Professor Neilton Satel

Aula de Matemática

25 de outubro de 2011

CONTEÚDO DA AULA:

Geometria analítica

“Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais...”

(Rubem Alves,1999).”

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BOA AULA

Apolônio de Pérgamo (262 - 190 a.C.) nasceu em Pérgamo, na Ásia Menor e viveu em Alexandria nos fins do século III a.C..Foi contemporâneo de Arquimedes e é unanimemente considerado como um dos mais originais e profundos matemáticos de sempre.A sua obra mais famosa é o Tratado sobre as cónicas (o primeiro estudo sistemático das cônicas), aí definidas como secções de um cone de base circular e designadas por elipse, parábola e hipérbole. Dos oito livros do tratado, apenas um se perdeu, representando esta obra, segundo alguns autores, o ponto máximo alcançado pela matemática grega. É motivo de admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo aos métodos puramente geométricos de Euclides.

MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:

a) y + 2x – 2 = 0

b) y – x – 2 = 0

c) y + 2x + 2 = 0

d) y –2x – 2 = 0

e) y – 2x + 2 = 0

Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0

121

yx( Multiplicando toda a equação por –2 )

Questão 43 página 243a) Escreva as equações reduzidas das retas que contêm as diagonais do quadrado ABCD dado no sistema cartesiano ao lado.

Questão 43 página 243b) Compare os coeficientes angulares dessas retas.

03. Encontre a equação da reta que passa nos pontos A=(0,1) e B = (2 ,5).

03. Construir usando o GEOGEBRA, o gráfico da função f(x) = 2x +1.

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:

a) y + 2x – 2 = 0

b) y – x – 2 = 0

c) y + 2x + 2 = 0

d) y –2x – 2 = 0

e) y – 2x + 2 = 0

Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0

121

yx( Multiplicando toda a equação por –2 )

EXERCÍCIO 02: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

SOLUÇÃO DA QUESTÃO

EXERCÍCIO 03: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).

3 – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

• Vamos calcular a área do triângulo amarelo pela diferença entre a área do retângulo azul e os outros três triângulos na cor verde.

Área do triângulo:

Podemos escrever assimÁrea do triângulo:

EXERCÍCIO 04

Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

2 5

0 3

1 1

2 5

2

1A = 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1

A = 6/2 A = 3 u. a.

Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

EXERCÍCIO 05 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(2,3) e C(4,-1)?

RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 05

-2 -1

2 3

4 -1

-2 -1

2

1A = -2.3 + 2.(-1) +4. (-1). –2.(-1) –

4.3 – (-2).(-1)

A = 24/2 A = 12 u. a.

Resp: S = 12 u.a. (12 unidades de área)

 RETAS

Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos

DESENVOLVENDO, VEM:

ENTÃO:

COMO:

EQUAÇÃO GERAL DA RETA:

A x + B y + C = 0

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta

se am + bn + c 0, P não é um ponto da reta

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

Y = ax + b

Onde a = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

y = ax + b onde,

a = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta (ponto de

intersecção com o eixo Oy.

O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

Coeficiente angular = 3

Coeficiente angular =2

Coeficiente angular = 1

Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

X Y1 32 4

X Y

3x + 1.4 + 2.y – 1.y – 2.3 – 4x = 0

–x + y –2 = 0

Vamos encotrar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Ou x – y + 2 = 0

RESOLUÇÃO:

EXERCÍCIO 06

Determine equação da reta que passa pelos pontos A e B na figura abaixo.

EXERCÍCIO 07

Resolução questão 07

Utilize a equação da reta (geometria analítica) dados pelos pontos: (3,5) e (6,0).

X Y

-3 -4

-1 2

X Y

– 4x – 6 – y + 3y – 4 –2x = 0

E finalmente a equação GERAL da Reta:

– 6x + 2y – 10 = 0

3x – y + 5 = 0

Ou Y = 3x + 5

Ou a equação REDUZIDA da Reta:

Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pode-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.

Solução:

Da equação da reta r  tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1); substituindo na equação da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0  \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2; 

substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4. Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).

PONTO DE INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS

EXERCÍCIO 08

( Faap – SP ) Na prática de um cooper, um corredor se desloca do ponto A ( -3, - 2) até o ponto C ( 5, 4) em linha reta, tendo um repouso num ponto B. As possíveis coordenadas deste ponto B são:

a)     B ( 2, 7)b)     B ( 4, 3)c)     B ( 3, 5)d)     B ( 2, 2)e) B (1 ,1)

DICA: encontre a equação da reta

X Y

-3 -2

5 4

X Y

-2x – 3.4 + 5y - (-3)y- 5(-2) - 4x = 0 -6x + 8 y –2 = 0

Y = (6x + 2) / 8

Y = (3x + 1) / 4 Ponto P [ x, (3x +1) /4 ]

EXERCÍCIO 09

EQUAÇÃO GERAL DA RETA:

A x + B y + C = 0

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta

se am + bn + c 0, P não é um ponto da reta

Para refletir página 12

Verifique que aa´ + bb´ = 0 e mr. ms = - 1 (retas perpendiculares)

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra a)

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra b)

Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra c)

Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

Conferindo na calculadora:Com isto o ângulo obtido será 29,74º

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d)

Para refletir página 12Verifique que aa´ + bb´ = 0 e m1 . m2 = - 1 (retas perpendiculares)

Para Construir página 20 16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos formados por elas: letra d)

02. (FGV-SP) A reta perpendicular à reta r: 2x – y = 5, e passando pelo ponto P(1, 2), intercepta o eixo das abscissas no ponto:

03. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4). A equação da reta s é:

a) x + 2y = 6b) y + 2x = 6c) y + 2x = 0d) 2y - x = -10e) x - 2y + 10 = 0

04. (FGV-RJ) No plano cartesiano, a reta r é definida por r = {(t + 6; 3t + 1) | t   R}, e a reta s tem equação 2x – y = 7. A abscissa do ponto de interseção dessas retas é:

a) 10b) 12c) 14 d) 15e) 16

Resposta A