Post on 10-Feb-2016
description
Τεχνικές
βασισμένες
στα
Δίκτυα
Αναμονής
MODELSystem
DescriptionPerformanceMeasures
• System parameters
• Resources parameters
• Workload parameters•service demands•workload intensity
• Response time• Throughput• Utilization
• Queue length
QueuingNetwork Model
Component-level models
Ανοικτά δίκτυα
Κλειστάδίκτυα
Μικτά δίκτυα
Montèlo upologistikoÔ sust mato E�sodoi - Fort�o (workload)èntash fort�ou (workload intensity)apait sei exuphrèthsh (service demands)'Exodoi - De�kte ep�dosh bajmì qrhsimopo�hsh rujmì apìdosh qrìno apìkrish mèso arijmì ergasi¸n
Sumbolismo�M�a Kathgor�aM Arijmì stajm¸n sto sÔsthma.vi Mèso arijmì episkèyewn mia ergas�a sto stajmì i.
ti Mèsh apa�thsh (qrìno ) exuphrèthsh an� ep�skeyh mia ergas�a stostajmì i.
di Mèsh sunolik apa�thsh exuphrèthsh m�a ergas�a sto stajmì i.IsqÔei di = viti.
wi Mèso qrìno paramon (anamon +exuphrèthsh) an� ep�skeyh mia er-gas�a sto stajmì i.ri Mèso sunolikì qrìno paramon mia ergas�a sto stajmì i. IsqÔei
ri = viwi.T Mèso qrìno apìkrish tou sust mato . IsqÔei T =
∑i viwi =
∑i ri.
λi Rujmì apìdosh tou stajmoÔ i.λ Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato (sump�ptei me ton mèso ru-jmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λi = λvi.ρi Bajmì qrhsimopo�hsh tou stajmoÔ i. IsqÔei ρi = λiti = λdi.
ni Mèso arijmì ergasi¸n sto stajmì i. IsqÔei ni = λiwi = λri (TÔpo tou Little).
N Mèso sunolikì arijmì ergasi¸n sto sÔsthma. IsqÔei N =∑
i ni = λT .Gia kleistì d�ktuo N stajerì (plhjusmì ).
Pollè Kathgor�e R Arijmì kathgori¸n ergasi¸n sto sÔsthma.
vij Mèso arijmì episkèyewn mia ergas�a th kathgor�a j sto stajmì
i.
tij Mèsh apa�thsh exuphrèthsh an� ep�skeyh mia ergas�a th kath-gor�a j sto stajmì i.
dij Mèsh sunolik apa�thsh exuphrèthsh mia ergas�a th kathgor�a jsto stajmì i. IsqÔei dij = vijtij.
wij Mèso qrìno paramon an� ep�skeyh mia ergas�a th kathgor�a jsto stajmì i.rij Mèso sunolikì qrìno paramon mia ergas�a th kathgor�a j stostajmì i. IsqÔei rij = vijwij.Tj Mèso qrìno apìkrish tou sust mato gia thn kathgor�a j. IsqÔei
Tj =∑
i vijwij =∑
i rij.λij Rujmì apìdosh tou stajmoÔ i gia thn kathgor�a j.
λj Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato gia thn kathgor�a j (mèso rujmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λij = λjvij.
λ Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato (sunolikì mèso rujmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λ =∑
j λj. Gia anoiktì d�ktuo
λ̂ = [λ1, . . . , λR], λ = ‖λ̂‖.ρij Bajmì qrhsimopo�hsh tou stajmoÔ i gia thn kathgor�a j. IsqÔei
ρij = λijtij = λjdij.nij Mèso arijmì ergasi¸n th kathgor�a j sto stajmì i. IsqÔei nij =
λijwij = λjrij.
Nj Mèso sunolikì arijmì ergasi¸n th kathgor�a j sto sÔsthma.IsqÔei Nj =∑
i nij = λjTj. Gia kleistì d�ktuo Nj stajerì (plhjus-mì ), N̂ = [N1, . . . , NR], N = ‖N̂‖.
