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Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple
para carreteras en Cuba
Thesis · January 2018
DOI: 10.13140/RG.2.2.11644.64640
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Estudio teórico-experimental para la adecuación de normas de diseño de pavimento a condiciones específicas de tráfico, materiales y clima View project
Tecnología de los pavimentos flexibles. Desarrollo de materiales y de métodos para su dimensionamiento, evaluación y conservación. View project
Félix Michael Hernández López
Universidad Tecnológica de la Habana, José Antonio Echeverría
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Procedimiento para el diseño por fatiga de
pavimentos de hormigón simple para
carreteras en Cuba
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (UCLV) Facultad de Construcciones
Departamento de Ingeniería Civil
Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría (CUJAE)
Facultad de Ingeniería Civil Departamento de Viales.
La Habana, Cuba
-2016-
Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas
Félix Michael Hernández López
Procedimiento para el diseño por fatiga de
pavimentos de hormigón simple para
carreteras en Cuba
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (UCLV) Facultad de Construcciones
Departamento de Ingeniería Civil
Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría (CUJAE)
Facultad de Ingeniería Civil Departamento de Viales.
Autor: MSc. Ing. Félix Michael Hernández López
Tutores:
Dr. Ing. Eduardo Tejeda Piusseaut
Dr. Ing. Carlos Alexander Recarey Morfa
La Habana, Cuba
-2016-
Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas
Dedico esta tesis a mi querida y bella hija de la
cual pretendo ser su paradigma.
Agradecimientos
Quisiera brindar mis más profundos agradecimientos a un grupo de personas que me han apoyado
durante este largo y difícil camino de la investigación:
A mis padres que siempre me han regalado todo su amor, comprensión y muchísimo tiempo,
mostrándome los verdaderos senderos que rigen una conducta ejemplar.
A mis abuelos que hicieron de mí el hombre que soy y a los que pretendo hacer sentir orgullosos toda
la vida.
A mi hermana, la cual está siguiendo este camino convirtiéndose en el orgullo de todos.
A mi amada novia Maray por siempre estar a mi lado, por brindarme su amor, teniendo paciencia y
comprensión durante esas eternas tardes y noches.
A mi tutores y amigos Dr. Eduardo Tejeda Piusseaut y Dr. Carlos Alexander Recarey Morfa, los cuales
me han alumbrado el angosto pero bello camino de la ciencia, sin ellos a mi lado esta investigación
no pudiera haberse realizado.
A mis vecinos y hermanos Coqui y Ale por sus buenos consejos y apoyo incondicional.
A mis suegros que son tan serviciales y atentos, pudiendo contar con ellos en todo momento.
A mis compañeros del Departamento de Viales en especial a los del Grupo de Pavimentos y
Explanaciones Viales (GiPavExp) de la CUJAE.
A mis compañeros de vuelo Jenny, Serguei, José, Milena, Amauris, David, Pavel, Casanella, Michael
y tantos otros que compartieron las aulas y las fiestas junto a mí en el Doctorado Curricular.
A todas aquellas personas que laboran en el Centro de Métodos Numéricos (Planetario) que me
apoyaron en todas las tareas que se me presentaban.
A mis diplomantes que con su labor contribuyeron a la realización de muchos de los trabajos presentes
en la investigación.
Finalmente, agradecer a La Universidad Tecnológica de La Habana (CUJAE) por haberme formado
como ingeniero y a mi otra casa de estudios que es la Universidad Central de “Marta Abreu” de Las
Villas (UCLV) por formarme como científico.
Síntesis
SÍNTESIS
El trabajo tiene como objetivo principal elaborar un procedimiento que permita diseñar pavimentos de
hormigón simple siguiendo el criterio de fatiga y considerando las condiciones de materiales y
solicitaciones de Cuba. Se identifican los factores fundamentales para la modelación y diseño de estos
pavimentos, haciendo énfasis en los modelos de comportamiento a fatiga, cuya ley empírica determina
el número de repeticiones admisibles en la losa como función de la relación entre la tensión en el borde
debido a las cargas y el módulo de rotura del hormigón. La simulación numérica combinada con
experimentación se emplea como herramienta para evaluar el comportamiento. Definidos los modelos
numéricos, se realiza un análisis de influencia para seleccionar el factor predominante y analizar las
posibles condiciones de diseño en Cuba. Como resultado novedoso, se proponen gráficos y tablas que
facilitan el trabajo de los diseñadores, con un modelo probabilístico que permite determinar el número
de repeticiones admisibles, donde se introduce la confiabilidad como un factor en el diseño. Finalmente,
se propone el procedimiento para el diseño y revisión siguiendo el criterio de fatiga, y se aplica a un
proyecto ya ejecutado, como caso de estudio, para comparar sus resultados con la solución dada en el
proyecto, que fue diseñado con el método de la Portland Cement Association (PCA), demostrándose
que con el método propuesto se pueden obtener menores espesores de losa, lo que implica reducción
en los costos de construcción.
ÍNDICE
ÍNDICE DE CONTENIDO
Introducción ............................................................................................................................................1
1 Capítulo I: Estado del conocimiento sobre diseño y modelación computacional de
pavimentos de hormigón simple ......................................................................................................... 10
1.1 Introducción ......................................................................................................................... 10
1.2 Factores de diseño .............................................................................................................. 10
1.2.1 Características geométricas ........................................................................................................... 10
1.2.2 Tránsito .......................................................................................................................................... 12
1.2.3 Materiales del sistema ................................................................................................................... 17
1.2.4 Factores medioambientales .......................................................................................................... 22
1.3 Período de Análisis. ............................................................................................................ 23
1.4 Principales mecanismos de fallas en pavimento de hormigón simple ........................... 23
1.4.1 Pérdida del cimiento por erosión .................................................................................................. 23
1.4.2 Agrietamiento transversal (fatiga) ................................................................................................. 25
1.5 Métodos de diseño .............................................................................................................. 25
1.6 Probabilidad en el diseño ................................................................................................... 28
1.7 Concepción general de la modelación .............................................................................. 28
1.8 Modelos de respuestas para pavimentos rígidos ............................................................. 30
1.8.1 Soluciones analíticas ...................................................................................................................... 30
1.8.2 Soluciones numéricas .................................................................................................................... 36
1.9 Modelos de comportamiento .............................................................................................. 39
1.9.1 Estudio del fenómeno de fatiga en el hormigón ........................................................................... 39
1.10 Conclusiones parciales ...................................................................................................... 44
2 Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para determinar
la relación de tensiones (RT) ............................................................................................................... 47
2.1 Introducción ......................................................................................................................... 47
2.2 Modelación en 3D del sistema de pavimento para el cálculo de tensiones en el
borde 48
2.2.1 Modelación de la geometría .......................................................................................................... 48
2.2.2 Modelo del material ...................................................................................................................... 49
ÍNDICE
2.2.3 Modelo representativo de la carga ............................................................................................... 49
2.2.4 Relación de interacciones entre elementos .................................................................................. 50
2.2.5 Modelo de condiciones de contorno ............................................................................................. 51
2.2.6 Calibración y validación del sistema de pavimentos ..................................................................... 51
2.2.7 Simplificaciones en el dominio ...................................................................................................... 55
2.2.8 Validación y estudio comparativo del ensayo numérico definitivo con los modelos de
Westergaard y el EverFE .............................................................................................................................. 57
2.3 Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento ........... 58
2.3.1 Modelo geométrico del ensayo de placa ....................................................................................... 58
2.3.2 Modelo representativo de la carga ............................................................................................... 59
2.3.3 Modelación de los materiales componentes ................................................................................ 59
2.3.4 Mallado y calibración matemática del modelo. ............................................................................ 60
2.4 Modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón ................... 62
2.4.1 Modelo geométrico ....................................................................................................................... 63
2.4.2 Modelo de cargas y condiciones de contorno ............................................................................... 63
2.4.3 Modelo de interacciones ............................................................................................................... 64
2.4.4 Modelos constitutivos de los materiales componentes del sistema ............................................. 64
2.4.5 Calibración matemática ................................................................................................................. 66
2.4.6 Calibración física y validación de los resultados ............................................................................ 67
2.5 Conclusiones parciales ...................................................................................................... 69
3 Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las
condiciones de Cuba ............................................................................................................................ 71
3.1 Introducción ......................................................................................................................... 71
3.2 Tensiones de trabajo para el cálculo de fatiga en las condiciones de Cuba ................. 71
3.2.1 Geometría de la losa. ..................................................................................................................... 71
3.2.2 Materiales del sistema ................................................................................................................... 72
3.2.3 Calidad del cimiento ...................................................................................................................... 74
3.2.4 Colocación de una subbase granular no aglomerada .................................................................... 75
3.2.5 Análisis del tráfico. ......................................................................................................................... 77
3.2.6 Tensiones equivalentes ................................................................................................................. 80
3.3 Relación entre el módulo de rotura y resistencia a compresión empleando simulación
estocástica ........................................................................................................................................ 81
3.3.1 Estudios de influencia .................................................................................................................... 82
3.3.2 Relación entre módulos de roturas y resistencia a compresión .................................................... 84
ÍNDICE
3.4 Modelo probabilístico para la determinación del número de repeticiones permisibles
por fatiga en un pavimento de hormigón simple ........................................................................... 88
3.5 Conclusiones parciales del capítulo .................................................................................. 94
4 Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las
condiciones de Cuba ............................................................................................................................ 95
4.1 Introducción ......................................................................................................................... 95
4.2 Análisis del tráfico ............................................................................................................... 96
4.2.1 Determinación del número de vehículos pesados por el carril de diseño en el período de diseño
(NTVP) 96
4.2.2 Determinación del espectro de cargas .......................................................................................... 98
4.3 Materiales del sistema ...................................................................................................... 100
4.3.1 Resistencia del cimiento .............................................................................................................. 100
4.4 Determinación del comportamiento a fatiga de la losa de pavimento .......................... 101
4.5 Aplicación del procedimiento a un caso de estudio: autopista Este-Oeste ................. 103
4.5.1 Análisis del tráfico ........................................................................................................................ 104
4.5.2 Resistencia de los materiales ....................................................................................................... 106
4.5.3 Determinación del número de ejes admisibles por fatiga de la estructura (N) y la fatiga
consumida en cada escalón por la PCA y por el método propuesto ......................................................... 106
4.6 Conclusiones parciales .................................................................................................... 108
Conclusiones ...................................................................................................................................... 109
Recomendaciones .............................................................................................................................. 111
Referencias bibliográficas ................................................................................................................. 112
ÍNDICE
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Factor de equivalencia del esfuerzo en el borde en función del porcentaje de camiones que
circulan en el borde del carril (PCA, 1984). ............................................................................................ 13
Figura 1.2 Posiciones definidas como críticas por la literatura internacional. ........................................ 13
Figura 1.3 Configuraciones de ejes establecidas para las condiciones de Cuba por la (NC-334, 2004).
................................................................................................................................................................ 14
Figura 1.4. Dimensiones tomadas en cuenta en los ejes de cálculo. ..................................................... 14
Figura 1.5 Relación entre presión de contacto y presión de la rueda. ................................................... 16
Figura 1.6 Dimensiones del área de contacto, a) para una huella elíptica, b) para una huella cuadrada.
................................................................................................................................................................ 16
Figura 1.7 Representación del área equivalente para el cálculo de tensiones en pavimentos rígidos. .. 17
Figura 1.8 Esquema representativo de la hidromecánica del bombeo. .................................................. 24
Figura 1.9. Esquema general sobre la concepción de la modelación .................................................... 29
Figura 1.10 Esquema de análisis y posiciones de la carga estudiadas por Westergaard en su modelo
clásico de respuesta. .............................................................................................................................. 31
Figura 1.11 Esquema de análisis representativo del modelo de Hogg .................................................. 34
Figura 1.12 Esquema de análisis representativo del modelo de Burmister. ........................................... 34
Figura 2.1 Representación de las variantes posibles de un sistema de pavimentos. a) sin paseo de
hormigón, b) con paseo de hormigón. .................................................................................................... 48
Figura 2.2 Características geométricas del modelo numérico. ............................................................... 49
Figura 2.3 Dimensiones de los ejes de cálculo (m). ............................................................................... 50
Figura 2.4 Esquema de las dos variantes con sus condiciones de contorno y restricciones. ................ 51
Figura 2.5 Esquema representativo del diseño factorial y su variable de control. .................................. 53
Figura 2.6 Modelo empleado para la calibración numérica. ................................................................... 53
Figura 2.7 Influencia de las combinaciones de tamaño tanto en la vertical como la horizontal. ............. 54
Figura 2.8 a) Comportamiento del error en función del tamaño de la malla en la vertical. b)
Comportamiento del tiempo de cómputo con el incremento en la densidad de malla vertical. ............... 54
Figura 2.9 Influencia de la profundidad del cimiento en el desplazamiento. .......................................... 55
Figura 2.10 Modelos a comparar en el análisis de simplificación geométrica. ....................................... 56
Figura 2.11 a) Comportamiento de las tensiones en ambos modelos para distintas longitudes de losas.
b) Error que se puede cometer en una solución con respecto a la otra. ................................................. 56
Figura 2.12 Influencia del espesor sobre las tensiones empleando distintos métodos. ......................... 57
Figura 2.13 Esquema del modelo axial-simétrico. .................................................................................. 59
ÍNDICE
Figura 2.14 Representación del modelo teórico de una placa rígida en el pavimento. .......................... 59
Figura 2.15 a) Comportamiento de la densidad de malla vs variable respuesta. b) Error relativo
respecto a la solución analítica. .............................................................................................................. 60
Figura 2.16 Calibración física del ensayo de placa. a) Diseño factorial, b) Superficie respuesta y c)
Valores aproximado de los módulos de las capas a partir de la respuesta experimental. ...................... 62
Figura 2.17 Comparación de los resultados del modelo numérico sin calibrar y el calibrado con el
experimento. ........................................................................................................................................... 62
Figura 2.18 Representación geométrica de los ensayos realizados por (Cervo, 2004). ........................ 63
Figura 2.19 Condiciones de contorno del modelo. ................................................................................. 64
Figura 2.20 Relaciones de contacto rodillo-viga de hormigón ................................................................ 64
Figura 2.21 Curvas de comportamiento del hormigón. .......................................................................... 65
Figura 2.22 Tipologías de elementos de la biblioteca de ABAQUS/CAE. .............................................. 66
Figura 2.23 Mallado con distintos tipos de elementos finitos. ................................................................ 66
Figura 2.24 Resultado del módulo de rotura para los tres puntos. ......................................................... 68
Figura 3.1 Resultado de las tensiones en función de la rectangularidad. .............................................. 72
Figura 3.2 Influencia de la calidad de hormigón en las tensiones que se generan en la losa, en el
intervalo de resistencia de 20 a 35 MPa ................................................................................................. 73
Figura 3.3. Influencia del Módulo Resiliente en la tensión para varios espesores de losa. .................... 74
Figura 3.4 Nomograma para estimar el módulo resiliente en la superficie. ............................................ 77
Figura 3.5 Influencia de los parámetros sobre el factor de ajuste por carga; a) Influencia del espesor de
losa, b) influencia del módulo resiliente del cimiento. ............................................................................. 78
Figura 3.6 Factor de ajuste por efecto de la carga para eje simple y tándem. ....................................... 79
Figura 3.7 Resultados del estudio posición del vehículo respecto a los bordes realizados en varias vías
de La Habana. ........................................................................................................................................ 80
Figura 3.8 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en su resistencia a
compresión. ............................................................................................................................................ 82
Figura 3.9 Recomendaciones para el dimensionamiento de las probetas.(NC-245, 2003). ................... 83
Figura 3.10 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en las dimensiones del
espécimen. ............................................................................................................................................. 84
Figura 3.11 Resultados del estudio determinista. .................................................................................. 85
Figura 3.12 Gráficos de Resistencias a compresión generadas vs módulos de roturas obtenidos a partir
de simulación numérica. ......................................................................................................................... 86
Figura 3.13 Resultado de la regresión realizada a los datos agrupados. a) Ecuación 3.3 y b) Ecuación
potencia de mejor ajuste. ........................................................................................................................ 87
ÍNDICE
Figura 3.14 Gráfica comparativa del resultado obtenido en la investigación con expresiones empleadas
en la bibliografía. ..................................................................................................................................... 87
Figura 3.15 Representación de las leyes de fallas agrupadas para el estudio. ...................................... 89
Figura 3.16 Resultados de las funciones teóricas linealizadas con sus respectivas medidas de ajuste.
