Post on 21-Mar-2020
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Konjunkturtheorie
Prof. Dr. Kai Carstensen, LMU und ifo InstitutSteffen Elstner, ifo Institut
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ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Deterministische Differenzengleichung
2. Ordnung
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ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Deterministische Differenzengleichung 2. Ordnung
• Eine lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit bestimmten Koeffizienten sieht wie folgt aus:
• Ein numerisches Beispiel ist:
1 1 2 2
1 2 , t t tx a x a x b
wobei a a und b die Koeffizienten darstellen− −= + +
1 21.8 0.8 7.2t t tx x x− −= − − +
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Lösung einer Differenzengleichung 2. Ordnung (1)
Folgende Schritte sind zur Lösung erforderlich1. Partikuläre Lösung der Originalgleichung• Steady State (langfristiges Gleichgewicht)
( )
1 2
1 2
1 2
1 21 2
1
, 1 1
t t tx x x x tx a x a x bx a a b
bx a aa a
− −= = = ∀= + +
⋅ − − =
= + ≠− −
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ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Partikuläre Lösung für unser Beispiel
• Für unser Beispiel ergibt sich:
( )
1 2 1.8 0.8 7.2
1.8 0.8 7.21 1.8 0.8 7.2
7.2 3.6
2
t t tx x x x tx x xx x xx
x
x
− −= = = ∀
= − − ++ + =
⋅ + + =
=
=
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Lösung einer Differenzengleichung 2. Ordnung (2)
2. Bestimmung der Lösung der homogenen Gleichung
• Unter Verwendung der Substitution
ergibt sich:
1 1 2 2
2 1 1 2
0
0
h h ht t th h ht t t
x a x a x
x a x a x− −
+ +
− − =
− − =
( )2 1
1 2
21 2
0
0
t t t
t
kr a kr a kr
kr r a r a
+ +− − =
− − =
t htkr x=
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Lösung einer Differenzengleichung 2. Ordnung (3)
• wir erhalten die „charakteristische Gleichung“
• die mit der quadratischen Lösungsformel gelöst werden kann:
• Die Lösung der homogenen Gleichung lautet im Normalfall:
21 2 0r a r a− − =
21 1
1/ 2 22 4a ar a= ± +
1 1 2 2h t ttx k r k r= +
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Fallunterscheidung
• Die Dynamik der Differenzengleichung hängt entscheidend von dem Ausdruck unter der Wurzel ab
• Fallunterscheidung:
(i)
(ii)
(iii)
21
2 0 :4a a+ =
21
2 0 :4a a+ >
21
2 0 :4a a+ <
1 2r r≠
1 2r r r= =
1 2,r r
und reell
und reell 1
2ar⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
konjungiert komplex
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Stabilität des Systems• Die Differenzengleichung ist stabil, wenn die Lösungen der
homogenen Lösung im Einheitskreis liegen• Allgemein kann man zeigen, dass für das System
folgende Bedingungen gelten müssen
(S1)
(S2)
(S3)
• Wenn nur eine Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist das System nicht stabil.
1 1 2 2t t tx a x a x b− −= + +
1 21 0a a− − >
21 0a+ >
1 21 0a a+ − >
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Beispiel (1)
• Die homogene Gleichung unseres Beispiel lautet:
• Nach der Substitution ergibt sich folgende „charakterische Gleichung“für die Dynamik der Differenzengleichung:
• Quadratische Lösungsformel lautet:
1 21.8 0.8t t tx x x− −= − −
2 1.8 0.8 0r r+ + =
2
1/ 21.8 1.8 0.82 4
r = − ± −
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Beispiel (2)
• Die Lösungen der charakteristischen Gleichung lauten:
• Die Lösung der homogen Gleichung lautet:
1 21 r 0.8r und= − = −
( ) ( )1 21 0.8t thtx k k= − + −
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Lösung einer Differenzengleichung 1. Ordnung (3)
3. Die Gesamtlösung • Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Addition der partikulären und der
homogenen Lösung
• Die Koeffizienten und erhält man aus den Anfangsbedingungen bezüglich und
1 1 2 21 21
ht t
t tt
x x xbx k r k r
a a
= +
= + +− −
1k 2k0x 1x
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Beispiel (1)
• Gesamtlösung:
• Wir geben als Anfangswerte vor:
so ergibt sich:
( ) ( )1 21 0.8 2t ttx k k= − + − +
0 12 0x und x= =
( ) ( )( ) ( )
0 00 1 2 1 2
1 11 1 2 1 2
1 0.8 2 +2 2
1 0.8 2 0.8 +2 0
x k k k k
x k k k k
= − + − + = + =
= − + − + = − − =
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Beispiel (2)
• Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:
• Welches für die Koeffizienten die folgenden Werte ergibt:
• Die Lösung für die Differenzengleichung 2. Ordnung lautet:
1 2
1 2
0,0.8 2,
k kk k+ =
− − = −
1 210 10 k und k= = −
( ) ( )10 1 10 0.8 2t ttx = ⋅ − − ⋅ − +
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Betrachtung der Lösung
Lösung nicht stabil!
