Post on 13-Dec-2018
PROJETO DE PESQUISA
ESTRUTURAS DISCRETAS, COMPLEXIDADE E ALGORITMOS
MANOEL JOSE MACHADO SOARES LEMOS
Sumario
1. Problemas estruturais sobre grafos e matroides 1
2. Combinatoria extremal, probabilıstica e assintotica 6
3. Pseudoaleatoriedade em combinatoria e em teoria da computacao 16
4. Algoritmos sobre estruturas discretas e aplicacoes 19
Referencias 28
1. Problemas estruturais sobre grafos e matroides
Apresentamos a seguir alguns problemas especıficos de nosso interesse sobre grafos e matroides.
1.1. Grafos e matroides menores-minimais. Uma companhia telefonica desejava substituir,
em um distrito, sua rede convencional por uma de fibra otica. Uma rede telefonica pode ser vista
como um grafo, tendo os nos como vertices e os cabos como arestas. Uma ligacao telefonica percorre
um caminho neste grafo. Como cabos convencionais sao capazes de realizar um numero limitado
de ligacoes simultaneamente, varias opcoes de trajeto para cada ligacao telefonica tem de estar
disponıveis. Contudo, para telefonia, podemos considerar que um cabo de fibra otica pode realizar
um numero ilimitado de ligacoes. Portanto, a rede de fibra otica necessitava ser apenas conexa, e
por razoes de economicas, bastava ser minimamente conexa. Mas os grafos minimamente conexos
sao as arvores, e por esta razao, a companhia telefonica tinha de substituir os cabos convencionais
que estavam em uma arvore geradora por cabos de fibra otica e desativar os demais.
Como um grafo possui uma grande quantidade de arvores geradoras, a companhia desejava
descobrir aquela com custo mınimo para a substituicao de seus cabos. Para tanto, estimou o custo
de substituir cada cabo convencional por um de fibra otica e aplicou um algoritmo conhecido,
chamado de guloso, para encontrar uma arvore geradora de custo mınimo. A companhia ficou
bastante satisfeita com o resultado, ja que economizou bastante. Contudo, um dos cabos foi
rompido, fazendo com que uma parte do distrito ficasse sem comunicacao com o seu exterior.
Isto gerou grandes transtornos para a companhia e esta pos algumas questoes visando resolver o
problema:
• O que podemos afirmar sobre um grafo que e minimamente n-conexo, para algum inteiro
n > 1? Muito ja era conhecido. Nao tem uma caracterizacao destes grafos, mas varias
propriedades estruturais e extremais foram obtidas por Dirac [43], para n = 2, Halin [75],
1
para n = 3, e Mader [120], para n ≥ 4. Ja para matroides, Murty [133], para n = 2, e
Oxley [139], para n = 3, resolveram o problema equivalente. Para n > 3, nada e conhecido.
Existe uma grande dificuldade em obter resultados especıficos para matroides n-conexas,
quando n > 3.
• Existe algoritmo eficiente para encontrar um subgrafo gerador minimamente n-conexo em
um grafo dado que possua custo mınimo?
• Dado um subgrafo conexo de um grafo n-conexo, qual o menor numero de arestas deste
grafo que necessitamos adicionar a este subgrafo para que tambem se torne n-conexo? E
como acha-las de forma que o custo do subgrafo resultante seja mınimo?
Das tres questoes apresentadas anteriormente, a que mais interessava a companhia telefonica era
a terceira, ja que esta possuıa uma malha de fibra otica, que tinha a forma de uma arvore, e desejava
substituir mais alguns cabos convencionais por fibra otica, aumentando a conectividade da rede,
sem ter um custo elevado para realizar a substituicao. Um dos problemas que trataremos neste
projeto e uma generalizacao do terceiro problema listado pela companhia, mas para matroides.
Seja M uma matroide que e menor-minimal com respeito as seguintes propriedades:
• Ter uma matroide N como menor.
• Ser 3-conexa.
Desejamos obter um limite superior otimo para o numero de elementos que pertencem a M
e nao pertencem a N . Na verdade, desejamos resolver uma conjectura proposta por Lemos e
Oxley [101], que passamos a descrever. Seja X o numero de componentes conexas de N , e Y o
numero de matroides 3-conexas que obtemos a partir de N utilizando as operacoes inversas da
1-soma e 2-soma. Sera verdade que
|E(M)| − |E(N)| < X + 5Y − 5 ?
Lemos e Oxley [101] mostraram que
|E(M)| − |E(N)| < 5Y − 4
no caso em que N e conexa. Membros deste grupo estao tentando melhorar este limite no caso em
que N e um circuito (que foi a parte mais longa da demonstracao de Lemos e Oxley no caso geral).
Acredita-se que no caso em que N e um circuito o seguinte limite e valido:
|E(M)| − |E(N)| < 3Y − b,
para algum inteiro b.
No caso de matroides conexas, ou equivalentemente 2-conexas, Lemos e Oxley [99] resolveram
completamente o problema correspondente. Para matroides n-conexas, com n > 3, um limite similar
nao existe, como observado por Geelen, Hlineny e Whittle [59]. Surpreendentemente, para grafos,
este problema torna-se muito mais complexo, ja que uma matroide pode ter muitas representacoes
graficas. Contudo, no caso 2-conexo, Lemos e Oxley [102] obtiveram o seguinte resultado: Para
numeros reais a e b, as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
2
• Para todos grafos G e H tais que G e menor-minimal com respeito a ser 2-conexo e ter H
como menor,
|E(G)| − |E(H)| < a[cc(H) − 1] + b[b(H) − 1] + 1.
• a + b e pelo menos 5; 2a + 5b e pelo menos 20; e b e pelo menos 3.
Utilizamos cc(H) e b(H) para denotar respectivamente o numero de componentes conexas e o
numero de blocos de H. Os outros problemas que serao tratados neste topico do projeto de pesquisa
tambem envolvem fortemente o conceito de n-conectividade em grafos e matroides, algumas vezes
na sua formulacao e outras na solucao de problemas correlatos. Membros do grupo irao considerar
a generalizacao deste resultado para o caso em que o grafo G e 3-conexo. Acreditamos que sera
impossıvel resolver este problema em geral de forma satisfatoria, isto e, obtendo o melhor limite
possıvel. Contudo, no caso em que H e 2-conexo, talvez seja possıvel obter o melhor limite superior
possıvel, caso exista.
1.2. Matroides com poucas bases nao-comuns. Mills [131] propos a seguinte conjectura:
Conjectura 1. Se M e N sao matroides n-conexas com k bases que nao sao comuns, para algum k
inferior a n, entao existe uma matroide que e obtida a partir de M e N relaxando um total de k
circuitos-hiperplanos.
Esta conjectura foi demonstrada por Truemper [164], para k = 1, Mills [131], para k = 2, e
Lemos [96], para todo k > 2. Lemos [97] generalizou este resultado para matroides verticalmente
n-conexas. Em Lemos [98] ha outras extensoes deste resultado. Pretendemos considerar o seguinte
problema, que generaliza a conjectura de Mills: o que podemos afirmar sobre duas matroides n-
conexas que possuem poucos circuitos contendo um elemento fixo que nao sao comuns?
1.3. Dupla cobertura por cocircuitos. Para uma matroide conexa M com pelo menos dois ele-
mentos, denotamos por c(M) a cardinalidade do maior circuito de M e por c(e,M) a cardinalidade
do maior circuito de M contendo o elemento e. Bonin, McNutly e Reid [21] propuseram a seguinte
conjectura:
Conjectura 2. Se M e uma matroide conexa com pelo menos dois elementos, entao o numero de
elementos de M e limitado superiormente por c(M)c(M∗)/2.
Esta conjectura, que foi demonstrada por Lemos e Oxley [100], sugere o seguinte problema
proposto por Ding:
Problema 3. Para uma matroide conexa M com pelo menos dois elementos, e possıvel encontrar
uma famılia com c(M) cocircuitos de M que cubra cada elemento de M pelo menos duas vezes?
Pretendemos trabalhar neste problema. Lemos e Oxley [100] responderam afirmativamente a
seguinte pergunta relacionada de Seymour:
Problema 4. Para um elemento e de uma matroide conexa com pelo menos dois elementos, e
possıvel encontrar c(e,M)− 1 cocircuitos de M contendo o elemento e que cubra cada elemento de
M?
3
Esta pergunta foi inspirada por um limite superior para o numero de elementos de uma matroide
conexa, a saber: (c(e,M) − 1)(c(e,M∗) − 1) + 1, demonstrado por Lemos e Oxley [100].
1.4. Maiores circuitos em matroides. Grotschel [73] propos a seguinte conjectura:
Conjectura 5. Em um grafo k-conexo, quaisquer dois circuitos de comprimento maximo possuem
pelo menos k vertices em comum.
No mesmo artigo, Grotschel verifica esta conjectura para k < 7, e afirma que, segundo Haggkvist
e Bondy, esta conjectura esta resolvida para k < 11. (Aparentemente esta ultima afirmacao nao e
verdadeira.) Em geral, o problema continua em aberto. Membros do grupo pretendem trabalhar
em uma conjectura de Wu, que generaliza esta conjectura para matroides:
Conjectura 6. Se C e D sao circuitos de comprimento maximo em uma matroide k-conexa, entao
r(C + D) < r(C) + r(D) − k.
Utilizamos C + D para denotar a uniao dos conjuntos C e D. Esta conjectura foi solucionada
por McMurray, Reid, Wei e Wu [130] para k = 2. Como, para grafos, a conjectura e muito difıcil
nao esperamos resolve-la em geral, mas apenas para pequenos valores de k, digamos k = 3 e k = 4.
1.5. Conjuntos dominantes. Seja G um grafo. A vizinhanca fechada de um vertice v em G,
denotada por N(v), e o conjunto formado pelo proprio vertice v e todos os vertices adjacentes a v.
Dizemos que um conjunto S ⊆ V (G) e um conjunto dominante de G se V (G) ⊆ ∪v∈SN(v), isto
e, cada vertice de G pertence a S ou e adjacente a algum vertice de S. O numero de dominacao
(dominating number) de G, denotado por γ(G), e definido como a cardinalidade mınima de um
conjunto dominante de G, ou seja,
γ(G) := min |S| : S e um conjunto dominante de G.
O conceito de conjunto dominante foi introduzido por Berge [14] em 1962. No entanto, foi Ore [137]
quem cunhou a terminologia atual e observou que γ(G) ≤ |V (G)|/2 para qualquer grafo G sem
vertices isolados.
No que segue vamos denotar por n o numero de vertices do grafo em consideracao. Blank [16],
em 1973, mostrou que um grafo conexo G com grau mınimo pelo menos 2 ou satisfaz γ(G) ≤ 2 n/5,
ou e um de sete grafos muito bem especificados: um deles com 4 vertices e os outros seis com 7
vertices. Este resultado foi obtido independentemente por McCuaig e Shepherd [129], e e o melhor
possıvel para este caso: sabe-se que existem infinitos grafos para os quais a desigualdade acima vale
com igualdade.