................................................................................................................................................................ 90
Figura 3.17 Curvas de supervivencia acumulada para cada relación de esfuerzos ............................... 91
Figura 3.18 Superficie respuesta resultante de combinar relación de esfuerzo, número de repeticiones
de carga y probabilidad de fallo. ............................................................................................................. 91
Figura 3.19 Estimación de los coeficientes y resultado de la regresión empleando el modelo
seleccionado. .......................................................................................................................................... 92
Figura 3.20 Comparación del modelo propuesto con otras leyes obtenidas de la revisión bibliográfica 93
Figura 3.21 a). Representación del modelo propuesto para distintos niveles de probabilidad de fallo.
b). Correspondencia del modelo de la PCA 1984 con determinado nivel de probabilidad. ..................... 93
Figura 4.1 Flujograma propuesto para el cálculo de espesores en losas por fatiga. .............................. 95
ÍNDICE
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1.1 Dimensiones de los ejes de cálculo utilizados por diferentes autores e instituciones. ............ 14
Tabla 1.2 Correlaciones entre la resistencia compresión y el módulo de elasticidad del hormigón, según
AAHSTO 1993. ....................................................................................................................................... 21
Tabla 1.3 Resistencia a tracción indirecta o módulo de rotura del hormigón según varios enfoques. .... 22
Tabla 2.1 Dimensiones del área de contacto equivalente. ..................................................................... 50
Tabla 2.2 Propiedades elásticas de los suelos estimadas para los suelos de los experimentos
numéricos. .............................................................................................................................................. 60
Tabla 2.3 Propiedades del hormigón en la etapa elástica. ..................................................................... 65
Tabla 2.4 Propiedades del hormigón en la etapa plástica. ..................................................................... 65
Tabla 2.5 Resultados de la simulación virtual con diferentes tipos de elementos y densidades de malla.
................................................................................................................................................................ 67
Tabla 2.6 Resultado de las simulaciones realizadas a partir de la resistencia compresión .................... 68
Tabla 2.7 Validación de los resultados contrastados con los dos experimentos .................................... 69
Tabla 3.1 Estudio de la rectangularidad. ................................................................................................ 72
Tabla 3.2 Resultados de la influencia del parámetro resistencia a compresión (f´c). ............................. 73
Tabla 3.3 Resultados de la influencia del parámetro módulo elasticidad del conjunto. .......................... 74
Tabla 3.4 Intervalos de confianza del 95.0% para las estimaciones de los coeficientes. ....................... 76
Tabla 3.5 Intervalos de carga legal máxima por tipo de ejes de algunos países. ................................... 79
Tabla 3.6 Resumen del diseño multifactorial .......................................................................................... 81
Tabla 3.7 Tabla de tensiones equivales en las condiciones de Cuba. ................................................... 81
Tabla 3.8 Influencia de la resistencia a compresión del hormigón en la capacidad de carga de la viga.82
Tabla 3.9 Influencia del tamaño del espécimen en la capacidad de carga de la viga y su deflexión. ..... 83
Tabla 3.10 Resultados de las simulaciones para 20 MPa. ..................................................................... 86
Tabla 3.11Tabla de datos de los empleados para el estudio. ................................................................. 90
Tabla 4.1 Composición típica del tránsito para diferentes tipos de vías. ................................................ 97
Tabla 4.2 Porcentajes de carga por eje de los vehículos y pesos promedios por silueta (NC-334, 2004).
................................................................................................................................................................ 99
Tabla 4.3 Niveles de confiabilidad y porcentaje aceptable de losas fisuradas. .................................... 103
Tabla 4.4 Evaluación económica de los resultados de ambos procedimientos considerando solo el
costo de los materiales de la losa. ........................................................................................................ 108
Introducción
INTRODUCCIÓN
1
Introducción
La historia de las modernas técnicas de construcción de caminos y puentes tiene sus inicios alrededor
de 1850, con Tressaguet en Francia y John Metcalfe en el Reino Unido, quienes desarrollaron un método
de construcción basado en la colocación de piedras largas, limitadas por piedras de tamaño
progresivamente más pequeñas. Estos tipos de caminos, junto con otros realizados con piedras, grava
y arena, fueron diseñados para los bajos volúmenes y velocidades de los primeros vehículos, hasta que
el crecimiento de la industria automotriz, fue demandando mejores carreteras y caminos urbanos. El reto,
entonces, era buscar un material que resistiera pesadas cargas de manera eficiente y duradera, la
solución se tradujo en lo que ahora se llama construcción de caminos pavimentados, empleado por
primera vez por John Loundon MacAdam, a principios del siglo XIX. El estudio de los pavimentos ha
evolucionado favorablemente, existiendo en la actualidad todo el nivel de conocimiento y tecnología para
abarcar los aspectos relacionados con su diseño, construcción y rehabilitación.
El pavimento es una estructura integral formada por un conjunto de capas superpuestas, relativamente
horizontales, que se diseñan y construyen con materiales apropiados y debidamente compactados. Estas
estructuras estratificadas se apoyan sobre la subrasante de la vía y han de resistir satisfactoriamente los
esfuerzos que las cargas repetidas del tráfico durante el período para el cual fue proyectada. De forma
general los pavimentos se clasifican según (Huang, 2004) en cuatro tipos : flexibles, semirrígidos, rígidos
y articulados.
Los pavimentos rígidos, objeto de la presente investigación, están constituidos por losas de hormigón
hidráulico relativamente delgadas, apoyadas directamente sobre la subrasante o sobre una capa de
material seleccionado conocida como subbase. Debido a la alta rigidez que ofrece el hormigón permite
que la distribución de las presiones en el cimiento se produzca en una zona más amplia, provocando que
gran parte de las tensiones que se originan en la superficie sean disipadas a través de su espesor y que
a la subrasante solo llegue una pequeña fracción. Su losa requiere de elevada resistencia a la flexo-
tracción, así como una adecuada resistencia a la fatiga como resultado de la acción repetida de las
cargas inducidas por el tráfico. Su capacidad estructural y funcional radica en la resistencia de las losas,
por lo que las características de las capas inferiores tienen poca influencia en el diseño del espesor.
Los pavimentos rígidos según la American Concrete Pavement Association (ACPA) se pueden clasificar
en tres grupos teniendo en cuenta el espaciamiento entre juntas y la disposición del refuerzo en las losas:
Pavimento de hormigón reforzado:
Es característico de este tipo de pavimento tener largas losas y refuerzo ligero (refuerzo por temperatura).
Estas losas tienen tamaños con valores que oscilan entre 7.5 m y 9.0 m de longitud. En las juntas
INTRODUCCIÓN
2
transversales a la dirección del tráfico se colocan con fines constructivos barras lisas llamadas
“pasadores”, su función principal radica en trasmitir las cargas entre losas contiguas y no es considerado
como refuerzo en la estructura. El contenido de acero de estas losas oscila entre el 0.1~0.25 % del área
de la sección transversal en la dirección longitudinal. El refuerzo principal se ubica de manera que no
influya en el comportamiento a flexión de la misma, es decir, sobre el eje central de la losa. Se condiciona
su existencia para prevenir, controlar y mantener cerradas las grietas por cambios de temperatura y
humedad.
Pavimento de hormigón con refuerzo continuo:
Con este pavimento se suprimen las juntas transversales si se aumenta la cuantía de la armadura
longitudinal. Como elementos significativos resaltan: su alto contenido de acero en la armadura continua
longitudinal (0.4~0.8% del volumen en la dirección longitudinal), la presencia de poco acero transversal
colocado solo por cuestiones constructivas y la ausencia de juntas transversales, excepto juntas de
construcción. El refuerzo longitudinal tiene la función de controlar correctamente los espaciamientos entre
las fisuras que se producen en intervalos de 0.6~2.0 m, manteniéndolas cerradas. El elevado costo actual
del acero resta competitividad a esta técnica, convirtiéndola en la menos empleada internacionalmente.
Pavimento de hormigón simple:
Esta tipología, objeto de la presente investigación, consiste básicamente en una losa de hormigón
hidráulico sin refuerzo, con longitudes en el rango entre los 3,6 m y 7,0 m. En la sección transversal de
dos losas contiguas se encuentran los mecanismos de transferencia de carga, que resultan ser
elementos fundamentales del pavimento de hormigón simple, tienen la función de transmitir entre losas
los esfuerzos producidos por el tráfico, para evitar el fenómeno conocido como “bombeo”, que
desencadena escalonamientos y fracturas en los bordes de la losa. Para prevenir esto, existen dos tipos
de mecanismos de transferencia, el de “trabazón de agregados” y el “pasador”, ambos transfieren las
cargas de una losa a la otra y se conforman durante el proceso de construcción, pero se ejecutan de
manera distinta. En la junta longitudinal se colocan barras corrugadas adheridas a ambos lados
conocidas como “barras de amarre”, empleadas para mantener conectadas dos losas adyacentes,
brindándole integralidad al sistema de pavimento y un aporte considerable a su rigidez.
Los pavimentos de hormigón simple es la estructura más utilizada internacionalmente y presenta un
conjunto de ventajas que la convierte en una solución económicamente superior al resto de las tipologías
de pavimentos rígidos, además es capaz de competir en determinadas condiciones con otras estructuras
de pavimentos muy difundidas en el mundo como es el caso de la flexible (pavimento asfáltico). Entre
las principales ventajas que ofrece esta solución se pueden mencionar:
INTRODUCCIÓN
3
Presentan elevados costos de construcción, sin embargo, los costos de mantenimientos son ínfimos,
constituyendo una estructura que amortiza sus costos en poco tiempo.
La deflexión longitudinal y la textura en los pavimentos, constituyen un elemento importante en el
consumo de combustible de los vehículos. Los pavimentos rígidos son estructuras que ofrecen
grandes prestaciones en este sentido, debido a su rigidez y terminación superficial. Este factor incide
en la reducción del combustible y las emisiones de gases CO2.
Las superficies de hormigón tienen mayor capacidad de reflejar la luz, elemento que constituye a una
reducción del efecto “Isla de Calor” mejorando el confort en la vía, además de contribuir al ahorro de
energía por conceptos de iluminación.
En Cuba las carreteras y calles construidas con hormigón hidráulico representan el 12 % del total de las
vías pavimentadas, según una actualización en el año 2014 realizada por el Centro Nacional de Vialidad,
sin embargo, de ese por ciento la mayor parte lo constituyen vías de interés nacional y urbanas.
Durante la década de los años 50 del pasado siglo esta solución fue ampliamente utilizada, ya en el
período posterior a 1959, la necesidad de otras construcciones motivó que casi no se construyeran vías
con pavimentos rígidos, por un período de aproximadamente 20 años. Posteriormente, con el surgimiento
de la crisis energética y a su vez el incremento de la producción nacional de cemento, así como
situaciones surgidas en la política de conservación de carreteras y calles hicieron que los pavimentos de
hormigón hidráulico fuese una variante a analizar. Por eso, a finales de la década de los 80 del pasado
siglo, se diseñaron y construyeron varios pavimentos de hormigón hidráulico. Algunas de las principales
obras se reseñan a continuación.
Prolongación de la Avenida Carlos Manuel de Céspedes.
Ampliación de la Avenida de Rancho Boyeros.
Ampliación de la Vía Blanca.
Autopista Este – Oeste (Habana-Pinar del Río).
En los años 50 hasta los 90 se conoce a través de la experiencia, que la carencia de un documento
normativo para el diseño, condujo a la adopción del método de la Porland Cement Association (PCA) en
sus dos ediciones de 1934 y 1983. Este método tiene una base empírico-mecanicista y se basa en
suponer un espesor a partir de condiciones específicas de tráfico y materiales, para luego comprobar si
cumple simultáneamente con dos criterios, fatiga y erosión. El primero, se encarga de limitar las tensiones
para que la acción repetida de esta no cause el fallo por fatiga antes que concluya el período de diseño,
el segundo, controla las deflexiones en la zona de las juntas para que no se acelere el fenómeno de
pérdida del material en el cimiento por erosión. Los resultados aplicando esas normas fueron buenos,
INTRODUCCIÓN
4
pues hoy en día aún permanecen en servicio mucha de esas vías superando los 30 años de explotación,
sin embargo, se puede cuestionar la racionalidad de los diseños realizados con anterioridad, pues se
conoce que no se ajustan a las condiciones de tráfico, materiales y clima de Cuba.
Este cuestionamiento, unido a otros problemas originados por el empleo inconsistente de normas para
el diseño de pavimentos que no tienen en cuenta la acción repetida de las cargas (Ejemplo: empleo de
normas para pisos industriales) demuestran la actualidad del tema y la necesidad de su investigación
con el propósito de adaptar un procedimiento a las condiciones de Cuba.
Partiendo de los antecedentes que existen en Cuba con el empleo del método de la PCA, se decide
adaptar como punto de partida en la investigación, la manera en que este procedimiento resuelve el
diseño de espesores de hormigón, analizando el comportamiento a fatiga de la losa, con un enfoque
mecanicista, actualizando algunos criterios del método y adaptando las variables involucradas a las
condiciones de Cuba.
Problema de la investigación
¿Qué modificaciones deben hacerse al método de la Portland Cement Association (PCA) para que el
diseño por fatiga se ajuste a las condiciones de Cuba?
Objeto de la investigación
Modelación y diseño de pavimentos de hormigón simple.
Campo de la investigación
Evaluación de la fatiga consumida en pavimentos de hormigón simple para carreteras en Cuba.
Alcance
La investigación comprende el estudio de las variables que intervienen en la elaboración de un
procedimiento para evaluar el comportamiento a fatiga en pavimentos de hormigón simple ante la carga
de tráfico.
