Post on 17-Apr-2015
professor Rodrigo Cavalcanti
Progressão Aritmética (PA)
Professor : Eduardo Jatobá
Prof: Rodrigo CavalcantiProgressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá
Imaginemos uma situação em que um atleta inicie seu treinamento numa pista de corrida de 300 m, percorrendo 2 voltas no 1º dia, 5 voltas no 2º dia, 8 voltas no 3º dia e assim por diante, até atingir o limite da sua capacidade.
• Monte uma tabela que informe a quantidade de voltas dadas em função do número de dias, detalhando como se chega ao resultado da quantidade de voltas dadas. (Monte sua tabela até o 5º dia)
Exemplo do detalhamento: 1º dia = 2 voltas 2º dia = 2 voltas + 3 voltas = 5 voltas • Há algo que sempre se repete nessa tabela? Em caso afirmativo, o que se repete?
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• Qual a quantidade de voltas dadas no 10º dia?
• Na sua opinião, por que este exemplo é uma PA?
• A partir do exemplo dado, generalize o conceito de PA.
• Agora, compare o seu conceito com o conceito formal de PA
• Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.
• O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
Exemplosa) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39) é uma PA finita de razão r = 5b) A sequência (18,10, 2, -6, -14, ...) é uma PA infinita de razão r = - 8
c) A sequência (4, 4, 4, 4, 4, ...) é uma PA infinita de razão r = 0.
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• No exemplo da pista de atletismo, temos uma PA finita ou infinita? Por que?
• Qual a razão do problema proposto?
Considere uma PA qualquer de razão r:
,...a,a,...,a,a,a,a 1nn4321
• Como podemos obter a razão r na sequência acima?
Resposta: n1n342312 aaaaaaaar
• A que conclusão podemos chegar a partir do resultado supracitado?
Resposta: A diferença de dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual à razão r.
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Exercícios Resolvidos
01. Calcular a razão da PA que tem termos .2ae53
a 65
Resolução:
56 aar
53
2r
57
r
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Exercícios Resolvidos
02. Verificar se as sequências abaixo são progressões aritméticas ou não.
a) (5, 9, 13, 17, 21)
Resposta: É uma PA de razão 4.
b) (-2, -5, -8, -12)
Resposta: Não é uma PA , pois a mesma não possui uma razão constante.
c) tal que 4321 a,a,a,a n31a n Resolução:
Para n = 1, temos: 131a1 4a1
Para n = 2, temos: 231a 2 7a 2
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Para n = 3, temos: 331a3 10a3
Para n = 4, temos: 431a 4 13a 4
Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (4, 7, 10, 13)
Resposta: É uma PA de razão 3.
d) 3n4aquetala nINnn
Resolução:
Para n = 1, temos: 314a1 7a1 Para n = 2, temos: 324a 2 11a 2
Para n = 3, temos: 334a3 15a3 Para n = 4, temos: 344a 4 19a 4
Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (7,11, 15, 19,...)
Resposta: É uma PA de razão 4.
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Classificação de uma PA
• Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é positiva.
Exemplo: (6, 10, 14, 18, ...) é uma PA crescente pois sua razão é 4, ou seja, é uma razão positiva.
• Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é negativa.
Exemplo: (13, 8, 3, -2, -7, ...) é uma PA crescente pois sua razão é -5, ou seja, é uma razão negativa.
• Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Isso só ocorre quando a razão é nula.
Exemplo: (33, 33, 33, 33, ...) é uma PA constante pois sua razão é 0, ou seja, é uma razão nula.
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Exercício Resolvido
01. Determinar a PA decrescente de três termos, sabendo que a soma
desses termos é 3 e o produto deles é . 95
Resolução:
2º termo: x 1º termo: x - r 3º termo: x + r
Se chamarmos cada termo de uma incógnita diferente teremos um problema, pois ficaremos com duas equações e três incógnitas, o que impossibilitará a resolução deste exercício.
Para resolvermos este problema, basta chamar o termo do meio de x e escrever o 1º e o 3º termos em função do 2º termo. Logo, teremos:
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1ª informação: a soma desses termos é 3.
Equação: 3rxxrx
3x3 1x
2ª informação: o produto deles é . 95
Equação: 95
rxxrx
Substituindo x por 1, temos:
95
r11r1
95
r1r1
95
r1 2
195
r2 x (-1)
95
1r2
94
r2
94
r
32
´r Não serve, pois r > 0
32
´´r Serve, pois r < 0
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O que a questão pede?: determinar a PA decrescente de três termos
Para encontrarmos os valores dos três termos, substituiremos x por 1 e r por - 2/3. Logo teremos os seguintes termos:
1º termo: x – r =
32
1 32
135
2º termo: x 1x
3º termo: x + r =
32
1 32
131
Concluímos então que a PA decrescente de três termos é dada por:
31
;1;35
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Fórmula do Termo Geral de uma PA Podemos escrever qualquer termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão. Assim, podemos escrever:
r0aa 11
r1aa 12
rraa 13 r2aa 13
rrraa 14 r3aa 14
O que sempre se repete nos termos?
Perceba que o número que multiplica a razão possui uma unidade a menos que o número que representa o termo da PA. Como podemos escrever o vigésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? r19aa 120 Como podemos escrever o enésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? r1naa 1n
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Exercícios Resolvidos
01. Determinar o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22, ...)
Resolução:
De acordo com o que vimos, podemos calcular o 51º termo da PA acima utilizando a seguinte equação:
r50aa 151
Podemos perceber que, para encontrarmos o 51º termo, necessitamos dos valores do primeiro termo e da razão. Observando a PA acima, podemos verificar que o primeiro termo é o número 4 e que a razão é o número 6. Então, teremos:
6504a51 3004a51
304a51
Concluímos, assim, que o 51º termo da PA é 304.
