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Mediciones Eléctricas II - Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica - Facultad de Ingeniería - UNMdP
1 2019
Agosto de 2017
Mediciones Eléctricas II (3D2)
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica – Facultad de Ingeniería – UNMdP
(Cursada 2019)
Puentes de Medición en Corriente Continua
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2 2019
El Puente de Wheatstone es el más popular de los puentes de CC:
En equilibrio se cumple:
143321
3
43
1
21
3211
)()( RRRRRR
RRR
ER
RR
ERIRI
VV ADAC
4132 RRRR
0gI
En el equilibrio el producto de las resistencias de
las ramas opuestas se iguala.
G BA
C
D
R
R
4
1
I1 I1
I2
Ig
E
R 2
R3
I2
- Fue diseñado por Samuel Christie en 1832, pero Charles Wheatstone en 1843 le
introdujo mejoras y popularizó su uso.
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G BA
C
D
XR 1
I1 I1
I2
Ig
E
R 4R3
I2
Propiedades del Puente de Wheatstone:
4
3
12 R
R
RRX En equilibrio se cumple:
El equilibrio no depende de E.
Si se conocen tres de las resistencias (por ejemplo
R1 , R3 y R4) con exactitud se puede determinar la
restante resistencia con exactitud.
Si se permuta E con G el equilibrio no cambia.
Si se permutan R opuestas el equilibrio no cambia.
Si se eligen adecuadamente las resistencias que lo
componen se puede obtener gran sensibilidad.
X
XS
0 Sensibilidad del puente: cociente entre el valor de X y la variación de X
(Δ0X) que produce la mínima variación detectable en el galvanómetro
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Aplicaciones del Puente de Wheatstone:
Muchos sensores resistivos actuales se
conectan a un puente ligeramente
desequilibrado, en el que se mide la
corriente de desequilibrio, y luego se
relaciona ese desequilibrio con el ΔR
que le dio origen.
X
Ig
-Ig
gI 0
X0
XX
•PRESIÓN , TEMPERATURA,
FUERZA, DESPLAZAMIENTO,
VELOCIDAD, ACELERACIÓN,
CAUDAL, etc
Aplicaciones
Como instrumento patrón en laboratorios de calibración
Como técnica de medición en procesos industriales que
involucran sensores resistivos
Simplicidad, exactitud, permanencia en
el tiempo.
Sensor de una magnitud física
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R3
I2
R1
I1R2
R4
4221
3211
RIRI
RIRI
k
R
R
R
R
4
3
2
1
Si incrementamos en R el valor de por ejemplo R2
RRR 22 ' siendo R =X R2 y X0
)1)1()1(
)1('
' 43
42
21
4
43
2
21
12
kXk
kXE
RR
ERXR
XRR
ER
RR
ER
RR
EU
Sensibilidad del Puente de Wheatstone “ideal”:
Si suponemos que la resistencia interna de la fuente es nula y una corriente por el
galvanómetro despreciable:
¿Qué valores de resistencias hacen que la sensibilidad “S”
sea máxima?
Análisis para pequeños desequilibrios:
1
2
E
En el equilibrio se tiene:
432112 ' RIRIU
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Si redefinimos la sensibilidad como:
22
12
1)1(
)1()1)(1(
kXk
kXkkXkkE
dX
dUS
2)1( Xk
kES
R3
I2
R1
I1R2
R4
Sensibilidad del Puente de Wheatstone “ideal”:
1
2
ESi consideramos que X<<1 la sensibilidad se reduce a
21
k
kES
Derivando S respecto de k e igualando a 0, podemos encontrar el valor de k que hace
la sensibilidad máxima:
432110 RR y RRkdk
dS Es decir, para obtener la máxima
sensibilidad en un puente ideal conviene
cuatro resistencias IGUALES.
)1)1(12
kXk
kXEU
14
3
2
1 R
R
R
R3241 RRRR
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7 20197
324110 RRRRkk
S
10000.001 0.01 0.1 1 10 100
0
0.1
0.2
0.3
1000
k
0.01 0.1 1 10 100
0
0.1
0.2
0.3
Sensibilidad del Puente de Wheatstone “ideal”:
Simulación de la corriente de desequilibrio de un puente de ejemplo
para distintos valores de k:
21
k
kES
Se observa que
la elección de las
resistencias tiene
efecto importante
en la sensibilidad
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Sensibilidad del Puente de Wheatstone “real”:
¿La resistencia interna de la fuente y del galvanómetro
afectan a la sensibilidad “S”?