Hipótesis
La evaluación apropiada de los parámetros que intervienen en los diseños relativo a las cargas,
características del hormigón y calidad del cimiento, permiten obtener diseños racionales para los
pavimentos de hormigón simple, como resultado de la determinación de su respuesta estructural
mediante el empleo de técnicas numéricas.
INTRODUCCIÓN
5
Objetivo de la investigación
Elaborar un procedimiento para el diseño de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de
materiales y tráfico de Cuba, teniendo en cuenta el comportamiento a fatiga de la losa de hormigón, a
partir del empleo combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y estadística.
Objetivos específicos de la investigación
1. Emplear sistémicamente la “experimentación, modelación numérica y estadística” para establecer y
validar las técnicas de investigación, usadas para el estudio de pavimentos de hormigón simple en
las condiciones de Cuba.
2. Analizar la influencia de los factores de diseño en la respuesta estructural de las losas de hormigón,
mediante el empleo de un modelo numérico previamente calibrado y validado, para simular las
condiciones de trabajo de los pavimentos en Cuba.
3. Establecer un procedimiento para determinar el consumo de fatiga por la losa de hormigón, a través
de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles teniendo en cuenta la probabilidad de fallo.
Para dar cumplimiento al objetivo general y a los objetivos específicos propuestos, se desarrollaron las
siguientes tareas científicas:
a) Búsqueda y revisión bibliográfica de aspectos relacionados con el diseño y modelación de
pavimentos de hormigón simple con el fin de analizar el estado del conocimiento de la temática en
los siguientes aspectos.
• Factores de diseño.
• Mecanismos de fallos de la estructura.
• Métodos de diseño.
• Modelos de respuesta y comportamiento.
• El fenómeno de la fatiga.
b) Selección, a partir del análisis crítico de la bibliografía, de un procedimiento a seguir como base para
la futura elaboración de la propuesta en la investigación.
c) Definir los modelos numéricos que intervienen en el estudio del comportamiento a fatiga de la
estructura.
d) Establecer y validar las técnicas de investigación: experimentación y modelación numérica
empleadas sistémicamente para el estudio de pavimentos de hormigón simple en las condiciones
de Cuba.
INTRODUCCIÓN
6
e) Caracterización y estudio de influencia de los parámetros de entrada del modelo en las condiciones
de Cuba.
f) Determinar una ley de falla que describa el comportamiento a fatiga del hormigón a partir de las
propuestas por los diversos autores incluyendo el enfoque de probabilidad en el diseño.
g) Confección de un procedimiento para el diseño de espesores en pavimentos de hormigón simple
siguiendo el criterio de fatiga.
Métodos de investigación
El método histórico lógico, fundamentalmente para la realización del estudio sobre la evolución de
los métodos de Modelación y Diseño de pavimentos de Hormigón.
El método de análisis-síntesis e inductivo deductivo, para la valoración de la experiencia
internacional en la modelación y diseño de pavimentos de hormigón.
La técnica de análisis documental, para el diagnóstico de la situación actual acerca de los
pavimentos de hormigón diseñados en Cuba.
El método de modelación en la simulación virtual de las losas y el terreno en correspondencia con
estudios experimentales a nivel internacional.
El método de experimentación a partir de la simulación virtual de pavimentos de hormigón, para
cuantificar las variables de respuesta, esencialmente las tensiones de flexo-tracción en la losa y el
desplazamiento, además del método de medición en la cuantificación de estas variables.
Métodos estadísticos, en el establecimiento de los nuevos modelos de pronóstico y de gráficos, que
sirvan como herramientas en el proceso de diseño de estas estructuras.
El método dialéctico materialista en toda la investigación.
Al concluir el presente trabajo se obtienen un conjunto de resultados que fortalecen el conocimiento
acerca del comportamiento de pavimentos de hormigón sujeto a las cargas de tráfico vehicular, los cuales
pueden ser considerados como novedad científica y aportes científicos relevantes. Entre ellos se
destacan:
Novedad científica
Empleo combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y estadística, para estudiar el
comportamiento de pavimentos rígidos en las condiciones de Cuba, como herramienta para la
elaboración de un procedimiento que evalúe el porcentaje de fatiga consumida por la losa de pavimento
de hormigón simple.
INTRODUCCIÓN
7
Aportes científicos
Empleo sistémico de la experimentación, modelación numérica y la estadística en la rama vial, para
el estudio del comportamiento de los pavimentos rígidos, con la finalidad de establecer un
procedimiento para diseñar pavimentos de hormigón simple sujetos a cargas de tráfico vehicular en
las condiciones cubanas.
Elaboración de un procedimiento de diseño en pavimentos de hormigón que se ajusta a las
condiciones de Cuba.
El trabajo se estructura de la siguiente forma:
Síntesis
Introducción
Capítulo I: Estado del conocimiento sobre la modelación y diseño de pavimentos de hormigón simple.
En este capítulo se realiza un análisis del estado del conocimiento en la temática, lo que posibilita
justificar el desarrollo de la investigación. En el mismo se exponen los antecedentes y estado actual
del tema referido al diseño y modelación en pavimentos de hormigón simple, haciéndose un análisis
crítico de la bibliografía y destacándose los fundamentos teóricos principales.
Capítulo II: Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para determinar
la relación de tensiones (RT).
Se tratan todos los aspectos relacionados con la modelación y simulación numérica de los factores
rotura del hormigón, para ello se emplea el software multipropósito ABAQUS/CAE.
Se estructura separando el análisis en tres modelos fundamentales.
Modelo 3D para el cálculo de las tensiones en el borde de la losa.
Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento (caso particular en
que se emplea una subbase granular).
Modelo numérico del ensayo de módulo de rotura del hormigón.
Capítulo III: Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las
condiciones de Cuba.
En este capítulo se realiza un estudio de las variables en condiciones específicas de tráfico y
materiales, permitiendo que se puedan evaluar todos los posibles escenarios que aparezcan para un
diseño en Cuba. Primero, se realizan estudios de influencia de algunos de los principales factores, a
partir de aquí, se elaboran tablas que posteriormente serán empleadas en el procedimiento.
Finalmente, partiendo de realizar un estudio de múltiples leyes de fatiga provenientes de la
bibliografía, se propone un modelo probabilístico, para determinar el número de repeticiones que
conducen al fallo de la estructura por fatiga.
INTRODUCCIÓN
8
Capítulo IV: Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las
condiciones de Cuba.
Se presentan los resultados de la investigación, a partir de una metodología que posteriormente es
aplicada a un caso de estudio y comparada con la PCA (metodología que tiene antecedentes de
aplicación en Cuba en los años 90)
Conclusiones.
Recomendaciones.
Bibliografía.
Anexos.
Aprobación del trabajo
Publicaciones relacionadas con la investigación.
1. F. M. H. López and E. T. Piusseaut. (2015). Calibración matemática de un modelo computacional
tridimensional en un pavimento Rígido. Revista de la Asociación Española de carreteras, (No.199),
pp.79-86.
2. R. M. Martínez, E. T. Piusseaut and F. M. H. López. (2016). Estimación del módulo de elasticidad
equivalente a la superficie del conjunto de subbase y subrasante como cimiento para proyectos de
reciclado. Revista Técnica de la Asociasión Española de Carreteras (Aceptado para publicación).
Conferencias y eventos científicos
1. F. M. H. López. (2012). Modelación computacional tridimensional de un pavimento rígido con carga
aplicada en la cercanía del borde. Trabajo presentado en: 1er Congreso de Ingenieria Civil, La
Habana, Cuba.
2. F. M. H. López. (2014). Modelación computacional aplicada al diseño y revisión estructural de
pavimentos de hormigón simple. Trabajo presentado en: X Conferencia Científico Técnica de la
Construcción, La Habana, Cuba.
3. F. M. H. López, E. T. Piusseaut and M. S. Casas. (2014). Análisis tensional mediante modelación
computacional para el análisis del agrietamiento descendente en pavimentos de hormigón simple.
Trabajo presentado en: X Simposio de ingenería estructural, geotécnia y materiales de la
construcción, Villa Clara, Cuba.
4. E. T. Piusseaut and F. M. H. López. (2014). Recomendaciones a la Norma Cubana de diseño de
pavimentos flexibles a partir del análisis de la Guía de Diseño AASHTO 2002. Trabajo presentado en:
Simposio Internacional de Estructuras, Geotécnia y Materiales de la Construcción, Villa Clara, Cuba.
INTRODUCCIÓN
9
Monografías y generalizaciones
1. M. L. Dominguez, F. M. H. López and L. E. S. Rodríguez. (2012). Manual de deterioros en pavimentos
rígidos (Manual de Identificación). La Habana, Cuba. ISBN: 978-9-592-61415-4
2. F. M. H. López, E. T. Piusseaut, A. B. Herrera and L. E. S. Rodríguez. (2012). Estado del conocimiento
en la modelación de pavimentos rígidos (Modelos de Respuesta). La Habana, Cuba. ISBN: 978-9-
592-61415-4
Capítulo I
Revisión Bibliográfica Capítulo I
10
1 Capítulo I: Estado del conocimiento sobre diseño y modelación computacional
de pavimentos de hormigón simple
1.1 Introducción
La respuesta estructural de un pavimento de hormigón durante su vida útil depende de manera general
de las cargas, las condiciones de contorno, el espesor de sus capas, las propiedades de los materiales
del sistema y las condiciones medioambientales. El estudio de todas estas invariantes resulta de especial
importancia para el diseño y construcción de estas estructuras, por eso el principal objetivo de este
capítulo está en brindarle al lector cómo se encuentra el estado del conocimiento referido a esta temática,
resaltando de una manera crítica las principales tendencias en el campo del diseño y la modelación de
pavimentos de hormigón simple.
1.2 Factores de diseño
El diseño estructural de un pavimento es básicamente diferente al de otras estructuras, como puentes o
edificios, ya que el mismo descansa sobre el cimiento en toda su dimensión, atravesando variados
emplazamientos que representan diversidad en densidad, resistencia y humedad de los suelos; además
de encontrarse sometido a diversas configuraciones de cargas y condiciones medioambientales; por lo
cual estas variables deben ser caracterizadas de tal manera, que sean representativas de las condiciones
del tramo de vía para lograr un diseño racional.
Los factores de diseño pueden ser divididos en varias categorías según (Huang, 2004): características
geométricas, tránsito, materiales del sistema y medioambiente. Estos factores se describen a
continuación.
1.2.1 Características geométricas
Las losas en pavimento de hormigón simple son elementos de dimensiones finitas limitadas por juntas
longitudinales y transversales respecto a la dirección del tráfico. Las juntas longitudinales en un extremo,
brindan continuidad entre las losas contiguas de los carriles y en el otro con el paseo de hormigón, para
ello se colocan barras de acero corrugado, conocidas como “barras de amarre”. Por otro lado, las juntas
transversales cumplen el propósito de transmitir los esfuerzos de cortante producidos por el vehículo de
una losa a otra, funcionando como mecanismo de transferencia de carga, el cual se evalúa a partir del
término de eficiencia de transferencia de carga (ETC).
(%) 100
u
L
ETC (1.1)
Donde δL desplazamiento de la losa cargada yδU desplazamiento de la losa sin carga.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
11
El ETC caracteriza la operatividad de la junta a partir de cuantificar de una manera aproximada cuanto
esfuerzo se trasmite de una losa a la otra. (Fonseca, 2006; Londoño, 2005; Robert & Packard, 1985;
Rodríguez, 1998; Rodríguez, 1992) hacen referencia a dos mecanismos para transferir la carga, por
“trabazón de agregados” y “pasadores”.
La trabazón de agregados, es un mecanismo que emplea la fricción entre partículas de áridos para
transferir la carga. El coeficiente de fricción es afectado directamente por el uso de áridos ásperos y
angulosos en la mezcla de hormigón. Un incremento del coeficiente incrementa la eficiencia de
transferencia de carga. Sin embargo, la trabazón de agregados es menos efectiva, pues su desempeño
y función dependen del ancho de la junta transversal y el tráfico circulante.
Los pasadores, juegan un importante rol en las juntas transversales, particularmente cuando el pavimento
es de hormigón simple. Las barras son lisas y su diámetro es aproximadamente 1/8 del espesor de la
losa, con una longitud que varía de 35 a 46 cm (Darestani, Thambiratnam, Nata-atmadja, & Baweja,
2006). Este tipo de mecanismo transmite esfuerzos tanto de cortante como de momento flector, pero
para su trabajo debe permitir el libre movimiento horizontal de las losas, por lo cual una mitad del pasador
debe aislarse, a fin de evitar la adherencia con el hormigón que lo rodea.
En la sección típica de un pavimento, la berma o paseo como se conoce en Cuba, es una prolongación
del pavimento, cuya función es permitir a los vehículos el estacionamiento temporal a un costado de la
vía. En el caso particular de los pavimentos de hormigón simple, favorece la respuesta estructural de las
losas y su comportamiento, reduciendo los esfuerzos provocados por las cargas, por tanto, prolonga su
vida útil.
En la práctica profesional se puede concebir tres variantes de paseo en pavimentos de hormigón simple:
Paseo de suelo seleccionado.
Paseo de material bituminoso.
Paseo de hormigón hidráulico.
Cuando se emplea el paseo de hormigón hidráulico a diferencia del resto de las variantes, se unen a las
losas mediante barras de amarre, lo que garantizan un vínculo sólido y la óptima transferencia de
esfuerzos entre losas.
Varias normativas consideran las ventajas del empleo del paseo de hormigón hidráulico, en especial la
PCA, que propone variantes de diseño con o sin ellos, demostrando que cuando se utilizan, los esfuerzos
se reducen apreciablemente y, por consiguiente, los espesores de losas. Existen otros países donde su
Revisión Bibliográfica Capítulo I
12
empleo no es muy frecuente, como es el caso de Cuba, donde no se conciben paseos de hormigón
hidráulico amarrado a las losas.
1.2.2 Tránsito
La caracterización de las solicitaciones producidas por el tránsito sobre la infraestructura de una carretera
se torna bastante compleja, debido no sólo a la variabilidad de los distintos vehículos existentes, sino
también a las interacciones vehículo-pavimento que producen fenómenos con solicitaciones adicionales
a las propias cargas estáticas del tránsito, las que se encuentran definidas claramente en trabajos de
(Arriaga & Garnica, 1998 ). Para dicha caracterización se pueden estudiar independientemente los
siguientes aspectos:
Distribución del tráfico y posiciones de las cargas en el pavimento.
Grupo de ejes y características.
Forma geométrica de cada solicitación sobre el pavimento, área de contacto y reparto de presiones.
Velocidad de los vehículos y frecuencias.