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Dynamisches Verhalten einer Differenzengleichung2. Ordnung
• Es reicht schon eine deterministische Differenzengleichung 2. Ordnung aus, um harmonische Schwingungen zu erzeugen
• Betrachtung einer homogenen Differenzengleichung2. Ordnung:
• Die Anfangswerte lauten:• Je nach Koeffizientenwahl erhalten wir folgende Eigenschaften der
Dynamik: explosiv, dämpfend, zyklisch,monoton
1 1 2 2t t tx a x a x− −= +
1 01, 0x x= =
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Dynamisches Verhalten einer Differenzengleichung2. Ordnung
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (1)
• Keynesianisches Konjunkturmodell• Geschlossene Volkswirtschaft mit starren Güter- und Faktorpreisen
(Preis P, Lohn W und Zins r sind konstant)• Arbeitskräfte stehen genügend zur Verfügung, d.h. hier kein
Engpassfaktor• Die Güternachfrage bestimmt die Produktion und somit das
Einkommen Y• Die Güternachfrage setzt sich zusammen aus der Konsumnachfrage
C, der Investitionsnachfrage I und den staatlichen Güterkäufen G• Staatliche Güterkäufe sind von den anderen Größen des Modells
unabhängig
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (2)
• Kapital wird zur Produktion von Konsumgütern verwendet• Investitionsgüter und Staatskonsum werden nur mit Arbeit produziert• Die Konsumnachfrage ist eine lineare Funktion des Einkommens der
Vorperiode:
• Gleichung (1) beschreibt die Multiplikatorhypothese
( )1 , 0 1 1t tC cY cc Konsumneigung
−= ≤ ≤
−
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (3)
• Folgende Bedingung gilt für die Investitionshypothese:Produktionsfunktion der Unternehmen in der Konsumgüter-industrie ist gegeben durch:
1 1min ,
wobei K den Kapitaleinsatz, N den Arbeitseinsatz, k den 1Kapitalkoeffizienten, die Kapitalproduktivität und k
1 die Arbeitsproduktivität bezeichnen.α
C K Nk α
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (4)
• Das vorhandene Kapital bestimmt somit die maximale Konsumgüterproduktion, da Arbeit kein Engpassfaktor ist:
• Somit ergibt sich die Kapitaländerung (Investition) wie folgt:
K kC≥
( )1 1t t t t tI K K k C C+ += − = −
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (5)• Die Investitionsnachfrage ist das k-fache der absoluten Änderung der
erwarteten Konsumnachfrage:
• Bei der Erwartungsbildung wird angenommen, dass die Unternehmen sich an der Vergangenheit orientieren:
• Akzeleratorhypothese:Wenn der Konsum in Periode t um x Einheiten gegenüber der Vorperiode ansteigt, steigen die Investitionen umk mal x Einheiten
( )1 , k 0 et t tI k C C+= − ≥
( )1 , k 0 t t tI k C C −= − ≥
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (6)
• Mit Hilfe der Konsumnachfrage aus Gleichung (1) können die Investitionen als Funktion des Einkommens früherer Perioden dargestellt werden:
• Die Güternachfrage bestimmt das Einkommen
( )( )( ) ( )
1
1 2
1 2 2
t t t
t t t
t t t
I k C C
I k cY cY
I ck Y Y
−
− −
− −
= −
= −
= −
( ) 3t t t tY C I G= + +
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (7)
• Gütermarkt:
• Gleichungen für Konsum und Investitionen eingesetzt:
• Deterministische Differenzengleichung 2. Ordnung:
• Der Staatskonsum ist hierbei exogen
t t t tY C I G= + +
( )( )
1 1
1 1 2
1 2(1 )
t t t t
t t t t
t t t
Y cY k C C G
Y cY kc Y Y GY c k Y kcY G
− −
− − −
− −
= + − +
= + − +
= + − +
1 2(1 ) t t tY c k Y kcY G− −= + − +
G
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Mathematischer Anhang• Homogene Differenzengleichung 2. Ordnung
• Allgemeine Lösung:
1 1 2 2
1 2 , t t tx a x a x b
wobei a a und b die Koeffizienten darstellen− −= + +
( )( ) ( )( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1/ 21 2
2 2
, ,
, ,
cos sin , ,1
sin , cos
ht t
t t
t
tt
x x x
k r k r falls r r reell und r r
k tk r falls r r reell und r rbx d k t k t falls r ia a
wobei d und d d
θ θ α β
β αα β θ θ
= +
⎧ + ≠⎪
+ =⎪⎪= + ⎨ + = ±− − ⎪⎪
= + = =⎪⎩
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Stabilitätskriterien – Samuelson Modell
• Das Samuelson Modell ist gegeben durch folgende Differenzengleichung:
• Die Stabilitätskriterien lauten:1 2(1 ) t t tY c k Y kcY G− −= + − +
( )1 21 0 1 1 1 0a a c k kc c− − > ⇔ − + + = − >(S1)
Das 1. Stabilitätskriterium ist immer erfüllt!
