Post on 16-Oct-2021
1
Université Laval Département de Physique
© Pierre Amiot, 2012.
Équation de la diffusion en 1-D
A. Introduction
1. Généralités
La diffusion couvre une gamme de phénomènes qui ont tous comme particularité
d'être non réversibles dans le temps. Nous parlerons surtout ici de la diffusion d'un fluide
dans un autre, résultant, en général, en un mélange dont l'homogénéité va croissant avec
le phénomène de diffusion, comme le lait dans le café ou le mélange d’azote et
d’oxygène de l’atmosphère qui est uniforme et est le résultat d’une diffusion. De façon
générale, le résultat est une uniformisation spatiale des différentes concentrations.
La diffusion peut être causée par une pression appliquée de l’extérieur sur le
fluide. Nous attendons alors un terme de source pour décrire cette pression dans
l'équation différentielle qui décrit le phénomène. Nous savons aussi qu'une substance en
haute concentration locale dans une autre va souvent tendre, si les fluides sont miscibles,
à diffuser en tendant vers un mélange homogène. Il peut y avoir ou non une source de
nouvelle substance en une région de l'espace, auquel cas un terme de source doit décrire
cette situation. La forme exacte des termes de source varie énormément d'une situation à
l'autre. Morse & Feshbach et Thikonov, parmi d’autres, discutent de cette question pour
plusieurs situations. S'il y a terme de source, ce terme affecte généralement la partie
particulière de la solution. L'autre partie de la solution, la partie homogène est toujours
présente et constitue toute la solution s'il n'y a pas de source. C'est ce que nous allons
étudier ci-dessous.
Une variable, notée ! va mesurer la concentration (quantité par unité de volume)
de la substance diffusante. Nous posons que l'expérience démarre à t = 0, auquel moment,
par exemple, une surconcentration locale, dont la forme spéciale reste à fixer
2
expérimentalement, engendre la diffusion de la substance pour t > 0 vers les régions
avoisinantes. Nous sommes intéressés à connaître la concentration pour ces temps t > 0,
i.e. son évolution temporelle en tout point du domaine de diffusion, donc en tout t. Nous
voulons également savoir comment cette concentration s'étale dans l'espace, i.e. comment
elle varie avec x, cela en tout temps t. En bref, nous voulons savoir comment ! varie en t
et en x.
2. L’équation de diffusion
Le point de départ est l'hypothèse que la substance est conservée, au sens où, une
fois générée par une source, elle n'est pas détruite. Il s'ensuit que la densité/concentration
obéit à une équation de conservation
!" x,t( )
!t+# $
!
j x,t( ) = 0
Le moteur de la diffusion est une différence locale de concentration qui génère
naturellement un courant de substance,
!
j x,t( ) , en ce lieu, vers l'extérieur si la
concentration y est plus élevée et vers l'intérieur si la concentration y est moins élevée.
Nous posons ici que ce courant est proportionnel au gradient de densité, avec le signe -
pour respecter la direction du courant (il descend la pente). Nous avons donc
!
j x,t( ) = !D"# x, t( )
où D est un coefficient de proportionnalité appelé coefficient de diffusion et dont la
valeur dépend des substances en contact. Il dépend de la substance diffusante et du milieu
dans lequel elle diffuse, tenant compte de façon globale de l'interaction (viscosité,
fugacité...) entre les deux milieux. Remplaçant nous donne
!" x,t( )
!t# D$
2" x,t( ) = 0
C'est l'équation homogène de diffusion dont la solution nous donnera la concentration
! x, t( ) en tout lieu et en tout temps, dans les limites pertinentes à notre problème.
En fait, cette équation est générale et s'applique donc à tous les phénomènes de diffusion,
allant de la crème dans le café jusqu'aux photons dans la masse d'une étoile. Pour
spécialiser la solution au problème particulier auquel nous faisons face, il nous faut
ajouter les conditions initiales qui peuvent être, par exemple, la distribution de la
concentration au temps t = 0. Cette condition initiale suppose donc que nous avons une
3
connaissance expérimentale de la fonction de concentration pour toute valeur de x au
temps t = 0, donc que nous connaissons ! x, 0( ) . En ajustant la solution générale à cette
condition, nous pourrons obtenir finalement la solution particulière à notre problème.