1.2.2.1 Distribución del tráfico y posiciones de las cargas en el pavimento
La carga de los camiones en el borde exterior del pavimento constituye la condición más desfavorable
en términos de tensiones cuando se compara con cualquier otra ubicación de dicha carga, a medida que
el camión se va alejando del borde de losa hacia el interior su efecto sobre este disminuye
apreciablemente, sin embargo, en la práctica solo una porción de todos los camiones circula con sus
llantas exteriores por el borde o sobre sus inmediaciones. La mayoría de los camiones que circulan por
el carril ubican sus ruedas exteriores aproximadamente sobre una franja de 60 cm a partir del borde,
según estudios realizados por (Emery, 1975; Taragin, 1958).
(Robert & Packard, 1985), plantean que la condición más desfavorable se produce cuando el 6% de los
vehículos pesados circula por esa franja de 60 cm, resultados que fueron incluidos en modificaciones
realizadas a la norma (PCA, 1984).
La (PCA, 1984) en su análisis de fatiga desarrolla un estudio donde se determinan las tensiones
producidas en el borde de la losa, por una carga que incrementa su posición desde el borde hacia el
interior, lo que representa las diferentes ubicaciones de los camiones al pasar por una sección de la vía.
Como resultado son obtenidos factores de corrección que reducen los esfuerzos de borde (Figura 1.1).
Este factor cuando se multiplica por los esfuerzos de borde produce igual consumo de fatiga para
cualquier ubicación dada del vehículo.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
13
0.700
0.750
0.800
0.850
0.900
0.950
0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00%
Rel
ació
n d
e te
nsi
on
es e
n e
l bo
rde
par
a la
mis
ma
fati
ga
% de camiones en las inmediaciones del borde
Estudio de ubicación
Autor, carriles en mismo sentido
% de camiones en el borde
Taragin,4 carriles 0.03
Taragin, 2 carriles 0.46
Emery, 1 carril 6
Figura 1.1 Factor de equivalencia del esfuerzo en el borde en función del porcentaje de camiones que circulan en el borde del carril (PCA, 1984).
La (AASHTO, 2004) demostró que la cantidad de grietas longitudinales en el pavimento aumenta a
medida que la distancia entre el borde y la rueda exterior del vehículo disminuye, pero también se ha
demostrado que la frecuencia de las cargas que circulan cercanas al borde es menor debido a la baja
tendencia de los conductores a no acercarse a sus inmediaciones. (Lennie & Bunker, 2005) en su
trabajo demuestran que el valor más crítico no siempre es 6%, pues depende en gran medida de las
características de los carriles y el ancho promedio de los vehículos.
La (PCA, 1984) y (AASHTO, 2004) reconocen dos posiciones críticas en pavimentos de hormigón bajo
la influencia de un grupo de ejes simples y tándem, la primera se encuentra en el centro-borde de la losa,
que provoca los mayores esfuerzos de flexo-tracción y la segunda, en la esquina, cercano a la junta
transversal, donde se originan deflexiones considerables dependiendo del modo de transferencia de
carga entre las losas.
Figura 1.2 Posiciones definidas como críticas por la literatura internacional.
1.2.2.2 Grupos de ejes y características
Los fabricantes emplean diversos tipos de configuraciones para los ejes de sus vehículos pesados,
siendo cada vehículo un caso particular en cuanto a las combinaciones de ejes. Los ejes se separan en
grupos similares de ejes: ejes simples con rueda simple (ESRS), ejes simples con ruedas duales (ESRD),
ejes tándem con ruedas duales (ETRD), y posteriormentese incluyen los ejes trídem (ETR), en trabajos
de (Packard & Tayabji, 1985) y (AASHTO, 2004). Para tener en cuenta esta variedad en la
b) Carga en la esquina a) Carga en el borde
Revisión Bibliográfica Capítulo I
14
determinación del tráfico de diseño existen dos enfoques según trabajos realizados por (Tayabji &
Colley, 1983), (Packard & Tayabji, 1983 ; Robert & Packard, 1985; Smith, Mueller, Dater, & Peshkin,
1990), (Yu, Darter, Smith, Jiang, & Khazanov, 1997), (AASHTO, 2004), (Gillespie et al., 1992). En el
primero, todos los ejes son convertidos a ejes equivalentes mediante un coeficiente conocido como factor
de equivalencia de carga “LEF” Load Equivalent Factor, método utilizado por la AASHTO en todas sus
versiones, por su facilidad para el manejo del tráfico. El segundo enfoque trata el tráfico en escalones de
cargas separados por grupos de ejes, utilizado por la PCA.
Figura 1.3 Configuraciones de ejes establecidas para las condiciones de Cuba por la (NC-334, 2004).
Las distancias entre grupo de ejes han sido investigadas y estandarizadas por varios autores y normas.
(Packard & Tayabji, 1983 ) emplearon distancias en un intervalo de 1.22 a 1.27 m entre ejes trídem y
una de 1.27 m entre ejes tándem. (Gillespie et al., 1992)y (AASHTO, 2004) recomiendan una distancia
de 1.30 m entre ejes, independientemente del grupo que pertenezcan, para obtener la respuesta crítica
del pavimento, sin embargo, (Kim, Won, & McCullough, 2002 ) y (Hiller & Roesler, 2002) consideran
1.32 m para el mismo propósito. La Norma Cubana Pavimentos Flexibles. Método de cálculo (NC-334,
2004) no toma en cuenta esas variaciones.
La separación entre ruedas dentro de un mismo eje y su ancho, se han considerado para los cálculos de
forma diferente. En la tabla 1.1 se muestra un resumen de las dimensiones utilizadas por diferentes
autores y normas, donde a representa la separación entre ruedas y b el ancho del eje (figura 1.4).
Figura 1.4. Dimensiones tomadas en cuenta en los ejes de cálculo.
Tabla 1.1 Dimensiones de los ejes de cálculo utilizados por diferentes autores e instituciones.
Nombre de autores o Instituciones. a(cm) b(cm)
Packard and Tayabji (1985) 30.5 1.83
Kim et. al (2002) 33.0 1.88
Hiller and Roesler (2002) 34.0 1.85
AASHTO (2004) 30.5 2.13
Austroroads (2004) 33.0 1.80
ICAFIR (2006) 37.5 1.80
(ESRS) (ESRD) (ETRS) (ETRD) (ETR)
Revisión Bibliográfica Capítulo I
15
1.2.2.3 Forma geométrica de la carga sobre el pavimento, área de contacto y reparto de
presiones
Como se conoce, el peso de los vehículos se transmite al pavimento según el número de ruedas,
distribuyéndose en un área que depende fundamentalmente de la presión de contacto entre el neumático
y el pavimento. En los métodos mecanicistas se representan las solicitaciones mediante el área y la
presión de contacto.
En investigaciones realizadas por (Lippmann, 1985), (Beer, Fisher, & Jooste, 1997) y (Douglas,
Woodward, & Woodside, 2000) se llega a la conclusión de que la presión de contacto no es uniforme,
particularmente cuando la presión de inflado en la rueda es baja. (Marshek, H. H. Chen, Connell, &
Hudson, 1986)y (Gillespie et al., 1992) ratificaron la no uniformidad de las presiones, pero además,
investigaron su influencia en el pavimento, demostrando que un cambio en esta distribución no genera
efectos sustanciales en la respuesta estructural, por tanto, para simplificar el análisis, se asume una
distribución uniforme de presiones.
El área de contacto depende de la presión de contacto. Como se indica en la Figura 1.5, la presión de
contacto es mayor que la presión de inflado para presiones bajas del neumático, debido a que la pared
de este está en compresión y la suma de las fuerzas verticales de la pared y la presión deben ser iguales
a la fuerza generada por la presión de contacto; mientras que, para presiones altas, la presión de contacto
es más pequeña que la presión de inflado, debido a que la pared del neumático está en tracción. Sin
embargo, en el diseño de pavimentos la presión de contacto generalmente se asume igual a la presión
de inflado, debido a que los ejes de cargas pesadas tienen presiones altas y efectos más destructivos en
el pavimento. Utilizar presión de inflado como presión de contacto, significa estar por el lado de la
seguridad (Huang, 2004).
En los tramos de pruebas de la AASHO se utilizaron presiones entre 75 y 80 psi (0.5 - 0.55 MPa), lo que
llevó a estudios adicionales, donde se usaron presiones más elevadas. Actualmente, en países donde
se realiza estudio sobre esta materia, los promedios de presiones de inflado empleados en carreteras
varían entre 95 y 105 psi (0.65 - 0.70 MPa) e incluso, algunos vehículos usan hasta 120 y 130 psi (0.8 –
0.9 MPa) (Monge & Vergas, 2013). En Cuba, publicaciones desarrolladas por (López, Piusseaut, &
Casas, 2014; Martínez, Piusseaut, & López, 2016) han empleado como valor de presión de contacto
0.7 MPa, que corresponde con el valor utilizado en la norma de diseño (NC-334, 2004). "Pavimentos
Flexibles. Método de cálculo".
La idealización sobre la forma aproximada que deja la huella de los neumáticos en el pavimento ha sido
representada en distintas formas; circular (Westergaard, 1926) o elíptica (Pickett & Ray, 1951).
Revisión Bibliográfica Capítulo I
16
a) b)
Posteriormente, trabajos desarrollados por (Handson & Seeds, 1988.; Shackel, 1993) demostraron que
la forma elíptica presentaba mejor aproximación que la circular. Simultáneamente, los trabajos de
(Gillespie et al., 1992) concluyeron que una variación en la representación de la forma de la huella no
produce cambios significativos en las respuestas del pavimento.
Figura 1.5 Relación entre presión de contacto y presión de la rueda.
El área de contacto para un neumático se puede determinar como:
ic
i
PA
q (1.2)
Donde Ac representa el área de contacto equivalente, Pi el peso de la rueda y qi la presión de inflado del
neumático.
El método de la (PCA, 1966) en su primera versión, consideró la huella de contacto como muestra la
Figura 1.6 (a). Posteriormente, la (PCA, 1984) sustentada en el Método de los Elementos Finitos (MEF),
empleó la forma rectangular, donde se asume una longitud de 0.8712L y un ancho de 0.6L, a partir de
una equivalencia con la anterior, ver Figura 1.6 (b)
2 2(0.3 ) (0.4 )(0.6 ) 0.5227 cA L L L L (1.3)
0.5227 cA
L (1.4)
L: largo equivalente de la huella elíptica.
Figura 1.6 Dimensiones del área de contacto, a) para una huella elíptica, b) para una huella cuadrada.
La carga aplicada sobre un par de ruedas duales es necesario convertirla a un área equivalente, que
puede ser circular o cuadrada. Existe una diferencia significativa entre las formas de representar esta
área entre pavimentos flexibles y rígidos. Por ejemplo, si la carga total es la misma pero el área
Revisión Bibliográfica Capítulo I
17
equivalente es igual a la representada por el par de ruedas duales, como frecuentemente se emplea en
los pavimentos flexibles, los esfuerzos y las deflexiones serán mucho mayores. (Huang, 2004) describe
un método para determinar en pavimentos rígidos, el área equivalente correspondiente a ruedas duales
(Figura 1.7, ecuación 1.5).
Figura 1.7 Representación del área equivalente para el cálculo de tensiones en pavimentos rígidos.
22 0.5227 ( 0.6 )t dA L S L L (1.5)
At: Área total equivalente.
Sd: Separación que existe entre ruedas duales.
1.2.2.4 Velocidad de los vehículos y tiempo de solicitación en un punto
La velocidad y tiempo de aplicación de las cargas vehiculares son factores que pueden afectar la
respuesta dinámica del pavimento. La velocidad máxima permitida de los vehículos varía en cada país,
en función de los estándares establecidos para vehículos comerciales. Según (Darestani et al., 2006) la
velocidad crítica de los vehículos comerciales varía entre el 85% y el 100 % de la velocidad de
desplazamiento transversal de la onda a través del sistema de pavimento. La pulsación varía en función
de la velocidad ya que, a mayor velocidad del vehículo, el tiempo de aplicación de la carga disminuye.
En la publicación técnica de (Anguas, López, & Martínez, 2002) se hace referencia a los científicos
Barksdale (1971) yMcLean (1974) quienes plantean que, cuando se realicen análisis dinámico en el
pavimento como la velocidad del vehículo no es constante, se recomienda (con fines de estandarización),
que la carga sea representada como una onda sinusoidal con tiempo de duración de 0.1 segundos de
aplicación equivalente a 10 Hz.
1.2.3 Materiales del sistema
En pavimentos de hormigón simple se observan dos materiales fundamentales: el hormigón hidráulico
masivo formando parte de la losa y el suelo de cimiento compuesto por una o dos capas. La función que
desempeña cada uno de los elementos estructurales deben estar en completa armonía para cumplir con
Revisión Bibliográfica Capítulo I
18
el objetivo que tiene en la estructura, que es la de resistir los efectos del tránsito, durabilidad, factores
climáticos, deformaciones, agrietamientos, etc., donde la losa es el elemento principal.
En los métodos de diseño empírico-mecanicistas es necesario la caracterización de los materiales
componentes del sistema, debido a que la respuesta del pavimento depende en gran medida de la
calidad que puedan presentar. Esta respuesta es usada junto con los criterios de falla, para predecir
cuándo se desarrollará el deterioro o su probabilidad de recurrencia.
A continuación, se describen algunas de las principales propiedades de los materiales que deben ser
especificadas de manera general en el diseño de pavimentos
1. Cuando el pavimento es considerado como un medio lineal y elástico deben ser especificados el
módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson de las distintas capas de los pavimentos y la
subbase. El coeficiente de Poisson según trabajos de (AS3600, 1994; Austroads, 2004; León, 1997;
Yoder & Witczak, 1976) afirman que tiene un efecto relativamente bajo en la respuesta del
pavimento, a partir de ello su valor se asume de 0.25-0.35.
2. Si el módulo de elasticidad del material varia con el tiempo de aplicación de la carga entonces se
denomina como módulo resiliente, que representa el módulo elástico del material bajo la acción
repetida de las cargas. Este puede ser seleccionado a partir de ensayos dinámicos de carga o
correlaciones establecidas con otros parámetros del suelo, en la mayoría de los casos con el Índice
de Soporte California California Bearing Ratio (CBR).
3. Cuando el material es considerado como no lineal, la ecuación constitutiva tiene que establecer
relación entre el módulo resiliente y los estados de esfuerzos que se originan.
1.2.3.1 Subrasante y subbases
La subrasante es el terreno de cimentación sobre la cual se apoya la estructura de pavimento. La calidad
del suelo es de suma importancia en la respuesta del pavimento y para la determinación del espesor
necesario de la losa de hormigón.
La subbase puede estar compuesta por materiales granulares estabilizados o no, que se utilizan cuando
la subrasante tiene elevado contenido de finos y baja resistencia a los esfuerzos. Esta capa provee un
cimiento uniforme, estable y permanente a la losa de hormigón durante su construcción y vida útil;
asimismo, incrementa el aporte en carga al aumentar la rigidez de la estructura.
