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Desigualdades e inequações em R.

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Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes:

f(x) > g(x) f(x) < g(x)f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)

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Solução e Conjunto-solução

Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções.

Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

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Equivalência de inequaçõesPrincípios de equivalência

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Princípios de equivalência

Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal.

3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5

⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1

Troca de sinal

–3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6

Troca de sinal

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Princípios de equivalência

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4

Manteve o sentido

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Princípios de equivalência

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

–5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3

Inverteu o sentido

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Princípios de equivalência

< 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6

Inverteu o sentido

2

1x

Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

⇒ x > –7

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Inequações de 2.º grau

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Inequações de 2.º grau

Há inequações, que na forma simplificada, envolvem a função de 2.º grau y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Elas são chamadas de inequações de 2.º grau e devem ser resolvidas graficamente. Veja,

ax2 + bx + c > 0ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0

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2–2

Exemplos

Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 4 > 0.

Na função y = x2 – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y > 0.

a) Raízes:

x2 – 4 = 0

⇒ x2 = 4

⇒ x = –2 ou x = 2.b)

Parábola:a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x S = {x ∈ R/ x < –2 ou x > 2}

+ +

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Exemplos

Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 3x – 4 ≤ 0.

Na função y = x2 – 3x – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y ≤ 0.

a) Raízes:

x2 – 3x – 4 = 0

⇒ x = –1 ou x = 4.b)

Parábola:a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x4–1

S = {x ∈ R/ –1 ≤ x ≤ 4}

–

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Exemplos Mostrar graficamente que o conjunto solução da

inequação –2x2 + x – 5 < 0 é R.

a) Discriminante :

= 12 – 4.(–2).(–5) = –39

b) Parábola:

a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo.

x

y < 0 para todo x real.

–

Na função y = –2x2 + x – 5, devemos provar que y < 0 para todo x real.

= –39 < 0 ⇒ a função não tem raízes reais⇒ a parábola não corta o eixo x.

– –

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Exemplos Determinar todos os valores reais de x tais que –x2 + 6x –

9 ≥ 0.

Na função y = –x2 + 6x – 9, queremos encontrar os valores de x tais que y ≥ 0.

a) Raízes:

–x2 + 6x – 9 = 0

⇒ x’ = x” = 3.

b) Parábola:

a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo.

S = {3}

x3

y = 0 apenas para x = 3Não existe x / y > 0.

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Exemplos Obter todos os valores de x tais que o gráfico de f(x) = x2

+ 4 esteja situado abaixo do gráfico de g(x) = 3x + 2.

f(x) < g(x)

a) Raízes:

⇒ x2 + 4 < 3x + 2

b) Parábola:

a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x21

S = {x ∈ R/ 1 < x < 2}

–

⇒ x2 – 3x + 2 < 0.

x2 – 3x + 2 = 0

⇒ x = 1 ou x = 2.

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Veja os gráficos das funções

f(x) = x2 + 4 e g(x) = 3x + 2

x

y

0 1

4

2

2

f g

f(x) < g(x) para 1 < x < 2

f(x) > g(x) para x < 1 ou

x > 2 f(x) = g(x) para x = 1 ou x

= 2

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Inequações-produto e inequações-quociente

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Observe as seguintes inequações,

Na primeira, temos um produto de polinômios. Trata-se de uma inequação produto.

Na segunda temos um quociente de polinômios. Temos, no caso, uma inequação quociente.

a) (2 – x)(x2 – 1) > 0

x – 3

–x2 – x + 2

b)

≤ 0

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Inequações-produto e inequações-quociente.

Para resolver inequações como essas, vamos usar as regras de sinais da multiplicação e divisão. Em símbolos,

(+).(+) = (+) (+).(–) = (–) (–).(–) = (+)

(+)(+)

= (+)(+)(–)

= (–)(–)(–)

= (+)

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Processo geral de resolução

Fazemos o estudo dos sinais de cada expressão envolvida.

Aplicamos as regras de sinais da multiplicação ou divisão, conforme o caso. Para isso, utilizamos um esquema chamado quadro de sinais.

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Exemplos

Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0.

