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7/28/2019 Quaternions and Rotations in 3-Space
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Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e :
T h e A l g e b r a a n d i t s G e o m e t r i c I n t e r p r e t a t i o n
L e a n d r a V i c c i
M i c r o e l e c t r o n i c S y s t e m s L a b o r a t o r y
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e
U n i v e r s i t y o f N o r t h C a r o l i n a a t C h a p e l H i l l
2 7 A p r i l 2 0 0 1
S u m m a r y
T h i n k o f a q u a t e r n i o n Q a s a v e c t o r a u g m e n t e d b y a r e a l n u m b e r
t o m a k e a f o u r e l e m e n t e n t i t y . I t h a s a r e a l p a r t Q c
r e
a n d a v e c t o r
p a r t Q c
v e
I f Q c
r e
i s z e r o , Q r e p r e s e n t s a n o r d i n a r y v e c t o r ; i f Q c
v e
i s
z e r o , i t r e p r e s e n t s a n o r d i n a r y r e a l n u m b e r . I n a n y c a s e , t h e r a t i o b e -
t w e e n t h e r e a l p a r t a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e v e c t o r p a r t Q c
v e
p l a y s
a n i m p o r t a n t r o l e i n r o t a t i o n s , a n d i s c o n v e n i e n t l y r e p r e s e n t e d b y t h e
p a r a m e t e r = t a n
, 1
Q c
v e
= Q c
r e
A u n i t m a g n i t u d e q u a t e r n i o n U h a s
a P y t h a g o r e a n s u m o f 1 o v e r i t s f o u r e l e m e n t s , a n d i t s p r o d u c t w i t h a n y
v e c t o r S
v
g i v e s a n o t h e r v e c t o r h a v i n g t h e s a m e m a g n i t u d e a s S
v
b u t
r o t a t e d i n s p a c e . I f S
v
? U c
v e
; t h e r o t a t i o n i s b y a n a n g l e a b o u t t h e
v e c t o r U c
v e
o r s i m p l y a b o u t U . I f S
v
i s a r b i t r a r y , h o w e v e r , c e r t a i n
c r o s s - t e r m s o f t h e p r o d u c t s p o i l t h i s c o n v e n i e n t r e l a t i o n s h i p . E v e n i n
t h i s g e n e r a l c a s e h o w e v e r , t h e s e c r o s s - t e r m s c a n c e l i n t h e t r i p l e p r o d u c t
R
v
= U S
v
U
, 1
; w h e r e U
, 1
1 = U . T h e r o t a t i o n s o f t h e t w o s u c c e s s i v e
p r o d u c t s a r e i n t h e s a m e d i r e c t i o n , s o R
v
r e p r e s e n t s a r o t a t i o n o f S
v
a b o u t U c
v e
b y a n a n g l e 2 ; w h i c h d e p e n d s o n l y o n U T h u s , t h e o p e r -
a t i o n U S
v
U
, 1
p e r f o r m s a r o t a t i o n o f S
v
w h i c h i s e n t i r e l y c h a r a c t e r i z e d
b y t h e u n i t q u a t e r n i o n U T h e r o t a t i o n o c c u r s a b o u t a n a x i s p a r a l l e l
t o U b y a n a m o u n t 2 t a n
, 1
U c
v e
= U c
r e
Q u a t e r n i o n n o t a t i o n c o n v e -
n i e n t l y h a n d l e s c o m p o s i t i o n o f a n y n u m b e r o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s i n t o
o n e e q u i v a l e n t r o t a t i o n : U = U
1
U
2
U
n
w h e r e e a c h u n i t q u a t e r n i o n U
i
r e p r e s e n t s o n e o f t h e s u c c e s s i o n o f r o t a t i o n s . O t h e r o p e r a t i o n s u s e f u l i n
i n e r t i a l n a v i g a t i o n p r o b l e m s a r e a l s o p r e s e n t e d .
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 1
7/28/2019 Quaternions and Rotations in 3-Space
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
1 H i s t o r i c a l b a c k g r o u n d
Q u a t e r n i o n s w e r e d e v i s e d b y S i r W i l l i a m H a m i l t o n i n h i s e x t e n s i o n s o f v e c t o r a l g e b r a s
t o s a t i s f y t h e p r o p e r t i e s o f d i v i s i o n r i n g s r o u g h l y , q u o t i e n t s e x i s t i n t h e s a m e d o m a i n a s
t h e o p e r a n d s . I n 1 , A r t . 1 1 2 , H a m i l t o n n o t e s , . . . t h a t f o r t h e c o m p l e t e d e t e r m i n a t i o n ,
o f w h a t w e h a v e c a l l e d t h e g e o m e t r i c a l Q U O T I E N T o f t w o C o - i n i t i a l V e c t o r s , a S y s t e m o f
F o u r E l e m e n t s , a d m i t t i n g e a c h s e p a r a t e l y o f n u m e r i c a l e x p r e s s i o n , i s g e n e r a l l y r e q u i r e d .