En los modelos de respuesta empleados para caracterizar el aporte del suelo de cimentación en el
comportamiento de pavimentos de hormigón simple, pueden utilizarse dos parámetros diferentes:
Revisión Bibliográfica Capítulo I
19
El módulo de reacción de la subrasante (k)
El módulo resiliente (Mr).
a) Módulo de reacción de la subrasante (k)
Es una característica que se considera constante, lo que implica elasticidad del suelo; representa la
rigidez del material en que se apoya la losa. Su valor numérico depende de la textura, compacidad,
humedad y otros factores que afectan la resistencia del suelo. La determinación del valor de k se hace
mediante pruebas de placa directa (NC-11, 1998). Tenido en cuenta que estas pruebas son complejas y
costosas, el valor de k se estima generalmente por correlación con pruebas más sencillas, como el CBR
o el ensayo del estabilómetro de Haveem.
b) Módulo resiliente (Mr)
El módulo resiliente según (Sandogal, 2011) es un estimativo del módulo de elasticidad del suelo, y se
basa en las determinaciones de esfuerzos y deformaciones bajo cargas rápidas, como las que reciben
los materiales a través de las ruedas de los vehículos.
La resiliencia en los suelos se entiende como la capacidad que tienen estos para recuperarse después
de una solicitación de carga, cuando se trabajan bajo deformaciones en una zona elástica supuesta. Se
determina a partir de la relación entre el esfuerzo desviador (σd) y la deformación unitaria recuperada
(εr).
dr
r
M
(1.6)
Los equipos utilizados en los ensayos de módulo de resiliencia, son capaces de aplicar tanto carga
dinámica repetida, para simular el estado de esfuerzos producidos por varios vehículos en movimiento,
como presión de confinamiento de magnitud y duración controlada, este es el caso del equipo triaxial
cíclico el cual puede ser usado tanto para materiales cohesivos como granulares.
Estos equipos para el control de carga e instrumentación, resultan muy costosos, y no se encuentran
disponibles en muchos laboratorios, por eso diferentes autores como (Heukelom & Klomp, 1964) han
creado modelos empíricos que relacionan el módulo resiliente en función de un valor más asequible en
los laboratorios viales, como lo es CBR.
(%) rM CBR (1.7)
Revisión Bibliográfica Capítulo I
20
Donde:
Mr = Módulo elástico o resiliente (MPa)
= Coeficiente de correlación
10 para suelos granulares gruesos
11 para suelos fino granulares
13 para suelos finos plásticos
CBR = Índice Cimiento de California (%).
El uso de esta correlación está ampliamente difundida en la práctica mundial, para la modelación de
pavimentos y en particular forma parte del procedimiento para la estimación del módulo resiliente en el
método para el diseño estructural de pavimentos (AASHTO, 1993).
a) Relación entre el k y E
En las ediciones de la Guía de Diseño para Pavimentos (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993), el valor de
que k es calculado a partir de la relación con el módulo de elasticidad del suelo, partiendo de la teoría de
(Boussinesq, 1885 ) para una placa rígida, tomando como criterio la deflexión máxima.
2
2
(1 )
Ek
a
(1.8)
Donde:
E: Módulo de elasticidad del suelo.
ν: Coeficiente del Poisson del suelo
a: Radio de la placa de carga
(Khazanovich, Tayabji, & Darter, 2001) usando técnicas de retroanálisis, aplicando Deflectómetros de
Impacto (FWD) sobre subrasantes, obtuvieron luego de varios ajustes matemáticos la siguiente relación:
30.296 ( )
MPak E MPa
m
(1.9)
Con un coeficiente de correlación R2=0.872 y error estándar de 9.37 MPa/m3. Esta relación está incluida
en el software de la Mechanistic-Empirical Pavement Design Guide (MEPDG, 2007) apoyado en la
(AASHTO, 2004).
Años más tarde (Setiadji & Fwa, 2009) realizan nuevas experimentaciones en tramos de prueba usando
el FWD, y comparaciones de los modelos empleados por la (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993) y el de
(Khazanovich et al., 2001), concluyendo que este último se ajusta mejor a los resultados que el primero,
los autores no conforme con el coeficiente de ajuste, mejoraron el modelo, llegando así a un coeficiente
R2 = 0.941 y error estándar de 8.31 MPa/m3, con una nueva ecuación:
Revisión Bibliográfica Capítulo I
21
𝑘 (𝑀𝑃𝑎
𝑚3 ) = 0.259 ∙ 𝐸(𝑀𝑃𝑎) − 6.512 (1.10)
1.2.3.2 Losa de hormigón
La losa de hormigón es la capa superior del pavimento rígido, que resiste las acciones directas de las
cargas de tránsito y es el elemento fundamental de la estructura, por tanto, el desempeño y los deterioros
fundamentales que se producen en este tipo de pavimento están relacionados con las propiedades del
hormigón hidráulico. Por eso, es preciso una buena caracterización del material para lograr un buen
comportamiento de los pavimentos ante la acción de las cargas y el clima.
Las propiedades que generalmente se utilizan para caracterizar al hormigón son el módulo de elasticidad,
la resistencia a compresión, flexión y a fatiga.
a) Módulo de elasticidad
Característica que refleja la estabilidad del hormigón bajo carga estática. La selección de los materiales
componentes y las propiedades de la mezcla de hormigón pueden afectar el valor del módulo de
elasticidad. La norma internacional más empleada para este propósito es la (ASTM-C469, 2002), en el
caso de Cuba la (NC-ISO-6784, 2007). En caso de no contarse con resultados experimentales
usualmente se correlaciona con la resistencia a compresión (f´c). La (ACI363, 1992) propone varias
ecuaciones de correlación para el diseño de estructuras; las empleadas en pavimentos rígidos son las
establecidas por la (AASHTO, 1993) . Ver tabla 1.2.
Tabla 1.2 Correlaciones entre la resistencia compresión y el módulo de elasticidad del hormigón, según AAHSTO 1993.
Origen del árido Módulo de Elasticidad del
Hormigón (Ec)
Árido grueso ígneo 5500√f´c − 17500√f´c
Árido grueso metamórfico 4700√f´c − 15000√f´c
Árido grueso sedimentario 3600√f´c − 11500√f´c
No hay información 3900√f´c − 12500√f´c
En Cuba, está establecido en la norma: Requisitos generales para el diseño y construcción de estructuras
de hormigón (NC-207, 2003) que para hormigones normales el módulo de elasticidad varía entre
4700 4800 ´f c .
b) Resistencia a la compresión
Es un parámetro que manifiesta la tenacidad del hormigón; la resistencia a compresión es fácil de
determinar y puede ser utilizada para estimar por correlación otras características del material, como el
módulo de elasticidad y la resistencia a la flexión (módulo de rotura).
Revisión Bibliográfica Capítulo I
22
c) Resistencia a la flexión (MR)
La resistencia del hormigón a la flexión o módulo de rotura es considerada en procedimientos de diseño,
como la característica que controla el agrietamiento del pavimento bajo las cargas repetitivas de
vehículos pesados, se obtiene a partir de un ensayo realizado en una viga prismática cargada a un tercio
o un medio de la luz (NC-245, 2003).
Este ensayo tiene como inconvenientes principales, que es extremadamente sensible a la preparación,
manipulación y procedimiento de curado de las probetas. Las vigas son muy pesadas y pueden dañarse
durante su manipulación y transporte al laboratorio. Deben curarse según la norma y ensayadas mientras
se encuentren húmedas, si se permite que sequen, dará como resultado módulos de rotura más bajos.
El cumplimiento de estos requerimientos se torna algo complejo, por lo que frecuentemente se obtienen
valores generalmente bajos y no confiables, por esta razón es usual emplear correlaciones con otras
propiedades más fácil de obtener en el laboratorio. En el diseño de pavimentos se utiliza comúnmente el
criterio de que el módulo de rotura se encuentra entre un 10% a 15 % de la resistencia a compresión del
hormigón. (Santana & Caneiro, 2010) muestran algunas de las correlaciones empleadas por los distintos
códigos.
Tabla 1.3 Resistencia a tracción indirecta o módulo de rotura del hormigón según varios enfoques.
ACI 318:05 (EE. UU) Hormigón de peso normal.
EHE:2008 (España) para f´c ≤ 50 MPa
RILEM CPC 7 (Europa) NC 207:2003 (Cuba)
0.7 'R cM f 3 20.3 'R cM f
3 20.37 'R cM f 0.62 'R cM f
1.2.4 Factores medioambientales
1.2.4.1 Efecto de la temperatura
La variación de la temperatura genera tensiones en el pavimento y son causantes de ciertos deterioros.
Los elementos de hormigón pueden expandirse o contraerse debido a una variación uniforme de
temperatura o pueden alabearse a causa de gradientes térmicos en su espesor, lo cual, da como
resultado que aparezcan esfuerzos en el elemento.
Las tensiones de combado o alabeo de las losas, son originadas por el gradiente de temperatura a través
del espesor de losa, que varían con las condiciones del clima y la hora del día. Durante el día, cuando la
temperatura en la parte superior de la losa es más alta que en la inferior, la superficie superior tiende a
expandirse con respecto al eje neutro, mientras que la inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso
de la losa restringe tanto la expansión como la contracción; entonces, se originan esfuerzos de
Revisión Bibliográfica Capítulo I
23
compresión en la parte superior y de tracción en la inferior. En la noche, cuando la temperatura en la
parte superior de la losa es más baja que en la inferior, se originan esfuerzos de tensión en la parte
superior y de compresión en la inferior.
1.2.4.2 Efecto de la lluvia
Las lluvias por su acción sobre los suelos de subrasante y capas no aglomerada de subbase, provocan
incremento en la humedad, por tanto, se reduce la resistencia y pueden producir cambios volumétricos
de los suelos, de ahí que sea necesario buscar soluciones de drenaje para que las aguas se evacuen lo
más rápido posible evitando daños en la estructura.
1.3 Período de Análisis.
Los períodos de análisis de los pavimentos no se pueden predecir con exactitud, dado que es complejo
estimar el tránsito con suficiente aproximación para un tiempo demasiado largo. Si se asocia el término
período de diseño al término vida del pavimento, se podría considerar que la vida de un pavimento de
hormigón finaliza cuando ha perdido su capacidad funcional o estructural.
Para el diseño de un pavimento rígido comúnmente se toma un período de 30 años, aunque en
determinados casos puede resultar económicamente justificado el empleo de períodos menores o
mayores (Fonseca, 2006). La selección del período de análisis afecta el espesor de diseño, ya que
determina cuántos años, por tanto, a cuántos camiones debe servir el pavimento; su selección para un
proyecto específico está basado en criterios ingenieriles y en un análisis económico.
1.4 Principales mecanismos de fallas en pavimento de hormigón simple
Durante el período de explotación de un pavimento de hormigón simple, se originan deterioros producidos
por diferentes mecanismos de falla, que dependen de diferentes factores tales como, la temperatura, la
humedad y las solicitaciones del tránsito. En este epígrafe se describirán los mecanismos de fallas más
frecuentes, relacionados principalmente con las tensiones y deflexiones que se generan en la losa.
1.4.1 Pérdida del cimiento por erosión
Autores como (Nguyen, 1979) prueban que el agua dentro de las oquedades formadas en la interfase
suelo-estructura se comportan de la siguiente manera.
Cuando en una junta la profundidad de la cavidad bajo la sección de la losa es pequeña, el agua se
comporta como un fluido viscoso, lo que ocurre por el alabeo de la losa debido a los gradientes
térmicos. A pequeñas oquedades bajo la losa, las presiones son muy grandes, por tanto, la
velocidad del agua que impulsan las partículas en suspensión provocadas por el paso del vehículo
Revisión Bibliográfica Capítulo I
24
resulta proporcional al peso del eje y al cuadrado de la profundidad, e inversamente proporcional a
la viscosidad dinámica del agua, al ancho de la cavidad y al cuadrado de la longitud de la cavidad.
Cuando la profundidad de la cavidad formada en la losa de salida excede en 1 mm, el agua se
comporta como un fluido ideal. Este caso corresponde a una erosión significativa, las presiones
generadas por el paso del vehículo son bajas. La velocidad de expulsión de agua obedece ahora a
una función directa de los desplazamientos de la losa en sus extremos, así como la longitud de la
cavidad, y varía de manera inversa a la diferencia entre la profundidad de la cavidad y el
desplazamiento vertical de la losa. Ver Figura 1.8
Figura 1.8 Esquema representativo de la hidromecánica del bombeo.
Entre los dos casos extremos el flujo se considera transitorio y la velocidad de expulsión del agua puede
alcanzar valores extremos.
Si se conoce la geometría de un pavimento, entonces este fenómeno puede cuantificarse basándose en
la eficiencia de transferencia de carga en sus juntas (Ecuación 1.4); los desplazamientos verticales
sufridos por la carga del tránsito y las características geométrica de las cavidades.
El movimiento del agua a través de las juntas, unido a suelos finos utilizados como cimiento de las losas,
produce el fenómeno conocido como “bombeo”, que es un problema difícil de caracterizar de manera
analítica, requiriendo un volumen experimental extremadamente elevado; como lo demuestran los
resultados derivados de los tramos de pruebas de la ASHTO Road Test, empleados para el análisis de
erosión, en normativas como la (AASHTO, 1993; PCA, 1984) y recientemente en la (AASHTO, 2004).
El efecto de este mecanismo de falla se puede reducir mediante la aplicación de medidas de diseño o
constructivas, tales como:
Revisión Bibliográfica Capítulo I
25
Aumento de la eficiencia de transferencia de carga entre losas a partir de la correcta colocación de
los pasadores como mecanismos de transferencia.
Mantener el material sellante impermeable en las zonas de la orilla y en las juntas, a fin de evitar el
ingreso y movimiento de materiales finos con el agua, desde los paseos o zonas adyacentes a la
losa.
Colocar bases granulares cuando el suelo de subrasante contenga alto contenido de finos, para
evitar el movimiento o migración de finos hacia el lecho inferior de la losa (surgencia).
1.4.2 Agrietamiento transversal (fatiga)
La mayoría de los deterioros en las losas por agrietamiento transversal, están asociados al fenómeno de
fatiga en el hormigón, causados fundamentalmente por los esfuerzos repetitivos aplicados en el borde y
mitad de la losa. La fatiga, es el criterio de falla predominante en el diseño del espesor, evaluado
mediante el número de repeticiones de cargas que admite la losa antes del fallo. Este tema se trata más
adelante cuando se describen los modelos de comportamiento a fatiga.
1.5 Métodos de diseño
El diseño de un pavimento de hormigón no solo se limita al dimensionamiento de la estructura, sino que
también tiene en cuenta la selección de los materiales componentes y las estrategias de conservación
que deben ser establecidas, por ello se han desarrollado diversos métodos para dar respuesta a estos
problemas. Los métodos pueden ser clasificados en tres enfoques fundamentales: mecanicistas,
empíricos y empíricos-mecanicistas.
Los métodos de diseño con enfoque mecanicista emplean principios físico-mecánicos de la ingeniería.