Estudo dos sinais da função y1 = 2 – x

a) Raiz:2 – x = 0

⇒ x = 2b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ reta

descendente.

x2 –

+

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Exemplos

Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0.

Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1

a) Raiz:x2 – 1 = 0

⇒ x = –1 ou x = 1b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da

parábola para cima.

x1–1

–

+ +

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Quadro de sinais

–+–+y = (2 – x)(x2 – 1)

++–+y2 = x2 – 1

–+++y1 = 2 – x21–1– ∞

x2 –

+

x1–1

–

+ +

+∞

y = (2 – x)(x2 – 1) > 0.

S = {x ∈ R/ x < –1 ou 1 < x < 2}

ou S = ]–∞, –1[ ]1, 2[⋃

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Exemplos

Resolver a inequação quociente

Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 2a) Raízes:

–x2 – x + 2 = 0

⇒ x = –2 ou x = 1

b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo.

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

x1–2 –

+

–

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Exemplos

Resolver a inequação quociente

Estudo dos sinais da função y2 = x – 3

a) Raiz:x – 3 = 0

⇒ x = 3b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ reta

ascendente.

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

x3–

+

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Quadro de sinais

–+–+y1/y2

+–––y2 = x – 3

––+–y1 = –x2 – x + 2

31–2– ∞ +∞

S = {x ∈ R/–2 ≤ x ≤ 1 ou x > 3}

ou S = [–2, 1] ]3, +∞[⋃

x

1–2 –

+

– x3–

+

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

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Exemplos

Resolver a inequação quociente

Estudo dos sinais da função y2 = 2x – x2

a) Raízes:

–x2 + 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2

b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo.

2x – x2

–5 > 0

x20

– –

S = {x ∈ R/x < 0 ou x > 2}ou S = ]–∞, 0[ ]2, +∞[⋃

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Exemplos

Resolver a inequação

Devemos obter 0 (zero) no 2º membro. Para isso vamos transpor a fração do 2º membro para o 1º.

x – 1

2 ≤ x + 1

x + 4

x – 1

2 ≤ x + 1

x + 4

⇒ x – 1

2 ≤ 0x + 1

x + 4

–

O MMC dos denominadores é (x – 1)(x + 1).

⇒(x – 1)(x + 1)

2(x + 1)

≤ 0– (x – 1)(x + 4)

⇒x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

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Exemplos

Resolver a inequação

Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 6a) Raízes:

–x2 – x + 6 = 0

⇒ x = –3 ou x = 2

b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo.

x2–3 –

+

–

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

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Exemplos

Resolver a inequação

Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1

a) Raízes:

x2 – 1 = 0

⇒ x = –1 ou x = 1

b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da parábola para cima.

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

x1–1

–

+ +

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Quadro de sinais

+–+–y1/y2

+–++y2 = x2 – 1

+++–y1 = –x2 – x + 6

1–1–3– ∞ +∞

S = {x ∈ R/x ≤ –3 ou –1 < x < 1 ou x ≥ 2}

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

x

2–3 –

+

– x1–1

–

+ +

–

+

–

2

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Sistema de inequações

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Sistema de Inequações

Duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente formam um sistema de inequações.

Par resolver um sistema de inequações, resolvemos cada inequação separadamente e, em seguida, calculamos a interseção das soluções obtidas.

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Exemplos

Resolver o sistema de inequações2x + 1 < 7

5x ≤ x2

Resolvendo a inequação (1)

(1)

(2)

2x + 1 < 7

⇒ 2x < 6⇒ x < 3

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Exemplos

Resolver o sistema de inequações2x + 1 < 7

5x ≤ x2

Resolvendo a inequação (2)

(1)

(2)

5x ≤ x2

⇒ –x2 + 5x ≤ 0

a) Raízes:

–x2 + 5x = 0

⇒ x = 0 ou x = 5

b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo.

x50

– –

Solução:x ≤ 0 ou x ≥ 5

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Exemplos

Resolver o sistema de inequações2x + 1 < 7

5x ≤ x2

Interseção das soluções

(1)

(2)

3

0

0

5

Solução de (1)Solução de (2)Interseção

S = {x ∈ R/x ≤ 0}