. . . w e h a v e a l r e a d y a m o t i v e f o r s a y i n g , t h a t ` t h e Q u o t i e n t o f t w o V e c t o r s i s g e n e r a l l y a
Q u a t e r n i o n . ' "
Q u a t e r n i o n s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d t o b e a n e x t e n s i o n o f c l a s s i c a l a l g e b r a i n t o t h e
h y p e r c o m p l e x n u m b e r d o m a i n D , s a t i s f y i n g a p r o p e r t y t h a t p
2
q
2
= p q
2
f o r p ; q 2 D
2 . T h i s d o m a i n c o n s i s t s o f s y m b o l i c e x p r e s s i o n s o f n t e r m s w i t h r e a l c o e c i e n t s w h e r e n
m a y b e 1 r e a l n u m b e r s , 2 c o m p l e x n u m b e r s , 4 q u a t e r n i o n s , 8 C a y l e y n u m b e r s , b u t
n o o t h e r p o s s i b l e v a l u e s p r o v e d b y H u r w i t z i n 1 8 9 8 . T h u s , q u a t e r n i o n s a l s o s h a r e m a n y
p r o p e r t i e s w i t h c o m p l e x n u m b e r s .
W h i l e H a m i l t o n p r o v i d e s g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n s o f v a r i o u s p r o v e d p r o p e r t i e s
t h r o u g h o u t 1 , t h e d e v e l o p m e n t i t s e l f i s f u n d a m e n t a l l y a l g e b r a i c , t h a t i s , b a s e d o n t h e
p r o p e r t i e s o f a p a r t i c u l a r a x i o m a t i c s e t o f s y m b o l i c o p e r a t i o n s . T h e g e o m e t r i c p r o p e r t i e s
o f q u a t e r n i o n s a r e n e v e r t h e l e s s s w e e p i n g , t h e c o m p o s i t i o n o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s t h r o u g h
s u c c e s s i v e m u l t i p l i c a t i o n s b e i n g j u s t o n e , a l b e i t a n i m p o r t a n t o n e .
2 A x i o m a t i c p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s
Q u a t e r n i o n s a r e d e n e d a s s u m s o f 4 t e r m s o f t h e f o r m Q = 1 q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
w h e r e q
1
; q
2
; q
3
; q
4
a r e r e a l s , 1 i s t h e m u l t i p l i c a t i v e i d e n t i t y e l e m e n t , a n d i ; j ; k a r e s y m b o l i c
e l e m e n t s h a v i n g t h e p r o p e r t i e s :
i
2
= , 1 ; j
2
= , 1 ; k
2
= , 1 ;
i j = k ; j i = , k ;
j k = i ; k j = , i ;
k i = j ; i k = , j
C u s t o m a r i l y , t h e e x t e n s i o n o f a n a l g e b r a s h o u l d a t t e m p t t o p r e s e r v e t h e p r o p e r t i e s o f t h e
o p e r a t o r s d e n e d i n t h e o r i g i n a l a l g e b r a . G e n e r a l i z i n g f r o m t h e c l a s s i c a l a l g e b r a o f r e a l
a n d c o m p l e x n u m b e r s t o q u a t e r n i o n s m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r r u l e s .
2 . 1 A d d i t i o n o f q u a t e r n i o n s
T h e a d d i t i o n r u l e f o r q u a t e r n i o n s i s c o m p o n e n t - w i s e a d d i t i o n :
P + Q = p
1
+ i p
2
+ j p
3
+ k p
4
+ q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
= p
1
+ q
1
+ i p
2
+ q
2
+ j p
3
+ q
3
+ k p
4
+ q
4
T h i s r u l e p r e s e r v e s t h e a s s o c i a t i v i t y a n d c o m m u t a t i v i t y p r o p e r t i e s o f a d d i t i o n , a n d p r o v i d e s
a c o n s i s t e n t b e h a v i o r f o r t h e s u b s e t o f q u a t e r n i o n s c o r r e s p o n d i n g t o r e a l n u m b e r s , i . e . ,
P
r
+ Q
r
= p + 0 i + 0 j + 0 k + q + 0 i + 0 j + 0 k = p + q
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 2
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3/11
L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
2 . 2 M u l t i p l i c a t i o n o f q u a t e r n i o n s
T h e m u l t i p l i c a t i o n r u l e f o r q u a t e r n i o n s i s t h e s a m e a s f o r p o l y n o m i a l s , e x t e n d e d b y
t h e m u l t i p l i c a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e e l e m e n t s i ; j ; k g i v e n a b o v e . W r i t t e n o u t f o r c l o s e
i n s p e c t i o n , w e h a v e :
P Q = p
1
+ i p
2
+ j p
3
+ k p
4
q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
= p
1
q
1
, p
2
q
2
, p
3
q
3
, p
4
q
4
+ i p
1
q
2
+ p
2
q
1
+ p
3
q
4
, p
4
q
3
+ j p
1
q
3
+ p
3
q
1
+ p
4
q
2
, p
2
q
4
+ k p
1
q
4
+ p
4
q
1
+ p
2
q
3
, p
3
q
2
A t e r m - w i s e i n s p e c t i o n r e v e a l s t h a t c o m m u t a t i v i t y i s n o t p r e s e r v e d . A s s o c i a t i v i t y a n d