Este enfoque comienza con la determinación de las tensiones que experimenta la estructura en puntos
críticos, como resultado de la carga de tráfico, la temperatura, el efecto de la humedad y su interacción
con los materiales del cimiento. Estas tensiones son estimadas usando modelos de respuesta en losas,
tales como: las ecuaciones de Westergaard y el modelo de las capas elásticas. En los análisis se emplean
teorías de comportamiento del material y la mecánica clásica para predecir la respuesta del pavimento
(ej. tensiones, deformaciones y/o deflexiones) ante efectos externos (ej. carga de tráfico y efectos
ambientales). La primera ecuación con este enfoque empleada para el diseño fue propuesta por
Westergaard en 1927.
c pd
S (1.11)
Revisión Bibliográfica Capítulo I
26
Donde:
d: espesor. c: coeficiente de tensiones. p: peso del eje. S: tensión de tracción permisible.
La limitación fundamental de este enfoque radica en que no tiene en cuenta las características de los
materiales y los efectos ambientales. Para considerar estos elementos se necesita de resultados
experimentales, cuestión que posteriormente introducen los métodos de enfoque empírico.
Los métodos con enfoque empírico están basados en experiencias previas o mediciones del
comportamiento de la estructura realizadas en el campo, sin tener en cuenta cualesquiera de las
consideraciones relacionadas con la teoría de las estructuras. Existen muchos métodos de diseño de
espesores de pavimentos que tienen este enfoque, de ellos el más usado y antiguo es el método de la
American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO, 1986). Este método se
basa en los resultados obtenidos en pistas a escala real construidas en 1958, conocidos como AASHO
Rodad Test. El objetivo de estas pruebas era predecir el número de aplicaciones de cargas (ejes) como
una función del espesor de la losa, el tipo y peso del eje (simple o tándem) y su nivel de servicio final en
las condiciones climáticas específicas del lugar.
Posteriormente, en 1993 la guía (AASHTO, 1993) incluiría nuevos elementos, tales como el empleo de
factores para distintas condiciones de drenaje, la incorporación del término “Módulo de reacción efectivo”
(k-value design) cuando la losa es apoyaba sobre una subbase y el análisis de transferencia de carga en
los modelos con carga en la esquina.
El enfoque empírico tiene ciertas limitaciones, relacionadas directamente con las condiciones en que
fueron hechos los tramos de prueba, los cuales se construyeron con un solo tipo de suelo, se realizaron
en condiciones climáticas específicas, y sometidos a magnitudes y configuraciones de tráfico constantes.
A pesar de estas limitaciones, los procedimientos de diseño empíricos son a menudo muy útiles para
proporcionar indicaciones de las tendencias en el comportamiento relativo de la estructura y en la
evaluación de los efectos de las diferentes características de diseño sobre el pavimento (NHI, 1998).
Cuando se combina el cálculo analítico o mecanicista, con la experimentación, se conocen estos métodos
como empíricos-mecanicistas. Los diseños empírico mecanicistas (M-E) combinan elementos de
modelación mecánica con los resultados del estudio del comportamiento de la estructura y materiales en
determinadas condiciones. La componente empírica de este enfoque usa la repuesta obtenida a través
de modelos que permiten predecir cómo se comportará el sistema a lo largo de su vida útil (Timm,
Birgisson, & Newcomb, 1998 )
Revisión Bibliográfica Capítulo I
27
En 1966 aparecen en pavimentos rígidos los primeros indicios empírico-mecanicistas, desarrollados por
la Portland Cement Association, publicando su primera guía de diseño con estos criterios: “Thickness
Design Procedure for Concrete Highway And Street Pavements” (PCA, 1966). Este método utilizaba las
cartas de influencia de (Pickett & Ray, 1951) para el cálculo de las tensiones en el borde de la losa y
luego se aplicaba un modelo de fatiga para hallar el número de repeticiones permisibles (Ver Anexo 1.1).
En su primera versión solo tenían en cuenta el daño por fatiga en el hormigón, pero con el paso del
tiempo se evidenció que no era el único fenómeno que crea problemas de rotura en los pavimentos
rígidos; comenzaron a estudiar entonces otro mecanismo de falla conocido como pérdida de cimiento
por erosión, que trae consigo los deterioros de escalonamiento y fractura de las esquinas.
(PCA, 1984) incorpora un modelo de deterioro por erosión que, en función del mecanismo de
transferencia en la losa y la presencia o no de paseos de hormigón, permite estimar el número de ejes
que circulan antes que falle por la pérdida del material del cimiento. Además, al igual que la versión de
(AASHTO, 1993), incluye como modificar el módulo de reacción del cimento cuando se usa una subbase
aglomerada o no.
Lo más reciente en el campo del diseño, es la Guía de Diseño Empírico Mecanicista (AASHTO, 2004)
creada por la organización National Cooperative Highway Research Program (NCHRP). Este método
satisface los requerimientos para un diseño de pavimento completamente racional, señalados por (Yoder
& Witczak, 1975). Primero, considera una teoría para predecir el fallo o los parámetros de deterioro,
luego, evalúa las propiedades de los materiales teniendo en cuenta el criterio inicial y por último,
determina una relación entre las magnitudes de los parámetros y el nivel de desempeño deseado
(Khanum, 2005)
En América, la mayoría de los países han adoptado de una forma u otra cualquiera de estos métodos,
como ejemplo se puede citar: el Método del Instituto Mexicano del Cemento (CEMEX, 2010), el Manual
brasilero de pavimentos rígidos (DINT-IPR-714, 2005) y el Método del Instituto del Cemento Portland
Argentino (IPCA) que son procedimientos derivados del método de la PCA en su edición de 1983.
En Europa existe la tendencia de no aplicar directamente esos métodos, sin embargo, existen otros,
fundamentados en los mismos principios con salidas prácticas en forma de catálogos, tales como las
establecidas en Alemania, Bélgica y Francia o procedimientos como es el caso del (Austroroad, 2005;
ICAFIR, 2006).
De manera general, todos los métodos de diseño, independientemente de cómo se presenten, intentan
predecir el comportamiento real del pavimento, utilizando determinados modelos que pueden ser más o
Revisión Bibliográfica Capítulo I
28
menos precisos, por tanto, la selección de uno u otro método se convierte en una variable más en el
diseño.
1.6 Probabilidad en el diseño
La incertidumbre y la variabilidad significativa acompañan a los parámetros asociados con el diseño y
construcción de pavimentos, lo que se manifiesta claramente cuando se analizan factores de diseño,
tales como la carga, distribución y frecuencia del tráfico, los materiales y los factores climáticos, por
consiguiente, se crea un método práctico para considerar las incertidumbres y variaciones en el diseño,
tratando de proporcionar un nivel aceptable de riesgo para que el pavimento cumpla con sus expectativas
de desempeño.
Desde los años 70 los conceptos de probabilidad de fallo y análisis de riesgos se han aplicado tanto en
el enfoque empírico como en el empírico-mecanicista, para el diseño estructural de pavimentos flexibles
y rígidos. (AASHTO, 1986; AASHTO, 1993; Lytton & Zollinger, 1993), han desarrollado herramientas
informáticas para facilitar el proceso de análisis. La guía (AASHTO, 1993) utiliza parámetros de fiabilidad
para considerar el efecto combinado tráfico y la predicción del comportamiento del pavimento en el
tiempo. A diferencia de las versiones anteriores (AASHTO 1986 y 1993), la nueva Guía Empírico-
Mecanicista AASHTO 2002, establece la confiabilidad a partir del comportamiento y el costo de la
estructura de pavimento, sobre la base de los deterioros y la regularidad superficial, definiendo una
fiabilidad de diseño para cada tipo de deterioro y del índice internacional de rugosidad (IRI), (AASHTO,
2004)
1.7 Concepción general de la modelación
La modelación constituye una herramienta fundamental para resolver problemas en la práctica ingenieril,
es por eso, que el empleo y desarrollo de modelos para sistemas en general es una de las tareas
científicas más importantes a desarrollar. Los modelos y los métodos de modelación se convierten por
tanto en importantes herramientas de trabajo (Recarey, 1999).
Se define la modelación como el método de manejo práctico o teórico de un sistema por medio del cual
se estudiará este, pero no como tal, sino por medio de un sistema auxiliar natural o artificial, el que, desde
el punto de vista de los intereses planteados, concuerda con el sistema real que se estudie. Es decir, es
el método que opera de forma práctica o teórica como un “objeto”, no de forma directa, sino utilizando
cierto sistema auxiliar (natural o artificial) el cual se encuentra en una determinada correspondencia
objetiva con el “objeto” modelado y está en condiciones de sustituir al “objeto” que se estudia en
determinadas etapas de la investigación, permitiendo obtener información susceptible de
comprobaciones experimentales (Bonilla, 2008; Ibañez, 2001; Recarey, 1999).
Revisión Bibliográfica Capítulo I
29
Dar solución a un problema real a través de la modelación es un proceso que transita por varias etapas
con diferentes particularidades, las cuales se muestran en el siguiente gráfico elaborado por (Recarey &
Bonilla, 2007).
Figura 1.9. Esquema general sobre la concepción de la modelación
Con el desarrollo acelerado de la informática, a finales del siglo XX, se crearon importantes herramientas
computacionales que se basan en métodos numéricos, mayoritariamente con análisis de problemas
tenso-deformacionales de sólidos, los que pueden clasificarse en dos grupos principales: los de propósito
general o multifísico, capaces de modelar diversos fenómenos de la ingeniera (ABAQUS, ANSYS,
COSMOS, NASTRAN, CATIA) empleados mayormente en el campo de la investigación y los de propósito
específico, empleados en ramas específicas del conocimiento (Ejemplo: PLAXIS, SIGMAW, programas
basado en el MEF, para análisis de tensión-deformación en suelo y roca ).
En Cuba se han desarrollado importantes investigaciones en las que se aplica la modelación para
estudiar diversos fenómenos que tienen lugar en el comportamiento tenso-deformacional de las
estructuras, sobre todo en el campo de las cimentaciones y las estructuras compuestas. De estos
trabajos se destacan:
(Ibañez, 2001) obtiene una metodología para el diseño geotécnico de cimentaciones profundas,
validada por la modelación matemática de fenómenos típicos en estos elementos.
(Cobelo, 2004) vinculado a la aplicación del MEF y su implementación computacional en el caso de
cimientos laminares cónicos para estructuras tipo torre, donde se evalúa el trabajo conjunto de la
lámina y el suelo de cimiento.
(Broche, 2005) sobre la base del MEF, realiza un análisis estructural de cimentaciones superficiales
aisladas, aplicando un novedoso modelo de daño para estudiar el comportamiento del hormigón en
régimen no lineal.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
30
(Bonilla, 2008) tomando como base el empleo del MEF, perfecciona las ecuaciones de cálculo de
conectores tipo perno para mejorar el pronóstico de su capacidad resistente última en secciones
compuestas de viga de acero y losa maciza de hormigón, así como de vigas y losas en presencia de
lámina con la nervadura orientada perpendicular al eje de la viga sometidas a flexión bajo carga
estática.
En la modelación de los pavimentos viales, ya sean flexibles o rígidos, para caracterizar el problema son
necesarios dos tipos de modelos: los de respuesta y los de comportamiento.
1.8 Modelos de respuestas para pavimentos rígidos
Un modelo de respuesta es un modelo teórico del que se pueden extraer los valores de tensiones,
deformaciones y desplazamientos de una estructura. Los modelos de respuesta según (Kraemer & Val,
1996)se pueden clasificar en tres tipos: probabilistas (basados en la teoría de fiabilidad de sistemas), de
regresión (a partir del análisis de medidas realizadas en ensayos a escala real) y mecanicistas (basados
en la modelación mecánica de la estructura, las cargas y en el establecimiento subsiguiente de los
correspondientes algoritmos de cálculo).
En los pavimentos rígidos se han utilizado diferentes modelos de respuesta, los clásicos, como los
modelos de Westergaard, basados en soluciones analíticas, los modelos multicapas elásticas y más
recientemente con el avance de las computadoras han surgido los modelos numéricos tales como: el
Método de las diferencias finitas (MED) y el Método de los Elementos Finitos (MEF).
1.8.1 Soluciones analíticas
Las primeras soluciones analíticas en pavimentos rígidos fueron propuestas por Harold Malcolm
Westergaard en los años 20.(Westergaard, 1926) obtuvo soluciones analíticas para las tensiones y las
deflexiones debido a las variaciones de temperaturas y a las cargas del tráfico. El modelo de Westergaard
difiere de otros modelos de respuesta por las hipótesis adoptadas, ya que básicamente no coinciden con
las otras en cuanto a la naturaleza de los materiales (elástica o visco-elástica), la tipología de las cargas,
las condiciones de contacto entre capas (adherencia total, parcial o nula) y las condiciones de contorno.
Las hipótesis planteadas en el trabajo original de Westergaard (Westergaard, 1926) fueron las
siguientes:
1. La losa de hormigón se considera como un sólido homogéneo, elástico e isótropo en equilibrio,
partiendo de la teoría clásica de láminas delgadas de Love-Kirchhoff.
2. La reacción de la subrasante es solo vertical y proporcional a la deflexión de la losa, considerando el
medio como infinitos soportes elásticos (medio de Winkler). La resistencia de la subrasante se mide
Revisión Bibliográfica Capítulo I
31
con el módulo k, al que Westergaard definió como módulo de reacción de la subrasante, que es una
medida de la rigidez del medio, dado por la presión aplicada sobre un área por unidad de deflexión
(pci), (MPa/m).
3. Se consideran tres posiciones críticas de la carga: en el interior, en la esquina, y en el borde,
asumiendo distribución uniforme sobre un área circular (interior y esquina) o semicircular (borde), de
radio "a" llamada presión de contacto equivalente. Ver Figura 1.10
4. Definió un término que cuantifica la rigidez de la losa en comparación con la rigidez del cimiento,
denominado relación de rigidez relativa (l), que se expresa como:
3
4212(1 )
E hl
k
(1.12)
Donde
E: Módulo de elasticidad del hormigón
h: Espesor de la losa.
μ: Coeficiente de Poisson del hormigón.
k: Módulo de reacción de la capa de apoyo.
Figura 1.10 Esquema de análisis y posiciones de la carga estudiadas por Westergaard en su modelo
clásico de respuesta.
Antes de 1941, el método de cálculo de tensiones de Westergaard fue considerado el método más
avanzado para predecir las tensiones críticas y las deflexiones en losas de hormigón. Sus estudios
principalmente se centraron en la carga ubicada en el interior de la losa, sin embargo, debido a las
suposiciones muy idealizadas, las soluciones analíticas de Westergaard tienen muchas limitaciones para
modelar el comportamiento real de los pavimentos, entre ellas se encuentran:
Revisión Bibliográfica Capítulo I
32
El cimiento considera un comportamiento lineal y elástico. Pocos materiales empleados en
explanaciones presentan este comportamiento, de hecho, la mayoría es no lineal, con tensión
dependiente que cambian con el tiempo y el ambiente.
Westergaard supuso que la losa estaba en contacto completo con la capa inferior en todos los puntos,
por tanto, las condiciones de contorno son infringidas si se desarrolla un vacío debido al fenómeno
de bombeo o si la losa y el cimiento se separan debido al combado.