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Exercícios Resolvidos
02. Obter a razão da PA tal que
Resolução:
...,a,a,a 321 8ae7a 51
r1naa 1n
De acordo com o que vimos, podemos calcular a razão da PA acima utilizando a seguinte equação:
Se substituirmos n por 5, ficaremos apenas com a razão como incógnita e teremos:
r15aa 15
r478
1r4
41
r
Concluímos que a razão da PA é 1/4.
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Exercícios Resolvidos
03. Determinar o número de termos da PA (2, 10, 18, ..., 250)
Resolução:
De acordo com o que vimos, podemos calcular o número de termos n da PA acima utilizando a seguinte equação:
r1naa 1n
De acordo com a fórmula acima, podemos perceber que para acharmos o valor de n, precisamos dos valores do primeiro termo, do enésimo termo e da razão da PA dada.
Podemos verificar que o primeiro termo é o número 2 e que a razão da PA dada é o número 8. Se a PA tem n termos, então o enésimo termo será, necessariamente, o último termo, logo o enésimo termo é o número 250Resumindo, temos as seguintes informações:
8r;250a;2a n1
Substituindo esses valores na fórmula do termo geral de uma PA, temos:
81n2250
2508n82 2506n8
256n8 8
256n 32n
Concluímos, então, que a PA possui 32 termos.
r1naa 1n
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Exercícios Resolvidos
04. A partir do momento em que havia 684 pessoas em um ginásio de esportes, a contagem dos torcedores que entravam passou a ser feita por catracas que registraram o ingresso de 208 pessoas por hora, até completar a capacidade máxima do ginásio de 3.180 expectadores. Ninguém saiu antes do jogo, que começou quando a capacidade máxima do ginásio foi atingida.a) Construir a sequência em que os termos representem o número de
pessoas no ginásio, hora a hora, a partir do instante em que a contagem das pessoas passou a ser feita por catracas.
Resolução:
Podemos perceber que a sequência solicitada no item a trata-se de uma PA, de acordo com sua definição.
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O primeiro termo é o número 684, pois refere-se a quantidade de pessoas que havia no ginásio no momento em que se começou a controlar a entrada das mesmas no ginásio pela catraca.
A razão é o número 208, pois refere-se a quantidade fixa de pessoas que entram no ginásio a cada hora.
O enésimo e último termo é o número 3.180, pois refere-se à capacidade máxima do ginásio de esportes.
Logo, para respondermos o item a, precisaremos encontrar o número n de termos da sequência para podermos escrevê-la.
Resumindo, temos: 208r;3180a;684a n1
r1naa 1n
2081n6843180
3180208n208684
3180476n208
2704n208
2082704
n
13n Construiremos a sequência da seguinte maneira:
892a208684araa 2212 1100a208892araa 3323
1308a2081100araa 4434
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1516a2081308araa 5545
Logo, podemos escrever a seguinte PA:
(684, 892, 1.100, 1.308, 1516, ... , 3.180)
b) Durante quantas horas as catracas estiveram em funcionamento?
Resolução:
684 pessoas(n = 1)
t = 0 hora
892 pessoas(n = 2)
t = 1 hora
1100 pessoas(n = 3)
t = 2 horas
Percebe-se que, o valor do tempo t, em horas, é uma unidade inferior à quantidade n de termos da PA em questão. Então podemos concluir que:
As catracas estiveram em funcionamento durante 12 horas.
Progressão AritméticaExercícios Resolvidos
05. Qual a razão de uma determinada PA, sabendo-se que nela, a soma do primeiro termo com o quinto é 26 e que a soma do segundo termo com o nono é 46?
Resolução:
Temos as seguintes informações:
46aa
26aa
92
51
De acordo com as informações, temos quatro incógnitas e duas equações. Além disso, em nenhuma das equações aparece a incógnita que queremos descobrir, que, no caso, é r.
Logo, colocaremos todos os termos em função do primeiro termo e da razão, da seguinte maneira:r8aa
raa
r4aa
19
12
15
Logo, reescrevendo as informações iniciais, temos: 26aa 51 26r4aa 11 26r4a2 1 13r2a1
46aa 92 46r8ara 11 46r9a2 1
Progressão AritméticaIremos resolver o sistema encontrado pelo método da adição
46r9a2
13r2a
1
1x (-2)
46r9a2
26r4a2
1
1 Adicionando as duas equações, temos:
20r5
4r
Conclusão: A razão da PA em questão é 4.
Progressão AritméticaExercícios Resolvidos
06. Interpolar (ou seja, inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 11, nessa ordem.
Resolução:
O que queremos é completar uma PA com 6 termos, conhecendo-se o primeiro termo o último termo. Logo, podemos fazer a representação do seguinte esquema:
.11__,__,__,__,,1De acordo com o esquema, precisamos descobrir a razão para encontrarmos os termos que estão faltando. r1naa 1n
r16111
111r5
10r5
2r
Logo, a PA é (1, 3, 5, 7, 9, 11)
Progressão AritméticaExercícios Resolvidos
07. Obter o 40º termo da PA de razão 3, em que o vigésimo primeiro termo é o número 62.
Resolução:
Esquema do problema: ?a;62a;3r 4021
Sabemos que , ou seja, precisamos encontrar o primeiro termo para encontramos o quadragésimo termo.
r39aa 140
r20aa 121
320a62 1
6260a1
2a1
r39aa 140
3392a 40
1172a 40
119a 40
Conclusão: O 40º termo da PA é 119.
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