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A Trigonometria é uma área bem interessante da Matemática com muitasaplicações e para o aluno aprofundar seu conhecimento é imprescindível aprenderas fórmulas para o seno e cosseno da soma.
Nesta edição de Prova sem Palavras, convido o leitor a analisar a figura abaixo ededuzir que
e
Gostará de ler também:
- Provas sem Palavras (Parte 12) (A Lei dos Cossenos);
Provas sem Palavras (Parte 12) Usando um teorema de Geometria Plana, podemos provar a lei dos cossenos.
Analise a figura abaixo e conclua que , donde segueque
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A lei dos cossenos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo
das medidas dos lados e dos ângulos de triângulos quaisquer.
Para demonstrá-la, consideremos um triângulo ABC qualquer e o ângulo Â.
O triângulo ABC é acutângulo
No triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
No triângulo ACH, também pelo Teorema de Pitágoras, temos:
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Substituindo (II) em (I), vem:
Ainda no triângulo ACH, temos:
Substituindo (IV) em (III), obtemos:
O triângulo ABC é obtusângulo a  é obtuso
No triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
No triângulo retângulo ACH, novamente por Pitágoras, temos:
Substituindo (II) em (I), vem:
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Ainda no triângulo retângulo ACH, temos:
Substituindo (IV) em (III), obtemos:
Usando raciocínio análogo, obtemos as expressões:
Podemos enunciar a lei dos cossenos:
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Em breve a demonstração da Lei dos Senos
Nesta vigésima prova sem palavras, convido o leitor a analisar a figura abaixo eprovar o Limite Trigonométrico Fundamental (LTF).
ESTUDO DOS LIMITES
Prof Sérgio Flávio Schmitz
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A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior,será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque,o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau,voltado essencialmente para os exames vestibulares.Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites,
dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base naspropriedades pertinentes.O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITESabordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico:DERIVADAS.
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros,um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON -inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , jáhaviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.
DEFINIÇÃO
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que estafunção f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cadanúmero positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência umnúmero positivo δ , tal que para| x - x0 | < δ , se tenha |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x0 . Indicamos que L é o limite de uma função f ( x ) quando x tende a x0 , através dasimbologia abaixo:
lim f(x) = Lx→x0
Exemplo:Prove, usando a definição de limite vista acima, que:lim (x + 5) = 8x→3
Temos no caso:f(x) = x + 5x0 = 3L = 8.
Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremosencontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < ε . Ora, |
(x + 5) - 8| < ε é equivalente a | x - 3 | < ε . Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε .Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x →3) .
O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, éextremamente laborioso e de relativa complexidade.Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e,na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.
Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:
a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x→x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 ,
pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tãopróximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou
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seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x →
3.
Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2
- 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x +3, cujo limite para x →3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.
b) o limite de uma função y = f(x), quando x →x0, pode inclusive, não existir,mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porémexistirá o limitede f(x) quando x →x0 .
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite
dafunção f(x) para x →x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0,diremos que afunção f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .
e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , ou x→x0 .Se x tende para x0 , para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos quetemos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valoresimediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita dafunção. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda foremiguais, então este será o limite da função quando x →x0 .
Propriedades operatórias dos limites.
P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cadafunção.lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...
P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.lim (u . v) = lim u . lim v
P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0.
P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f
Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdadessimbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menosinfinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. Éconveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim ,uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, semlimite.
Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞ , não representam números reais, nãopodendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.
Dado b ∈ R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdadessimbólicas:
b + (+ ∞ ) = + ∞ b + ( - ∞ ) = - ∞
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(+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) + (- ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞ , é dito umsímbolo de indeterminação.(+ ∞ ) . (+ ∞ ) = + ∞
(+ ∞ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressõesindeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite,teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Osprincipais símbolos de indeterminação, são:∞ - ∞ ∞ . 0∞ / ∞ ∞ 0
0 / 0
1∞ 1- ∞
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar oentendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13.....x→5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ .....x→+∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
.....x→
2d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5.....x→4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7.....x→4
f)
25 4
1 1
x x Lim
x x
− +
→ −
R -3
g)3
21
3 2
1 x
x x Lim
x→
− +
−
R 0
h)
0
3 3
x
x Lim
x→
+ −
R
3
6
i)4
31
11 x
x Lim x→
−−
R 4/3
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j)3
1
1
1 x
x Lim
x→
−
−
R 2/3
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 2)
3) 4) Não existe pois e
5) 6)
7)
EXERCÍCIOS ESPECIAIS
a) RESP 0 b) RESP -2
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP
2
1
3
A
a
−
f) RESP
3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
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i) RESP 3 j) RESP 1/9
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP
2 X
q) RESP
3 2
1
3 x
r) RESP
-1/3
LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS
Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0
( )n
n x x Lim f x Lim a x
→±∞ → ±∞
=
Para o cálculo de limite com
x → ±∞
toma-se o termo de maior
grau da função e aplica-se o limite .
Exemplos :2 2
(2 3) 2 x x
Lim x x Lim x→∞ →∞
+ − = = ∞
Exercícios para resolução em sala :
1)
3 2
4
2 4 1
3 2 2 x
x x Lim
x x→∞
+ −
+ −
R 0
2)
4
4 3
4 3
3 1 x
x x Lim
x x→∞
+ +
+ −
R 4/3
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3)
3 2
2
4 2 3
2 3 8 x
x x x Lim
x x→∞
+ − +
+ −
R ∞
4)
4
2
2 1
2 1 x
x x Lim
x→∞
+ −
−
R ½
LIMITES FUNDAMENTAIS
A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir aquestão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, assoluções procuradas. Apresentaremos a seguir - sem demonstrar - cinco limitesfundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.