∆ίκτυα Jackson
• Ανοικτά δίκτυα(εξωτερικόc κόσµοc: πηγή - προορισµόc)
• Κlειστά δίκτυα(σταθερόc αριθµόc πεlατών)
M σταθµοί εξυπηρέτησηc
Κατάσταση του δικτύου:
N̂(t) = [N1(t), N2(t), . . . , NM(t)]
Συνοlικόc αριθµόc πεlατών:
N(t) = ‖N̂(t)‖ =∑M
i=1 Ni(t)
Υποθέσειc:
(i) Αφίξειc: διαδικασία γεννήσεων ρυθµού λ(N) µε πιθανότητα q0i, i =1,2, . . . , M (ανοικτά δίκτυα αναµονήc)
(ii) Χρόνοc εξυπηρέτησηc στο σταθµό i: εκθετική κατανοµή µε παράµετροµi(ni), όπου ni = Ni(t)
(iii) Κανονισµόc FCFS
(iv) Πιθανότητεc δροµοlόγησηc (routing probabilities):
qij,0 ≤ i ≤ M , 1 ≤ j ≤ M + 1, (qij ≥ 0 και∑M+1
j=1 qij = 1)
(αlυσίδα Markov)
Κατανοµή πιθανότηταc:
p(n̂; t) = Pr[N̂(t) = n̂], n̂ = [n1, n2, . . . , nM ]
Στατική κατανοµή πιθανότηταc:
p(n̂) = limt→∞ p(n̂; t)
Ανοικτά δίκτυα αναµονήc
λ(N) +M∑
i=1
µi(ni)(1− qii)
p(n̂) =
λ(N − 1)M∑
i=1
q0ip(n̂− 1̂i) +
M∑i=1
µi(ni + 1)qi,M+1p(n̂ + 1̂i) +
M∑j=1
M∑i=1i6=j
µi(ni + 1)qijp(n̂ + 1̂i − 1̂j)
λ(0)p(0̂) =M∑
i=1
µi(1)qi,M+1p(1̂i)
{ei}, i = 1,2, . . . , M : lύση του συστήµατοc
ei = q0i +M∑
j=1
ejqji, i = 1,2, . . . , M
ei: µέσοc αριθµόc επισκέψεων στο σταθµο i που πραγµατοποιεί έναc πεlάτηcκατά τη διάρκεια τηc παραµονήc του στο δίκτυο
Θεώρηµα (Jackson, 1963) Εάν το σύστηµα εξισώσεων έχει µία µοναδικήµη αρνητική lύση και G < ∞, τότε η στατική κατανοµή p(n̂) υπάρχει καιδίνεται από τη σχέση:
p(n̂) =1
GΛ(N)
M∏i=1
enii
Mi(ni)
όπου
Λ(N) =N∏
n=1
λ(n− 1)
Mi(ni) =ni∏
n=1
µi(n)
G =∑n̂
Λ(N)M∏
i=1
enii
Mi(ni)
• Εξισώσειc καθοlικήc ισορροπίαc (global balance)
• Εξισώσειc τοπικήc ισορροπίαc (local balance)
• Μορφή γινοµένου (product form)
Σταθερόc εξωτερικόc ρυθµόc αφίξεων
(λ(N) = λ για κάθε N):
Λ(N) = λN =M∏
i=1
λni
p(n̂) =M∏
i=1
pi(ni)
όπου:
pi(ni) =(λei)
ni
Mi(ni)pi(0)
pi(0) =
∞∑n=0
(λei)n
Mi(n)
−1
Σταθµοί µε σταθερό ρυθµό εξυπηρέτησηc:
Πιθανότητεc pi(ni) όπωc για τα απlά συστήµατα αναµονήcM/M/1 (ήM/M/c)(Πρώτο θεώρηµα Jackson, 1957)
Ουρά M/M/1
Παράµετροι: λ (ρυθµόc αφίξεων), µ (ρυθµόc εξυπηρέτησηc)
΄Ενταση κυκlοφορίαc: ρ = λ/µ < 1 (συνθήκη ισορροπίαc)
Κατανοµή του αριθµού εργασιών στο σύστηµα:
pn = (1− ρ)ρn, n = 0,1, . . .