d i s t r i b u t i v i t y o v e r a d d i t i o n a r e p r e s e r v e d , h o w e v e r , t h e p r o o f b e i n g l e f t t o t h e r e a d e r . A n d
a s d e s i r e d f o r t h e s u b s e t o f r e a l s , P
r
Q
r
= p q
2 . 3 C o n j u g a t e s o f q u a t e r n i o n s
C o n s i s t e n t w i t h c o m p l e x n u m b e r s , l e t u s d e n e t h e c o n j u g a t e o p e r a t i o n o n a g i v e n
q u a t e r n i o n Q t o b e ,
Q = q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
q
1
, i q
2
, j q
3
, k q
4
A s w i t h c o m p l e x n u m b e r s , n o t e t h a t b o t h Q + Q a n d Q Q a r e r e a l . M o r e o v e r , i f w e
d e n e t h e a b s o l u t e v a l u e o r n o r m o f Q t o b e ,
Q =
q
q
2
1
+ q
2
2
+ q
2
3
+ q
2
4
;
t h e n a p p a r e n t l y Q Q = Q Q = Q
2
. T h e c o n j u g a t e o p e r a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n ,
t h a t i s , P + Q = P + Q W i t h r e s p e c t t o m u l t i p l i c a t i o n h o w e v e r , P Q = Q P ; t h e p r o o f
o f w h i c h i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e r e a d e r .
3 O t h e r p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s
T h e a x i o m s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c o m p l e t e l y d e n e q u a t e r n i o n s i n t e r m s o f t h e
d e s i r e d p r o p e r t i e s u n d e r t h r e e b a s i c o p e r a t i o n s . M a n y o t h e r p r o p e r t i e s m a y b e p r o v e d .
3 . 1 G e n e r a l p r o p e r t i e s
M a t h e m a t i c a l l y , t h e m o s t i m p o r t a n t p r o p e r t y i s t h a t t h e q u a t e r n i o n s f o r m a d i v i s i o n
r i n g i . e . , q u a t e r n i o n q u o t i e n t s e x i s t .
3 . 1 . 1 D i v i s i o n o f q u a t e r n i o n s
S i n c e m u l t i p l i c a t i o n i s n o t c o m m u t a t i v e , l e t u s d e r i v e b o t h a l e f t q u o t i e n t Q
, 1
L
a n d a
r i g h t q u o t i e n t Q
, 1
R
b y d e n i n g t h e s y m b o l i c e x p r e s s i o n P = Q t o b e s o l u t i o n s o f t h e f o l l o w i n g
t w o i d e n t i t i e s ,
Q Q
, 1
L
= P ; Q
, 1
R
Q = P
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 3
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e s e i d e n t i t i e s r e s p e c t i v e l y o n t h e l e f t a n d r i g h t b y Q = Q
2
w e
h a v e i m m e d i a t e l y ,
Q
, 1
L
=
Q P
Q
2
; Q
, 1
R
=
P Q
Q
2
T h u s i n g e n e r a l t w o d i s t i n c t q u o t i e n t s w i l l o c c u r , h o w e v e r i n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e P = 1 ,
w e h a v e b y d e n i t i o n t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f a q u a t e r n i o n ,
Q
, 1
L
= Q
, 1
R
= Q
, 1
=
Q
Q
2
3 . 1 . 2 Q u a t e r n i o n m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n
A t e r m - w i s e e x p a n s i o n o f P Q + S = P Q + P S p r o v e s t h i s p r o p e r t y a n d i s l e f t a s a n
e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r .
3 . 1 . 3 U n i t q u a t e r n i o n s
T h e s u b s p a c e U o f u n i t q u a t e r n i o n s w h i c h s a t i s f y t h e c o n d i t i o n U = 1 h a v e s o m e
i m p o r t a n t p r o p e r t i e s . A t r i v i a l l y a p p a r e n t o n e i s ,
U
, 1
= U
A l e s s o b v i o u s , b u t v e r y u s e f u l o n e i s ,
U = U
r
c o s + U
v
s i n = c o s + U
v
s i n ;
w h e r e U
r
= 1 ; 0 ; 0 ; 0 i s a r e a l u n i t q u a t e r n i o n , U
v
= 0 ; i u
2
; j u
3
; k u
4
i s a v e c t o r u n i t
q u a t e r n i o n p a r a l l e l t o t h e v e c t o r p a r t o f U ; a n d i s a r e a l n u m b e r . T h e p r o o f i s s t r a i g h t -
f o r w a r d :
U
2
= U U = U
r
c o s + U
v
s i n U
r
c o s + U
v
s i n
= U
r
U
r
c o s
2
+ U
r
U
v
+ U
v
U
r
s i n c o s + U
v
U
v
s i n
2
= c o s
2
+ s i n
2
= 1
A t t h i s t i m e , l e t ' s i n t e r p r e t a s s i m p l y q u a n t i f y i n g t h e r a t i o o f t h e r e a l p a r t t o t h e
m a g n i t u d e o f t h e v e c t o r p a r t o f a q u a t e r n i o n . I t s g e o m e t r i c a l r e p r e s e n t a t i o n a s s p e c i f y i n g
a n a n g l e o f r o t a t i o n w i l l b e p r e s e n t e d l a t e r .
