Post on 16-Oct-2019
Program prijemnog ispita iz matematike
za upis studijskog programa Građevinsko inženjerstvo
Na prijemnom ispitu iz matematike daju se zadaci iz oblasti predviđenih nastavnim planom i
programom za srednje obrazovanje.
1. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, iracionalni, realni, kompleksni)
2. Stepenovanje i korenovanje
3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi
4. Pojam funkcije. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih
jednačina i nejednačina
5. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina
6. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine
7. Pojam logaritma. Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Eksponencijalne i logaritamske
jednačine i nejednačine
8. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije
9. Aritmetički i geometrijski nizovi
10. Binomna formula
11. Analitička geometrija u ravni
12. Planimetrija
13. Stereometrija
UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
MA[INSKI FAKULTET KRALJEVO
ZBIRKA TESTOVA ZA POLAGANJE PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE
dr MILOJE RAJOVI], redovni profesor mr LJUBICA LALOVI], asistent
Građevinsko inženjerstvo
Kraljevo, 2012.
SADR@AJ TESTOVI IZ MATEMATIKE
Test broj 1 ..................................................................................................................... 3 Re{enja zadataka iz testa broj 1 ................................................................................. 6 Test broj 2 ................................................................................................................... 16 Re{enja zadataka iz testa broj 2 ............................................................................... 19 Test broj 3 ................................................................................................................... 32 Re{enja zadataka iz testa broj 3 ............................................................................... 35 Test broj 4 ................................................................................................................... 46 Re{enja zadataka iz testa broj 4 ............................................................................... 49 Test broj 5 ................................................................................................................... 61 Test broj 6 ................................................................................................................... 64
TEST BROJ 1
1. Vrednost izraza
202 3 12
11 495 7 5
je:
A) 1; B) 0,49; C) 10
17; D)
2175
348; E) – 5,51.
2. Ostatak deljenja polinoma 5 3
5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom
1P (x) x 1 je:
A) 80; B) 60; C) 1,25; D) 124; E) 0.
3. Koliko re{enja ima jedna~ina x2 0 ? A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.
4. Skup re{enja nejedna~ine (x 5)(4 x) 0 je:
A) , 4 5, ; B) 4, 5 ; C) , 5 ; D) 4, ;
E) , 4 5, .
5. Ako je povr{ina lopte 324 , njena zapremina je:
A) 318 ; B) 3 218 ; C) 972 ; D) 2916 ; E) 108 . 6. Proizvod svih re{enja jedna~ine 2x 2 x 3 0 je:
A) 13; B) – 7; C) 12,5; D) – 9; E) 9.
7. Koliko re{enja u intervalu 0, 2 ima jedna~ina 2sin x cos x 1 0 ?
A) nijedno; B) jedno; C) dva; D) tri; E) beskona~no mnogo.
8. Jedna~ina 2x 14 x 7 x 5 A) ima dva realna pozitivna re{enja; B) ima dva realna re{enja od kojih je samo jedno pozitivno; C) ima samo jedno realno re{enje;
4 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
D) ima ~etiri realna pozitivna re{enja; E) nema realnih re{enja.
9. Ako je 5log 8 a i 5log 9 b tada je 5log 6 jednak:
A)
6
3a 2b; B)
6
2a 3b; C)
2a 3b
6; D)
3a 2b
6; E)
5
2a 3b.
10. Ako je 1z 9 7i , 2z 3 i tada je 312
2
z2z
z jednako:
A) 5 3i ; B) 2 6i ; C) 10; D) 5i; E) 38 49i .
11. U aritmeti~kom nizu, sa razli~itim ~lanovima, prvi, peti i jedanaesti ~lan obrazuju geometrijski niz. Ako je prvi ~lan 24, deseti ~lan aritmeti~kog niza je:
A) 48; B) 50; C) 51; D) 54; E) 72.
12. Ako je 0 0x , y re{enje sistema jedna~ina
x y
2
3 2 16
log x y 4
tada je 0 0x y :
A) – 4; B) – 1; C) 1
2; D) 7; E) 2 .
13. Jedna~ina prave (t1) kojoj pripada tetiva parabole 2y 20x , ~ije je sredi{te
ta~ka S(2,5) je: A) y=x; B) y 2x 1 ; C) y 10x 7 ; D) y 5 ;
E) 1
y x 63
.
14. Ako je
,2
tada je izraz
3 3
2
sin cos cos2tg ctg
sin cos 1 ctg jednak:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 5
A) 2; B) 3; C) 1; D) -1; E) -2.
15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave pararelne stranicama trougla. Na taj na~in formirana su tri manja trougla ~ije su povr{ine 1,4 i 9. Povr{ina trougla ABC je:
A) 36; B) 64; C) 48; D) 10; E) 27.
6 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 1
1. Vrednost datog izraza je:
2 2
0
2 2 2 2
2 3 12 2 3 1211 49 1 7
5 7 5 5 7 5
2 36 50 35 76 6 6 6
5 35 35 50 10
496 0, 49 6 5, 51
100
Ta~an odgovor je E).
2. Izvr{imo deljenje datih polinoma: 5 3 4 3 24x 9x 19x 92 : x 1 4x 4x 13x 13x 32 5 44x 4x
4 3
4 3
4x 9x 19x 92
4x 4x
3
3 2
13x 19x 92
13x 13x
2
2
13x 19x 92
13x 13x
32x 92
32x 32
60 Ostatak je 60.Ostatak mo`emo da odredimo i primenom Bezuove teoreme: Ostatak pri deljenju polinoma 5 3
5P (x) 4x 9x 19x 92 polinomom
1P (x) x 1 je 5 3
5P ( 1) 4 1 9 1 19 1 92 60 .
Dakle, ta~an odgovor je B).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 7
3. x2 0 za x R , pa jedna~ina nema re{enje ( videti grafik funkcije
xf(x) 2 , sl.1 ) y
x0
1
Sl.1 Ta~an odgovor je A). 4. O znaku proizvoda x 5 4 x zaklju~ujemo na osnovu znaka ~inilaca
( sl. 2 ).
znak 4-x
znak (x-5)(4-x)
znak x-5
-1
-1
0 1
0 1
-1 0 1
2 3
2 3
4 5
4 5
6 x
6 x
2 3 4 5 6 x
Sl. 2
(x 5)(4 x) 0 ako je x 5 0 ili 4 x 0 , tj. x 5 ili x 4 .
Dakle, (x 5)(4 x) 0 za x , 4 5, .
Nejedna~inu (x 5)(4 x) 0 smo mogli da napi{emo i u obliku
2x 9x 20 0 . Na osnovu grafika kvadratne funkcije 2f(x) x 9x 20 ( sl. 3 ),
zaklju~ujemo da je skup re{enja nejedna~ine , 4 5, .
8 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
x
-20
0 4 5
Sl. 3
Ta~an odgovor je E). 5. Ako je r polupre~nik lopte povr{ina lopte je 2
LP 4 r , a zapremina lopte
3L
4V r
3.
Kako je 2 24 r 324 to je 4r 324 , odnosno 2r 81 . Pozitivno re{enje dobijene jedna~ine je r 9 . Dakle, zapremina lopte je:
3L
L
4V 9
3V 972
Ta~an odgovor je C).
6. Kako je
x, x 0x
x, x 0 , data jedna~ina se transformi{e u dve jedna~ine:
1) Za x 0 jedna~ina glasi
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 9
2
1, 2
x 2x 3 0 , odakle je
2 4 12x
2
1
2
x 3
x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )
2) Za x 0 jedna~ina glasi
2
1, 2
1
2
x 2x 3 0 , odakle je
2 4 12x
2x 1 ( ovo re{enje se ne prihvata, zbog uslova x 0 )
x 3
Dakle, data jedna~ina ima re{enja 1x 3 i 2x 3 . Proizvod re{enja je:
1 2x x 9
Ta~an odgovor je D).
7. Kako je 2 2sin x 1 cos x , data jedna~ina mo`e da se napi{e u obliku:
2cos x cos x 2 0 Posle uvo|enja smene cos x t , dobijamo:
2t t 2 0 odakle je
1t 1 , 2t 2 .
Ako je t 1 , onda je: cos x 1 odakle je x 2k , k Z
Ako je t 2 , onda je: cos x 2 ( ova jedna~ina nema re{enje, jer je 1 cos x 1 )
Ako je k 0 , re{enje jedna~ine je x 0, 2 .