No que se refere a grafos cubicos, Reed [143] mostrou que γ(G) ≤ 3 n/8. Novamente, neste
caso, esta delimitacao superior e a melhor possıvel. Reed, ainda nesse trabalho, conjecturou que
γ(G) ≤ ⌈n/3⌉ quando G e cubico conexo. Em 2005, Kostochka e Stodolsky [94] mostraram que esta
conjectura e falsa. Entretanto, ela e claramente verdadeira para grafos hamiltonianos (basta tomar
um ciclo hamiltoniano de G e selecionar cada terceiro vertice desse ciclo). Alem disso, Plummer
considerou a possibilidade de que neste caso, isto e, quando G e hamiltoniano, γ(G) ≤ ⌊n/3⌋.
4
Cropper, Greenwell, Hilton e Kostochka [41] mostraram que a conjectura e verdadeira quando
n ≡ 0 (mod 3) e n ≡ 1 (mod 3), mas e falsa quando n ≡ 2 (mod 3).
Em abril de 2006, Alexandr Kostochka visitou o IME-USP e, nessa ocasiao, apresentou a cons-
trucao do exemplo que mostrou ser falsa a conjectura de Reed. Nessa ocasiao, forneceu materiais
recentes a respeito do assunto, e lancou varias ideias que podem ser uteis no tratamento do pro-
blema. Uma das conjecturas levantadas por esse pesquisador e a seguinte:
Conjectura 7. Se G e um grafo bipartido cubico e hamiltoniano, entao γ(G) ≤ n/3.
Alem dessa conjectura, ha varias outras questoes interessantes a respeito do parametro γ(G), em
particular para classes especiais de grafos. Por exemplo, um problema em aberto e o de determinar
se γ(G) ≤ n/4 quando G e um grafo planar triangulado de ordem n.
Pretendemos investigar esse parametro tendo como ponto de partida essa conjectura e a famili-
arizacao com o assunto atraves da leitura de textos [80, 79] que trazem varios resultados sobre esse
parametro.
Do ponto de vista algorıtmico, o problema de determinar γ(G) para um dado grafo G e um
problema NP-difıcil. Sabe-se que esse problema e equivalente ao problema da cobertura mınima; e
portanto, ele e aproximavel dentro de uma razao 1 + log n e nao admite uma razao de aproximacao
constante (veja [9]). Outro problema correlato e o de encontrar, num dado grafo, um conjunto
dominante conexo de cardinalidade mınima. Este problema e de grande interesse pela sua relacao
com varios outros, como por exemplo os problemas do emparelhamento maximo induzido e o
problema da arvore geradora com um numero maximo de folhas [30]. Dependendo do andamento
da pesquisa sobre esse topico, contemplamos a possibilidade de estudar questoes de carater mais
algorıtmico e de inaproximabilidade sobre esse parametro.
1.6. Trabalhos anteriores. Membros deste grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa
discutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:
• G. Calinescu, C.G. Fernandes, e B. Reed. Mul-
ticuts in unweighted graphs and digraphs with
bounded degree and bounded tree-width. J. Al-
gorithms, 48(2):333–359, 2003.
• J. Donadelli e Y. Kohayakawa. A density result
for random sparse oriented graphs and its re-
lation to a conjecture of Woodall. Electron. J.
Combin., 9(1):Research Paper 45, 10 pp. (elec-
tronic), 2002.
• C.G. Fernandes, E.L. Green, e A. Mandel. From
monomials to words to graphs. J. Combin. The-
ory Ser. A, 105(2):185–206, 2004.
• O. Lee e Y. Wakabayashi. Note on a min-
max conjecture of Woodall. J. Graph Theory,
38(1):36–41, 2001.
• O. Lee e Y. Wakabayashi. On the circuit co-
ver problem for mixed graphs. Combin. Probab.
Comput., 11(1):43–59, 2002.
• M. Lemos. On Mills’s conjecture on matroids
with many common bases. Discrete Mathema-
tics, 240:271–276, 2001.
• M. Lemos. Matroids with many common bases.
Discrete Mathematics, 270:193–205, 2003.
• M. Lemos. Non-separating cocircuits in binary
matroids. Linear Algebra and Its Applications,
382:171–178, 2004.
• M. Lemos e J. Oxley. On packing minors
into connected matroids. Discrete Mathematics,
189:283–289, 1998.
• M. Lemos e J. Oxley. A sharp bound on the
size of a connected matroid. Transactions of the
5
American Mathematical Society, 353:4039–4056,
2001.
• M. Lemos e J. Oxley. On the minor-minimal 3-
connected matroids having a fixed minor. Eu-
ropean Journal Combinatorics, 24:1097–1123,
2003.
• M. Lemos e J. Oxley. On the minor-minimal 2-
connected graphs having a fixed minor. Discrete
Mathematics, 280:77–118, 2004.
• J.C. de Pina e J. Soares. A new bound for the
Caratheodory rank of the bases of a matroid. In
Proceedings of the Eleventh Annual ACM-SIAM
Symposium on Discrete Algorithms, pages 942–
943, New York, 2000. ACM.
• J.C. de Pina e J. Soares. Improved bound for the
Caratheodory rank of the bases of a matroid. J.
Combin. Theory Ser. B, 88(2):323–327, 2003.
• H. van der Holst and J.C. de Pina. Length-
bounded disjoint paths in planar graphs. Dis-
crete Appl. Math., 120(1-3):251–261, 2002. Sixth
Twente Workshop on Graphs and Combinatorial
Optimization (Enschede, 1999).
2. Combinatoria extremal, probabilıstica e assintotica
Combinatoria extremal estuda quao grande ou quao pequeno pode ser um objeto (uma sequencia,
um grafo, uma configuracao de pontos, etc.) que satisfaz certas restricoes. Um exemplo classico
da teoria extremal dos grafos (veja, por exemplo, [19]), que teve Paul Erdos como o seu principal
expoente, e o teorema de Turan de 1940 que diz qual e o maior numero de arestas em um grafo
com n vertices que nao possui um dado subgrafo completo.
Nas proximas secoes descrevemos alguns dos problemas extremais de interesse de membros do
grupo. Aspectos probabilısticos e assintoticos tem papel fundamental nesta linha de pesquisa.
2.1. Regularidade de grafos e hipergrafos. Este topico da combinatoria extremal e assintotica
tem como foco um resultado fundamental da teoria dos grafos e combinatoria conhecido como o
Lema de Regularidade de Szemeredi [157] e suas diversas variantes, conjuntamente com algumas
de suas aplicacoes recentes. Para uma introducao a este topico, veja [89, 92, 93] e tambem [61, 85]
para desenvolvimentos mais recentes. Por simplicidade, a discussao que segue e restrita a grafos; a
versao para hipergrafos e tecnicamente muito mais complexa (o leitor interessado pode consultar,
por exemplo, Rodl et al. [145] e Rodl e Schacht [149]).
Os problemas especıficos a serem estudados neste topico sao, na maioria, problemas envolvendo a
inter-relacao entre os varios lemas de regularidade desenvolvidos recentemente e algumas aplicacoes
especıficas desses lemas. Membros do grupo tem investigado aplicacoes e extensoes deste lema
estrutural fundamental de Szemeredi ha varios anos.
O vigor da pesquisa em torno do topico que propomos e ilustrado por trabalhos recentes de Alon,
Elek, Gowers, Lovasz, Rodl, Schacht, Szegedy, e Tao, dentre outros.
Listamos a seguir alguns topicos especıficos a serem investigados. Para tanto, enunciamos antes
o lema classico de Szemeredi, apos darmos algumas definicoes fundamentais.
2.1.1. Definicoes basicas e o lema de regularidade. Seja G = Gn um grafo de ordem |V (G)| = n
fixo. Para U , W ⊂ V = V (G), escrevemos E(U,W ) = EG(U,W ) para o conjunto de arestas de G
com um extremo em U e o outro extremo em W . Pomos e(U,W ) = eG(U,W ) = |E(U,W )|. O
conceito (um tanto natural) de densidade d(U,W ) = dG(U,W ) do par (U,W ) em G e definido
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como segue: para quaisquer dois conjuntos disjuntos nao-vazios U , W ⊂ V , pomos
dG(U,W ) =eG(U,W )
|U ||W |. (1)
O lema de regularidade de Szemeredi afirma a existencia de particoes do conjunto de vertices
de grafos em um numero limitado de blocos com a maioria dos pares de blocos formando pares
surpreendentemente uniformes, conhecidos como pares ε-regulares.
Definicao 8 (Pares ε-regulares). Seja 0 < ε ≤ 1 um numero real. Seja G um grafo e U , W ⊂
V = V (G) dois conjuntos disjuntos nao-vazios de vertices de G. Dizemos que o par (U,W ) e
(ε,G)-regular, ou simplesmente ε-regular, se temos |dG(U ′,W ′) − dG(U,W )| ≤ ε para todo U ′ ⊂ U
e W ′ ⊂ W com |U ′| ≥ ε|U | e |W ′| ≥ ε|W |.
No lema regularidade, o conjunto de vertices dos grafos sao particionados em um numero limitado
de blocos, basicamente todos do mesmo tamanho.
Definicao 9 (Particao (ε, k)-balanceada). Dado um grafo G, um numero real 0 < ε ≤ 1, e um
inteiro k ≥ 1, dizemos que uma particao Q = (Ci)k0 de V = V (G) e (ε, k)-balanceada se temos
(i) |C0| ≤ εn e (ii) |C1| = . . . = |Ck|. A classe C0 e conhecida como a classe excepcional de Q.
Podemos agora introduzir a nocao fundamental de uma particao ε-regular para um grafo G.
Definicao 10 (Particao ε-regular). Dado um grafo G, uma particao (ε, k)-balanceada Q = (Ci)k0
de V = V (G) e (ε,G)-regular, ou simplesmente ε-regular, se no maximo ε(k2
)
pares (Ci, Cj) com 1 ≤
i < j ≤ k nao sao ε-regulares.
Podemos agora enunciar o celebre lema de Szemeredi [157].
Teorema 11 (Lema de regularidade). Para quaisquer ε > 0 e k0 ≥ 1, existem constantes K0 =
K0(ε, k0) ≥ k0 e N0 = N0(ε, k0) tais que todo grafo G = Gn com n ≥ N0 vertices admite uma
particao (ε,G)-regular, (ε, k)-balanceada de seu conjunto de vertices com k0 ≤ k ≤ K0.
O Teorema 11 mostrou-se de grande utilidade, especialmente em teoria dos grafos, combinatoria,
e teoria da computacao. Mais recentemente, variantes foram desenvolvidas para novas aplicacoes,
de forma que podemos falar hoje sobre ‘lemas de regularidade’.
2.1.2. O limite de sequencias de grafos densos. Um resultado recente de Lovasz e Szegedy [115]
introduz o conceito de um objeto limite (natural) para sequencias de grafos densos. O referido objeto
e simplesmente uma funcao mensuravel simetrica W : [0, 1]2 → [0, 1], e captura a ‘frequencia’ com
que grafos de tamanho fixo ocorrem, como subgrafos, nos grafos da sequencia. O trabalho [115]
usa lemas de regularidade de forma essencial. (Mencionamos brevemente que a forte relacao entre
regularidade e pseudoaleatoriedade e explorada por Lovasz e T. Sos em [113], atraves de objetos
limite.)