3 . 2 V e c t o r p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s
T h e q u a t e r n i o n Q = q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
c a n b e i n t e r p r e t e d a s h a v i n g a r e a l p a r t q
1
,
a n d a v e c t o r p a r t i q
2
+ j q
3
+ k q
4
, w h e r e t h e e l e m e n t s f i ; j ; k g a r e g i v e n a n a d d e d g e o m e t r i c
i n t e r p r e t a t i o n a s u n i t v e c t o r s a l o n g t h e x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y . A c c o r d i n g l y , t h e s u b s p a c e
Q
r
= q
1
+ 0 i + 0 j + 0 k o f r e a l q u a t e r n i o n s m a y b e r e g a r d e d a s b e i n g e q u i v a l e n t t o t h e r e a l
n u m b e r s , Q
r
= q . S i m i l a r l y , t h e s u b s p a c e Q
v
= 0 + i q
2
+ j q
3
+ k q
4
o f v e c t o r q u a t e r n i o n s
m a y b e r e g a r d e d a s b e i n g e q u i v a l e n t t o t h e o r d i n a r y v e c t o r s , Q
v
= q i q
x
+ j q
y
+ k q
z
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 4
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
p e r p e n d i c u l a r t o U . T h u s T
v
= T
v 1
+ T
v 2
c a n b e g e o m e t r i c a l l y i n t e r p r e t e d a s a r o t a t i o n
o f S
v
b y a n a n g l e i n t h i s p l a n e , i . e . , a b o u t a n a x i s p a r a l l e l t o U
N o w c o n s i d e r t h e p r o d u c t ,
R
v
= T
v
U
, 1
= T
v
U = c o s T
v
+ s i n T
v
U
v
= c o s T
v
, s i n T
v
U
v
T h e v e c t o r i d e n t i t y T
v
U
v
= , U
v
T
v
c a n b e u s e d t o r e w r i t e t h i s a s ,
R
v
= c o s T
v
+ s i n U
v
T
v
;
w h i c h i s a n o t h e r r o t a t i o n o f a n g l e a b o u t U . T h e r o t a t i o n i s i n t h e s a m e s e n s e f o r t h e s e
t w o p r o d u c t s , s o t h e o p e r a t i o n
R
v
= U S
v
U
, 1
p e r f o r m s a r o t a t i o n o f S
v
a b o u t U b y a n a n g l e 2
3 . 3 G e n e r a l r o t a t i o n s i n 3 - s p a c e ; R e f e r e n c e f r a m e s
I n s e c t i o n 3 . 2 . 5 w e s a w h o w t h e o p e r a t i o n U S
v
U
, 1
r o t a t e d a p e r p e n d i c u l a r v e c t o r
S
v
a b o u t a u n i t q u a t e r n i o n U . N o w l e t ' s c o n s i d e r h o w t h i s o p e r a t i o n b e h a v e s w i t h a n
a r b i t r a r y v e c t o r V
v
. W e c a n d e c o m p o s e V
v
= W
v
+ S
v
w h e r e W
v
k U a n d S
v
? U T h e n ,
U V
v
U
, 1
= U W
v
+ S
v
U
, 1
= U W
v
U
, 1
+ U S
v
U
, 1
= U W
v
U
, 1
+ R
v
;
w h e r e R
v
i s S
v
r o t a t e d a b o u t U b y a n a n g l e 2 . T o e v a l u a t e t h e r s t t e r m , n o t e t h a t s i n c e
W
v
k U w e c a n w r i t e W
v
= z U
v
; w h e r e z i s a r e a l n u m b e r a n d u n i t v e c t o r U
v
k U . T h u s ,
U W
v
U
, 1
= U z U
v
U
, 1
= z U U
v
U
, 1
= z U
v
U U
, 1
= z U
v
= W
v
T h a t U U
v
= U
v
U i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e r e a d e r . F i n a l l y t h e n , w e h a v e :
U V
v
U
, 1
= W
v
+ R
v
G e o m e t r i c a l l y , w e i n t e r p r e t t h i s a s a r o t a t i o n o f V
v
a b o u t U b y a n a n g l e o f 2
F i g u r e 1 :
A r b i t r a r y v e c t o r V
v
i s r o t a t e d b y
u n i t q u a t e r n i o n U a b o u t a u n i t
v e c t o r U
v
k U , t h r o u g h a n g l e 2
Uv
Vv
UVvU-1
2o
T h i s o p e r a t i o n p e r f o r m s t h e s a m e r o t a t i o n o n a l l v e c t o r s i n c l u d i n g t h e u n i t v e c t o r s o f a
c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e r e f o r e , i t c a n b e u s e d t o r i g i d l y t r a n s f o r m t h e c o o r d i n a t e s o f a n y
r e f e r e n c e f r a m e i n t o a n e w f r a m e o f d i e r e n t o r i e n t a t i o n . T h i s i s a v e r y u s e f u l p r o p e r t y .