Μέσοc αριθµόc εργασιών στο σύστηµα: E[n] = ρ/(1− ρ)
Μέσοc χρόνοc απόκρισηc: T = (1/µ)/(1− ρ)
Ουρά M/M/∞Παράµετροι: λ (ρυθµόc αφίξεων), µ (ρυθµόc εξυπηρέτησηc)
΄Ενταση κυκlοφορίαc: ρ = λ/µ
Κατανοµή του αριθµού εργασιών στο σύστηµα:
pn = ρn
n!e−ρ, n = 0,1, . . .
Μέσοc αριθµόc εργασιών στο σύστηµα: E[n] = ρ
Μέσοc χρόνοc απόκρισηc: T = 1/µ
Κlειστά δίκτυα αναµονήc
M∑i=1
µi(ni)(1− qii)p(n̂) =M∑
j=1
M∑i=1i6=j
µi(ni + 1)qijp(n̂ + 1̂i − 1̂j)
{ei}, i = 1,2, . . . , M : lύση του συστήµατοc
ei =M∑
j=1
ejqji, i = 1,2, . . . , M
(στατικέc πιθανότητεc τηc αlυσίδαc Markov)
Θεώρηµα (Gordon και Newell, 1967) Εστω {ei}, i = 1,2, . . . , M µία µη µηδενι-
κή lύση του συστήµατοc. Τότε η στατική κατανοµή p(n̂) µε ‖n̂‖ =∑M
i=1 ni =N , ni ≥ 0, υπάρχει και δίνεται από την σχέση:
p(n̂) =1
G(N, M)
M∏i=1
enii
Mi(ni)
όπου οι ποσότητεc Mi(ni) ορίζονται όπωc στα ανοικτά δίκτυα και
G(N, M) =∑n̂
‖n̂‖=N
M∏i=1
enii
Mi(ni)
G(N, M): σταθερά κανονικοποίησηc (normalization constant)
Ο αlγόριθµοc τηc συνέlιξηc (J.P. Buzen)
Υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M):ο αριθµόc των δυνατών καταστάσεων n̂ (άρα ο αριθµόc των όρων στην
άθροιση) είναι ίσοc µε
(N + M − 1
M − 1
)
Γεννήτρια συνάρτηση τηc ακοlουθίαc {eni
Mi(n), n = 1,2, . . .}:
gi(z) =∞∑
n=0
(eiz)n
Mi(n), i = 1,2, . . . , M
Γινόµενο των γεννητριών συναρτήσεων:
g(z) =M∏
i=1
gi(z)
G(N, M): συντεlεστήc του όρου zNστην g(z)
Μερικά γινόµενα:
γ1(z) = g1(z)
γi(z) = γi−1(z)gi(z), i = 2,3, . . . , M
G(j, i): συντεlεστήc του όρου zjστο γινόµενο γi(z)
G(j, i) =j∑
k=0
G(k, i− 1)ej−ki
Mi(j − k)
Αναδροµικόc υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M) µε χρήση των οριακώνσυνθηκών:
G(0, i) = 1, i = 1,2, . . . , M
G(j,1) =ej1
M1(j), j = 1,2, . . . , N
O(MN2) αριθµητικέc πράξειc
Σταθεροί ρυθµοί εξυπηρέτησηc
µi(ni) = µi για κάθε ni > 0:
τi = ei/µi, i = 1,2, . . . , M
G(j, i) =j∑
k=0
G(k, i− 1)τ j−ki
= G(j, i− 1) +j−1∑k=0
G(k, i− 1)τ j−ki
= G(j, i− 1) + τi
j−1∑k=0
G(k, i− 1)τ j−k−1i
G(j, i) = G(j, i− 1) + τiG(j − 1, i)
Αναδροµικόc υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M) µε χρήση των οριακώνσυνθηκών:
G(0, i) = 1, i = 1,2, . . . , M
G(j,1) = τj1, j = 1,2, . . . , N
O(MN) αριθµητικέc πράξειc
1 2 · · · i · · · M0 1 1 · · · 1 · · · 11 τ12 τ2
1......