Ta~an odgovor je B).
10 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
8. Jedna~ina je definisana ako je: 2x 14 0 ; x 7 0 ; x 5 0
odnosno x 7 ; x 7 ; x 5 . Dakle, data iracionalna jedna~ina je definisana za x 7 .
Datu jedna~inu napi{imo u obliku 2x 14 x 7 x 5 . Posle kvadriranja dobijamo:
2x 14 x 7 2 x 7 x 5 x 5 , odakle je
2 x 7 x 5 16 , tj. x 7 x 5 8
odakle posle kvadriranja dobijamo jedna~inu 2x 2x 99 0 . Re{enja ove kvadratne jedna~ine su: 1x 11
2x 9 ( ovo re{enje ne pripada oblasti definisanosti jedna~ine,
pa ne mo`e biti re{enje jedna~ine ). Dakle, data jedna~ina ima samo jedno realno re{enje ( x 11 ). Ta~an odgovor je C).
9. Jednakost 5log 8 a mo`emo napisati u obliku
35 5log 2 a , odakle je 3log 2 a , pa je 5
alog 2
3.
Jednakost 5log 9 b mo`emo napisati u obliku
25 5log 3 b , odakle je 2log 3 b , pa je 5
blog 3
2 .
Dakle,
5 5 5 5
a b 2a 3blog 6 log 2 3 log 2 log 3
3 2 6 .
Ta~an odgovor je C). 10. Kako je 1z 9 7i , onda je 1z 9 7i , pa je:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 11
3312
2
3 2 2 3
2
z 9 7i 9 7i 3 i2z 2 3 i
z 3 i 3 i 3 i
2 3 3 3 i 3 3i i
9 7i 3 i2 27 27i 9 i
9 i
27 9i 21i 7 20 30i36 52i 36 52i
10 102 3i 36 52i 38 49i
Ta~an odgovor je E).
11. Prvi, peti i jedanaesti ~lan aritmeti~kog niza su:
1
5
11
a 24
a 24 4d
a 24 10d
Kako 1 5 11a , a , a obrazuju geometrijski niz, to je:
5 1 11a a a
odnosno
24 4d 24 24 10d
odakle, posle kvadriranja jedna~ine dobijamo
2
24 4d 24 24 10d ,
odnosno
216d 48d 0, tj.
16d d 3 0 , odakle je d 0 ili d 3
Re{enje d 0 se odbacuje jer je niz sa razli~itim ~lanovima. Zna~i:
10 1
10
a a 9d, tj.
a 51
Ta~an odgovor je C).
12 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
12. Iz druge jedna~ine sistema x y3 2 16
2log x y 4
dobijamo da je:
4
x y 2
odnosno x y 4 Dati sistem se transformi{e u sistem x y3 2 16 x y 4 . Iz druge jedna~ine je y 4 x , pa je posle zamene u prvoj jedna~ini:
x 4 x
x x
xx
x
3 2 16 , odnosno
3 2 1 , odakle je
3 31 , tj. 1
22
Re{enje dobijene jedna~ine je x 0 . Kako je y x 4 to je y 4 . Re{enje sistema je: x 0 , y 4 , pa je 0 ( 4) 4 . Ta~an odgovor je A).
13. Jedna~ina prave ( t1 ) koja sadr`i tra`enu tetivu ( sl. 4 ) glasi:
y 5 k(x 2)
x
M2(x2,y2)(t1)
0
S(2,5)
M1(x1,y1)
Sl. 4
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 13
Prava ( t1 ) prolazi kroz ta~ke M1 ( x1, y1 ) i M2 ( x2, y2 ), pa je koeficijent pravca k prave (t1):
2 1
2 1
y yk
x x
Kako M1 ( x1, y1 ) pripada paraboli, to je: 2
1 1y 20x (1)
Kako M2 ( x2, y2 ) pripada paraboli, to je: 2
2 2y 20x (2)
Kada od jedna~ine (2) oduzmemo jedna~inu (1) dobijamo: 2 2
2 1 2 1y y 20 x x , odakle je
2 1 2 1 2 1y y y y 20 x x (3)
Ta~ka S ( 2, 5 ) je sredi{te du`i M1M2, pa je:
1 21 2
1 21 2
x x2 , tj. x x 4
2y y
5 , tj. y y 102
Jedna~ina (3) ( koriste}i jednakost 1 2 y y 10 ) glasi:
2 1 2 1y y 10 20 x x
odakle je
2 1
2 1
y y2
x x.
Jedna~ina prave ( t1 ) glasi:
y 5 2(x 2) , odnosno
y 2x 1
Ta~an odgovor je B).
14. Ako je
,2
dati izraz je jednak:
3 3
2
2 2
sin cos cos2tg ctg
sin cos 1 ctg
(sin cos )(sin sin cos cos )
sin cos
14 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2
2
2
cos 12tg 1 sin cos
tgcos1
sincos cos
2 1 sin cos 211
sinsin1 sin cos sin cos 1
Ta~an odgovor je D). 15. Kroz ta~ku R u trouglu ABC povu~ene su prave paralelne stranicama trougla.
Neka su povr{ine trouglova EDR, RHK, GRF i ABC redom 1, 4, 9, S. Ako osnovice ovih trouglova obele`imo sa : x = DR, y = HK, z =RF, a = BC ( sl. 5 ), tada je: 4 x y z a
E
B H
D
KR
F
C
GA
Sl. 5
Trouglovi EDR, RHK, GRF i ABC su sli~ni, pa je:
2 2
2 2
2 2
S : 1 a : x
S : 4 a : y
S : 9 a : z
odakle je
a 2a 3a
5 x ; y ; z S S S
Iz jedna~ina (4) i (5) se dobija:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 15
a 2a 3a 6aa , odakle je a , pa je S 6 ,
S S S Sodnosno S 36
.
Ta~an odgovor je A).
TEST BROJ 2
1. Ako je x 0 i y 0 vrednost izraza 3 23 1 6
2 3
3x 9x x y:
155y 5y
je:
A) 2x y 5 ; B) xy ; C) xy ; D) xy 4 ; E) 2xy .
2. Dat je polinom 3 2f(z) z 3z z 2 . Ako je z 3 2i , tada je f(z) jednako:
A) 1 i ; B) 29 8i ; C) 5 7i ; D) 10 14i ; E) 20 27i .
3. Jednakostrani~ni trougao ABC stranice a = 2 rotira oko prave koja sadr`i teme A i normalna je na stranicu AB tog trougla. Zapremina nastalog obrtnog tela je jednaka:
A) ; B) 2 3 ; C) 2 2 ; D) 3 2 ; E) 3 3 .
4. Jedno re{enje jedna~ine 3 22x 5x 13x 30 0 je 1x 2 . Zbir ostala dva
re{enja te jedna~ine je jednak:
A) 2
3; B)
1
6; C)
3
4; D)
1
2; E)
13
12.
5. Izraz
3 2 3arcsin arccos arctg
2 2 3 ima vrednost:
A)
3; B)
2; C)
12; D)
13
6; E)
4.
6. Du`ina osnovica trapeza su 10 cm i 5 cm, a du`ina krakova 7 cm i 8 cm.
Povr{ina trapeza je:
A) 25 3 cm2; B) 18 5 cm2; C) 20 3 cm2; D) 40 cm2; E) 30 3 cm2.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 17
7. Ako je cos 2 0 i sin 0 R , tada je izraz
2
2
cos sin ctg 1
sin cos sin cos ctg 1 jednak:
A) 1; B) –1; C) 0; D) 2 ; E) 3 .
8. Uglovi trougla su 45 , 30 , a njegov obim 6 3 2 3 .
Povr{ina trougla je jednaka:
A) 6 1 2 ; B) 18 1 3 ; C) 18; D) 18 1 2 ;
E) 4 2 3 .
9. Ta~ka simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu 2x y 1 0 je:
A) (2,3); B) (1,6); C) (1,4); D) (-1,4); E) (-1,5).
10. Ako je 3 3log 7 a , log 2 b tada je izraz 2 7log 7 log 2 jednak:
A) 2 2a b
ab; B)
2 2
a b
a b; C)
ab
a b; D)
2 2a b
a b; E)
2 22a 3b
ab.
11. Celih brojeva koji zadovoljavaju nejedna~inu
2
2
x 1
3x x ima:
A) jedan; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) pet.