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 6
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
3 . 4 C o m p o s i t i o n o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s
L e t Q
1
a n d Q
2
b e t w o u n i t q u a t e r n i o n s r e p r e s e n t i n g a r b i t r a r y r o t a t i o n s i n 3 - s p a c e a s
d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 3 . A p p l y i n g t h e m i n s u c c e s s i o n t o a v e c t o r V
v
,
Q
2
Q
1
V
v
Q
, 1
1
Q
, 1
2
= Q
2
Q
1
V
v
Q
, 1
1
Q
, 1
2
= Q
2
Q
1
V
v
Q
2
Q
1
, 1
= Q
i
V
v
Q
, 1
i
;
w h e r e t h e u n i t q u a t e r n i o n Q
i
= Q
2
Q
1
i s t h e s u c c e s s i v e c o m p o s i t i o n o f t w o r o t a t i o n s .
T h i s p r o p e r t y g e n e r a l i z e s t o t h e c o m p o s i t i o n o f a n y n u m b e r o f r o t a t i o n s . I n t h i s r e v e r s e
o r d e r c o m p o s i t i o n , e a c h s u c c e s s i v e r o t a t i o n i s r e l a t i v e t o t h e i n i t i a l r e f e r e n c e f r a m e a s i s
i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 a .
z'''
x'''
y'''
x
y
z
z'
x'
y'
z''
x''
y''
F i g u r e 2 a : 9 0
r o t a t i o n s o f a r e f e r e n c e f r a m e a b o u t t h e i n i t i a l x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y
C o m p o s i n g a r o t a t i o n i n t h e f o r w a r d o r d e r , Q
c
= Q
1
Q
2
, h a s t h e e e c t o f p e r f o r m i n g
e a c h s u c c e s s i v e r o t a t i o n r e l a t i v e t o i t s c u r r e n t r e f e r e n c e f r a m e , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 b .
z'''
x'''
y'''
x
y
z
z'
x'
y'
z''
x''
y''
F i g u r e 2 b : 9 0
r o t a t i o n s o f a r e f e r e n c e f r a m e a b o u t i t s c u r r e n t x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y .
4 S t r a p d o w n i n e r t i a l n a v i g a t i o n s y s t e m I N S a p p l i c a t i o n s
U s a g e o f q u a t e r n i o n s b y t h i s b r a n c h o f e n g i n e e r i n g i s c o m m o n , b u t t h e n o t a t i o n o f t e n
d i e r s i n s o m e r e s p e c t s f r o m t h e a b o v e , a n d a m o r e d e t a i l e d a n n o t a t i o n i s p r o v i d e d t o
r e l a t e v a r i a b l e s t o r e f e r e n c e f r a m e s . S p e c i c a l l y i n t h i s s e c t i o n , I ' l l f o l l o w t h e n o t a t i o n
u s e d i n T i t t e r t o n a n d W e s t o n 3 . I w i l l i n t r o d u c e t h i s n o t a t i o n , t h e n d e r i v e e x p r e s s i o n s
f o r s o m e o f t h e c o m m o n l y u s e d o p e r a t i o n s f o r I N S e n g i n e e r i n g .
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 7
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
4 . 1 F r a m e s a n d c o o r d i n a t e s
I t i s o f t e n c o n v e n i e n t t o r e p r e s e n t t h e s a m e p h y s i c a l s i t u a t i o n i n a n u m b e r o f d i e r e n t
f r a m e s o f r e f e r e n c e w h i c h m a y d i e r b y d i s p l a c e m e n t , r o t a t i o n , a n d s y s t e m o f c o o r d i n a t e s .
E a c h f r a m e c o m p r i s e s a c o m p l e t e d e n i t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s . A p r i v i l e g e d , i n e r t i a l
f a m i l y o f f r a m e s a r e t h o s e i n w h i c h p h y s i c a l o b j e c t s e x p e r i e n c e n o i n e r t i a l f o r c e s .
