Post on 11-Jan-2016
description
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia
Řešení rovinných rámů s posuvnými styčníky při silovém zatížení ZDM
• Rovinné rámy s posuvnými styčníky• Patrové rovnice• Příklady postupu řešení rámu s posuvnými styčníky
2
ZDM, styčníkové rovniceStyčníkové rovnice ve ZDM vyjadřují momentové podmínky rovnováhy
0 )32(
)22(4
3)22(´
)32(
),,,(
ae
MkMM
kkMM
kMM
MMMMMedcbiMM
addaadadad
acbaacacbaacacac
abbaababab
aaeadacabaai
3
ZDM, patrové rovnice Patrové rovnice vyjadřují silovou podmínku rovnováhy
ve směru nezávislého posunu nauvolněné části rámu (nosníku), odděleného patrovým řezem, obsahující styčníky se stejným posunem
Patrové rovnice se sestavují pro rámy (nosníky) s posuvnými styčníky.
Rámy (nosníky) s posuvnými styčníky jsou konstrukce, u kterých při sestavování základní deformačně určité soustavy vkládáme fiktivní silové vazby.
4
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky
Rám má posuvné styčníky
v horizontálním směru: 1) a, b, c
2) e,d
Ve vertikálním směru: b, e
Stupeň přetvárné neurčitosti je:
npz = 8
5
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování
Základní deformačně určitá soustava se vytvořila vložením 5 fiktivních momentových vazeb a 3 silových fiktivních vazeb bránících možnému posunu styčníků
Počet neznámých parametrů deformace je 8, jsou jimi pootočení styčníků a, b, c, d, e a posuny v horizontální směru I=ua=ub=uc , II= ue=ud a ve svislém směru III=wb=we.
6
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování
Posunutí prutů způsobují:
a) Nezávislá pootočení prutů
b) Závislá pootočení prutů (vyjádřitelná pomocí nezávislých)
IIIbc
ab
bc
III
ab
IIIabIII
cd
III
be
IIIcdbeII
Icg
af
cg
I
af
IafI
l
l
ll
ll
l
l
ll
bc
cg
,
,
7
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Patrovým řezem I – I oddělíme styčníky a, b, c se stejným posunem I.
Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Vaf a Vcg.
Ve směru posunutí I musí platit podmínka rovnováhy:
43 0 FFVVF cgafix
8
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Posouvající síly Vaf a Vcg lze vyjádřit:
afIcg
afcgafc
cg
afcgaaf
cgaf
cg
cgcg
cg
Icg
afccg
cg
gccg
cg
gccg
cgcg
af
afaf
af
Iaaf
af
faaf
af
faaf
afaf
lFFl
lkk
l
lkk
FFVVP
cl
Jk
l
l
lk
l
MM
l
MMVV
cl
Jk
l
k
l
MM
l
MMVV
)()26(23
:je úpravě a rovnováhy podmínky do dosazení o
4
3 kde ,
)22(ˆˆ
kde ,)63(ˆˆ
432
2
43
0
0
9
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Patrovým řezem II – II oddělíme styčníky c, d se stejným posunem II.
Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Veb a Vdc.Ve směru posunutí II musí platit podmínka rovnováhy:
4 0 FVVF dcebix
10
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Po dosazení do podmínky rovnováhy Veb+Vdc=F4 je:
beIIbeIIcdebedcdccdbbe
cdbecd
cdcd
cd
IIdccd
cd
cddc
cd
cddc
dcdc
be
bebe
be
IIebbe
be
beeb
be
beeb
ebeb
lFkkkkkk
lll
Jk
l
k
l
MM
l
MMVV
l
Jk
l
k
l
MM
l
MMVV
4
0
0
663333
kde
,)633(ˆˆ
kde
,)633(ˆˆ
11
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Patrovým řezem III – III oddělíme styčníky e, b se stejným posunem III.
Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Vba, Vbc a Ved.Ve směru posunutí III musí platit podmínka rovnováhy:
21
21
0 0
FFVVV
FFVVVF
bcedba
bcedbaiz
12
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
Po dosazení do podmínky rovnováhy Vba-Vcc-Ved=F1+F2 je:
bc
bcbc
bc
cbbc
bcbc
cd
IIIbc
abcbbc
bc
bc
cbbc
bc
cbbc
bcbc
ab
abab
ab
baab
baba
ab
IIIbaabba
ab
baab
ab
baab
baba
l
Jk
l
MMVV
l
l
lk
Vl
MM
l
MMVV
l
Jk
l
MMVV
l
kV
l
MM
l
MMVV
kde
,
)633(ˆˆ
kde
,)633(ˆˆ
0
0
0
0
13
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy
bcedbcbadebcab
eed
abedd
ed
abedc
bc
abbcb
bc
abbcabaab
bcdede
dede
de
edde
eded
de
IIIbc
abedde
ed
de
edde
de
edde
eded
lVVVFFl
lk
l
lkk
l
lk
l
lk
l
lk
l
lkkk
lll
Jk
l
MMVV
l
ll
k
Vl
MM
l
MMVV
bc