Westergaard supuso que las losas eran infinitas (para el caso de carga en el interior) o semi-infinita
(para el caso de cargas en el borde y esquina); es decir, las losas se extienden lo suficientemente
lejos de los límites del área cargada (interrupciones como grietas o juntas) y por tanto, no tienen
ningún efecto sobre la solución. En la práctica esto no ocurre, porque las losas son relativamente
reducidas y presentan muchas discontinuidades (grietas y juntas).
El espesor de la losa debe ser uniforme. Esta suposición hace imposible analizar losas con bordes
de diferente espesor u otras losas con espesores no uniformes.
Para casos donde la proporción espacio-profundidad es menor que 100, las hipótesis de Kirchhoff
introducen errores en la predicción de los esfuerzos en el borde. (Hammons & Metcalf, 1999).
Todas las capas del pavimento debajo de la losa son representadas por un solo parámetro, el módulo
de reacción de subrasante. Un pavimento típico puede tener algunas capas de materiales, que
incluyen bases y/o subbases, que pueden estar adheridas o no, donde la superior tiene mayor calidad
y rigidez. En una típica aplicación de la teoría de Westergaard, las capas se modelan incrementando
el módulo de reacción de la subrasante simulando una respuesta equivalente. Sin embargo, esto
evidentemente provoca cierta inexactitud en el análisis, causado por una limitación en el modelo. La
imposibilidad de pronosticar las respuestas en ubicaciones arbitrarias de la carga, podría ser un
obstáculo serio para el análisis en condiciones de cargas especiales.
La incapacidad de manejar múltiples configuraciones de cargas es también una seria restricción de
la aplicación.
Desde el trabajo original de Westergaard, algunos investigadores, incluyendo al propio Westergaard, han
realizado perfeccionamientos a la teoría, tratando de resolver algunas de las limitaciones del modelo
teórico.
(H. M. Westergaard, 1948) publicó las relaciones válidas para el cálculo de las tensiones causadas en
el borde por grandes cargas en amplias zonas de contacto. Las nuevas ecuaciones permitieron que la
carga se caracterizara como una elipse, en lugar un área circular. (Ioannides, Thompson, & Barenberg,
1985) recomendaron estas ecuaciones por ser más exactas que las de 1926.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
33
(Pickett & Ray, 1951) desarrollaron cartas de influencia que permiten que las ecuaciones de
Westergaard sean aplicadas a múltiples configuraciones de cargas. Estas soluciones gráficas fueron
considerablemente simplificadas en la determinación de las desviaciones teóricas y los momentos
causados por la carga sobre la losa. Para el estudio se consideraron dos casos: explanación como un
líquido denso de Winkler y como un sólido elástico. Las cartas de influencia de Pickett y Ray han sido
usadas por la Portland Cement Association (PCA) para el diseño de pavimentos rígidos. Las cartas para
cargas en el interior fueron usadas en el diseño de pavimentos para aeropuertos (PCA, 1955) mientras
que las cartas para cargas en el borde se emplearon en pavimentos para carreteras (PCA, 1966).
Debido a su sencillez, la FAA, U.S. Army, y U.S Air Force adoptaron las cartas de influencia para el
cálculo del esfuerzo máximo de tensión para cargas en el borde (Hutchinson, 1966). Con el empleo de
las cartas pueden ser analizados múltiples configuraciones de ejes sólo dibujándolos a la escala
apropiada y contando los bloques cubiertos por la huella del neumático. Sin embargo, debe tenerse en
cuenta que el neumático debe orientarse de manera que el número máximo de bloques sea cubierto para
calcular la tensión máxima o la deflexión.
(Salsilli, 1993) aplicó el procedimiento iterativo de Newton-Raphson para convertir diferentes
configuraciones de carga en un área equivalente cargada que produzca la misma tensión, usando estas
cargas transformadas en las ecuaciones de Westergaard considerando tres configuraciones de cargas
de neumático: doble, tándem y trídem.
1.8.1.1 Soluciones computarizadas
Algunas soluciones computarizadas de la teoría de Westergaard han sido desarrolladas notablemente,
se destacan los programas H-51, H51-ES, y PDILB (comúnmente referidos al PCA AIRPORT). El
programa H-51, originalmente desarrollado por la General Dynamics Corporation y modificado por WES,
calcula los esfuerzos en el borde, bajo múltiples configuraciones de carga sobre una losa apoyada en un
líquido denso como subrasante. La solución es esencialmente una versión informatizada de las cartas
de influencia de Pickett y Ray. El programa permite al usuario colocar la carga en diferentes orientaciones
y posiciones, para calcular la condición de tensión máxima. H-51 fue modificado por (Ioannides,
Barenberg, & Thompson, 1984) incorporando una subrasante sólida elástica en el programa H51-ES.
El programa PCA AIRPORT está basado en la teoría de Westergaard para cargas en el interior de una
losa infinita soportada por una subrasante discreta. Este programa también admite múltiples
configuraciones de ejes y permite al usuario cambiar la orientación del neumático para maximizar la
respuesta.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
34
Cada uno de estos programas está basado en las hipótesis de Westergaard y están sujetos a las
limitaciones del modelo. Las cartas de influencia, las soluciones computarizadas admiten los cálculos de
las tensiones causadas por múltiples configuraciones de ejes y brinda ciertas ventajas desde el punto de
vista práctico para estudiar de manera aproximada el fenómeno.
1.8.1.2 Modelo de capas elásticas
Los modelos de capas elásticas en pavimentos rígidos surgieron como alternativa de solución a las
ecuaciones de la elasticidad y los problemas de flexión en losas. Dicha teoría fue inicialmente formulada
para una carga concentrada bajo una capa infinita (medio de Boussinesq) y después fue generalizada
para una carga uniformemente distribuida actuando sobre un área circular en dos o más capas.
Básicamente, existen dentro de la teoría de capas elásticas dos modelos fundamentales, el de Hogg y el
modelo multicapas de Burmister.
El modelo de (Hogg, 1938) esquematiza el pavimento (losa) apoyado sobre un macizo infinito del tipo
Boussinesq. La losa es modelada empleando las hipótesis simplificadas de Navier para láminas
delgadas, que consideran la línea o fibra neutra coincidente con el plano medio de la losa, y a las
secciones planas, antes y después de las deformaciones. Ver Figura 1.11.
Figura 1.11 Esquema de análisis representativo del modelo de Hogg
El modelo multicapa de (Burmister, 1945) se representa a partir de dos o más capas sobre un macizo
infinito del tipo Boussinesq. El modelo representa cada capa con tres parámetros fundamentales:
espesor, módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson, lo que le concede a cada material diferentes
propiedades elásticas. Ver Figura 1.12.
Figura 1.12 Esquema de análisis representativo del modelo de Burmister.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
35
Estos modelos, permiten considerar importantes variaciones (espesor, relación del módulo entre capas,
y radio de carga). Además, se convierte en un método bastante práctico y efectivo según (Lizcano,
2005).
Ambos modelos, en general plantean un conjunto de hipótesis básicas derivadas de la teoría de las capas
elásticas.
Todos los materiales se consideran homogéneos, isótropos, y linealmente elásticos, por tanto, cada
capa del pavimento puede ser representada por tres parámetros: espesor, módulo de la elasticidad,
y coeficiente de Poisson.
Cada capa se considera infinita horizontalmente, y la capa inferior se extiende infinitamente en la
dirección vertical.
La carga se considera estática y uniformemente distribuida sobre una o más áreas circulares. La
mayoría de los programas suponen que la carga es completamente vertical, aunque algunos pueden
concebir componentes horizontales.
Las capas están en contacto constantemente. Debe ser asumido el número de restricciones entre
las capas adyacentes y la determinación de considerarlas completamente adheridas o con fricción
entre ellas. Algunos programas son capaces de admitir cualquier grado de restricción.
La teoría de las capas elásticas, como herramienta para modelar el comportamiento estructural de
pavimentos rígidos, resulta interesante por la posibilidad de estudiar la variación que experimentan los
distintos materiales de la estructura, desde el punto de vista práctico surge un problema, ya que los
parámetros elásticos (E, µ) resultan difíciles de obtener, en comparación con el módulo de reacción de
Westergaard (k). Otras limitaciones se enuncian a continuación:
El modelo supone que cada capa es infinita en la dirección horizontal; por tanto, las juntas y grietas
en los pavimentos rígidos son ignoradas. Incluso las capas de base y subbase en un pavimento no
son infinitas en esta dirección. Las capas estabilizadas también pueden desarrollar grietas que no
son modeladas.
El modelo considera a cada material como linealmente elástico. Esta suposición podría significar
contradicciones al calcular las tensiones en las capas del pavimento, por ejemplo, no es posible
para una capa granular no adherida soportar grandes esfuerzos de tracción.
La principal limitación de estos modelos radica en el hecho de que tanto el de Burmister como el de Hogg
están representados en un estado deformacional plano, por tanto, no permite evaluar el efecto de las
tensiones en la esquina y en el borde de la losa.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
36
1.8.2 Soluciones numéricas
1.8.2.1 Modelo de los Elementos Finitos (MEF)
Los métodos analíticos son una evaluación de las fórmulas matemáticas desarrolladas mediante un
proceso de análisis. Los métodos numéricos son técnicas basadas en procedimientos numéricos de
aproximación de funciones y define su campo de uso donde las soluciones analíticas son inaccesibles
por la complejidad matemática que requieren, lo que se facilita en la actualidad con la ayuda del cálculo
computacional (Francisco López Almansa, Bashar Alfarah, & Sergio Oller, 2014; López & Piusseaut,
2015; Pánek & Vébr, 2007; Patil, Sawant, & Deb, 2012).
Dentro de estos métodos numéricos se puede citar el Método de las Diferencias Finitas (MDF) (Beltrán,
1999; Simanca, 1999), el Método de los Elementos Finitos (MEF) (Oller, 2001; Oñate, 2005; O.C.
Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004), para el empleo de ambos métodos es imprescindible conocer los
parámetros que definen el medio que se desea modelar, como puede ser su geometría y la relación
tensión-deformación. Otros métodos son los de libre mallado (Liu, 2003.); tales como el Método de los
Elementos Discretos (MED).
Los métodos numéricos se emplean para caracterizar los estados tenso-deformacionales en cuerpos
sólidos, donde el procedimiento numérico más generalizado es el Método de los Elementos Finitos
(MEF). Entre las principales ventajas que hacen extensivo el método se señala que incorpora
herramientas de cálculos mejor elaboradas, además, permite modelar geometrías y materiales de
diversas complejidades y permite reproducir múltiples condiciones de carga y contorno, por eso es un
procedimiento adecuado para la modelación de pavimentos rígidos.
En el análisis y diseño de pavimentos las suposiciones realizadas ofrecen algunas limitaciones en su
aplicación. Para superarlas, desde comienzos de 1970, el MEF se ha convertido en una herramienta de
amplio uso para el análisis de pavimentos rígidos, existiendo algunas diferencias entre los estudios
desarrollados por los autores en cuanto a la forma de modelar la losa, en la interfase con el suelo y en
los mecanismos de transferencia de carga (pasadores).
En sus inicios, se empleó para la modelación de la losa la teoría básica de láminas delgadas, con la
creación de varios software como ILLISLAB (Tabatabaie & Barenberg, 1978; Tabatabaie &
Barenberg, 1980), WESLAYER (Chou, 1980 ; Huang & Wang, 1973), FEACONS(Tia, Armaghani, Wu,
Lei, & Toye, 1987), que modelaban la losa como un elemento Shell lineal elástico en 2D. Se modelaba
una losa de hormigón aislada, sin evaluar el efecto que pudieran generar otras losas. El medio soportante
(subrasante o base) era recreado como un medio lineal elástico, empleando dos formas para
representarlo, como un medio discreto de Winkler o los semiespacios infinitos (continuos elásticos).
Revisión Bibliográfica Capítulo I
37
Con la evolución en las formulaciones matemáticas del MEF comienzan a incluirse nuevos estudios en
las losas, como son los referidos a la interacción con las losas contiguas a partir de mecanismos de
transferencia, el efecto de la temperatura, la no linealidad de los materiales, el efecto dinámico de las
cargas y la modelación de la estructura en 3D. Un ejemplo claro de ello se evidencia en trabajos de
(Huang & Deng, 1983), (Huang, 1985) los cuales desarrollaron el modelo KENSLABS para incluir la
capacidad de modelar múltiples losas y varios mecanismos de transferencia de forma similar al ILLI-
SLAB, caracterizando la subrasante como un medio semielástico. También fueron estudiados la pérdida
del contacto con la subrasante y los efectos del refinamiento de las mallas.
(Channakeshava, Barzegar, & Voyiadjis, 1993) desarrollaron un modelo de elementos finitos estático
y no lineal en 3D para estudiar la reacción tridimensional del hormigón hidráulico masivo con pasadores.
La losa fue modelada con elementos cuádricos e isoparamétricos de 20 nodos. La subrasante fue
modelada como un macizo de Winkler con tres resortes lineales y discontinuos en cada nodo sobre la
base de la losa. En el estudio se consideraron tanto las cargas de tráfico como las térmicas producidas
por las variaciones cíclicas diurnas de temperaturas.
(Chatti, Lysmer, & Monismith, 1994) prolongaron el ILLI-SLAB 2D existente a un programa de
elementos finitos dinámico y lineal, llamado DYNA-SLAB, para estudiar los efectos de las cargas
dinámicas aplicadas por camiones en la respuesta de pavimentos rígidos. La losa de hormigón fue
modelada con elementos de placa y la subrasante fue tratada como un macizo de Winkler visco-elástico,
en capas sobre un cimiento rígido o un semiespacio infinito. Un método analítico fue desarrollado por los
autores para determinar la dependencia existente entre la frecuencia y los coeficientes de
amortiguamiento y rigidez usados en el modelo de Winkler. El modelo se verificó comparando los
resultados de la solución analítica para una carga puntual sobre una viga de longitud finita soportada por
un macizo visco-elástico de Winkler con la solución aproximada para una carga puntual sobre una placa
infinita en un macizo de Winkler. Se llevó a cabo un estudio paramétrico usando el modelo, con el fin de
investigar si un análisis dinámico es necesario para la predicción de la respuesta de un pavimento rígido.
Los parámetros incluyen: velocidad de vehículo, textura del pavimento, espesor de las capas, y eficiencia
de transferencia de cargas. Se llegó a la conclusión de que era importante usar la rugosidad esperada
del pavimento para determinar las máximas magnitudes y las ubicaciones históricas de la configuración
de ejes, pero los efectos dinámicos en la respuesta de la losa no eran significativos. También se
comprobó que la existencia de una capa rígida poco profunda o una capa de piedra, podían incrementar
los efectos dinámicos lo suficiente como para exigir que ellos sean considerados en el análisis.