Em um trabalho posterior, fazendo uso de objetos limite, Lovasz e Szegedy [114] deram uma
prova alternativa para um resultado de grande generalidade devido a Alon e Shapira [4] na area de
teste de propriedade de grafos. A prova original de Alon e Shapira e fortemente baseada em lemas
de regularidade.
7
A testabilidade de parametros de grafos (um conceito muito proximo a testabilidade de propri-
edades) e explorada por Borgs et al. [23]. A nocao de limite de sequencias de grafos e sua relacao
com informacoes estruturais dos grafos da sequencia e explorada em maior generalidade em Borgs
et al. [24].
Os resultados ate agora provados na direcao brevemente discutida nesta secao restringem-se a
grafos densos (isto e, grafos de ordem n com Ω(n2) arestas). Kohayakawa e seus colaboradores
(veja, por exemplo, [61, 85]) tem trabalhado em problemas envolvendo a generalizacao do uso de
regularidade para tratar grafos esparsos (grafos de ordem n com o(n2) arestas).
Problema 12. Estabelecer uma nocao adequada de objetos limite para sequencias de grafos esparsos
e explorar suas aplicacoes.
Problema 13. Investigar a testabilidade de propriedades e parametros no caso esparso.
2.1.3. O lema da aproximacao regular. Um resultado surpreendente descoberto recentemente por
Rodl e Schacht [149] afirma que particoes extremamente regulares podem ser obtidas para qualquer
grafo, desde que permitamos considerar perturbacoes dos grafos dados. Para podermos descrever
este resultado um pouco melhor, precisamos entrar em alguns detalhes tecnicos.
A prova do Teorema 11 fornece uma constante K0 = K0(ε, k0) bastante grande: trata-se de uma
funcao ‘torrencial’, isto e, do tipo torre. O valor de K0 que se obtem e basicamente uma torre de
exponenciais de altura proporcional a 1/ε5. Este ponto nao e uma fraqueza da prova: Gowers [67]
demonstrou que ha grafos para os quais K0 e necessariamente torrencial.
O fato de K0 ser muito grande em relacao a 1/ε impossibilita certas aplicacoes do Teorema 11.
Grosseiramente falando, o que Rodl e Schacht [149] descobriram e que, se permitimos perturbar o
grafo G a ser regularizado, entao existem particoes δ-regulares com δ ≪ 1/k, onde k e o numero de
blocos na particao de Szemeredi. Este fato, descoberto no estudo de regularidade para hipergrafos,
tem consequencias profundas, como demonstrado em [149]. Este resultado foi recentemente deri-
vado, de forma alternativa e bastante surpreendente, por Elek e Szegedy [50], atraves de tecnicas
analıticas nao-standard.
Problema 14. Explorar aplicacoes de aproximacoes regulares no contexto esparso.
2.1.4. As versoes de Alon et al., Tao, Lovasz e Szegedy, e Elek e Szegedy. Varias versoes do lema
original de Szemeredi sao hoje importantes em varias aplicacoes. As variantes de maior desta-
que sao, possivelmente, os lemas de regularidade para hipergrafos, especialmente as versoes de
Gowers [66] (veja tambem [70]), Rodl e Skokan [150], Rodl e Schacht [149], Tao [159], e Elek e
Szegedy [50].
Alon et al. [1] desenvolveram uma versao importante para testes de propriedades de grafos.
Tao [158] coloca o lema no contexto da teoria da probabilidade (dando inclusive uma versao envol-
vendo entropia). Por outro lado, Lovasz e Szegedy colocam o lema no contexto analıtico [116].
2.2. Versoes probabilısticas de resultados da teoria combinatoria dos numeros. Este
topico enquadra-se na area de combinatoria probabilıstica e tem como foco resultados classicos da
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area de teoria de Ramsey para inteiros e as respectivas versoes de densidade. Comecemos com um
resultado bem conhecido da teoria combinatoria dos numeros, o teorema de van der Waerden [166]:
Teorema 15 (van der Waerden, 1927). Toda particao de N em um numero finito de partes e tal
que alguma parte contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas.
Erdos e Turan [51] conjecturaram uma versao mais forte que o Teorema de van der Waerden,
a saber, eles conjecturam a “versao de densidade” do Teorema 15: se uma parte dos inteiros e
“grande”, entao ela contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas. Esta conjectura foi
confirmada nesta generalidade apenas em 1975, por Szemeredi, atraves de seu celebre resultado:
Teorema 16 (Szemeredi, 1975). Todo conjunto A ⊂ N com densidade superior positiva, isto e,
com
d(A) = lim supn→∞
n−1|A ∩ 1, . . . , n| > 0, (2)
contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas.
Podemos interpretar os resultados acima como dizendo que progressoes aritmeticas sao abun-
dantes nos naturais N = 1, 2, . . . . Uma pergunta natural e entao a seguinte: para quais outros
conjuntos de naturais Γ progressoes aritmeticas sao abundantes no sentido desses teoremas? Neste
projeto, estamos interessados em considerar conjuntos tıpicos Γ, isto e, conjuntos aleatorios Γ de
inteiros positivos de acordo com certas distribuicoes naturais.
A pergunta acima foi originalmente formulada por Lefmann e, independentemente, por Erdos
e Sos (veja [147, p. 937]), apos um resultado analogo para o Teorema de Ramsey para grafos ter
sido provado por Rodl e Rucinski [146, 147]. Na Secao 2.2.1 abaixo, discutiremos os resultados
principais conhecidos nesta linha, e descreveremos precisamente os problemas centrais da area.
2.2.1. Versoes probabilısticas de resultados classicos. Comecamos considerando os Teoremas de van
der Waerden e Szemeredi.
Versoes probabilısticas dos Teoremas 15 e 16. Sera mais conveniente considerar as seguintes versoes
“finitas” dos Teoremas 15 e 16.
Teorema 17. Para todo r e k inteiros positivos, existe um inteiro n0 = n0(r, k) com a seguinte
propriedade: para todo n ≥ n0, toda particao de [n] = 1, . . . , n em r partes e tal que alguma parte
contem uma progressao aritmetica com k elementos.
Teorema 18. Para todo real η > 0 e inteiro positivo k, existe um inteiro n0 = n0(η, k) com a
seguinte propriedade: para todo n ≥ n0, todo conjunto A ⊂ [n] com densidade pelo menos η, isto e,
n−1|A ∩ [n]| ≥ η, (3)
contem uma progressao aritmetica com k elementos.
Sera tambem conveniente escrever
Γ → (PAk)r (4)
9
se Γ ⊂ N satisfaz a propriedade descrita no Teorema 17, isto e, se toda particao Γ = U1 ∪ · · · ∪Ur e
tal que algum Ui contem uma progressao aritmetica com k elementos. Definimos de forma analoga
a notacao
Γ →η PAk (5)
para todo conjunto Γ ⊂ N finito. Escrevemos (5) se todo U ⊂ Γ com |U | ≥ η|Γ| contem uma
progressao aritmetica com k elementos. Os Teoremas 17 e 18 dizem que segmentos iniciais Γ = [n]
de N suficientemente grandes satisfazem as relacoes (4) e (5).
(*) O que podemos dizer sobre conjuntos tıpicos Γ ⊂ [n]?
Para podermos falar sobre “conjuntos tıpicos”, definimos uma distribuicao de probabilidade sobre
os subconjuntos de [n]. A distribuicao mais simples que podemos considerar e a distribuicao
uniforme; na realidade, fixamos um inteiro N ≤ n e consideramos o conjunto([n]
N
)
de todos os
subconjuntos Γ ⊂ [n] de cardinalidade N e o munimos com a medida de probabilidade uniforme.
Escreveremos [n]N para um conjunto aleatorio sorteado uniformemente ao acaso dentre todos os
membros de([n]
N
)
. Assim, para todo conjunto fixo X ⊂ [n] com |X| = N , temos
P([n]N = X) =
(
n
N
)
−1
. (6)
Os dois proximos resultados que enunciamos fornecem uma resposta a nossa pergunta acima (*).
Observamos que o primeiro resultado, devido a Rodl e Rucinski [147], e um resultado que pode se
considerar completo, pois trata da propriedade (4) para todo k e r.
Teorema 19 (Rodl e Rucinski, 1995). Para todo inteiro k ≥ 3 e r ≥ 2, existem constantes
positivas c e C tais que
limn→∞
P([n]N → (PAk)r) =
0 se N ≤ cn1−1/(k−1),
1 se N ≥ Cn1−1/(k−1).(7)
O Teorema 19 afirma que ocorre uma transicao quando a ordem de grandeza de N passa
por n1−1/(k−1). A prova do resultado acima e complexa. Aqui, limitamo-nos a fazer uma ob-
servacao elementar que poderia dar suporte a um argumento heurıstico que da um papel especial
a funcao n1−1/(k−1): se Nn−1+1/(k−1) → 0, entao o numero de progressoes aritmeticas com k ele-
mentos em [n]N e o(N), e se Nn−1+1/(k−1) → ∞, entao o numero de tais progressoes e ωN , para
alguma funcao ω = ω(n) → ∞.
O segundo resultado probabilıstico que enunciamos, provado em [87],1 e ainda parcial, pois trata
da relacao (5) apenas para k = 3.
1Este trabalho e citado por Green e Tao, em seu celebre trabalho [72] em que aqueles autores provam a existencia deprogressoes aritmeticas arbitrariamente longas de numeros primos. Este trabalho e tambem citado na monografia deTao e Vu [160], sobre a teoria aditiva dos numeros.
10
Teorema 20 (Kohayakawa, Luczak, e Rodl, 1996). Para todo real η > 0, existem constantes
positivas c e C tais que
limn→∞
P([n]N →η PA3) =
0 se N ≤ cn1/2,
1 se N ≥ Cn1/2.(8)
A demonstracao do Teorema 20 e, infelizmente, bastante sutil e nao parece admitir uma ge-
neralizacao simples para k > 3. O fato de se conhecer uma versao probabilıstica ‘completa’ do
Teorema 17, mas termos apenas uma tal versao para k = 3 do Teorema 18 e razoavel, pois, ao que
tudo indica, o Teorema 18 e substancialmente mais profundo que o Teorema 17.
A versao probabilıstica do teorema de Rado. O Teorema 19 nao e a versao mais geral do que se
conhece nesta direcao. De fato, pelo menos em certos casos, e conhecida uma versao probabilıstica
do celebre Teorema de Rado [142], que generaliza o Teorema de van der Waerden.