G(j − 1, i)↓ × τi
j τj1 G(j, i− 1) −→ G(j, i)
......
N τN1 G(N, M)
Υποlογισµόc δεικτών επίδοσηc του δικτύου
(Σταθµοί µε σταθερό ρυθµό εξυπηρέτησηc µi)
• Βαθµόc χρησιµοποίησηc του σταθµού
ρi = τiG(N − 1, M)
G(N, M)
• Ρυθµόc απόδοσηc του σταθµού
λi = eiG(N − 1, M)
G(N, M)
• Μέσοc αριθµόc πεlατών στο σταθµό
E[ni] =1
G(N, M)
N∑n=1
G(N − n, M)τni
• Μέσοc χρόνοc απόκρισηc του σταθµού (Τύποc του Little)
Ti =E[ni]
λi=
1
eiG(N − 1, M)
N∑n=1
G(N − n, M)τni
∆ίκτυα BCMP
F.Baskett, K.M.Chandy, R.R.Muntz, F.G.Palacios (1975)
• Γενικά δίκτυα µε lύση µορφήc γινοµένου
• ∆ιαχωρίσιµα (separable) δίκτυα
Χαρακτηριστικά
• R κατηγορίεc πεlατών: έναc πεlάτηc µπορεί να αllάξει κατηγορία κα-θώc κινείται από κόµβο σε κόµβο
(πιθανότητεc qir,js, q0,ir, qir,M+1)
• αlυσίδεc: δύο ζεύγη (i, r)ανήκουν στην ίδια αlυσίδα αν υπάρχει µη µη-δενική πιθανότητα έναc πεlάτηc να βρεθεί στιc δύο αντίστοιχεc κατα-
στάσειc (κlειστέc και ανοικτέc αlυσίδεc).
• Εξωτερικέc αφίξειc σύµφωνα µε διαδικασία γεννήσεων ρυθµού λ(N),όπου N ο συνοlικόc αριθµόc πεlατών στο δίκτυο.
Κατανοµή Cox
Κατανοµέc Cox: εκθετικά στάδια
Μετασχηµατισµόc Laplace:
Φ(s) = b0 +k∑
i=1
Aibi
i∏j=1
µj
µj + s
όπου Ai = a0 · · · ai−1 (i = 1, . . . , k) (πιθανότητα να φθάσει ο πεlάτηc στοστάδιο i)
Μέσοc χρόνοc εξυπηρέτησηc για την κατανοµή Cox: 1/µ =∑k
i=1 Ai/µi.
Κανονισµοί εξυπηρέτησηc:
• FIFO (First In First Out)
• PS (Processor Sharing)
• LCFSPR (Last Come First Served Preemptive Resume)
• IS (Infinite Servers)Server-per-job ή Delay
Τύποι κόµβων:
• Τύποc 1: µία µονάδα εξυπηρέτησηc, χρόνοc εξυπηρέτησηc εκθετικάκατανεµηµένοc µε παράµετρο µi(ni) για όlεc τιc κατηγορίεc πεlατών,όπου ni ο αριθµόc πεlατών στον κόµβο, κανονισµόc εξυπηρέτησηc FCFS.
• Τύποc 2: χρόνοι εξυπηρέτησηc µε κατανοµή Cox, η οποία µπορεί να εί-ναι διαφορετική για κάθε κατηγορία πεlατών, µία µονάδα εξυπηρέτησηc
µε κανονισµό εξυπηρέτησηc PS.
• Τύποc 3: κανονισµόc εξυπηρέτησηc IS και χρόνοι εξυπηρέτησηc όπωcγια τον τύπο 2.
• Τύποc 4: κανονισµόc εξυπηρέτησηc LCFSPR και χρόνοι εξυπηρέτησηc
όπωc για τουc τύπουc 2 και 3.