C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m s , w h i l e n o t n e c e s s a r y , a r e g e n e r a l l y u s e d a s c o o r d i n a t e
s y s t e m s o f t h e f r a m e s d i s c u s s e d i n 3 . T h e n o n - s c a l a r d a t a t y p e s u s e d a r e v e c t o r s , m a t r i c e s ,
a n d q u a t e r n i o n s . D i s t i n c t f r o m t h e d a t a t y p e s , a r e t h e k i n d s o f v a r i a b l e s t r e a t e d , i . e . ,
p o s i t i o n s , l i n e a r v e l o c i t i e s , a n d a n g u l a r r a t e s .
4 . 2 S u p e r s c r i p t s a n d s u b s c r i p t s
S u p e r s c r i p t s a n d s u b s c r i p t s a r e u s e d t o a s s o c i a t e c e r t a i n a t t r i b u t e s o f a v a r i a b l e w i t h
c o o r d i n a t e f r a m e s . O n a g r o s s l e v e l , t h e n o t a t i o n i s c o n s i s t e n t , b u t t h e r e a r e n e n u a n c e s ,
d e p e n d i n g o n t h e k i n d o f t h e v a r i a b l e b u t n o t i t s t y p e .
S u p e r s c r i p t s a r e u s e d c o n s i s t e n t l y f o r a l l k i n d s o f v a r i a b l e s . S
i
i n d i c a t e s t h a t t h e
v a r i a b l e S i s e x p r e s s e d i n t h e c o o r d i n a t e s o f t h e i
t h
f r a m e .
4 . 2 . 1 T h e p o s i t i o n v a r i a b l e X
i
j
X
i
j
r e p r e s e n t s t h e p o s i t i o n o f a p o i n t r e l a t i v e t o t h e o r i g i n o f t h e j
t h
f r a m e , e x p r e s s e d
i n t h e c o o r d i n a t e s o f t h e i
t h
f r a m e . I n m o s t c a s e s i = j , a n d i t i s c o m m o n t o u s e i m p l i c i t
n o t a t i o n s . X
j
a n d X
j
b o t h r e p r e s e n t X
j
j
, w h e r e t h e c h o i c e o f s u p e r - o r s u b s c r i p t d e p e n d s
o n w h a t i s b e i n g e m p h a s i z e d .
4 . 2 . 2 T h e v e l o c i t y v a r i a b l e V
i
j
T h e v a r i a b l e V
i
j
r e p r e s e n t s a v e l o c i t y t a k e n r e l a t i v e t o t h e j
t h
f r a m e , e x p r e s s e d i n
c o o r d i n a t e s o f t h e i
t h
f r a m e . T h e v e l o c i t y i n a n y f r a m e i s n o t d e p e n d e n t o n t h e l o c a t i o n
o f t h e o r i g i n o f t h e f r a m e ; r a t h e r i t m a y b e t a k e n r e l a t i v e t o t h e v e l o c i t y o f a n y x e d p o i n t
i n t h a t f r a m e . J u s t a s f o r p o s i t i o n v a r i a b l e s , V
j
= V
j
j
i s i m p l i e d .
4 . 2 . 3 T h e a n g u l a r r a t e v a r i a b l e
i
j k
T h e v a r i a b l e
i
j k
r e p r e s e n t s a n a n g u l a r r a t e o f r o t a t i o n o f t h e k
t h
e n t i t y r e l a t i v e t o t h e
j
t h
f r a m e , e x p r e s s e d i n c o o r d i n a t e s o f t h e i
t h
f r a m e . J u s t a s f o r v e l o c i t i e s , t h e l o c a t i o n o f
o r i g i n o f r e f e r e n c e f r a m e j i s n o t r e l e v a n t ; r a t h e r t h e a n g u l a r r a t e i s t a k e n r e l a t i v e t o t h e
a n g u l a r r a t e o f a n y x e d p o i n t i n t h e j
t h
f r a m e . O f t e n , t h e k
t h
e n t i t y i s a n o t h e r f r a m e , s o
t h i s n o t a t i o n c o n v e n i e n t l y e x p r e s s e s t h e a n g u l a r r a t e o f r o t a t i o n o f t h e k
t h
f r a m e r e l a t i v e
t o t h e j
t h
4 . 3 A p u r e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n o f a r o t a t i o n
I t i s a l s o p o s s i b l e t o c o m p l e t e l y r e p r e s e n t a 3 D r o t a t i o n w i t h a p u r e v e c t o r . T h e
g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f a l g e b r a i c o p e r a t i o n s o n t h i s r e p r e s e n t a t i o n a r e n a t u r a l l y q u i t e
d i e r e n t t h a n f o r u n i t q u a t e r n i o n s . F o r s o m e p u r p o s e s t h e s e p r o p e r t i e s a r e p a r t i c u l a r l y
u s e f u l .