Análisis para pequeños desequilibrios:
V
R2
R4R3
R1
R5
R6
I6 RID
R2
R4R3
R1
R5
R6
0I6
=
R2
R4R3
R1
R5
R6I6
+
Por superposición
Puente equilibrado Circuito a analizar
A B
D
V
R2
R4R3
R1
R5
R6
I6R
Ip
C
Reemplazamos ΔR por una fuente de valor ID ΔR
(suponemos que ID >>ΔI6 )
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R2
R4R3
R1
R5
R6I6
I RD A B
D
R2
R4R3
R1
R6
I6
C
I
IA
I RD
Sensibilidad del Puente de Wheatstone “real”:
Propiedades del Puente de Wheatstone:
¿La resistencia interna de la fuente y del galvanómetro afectan a la sensibilidad “S”?
Analizamos solo el circuito que genera la ΔI6:
Por el teorema de reciprocidad
Calculamos I6:
; )()( 32416 RRIRRI A
)())((
V 416
4321
3241CD RRI
RRRR
RRRRI
I
R
RRI
326
Este puente es equilibrado por lo que VA=VB y por ende se
puede eliminar R5
R
RRRRR
RII D
))(( 3241
6
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Sensibilidad del Puente de Wheatstone “real”:
Propiedades del Puente de Wheatstone:
R
RRRRR
RI
R
RRI
R
RRI D
))(( 3241
6
3232
6
A B
D
V
R2
R4R3
R1
R5
R6
I6 R
Ip
CPara calcular ID volvemos al puente original (suponiendo que ID >>ΔI6):
)(
)(
21
43
43
21
RR
RRIIIIIpero
RR
RR
I
IDPCpD
C
D
Donde:
R
RRRRR
VI p ))(( 4321
5
Reemplazando y operando:
))((
)(
43215
21
RRRRRR
VRRI D
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Sensibilidad del Puente de Wheatstone “real”:
Propiedades del Puente de Wheatstone:
41
2
1643
2
35
6
RRR
R1RRR
R
R1R
R.VIOperando finalmente se llega a:
X
XS
0
V de lados ambos a relaciónR
R
R
X
galv. del lados ambos a relación R
X
R
R
GRBRXRXRRR
21
2
1
65043
XRI roGalvanómet del ResoluciónlaaigualhaceseIsi g 006
Y llamando:
XRR
RGXR
R
RB
XVI g
1
2
1
2
00
11
)1
1()1()1
1(100
XGXB
X
I
V
X
XS
g
GSgBVS ;;;
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R
X
R
R
2
1
12 R
X
R
R
10B 10G
B
A B
C
D
U
R2
XR
R1
G
Sensibilidad del Puente de Wheatstone “real”:
10GBX
f x ( )x 10
6
B 1 ( ) x 11
R 1 ( ) x 11
Es decir, la máxima sensibilidad en un
puente real no se obtiene
necesariamente haciendo las cuatro
resistencias IGUALES. Además, para
tener la máxima se tiene que cumplir que:
Ejemplo con:
Simulación de la tensión de desequilibrio de un puente de
ejemplo para distintos valores de ρ y σ con B y G 10Ω:
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Puente de Wheatstone Sensibilidad para valores extremos:
RXR
X
11
)1(*)11
1
0
R
G
R
BRI
VS
g Si X= S=0Límite 10M
Si X=0S=0Límite 1
Para X y dados para máxima S
Derivando respecto a y =0
)1(
)1
1(2
GXB
XBX
Sólo Smax para R1= R2 = R =X si XBG
Propiedades del Puente de Wheatstone:
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Puente de Wheatstone -Utilización