Τύποι σταθµών
Επίlυση του µοντέlου
eir = q0,ir +M∑
j=1
R∑s=1
ejsqjs,ir, 1 ≤ i, j ≤ M, 1 ≤ r, s ≤ R
eir: ανάlογο µε την συχνότητα επισκέψεων των πεlατών τηc κατηγορίαc rστον κόµβο i.
Κατάσταση του δικτύου:
n̂ = [n̂1, n̂2, . . . , n̂M ], n̂i = [ni1, ni2, . . . , niR]
ni = ‖n̂i‖ =∑R
r=1 nir, N =∑M
i=1 ni
µi(ni): ρυθµόc εξυπηρέτησηc του κόµβου i (ίδιοc για όlεc τιc κατηγορίεcπεlατών), για κόµβο τύπου 1
1/µir: µέσοc χρόνοc εξυπηρέτησηc πεlατών τηc κατηγορίαc r στον κόµβο i,
για κόµβουc τύπου 2,3 ή 4
Θεώρηµα Εστω {eir}, i = 1,2, . . . , M , r = 1,2, . . . , R, µία µη αρνητική lύσητου συστήµατοc. Η στατική κατανοµή p(n̂) υπάρχει εάν G < ∞ και έχει τη
µορφή:
p(n̂) =1
GΛ(N)
M∏i=1
gi(n̂i)
όπου
Λ(N) =
{ ∏Nn=1 λ(n− 1) για ανοικτό δίκτυο
1 για κlειστό δίκτυο
G =∑n̂
Λ(N)M∏
i=1
gi(n̂i)
gi(n̂i) =
ni!∏R
r=1
[enirir
nir!
]/∏ni
n=1 µi(n) Τύποc 1
ni!∏R
r=1
[1
nir!
(eir
µir
)nir]
Τύποc 2 ή 4
∏Rr=1
[1
nir!
(eir
µir
)nir]
Τύποc 3
∆ίκτυο χωρίc κlειστέc αlυσίδεc
- σταθερόc ρυθµόc εξωτερικών αφίξεων λ- σταθεροί ρυθµοί εξυπηρέτησηc µi (Τύποc 1)
n̂ = [n1, n2, . . . , nM ]: συνοlικόc αριθµόc πεlατών σε κάθε κόµβο (για όlεcτιc κατηγορίεc)
ρi =
{ ∑Rr=1(λeir/µi) Τύποc 1∑Rr=1(λeir/µir) Τύποc 2, 3 ή 4
p(n̂) = p1(n1)p2(n2) . . . pM(nM)
όπου
pi(ni) =
(1− ρi)ρ
nii Τύποc 1, 2 ή 4
e−ρiρnii
ni!Τύποc 3
(ρi < 1 για τουc τύπουc 1,2 και 4)
Επιµέρουc κατανοµέc όπωc για το σύστηµα M/M/1 (τύποι 1,2 και 4)ή το σύστηµα M/M/∞ (τύποc 3).
Κlειστά δίκτυα BCMP
• Υποlογισµόc τηc σταθεράc κανονικοποίησηc G
• Ανάlυση Μέσηc Τιµήc
Mean Value Analysis - MVA M. Reiser, 1980
Βασικέc αρχέc:
(i) Σε ένα κlειστό δίκτυο µε lύση µορφήc γινοµένου, η κατανοµή πιθανό-τηταc τηc κατάστασηc του δικτύου την οποία `βlέπει΄ έναc πεlάτηc που
φθάνει σε ένα σταθµό, είναι η ίδια µε την στατική κατανοµή του δικτύου
αν ο πεlάτηc αυτόc έlειπε από το δίκτυο.
Θεώρηµα των αφίξεων (arrival instant theorem) για κlειστά δίκτυα.
(ii) Ο τύποc του Little µπορεί να εφαρµοστεί σε οlόκlηρο το δίκτυο και σεκάθε σταθµό του δικτύου χωριστά.
MVA