ab
bc
ab ))(()666(
333)33(3
:je úpravě a dosazení Po
kde
,
)633(ˆˆ
2132
2
2
2
0
0
14
ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, sestavení matice tuhosti rámu
15
ZDM příklad řešení rámu s posuvným styčníkem
16
ZDM příklad řešení rámu s posuvným styčníkem
17
Zjednodušená deformační metoda
Řešení rámů s posuvnými styčníky
18
Rám s posuvnými styčníky
Zjednodušená deformační metoda
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
19
Rám s posuvnými styčníky
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
20
Postup výpočtu1. Stupeň přetvárné neurčitosti np
2. Poměrné tuhosti prutů3. Primární momenty a posouvající síly4. Sekundární momenty a posouvající síly5. Styčníkové rovnice6. Patrové rovnice (určení posunutí )7. Řešení soustavy rovnic8. Koncové momenty9. Posouvající síly10. Normálové síly11. Reakce 12. Vykreslení vnitřních sil
21
1. Stupeň přetvárné neurčitosti np
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
c d
uc = ud =
22
2. Poměrné tuhosti prutů kab
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
Iczvolenoc
Ic
LI
k
cI
cLI
kcI
cLI
k
126
2
462
49
443
43
3
33
2
22
1
11
23
3. Primární momenty a posouvající síly
kNmqlM
kNmqlM
kNml
bFaM
kNml
FabM
kNmM
bd
db
dc
cd
ca
33,321012
1
12
1
33,321012
1
12
1
44,46
4210
89,86
4210
0
223
223
2
2
22
2
2
2
22
2
posunumístěvjenVpotřebnéemenepotřebujV
V
kNV
dc
cd
ca
0
kNl
MMVV bddb
dbdb 102
33.333.32.10
21
30,
24
4. Sekundární momenty a posouvající síly
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
ltg
1
3
13
11
3
11
33
111
1
2
l
l
l
l
l
ll
25
4. Sekundární momenty a posouvající síly
abbab
ab
ab
baba
abbbaba
abaab
ab
ab
abab
abaabab
abbaab
ab
ab
baabab
abbaabab
lk
l
k
lk
l
k
lk
l
k
MV
M
MV
M
MMV
M
220
22
220
22
633
32
a b
a b
a b
26
4. Sekundární momenty a posouvající síly
133
133
22
22
1111
36632
361232
4832
4832
29
29
2249
22
ddbbd
dbddb
cdcddc
dcdccd
cccca
kM
kM
kM
kM
kM
133
3
1111
1
369633
89
89
24.4
92
4.49
22
dbddb
cccca
lk
V
lk
V
3=1
3=1
27
5. Styčníkové rovnice
89,85,445,12
89,80485,45,4
0:0
1
1
dc
dcc
cdcaci MMM
11,136204
33,344,4361248
0:0
1
1
dc
dcd
dbdcdi MMM
28
6. Patrové rovnice
abMbaM
abNabV baN
baV
ba
Akce konců prutu na styčníky
29
6. Patrové rovnice
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
30
6. Patrové rovnice
q =
10
kN
/m
a
b
c
4
1
2 d
3 2
4
I
2 I
I
2
10 kN
10 kN
Vca Vdb
010:0 kNVVF dbcaix
0125,379125,1
10369108
9
8
90
10
1
11
dc
dc
dbdbcaca VVVV
31
7. Řešení soustavy rovnic
89,85,445,12:0 1 dcciM
11,136204:0 1 dcdiM
0125,379125,1:0 1 dcixF
0494,0
3024,0
7902,0
1
d
c
32
7. Řešení soustavy rovnic
21 22 kk 2k 12k cdca MM
2k32 22 kk
3
133
l
lk dbdc MM
1
12lk
3
33l
k
3
1
3
3
1
1 62ll
l
k
lk dbca VVF
c
c
d
d
1
1
..SP
33
7. Řešení soustavy rovnic
21 22 kk 2k 12k cdca MM
2k32 22 kk
3
133
l
lk dbdc MM
12k3
133
ll
k23
21
31 62ll
kk 11 lVVFl dbca
c
c
d
d
1
1
..SP
34
8. Koncové momenty
kNmM
kNmM
kNmM
kNmM
kNmM
bd
db
dc
cd
ca
29,30494,0363024,0633,3
18,50494,0363024,01233,3
18,57902,043024,0844,4
78,33024,047902,0889,8
78,30494,05,47902,05,40
35
9. Posouvající síly
kNl
MMqlV
kNl
MMqlV
kNl
MM
l
aFV
kNl
MM
l
bFV
kNl
MMV
kNl
MMV
bddbbd
bddbdb
dccddc
dccdcd
caacca
caacac
055,92
29,318,5
2
210
2
945,102
29,318,5
2
210
2
567,36
18,578,3
6
210
433,66
18,578,3
6
410
945,04
78,3000
945,04
78,3000
3
3
22
22
1
1
36
10. Normálové sílyNcd
Nca
Vca
Vcd10 c
kNVN
NV
kNVN
VN
cdca
cacd
cacd
cacd
433,6
0
945,1010945,010
010
Ndc
Ndb
VdbVdc
d
kNVN
NV
kNVN
VN
dcdb
dbdc
dbdc
dbdc
567,3
0
945,10
0
kNNN
kNNN
dbbd
caac
567,3
433,6
37
11. Reakce
kNMM
kNVH
kNNR
kNVH
kNNR
bdb
bdb
bdb
aca
aca
29,3
055,9
567,3
945,0
433,6
021010055,9945,00
010567,3433,60
:
x
z
F
F
Zkoušky
38
12. Vykreslení vnitřních sil
Normálové síly Posouvající síly Ohybové momenty
39
Příklad
40
Zadání
q =
10
kN
m-1
a
b
c
3
1
2
d
31,5
6
I
2I
I
1
F1 = 10 kN
1,5
3
F3 = 5 kN
F2 = 10 kN