Para medir resistencias de 1 a 10M
Para medir temperaturas-deformaciones-intensidades luminosas, etc
Como puente de Cero:3
2
14 R
R
RXR
100;1000;0.1;1;10;0.001;0.01 de ores tomar valpuede relación, de Rama 2
1 R
R
10K a 0 de décadasA 3R
Brazo de
4 OHM
X
Bateria
Externa
Comparación
Brazo
Divisor
Brazo
Multiplicador1000
100
10
1
1000100
10
1
GInicial
Final
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1. Errores de ajuste de los resistores R1,R2 y R. se obtiene de fabricante
2. Errores por fem térmicas espurias se repite la medición invirtiendo la V
3. Error por insensibilidad se obtiene de la sensibilidad relativa práctica
R.R.R
RX
2
1
Puente de Wheatstone – Acotación del error límite
XXX m XP OXX
Error propio del puente
Error por
insensibilidad de la
configuración y del
propio galvanómetro
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R.R.R
RX
2
1
R
R
X
Xe P
Lp
PX1) Error Propio del Puente
E
R1R2
R X
Puente de Wheatstone – Acotación del error límite
XXX m XP OXX
Error propio del puente
Error por
insensibilidad de la
configuración y del
propio galvanómetro
100
%pLmedido
pX
eX
Dato de
fabricante
(18)
R
R
R
R
R
R
X
Xe P
Lp
2
2
1
1
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El valor ox se puede calcular en forma práctica mediante la SENSIBILIDAD
RELATIVA PRÁCTICA:
R
RR
R
o
oS
RRP '''
'''
Se determina así:
Paso 1: Se equilibra el puente y se obtiene un valor medido “ R ”
Paso 2: Se desequilibra levemente el puente hasta obtener una indicación en el
galvanómetro una división a la derecha y se obtiene un nuevo valor de R que será
R’.
Paso 3: Se desequilibra levemente el puente hasta obtener una división a la
izquierda en el galnanotro y obtenemos R’’.
Paso 4: Se calcula SRP sabiendo que ’+ ’’ = dos divisiones
Puente de Wheatstone – Acotación del error límite
XXX m XP OXX
Error por
insensibilidad de la
configuración y del
propio galvanometrox02) Error por incensibilidad
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Podemos despejar:division de 0.1o siendo
S
Roo
RP
R
y como:
RP
m
RP
RxS
oX
S
Ro
R
Ro
R
Ro
2
1
2
1
Por lo tanto, el error absoluto debido a la insensibilidad será:
RP
mxS
oXo
En consecuencia
RP
mxpS
oXoxx
100
%epL
Puente de Wheatstone – Acotación del error límite
R
RR
R
o
oS
RRP '''
'''
Si:Mínima apreciación de
un galvanómetro
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1 0 2 4 5
0
1 0 2 4 8
0
1 0 2 4 2
0
R
RRS
'''
'''
R P
div3415
10245
1024210248
.div2
R
RRS
'''
'''
R P
R
RS
0
0R P
10245R 10248R '10242R ''
ER1R2
R X
x02) Error por insensibilidad: Ejemplo
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0
0R
0
0R
R
RS
R
RS
PP
PR
00
S
R.R
PP R
0m
R
0
2
10
2
10
S.X
S
R.
R
RR.