Seja A = (aij) uma matriz k × l com entradas inteiras, e seja L(A) o sistema de equacoes
Ax = 0. (9)
Dizemos que A e regular em relacao a particoes de N, ou P-regular para N, se para todo natural r
e toda particao N = U1 ∪ · · · ∪ Ur, existe x ∈ Nl com todas as suas entradas em algum Ui tal
que Ax = 0. Isto e, A e P-regular para N se qualquer particao finita de N e tal que o sistema L(A)
admite uma solucao inteiramente contida em uma das partes.
Rado [142] caracterizou as matrizes P-regulares, generalizando amplamente o resultado de van
der Waerden. Para formularmos o resultado de Rado, precisamos introduzir uma nova definicao.
Sejam aj (1 ≤ j ≤ l) as colunas de A. Dizemos que A satisfaz a propriedade das colunas se podemos
reordenar as colunas de A de forma que, para algum s, existam 0 = l0 < · · · < ls = l tais que se
bj =∑
aj′ : lj−1 < j′ ≤ lj (1 ≤ j ≤ s),
entao (i) b1 = 0 e (ii) para todo 1 < j ≤ s, o vetor bj e uma combinacao linear sobre Q dos
vetores aj′ (j′ ≤ lj−1).
O celebre resultado de Rado e o seguinte.
Teorema 21 (Rado, 1937). A matriz A e P-regular para N se e so se A satisfaz a propriedade das
colunas.
E facil verificar que o Teorema 21 generaliza o Teorema de van der Waerden. De fato, para
se obter o Teorema de van der Waerden a partir do Teorema de Rado, basta considerar a matriz
correspondente ao sistema
x1 − 2x2 + x3 = · · · = xk−2 − 2xk−1 + xk = 0. (10)
Uma generalizacao analoga para o Teorema de Szemeredi, que examinaremos a seguir, foi obtida
por Frankl, Graham, e Rodl [57].
11
Uma matriz A e dita regular em relacao a densidade para N, ou D-regular para N, se todo
conjunto S ⊂ N com densidade superior positiva, isto e, com
d(S) = lim supn→∞
n−1|S ∩ [n]| > 0, (11)
e tal que (9) admite uma solucao x com todas as suas entradas em S. Segue que uma matriz
D-regular e P-regular.
Diremos que uma matriz A e irredundante se (9) admite uma solucao x com todas as suas
entradas distintas. No que segue, o caso das matrizes redundantes nao nos interessara. Frankl,
Graham, e Rodl [57] provaram o seguinte resultado.
Teorema 22 (Frankl, Graham, e Rodl, 1988). Uma matriz irredundante e D-regular para N se e
so se a soma de suas colunas e nula.
O Teorema 22 generaliza o Teorema de Szemeredi (veja (10)); entretanto, observamos que a prova
do Teorema 22 usa o Teorema de Szemeredi. Uma generalizacao impressionante do Teorema 19
e o Teorema 23 abaixo, devido a Rodl e Rucinski [148]. Se Γ ⊂ N e A e uma matriz inteira,
generalizando (4), escrevemos Γ → (A)r se toda particao Γ = U1 ∪ · · · ∪ Ur de Γ em r partes e tal
que (9) admite uma solucao x com todas as suas entradas em algum Ui.
Precisamos ainda definir um parametro m(A) para matrizes A; este parametro mede, de certa
forma, o grau de liberdade que temos para obter solucoes de (9). Observamos que a definicao exata
deste parametro nao e muito importante, pelo menos em uma primeira leitura; e suficiente observar
que m(A) e um real satisfazendo 0 < m(A) ≤ 1, que depende apenas de A.
Se Q e um subconjunto de colunas de A, escrevemos h(Q) para o posto da matriz que obtemos
ao eliminar as colunas em Q de A. Pomos
m(A) = maxq
maxQ
q − 1
q − 1 + h(Q) − k, (12)
onde o primeiro maximo e tomado sobre todos os inteiros 1 ≤ q ≤ l e o segundo maximo e tomado
sobre todos os conjuntos de colunas Q com |Q| = q. No caso da matriz A do sistema (10), um
argumento simples, mas que omitimos, mostra que m(A) = k − 1.
Teorema 23 (Rodl e Rucinski, 1997). Sejam A uma matriz D-regular para N e r um inteiro
positivo. Existem constantes positivas c e C tais que
limn→∞
P([n]N → (A)r) =
0 se N ≤ cn1−1/m(A),
1 se N ≥ Cn1−1/m(A).(13)
A assercao no Teorema 23 para o caso em que N ≤ cn1−1/m(A) e mais facil, e de fato pode ser
provada para matrizes P-regulares e nao so D-regulares.
2.2.2. Problemas centrais. No Teorema 23, o caso em que a matriz A e apenas regular em relacao
a particoes de N e muito interessante, e encontra-se em aberto.
Conjectura 24 (Rodl e Rucinski, 1997). O Teorema 23 e tambem valido para matrizes A regulares
em relacao a particoes de N.
12
A matriz mais simples que e P-regular mas nao e D-regular e a matriz correspondente a equacao x+
y − z = 0. O fato dessa matriz ser P-regular e um resultado classico de Schur [153].
Teorema 25 (Schur, 1916). Se N = U1 ∪ · · · ∪ Ur e uma particao de N em um numero finito de
partes, entao a equacao x + y = z e soluvel em uma das partes Ui.
Um passo na direcao da Conjectura 24 e o seguinte resultado, devido a Graham, Rodl, e
Rucinski [71]. Abaixo, escrevemos Γ → (Schur)r se toda particao de Γ em r partes e tal que
a equacao x + y = z e soluvel em alguma das partes.
Teorema 26 (Graham, Rodl, e Rucinski, 1996). Temos
limn→∞
P([n]N → (Schur)2) =
0 se N/n1/2 → 0,
1 se N/n1/2 → ∞.(14)
Finalmente, observamos que no caso de matrizes D-regulares, um resultado mais forte que aquele
do Teorema 23 pode ser verdade. De fato, podemos levantar o seguinte problema. Generali-
zando (5), dados uma matriz A, um real η > 0, e Γ ⊂ N, escrevemos Γ →η A se todo conjunto U ⊂ Γ
com |U | ≥ η|Γ| contem uma solucao de (9).
Problema 27. Sejam A uma matriz D-regular para N e η um real positivo. Prove que existem
constantes positivas c e C tais que
limn→∞
P([n]N →η A) =
0 se N ≤ cn1−1/m(A),
1 se N ≥ Cn1−1/m(A).(15)
No Problema 27, o caso em que a matriz A e aquela correspondente a progressoes aritmeticas
de tres elementos, isto e, correspondente a equacao x + z = 2y, e resolvido afirmativamente pelo
Teorema 20. Podemos enunciar a seguinte conjectura, que, se correta, generaliza aquele teorema.
Conjectura 28. Para todo real η > 0 e para todo inteiro k ≥ 3, existem constantes positivas c e C
tais que
limn→∞
P([n]N →η PAk) =
0 se N ≤ cn1−1/(k−1),
1 se N ≥ Cn1−1/(k−1).(16)
E nossa impressao que a Conjectura 24, o Problema 27, e mesmo a Conjectura 28, sao extrema-
mente difıceis.
Problema 29. Investigar a adaptabilidade das abordagens recentes usadas para fornecer provas
alternativas do Teorema de Szemeredi ao nosso contexto probabilıstico.
No Problema 29, estamos pensando nas tecnicas analıticas de Gowers, nas tecnicas combinatorias
de Rodl et al., e nas tecnias nao-standard de Elek e Szegedy.
Objetivos. O objetivo principal deste subprojeto e investigar a area descrita na Secao 2.2.1, pro-
curando contribuir na resolucao da Conjectura 24, Problema 27, e Conjectura 28. Tendo em vista
o estado-da-arte atual, acreditamos que uma solucao definitiva de qualquer um desses problemas
13
e conjecturas esta ainda muito distante. Entretanto, alguns casos particulares interessantes devem
estar ao nosso alcance.
De fato, encontrar uma demonstracao do Teorema 20 atraves de alguma versao probabilıstica
dos metodos de Roth [151] e Gowers [68, 69] ja seria muito interessante. Tal tentativa envolveria
um estudo sistematico de conjuntos de inteiros pseudoaleatorios esparsos, estendendo trabalhos de
Chung e Graham [36] (veja tambem a Secao 3.3).
Acreditamos que podemos ter sucesso nesta linha, continuando [87] (veja Teorema 20 acima), de-
vido a nossas investigacoes de versoes probabilısticas de resultados da teoria de Ramsey e resultados
extremais tipo Turan para grafos (veja, por exemplo, [60, 77, 78, 86, 88, 90, 152]).
2.3. Modelos de redes de grande escala. Planejamos tambem prosseguir com o estudo de
modelos de rede de grande escala que tem sido feito por membros do grupo [136]. Temos especial
interesse nas seguintes classes de modelos:
• Modelos de Preferential attachment. Na sua forma mais simples, estes sao modelos em que
a rede cresce com o acrescimo sucessivo de um no por vez, e cada novo no direciona uma
aresta a um vertice antigo w escolhido com probabilidade ponal a f(deg(w)), onde f e
uma funcao positiva e deg(w) e o grau de w no momento. Pesquisadores que ja abordaram
estes modelos incluem Bollobas, Borgs, Chayes, Riordan, Spencer e muitos outros; ainda
ha muito o que se aprender a respeito de variantes destes modelos.
• Modelos com graus esperados ou nao-homogeneos. Ao contrario do caso anterior, estes sao
modelos estaticos no tempo. Na recente versao de Bollobas, Janson e Riordan (Chung e Lu
tem um modelo mais restrito que e essencialmente um subcaso deste), n vertices sao postos
num espaco metrico “secreto” S e cada aresta em potencial xy existe com probabilidade
k(x, y)/n, onde k e uma funcao simetrica sobre S. Muitas das caracterısticas da Internet
e da Web sao melhor reproduzidas por esta classe de modelos do que pelas variantes de
Preferential Attachment, que tem por sua vez a vantagem de “explicar a dinamica da
rede”.
Nosso interesse especıfico e analisar modelos como estes e provar propriedades matematicas a seu
respeito. Uma parte especialmente importante deste programa e a analise do espectro tıpico dos
modelos metricos de grafos, que ainda nao foi efetuada e que, gracas a teoremas gerais, ja permite
a aproximacao do diametro, conectividade e outras propriedades dos referidos objetos. Tambem
e relevante o estudo geral de modelos dinamicos (como o de contato) sobre esta classe de grafos.
Por fim, estamos interessados em compreender melhor a relacao entre a estrutura destes grafos e a
analise de algoritmos sobre eles.
2.4. Geometria combinatoria no plano. Um dos principais assuntos em geometria combi-
natoria envolve conjuntos finitos de pontos [49]. Historicamente um dos primeiros problemas
combinatorios que perguntava sobre a existencia de uma configuracao de pontos com uma certa
propriedade foi proposto por Sylvester em 1893:
“E verdade que toda configuracao de pontos nao colineares no plano possui uma
linha contendo apenas dois pontos?”
14
Este problema foi revivido por Paul Erdos [138] em 1943. Uma resposta em afirmativo para esta
questao foi dada por Tibor Gallai [74] no que hoje e conhecido como teorema de Sylvester-Gallai.