Primeiro limite fundamental : O limite trigonométrico
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco emradianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestascondições, o valor de senx será igual asen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).
Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 ≈ 1.Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x seaproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de umafunção.
Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo:
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de
modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que aomultiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressãonão se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.
Segundo limite fundamental : Limite exponencial
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de forma geral :.
.(1 )
cx a c
d b d
x
a Lim ebx→ ∞
+ =
ou ainda
.
.
0(1 )
c a c
dx b d
x
ax Lim e
b→
+ =
Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado ée ≈ 2,7182818.
Exercício:Observe o cálculo do limite abaixo:
Terceiro limite fundamental : Conseqüência do anterior
Exercício:Observe o cálculo do limite abaixo.lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5
x→0 ................x→0
Quarto limite fundamental : outro limite exponencial
de modo geral :
0
1.ln
kx
x
a Lim k a
x→
−=
ou ainda
0
11
x
x
e Lim
x→
−=
Para a > 0.
Exemplos :
1)
43(1 )
x
x
Lim x→∞
+
R e12 2)3
0(1 2 ) x
x
Lim x→
+
R e6
3)
0
3 1
2
x
x
Lim x→
−
R
1.ln
2e
4)
0
1
2
x
x
e
Lim sen x→
−
R
1
2
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Quinto limite fundamental
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Determine os seguintes limites:
a) lim (2 senx - cos2x + cotgx).....x→ π /2Resp: 3
b) lim (5 - 1/x + 3/x2).....x→ ∞ Resp: 5
c) lim (4x3 - 2x2 + 1) / (3x3 - 5).....x→ ∞ Sugestão: divida numerador e denominador por x3.Resp: 4/3
d) lim (senx / tgx).....x→0Resp: 1
e) lim (sen4x) / x.....x→0Resp: 4
f) lim [(1 + 1/x)
x + 3
....x→ ∞ Resp: e
g) lim [(1 + x)m - 1] / mx.....x→0Resp: 1
Neste post, iremos mostrar geometricamente que
Para isto, basta analisar a figura abaixo:
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Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1)
Uma propriedadeinteressante nas funções reais e muito usada no Cálculo e em Séries de Fourier é aparidade das funções, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito oscálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas,como veremos neste post.
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Definição 1: Dizemos que a função é ímpar se
.
As funções e são exemplos de funções ímpares. A
demonstração que é ímpar é imediata e para provar que é uma funçãoímpar basta analisar a figura acima.
Definição 2: Dizemos que a função é par se .
As funções e são exemplos de funções pares e a
demonstração que é uma função par, baseia-se novamente na figura acima.
Vejamos as principais propriedades das funções pares e ímpares.
Proposição 1: Toda função cujo domínio é ou um intervalo simétrico emrelação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma funçãoímpar.
Demonstração: Sejam e duas funções obtidas de e dadas por
Note que
e que . Assim, é uma função ímpar e é uma função par. Para
encerrar a prova, note que .
Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade.
Demonstração: Sejam e duas funções ímpares definidas em ou em um
intervalo simétrico em torno da origem. Assim,
De modo análogo, se e , são funções pares,
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Proposição 3: O produto de duas funções e de mesma paridade é uma função
par, isto é, se e são funções pares ou ímpares, então a função é umafunção par.
Demonstração: A prova é bem simples e fica a cargo do leitor.
Proposição 4: O produto duas funções e de paridades distintas é uma funçãoímpar.
Demonstração: Análoga a prova da proposição anterior.
Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de
uma função ímpar é uma função par.
Demonstração: Seja uma função par e considere a função . Sendo
uma função par, para todo . Derivando ambos os lados destaexpressão, temos
ou seja, é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga.
Vejamos agora aplicação da propriedade de paridade sobre as funções
trigonométricas. Por exemplo, é fácil provar que além da função , as funções
e são funções ímpares.
As fórmulas de adição e diferença de arcos também podem ser deduzidas usando apropriedade de paridade. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1: Sabendo que , calcule
.
Resolução: Usando o fato que a função é par e a função é uma funçãoímpar, temos:
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Exercício: Use o fato que e o exemplo anterior e deduza as
fórmulas e .
Gostará de ler também:- O Teorema de Ptolomeu e as Fórmulas Trigonométricas;- Alguns Fatos Sobre a Tangente de x;- Demonstração que sen a = cos ( pi
/2 - a); (Blog O Baricentro da Mente)- Demonstração da adição e subtração de arcos; (Blog O Baricentro da Mente)
Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2)
Geometricamente, uma função
ímpar é anti-simétrica e uma função par é simétrica em relação ao eixo para
valores de em um intervalo simétrico.
Deste modo, se uma função está definida sobre um intervalo , então ocálculo de integrais definidas pode ser simplificado, conforme veremos neste post.
Proposição 1: Se é uma função contínua e par em , então
Demonstração: Sendo contínua neste intervalo, a integral existe e sendo uma
função par, temos . Assim,
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Exemplo 1: Observando a figura acima e aplicando a Proposição , temos:
Proposição 2: Se é uma função contínua e ímpar em , então
Demonstração: Sendo uma função contínua, a integral existe e sendo ímpar,
segue que . Assim,
Exemplo 2: Calcule a integral imprópria
Resolução: Sejam e . Sendo uma função par e uma
função ímpar, segue que o integrando é uma função ímpar em um
intervalo simétrico. Pela Proposição , concluímos que a integral imprópria é nula.
Exemplo 3: Se é uma função ímpar e
determine
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Resolução: Usando a propriedade de integrais definidas, podemos escrever
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