12. Zbir re{enja jedna~ine sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x u intervalu
0, 2 , iznosi:
A) 2 ; B) 4 ; C) ; D) 5 ; E) 12 .
13. Broj re{enja jedna~ine x x
2 3 2 3 4 u skupu realnih
brojeva je: A) jedno; B) ~etiri; C) tri; D) nijedno; E) dva.
18 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
14. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 21 x 1 3x je: A) 2, 1 ; B) 3, 6 ; C) 0, 1 ; D) 1, 2 ; E) 2, 3 .
15. Re{enja jedna~ine
3 log x log x1
5 log x 1 log x predstavljaju prva dva ~lana
rastu}eg geometrijskog niza. Koliko ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110?
A) osam; B) sedam; C) pet; D) tri; E) {est.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 19
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 2
1. Ako je x 0 i y 0 vrednost datog izraza je:
3 23 2 3 3 2 13 1 6 6
2 3 3 23 2 2 3
3 9 2 2 6 3 9 2 6 6 3 9 2 6 6
3 6 2 6 3 6 2 2 3 6 2 2
3
3 x 9 x3x 9x x y x y: :
15 155y 5y 5 y 5 y
3 x 9 x x y 3 x 5 y x y 3 x 5 y x y:
15 155 y 5 y 5 y 9 x 5 y 9 x 15
x y
7 3 7
2 3 2 3 4 6 2 0 03 2 3 6 2 2
x y xy xyxy
1 13 5 5 3 3 5 y x 3 53 5 5 y 3 x 15
Ta~an odgovor je C). 2. Kako je 3 2f(z) z 3z z 2 , z 3 2i a z 3 2i , to je:
3 2
f(z) 3 2i 3 3 2i 3 2i 2
odakle je
3 2 2 3 2
2 3
f(z ) 3 3 3 2i 3 3 (2i) (2i) 3 9 12i 4i
3 2i 2 27 54i 36i 8i 27 36i 12 3 2i
2 9 46i 20 38i 29 8i
Ta~an odgovor je B). 3. Zapremina V nastalog obrtnog tela ( sl.1 ) je:
VK MKV V 2V
gde je VKV - zapremina velike kupe;
MKV - zapremina male kupe.
20 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
a BA
C
Sl. 1
Kako je
VK
4 2 3 8 3V
3 3 i
MK
3V
3
to je
8 3 3 6 3
V 2 2 33 3 3
Zapreminu obrtnog tela mo`emo da odredimo i primenom Guldinove teoreme: Zapremina obrtnog tela jednaka je proizvodu povr{ine figure koja rotira i obima kru`nice koju opisuje te`i{te te figure. Kako je te`i{te jednakostrani~nog trougla udaljeno za jedan od ose
obrtanja, to je V 3 2 1 2 3 . Ta~an odgovor je B). 4. Kako je 1x 2 re{enje date jedna~ine, to je polinom 3 22x 5x 13x 30
deljiv sa x 2 : 3 2 22x 5x 13x 30 : x 2 2x x 15 3 22x 4x
2
2
x 13x 30
x 2x
15x 30
15x 30
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 21
Dakle,
3 2 22x 5x 13x 30 x 2 2x x 15
Re{enja jedna~ine 22x x 15 0 su x 3 i 5
x2.
Njihov zbir je: 5 1
32 2
.
Ta~an odgovor je D). 5. Vrednost datog izraza je:
3 2 3arcsin arccos arctg
2 2 3 3 4 6
4 3 2
12 12
Ta~an odgovor je C). 6. Kroz teme C trapeza povucimo du` CE paralelnu kraku AD (sl.2). Dobijamo
trougao EBC, ~ije su stranice: EB 5cm , BC 8cm i CE 7cm , a poluobim s 10cm . Primenom Heronovog obrasca dobijamo:
2EBCP 10 5 2 3 10 3 cm
d
D
h
A
c
b C
a E
h
B Sl. 2
Povr{inu trougla EBC mo`emo izra~unati i na slede}i na~in:
EBC
5 hP
2
22 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
pa je
5 h
10 32
odakle je h 4 3 cm .
Povr{ina datog trapeza je:
a b
P h2
odnosno
210 5P 4 3 30 3 cm
2
Ta~an odgovor je E). 7. Ako je cos 2 0 i sin 0 dati izraz je jednak:
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
cos sin ctg 1
sin cos sin cos ctg 1
cos1cos sin cos sin sin cos sin
sin cos cos1
sin
cos sincos sin 1sin
sin cos cos sin sin cos
sin1 1
cos sin sin
2 2 2
10
cos sin cos
Ta~an odgovor je C). 8. Primenom sinusne teoreme dobijamo (sl.3):
a b c
sin 45 sin 30 sin 105
Kako je
sin 105 sin(60 45 ) sin 60 cos 45 cos 60 sin 45
2( 3 1)
4
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 23
dobijamo
a b c12 2
3 122 4
odakle je
a 2 a
b , c 1 32 2
a kako je
a b c 6 3 2 3
to je
a 2 a
a (1 3) 6 3 2 32 2
odakle dobijamo da je
a 12 , onda je b 6 2 , c 6 1 3 .
C
A
b
Bc
a
Sl. 3
Povr{ina trougla ABC je:
ABC
1 1P b c sin 6 2 6 1 3 sin 45 18 1 3
2 2
Ta~an odgovor je B). 9. Ta~ka A’(x’, y’) simetri~na ta~ki A(3,2) u odnosu na pravu (p) nalazi se na
pravoj (p’), koja prolazi kroz ta~ku A, a normalna je na pravu (p). Rastojanje ta~ke A’ od prave (p) jednako je rastojanju ta~ke A od prave (p) ( sl. 4 ).
24 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
x
y
A'(x',y')
3
2
321012
1
P
(p')
(p)
A(3,2)
4
4 5 6 7
Sl. 4
Jedna~ina prave (p) u eksplicitnom obliku je y 2x 1 . Jedna~ina prave (p’) glasi:
1
y 2 x 32
odnosno
1 7
y x2 2
Odredimo prese~nu ta~ku P pravih (p) i (p’). Njene koordinate x 1 , y 3 su re{enja sistema jedna~ina:
y 2x 1
1 7
y x2 2
Dakle, P(1,3) je sredi{te du`i AA’, pa je
3 x '
12
, odakle je x ' 1 i
2 y '3
2, odakle je y ' 4 .
Tra`ena ta~ka je A’(-1,4). Dakle, ta~an odgovor je D).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 25
10. Iz jednakosti 23
2
log 7log 7
log 3 dobijamo 2 2log 7 a log 3 .
Iz jednakosti 23
1log 3
log 2 dobijamo 2
1log 3
b .
Dakle, 2
1 alog 7 a
b b .
Kako je 72
1log 2
log 7, to je 7
blog 2
a .
Izraz 2 7log 7 log 2 je jednak:
2 2
2 7
a b a blog 7 log 2
b a ab .
Ta~an odgovor je A). 11. Data nejedna~ina je ekvivalentna nejedna~ini:
2
x 1
3x x , koju mo`mo re{iti ako je 2x x 0 , odnosno x 0 i
x 1. 1) Ako je x 0 , jedna~ina glasi:
x 1
x x 1 3 ,
odakle je
1 10
x 1 3 .
Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:
3 x 10
3 x 1
odnosno
4 x0
3 x 1 .
26 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Kako je 3 0 , znak koli~nika
4 x
x 1 odre|ujemo na osnovu znaka
brojioca i imenioca ( sl. 5 ):
-1
-1
0 1
0 1
-1 0 1
znak x-1
znak 4-xx-12 3
2 3
4 5
4 5
6 x
6 x
znak 4-x2 3 4 5 6 x
Sl. 5
Re{enje nejedna~ine je x 1, 4 .
2) Ako je x 0 re{avamo nejedna~inu:
x 1
x x 1 3
odakle je
1 1
1 x 3 .
Posle sre|ivanja nejedna~ine dobijamo:
1 10
1 x 3
3 1 x0
3 1 x
odnosno
2 x0
3 1 x .
Re{enje ove nejedna~ine je x 2, 1 ( sl. 6 ). Kako je x 0 to je
re{enje x 2, 0 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 27
znak 1-x
znak 2+x1-x
znak 2+x-1 0 1
x
x
2 3 4 x-2-3
-2-3 -1 0 1 2 3 4
-2-3 -1 0 1 2 3 4 Sl. 6
Skup re{enja date nejedna~ine je 2, 0 1, 4 .