Seja P um conjunto finito de pontos no plano. Por uv denotamos o segmento de reta entre
os ponto u e v. Dizemos que dois pontos distintos u e v em P se enxergam (em relacao a P ) se
P ∩ uv = u, v. Uma k-linha de P e um conjunto com k ou mais pontos colineares de P .
Neste topico o nosso interesse e na seguinte conjectura de Kara, Por e Wood [83]:
Conjectura 30. Para todos os numeros inteiros k, l ≥ 2 existe um numero inteiro n(k, l) tal que
toda configuracao de n(k, l) pontos no plano possui uma k-linha ou l pontos que mutuamente se
enxergam.
Algum progresso nessa conjectura ja vem sendo obtido por membros do grupo e pretendemos
dar continuidade a este trabalho.
2.5. Trabalhos anteriores. Membros do grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa dis-
cutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:
• B. Bollobas, Y. Kohayakawa, V. Rodl, M. Scha-
cht, e A. Taraz, Essentially infinite colou-
rings of hypergraphs, Proc. London Math.
Soc. (3) (2007), aceito para publicacao
(doi:10.1112/plms/pdm024).
• S. Gerke, Y. Kohayakawa, V. Rodl, e A. Ste-
ger, Small subsets inherit sparse ε-regularity, J.
Combin. Theory Ser. B 97 (2007), no. 1, 34–56.
• D. Dellamonica Jr., Y. Kohayakawa, M. Mar-
ciniszyn, e A. Steger, On the resilience of long
cycles in random graphs, submetido, 2007.
• V. Rodl, B. Nagle, J. Skokan, M. Schacht,
e Y. Kohayakawa, The hypergraph regularity
method and its applications, Proc. Natl. Acad.
Sci. USA 102 (2005), no. 23, 8109–8113.
• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e M. Schacht, The
Turan theorem for random graphs, Combin. Pro-
bab. Comput. 13 (2004), no. 1, 61–91.
• C.G. Moreira e Y. Kohayakawa, Bounds for opti-
mal coverings, Discrete Appl. Math. 141 (2004),
no. 1-3, 263–276.
• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e L. Thoma, An opti-
mal algorithm for checking regularity, SIAM J.
Comput. 32 (2003), no. 5, 1210–1235.
• Y. Kohayakawa, B. Nagle, e V. Rodl, Heredi-
tary properties of triple systems, Combin. Pro-
bab. Comput. 12 (2003), no. 2, 155–189.
• Y. Kohayakawa e V. Rodl, Szemeredi’s regularity
lemma and quasi-randomness, Recent advances
in algorithms and combinatorics, CMS Books
Math./Ouvrages Math. SMC, vol. 11, Springer,
New York, 2003.
• Y. Kohayakawa e V. Rodl, Regular pairs in
sparse random graphs. I, Random Structures Al-
gorithms 22 (2003), no. 4, 359–434.
• E. Friedgut, Y. Kohayakawa, V. Rodl,
A. Rucinski, e P. Tetali, Ramsey games against
a one-armed bandit, Combin. Probab. Comput.
12 (2003), no. 5-6, 515–545, Special issue on
Ramsey theory.
• Y. Kohayakawa, B. Nagle, e V. Rodl, Ef-
ficient testing of hypergraphs (extended abs-
tract), ICALP 2002, 29th International Collo-
quium on Automata, Languages, and Program-
ming (Malaga, Spain, July 2002), Lecture No-
tes in Computer Science, Springer, Berlin, 2002,
pp. 1017–1028.
• Y. Kohayakawa e B. Kreuter, The width of ran-
dom subsets of Boolean lattices, J. Combin. The-
ory Ser. A 100 (2002), no. 2, 376–386.
• Y. Kohayakawa, B. Kreuter, e D. Osthus, The
length of random subsets of Boolean lattices,
Random Structures Algorithms 16 (2000), no. 2,
177–194.
• Y. Kohayakawa, B. Kreuter, e A. Steger, An ex-
tremal problem for random graphs and the num-
ber of graphs with large even-girth, Combinato-
rica 18 (1998), no. 1, 101–120.
15
• Y. Kohayakawa, Szemeredi’s regularity lemma
for sparse graphs, Foundations of Computatio-
nal Mathematics (Berlin, Heidelberg) (F. Cuc-
ker e M. Shub, eds.), Springer-Verlag, January
1997, pp. 216–230.
• Y. Kohayakawa, T. Luczak, e V. Rodl, On K4-
free subgraphs of random graphs, Combinatorica
17 (1997), no. 2, 173–213.
• Y. Kohayakawa e B. Kreuter, Threshold functi-
ons for asymmetric Ramsey properties involving
cycles, Random Structures and Algorithms 11
(1997), no. 3, 245–276.
• P.E. Haxell, Y. Kohayakawa, e T. Luczak,
Turan’s extremal problem in random graphs: for-
bidding odd cycles, Combinatorica 16 (1996),
no. 1, 107–122.
• P.E. Haxell, Y. Kohayakawa, e T. Luczak,
Turan’s extremal problem in random graphs: for-
bidding even cycles, Journal of Combinatorial
Theory, Series B 64 (1995), 273–287.
3. Pseudoaleatoriedade em combinatoria e em teoria da computacao
Um topico de bastante interesse em varias areas da matematica e teoria da computacao refere-
se a nocao de objetos ‘tıpicos’ ou ‘pseudoaleatorios’. Mencionamos um exemplo da teoria da
complexidade computacional.
Em alguns contextos especıficos, e possıvel provar que algoritmos probabilısticos sao mais ‘po-
derosos’ que algoritmos determinısticos. Entretanto, um dos problemas fundamentais da area da
teoria da complexidade e decidir se maquinas de Turing probabilısticas sao efetivamente mais
poderosas que maquinas determinısticas usuais. Este ponto esta longe de ser esclarecido. Um re-
sultado classico que limita o poder computacional de processos aleatorios, devido a Sipser, e que
BPP ⊂ Σ2.2 Muito grosseiramente falando, a prova desse resultado e baseada na construtibilidade
(de forma eficiente) de conjuntos pseudoaleatorios pequenos Ω′ que ‘tem o poder de simular’ espacos
de probabilidade Ω maiores (de tamanho exponencial na entrada x, para o qual queremos decidir
o problema de pertinencia “x ∈ L?”).
A ideia de como um espaco menor Ω′ pode ‘simular’ um espaco maior pode ser descrita informal-
mente como segue: basicamente, substituımos o sorteio de um elemento ω ∈ Ω pelo sorteio de um
elemento ω′ ∈ Ω′ [gastando assim uma quantidade menor de aleatoriedade], ou (no caso em que Ω′
e realmente pequeno) testamos todos os ω′ ∈ Ω′, obtendo assim um algoritmo determinıstico. (Este
processo e uma das formas de se ‘desaleatorizar’ um algoritmo probabilıstico.)
A discussao acima procura ilustrar a utilidade de estruturas ‘pseudoaleatorias’ construtıveis de
forma eficiente. Ademais, para demonstrar que certas estruturas pseudoaleatorias tem as proprie-
dades relevantes, torna-se necessario investigar propriedades tıpicas das estruturas em questao.
Neste subprojeto, estamos interessados na investigacao de estruturas discretas tıpicas, tendo em
vistas aplicacoes em combinatoria e em teoria da computacao. As tecnicas envolvidas na pesquisa
que propomos sao da ‘combinatoria pura’, da teoria da probabilidade, da algebra, e da teoria aditiva
dos numeros.
2BPP (bounded-error probabilistic polynomial) e a classe das linguagens L tais que a pertinencia x ∈ L de uma palavra
arbitraria x pode ser decidida em tempo polinomial com uma maquina de Turing probabilıstica, com probabilidade deerro limitada (nao entraremos em detalhes aqui). A classe Σ2 e formada pelas linguagens L tais que a pertinencia x ∈ Lpode ser caracterizada pela expressao “∃z ∀w qL(x, z, w) = 1,” onde qL e um predicado que pode ser verificado emtempo polinomial no comprimento de x (e ambos z e w tem comprimento polinomial no comprimento de x).
16
Estruturas ‘pseudoaleatorias’ sao de interesse devido a motivacoes diversas. Naturalmente, de-
pendendo da motivacao, a nocao de pseudoaleatoriedade muda. Descrevemos abaixo muito breve-
mente algumas perspectivas que sao relevantes para este projeto.
3.1. A perspectiva de Blum, Goldwasser, Micali, e Yao. Sob o ponto de vista da area da
complexidade computacional (ou desses autores, veja [17, 18, 65, 169]), a investigacao de estru-
turas pseudoaleatorias tem como princıpio fundamental a filosofia de se considerar objetos como
equivalentes se eles nao podem ser distinguidos por algoritmos eficientes. Assim, a ideia e inves-
tigar como gerar objetos (ou bits) pseudoaleatorios de forma determinıstica,3 tendo como criterio
de ‘correcao’ do metodo a impossibilidade computacional de se distinguir os objetos gerados de
objetos genuinamente aleatorios, atraves de algoritmos de tempo polinomial.
Caso tais metodos para gerar estruturas pseudoaleatorias sejam descobertos, entao poderemos
desaleatorizar algoritmos probabilısticos. De fato, um algoritmo probabilıstico pode ser pensado
como uma maquina de Turing usual M que recebe, alem da entrada x, uma sequencia de bits
(genuinamente) aleatorios y. Com base no par (x, y), a maquina M executa sua computacao
(determinıstica). Para desaleatorizar este processo, poderıamos substituir y pela saıda y′ de nosso
gerador de bits pseudoaleatorios. Se y e y′ nao podem ser distinguidos eficientemente, entao a
maquina M seria ‘ludibriada’ pelo par (x, y′): ela devolveria a saıda correta para a entrada x
(como se y′ fosse genuinamente aleatorio).4
Aleatoriedade e pseudoaleatoriedade deste ponto de vista, fundamentado na teoria da complexi-
dade computacional, e discutido por Goldreich [64] (veja tambem [63] e [118]).
3.2. Discrepancia. Diversos resultados das areas de algoritmos e complexidade computacional
baseiam-se na construcao de subconjuntos Ω′ pequenos de um conjunto grande Ω, com Ω′ de
alguma forma refletindo as propriedades de Ω. Por exemplo, em varias aplicacoes, ha um sistema
de conjuntos S ⊂ 2Ω sobre Ω em que estamos interessados, mas desejamos reduzir o tamanho do
sistema (Ω,S): a ideia e entao encontrar Ω′ ⊂ Ω de forma que o sistema S ′ = S ∩ Ω : S ∈ S e
tal que o par (Ω′,S ′) herda as propriedades relevantes de (Ω,S). Em muitos casos, a discrepancia
de Ω′ em relacao ao sistema (Ω,S) e o que nos iteressa,5 e o problema se reduz em encontrar Ω′
que tenha discrepancia pequena e cardinalidade pequena. Em varias situacoes, tomando-se Ω′ ⊂
Ω com cardinalidade adequada, de forma aleatoria, obtemos um conjunto como procurado com
alta probabilidade (quando existem). O problema e que em muitas circunstancias precisamos
construir Ω′ de forma eficiente e determinıstica, e essa restricao torna este problema extremamente
difıcil.