B. Quelques propriétés de l'équation de diffusion
Cette équation est dite parabolique dans le langage des mathématiques. Elle
contient une dérivée réelle du premier ordre en t et une dérivée réelle du deuxième ordre
en x. Comme nous le verrons, une conséquence est que la solution n'est pas réversible
dans le temps et n'est donc pas valable pour t < 0; elle n’est pas invariante sous
renversement du temps
Note : l’équation de Schrödinger a des dérivées des mêmes ordres, mais la dérivée p/r au
temps est imaginaire; le résultat est que la solution reste valide sous renversement du
temps.
L'équation de diffusion est aussi linéaire et homogène : chaque terme contient !
à la puissance un, si nous n'avons pas de terme de source, disons f (x,t) qui aurait rendu
l'équation de la forme
!"
!t# D
! 2"
!x2= f (x,t)
Dans ce dernier cas, elle ne serait plus homogène. L’équation ne contient pas non plus de
termes non linéaires comme, par exemple !"2
!t qui la rendrait quadratique, donc non
linéaire. Une conséquence très importante est que, si deux (ou plusieurs) solutions
différentes existent, disons !1x,t( ) et !
2x,t( ) , alors une combinaison linéaire de ces
deux solutions est aussi solution, i.e.
! x, t( ) = c1!1x,t( ) + c
2!2x,t( )
est aussi solution de l'équation. Cela se vérifie trivialement en remplaçant dans l'équation
sachant qu'individuellement !1x,t( ) et !
2x,t( ) vérifient l'équation. Cette propriété
s'avérera extrêmement utile lorsque nous chercherons à ajuster la solution générale pour
construire la solution particulière de l'équation à notre problème.
4
C. Solution générale en 1-D
Nous cherchons ici la solution de l’équation homogène. Par simple observation, il
est clair que l'équation homogène a une solution générale qui peut être obtenue par
séparation de variable. Dans ce cas, nous écrivons
! x, t( ) = R(x)"(t)
Nous remplaçons dans l'équation homogène de diffusion, ce qui donne
R(x)d! t( )
dt= D! t( )
d2R(x)
dx2
où n'apparaissent plus que des dérivées ordinaires puisque les fonctions sont à une seule
variable et que x et t peuvent être variés indépendamment dans ce problème.
Divisons (par la gauche évidemment) par la fonction ! x, t( ) = R(x)"(t) elle-même. Nous
avons
1
! t( )
d! t( )
dt= D
1
R(x )
d2R(x)
dx2
Clairement, le terme de gauche contient toute et seulement la dépendance en t alors que
celui de droite contient toute et seulement la dépendance en x. Comme t et x peuvent être
physiquement variés indépendamment, elles doivent être mathématiquement des
variables indépendantes et il est alors possible de varier arbitrairement la valeur de ces
deux termes, mais l'égalité les oblige à rester égaux. La seule possibilité de garantir la
validité de l'équation (le signe =) est d'imposer que chaque terme soit en fait égal à une
constante, la même bien sûr. Nous avons donc
1
! t( )
d! t( )
dt= D
1
R(x )
d2R(x)
dx2
= c : une constante
L'équation se découple alors en deux équations, une pour t et une pour x. Ce sont
1
! t( )
d! t( )
dt= c
D1
R(x)
d2R(x)
dx2
= c
a) Partie temporelle
Attaquons-nous à la première de ces deux équations. Nous avons
1
! t( )
d! t( )
dt= c "
d! t( )
dt= c! t( )
5
Cette équation très simple est du 1er ordre et nous en connaissons la solution générale,
c'est une exponentielle simple
! t( ) = Aect
où A est une constante d'intégration qui devra, comme la constante c, être spécifiée en
ajustant la solution à la réalité physique. Nous cherchons la solution pour la période t > 0.
Il est alors essentiel que la constante c soit négative, sinon la concentration ira
augmentant dans le temps jusqu'à exiger que le système contienne plus de substance que
celle initialement présente. En fait, pour c > 0, la concentration augmente partout avec le
temps, ce qui est clairement à l'encontre de tout ce que nous savons sur la diffusion. Il
peut être utile d'écrire cette constante comme
c = !1
" où " est positif et a les dimensions d' un temps
! " t( ) = Ae#t / $
On voit que ! est un temps caractéristique (de diffusion) et que la fonction ! t( ) voit sa
valeur diminuer de moitié à chaque fois que le temps augment de ! 0.693" .