Celi brojevi u ovom intervalu su: -1, 2, 3. Ta~an odgovor je C). 12. Jedna~inu sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos 2x koriste}i trigonometrijske formule sin x sin 3x 2 sin 2x cos x i 21 cos 2x 2 cos x mo`emo transformisati u oblik 22 sin 2x cos x sin 2x 2 cos x cos x odnosno 2 cos x 1 sin 2x cos x 0
odakle je (1) 2 cos x 1 0 (2) sin 2x cos x 0 Re{enja jedna~ine (1) su:
k
2x 2k , k Z
3
m
4x 2m , m Z
3
Jedna~ina (2) se mo`e napisati u obliku cos x 2 sin x 1 0
odakle je cos x 0 2 sin x 1 0 .
Re{enja jedna~ine cos x 0 su:
ix i , i Z2
.
28 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Re{enja jedna~ine 1
sin x2 su:
jx 2j , j Z6
l
5x 2l , l Z
6
Dakle, re{enja date jedna~ine su:
k
2x 2k , k Z
3 ;
m
4x 2m , m Z
3 ;
ix i , i Z2
;
jx 2j , j Z6
;
l
5x 2l , l Z
6 .
Re{enja koja pripadaju intervalu (0, 2 ) su:
1 2 3
4 5 6
2 4x , x , x ,
3 3 23 5
x , x , x . 2 6 6
Zbir re{enja je:
2 4 3 5
53 3 2 2 6 6
Ta~an odgovor je D). 13. Kako je:
2 3 12 3
2 3 2 3
to je data jedna~ina ekvivalentna jedna~ini
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 29
xx 1
2 3 42 3
.
Posle uvo|enja smene x
2 3 t , dobijamo
1
t 4t
.
Posle mno`enja jedna~ine sa t (t 0) , dobijamo:
2t 4t 1 0 . Koriste}i formule za re{avanje kvadratne jedna~ine nalazimo:
1
2
t 2 3
t 2 3
1) Ako je t 2 3 onda je:
x
2 3 2 3 ,
odakle je
x
22 3 2 3 .
onda je
x
12
, odnosno, x 2 .
2) Ako je t 2 3 , napi{imo t u obliku:
12 3 1t 2 3 2 3
2 3 2 3
Sada je:
x 1
2 3 2 3 , odnosno,
x1
22 3 2 3
odakle je x 2 . Ta~an odgovor je E).
30 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
14. Data nejedna~ina je definisana ako je 21 x 0 odakle je 2x 1 . Skup re{enja ove nejedna~ine je 1, 1 .
1) Ako je 1 3x 0 , tj. 1
x3 , mo`emo da kvadriramo datu
nejedna~inu, pa }emo dobiti:
221 x 1 3x , odnosno, 25x 3x 0 .
Re{enja poslednje nejedna~ine su svi brojevi x za koje je 3
0 x5.
Re{enja date nejedna~ine su svi brojevi x za koje je: 1 x 1 , 1
x3
i 3
0 x5.
2) Ako je 1 3x 0 , tj. , 1
x3 , re{enje date nejedna~ine su svi
brojevi x koji pripadaju oblasti definisanosti nejedna~ine, tj.
1 x 1 i zadovoljavaju postavljeni uslov ( 1
x3 ).
Dobijene rezultate predstavimo na slici 7. Zaklju~ujemo da je skup realnih re{enja date nejedna~ine 0, 1 .
x-1 0 135
13
Sl. 7 Ta~an odgovor je C).
15. Jedna~ina
3 log x log x1
5 log x 1 log x je definisana ako je
x 0, 5 log x 0, 1 log x 0 .
Dakle, jedna~ina je definisana za 5 51 1x (0, ) ( , 10 ) (10 , )
10 10.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 31
Transformi{imo datu jedna~inu u oblik: 3 log x 1 log x log x 5 log x 5 log x 1 log x
odakle, posle sre|ivanja dobijamo 2log x 3 log x 2 0 . Posle uvo|enja smene log x t , dobijamo jedna~inu
2t 3t 2 0 ~ija su re{enja 1t 1 i 2t 2 .
Vratimo se na uvedenu smenu. Ako je t 1 onda je log x 1 . Re{enje ove jedna~ine je x 10 . Ako je t 2 onda je log x 2 . Re{enje ove jedna~ine je x 100 .
Dakle, ~lanovi geometrijskog niza su 10, 100 a koli~nik je q 10 . Koriste}i formulu za izra~unavanje zbira n ~lanova geometrijskog niza
n
n 1
1 qS b
1 q dobijamo:
n1 10111110 10
1 10
odnosno
n1 1011111
9
odakle je n1 10 99999 tj. n10 100000 . Re{enje ove jedna~ine je n 5 . Dakle, pet ~lanova niza treba sabrati da se dobije 111110. Ta~an odgovor je C).
TEST BROJ 3 1. Ako je a 1 i a 1 vrednost izraza
2 4 2
2 3
3 a a 1 a a a a3 :
a 1 3a 1 a 1 je:
A)
2
a 1 ; B)
1
a 1 ; C)
12
a 1 ; D)
2
2
a 1 ; E)
3 a
a 1.
2. Broj re{enja jedna~ine
3 4
x7
1 110 10
2 21055 10
u skupu realnih brojeva je:
A) dva ; B) jedno ; C) nijedno ; D) ~etiri ; E) tri.
3. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina
2
x 140
x 3 je:
A) 14, ; B) 14, ; C) 1, 14 ; D) , 14 ;
E) 3, 4
4. Ako je
1 1
a 2 3 , b 2 3 vrednost izraza
1 1
a 1 b 1 je:
A) 3 ; B) –1 ; C) 1 ; D) 2 ; E) 10.
5. Skup re{enja nejedna~ine x 2 4 je: A) 2, 18 B) 1, 3 ; C) 2, 10 ; D) , 18 ; E) 18, 18 .
6. Zapremina pravilnog tetraedra je 27 3 cm3. Visina tetraedra je: A) 5 cm ; B) 4,5 cm ; C) 5,5 cm ; D) 6 cm ; E) 7 cm.
7. Vrednost izraza
7 51 log 2 log 449 5 je:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 33
A) 27
2 ; B)
14
5 ; C)
25
2 ; D)
20
7 ; E)
11
4.
8. Ako je sin x cos x p, p 2 vrednost izraza 4 4sin x cos x je:
A) 2p 2p
4 ; B)
2p 2p
2 ; C)
2p 3p
3 ; D)
4 2p p 1
2 ; E)
4 21 p 2p
2
9. Re{enje jedna~ine z z 3 i je komleksan broj z. Realan deo broja z je:
A) 2
3 ; B)
4
3 ; C)
1
2 ; D)
2
7; E)
1
5.
10. Zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju stepena binoma
n
3
1x x
x,
n N, x 0
za neko n jednak je 256. Srednji ~lan u tom razvoju jednak je:
A) 3 256 x ; B) 345x x ; C) 2 384x x ; D) 356x x ; E) 34 270x x .
11. Skup re{enja nejedna~ine 1 x3
5log x log 3
2 u skupu realnih brojeva je:
A) ( 0,1) ; B) 3, 9 ; C) (1,9) ; D) 0, 1 3, 9 ; E) 3, .
12. Skup realnih re~enja jedna~ine sin 2x tgx 2 0 je:
A)
x x k , k Z4
; B)
x x k , k Z4
;
C)
x x k , k Z6
; D)
x x k , k Z3
;
E)
x x 2k , k Z4
.
34 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
13. Zbir svih realnih re{enja jedna~ine
2 x 15x 3 x
x 2 x 2 je:
A) -12 ; B) 2 ; C) -2 ; D) 5 ; E) 1. 14. U krugu sa centrom u ta~ki O tetiva AB jednaka je tetivi AC. Tetiva AD se~e
BC u ta~ki E. Ako je AC = 12 i AE = 8, tada je AD jednako : A) 27 ; B) 24 ; C) 21 ; D) 20 ; E) 18.