3Um pouco mais precisamente: queremos gerar uma sequencia longa de bits pseudoaleatorios a partir de sequenciacurta de bits genuinamente aleatorios, atraves de um algoritmo determinıstico polinomial.4Este esquema simplificado precisa ser elaborado, mas ele contem a ideia basica: a substituicao dos bits genuinamentealeatorios y por y′, gerado deterministicamente, mas de alguma forma ‘sofisticada’, simulando aleatoriedade.5A discrepancia de Ω′ em relacao ao conjunto S ⊂ Ω e
˛
˛|S|/|Ω| − |S ∩ Ω′|/|Ω′|˛
˛. (17)
A discrepancia de Ω′ em relacao ao sistema (Ω,S) e o maximo das quantidades (17), onde o maximo e tomado sobretodos os S ∈ S .
17
Da literatura nesta linha, merece especial destaque a monografia The Discrepancy Method—
Randomness and Complexity, de Chazelle [29]. Veja tambem Beck e Chen [13] e Matousek [124].
3.3. Grafos e estruturas correlatas. Sem duvida, o estudo de grafos, hipergrafos, e torneios
pseudoaleatorios ja se encontra bastante desenvolvido. Podemos citar Rodl [144] como um dos
trabalhos iniciais nesta linha. Seguiram-se Frankl, Rodl, e Wilson [58] e Thomason [162], que,
independentemente, introduziram as tecnicas basicas da area. Estas investigacoes ganharam uma
estrutura mais uniforme com Chung, Graham, e Wilson [37] e Thomason [163].
Uma teoria muito mais complexa esta sendo desenvolvida para estender os resultados dos tra-
balhos acima para hipergrafos. Um trabalho ‘maximal’ nesta linha e Chung e Graham [34]. Veja
tambem Chung [31, 32], Chung e Graham [33, 35], e Haviland e Thomason [76]. Uma contribuicao
nesta linha e um trabalho de Kohayakawa em conjunto com Rodl e Skokan [91].
Resultados de impacto, devidos independentemente a W. T. Gowers e a V. Rodl e seus co-autores
e, mais recentemente, devidos a Alon, Elek, Lovasz, Szegedy, e Tao, apontam para uma teoria
de hipergrafos pseudoaleatorios com grande aplicabilidade. Basicamente, esses autores tiveram
sucessos substanciais na generalizacao do assim chamado metodo da regularidade de grafos para
hipergrafos. O estudo dos fundamentos dessa area sera importante nesse projeto. Para mais
detalhes sobre regularidade (no caso de grafos), veja a Secao 2.1.
Outra estrutura bastante estudada no contexto de pseudoaleatoriedade sao subconjuntos de Z ou
de Zn = Z/nZ. Um trabalho de nosso interesse nesta linha e Chung e Graham [36]. Tais estruturas
sao tambem estudadas sob uma otica relacionada mas diferente por Mauduit e Sarkozy (veja, por
exemplo, [125]). Trabalhos de membros do grupo nessa linha sao [2, 3].
3.4. Geometria fractal e complexidade de sequencias. Um topico abordado por Mauduit e
Moreira [126] e o estudo de conjuntos de sequencias infinitas sobre alfabetos finitos com comple-
xidade limitada por uma certa funcao. Pretendemos estudar propriedades geometricas e estimar
dimensoes fractais generalizadas de tais conjuntos. Alguns resultados ja foram obtidos nessa direcao,
envolvendo aspectos dinamicos e combinatorios.
3.5. Topico especıfico de pesquisa. Atacaremos o problema de relacionar os resultados discuti-
dos nas Secoes 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. Temos grande interesse nos sucessos espetaculares dessa area [10]
e [11], que ilustram o impacto de tecnicas da area de complexidade computacional no problema do
estabelecimento de cotas inferiores construtivas para problemas da teoria de Ramsey.
Problema 31. Explorar relacoes entre a teoria da complexidade computacional e a combinatoria,
com o objetivo especıfico de, entre outros, produzir construcoes explıcitas de objetos combinatorios
extremais.
3.6. Trabalhos anteriores. Membros do grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa dis-
cutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:
• N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Mo-
reira, e V. Rodl, Measures of pseudorandomness
for finite sequences: typical values, Proc. London
Math. Soc. (3), aceito para publicacao.
18
• N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G.
Moreira, e V. Rodl, Measures of pseudorandom-
ness for finite sequences: minimal values, Com-
bin. Probab. Comput. 15 (2006), no. 1–2, 1–29.
• Y. Kohayakawa, V. Rodl, M. Schacht, P. Sis-
sokho, e J. Skokan, Turan’s theorem for pseudo-
random graphs, J. Combin. Theory Ser. A 114
(2007), no. 4, 631–657.
• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e P. Sissokho, Embed-
ding graphs with bounded degree in sparse pseu-
dorandom graphs, Israel J. Math. 139 (2004),
93–137.
4. Algoritmos sobre estruturas discretas e aplicacoes
A pesquisa em fundamentos da ciencia da computacao, da matematica discreta e da otimizacao
naturalmente leva ao desenvolvimento de algoritmos eficientes para uma variedade de problemas,
advindos de diversas areas de aplicacao.
Esta secao descreve os topicos mais aplicados desse projeto, que incluem resultados de anos de
pesquisa basica em areas fundamentais, como grafos, topologia, teoria dos nos, otimizacao contınua
e combinatoria, automatos, e topicos avancados de algoritmos e estruturas de dados.
4.1. Metodos computacionais e combinatorios para variedades topologicas. Ha mais
de 20 anos, S. Lins e Mandel [109] propuseram uma representacao de variedades tridimensionais
por meio de grafos aresta-coloridos, as chamadas Gemas. Ao longo dos anos, novas representacoes
combinatorias foram propostas [27, 105, 106, 107, 108, 110], sendo as mais importantes strings e
blinks. Estes ultimos sao especialmente relevantes pelo fato de se poder decidir efetivamente se dois
blinks representam a mesma variedade [84].
Durante o seu doutorado, L. Lins [104] produziu uma primeira versao de um sistema denominado
BLINK, que consiste em uma linguagem para visualizar, reconhecer, classificar e manipular espacos
tridimensionais.
A proxima etapa do projeto e continuar o desenvolvimento e implementacao do sistema com-
putacional BLINK. Ele vai possibilitar a efetiva classificacao (a ser disponibilizada na Internet) de
todas as 3-variedades fechadas e orientadas (espacos) representaveis como framed links de ate 9
cruzamentos.
Ademais, S. Lins tem um convite da World Scientific para elaborar uma monografia sobre este
assunto cujo tıtulo provisorio e: All Shapes of Spaces: Genealogy of Closed Oriented 3-Manifolds.
Um outro projeto computacionalmente ambicioso nesta linha e usar uma generalizacao da Teoria
de Strings desenvolvida por Lins [107] para obter espacos fechados 7-dimensionais aparecendo como
gemas pequenas e muito simetricas. Os prototipos sao S2×S1 e CP2 (induzido por gemas de apenas
oito vertices) em dimensoes 3 e 4. Este projeto tem motivacao na questao central da Teoria de
Strings em dimensao 11 da Fısica: qual a forma do espaco fechado de dimensao 7 para multiplicar
o espaco-tempo usual?
4.2. Empacotamentos de moleculas. A dinamica molecular e uma metodologia poderosa para
o estudo a nıvel molecular de diversos sistemas quımicos e bioquımicos. A teoria e as tecnicas
desenvolvidas para a analise estrutural e termodinamica estao bem desenvolvidas. Porem, desenhar
uma configuracao inicial para a dinamica pode ser complicado.
19
Do ponto de vista pratico, o melhor produto desenvolvido e o PACKMOL [123], um programa
para empacotar moleculas em regioes de diferentes tipos, usado em dinamica molecular.
O PACKMOL aborda o problema de achar uma configuracao inicial como um problema de empa-
cotamento de itens (discos, esferas, retangulos, etc.) em conjuntos convexos e o resolve utilizando
tecnicas de otimizacao.
Alguns membros deste grupo tem trabalhado ha varios anos em tecnicas de otimizacao contınua
e de otimizacao combinatoria para problemas de empacotamento. Em particular, Birgin esta en-
volvido no aprimoramento do PACKMOL.
O problema especıfico abordado pelo PACKMOL e modelado de forma tal que a distancia en-
tre atomos de diferentes moleculas seja maior que uma distancia mınima previamente fixada. O
principal inconveniente do modelo esta relacionado ao custo de avaliacao, que envolve o calculo da
distancia entre todos os pares de atomos de moleculas diferentes. Utilizando algoritmos eficientes
desenvolvidos para reduzir a complexidade computacional do chamado problema dos N-corpos [81],
e possıvel reduzir a complexidade computacional de avaliar o modelo. Mais ainda, o algoritmo resul-
tante e fortemente paralelizavel. No presente projeto, pretendemos, entre outras coisas, trabalhar
na implementacao paralela destas tecnicas.
Do ponto de vista teorico, o conceito mais interessante introduzido por Birgin, Martınez, Mas-
carenhas e Ronconi [15] e o de sentinelas. Dados dois itens A e B, dizemos que SA ⊆ A e SB ⊆ B
sao sentinelas de A e B respectivamente se o fato de A e B possuirem um ponto interior comum
implica necessariamente que um sentinela de A e interior a B ou que um sentinela de B e interior
a A. Pretendemos consolidar a teoria pela qual sentinelas adequados em retangulos foram definidos.
Possuımos atualmente uma teoria preliminar, completa mas excessivamente complicada.
4.3. Algoritmos lineares para analise de sequencias. A combinatoria das palavras tem ga-
nhado bastante importancia recentemente com o desenvolvimento de algoritmos que possibilitem
a analise, processamento e extracao de informacoes em sequencias cada vez mais compridas, sejam
elas textos disponıveis na internet, bibliotecas digitais ou sequencias genomicas. Face as dimensoes
cada vez maiores destas sequencias, algoritmos eficientes (lineares e ate sublineares) tem sido cada
vez mais requisitados.
Diversas formas de comparacoes de sequencias acabam por recorrer a solucao de problemas
como alinhamento de sequencias ou obtencao de uma subsequencia mais comprida que e comum as
sequencias comparadas. Estes algoritmos sao a grosso modo quadraticos, o que impossibilita sua
aplicacao a sequencias muito compridas, como as do tamanho de um genoma completo. Por conta
disto, no campo da biologia computacional por exemplo, varias heurısticas [6, 7, 140, 141, 161] tem
sido introduzidas de forma a que se possa eliminar estas limitacoes.