b) Partie spatiale
Il reste évidemment l'équation en x qui se lit ici
D1
R(x)
d2R(x)
dx2
= c = !1
"#
d2R(x)
dx2
= !1
D"R(x)
Cette équation est également bien connue. Elle est du 2e ordre et a donc deux solutions
générales indépendantes bien connues. Nous connaissons même plusieurs façons de les
écrire
R(x) =
sin kx et coskx
OU
eikx
et e!ikx
"
# $
% $
&
' $
( $
où k2
=1
D)* k = ±
1
D)
Ces deux familles de solutions ne sont pas indépendantes puisque
e±ikx
= coskx ± i sin kx !
coskx =eikx
+ e" ikx
2
sinkx =eikx " e" ikx
2i
#
$
% %
&
% %
6
De plus, la dernière forme est complexe. Comme la concentration est ici une quantité
physique réelle, il est évident qu'il faudra savoir comment extraire une partie ou
composante réelle de cette quantité. Écrire que R(x) = e± ikx est pour l'instant un truc
mathématique, mais il s'avère assez utile pour que nous choisissions de le garder, quitte à
ne conserver à la fin que ce qui correspond réellement à notre concentration physique.
Ainsi, la solution générale de l'équation est de la forme
! x, t( ) = Ce± ikx e" t / # , ou mieux ! x,t( ) = C+ eikx
+ C"e"ikx( )e"t / #
On note que cette solution générale compte trois paramètres dont la valeur numérique ne
peut pas être fixée par l'équation seule. Ce sont C+,C
!et k (ou " ) , les deux derniers
dépendant de c. Leur valeur numérique servira à ajuster la solution générale aux
conditions particulières de la situation physique étudiée. Notons que nous aurions très
bien pu écrire notre solution générale comme
! x, t( ) = Asin kx + Bcos kx( )e"t / #
et nos paramètres ajustables auraient été A, B et k. En effet, ! n'est pas un paramètre
indépendant additionnel, puisqu'il est fonction de k : ! = 1/ Dk 2 .
D. Solution particulière
a) Comment on la construit
La solution ci-dessus est la solution générale. Pour décrire une situation physique
particulière, nous devons introduire une donnée additionnelle, Ça peut être la
connaissance de la situation qui prévalait au début de l'expérience. Cela suppose donc
que nous connaissons la valeur en tout point de la valeur expérimentale de la
concentration initiale que nous notons !ex, 0( ) et qui est expérimentalement connue. Par
ailleurs, nous avons, de la solution générale, une expression pour la concentration initiale.
Les deux devraient être identiques, i.e. nous devrions avoir
! x, 0( ) = C+ eikx+ C"e
"ikx=!
e(x,0)
ou encore
! x, 0( ) = Asin kx + B coskx( ) =!ex,0( )
7
Même en disposant des trois paramètres ajustables, il n'arrivera à peu près jamais que ces
paramètres seront suffisants pour satisfaire la condition initiale décrite par l’équation ci-
dessus!
Pour sortir de cette impasse apparente, nous utilisons la propriété déjà énoncée
que la somme de deux solutions est solution. Nous n'avons pas encore fixé la valeur de k
(ou de ! ). Leur valeur demeure à la disposition de la solution pour l’ajuster à la situation
physique. En fait, notre incapacité à satisfaire l'équation vient de ce que l'équation
générale ne fait intervenir qu'une seule valeur de k. Imaginons qu'il n'y ait pas seulement
une valeur de k qui soit pertinente pour notre problème, mais qu'il y en ait plusieurs (ce
nombre peut atteindre l'infini, du moins en principe). Supposons d'abord que ces valeurs
soient discrètes. Nous aurons alors une séquence de valeurs de k, que nous noterons
kn= ±
1
D!n
" !n=1
Dkn
2
En imposant cette dernière relation entre chaque paire k
n et !
n , nous garantissons que
l'équation est satisfaite pour cette paire. L'équation sera donc toujours satisfaite pour une
combinaison linéaire (une somme) de ces solutions, chacune identifiée par n. Nous
aurons alors
! x, t( ) = Cneiknxe"t / #
n
n
$
% = Cneiknxe"Dk
n
2t
n
$
%
qui sera aussi solution de l'équation de diffusion. Ici n court sur toutes les valeurs de n
qui correspondent aux valeurs positives et négatives de k.