15. Od svih ta~aka elipse (E) 2 2x y
19 16
ta~ka najudaljenija od prave (p)
x y 6 0 je:
A) 1, 3 ; B) 2, 3 ; C)
9 16,
5 5 ; D)
9 16,
5 5 ;
E)
9, 2
4.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 35
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 3
1. Ako je a 1 i a 1 vrednost datog izraza je:
2 4 2
2 3
2 3 2
2 4
3 a a 1 a a a a3 :
a 1 3a 1 a 1
3 a a 13 a 1 a a
a 1 3a 1 a a
2 2
3
2 2
2
3 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a3
a 1 3a 1 a 1 a a 1
3 a a 1 a 1 a3 a a 1
a 1 a 1 3a a 1 a a 1
2
2
2
2
3 a a 1 a 1 a3
a 1 3a a 1
3a a 1 3a 3a 3 a 1 a
3a a 1
2 2
a 1 a 3a a 13 1
3 a 1a a 1 3a a 1.
Dakle ta~an odgovor je B).
2. Datu jedna~inu mo`emo napisati u obliku:
3 4x
7
1 12 10 2 1010
155
10
odakle je:
4
x
7
10 12 1010
5510
.
36 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Posle sre|ivanja dobijamo:
7x
4
11 1010
55 2 10, odakle je
7x
4
11 1010
110 10 pa je x 210 10 . Re{enje
ove jedna~ine je x = 2. Ta~an odgovor je B). 3. Kako je 2x 0 za x R , to je 2x 3 0 za x R .
Ako posmatramo grafik funkcije 2f x x 3 (sl. 1) tako|e
zaklju~ujemo da je 2x 3 0 za x R .
y
03 x
Sl. 1
Dakle, znak koli~nika
2
x 14
x 3 odre|ujemo na osnovu znaka brojioca.
2
x 140
x 3 ako je x 14 0 , odnosno x 14 . Skup realnih vrednosti
x za koje je ta~na data nejedna~ina je 14, .
Ta~an odgovor je B).
4. Izra~unajmo a b :
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 37
1 1
22
1 1 1a b 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
11
4 3
Dakle, dobili smo da je a b 1, pa je 1
ba.
Vrednost izraza
1 1 1 1 1 1a 1 b 1
1a 1 b 1 a 1 1a
1 1 1 a 1 a1
1 aa 1 a 1 1 a 1 aa
Ta~an odgovor je C). 5. Nejedna~ina je definisana za x 2 0 tj. x 2 . Mo`emo izvr{iti
kvadriranje, pa }emo dobiti: x 2 16 , tj. x 18 .
Dakle, re{enje nejedna~ine je 2 x 18 .
Ta~an odgovor je A).
6.
a a
HR H
R
a
a
Sl. 2
38 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Neka je a stranica, a H visina pravilnog tetraedra (sl. 2). Zapremina
tetraedra je 1
V B H3
.
Dakle, 21 a 3
V H3 4
.
Iz pravouglog trougla (sl. 2) po Pitagorinoj teoremi dobijamo: 2 2 2H a R
gde je R – polupre~nik opisane kru`nice jednakostrani~nog trougla,
dakle a 3
R3
pa je 2
2 2 aH a
3 odakle je
22aH
3 tj
a 2H
3.
Dakle, 2 31 a 3 a 2 a 2
V3 4 123
. Iz jedna~ine 3a 2
27 312
dobijamo
3 2 3 3 33 327 3 12 3 2 3 3
a 3 2 3 3 2 32 2
odakle je:
a 3 2 3 cm Visina tetraedra je:
a 2 3 2 3 2
H 63 3
cm.
Ta~an odgovor je D).
7. Vrednost datog izraza je:
7 5
7 5 7
1 log 2 log 4log 2 log 4 log 22
49 1 49 149 5
449 5 7
2
7 772 log 2 log 4log 2
49 1 49 1 49 1 49 1 50 25
4 4 4 4 4 4 27 77.
U radu zadatka smo koristili jednkost alog xx a a 0, a 1, x 0
koja sledi iz definicije logaritma.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 39
Ta~an odgovor je C). 8. Vrednost izraza 4 4sin x cos x je:
24 4 2 2 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x
2 21 1
1 2 sin x cos x 1 sin 2x2 2
.
Kako je 2 2 2sin x cos x sin x 2 sin x cos x cos x , odnosno
2p 1 sin 2x ,dobijamo
2 2sin 2x p 1, p 1 1, odakle je p 2 .
Dakle,
4 224 4 21 1 p 2p
sin x cos x 1 p 12 2
.
Ta~an odgovor je E).
9. Neka je tra`eni kompleksni broj z x yi .
Onda je 2 2z x y pa je
2 2x y x yi 3 i , odakle dobijamo
2 2x y x 3
y 1 . Re{imo dobijeni sistem jedna~ina. Kako je y = 1 , to je
2x 1 x 3 , odnosno
2x 1 3 x . Da bi jedna~ina imala re{enja mora 3 x 0 , tj. x 3.
Posle kvadriranja jedna~ine dobijamo: 2 2x 1 9 6x x , odakle je 6x 8 ,
tj. 4
x3
(prihvata se jer je 4
33
).
Re{enje sistema jedna~ina je 4
x3
, y 1 .
40 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle, tra`eni kompleksni broj je 4
z i3
.
Ta~an odgovor je B). 10. Po binomnoj formuli je:
n k n k kn nn kn k 2 3
3 3k 0 k 0
9n 11kn6
k 0
n n1 1x x x x x x x
k kx x
nx
k
Kada se n
1 1 razvije po binomnoj formuli dobijamo:
n n n n n n1 1 ........ ........
0 1 2 k n odnosno
n
n
k 0
n2
k
Zbir binomnih koeficijenata je n2 . Kako je n2 256 , odnosno n 82 2 , dobijamo n = 8. U razvoju osmog stepena binoma imamo devet ~lanova. Srednji ~lan u razvoju binoma je:
143 3 314 4 2 4 23
8 8 7 6 5 8 7 6 5x x x x 70x x
4! 4 3 2 14.
Ta~an odgovor je E).
11. Kako je x argument logaritma na levoj starni i osnova logaritma na desnoj
strani nejedna~ine, to je nejedna~ina definisana za x > 0 i x 1. Ako uvedemo smenu 3log x t , onda je
x
1log 3
t, a 1
3
log x t .
Data nejedna~ina se transformi{e u nejedna~inu:
1 5
tt 2
, odnosno
22t 5t 2
02t
. Re{enja ove nejedna~ine su
1
t 0 t 22
(sl. 3)
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 41
0 12
znak t
znak t
t
znak 2t-5t+22 t
0
0 2
2
2t 2t-5t+22
12
Sl. 3
Kada se vratimo na uvedenu smenu dobijamo:
3 3
1log x 0 log x 2
2 odakle je x 1 3 x 9
Dakle, skup re{enja date nejedna~ine je 0, 1 3, 9
Ta~an odgovor je D).
12. Kako je 2 2
2 sin x cos xsin 2x
cos x sin x, posle deljenja razlomka sa 2cos x
cos x 0, tj. x k , k Z2
dobijamo
2
2tgxsin 2x
1 tg x
Datu jedna~inu mo`emo napisati u obliku:
2
2tgxtgx 2 0
1 tg x odakle posle mno`enja sa 21 tg x
21 tg x 0 za x R dobijamo
3 2tg x 2tg x 3tgx 2 0 Uvedimo smenu tgx t , dobijamo jedna~inu:
3 2t 2t 3t 2 0 Rastavimo na ~inioce levu stranu jedna~ine. Jedna~inu napi{emo u obliku 3 2 2t t t t 2t 2 0 odakle posle izvla~enja zajedni~kog ~inioca
dobijamo:
2t t 1 t t 1 2 t 1 0 i dalje 2t 1 t t 2 0
odakle je
42 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2t 1 t t 2 0 .
Jedna~ina 2t t 2 0 nema realnih re{enja jer je njena diskriminanta D = -7 < 0. Posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:
tgx 1 odakle je x k , k Z4
.
Ta~an odgovor je A).
13. Jedna~ina je definisana ako je x + 2 > 0, odnosno x > -2.
Postoje dve mogu}nosti: 1) Ako je x + 2 = 1 , odnosno x = -1 jedna~ina glasi
2x 3 x x 151 1 , ~ije je re{enje x R .
Dakle re{enje jedna~ine je x = -1. 2) Ako je x + 2 1 , odnosno x -1, tada mora da bude
2x 3x x 15 odnosno 2x 2x 15 0
Re{enja ove jedna~ine su x = 3 i x = -5. Poslednje re{enje ne dolazi u obzir zbog uslova x > -2. Data jedna~ina ima dva re{enja x1 = -1 i x2 = 3.
Zbir re{enja je: -1 + 3 = 2 Ta~an odgovor je B).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 43
14.