Nem todo problema admite uma solucao eficiente, mas aqueles que admitem acabam por se
tornar centrais. Tanto que novos modelos matematicos e boas heurısticas para problemas antes
intrataveis sempre acabam por recorrer a estes problemas, na busca de solucoes eficientes ainda que
as vezes aproximadas. Num processo normal de desenvolvimento de algoritmos aplicados a biologia,
propoem-se modelos matematicos o mais realistas possıveis, para uma posterior implementacao
dos algoritmos. De fato, muitas vezes a eficiencia de tecnicas como a construcao das arvores de
20
sufixos [46] e a obtencao do menor ancestral comum [46] interferem na elaboracao destes modelos de
forma que os algoritmos e heurısticas resultantes possam valer-se delas. Este e o caso de diversas
implementacoes de alinhadores de sequencias [12, 42] bem como ferramentas que se prestam ao
estudo das repeticoes numa sequencia genomica [95].
De fato, as arvores de sufixos e as tabelas necessarias a resolucao do problema do menor an-
cestral comum sao duas das estruturas de dados mais avancadas e importantes a elaboracao de
algoritmos eficientes que possam ser utilizados no estudo de sequencias extremamente compridas.
Recentemente foi escrito por Lago e Simon [46] um livro que aborda novamente os dois problemas e
foram tambem apresentados alguns algoritmos eficientes que constroem e fazem uso eficiente destas
estruturas.
Tres sao os algoritmos mais conhecidos que constroem uma arvore de sufixos em tempo linear no
comprimento da palavra: o de Weiner [168], o de McCreight [128] e o algoritmo on-line de Ukko-
nen [165]. O algoritmo de construcao em tempo linear da arvore de sufixos como e reapresentado
por Lago e Simon [46] baseia-se no de McCreight [128] de forma a incluir duas generalizacoes em
relacao ao que e encontrado na literatura: (1) a palavra (string) cuja arvore de sufixos e construıda
pode possuir a ultima letra que nao e distinta das anteriores; (2) os sufixos sao tomados de um
conjunto de varias palavras. Numa das aplicacoes apresentadas, o problema da busca de padroes
de comprimento m com ate k erros (mismatches) num texto de comprimento n, e resolvido em
tempo O(kn) (em contraposicao a uma solucao ingenua O(mn)) envolvendo as duas estruturas de
dados acima mencionadas.
E nosso proposito, dentro deste topico, a ampliacao da referida abordagem feita em relacao as
arvores de sufixos de forma a incluir duas melhorias, sem detrimento das generalizacoes anteriores:
(1) aproveitando-se de ideias de Ukkonen, alterar o algoritmo de construcao em tempo linear de
forma que o mesmo seja on-line; (2) dado um conjunto dos sufixos da(s) palavra(s) em questao,
construir em tempo linear ao tamanho do conjunto uma arvore de sufixos em que sejam soletraveis
a partir da raiz apenas os sufixos presentes neste conjunto. Acreditamos que o proposito e viavel
e original. Intencionamos tambem fazer um estudo de representacoes eficientes dos automatos que
permeiam os algoritmos ora comentados.
Outro problema relacionado que nos interessa investigar e aquele da obtencao de um fator (seg-
mento) mais comprido de duas sequencias com ate k erros. O melhor algoritmo que conhecemos
para resolver este problema tem tempo de execucao O(mn), onde m e n sao os comprimentos das
duas sequencias. E nosso proposito investigar a possibilidade de se encontrar um algoritmo mais
eficiente para o ultimo problema. Inspirados neste problema e no da busca de padrao com erros,
temos tambem o proposito de estudar alteracoes na estrutura de uma arvore de sufixos de forma a
poder embutir o tratamento de erros. Acreditamos no entanto que o sucesso destes dois intentos e
mais incerto e ambicioso.
Outras aplicacoes que nos interessam sao as seguintes: procura de repeticoes em uma sequencia;
a procura de um fator comum mais comprido a duas sequencias; a busca de padrao com erros; o
alinhador de sequencias de DNA MUMmer; a obtencao de uma subsequencia comum mais com-
prida; novos algoritmos de alinhamento, com particular interesse a deteccao de regioes altamente
21
conservadas; a identificacao de textos na internet que contenham uma dada palavra em tempo
linear no numero de textos.
4.4. Questoes algorıtmicas em biologia computacional. Os problemas discutidos na subsecao
anteriore ja sao de importancia para a area de biologia computacional. Aqui mencionamos mais
dois problemas de nosso interesse advindos desta area.
4.4.1. Alinhamentos com inversoes. O alinhamento de sequencias e amplamente utilizado [7] para
comparacao de sequencias biologicas onde sao considerados apenas eventos biologicos como mutacoes,
insercoes e delecoes. Outros eventos biologicos como inversoes nao sao automaticamente detectados
pelos algoritmos usuais de alinhamento e algumas estrategias alternativas tem sido empregadas na
tentativa de incluırem inversoes ou outros tipos de rearranjos.
Apesar de muitos resultados importantes na ultima decada, a complexidade do problema do
alinhamento com inversoes ainda e desconhecida. Em 1992, Shoniger e Waterman [155] propuseram
a hipotese simplificadora de que as inversoes nao se sobrepoem. Eles tambem apresentaram uma
solucao exata O(n6) para o problema do alinhamento sem a sobreposicao de inversoes, onde n e o
comprimento da mais longa das duas sequencias, e introduziram uma heurıstica que reduz a sua
complexidade na pratica.
Lago, Muchnik, Kulikowski [44] obtiveram uma melhora substancial, apresentando algoritmos
exatos relativamente simples, de programacao dinamica, para o problema simplificado. A com-
plexidade de tempo destes algoritmos e de O(n4) e de espaco em O(n2) para alinhamentos sem
sobreposicao de inversoes. Isso foi melhorado ainda mais, com uma versao de implementacao exata
e esparsa [8, 45, 167] desse procedimento, que usa muito menos recursos para algumas aplicacoes
com dados reais.
Pretendemos continuar esta frente de pesquisa por exemplo na direcao de generalizar os resultados
para diferentes tipos de alinhamentos e funcoes de otimizacao.
4.4.2. Busca de regioes altamente conservadas. Desde o completamento do rascunho do genoma
humano, novos projetos de sequenciamento tem sido desenvolvidos com a finalidade de serem com-
parados ao genoma humano. A procura por regioes altamente conservadas entre especies proximas
tem sido ferramenta cada vez mais utilizada no estudo das sequencias obtidas. Muitos programas
computacionais tem sido usados com este proposito, como VISTA [47, 127], GLASS, MUMmer [42],
PipMaker [154], e tambem BLAST 2 Sequences [161].
Este tipo de analise tem sido amplamente utilizado como forma de complementar as ainda insa-
tisfatorias predicoes genicas baseadas unicamente em metodos estatısticos. Um dos membros deste
projeto e colaboradores [132] conseguiram alguns resultados nesta linha, e pretendemos continuar
o desenvolvimento de ferramentas computacionais com esta finalidade.
4.5. Algoritmos de aproximacao para problemas em grafos. Na area de otimizacao combi-
natoria, o desenvolvimento de algoritmos de aproximacao e provas de inaproximabilidade de certos
problemas e uma das linhas de pesquisa que mais cresceu ultimamente. Esta observacao encontra
respaldo na grande concentracao de artigos de pesquisa nessa linha que surgiram nos ultimos anos,
22
e tambem de livros mostrando o amadurecimento dessa subarea, e o seu reconhecimento como uma
disciplina importante.
Varios membros deste grupo trabalham ha anos com algoritmos de aproximacao. Assim, dando
continuidade a esse trabalho, uma das linhas de pesquisa adotadas dentro deste topico sera a
busca por tais algoritmos e, quando pertinente, por resultados de inaproximabilidade. A seguir,
detalhamos alguns dos problemas dessa linha que pretendemos investigar. Varios outros problemas
de natureza semelhantes serao abordados dentro desse projeto.
4.5.1. Arvores geradoras com muitas folhas. Um dos problemas em que alguns membros deste
grupo estao trabalhando no momento e o seguinte.
Problema 32. Dado um grafo conexo, encontrar uma arvore geradora com numero maximo de
folhas.
Sabe-se que o Problema 32 e NP-difıcil. Um dos primeiros algoritmos de aproximacao para o
Problema 32 foi obtido por Lu e Ravi [117], que apresentaram uma 3-aproximacao. Em seguida,
Solis-Oba [156] melhorou esse resultado, exibindo uma 2-aproximacao. O algoritmo de Lu e Ravi
baseia-se em trocas locais feitas a partir de uma arvore geradora inicial arbitraria. Ja o algoritmo
de Solis-Oba constroi uma arvore partindo de um vertice, usando algumas regras simples que
objetivam manter a arvore parcialmente construıda “com bastante folhas”.
O caso especial em que o grafo de entrada e cubico tem sido bastante investigado. Esta vari-
ante ainda continua NP-difıcil. Lorys e Zwozniak [112] apresentaram uma 7/4-aproximacao para
Problema 32 restrito a grafos cubicos.
Um diamante e um circuito de comprimento quatro acrescido de uma corda. Recentemente,
Bonsma [22] provou se G e um grafo conexo com grau mınimo pelo menos 3 e com d diamantes in-
duzidos por vertices de grau 3, entao G tem uma arvore geradora com pelo menos ⌈(2n − d + 12)/7⌉
folhas. Mais recentemente, Correa, Fernandes, Matamala e Wakabayashi [40] obtiveram uma de-
limitacao inferior para o numero de folhas em uma arvores geradora do grafo dado que leva em
consideracao os diamantes presentes no grafo (nao apenas o seu numero). Essa delimitacao e sem-
pre pelo menos tao boa quanto a delimitacao provada por Bonsma para grafos com grau mınimo
pelo menos 3. A prova dessa delimitacao e construtiva e fornece uma 5/3-aproximacao para o Pro-
blema 32 em grafos cubicos, o que supera o resultado de Lorys e Zwozniak [112]. Esses resultados
serao apresentados em poucas semanas no WAOA 2007. Estamos tentando melhora-los, explorando
certas ideias novas que surgiram recentemente.
Temos tambem especial interesse em obter um algoritmo de aproximacao com razao melhor que 2
para o caso geral do Problema 32, ou entao provar algum resultado de inaproximabilidade mais
forte do que o que se conhece ate o momento.
4.5.2. Empacotamentos de subgrafos em grafos. Nesta linha, temos interesse tambem no seguinte
problema.
Problema 33. Dado um grafo G e uma famılia de grafos F , encontre um subgrafo H de G tal
que cada componente conexa de H seja um grafo da famılia F , e tal que H tenha o maior numero
possıvel de arestas.
23
Manic e Wakabayashi [121, 122] investigaram o caso em que F = K3 e F = K2,K3, obtendo
novos algoritmos de aproximacao e alguns resultados de inaproximabilidade. Estes resultados estao
sendo estendidos para o caso em que F e uma famılia de cliques [28].
Planejamos dar continuidade a esse trabalho, explorando novos algoritmos e considerando outras
famılias F .