Une fois les valeurs des kn choisies, il nous reste tous les coefficients C
n dont la valeur
peut être ajustée pour satisfaire la condition initiale physiquement connue, i.e. notre
solution particulière prend la forme, sachant que e0 =1 ,
Cneiknx=
n
!
" #ex,0( )
Comme nous disposons maintenant d'un grand nombre de paramètres ajustables, les Cn,
dont le nombre peut atteindre l'infini, il pourra devenir possible de satisfaire la condition
initialement fixée par l'expérience et de garantir que le signe d'égalité ci-dessus est valide,
donc que l'équation est satisfaite par la solution particulière.
8
C'est un peu long ici de démontrer que la solution existe et est unique dans ces
conditions. Il vaut cependant la peine de se pencher sur le choix des valeurs de kn qui ont
été retenues. En général, ces valeurs sont dictées aussi bien par la mathématique, la
géométrie, que par la situation physique. En fait, la mathématique, ou surtout la
géométrie de notre problème physique est suffisante. Ce problème est étudié plus en
détail en Annexe. Mentionnons seulement que si le système physique a une longueur
totale L, alors le bon choix pour les valeurs des kn est
kn= ±
n!
L" #
n=
1
Dkn
2=
L2
Dn2
!2
Notons que nous couvrons toutes les valeurs, positives et négatives si nous laissons la
somme aller de - ∞ à +∞, ce que nous ferons ici. Dans ce cas, les ± deviennent inutiles.
Ce que nous avons ci-dessus pour la condition initiale (CI) est
!ex, 0( ) = C
neiknx
n ="#
#
$ (CI)
où une fonction connue, à gauche, est représentée comme une série de fonctions connues
fois des coefficients à déterminer. C'est la même chose que représenter un vecteur connu
à l'aide d'une somme de vecteurs de base, chacun multiplié par la composante du vecteur,
comme
!
A = Axˆ i + Ay
ˆ j + Azˆ k
On peut dire que les coefficients Cn sont les composantes de la fonction (vecteur)
!ex, 0( ) dans la base des fonctions (vecteurs de base) eikn x .
b) Calcul des composantes
Une fois la base choisie, les composantes d'un vecteur donné sont uniques. De
même ici, on les calcule en multipliant chaque côté de l’équation (CI) par e! ikm x , intégrant
sur tout l’espace et utilisant l’orthogonalité des exponentielles sur le domaine de x, ce qui
laisse (ci-dessous, nous avons réutilisé n au lieu de m)
Cn =1
2!" e x,0( )
tout l 'espace
# e$iknx dx
Cette intégrale est calculable puisque la fonction !ex, 0( ) est connue.
9
On note que si L devient large, et même très large, la différence entre deux
valeurs successives de k devient de plus en plus petite. En fait, lorsqu'en particulier cette
longueur L devient très longue p/r à une longueur caractéristique de diffusion, alors au
lieu de sommer sur des valeurs de k discrètes mais de plus en plus près les une des autres,
on remplace la somme discrète par une somme continue, une intégrale. Il n'y a plus
d'indice n, k lui-même devient l'indice et on a
! (x, t) = C(k) eikxe"t / # k( )
dk"$
+$
% où # k( ) =1
Dk2
& e" t / # k( )
= e"Dk 2t
et l'application de la condition initiale mène à
! (x, 0) = C(k)eikxdk
"#
+#
$ =!ex,0( )
et nous en déduisons, par la théorie des transformées de Fourier que le calcul des
composantes donne
C(k) =1
2!" e x, 0( )
tout l 'espace
# e$ikx
dx
Techniquement, les intégrales ci-dessus appartiennent à une famille qui porte le nom de
transformées de Fourier.
c) Un exemple
Nous pouvons nous pencher sur un cas particulier. Supposons que la condition initiale
soit telle que les coefficients C(k) gardent la même valeur, disons C0, quelque soit la
valeur de k. Cela correspond à une distribution initiale de la substance qui serait
extrêmement localisée, idéalement en un point, puisque cela correspond à
!ex, 0( ) = C
0eikxdk
"#
+#
$ = C0
eikxdk
"#
+#
$ = 2%C0& x( ) .
Il est clair que cela décrit une concentration initiale centrée à l’origine, x = 0, donc
extrêmement localisée.