A
B
D
C
E
O
Sl. 4
Kako je AB = AC, to je trougao BAC jednakokraki ( sl. 4) pa je: ACB ABC ADB jer je periferijski ugao nad lukom AB (nad kojim je i
periferijski ugao ACB). Trouglovi ADB i AEB su sli~ni ( DAB EAB , ABE ADB ) Pa va`i: AD : AB = AB : AE odakle je:
2AB
ADAE
odnosno
212
AD 188
Ta~an odgovor je E).
44 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
15.
-4
-6
P2
-3
P1
03
4
(E)
y(t2)
(t1)
6(p) x
Sl. 5
Odredimo tangentu (t) elipse koja je paralelna pravoj (p) y x 6 (sl. 5). Kako je prava (t) (p) jedna~ina prave (t) glasi y x n . Uslov da
prava (t) y x n dodiruje elipsu (E) 2 2x y
19 16
je
2 29 1 16 n , tj. 225 n , odakle je 1n 5 i 2n 5 .
Dakle, prave (t1) y x 5 i (t2) y x 5 su tangente elipse (E)
2 2x y
19 16
.
Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5
2 2x y
19 16
Dobijamo dodirnu ta~ku
1
9 16P ,
5 5 prave (t1) i elipse (E).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 45
Re{avanjem sistema jedna~ina: y x 5
2 2x y
19 16
Dobijamo dodirnu ta~ku
2
9 16P ,
5 5 prave (t2) i elipse (E).
Rastojanje d1 ta~ke P1 od prave (p) je:
1
9 166
25 5d
22
Rastojanje d2 ta~ke P2 od prave (p) je:
2
9 166
11 25 5d
22
Kako je d2 > d1 ta~ka
2
9 16P ,
5 5 je ta~ka na elipsi (E) koja je
najudaljenija od prave (p), {to se i na slici 5 mo`e videti. Ta~an odgovor je D).
TEST BROJ 4 1. Ako je x y i x y vrednost izraza
3 32 2
2 2
x y 2y xy: x y
x y x y x y je:
A) -2 ; B) 3 ; C) 1 ; D) -1 ; E) 5.
2. Vrednost izraza:
3 103 36 34 4 5
3
565 : 5 7 64x
7 je:
A) 2 25 2x ; B) 20 5x ; C) 50 4 2x ; D) 20 2x ;
E) 2 25 2 x .
3. Neka je S1 skup re{enja nejedna~ine
x2 8
3 27, a S2 skup re{enja
nejedna~ine 1
4
log x 2 . Skup 1 2S S S je:
A) ( 2 , 16 ) ; B) ; C) 1 , 4 ) ; D) ( 16 , +) ; E)
1, 3
16.
4. Skup realnih vrednosti x za koje je ta~na nejedna~ina
24x 4x 10
x 2 je:
A)
1, 2
2 ; B) 2, 3 ; C)
12,
2 ; D)
1,2
;
E)
1 1, , 22 2
.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 47
5. Rastojanje 1 2d S , S izme|u centra S1 kru`nice
2 21K x y 2x 2y 1 0 i centra S2 kru`nice
2 22K x y 4x 4y 1 0 je:
A) 1 ; B) 4 ; C) 2 ; D) 2 2 ; E) 3 .
6. Imaginarni deo broja
96
92 90
1 iz
2 1 i 1 i je:
A) 8
i17
; B) 2
i3
; C) 5 ; D) 6i ; E) 8
17 .
7. Jedna~ina log x sin x ima:
A) ta~no dva re{enja; B) ta~no tri re{enja; C) ta~no jedno re{enje; D) ta~no sedam re{enja; E) ta~no pet re{enja.
8. Du`ine starnica pravouglog trougla ~ine aritmeti~ki niz sa razlikom 2. Du`ina
polupre~nika upisane kru`nice trougla je: A) 2 ; B) 3/2 ; C) 1 ; D) 3 ; E) 4.
9. Prava x – y – 2 = 0 dodiruje hiperbolu 2 2
2 2
x yH 1
a b u ta~ki A( 4 , 2).
Jedna~ina hiperbole (H) je:
A) 2 2x y
18 2
; B) 2 2x y 1 ; C) 2 2x y
18 4
; D) 2 2x y
12 4
;
E) 2 2x y
13 2
;
10. U skupu realnih brojeva jedna~ina x x 14 16log 4 1 log 4 4 3 ima:
A) ta~no jedno re{enje; B) beskona~no mnogo re{enja; C) ta~no dva re{enja; D) ~etiri re{enja; E) ta~no tri re{enja.
11. Realno re{enje jedna~ine 3 3 3x 1 3x 1 x 1 pripada intervalu: A) (1,2) ; B) (-3,0) ; C) (-4,-3) ; D) (-1,0) ; E) (3,7).
48 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
12. Zbir kubova re{enja jedna~ine 2 26x 6 a 1 x 5a 2a 0 je najve}i
ako realni parametar a ima vrednost:
A) 5 ; B) 1
2 ; C) 3 ; D) 2 ; E) -1.
13. Skup re{enja nejedna~ine
2
3 sin x 21
4 sin x 1 je:
A) 5 7 11
2m , 2m 2k , 2k m Z, k Z.6 6 6 6
B)
52m , 2m m Z.
6 6
C)
7 112k , 2k k Z.
6 6
D)
52k , 2k 2m , 2m k Z, m Z
3 6 3 3
14. Vrednost izraza 4 5
cos cos cos7 7 7
je:
A) 1
8 ; B)
2
9 ; C)
1
6 ; D)
1
8 ; E) 1 .
15. Romb ABCD stranice a, rotira prvo oko stranice AB, a zatim oko dijagonale
AC. Neka su V i V1 zapremine tako nastalih tela. Ako je V : V1 = 9 : 3 o{tar ugao romba je:
A)
4 ; B)
6 ; C)
3 ; D)
12 ; E)
5.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 49
RE[ENJA ZADATAKA IZ TESTA BROJ 4
1. Ako je x y i x y vrednost datog izraza je:
2 23 32 2
2 2
x y x xy yx y 2y xy: x y :
x y x y x yx y
2y xy: x y x y
x y x y x y
2 2
2 2 2 2 2
2y x y xy1x xy y
x y x y x y x y
x xy y xy 2y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y1 .
x y x y
Ta~an odgovor je C).
2. Vrednost datog izraza
3 103 36 34 4 5
3
565 : 5 7 64x
7je:
253 3 224 24 5 33
565 : 5 7 64x 8 1 7 4x
7
2 1 49 4x 50 4x 2 25 2x
Ta~an odgovor je A).
3. Nejedna~inu
x2 8
3 27 mo`emo napisati u obliku
x 32 2
3 3 odakle se
dobija x < 3 ( funkcija
x2
f x3
je monotono opadaju}a:
x 32 2
x 33 3
).
50 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle, S1 = ( - , 3 ). Nejedna~inu 1
4
log x 2 mo`emo napisati u obliku 1 1
4 4
log x log 16
odakle se dobija x > 16 ( funkcija 14
f x log x je monotono opadaju}a:
1 1
4 4
log x log 16 x 16 ).
Dakle, S2 = ( 16 , + ).
1 2S S S , 3 16, .
Ta~an odgovor je B).
4. Datu nejedna~inu mo`emo napisati u obliku
22x 1
0x 2
. Izraz
2 1
2x 1 0 za x2.
O znaku koli~nika
22x 1
x 2 zaklju~ujemo na osnovu znaka imenioca
x 2 . Izraz
22x 1
0x 2
ako je x 2 0 , tj. x 2 .
Dakle, skup realnih re{enja nejedna~ine
24x 4x 10
x 2je
1 1, , 22 2
.
Ta~an odgovor je E).
5. Jedna~inu kru`nice 2 2
1K x y 2x 2y 1 0 napi{imo u obliku:
2 2
x 1 y 1 1 .
Dakle, 1S 1, 1 je centar kru`nice 1K , a polupre~nik 1r 1 .
Jedna~inu kru`nice 2 22K x y 4x 4y 1 0 napi{imo u obliku:
2 2
x 2 y 2 9 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 51
2S 2, 2 je centar kru`nice 2K , a polupre~nik 2r 3 .
Rastojanje 2 2
1 2d S , S 2 1 2 1 ,
odakle dobijamo 1 2d S , S 2 .
Ta~an odgovor je C).
6. Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo
21 i 2i .
Iz jednakosti 2 21 i 1 2i i dobijamo
21 i 2i .
48296
92 90 46 452 2
48
46 45
2
2 2
1 i1 iz
2 1 i 1 i 2 1 i 1 i
2i 8i 8i
4i 1 1 4i2 2i 2i
8i 1 4i 8i 32i 32 8i 32 8i
1 4i 1 4i 171 16i1 4i
32 8i
17 17
m
8I z
17.
Ta~an odgovor je E).
52 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
7.
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
SIN(X)
LOG(X)
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
Sl. 1
Na sl. 1 su grafi~ki predstavljene funkcije 1f x log x i 2f x sin x .
Grafici fukncija se seku u tri ta~ke. Apscise prese~nih ta~aka su re{enja date jedna~ine. Dakle, jedna~ina ima tri re{enja. Ta~an odgovor je B).
8. U pravouglom trouglu ABC sl. 2 du`ine stranica su:
AB x , BC x 2 , CA x 4 .
CB
A
Sl. 2
Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 53
2 22x 4 x x 2 odakle je:
2x 4x 12 0 Re{enja ove kvadratne jedna~ine su 1x 6 i 2x 2 . Kako je x > 0, to
se re{enje 2x 2 ne prihvata. Du`ine stranica trougla su: 6, 8, 10.
Povr{ina trougla ABC je
6 8
P 242
.
Povr{inu trougla ABC mo`emo izra~unati i na slede}i na~in: P r s Gde je r – du`ina polipre~nika upisane kru`nice trougla, a s – poluobim trougla.
Kako je
6 8 10
s 122
to je P 24
r 2s 12
Dakle, ta~an odgovor je A).
9. Jedna~ina prave x – y – 2 = 0 u eksplicitnom obliku je y = x - 2.
Uslov da prava y = x – 2 dodiruje hiperbolu 2 2
2 2
x y1
a b je
2 2 2a 1 b 4 . Kako je ta~ka A(4,2) na hiperboli 2 2
2 2
x y1
a b
to je 2 2
16 41
a b.
Re{imo sistem jedna~ina: 2 2a b 4 , 2 2
16 41
a b.
Uvedimo smenu: 2 2a A, b B
Dobijamo sistem jedna~ina: 16 4
A B 4, 1A B
.
Iz prve jedna~ine sistema je B A 4 . Posle zamene u drugoj jedna~ini dobijamo:
16 41
A A 4 odnosno
12A 641
A A 4, odakle je:
212A 64 A 4A , posle sre|ivanja dobijamo:
54 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
2A 16A 64 0 , odnosno 2
A 8 0 , odakle je A = 8 (dvostruko
re{enje). Kako je A = 8, B = A – 4 tj. B = 4. Vratimo se na uvedenu smenu:
2a 8 2b 4
Jedna~ina hiperbole (H) je:
2 2x y
18 4
Ta~an odgovor je C).
10. Jedna~ina je definisana ako je x4 1 0 i x 14 4 0 . Re{enje ovog
sistema jedna~ina je x > 0. Dakle, oblast definisanosti jedna~ine je 0, .
Datu jedna~inu napi{imo u obliku:
2
x x4 4
log 4 1 log 44 4 3
odnosno
x x4 4
1log 4 1 log 4 4 1 3
2
odakle dobijamo:
x x4 4 4log 4 1 log 4 log 4 1 6
posle sre|ivanja dobijamo:
2 x x4 4log 4 1 log 4 1 6 0
posle uvo|enja smene x4log 4 1 t dobijamo jedna~inu
2t t 6 0 , ~ija su re{enja t1 = 2 i t2 = -3. Ako je t = 2 posle vra}anja na uvedenu smenu dobijamo:
x4log 4 1 2 odakle je x 24 1 4 ,pa je x4 17 tj. 4x log 17 .
Ako je t = -3 onda je:
x4log 4 1 3 pa je x 34 1 4 tj. x 65
464
, 4
65x log
64.
Oba re{enja se prihvataju jer pripadaju oblasti definisanosti jedna~ine.
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 55
Ta~an odgovor je C). 11. Oblast definisanosti jedna~ine je skup realnih brojeva. Posle stepenovanja sa tri
dobijamo ekvivalentnu jedna~inu:
2 2
3 3x 1 3 x 1 3x 1 3 x 1 3x 1 3x 1 x 1 .
Odakle, posle sre|ivanja dobijamo:
3 3 3 33 x 1 3x 1 x 1 3x 1 3x 3 .
Kako je izraz 3 3x 1 3x 1 , leva strana jedna~ine koju re{avamo, zameni}emo ga desnom stranom jedna~ine. Tako dobijamo:
3 3 3x 1 3x 1 x 1 x 1, odakle stepenovanjem sa tri dobijamo:
3
x 1 3x 1 x 1 x 1 ,
odnosno,
2x 1 3x 1 x 1 x 1 0 , posle sre|ivanja jedna~ine
dobijamo 2x 1 4x 0 , odakle je x 1 0 ili 2x 0 .
Dakle, re{enja poslednje jedna~ine su x 1 i x 0 . Re{enje x 0 nije re{enje date jedna~ine (pojavilo se kao rezultat zamene leve strane date jedna~ine desnom stranom koja joj nije identi~ki jednaka). Prema tome, data jedna~ina ima jedno re{enje x 1 . Ta~an odgovor je B).
12. Neka su 1x i 2x re{enja date kvadratne jedna~ine. Zbir kubova re{enja je:
3 33 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x 3x x x x 3x x x x .
Odakle, primenom Vietovih formula 1 2x x 1 a ,
2
1 2
2a 5ax x
6,
dobijamo:
56 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
233 3
1 2
22
2 2
2 2
2 2
2a 5ax x 1 a 3 1 a
6
2a 5a1 a 1 a
2
2 1 2a a 2a 5a1 a
2a 2 1 1
1 a a a 2 a a 22 2 2
1 1 9 9 1 1a a
2 2 4 8 2 2
Dakle, dobili smo da je:
23 31 2
9 1 1x x a
8 2 2.
Zbir kubova re{enja date kvadratne jedna~ine je najve}i ako je
21 1
a 02 2
, a to je ako je
21
a 02
, odnosno 1
a 02
,
odakle je 1
a2.
Ta~an odgovor je B).
13. Datu nejedna~inu napi{imo u obliku:
2
3 sin x 21 0
4 sin x 1 odakle je:
2
2
4 sin x 3 sin x 10
4 sin x 1
Posle uvo|enja smene sin x t , dobijamo:
2
2
4t 3t 10
4t 1
Nejedna~ina je definisana za 1
t2 i
1t
2
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 57
24t 3t 1 0 za t R (Diskriminanta jedna~ine 24t 3t 1 0 je D 7 0 a koeficijent uz 2t je 4 0 )
Dakle, o znaku
2
2
4t 3t 1
4t 1 zaklju~ujemo na osnovu znaka 24t 1 ,
videti sl. 3.
znak 4t-120 1
2t1
2
Sl. 3
2
2
4t 3t 10
4t 1 za
1 1t , ,
2 2.
Vratimo se na uvedenu smenu i odredimo re{enja nejedna~ine
2
2
4 sin x 3 sin x 10
4 sin x 1
1 1sin x , ,
2 2
Kako su vrednosti trigonometrijske funkcije sin x : 1 sin x 1 Onda }e:
1 1sin x 1, , 1
2 2
ili napisano u obliku:
1 1
1 sin x sin x 12 2
Prva dvostruka nejednakost va`i za:
7 11x 2k , 2k , k Z
6 6
Druga dvostruka nejednakost va`i za:
5x 2m , 2m , m Z
6 6
58 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Skup re{enja date nejedna~ine je:
5 7 112m , 2m 2k , 2k , m Z, k Z
6 6 6 6
Ta~an odgovor je A).
14. Vrednost izraza 4 5
cos cos cos7 7 7
je jednaka:
2 sin4 5 4 5 7cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7 2 sin
74 5 2 4 5
cos cos sin cos cos7 7 7 7 72 sin cos
7 7 2 sin 2 sin7 7
1 3 42 5 4 sin sin cossin cos cos 2 7 77 7 7
2 sin 2 sin7 7
3 4 1sin cos sin sin sin7 7 2 7 1 17
8 84 sin 4 sin sin7 7 7
U radu zadatka su kori{}ene trigonometrijske formule
sin 2 2 sin cos ; 1
sin cos sin sin2
i vrednost trigonometrijske funkcije f x sin x , za x i x ,
sin 0 i sin 0 .