(S2) 211 0 1 0a kc c k+ > ⇔ − > ⇔ <
Das 2. Stabilitätskriterium ist nur erfüllt, wenn gilt: 1c k<
(S3) ( )1 21 0 1 1 0a a c k kc+ − > ⇔ + + + >
Das 3. Stabilitätskriterium ist immer erfüllt!
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Zyklizität/ komplexe Lösungen – Samuelson Modell
• Komplexe Lösungen ergeben sich, wenn gilt:
( )
( )
21
2 1/ 2
2221
2
1/ 22
0
4
14 4
4 1
reelle Lösungena a rkomplexe Lösungen
c ka a kc
reelle Lösungenkc rkomplexe Lösungenk
≥⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ ⇔⎨ ⎬ ⎨ ⎬<⎩ ⎭ ⎩ ⎭
≥ ≥+⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ⇔⎨ ⎬ ⎨ ⎬< <⎩ ⎭ ⎩ ⎭
≥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⇔⎨ ⎬ ⎨ ⎬< +⎩ ⎭ ⎩ ⎭
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Grafische Darstellung
1c k=
1c k=
1c k=
( )24
1kck
=+
k
c
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Erläuterung
• Die Flächen besitzen folgende Eigenschaften:Fläche A: reelle Lösung, Gleichgewicht stabil
monotone Konvergenz, keine ZyklenFläche B: komplexe Lösung, Gleichgewicht stabil
gedämpfte Schwingungen zum Steady StateFläche C: komplexe Lösung, Gleichgewicht instabil
explosive SchwingungenFläche D: reelle Lösung, Gleichgewicht instabil
monotone Divergenz
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Das Multiplikator-Akzelerator-Modell von Samuelson (8)
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Stacking
• Eine Differenzengleichung höherer Ordnung kann immer in ein Differenzengleichungssystem 1. Ordnung überführt werden z.B.:
• Wenn man eine Hilfsvariable definiert, für die folgender Zu-sammenhang gilt:
• Erhält man das folgende Differenzengleichungssystem 1. Ordnung:
1 1 2 2t t tx a x a x− −= +
1t tz x −=
tz
1 1 2 1t t tx a x a z− −= +
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Autoregressive Prozesse (Slutzky)
Slutzky (1937):• Hinzufügen eines Schocks mit Erwartungswert 0 und einer konstanten
Varianz zu einer Differenzengleichung 1. Ordnung generiert eine Zeitreihe mit unregelmäßigen Zyklen (ähnlich dem Muster, das wir bei den Stilisierten Fakten gesehen haben)
• Bedingung: der Koeffizient der gelagten Variable darf nicht zu weit unter 1 liegen
Idee der Stochastischen Gleichgewichtsmodelle:Differenzengleichungssysteme 1. Ordnung mit stochastischemSchock
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Frisch-Slutsky Paradigma
Impuls
Übertragung
Schwankungen
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AR(1)-Prozess
• Gleichung AR(1)-Prozess:
• Für Stationarität muss gelten:
• Der Erwartungswert für y beträgt Null• Die Varianz des Prozesses beträgt • Achtung! Wenn gleich 1 ist, dann liegt ein Unit Root Prozess vor.
( )1 1 t, wobei 0,t t ty y N εα ε ε σ−= +
11 1α− < <
( )211/ 1 α−
1α
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AR(1)-Prozess mit Koeffizient gleich 0.9