Dans ce cas, les intégrales sont relativement simples et la concentration sera donnée par
! (x, t) = C(k) eikxe"Dk 2t
dk"#
+#
$ = C0
eikxe"Dk 2t
dk"#
+#
$ =C0%
(Dt)1 / 2
e" x 2 / 4Dt
Cette forme de la solution de l'équation de diffusion est bien connue et est souvent
présentée comme étant typique. On voit ici qu'elle correspond à une situation particulière
10
où la substance est initialement concentrée en un très faible espace autour d'un point
appelé x = 0.
E. Diffusion avec dissipation
Nous allons étudier ici le cas où, à la diffusion, se greffe un mécanisme qui
capture la substance. Cette capture peut être physique (collage), chimique (réaction),
même atomique, nucléaire (réactions idoines). Nous poserons que la capture par le milieu
se fait à un taux qui est proportionnel à la concentration elle-même. C'est intuitivement
satisfaisant pour bon nombre de mécanismes qui ne sont pas saturés. Nous
caractériserons la capture par un paramètre que nous noterons ! et qui aura les
dimensions inverses du temps et qu'on peut écrire ! = 1/"c, où !
c est un temps
caractéristique de capture qui dépend des milieux en présence.
L'équation de diffusion devient dans ces conditions
!" x,t( )
!t= D
! 2" x,t( )
!x2
#$" x,t( ) = D! 2" x,t( )
!x2
#1
%c
" x, t( )
Elle reste linéaire et homogène et la séparation de variable fonctionne encore. Nous
retrouvons donc, pour la partie temporelle
! t( ) = Ae"t / #
L'équation pour la partie spatiale est légèrement modifiée, pas dans sa forme, mais dans
la relation entre les paramètres puisqu'elle devient
D
1
R(x)
d2R(x)
dx2
= !1
"+1
"c
=" ! "
c
"c"
= !1
"T
# "T=
""c
"c!"
#d2R(x)
dx2
= !1
D"T
R(x)
Ici, 1
!T
est obtenu par la différence de deux termes. Rappelant que ! et !c sont les
inverses des coefficients, nous identifions deux situations très différentes selon que
! est plus petit ou plus grand que !c.
11
a) La capture l'emporte
Commençons par examiner le mécanisme que nous n'avons pas encore étudié, la
capture avec un taux proportionnel à la concentration. Ici, la constante de capture est plus
importante que celle de diffusion et nous avons ! >> !c. Alors le temps caractéristique de
capture est beaucoup plus court que celui de diffusion. Dans un laps de temps donné,
nous aurons beaucoup plus de processus de capture que de diffusion et la capture
l'emportera. En effet
!T" #
!!c
!" #!
c
Dans ce cas !T
est négatif et le coefficient dans le côté droit de l'équation en x est
maintenant positif, puisqu'il est !1 /"T
. La solution en sera sérieusement affectée.
Avant de l'étudier, étudions d'abord un cas très simple. S'il n'y avait que de la
capture et pas de diffusion, l'équation deviendrait
!" x,t( )
!t= #$" x,t( ), avec $ >0
La solution est très simple
! = Ae"#t
= Ae"t / $
c
Cette décroissance temporelle en exponentielle simple est très typique de ce genre de
mécanisme et se retrouve dans à peu près tous les phénomènes de désintégration, par
exemple, où un échantillon perd ses membres à un taux proportionnel à sa propre
densité/concentration.
Reprenons le problème au complet où l'équation en x devient avec sT= !"
T> 0
!d2R(x)
dx2
=1
DsTR(x) où
1
DsTest positif
L'équation étant du 2e ordre, il y a deux solutions indépendantes
R(x) = AeKx
+ Be!Kx
où K =1
DsT
Cette solution est constituée d'un terme croissant et d'un terme décroissant lorsque x croît
vers les valeurs positives. Ce type de terme est dangereux et il faut parfois faire un choix
physique. Ce choix dépend du système étudié, de sa géométrie, de ses dimensions propres
et caractéristiques, ainsi que de la façon dont on choisit de mesurer les distances. Posons
12
par exemple que notre système est physiquement situé entre x =0 et x = L. Dans ce cas, si
L est très grand p/r aux distances propres du mécanisme i.e. si la concentration est
devenue essentiellement non mesurable (trop faible) longtemps avant d'atteindre x = L,
alors on peut dire que la dimension du système est essentiellement infinie p/r au
mécanisme étudié. Dans ce cas, il n'est pas possible de retenir le terme croissant qui n'a
physiquement pas de sens, sa croissance pouvant exiger la création de nouvelle substance
pour satisfaire la croissance de la concentration. On ne gardera alors que le terme
décroissant
R(x) = Be!Kx
Le phénomène est dominé complètement par une disparition exponentielle de la
substance à mesure qu'on s'éloigne du point où était la source. Au total ici, la solution
générale est du type
! x, t( ) =!0e"#xe"t / $
c
montrant des décroissances exponentielles spatiales et temporelles.
