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RichtungswinkelvonVektoren
1E1 Ma1LubovVassilevskaya
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Aufgabe1Aufgabe1
Gegeben ist ein Vektor u. Gesucht sind die Winkel und ,die umit den Koordinatenachsen einschliet
Abb.11:DerVektoruim2DrechtwinkligenKoordinatensystem
a ) u = u x , u y , b ) u = 3, 2 , c ) u = 2, 2
d ) u = 4, 1 , e ) u = 2, 2 , f ) u = 2 3 , 21A Ma1LubovVassilevskaya
Abb.12:DerVektoruim2DrechtwinkligenKoordinatensystem,dieEinheitsvektoren
u = ux , u y , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = u x2 u y2
cos =u e x
u e x =
ux 1 u y 0 u 1
=ux u
, = arccos ux u cos =
u e y u e y
=u x 0 u y 1
u 1=
u y u
, = arccos u y u
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1aLsung1a
11 Ma1LubovVassilevskaya
Abb.13:DerVektoru=(3,2),dieEinheitsvektoren
u = 3, 2 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = ux2 u y2 = 13cos =
u e x u ex
=u x u
= 313
, = arccos 313 = 33.69 cos =
u e y u e y
=u y u
= 213
, = arccos 213 = 56.31
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1bLsung1b
12 Ma1LubovVassilevskaya
Abb.14:DerVektoru=(2,2),dieEinheitsvektoren
u = 2, 2 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 8
cos =ux u
= 28
= 12
, = arccos 12 = 4u x = u y = =
4
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1cLsung1c
13 Ma1LubovVassilevskaya
Abb.15:DerVektoru=(4,1),dieEinheitsvektoren
u = 4, 1 , e x = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 17
cos =ux u
= 417
, = arccos 417 = 14.04cos =
u y u
= 117
, = arccos 117 = 104.04
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1dLsung1d
14 Ma1LubovVassilevskaya
Abb.16:DerVektoru=(2,2),dieEinheitsvektoren
u = 2, 2 , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 8
cos =ux u
= 28
= 12
, = arccos 12 = 4 = 34cos =
u y u
= 28
= 12
, = arccos 12 = 4
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1eLsung1e
15 Ma1LubovVassilevskaya
Abb.17:DerVektoru=(23,2),dieEinheitsvektoren
u = 2 3 , 2 , ex = 1, 0 , e y = 0, 1 , u = 4
cos =ux u
= 32
, = arccos 32 = 6 = 56cos =
u y u
= 12, = arccos 12 = 3
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung1fLsung1f
16 Ma1LubovVassilevskaya
RichtungswinkelneinesVektorsRichtungswinkelneinesVektors
Abb.21:DerVektoru,seineRichtungswinkeln
21 Ma1LubovVassilevskaya
Ein Vektor ist eindeutig durch Betrag und Richtung festgelegt. DieRichtung bestimmen wir z.B. durch die Winkel, die der Vektor mitden drei Basisvektoren bildet.
ist der Winkel, den der Vektor mit der x-Achse bildet.
Die Richtungswinkel sind nicht unabhngig voneinander, sondernber die Beziehung
miteinander verknpft.
cos =a e x
a e x =
a x a 1
=ax a
cos =ax a
, cos =a y a
, cos =a z a
cos2 cos2 cos2 = 1
RichtungswinkelneinesVektorsRichtungswinkelneinesVektors
22 Ma1LubovVassilevskaya
Aufgabe 2: Berechnen Sie den Winkel, der von den Vektoren a und b eingeschlossen wird. Wie gro ist der Winkel, den der Vek- tor a mit der x-Achse bildet?
Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lnge, den Einheitsvektor und die mit den Basisvektoren gebildeten Winkel des Vektors
Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Richtungswinkel der folgenden Vektoren
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Aufgaben24Aufgaben24
a ) a = 23 5 , b = 452 , b ) a =
211 , b =
0 11
v = 2 e x e y 2 e z
v1 = 514 , v2 = 3 58 , v3 =
112 10
3A Ma1LubovVassilevskaya
Lsung 2a):
Lsung 2b):
a ) a = 23 5 , b = 452 , a = 38 , b = 45 = 3 5
cos = a b
a b =
ax bx a y b y az bz
ax2a y2az2 bx2b y2bz2
cos = 13 38 45
0.314 , = 71.68
cos =a e x
a ex =
ax a
= 2 38
0.324 , = 71.07
b ) a = 211 , b = 0 11 , a = 6 , b = 2
cos = 0 , = 90
cos = 2 6
0.816 , = 35.26
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung2Lsung2
31 Ma1LubovVassilevskaya
Lsung 3:
Lsung 4:
v = 2 e x e y 2 e z = 212 , v = 22 12 22 = 3ev =
v| v |
= 23
e x 13
e y 23
e z
cos =a x
| a |= 2
3, cos =
a y| a |
= 13, cos =
az| a |
= 23
= 48.19 , = 109.47 , = 131.81
v1 : = 39,51 , = 81,12 , = 51,89
v2 : = 107,64 , = 59,66 , = 143,91
v3 : = 42,83 , = 97,66 , = 48,19
RichtungswinkelneinesVektors:RichtungswinkelneinesVektors:Lsung3,4Lsung3,4
32 Ma1LubovVassilevskaya