R
RX
div3415SPR
3.0div3415
div1.010245x0
3.010245Xm
10245R
x02) Error por insensibilidad: Ejemplo
A este valor habría que
sumarle el error propio
del puente “ΔXp”
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Medición de
Resistencias pequeñas:
PUENTE DE KELVIN
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ADAC UU
21AC RIU
21
AB1
RR
UI
2
21
ABAC R
RR
UU
43AD RIIRU
00433 RI)RR(I
43
0
0
3
RR
R
I
I
043
0
30
3
RRR
R
II
I
S
R
I
I 03 S
I.RI 0
3
S
RRRI
S
RRIIRU 4040
AD S
RRRXR
UI
043
AB
043
40ABAD
RRRXSRX
)RRRS(UU
IT=I1+I
I
I1
I0=I-I3 I
IT=I1+I
I3
I1
Puente de Kelvin
En el equilibrio se cumplirá:
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23 2019
2
21
ABAC R
RR
UU
043
40ABAD
RRRXSRX
)RRRS(UU
4030
40
21
2
RRRRXSRS
RRRS
RR
R
30
40
1
2
RRXS
RRRS
R
R
40
2
1
2
130 RR
R
RRS
R
RRRXS
304
2
1
2
1 RRRR
RRS
R
RXS
4
3
2
140
2
1
R
R
R
R
S
RRR
R
RX
IT=I1+I
I
I1
I0=I-I3 I
IT=I1+I
I3
I1
Puente de Kelvin
En el equilibrio se cumplirá:
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A
G
R3R4R X
R0
S
RRX 03'
S
RRR 04'
S
RRG 43'
)'RR(RR).'XX( 12
S
RRR
R
R
S
RRX 04
2
103
4
3
2
140
2
10304
2
1
2
1
R
R
R
R
S
RRR
R
R
S
RR
S
RR
R
RR
R
RX
Vinculación del Puente de Kelvin con el de Wheatstone
R1
A
G
R XX’R’
G’
R1R2R2
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25 201925
IT=I1+I
I
I1
I0=I-I3 I
IT=I1+I
I3
I1
4
3
2
140
2
1
R
R
R
R
S
RRR
R
RX
Puente de Kelvin
Si permanentemente se logra que: queda:
R0 se hace de muy bajo valor óhmico.
Si R1 y R3 son de valor elevado, las resistencias de contacto que quedan en serie
con ellas no influyen, lo que permite medir X de bajo valor.
4
3
2
1
R
R
R
R R
R
RX
2
1
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Puente doble de Thompson – Errores del Puente
1. Error de Calibración o ajuste de R
2. Error de la relación R1/R2
3. Error por f.e.m. térmicas
4. Error por incorrecto ajuste de (R1 y R3)
y (R2 y R4) frente a R00 (*)
5. Error por insensibilidad (**)
Idem Puente de Wheatstone
(*) 4. Tratando los errores que4
3
2
1
R
R
R
R y 00 R se llega a:
XR
Reea
04 Ca= Error de ajuste (R1 con R3 y R2 con R4)
e = error relativo límite de las resistencias
Conclusión:
• La unión entre R y X se hará con un conductor de sección grande y
corto Rcontacto BAJA para que R0 y por ende Ca
•Las uniones de las resistencias (Pl, QK, etc.) se harán
proporcionales (en valores de ) a las correspondientes (R1, R3,
etc) para que baje “e”
Puente de Kelvin
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27 2019
(**) Sensibilidad:
430
43´
430
40´
430
30´
RRR
RRG
RRR
RRR
RRR
RRX
Se parte del puente de Wheatstone equivalente (y despreciando R0 frente a la suma):
´
´
´
GGG
RRR
XXX
w
w
w
1
1
1
1
1
1
21
21
43
43´
0
21
20
43
40´
0
21
10
43
30´
RRR
RR
RR
RRG
RRR
RR
RR
RRR
RRR
RR
RR
RRX
Vinculación del Puente de Kelvin con el de Wheatstone: Sensibilidad
4
3
2
1
R
R
R
R
2
1
R
R
R´
G
R0
R3R4
R X
X´
G´
R1R2 G
G
G´R
R´
X
X´
2R
R
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Recordemos queX
XS
11
11
1
11
11 01
0
0 RX
RGRXB
X
I
VS
g
(1) (2)
Vinculación del Puente de Kelvin con el de Wheatstone: Sensibilidad
1
1
1
1
1
1
21
21
43
43´
0
21
20
43
40´
0
21
10
43
30´
RRR
RR
RR
RRG
RRR
RR
RR
RRR
RRR
RR
RR
RRX
(**) Sensibilidad:
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IRRXB
VV
0)1(
10 2)1(*
RG
X
I
IS
g
Si I es alta
Si el galv. es muy sensibleSMAX
Operando:
12)1()2( RG
Operando:
11
11
1
11
11 01
0
0 RX
RGRXB
X
I
VS
g
(1) (2)
Vinculación del Puente de Kelvin con el de Wheatstone: Sensibilidad
(**) Sensibilidad:
XR
R
R ,1
2
1 121
R
R
R
XPero en este puente : y:
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30 2019
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31 2019
A
G
R3R4R X
R0
R1R2
4
3
2
140
2
1
R
R
R
R
S
RRR
R
RX