b) La diffusion l'emporte
i) La solution générale
Si ! < <!c , alors le mécanisme de diffusion est plus important que celui de
capture et alors !T > 0. En effet, l'argument est l'inverse de celui ci-dessus et on voit que
!T"!!
c
!c
" !
et nous aurons comme équation pour x
d2R(x)
dx2
= !1
D" T
R(x) où !1
D" T
est négatif
La situation reste semblable à celle que nous avons étudiée dans le cas de la diffusion
pure. Les solutions sont exactement de la même forme, sauf que nous avons une relation
différente entre ! et k, relation qui devient
k =1
D!T
=!c"!
D!!c
# ! =!c
1+ k2
D!c
La solution générale garde la même forme sauf pour ce changement et elle devient donc
! x, t( ) = Ceikx e" 1+k 2D#
c( ) t / # c= Ce
ikxe" k 2Dt
e"t / #
c
13
Aux facteurs diffusifs que nous connaissions déjà vient se greffer un facteur
d'amortissement exponentiel simple qui caractérise la capture. Dans le cas de la présente
limite, si ! << !c, alors le facteur de capture ne deviendra significatif qu'après un temps
assez long puisque !c est grand, donc e!t / " c reste près de l'unité sauf lorsque t
s'approche de !c.
ii) La solution particulière
Comme auparavant, nous devrons pratiquement toujours considérer une
combinaison linéaire afin de pouvoir décrire la situation physique particulière qui prévaut
dans notre montage expérimental. Techniquement, c'est assez simple puisque la solution
générale ci-dessus nous permet d'écrire directement que la somme qui donne la solution
particulière est
! x, t( ) = e"t / # c Cneiknxe" t / #
n
n
$
%
C'est exactement de la même forme que dans le cas où nous n'avions pas de capture (ni
désintégration ni réaction ni...), sauf qu'on lui ajoute un facteur de décroissance
exponentielle dans le temps. Ce facteur est à l'extérieur de la somme puisqu'il ne contient
rien qui dépende de k donc de kn. Le facteur additionnel est lui-même d'une forme
maintenant connue, une décroissance temporelle exponentielle typique des mécanismes
de disparition de la substance initiale, à un taux proportionnel à la concentration/densité
locale elle-même.
Les composantes Cn sont maintenant données en ajustant la solution particulière à la
concentration initiale expérimentalement connue et notée !ex, 0( )
! x, 0( ) = Cneiknxe" t / #
n
n
$
% =!ex,0( )
Ils auront donc exactement la même valeur que dans le cas où il n'y a pas de capture !
Ceci demeure vrai quand on passe au cas continu où nous obtenons
! (x, t) = e"t / # c C(k)eikxe"t / # k( )
dk"$
+$
% où # k( ) =1
Dk2
& e" t / # k( )
= e"Dk 2t
Encore ici, la seule différence avec le cas sans capture est l'apparition de ce facteur de
décroissance exponentielle dans le temps. Les composantes C(k) seront les mêmes que
14
sans capture pour les cas où la solution particulière est déterminée par des conditions
initiales à t = 0 . Pour une situation où la substance est initialement concentrée
essentiellement dans un point, nous aurons alors que C(k) = C0 , une constante et nous
obtenons une expression semblable à celle déjà obtenue
! (x, t) = e"t / # c C(k)eikxe"Dk 2t
dk"$
+$
% =C0&e"t / # c
(Dt)1/ 2
e" x 2 / 4Dt
mais où, ici encore, on voit apparaître le facteur additionnel de décroissance
exponentielle dans le temps.
NOTE : La forme explicite des solutions obtenues dans cette section est valable pour les
conditions initiales données. Si on change ces conditions, i.e. si on change les conditions
expérimentales, la solution changera. Le lecteur intéressé pourra consulter la littérature pour
d'autres exemples (voir par exemple Mathews & Walkers, 8-4; Morse & Feshbach, ch.12 ;
etc).
©Pierre Amiot, 2012.