Ta~an odgovor je D).
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 59
15. Neka je o{tar ugao romba ABCD i neka je DE = h visina romba (sl. 4). Iz pravouglog trougla AED imamo da je:
h
sina , odnosno h a sin
C
h
A
aE B
Dh
A
E F
B
D C
Sl. 4 Sl. 5
Zapremina V tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko stranice AB (sl. 5) je jednaka zapremini osen~enog valjka:
2 3 2V h a a sin Zapremina V1 tela koje nastaje rotacijom romba ABCD stranice a oko dijagonale AC (sl. 6) je jednaka dvostrukoj zapremini osen~ene kupe.
Kako je
BD AC
a sin , a cos2 2 2 2
onda je:
2
32
1
BD AC
2 2 2aV 2 cos sin
3 3 2 2.
A
D
B
C
Sl. 6
60 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Dakle:
3
3 2 21
2aV : V a sin : cos sin
3 2 2
Odnosno:
3
3 2 2 21
aV : V 4a sin cos : 2 cos sin
2 2 3 2 2
tj.
1V : V 6 cos2
, a kako je po uslovu zadatka
1V : V 9 : 3 dobijamo:
3cos
2 2 3, odakle je:
3cos
2 2, pa je
3.
Ta~an odgovor je C).
TEST BROJ 5
1. Ako su a i b realni brojevi i 22 ba , onda je izraz
44
2
22 ba
bab
ba
a
jednak:
A) ba
1
; B) ba
a
; C) ba
1
; D) ba
b
; E) baba
.
2. Koji pravilan mnogougao ima 44 dijagonale?
A) desetougao; B) jedanaestougao; C) dvanaestougao; D) trinaestougao; E) ~etrnaestougao.
3. Skup svih realnih re{enja nejedna~ine 15x je:
A) 5,1 ; B) 6,1 ; C) 4,1 ; D) 6,4 ; E) 5,2 .
4. Ako je 3tgx , tada x2cos pripada intervalu:
A) 9
1,10
; B) 2,1 ; C)
207
,209
; D)
107
,108
;
E)
1,
53
.
5. Realni deo kompleksnog broja 10i3z je: A) 512; B) 212; C) -326; D) 502; E) -104.
6. Izraz 5724057240 je jednak:
A) 10; B) -10; C) 15; D) -11; E) 12.
7. Ako je x9log3xlogxf 39 i ( x > 0 ) onda je
x9
fxf jednako:
A) xlog5 3 ; B) xlog3 9 ; C) 1xlog7 3 ; D) 3xlog9 ;
E) 5xlog2 3 .
62 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
8. U ta~ki T kru`nice polupre~nika 3 povu~ena je tangenta koja u ta~kama A i B se~e dve me|usobno paralelne tangente iste kru`nice. Proizvod odse~aka AT i TB je:
A) 10; B) 16; C) 25; D) 18; E) 9.
9. Re{enja kvadratne jedna~ine 0px6x2 )Rp( su pozitivni brojevi ako i samo ako je:
A) 1p ; B) 9p0 ; C) 8p4 ; D) 6p ; E) 16p5 .
10. Od prave trostrane prizme visine 10 cm, ~ije su osnove jednakostrani~ni truoglovi stranice 5 cm, odse~en je jedan deo sa ravni koja prolazi kroz jedno teme donje osnove, tako da od jedne od preostalih dveju bo~nih ivica odseca 1 cm, a od druge 2 cm ( mereno od donje osnove). Zapremina onog dela te prizme koji sadr`i gornju osnovu je:
A) 3cm 3200 ; B) 3cm 35
241; C) 3cm 3
3352
; D) 3cm 2210 ;
E) 3cm 34
225.
11. Zbir realnih re{enja jedna~ine 2
x2
x2
x2
je:
A) 1934
; B) 934
; C) 512
; D) 5 ; E) 12 .
12. Izraz x2sin2
xsinxcos 33
je identi~ki jednak:
A)
4xcos
2
1; B) xsinxcos ; C)
4xcos
22
; D)
xsin2
1; E) 1.
13. Od svih ta~aka na hiperboli (H) 72y4x3 22 ta~ka najbli`a pravoj (p)
01y2x3 je:
A) 3,6 ; B) 2,1 ; C) 2,3 ; D) 3,6 ; E) 23,0 .
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 63
14. Zbir binomnih koeficijenata tre}eg od po~etka i tre}eg od kraja ~lana razvoja
stepena binoma n34 43 ( n je prirodan broj ) jednak je 2450. Broj racionalnih ~lanova u tom razvoju jednak je:
A) deset; B) sedam; C) {est; D) ~etiri; E) osam.
15. Skup relnih re{enja nejedna~ine 12xlogx je:
A) 3,1 ; B) 4,2 ; C) 3,1 ; D) 5,3 ; E) 2,1 .
Ta~ni rezultati: 1. C); 2. B); 3. D); 4. D); 5. A); 6. B); 7. C); 8. E); 9. B); 10. E); 11. B); 12. C); 13. A); 14. D); 15. E).
TEST BROJ 6
1. Ako je ba0 vrednost izraza
2
12
2
1
2
1
ba
21
ab
21
1
jednaka
je:
A) 1; B) ab
ab ; C)
2
baba
; D)
baba
; E)
abba
.
2. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadr`i jedno njegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici. Povr{ina dobijenog obrtnog tela je:
A) 3a2 2 ; B) 3a4 2 ; C) 2a2 ; D) 3a3 2 ; E) 2a2 2 .
3. Ako je 52
tg
onda je cossin jednako:
A) 135
; B) 127
; C) 137
; D) 1524
; E) 137
.
4. Neka je 3x52x1x3
f
, 2x . Tada je 2f jednako:
A) 10; B) -5; C) 415
; D) -4; E) 0.
5. Zbir 9932 i...iii je jednak:
A) 1; B) -1; C) 2i; D) -i; E) 0.
6. Zbir kvadrata re{enja jedna~ine 01mmxx2 je najmanji ako realni
parametar m ima vrednost: A) 2; B) 3; C) 4; D) 1; E) -1.
7. Prava (p) koja prolazi kroz ta~ku M(2,3) i sa koordinatnim osama gradi
trougao povr{ine 12 ima jedna~inu:
Ma{inski fakultet Kraljevo – testovi iz matematike 65
A) 05y4x3 ; B) 012y2x3 ; C) 03yx ; D) 05yx2 ; E) 01yx8 .
8. U jednakokraki trapez je upisana kru`nica. Ta~ka dodira deli krak trapeza na du`i ~ije su du`ine p i q. Povr{ina trapeza je:
A) qp ; B) pq2 ; C) pqqp2 ; D) qpp3 ;
E) qqp2 .
9. Broj realnih re{enja jedna~ine: 1xlog4
7xlog
10x
je: A) jedno; B) dva; C) tri; D) ~etiri; E) nijedno.
10. U aritmeti~kom nizu je zbir drugog i petog ~lana 32,5 a zbir prvih petnaest ~lanova je 412,5. Deseti ~lan aritmeti~kog niza je:
A) 32,5; B) 40; C) 32; D) 42; E) 53.
11. Ako je ablog a 3 a 0, b 0, ab 1 , onda je 3
aba
logb
jednak:
A) 32 ; B) 13 ; C) 2; D) 32 ; E) 3
1.
12. Skup relnih re{enja nejedna~ine 0315515925 x2x2xx je: A) 2,1 ; B) 2,1 ; C) 4,3 ; D) 0, ; E) 3,0 .
13. Koliko ima {estocifrenih brojeva koji imaju tri parne i tri neparne cifre? A) 28125; B) 281250; C) 312225; D) 15400; E) 291250.
14. Zbir realnih re{enja jedna~ine 11xx 33 je: A) 2; B) 1; C) 3; D) 4; E) 5.
15. Koliko re{enja u intervalu 2,0 ima jedna~ina
1x2sin3xsin3xcos 22 ? A) jedno; B) dva; C) ~etiri; D) pet; E) tri.
66 Ma{inski fakultet Kraljevo - testovi iz matematike
Ta~ni rezultati: 1. E); 2. A); 3. E); 4. A); 5. B); 6. D); 7. B); 8. C); 9. B); 10. A); 11. C); 12. D); 13. B); 14. B); 15. E).