4.6. Metodos probabilısticos em otimizacao combinatoria. Dentro deste topico, pretende-
mos explorar as possibilidades de se obter cotas e solucoes aproximadas de problemas NP-difıceis de
otimizacao combinatoria aplicando um conjunto de tecnicas conhecido como metodo probabilıstico
[5] a analise de solucoes aproximadas obtidas atraves da heurıstica conhecida como metodo gu-
loso [39]. Espera-se ainda que os resultados obtidos sejam aplicaveis as versoes on-line [25] dos
mesmos problemas.
A metodologia proposta sera aplicada em um problema concreto de otimizacao combinatoria.
Trata-se de um problema em grafos que descrevemos a seguir. Seja G um grafo e ω : E(G) → Q
uma funcao que atribui a cada aresta e de G um peso ω(e). Definimos o peso de um subgrafo H
de G por ω(H) =∑
e∈E(H) ω(e). O problema do subgrafo planar maximo e o seguinte.
Problema 34. Dados um grafo G e ω : E(G) → Q, encontrar um subgrafo planar H de G cujo
peso ω(H) seja maximo.
O Problema 34 e NP-difıcil [111, 26]. As tentativas de se obter solucoes exatas para o Problema 34
de maneira eficiente apresentadas na literatura enquadram-se no esquema de enumeracao inteligente
do espaco de solucoes, metodo conhecido como branch and bound [54] e sua variante baseada em
programacao linear, conhecida como branch and cut [82]. Em ambos os metodos, e crucial para a
viabilidade computacional do algoritmo a capacidade de se obter de maneira eficiente boas cotas
inferiores para as instancias do problema examinadas ao longo do processo. Usualmente tais cotas
sao obtidas empregando heurısticas que fornecem solucoes aproximadas (sub-otimas) do problema.
Dentre as heurısticas utilizadas para obter solucoes aproximadas do Problema 34 [38, 48, 53, 55,
56, 62, 103] (veja [26] para uma analise comparativa), uma das que apresenta melhor desempenho e
a conhecida como algoritmo guloso, detalhada mais adiante. Apesar de fornecer cotas inferiores de
otima qualidade para o problema, esta heurıstica nao pode ser considerada “eficiente” no sentido
acima empregado, pois envolve a execucao de um teste de planaridade para cada aresta do grafo
dado. Como um teste de planaridade de um grafo de n vertices toma tempo Ω(n) e uma instancia do
Problema 34 pode ter Ω(n2) arestas, o tempo necessario para calcular cada cota inferior seria Ω(n3).
Mesmo a possibilidade de efetuar testes incrementais de planaridade proposta por Carmo [26] nao
pode ser considerada eficiente nesse sentido, pois o custo computacional para a determinacao de
cada cota seria ainda Ω(n2).
Outro fato notavel e que a razao de aproximacao absoluta para o algoritmo guloso aplicado ao
Problema 34 e de 1/3, e ha casos em que o algoritmo de fato atinge esta razao [26]. Ou seja, uma
razao melhor que essa nao vale no pior caso. Experimentalmente, entretanto, obtem-se fatores de
aproximacao muito melhores, da ordem de mais de 90% com o algoritmo guloso [53, 62].
24
A explicacao para esta lacuna tao substancial entre as garantias teoricas de aproximacao e
os valores observados experimentalmente parece ocultar-se na correlacao entre a distribuicao dos
valores de ω e a “evolucao” (no sentido de [52]) do grafo construıdo pelo algoritmo guloso. Nossa
proposta, portanto, pode ser entendida como sendo a de explorar esta correlacao e suas implicacoes.
O algoritmo guloso para o Problema 34 consiste em tomar o subgrafo H de G dado por V (H) =
V (G) e E(H) = ∅ e daı examinar as arestas de G em ordem nao-decrescente dos valores de ω. Para
cada aresta e examinada, se H + e e planar, acrescenta-se e a H. Neste caso dizemos que a aresta
e e aceita. Caso contrario, dizemos que a aresta e e rejeitada. Um subgrafo planar de G obtido
atraves deste algoritmo sera chamado de subgrafo planar guloso de G.
Seja G um grafo completo de n vertices e L = (e1, e2, . . . , eN ), com N =(n2
)
, uma lista
ordenada de suas arestas. Definimos as sequencias de grafos GLi e HL
i , para i = 0, . . . , N , onde
V (GLi ) = V (HL
i ) = V (G), E(GLi ) = ej | 1 ≤ j ≤ i e
E(HLi ) =
E(HLi−1) ∪ ei, se HL
i−1 + ei e planar
E(HLi−1), caso contrario.
A sequencia GLi e conhecida como um grafo em processo (graph process) no estudo de grafos
aleatorios e apresenta caracterısticas de grande interesse tanto teorico como pratico, representando
um dos modelos de grafo aleatorio mais bem estudados [20]. Um subgrafo planar guloso de G
construıdo a partir da sequencia L e, por sua vez, o resultado final do processo HLi , isto e, o
grafo HLN .
Observe que os processos GLi e HL
i , apesar de relacionados, sao diferentes. Por exemplo, ambos
coincidem ate o instante t em que Gt deixa de ser um grafo planar. Colocado em termos pro-
babilısticos, isto e, considerando o espaco de probabilidades dado pelas N ! possibilidades para L,
dirıamos que GLi e HL
i passam a divergir no limiar da planaridade, quando (t − n/2)n−2/3 → ∞
[119].
Em outras palavras, considere a sequencia binaria A(L) = (a1, . . . , aN ) das arestas aceitas pelo
algoritmo guloso, dada por ai = 1 se e somente se ei ∈ E(Hi). Como o peso do subgrafo planar
guloso de G e dado por
ω(HLN ) =
N∑
i=1
aiω(ei),
o conhecimento do comportamento da sequencia A(L) aliado ao conhecimento da distribuicao de ω
permite a determinacao (ou a estimativa, conforme o caso) do valor de ω(HN ), sem a necessidade
de testes de planaridade ou outro processamento computacionalmente custoso, oferecendo assim
uma alternativa muito interessante para a determinacao de solucoes exatas do problema.
Considere agora a versao do Problema 34 “em tempo real”, isto e, a cada aresta ei examinada,
o algoritmo deve decidir de maneira irrevogavel se aceita ou nao ei. Este problema constitui a
chamada “versao online” [25] do Problema 34. Versoes “online” de problemas e algoritmos de
otimizacao combinatoria vem recebendo crescente atencao da comunidade da area tanto por suas
implicacoes teoricas quanto pelas praticas.
25
A conexao entre a abordagem proposta acima e a formulacao da versao “online” do Problema 34
e evidente. Por isso, espera-se que os resultados atingidos com o trabalho proposto possam ser
aplicados tambem as versoes “online” dos respectivos problemas de otimizacao estudados.
4.7. Metodos de Monte-Carlo e cadeias de Markov. A simulacao de distribuicoes de proba-
bilidade complexas aparece como instrumento central em fısica computacional, estatıstica e com-
putacao. A classe mais importante de metodos para este problema e o Markov Chain Monte Carlo:
cria-se uma cadeia de Markov cujo estado de equilıbrio e a distribuicao desejada e simula-se esta
cadeia, na expectativa de que ela convirja rapidamente ao equilıbrio.
Isto motiva o estudo de cotas rigorosas de convergencia ao equilıbrio para cadeias de Markov
com espaco de fase discreto e contınuo. A literatura sobre este assunto e vasta, mas ainda esta
muito aquem do que seria desejavel em situacoes de interesse teorico e pratico.
Recentemente, um dos membros deste projeto apresentou um metodo para obter cotas de con-
vergencia para certo tipo de cadeias de Markov com espaco de estados contınuos que e uma extensao
a espacos de fase contınuos do metodo de path coupling de Bubley e Dyer [135]. A aplicacao desse
metodo a um famoso passeio aleatorio sobre o grupo SO(n) de matrizes n × n ortogonais (intro-
duzido por Mark Kac), obtendo para ele a melhor cota de convergencia ao equiıbrio conhecida, a
qual esta a um fator de no maximo O(ln n) do resultado otimo.
Planejamos buscar outras aplicacoes do metodo referido, tanto a problemas-modelo quanto a
cadeias de Markov que ocorrem na pratica de Markov Chain Monte Carlo (como por exemplo o
caso de projecoes aleatorias descrito abaixo). Alem disso, estamos interessados em outros metodos
e problemas com passeios aleatorios com motivacao tanto teorica quanto pratica. O que, por
exemplo, se pode dizer sobre a estrutura de uma cadeia de Markov com muitos estados em que o
tempo de equilıbrio e da mesma ordem do tempo de encontro ao acaso (o tempo esperado ate que
dois “andarilhos” independentes se encontrem)? Como ja foi dito, esta e uma area muito ampla
com muitos problemas em aberto; ha, portanto, grande variedade de problemas a serem atacados
e possivelmente resolvidos.
4.8. Geometria computacional em dimensao alta e reducao de dimensionalidade. Aqui
estamos interessados na geometria de conjuntos de pontos, politopos e variedades alojados dentro de
um espaco euclideano de dimensao alta. Em particular, estamos interessados em maneiras eficientes
de representar tais conjuntos de forma sucinta ou em um numero reduzido de dimensoes, sem que
sua geometria seja excessivamente deformada. Tais metodos tem grande importancia na resolucao
de problemas que poderiam ser afetados adversamente pelo numero excessivo de dimensoes do
espaco ambiente (curse of dimensionality) e tambem estao relacionados aos avancos recentes na
teoria algorıtmica de espacos metricos.
Um dos membros deste projeto [134] tem trabalho em andamento nesta area em que prova o
seguinte teorema:
Teorema 35. Seja M ⊂ Rn uma subvariedade de dimensao d. Entao uma “projecao aleatoria” para
k = O(ε−2 ln(κ/ε)d) dimensoes preserva todas as distancias intrınsecas e extrınsecas entre pontos
de M , a menos de fatores de 1 ± ε, onde κ depende da curvatura de M .
26
A melhor cota anterior, devida a Baraniuk e Wakin, tinha um fator extra de ln n, onde n e a
dimensao ambiente, enquanto a cota de Oliveira [134] so depende da dimensao da subvariedade.
Teoremas semelhantes valem para politopos, poliedros, variedades com singularidades e outras
estruturas.
Pretendemos continuar com este trabalho e buscar outras aplicacoes de metodos aleatorios
em geometria e algoritmos relacionados, em particular na inferencia de informacao topologica e
geometrica de uma subvariedade M .
4.9. Trabalhos anteriores. Membros deste grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa
discutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:
• E.G. Birgin, J. Martınez, W. Mascarenhas, e
D. Ronconi. Method of sentinels for packing ob-
jects within arbitrary regions. Journal of the
Operational Research Society, 57:735–746, 2006.
• E.G. Birgin, J.M. Martınez, F.H. Nishihara,
e D.P. Ronconi. Orthogonal packing of rec-
tangular items within arbitrary convex regions
by nonlinear optimization. Comput. Oper. Res.,
33(12):3535–3548, 2006.
• J.M. Boyer, C.G. Fernandes, A. Noma, e
J.C. de Pina. Lempel, even, and cederbaum pla-
narity method. In Proceedings of WEA 2004:
Workshop on Efficient and Experimental Algo-
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