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 8
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
L e t v e c t o r a = a
^
a r e p r e s e n t a r o t a t i o n w h e r e i t s u n i t v e c t o r
^
a s p e c i e s t h e a x i s o f
r o t a t i o n a n d i t s m a g n i t u d e a s p e c i e s t h e a n g u l a r a m o u n t o f r o t a t i o n . F r o m t h i s w e c a n
u n i q u e l y c o n s t r u c t a u n i t q u a t e r n i o n , A = c o s a = 2 + s i n a = 2
^
a ; s u c h t h a t A S
v
A p e r f o r m s
a r o t a t i o n o f S
v
a b o u t
^
a b y a n a n g l e e q u a l t o a
L e t u s d e n e a t r a n s f o r m Q o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n a t o t h e u n i t q u a t e r n i o n
r e p r e s e n t a t i o n A o f a 3 D r o t a t i o n :
A = Q a = Q a
^
a = c o s a = 2 + s i n a = 2
^
a
L i k e w i s e , l e t u s d e n e t h e i n v e r s e t r a n s f o r m ,
a = Q
, 1
A = Q
, 1
A
r
+ A
v
^
a = 2 t a n
, 1
A
v
= A
r
^
a
4 . 4 T i m e d e r i v a t i v e o f a r o t a t i o n q u a t e r n i o n
A s s u m e a b - f r a m e t h a t i s r o t a t i n g w i t h r e s p e c t t o a r e f e r e n c e n - f r a m e . A t a n y i n s t a n t ,
l e t t h e u n i t q u a t e r n i o n U r e p r e s e n t a r o t a t i o n o f a n a r b i t r a r y c o n s t a n t v e c t o r C
b
i n t h e b -
f r a m e i n t o a v e c t o r C
n
= U C
b
U i n t h e n - f r a m e . S i n c e t h i s r o t a t i o n p r o g r e s s e s c o n t i n u o u s l y
i n t i m e , U = U t h a s a t i m e d e r i v a t i v e
_
U w h i c h w e n o w d e r i v e .
A p p l y i n g t h e d e r i v a t i v e o f p r o d u c t s r u l e t o C
n
, w e h a v e , s i n c e
_
C
b
= 0 ,
_
C
n
=
_
U C
b
U + U C
b
_
U =
_
U C
b
U +
_
U C
b
U =
_
U C
b
U ,
_
U C
b
U
I n t h e v e c t o r f o r m u l a t i o n o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s 4 , a v e c t o r p i s u s e d t o r e p r e s e n t
a n i n s t a n t a n e o u s r a t e o f r o t a t i o n ,
_
c = p c ; w h e r e c i s a n a r b i t r a r y v e c t o r , a n d
_
c i s i t s
v a r i a t i o n w i t h t i m e . I n t h e n - f r a m e , a q u a t e r n i o n f o r m u l a t i o n o f t h i s e q u a t i o n i s ,
_
C
n
= P
n
C
n
, P
n
C
n
= 2
S i n c e c i s a r b i t r a r y , t h i s e q u a t i o n c a n b e a p p l i e d t o a n e n t i r e c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d w e
c a n r e p r e s e n t t h e r a t e o f r o t a t i o n o f t h e b - f r a m e i n t h e n - f r a m e a s P
n
= P
n
n b
E q u a t i n g t h e e x p r e s s i o n s f o r
_
C
n
, w e h a v e ,
_
U C
b
U = P
n
n b
C
n
= 2 = P
n
n b
U C
b
U = 2 ; o r
_
U = P
n
n b
U = 2 I t i s o f t e n t h e c a s e t h a t t h e r o t a t i o n a l r a t e i s m e a s u r e d i n t h e r o t a t i n g
b - f r a m e , s o w e c a n s u b s t i t u t e t h e i d e n t i t y P
n
n b
= U P
b
n b
U ; t o o b t a i n
_
U = U P
b
n b
= 2
4 . 5 I n t e r p o l a t i o n b e t w e e n r o t a t i o n s
G i v e n t w o a r b i t r a r y r o t a t i o n s U
1 0
; U
2 0
f r o m t h e 0 - f r a m e t o t h e 1 a n d 2 - f r a m e s r e s p e c -
t i v e l y , g e o m e t r i c i n t u i t i o n w o u l d s u g g e s t a n i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e m w o u l d b e a l o n g
t h e s i n g l e r o t a t i o n U
2 1
t a k i n g t h e 1 - f r a m e i n t o t h e 2 - f r a m e . I n f a c t , t h i s c a n b e v i s u a l i z e d
a s a g r e a t c i r c l e o n a u n i t 4 - s p h e r e w h i c h c o n n e c t s t h e i m a g e s o f U
1 0
a n d U
2 0
. T h i s g r e a t
c i r c l e l i e s i n a p l a n e n o r m a l t o U
2 1
c
v e
. T h e l o c u s o f p o i n t s l y i n g b e t w e e n U
1 0
a n d U
2 0
o n
t h e g r e a t c i r c l e c o r r e s p o n d s t o a r o t a t i o n a l a n g l e o f b e t w e e n 0 a n d c o s
, 1
U
2 1
c
r e
N o w U
