5) }
Se una función:
a) 2 b) -2
c) 1 d) 3
e) N.A
16) Calcular el área del AMN de
la figura si: ABCE es un rombo
con M y N puntos medios y
cuya área es igual a 16 m2.
a) 4 m2 b) 6 m2
c) 8 m2 d) 10,6 m2
e) Faltan datos
17) Hallar el área del trapecio
ABCD; si: el área del ABH =
8 m2, además
a) 20 m2 b) 24 m2
c) 30 m2 d) 32 m2
e) 16 m2
A
B
C
E
M N
A B
CD H
18) Calcular “x” si los cuadrados
son congruentes.
a) 30° b) 37°
c) 53° d) 16°
e) 15°
19. Hace 10 años la edad de
César era el triple que la de
Carlos. Si actualmente César
dobla en edad a Carlos.
¿Cuál será la edad de César
dentro de 12 años?
Rpta.:
20. El Señor López y su hijo
tienen edades cuya suma es
10 años. Si la edad del señor
López es disminuida en 20
años se obtendría el doble
de la de su hijo. ¿cuántos
años cumplió su hijo el año
pasado?
Rpta.:
21. Dentro de 8 años la edad de
José será el doble de la de
Jorge. Si actualmente la
edad de José es el triple de
la de Jorge; hallar la edad
actual de Jorge.
Rpta.:
22. Si la edad de Felipe es 3
veces la de Pablo y juntos
suman 52 años; dentro de
cuántos años, será la edad
de Pablo la mitad de la
Felipe.
Rpta.:
23. Hace 30 años la sexta parte
de la edad que tiene ahora.
¿Qué edad tendrá dentro de
4 años?
Rpta.:
24. Dentro de 40 años, Arturo
tendrá el quintuple de su
X
edad actual. ¿Qué edad
tenía hace 3 años?
Rpta.:
25. Manuel tiene el triple de la
edad de Sara que tiene 12
años. ¿Cuántos años
pasarán para que la edad de
Manuel sea el doble de la
edad de Sara?
Rpta.:
26. Dentro de 4 años, el
cuadrado de la edad de
Javier será 4 veces la edad
que tiene aumentada en 28
años. ¿Cuál es su edad de
Javier?
Rpta.:
27. La edad de Diana dentro de
4 años será un cuadrado
perfecto. Hace 8 años su
edad era la raíz de ese
cuadrado perfecto. ¿Qué
edad tendrá Diana dentro de
8 años?
Rpta.:
28. Actualmente tengo el triple
de tu edad, pero dentro de
12 años tendré solo el doble.
¿Qué edad tienes?
Rpta.:
29. Yo tengo el doble de tu edad,
pero él tiene el triple de la
mía, si dentro de 56 años él
va a tener el cuadruple de tu
edad. ¿Dentro de cuántos
años tendré 30 años?.
30. Cuando Yo nací, mi padre
tenía 38 años. ¿Qué edad
tiene mi padre, si
actualmente nuestras edades
suman 80 años?
31. Dentro de 10 años tendré 3
veces la edad que tenía hace
10 años. ¿Cuántos años
tenía hace 5 años?
Rpta.:
32. Si sumo de dos en dos las
edades de mis tres hijas
obtengo 13, 17 y 24 años.
¿Qué edad tiene Nataly,
siendo ella mayor?
Rpta.:
33. La edad de un padre y su
hijo suman 35 años si el
padre tuviera 17 años menos
y el hijo 8 años más; los dos
tendrían la misma edad.
Determinar cuántos años
tiene el padre?
Rpta.:
Índice
Fracciones 03
Razonamiento Lógico 11
Razones y Proporciones 19
Relaciones y Funciones 29
Razonamiento Geométrico 47
Áreas Sombreadas 55
Perímetros 65