2 0
= U
1 0
U
2 1
U
2 1
= U
1 0
U
2 0
L e t U
2 1
= c o s
2 1
+
^
u
2 1
s i n
2 1
; w h e n c e w e
c a n c a l c u l a t e
2 1
= c o s
, 1
U
2 1
c
r e
a n d
^
u
2 1
= U
2 1
c
v e
= s i n
2 1
G i v e n
x 1
3 0
x 1
2 1
w e c o n s t r u c t U
x 1
= c o s
x 1
+
^
u
2 1
s i n
x 1
; f r o m w h i c h
w e c a l c u l a t e t h e i n t e r p o l a t e d r o t a t i o n ,
U
x 0
= U
1 0
U
x 1
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 9
7/28/2019 Quaternions and Rotations in 3-Space
10/11
L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
A P P E N D I X A S u m m a r y o f f o r m a l p r o p e r t i e s
A . 1 N o t a t i o n
r a s c a l a r r e a l n u m b e r
v a v e c t o r
^
u a u n i t v e c t o r , u u = 1
i ; j ; k s y m b o l i c c o n s t a n t s w i t h s p e c i a l p r o p e r t i e s s e c t i o n 2
Q a q u a t e r n i o n q
1
; q
2
; q
3
; q
4
= q
1
+ i q
2
+ j q
3
+ k q
4
Q t h e c o n j u g a t e q
1
; , q
2
; , q
3
; , q
4
o f q u a t e r n i o n Q
Q t h e n o r m , o r m a g n i t u d e
p
q
2
1
+ q
2
2
+ q
2
3
+ q
2
4
o f q u a t e r n i o n Q
Q
, 1
t h e r e c i p r o c a l Q = Q Q , o r m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f q u a t e r n i o n Q
Q
r
a p u r e l y r e a l q u a t e r n i o n q
1
; 0 ; 0 ; 0
Q
v
a p u r e l y v e c t o r q u a t e r n i o n 0 ; q
2
; q
3
; q
4
U a u n i t q u a t e r n i o n , Q = 1
Q c
r e
t h e r e a l p a r t q = q
1
o f q u a t e r n i o n Q
Q c
v e
t h e v e c t o r p a r t q = q
2
; q
3
; q
4
o f q u a t e r n i o n Q
Q P t h e v e c t o r p a r t s o f P a n d Q a r e p a r a l l e l
Q ? P t h e v e c t o r p a r t s o f P a n d Q a r e p e r p e n d i c u l a r
A . 2 P r o p e r t i e s
P + Q + S = P + Q + S a d d i t i o n i s a s s o c i a t i v e
P + Q = Q + P a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e
P Q S = P Q S m u l t i p l i c a t i o n i s a s s o c i a t i v e
P Q 6= Q P m u l t i p l i c a t i o n i s n o t c o m m u t a t i v e
p Q = Q p s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n i s c o m m u t a t i v e
P Q + S = P Q + P S l e f t m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n
P + Q S = P S + Q S r i g h t m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n
Q =
p
Q Q =
p
Q Q t h e n o r m o f Q
Q c
r e
= Q + Q = 2 t h e r e a l p a r t o f Q
Q c
v e
= Q , Q = 2 t h e v e c t o r p a r t o f Q
Q
, 1
= Q = Q
2
t h e r e c i p r o c a l o f Q
U
, 1
= U t h e r e c i p r o c a l o f u n i t U
Q
, 1
P = Q P = Q
2
t h e l e f t q u o t i e n t
P Q
, 1
= P Q = Q
2
t h e r i g h t q u o t i e n t
P Q = Q P c o n j u g a t e o f a p r o d u c t
P
v
Q
v
= , p q + p q p r o d u c t o f v e c t o r q u a t e r n i o n s
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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1
R e f e r e n c e s
1 S i r W i l l i a m R o w a n H a m i l t o n , E l e m e n t s o f Q u a t e r n i o n s , " T h i r d E d i t i o n , C h e l s e a
P u b l i s h i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 6 3 .
2 I . L . K a n t o r a n d A . S . S o l o d o v n i k o v , H y p e r c o m p l e x N u m b e r s , " E n g l i s h t r a n s l a t i o n ,
S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 8 9 .
3 D . H . T i t t e r t o n a n d J . L . W e s t o n , S t r a p d o w n i n e r t i a l n a v i g a t i o n t e c h n o l o g y , " P e t e r
P e r e g r i n u s , L t d . , I E E , S t e v e n a g e , U K , 1 9 9 7 .
4 H e r b e r t G o l d s t e i n , C l a s s i c a l M e c h a n i c s , " A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g M A , 1 9 5 0 , p p .
1 3 2 1 3 4 .
5 J . P . W a r d , Q u a t e r n i o n s a n d C a y l e y N u m b e r s , " K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , D o r -
d r e c h t , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 7 .
T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 1 1