(Kuo, Hall, & Darter, 1995) desarrollaron un modelo de elementos finitos elástico 3D usando ABAQUS
para investigar algunos de los factores que afectan el cimiento de un pavimento rígido, incluyendo el
Revisión Bibliográfica Capítulo I
38
espesor de la base y su rigidez, la adherencia en la interfase, el calentamiento de la losa y efecto de
combado debido al gradiente de temperatura, la transferencia de carga en las juntas y los anchos de
carril. Determinar el óptimo refinamiento de la malla y el tipo de elemento finito más conveniente, fueron
tareas que requirieron esfuerzos significativos, debido a la capacidad de cómputo existente en su
momento.
En este estudio fueron considerados tanto elementos de placa “Shell” 2D (4 nodos y 8 nodos) como
ladrillos “brick element” 3D (8 nodos y 20 nodos). La base tratada con cemento fue modelada usando
otra capa de elementos 3D, mientras que la subrasante fue tratada como un macizo de Winkler. Para
representar la interfase entre capas se empleó un elemento de membrana “plate” unido a otro elemento
con interfase especial. El modelo fue verificado comparando las predicciones del modelo con la solución
analítica de Westergaard y con las predicciones del modelo de elementos finitos ILLI-SLAB 2D. Cuando
se aplicaron elementos “Shell”, se obtuvo soluciones satisfactorias, como ejemplo se tiene el caso de
una losa fina con el área de carga suficientemente grande. Las respuestas predichas del modelo fueron
también comparadas con los resultados de prueba de campo a gran escala de la AASHO Road Test, con
las pruebas de la PCA sobre bases tratadas con cemento, y con las pruebas de carreteras de Arlington.
En general, se hallaron correspondencias entre los pronósticos de modelo y los datos de las pruebas de
campo.
(Masad, Taha, & Muhuntban, 1996) desarrollaron un modelo de elementos finitos 3D usando el
ABAQUS para examinar la respuesta de los pavimentos rígidos ante cargas térmicas. Tanto la losa como
la subrasante fueron modeladas con “brick elements” de 8 nodos. La losa y el cimiento se asumieron
linealmente elásticos, considerando en el análisis la pérdida de contacto entre ellos, las juntas
longitudinales, y la fricción. Se revisaron los gradientes de temperatura tanto lineales como no lineales.
Los resultados fueron comparados con modelos de elementos finitos 2D existentes como el ILLI-SLAB y
el JSLAB. Las tensiones máximas debidas al calentamiento, pronosticadas del modelo 3D, y las
existentes del 2D hallaron correspondencias satisfactorias.
(Brill, Hayboe, & Lee, 1997) desarrollaron un modelo de elementos finitos estático 3D para pavimentos
rígidos empleando el programa de elementos finitos de dominio público NIKE3D. A diferencia de la
mayoría de los modelos de elementos finitos 3D, la losa fue modelada con elementos “Shell” de 4 nodos
mientras que la subrasante lo fue con elementos lineales hexaédricos de 8 nodos. Fueron considerados
los dos tipos de transferencia posibles entre las losas, trabazón de agregados y transferencia de cortante
a través de pasadores, ambos modelados con elementos hexaédricos lineales y elásticos. Las tensiones
calculadas fueron comparadas con las soluciones analíticas, comprobándose en la mayoría de los casos,
que las diferencias entre las dos soluciones eran significativas.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
39
Otro modelo de elementos finitos estático 3D fue desarrollado por (Davids, 1998), el EverFE, para
modelar la reacción de los sistemas de pavimento de hormigón masivo ante las cargas del tráfico y los
efectos ambientales. La losa, la base, y la subrasante fueron modelados usando elementos cuadráticos
y hexaédricos de 20 nodos. Todas las capas del pavimento fueron tratadas como materiales linealmente
elásticos. La subrasante se modeló como el macizo de Winkler usando un elemento de interfase
cuadrático de 8 nodos. Los mecanismos de transferencia (pasador o trabazón de agregados) fueron
modelados con elementos y relaciones constitutivas especializadas. Se consideraron dentro del espesor
de losa gradientes térmicos lineales, bilineales, y trilineales. El modelo fue verificado comparando las
tensiones y desplazamientos previstos, con los valores medidos en pruebas a escala de laboratorio en
un sistema de pavimento rígido.
1.9 Modelos de comportamiento
1.9.1 Estudio del fenómeno de fatiga en el hormigón
El daño por fatiga en los metales está relacionado con defectos cristalográficos y dislocaciones,
resultando en bandas deslizadoras seguidas por microgrietas. Bajo una carga repetida la microgrieta que
está en la posición del área más afectada se desarrollará al final una macrogrieta y se propagará,
resultando la falla.
El hormigón es menos homogéneo que el metal, y en vez de los defectos microscópicos contiene
imperfecciones relativamente grandes en forma de espacios vacíos, grietas reducidas y bolsas cubiertas
de agua. La iniciación de estas microgrietas, debido a la fatiga por carga, es un defecto inherente del
material. (Tepfers, 1982) basado en el estudio de fatiga en hormigones bajo carga cíclica uniaxial en
compresión, dividió el comportamiento de la fatiga en tres etapas. La primera, o etapa lineal, consiste en
la pre-existencia de fallas que vuelven a su condición original después de retirada la carga. En la siguiente
etapa, conocida como etapa no lineal endurecida, las microgrietas se empiezan a desarrollar en la
interfase del mortero-agregado. En la etapa final las microgrietas se propagan, formando macrogrietas y
las funciones de respuesta del material se debilitan bajo la carga, trayendo como consecuencia la pérdida
de capacidad portante de la pieza.
La carga de fatiga es a menudo clasificada en bajos y altos ciclos, aunque varias publicaciones ofrecen
diferentes caracterizaciones para el número de ciclos por cada clase. En ingeniería de pavimentos las
clases de fatiga relevantes son altos ciclos de fatiga, los cuales a menudo describen un rango de 104 a
107 ciclos de carga y un súper alto ciclo de fatiga con más de 107 ciclos de carga para el fallo. (Hsu,
1981) señala que hay una diferencia en el mecanismo de daño para hormigones sujetos a bajos y altos
Revisión Bibliográfica Capítulo I
40
ciclos de cargas. En los ciclos bajos de fatiga, la grieta se forma en el mortero, mientras que, en los ciclos
altos de fatiga, es el vínculo entre el agregado y el mortero el que se deteriora lentamente.
Partiendo de la idea planteada por (Silva & Cameiro, 2014; Zhang & Wu, 1997) de que la resistencia a
fatiga del hormigón está definida como la fracción de las tensiones que se originan y su resistencia
estática, se puede decir que los factores que generen cambio en esos términos, también afectan el
comportamiento a fatiga. Entre estos factores se encuentran:
Número de aplicaciones de carga
Resistencia y módulo de rotura
Espesor de la losa de hormigón
Espaciamiento entre juntas transversales
Apoyo en el borde de las losas
Apoyo de la sub-rasante
Aditivos
Tiempo de curado y edad del hormigón
Gran parte de estos factores tratan de ser tenidos en cuenta de manera íntegra en cualquier método de
diseño, por eso existen diversos modelos para caracterizar el fenómeno de fatiga (Balbo, 1999). Se
identifican aquellos que son desarrollados a partir de múltiples ensayos realizados en el laboratorio, con
la muestra moldeada o extraída del campo, y los que tienen como base los resultados en pistas
experimentales o tramos de pruebas monitoreados a lo largo de su vida útil.
Los modelos de fatiga son representados normalmente a partir del número de ciclos de carga que permite
la estructura antes de su fallo. El número de pasadas, como también se conoce, depende de la relación
entre la tensión actuante en el pavimento y la resistencia estática a tracción por flexión del hormigón. La
obtención de estos modelos tiene su base netamente experimental y pueden agruparse a partir de la
bibliografía en dos grupos.
Modelos realizados en el laboratorio con vigas prismáticas.
Modelos realizados en pistas y tramos de pruebas.
a) Modelos realizados en el laboratorio con vigas prismáticas
Estos modelos se obtienen mediante el ensayo (ASTM-C78, 2002), donde primero se obtienen los
módulos de rotura de algunas muestras en cada población y luego se ensaya con carga cíclica el resto
de las vigas, colocando como carga de referencia una proporción del módulo obtenido. Finalmente, se
realiza una regresión utilizando un modelo de la forma:
1 2log fN f f FRT (1.13)
Revisión Bibliográfica Capítulo I
41
Dónde:
f1 y f2 = son los coeficientes de regresión, en función de los resultados del ensayo.
Nf = Número de aplicaciones permisibles para que ocurra la falla
FRT= Factor de Relación entre Tensiones.
A continuación, se describen los trabajos realizados por diferentes autores, cuyas ecuaciones de
regresión se muestran en el Anexo 1.1.
El modelo más antiguo a fatiga para el hormigón fue el desarrollado por (Bradbury, 1938) realizado con
ensayos dinámicos en 1934, para el Departamento de Carreteras de Illinois, EUA.
(Raithby & Galloway, 1974) estudiaron la influencia de las condiciones de humedad en el número de
ciclos hasta la fatiga a flexión del hormigón hidráulico masivo, realizado en dos condiciones de ensayo,
con el hormigón saturado y con el hormigón seco al aire por una semana. Las pruebas concluidas en 6
meses, demostraron que la relación máxima entre tensiones estaba entre 55 % y 95 % de la resistencia
a la tracción de flexión estática. Los ensayos fueron realizados a una frecuencia de 20 Hz y los modelos
para la fatiga se obtuvieron para cada método de curado del hormigón.
(Darter, 1977) desarrolló un modelo experimental en flexión para pavimento de hormigón simple por
medio del análisis de 140 vigas, procedentes de tres estudios anteriores realizados en laboratorio. Los
datos obtenidos establecieron dos expresiones para probabilidades de rotura distintas (40 y 50 %). Para
el dimensionamiento de pavimentos de hormigón (Darter, 1977) recomienda utilizar un modelo para una
probabilidad de falla del 24%.
El criterio de fatiga del hormigón a la flexión propuesto por la (PCA, 1984) es similar al propuesto
anteriormente por su versión (PCA, 1966), con la diferencia de una modificación realizada al número de
repeticiones de carga, de 5 x105 para 107, efectuada para eliminar la discontinuidad en la curva,
considerada de irreal para muchos autores. Esa alteración en el comportamiento a fatiga del hormigón
condicionó un límite de fatiga. El número permitido de las repeticiones para cada nivel de carga fue
determinado sobre la base de la relación de tensiones (RT), ilimitado si es inferior a 0.45, entre 0,45 y
0,55 se emplea una ecuación exponencial, finalmente si es superior a 0.55 se considera logarítmica.
El modelo experimental empleado en Japón para describir la fatiga en la flexión en pavimentos de
hormigón utilizando agregados con dimensiones máximas de 20mm y 40mm, fue desarrollado por
(Iwama & Fukuda, 1986) ensayando 150 muestras. Los resultados mostraron que el diámetro máximo
del agregado no influye en el comportamiento a fatiga del material, obteniéndose una expresión para una
probabilidad de falla de un 50%.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
42
En Bélgica los investigadores (Stet & Frenay, 1998) presentaron un modelo para el dimensionamiento
de pavimento de hormigón simple, donde no indican si la ley de falla fue creada a partir de ensayos de
laboratorio o en pista experimental, pero aportan un elemento fundamental en las investigaciones. En las
tensiones de tracción consideran el efecto de combado en la losa por gradiente de temperatura.
(Cervo & Balbo, 2005) presentaron un modelo con distintos niveles de relación de tensiones,
frecuencias, contenido de cemento y humedad, obteniendo dos modelos, uno para hormigones
estándares y otro para hormigones de altas prestaciones. El propio (Balbo, 1999) en estudios anteriores
consideró que estos modelos obtenidos en laboratorio son conservadores, por los siguientes motivos:
En los pavimentos ocurren variaciones en la trayectoria de los vehículos, que pueden reducir las
solicitaciones en el punto más cargado; en el laboratorio ese punto es fijo.
La frecuencia en el laboratorio, es elevada, no permitiendo la relajación del material, fenómeno que
normalmente ocurre en las pistas.
En el laboratorio las fuerzas y presiones aplicadas son constantes, algo que no ocurre en la pista
donde las acciones son desiguales.
Se puede decir que los resultados de ensayos realizados en vigas fabricadas en laboratorio, no reflejan
completamente las condiciones reales de la estructura, lo que no quiere decir que no puedan utilizarse
en normativas de diseño. El caso más evidente es el método desarrollado por la (PCA, 1984), de muy
amplio uso, que obtuvo las leyes de fallo a partir múltiples ensayos realizados en vigas.
b) Modelos realizados en pistas y tramos de pruebas
El principal inconveniente que presentan estos modelos radica en que las mediciones en los tramos
presentan condiciones ambientales, de materiales y de tráficos muy específicas. Se les conoce como
función de transferencia y presentan una forma similar a la mostrada en la ecuación 1.14.
1
1
b
d
R
N aM
(1.14)
Donde N representa el número de repeticiones que conducen al fallo por fatiga, a1 y b1 las constantes
de calibración, σd la tensión lineal elástica determinada en el borde exterior de la losa y MR el módulo
de rotura del hormigón.
(Tayabji & Jiang, 1998) utilizaron en sus estudios un modelo de fatiga propuesto por la National
Cooperative Highway Program (NCHRP) que correlaciona la resistencia a tracción en flexión, el número
de ciclos de cargas y las tensiones estimadas para un nivel del 50 % de losas fisuradas.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
43
(Darter, 1996) contrastando modelos de laboratorio con desempeño observado en el campo, presentó
un modelo resultante de 30 años de observaciones en pavimentos de hormigón para aeropuertos, bajo
el auspicio de United States Army Corps of Engineers (USACE).
Los datos obtenidos por la AASHO fueron analizados detalladamente por (Majidzadeh, 1988),
considerando la teoría de placas para un medio multicapa lineal elástico, representando las distintas
capas que puede tener el pavimento. En este modelo el nivel de servicio final empleado fue de 2.0 para
un número de repeticiones de un eje simple con ruedas duales de 80 kN. El modelo de fatiga obtenido
fue nombrado como RISC.
El propio (Majidzadeh, 1988), presentó otro modelo denominado ARE, también desarrollado a partir de
un estudio del comportamiento en las pistas experimentales de las AASHO. En el modelo de fatiga
elaborado, el número de aplicaciones de carga se expresó como un eje equivalente de 80 kN,
considerando como factores de equivalencia los correspondientes a un nivel de servicio final de 2.5. En
los experimentos se empleó para el cálculo de las tensiones la teoría de losa apoyada sobre un medio
elástico.
(Majidzadeh, 1988), presenta un modelo desarrollado por (Vesic & Saxena, 1969) con la misma filosofía
de los anteriores solo que las tensiones en este caso se determinaron asumiendo el apoyo como un
medio discreto de infinitos apoyos elásticos.
c) Modelos que incorporaron la probabilidad de fallo
La aparición de los modelos de daño por fatiga teniendo en cuenta la fiabilidad surgen después de que
comienza a emplearse este concepto en los métodos de diseño, ofreciendo como principal ventaja cierto
nivel de flexibilidad condicionada por el caso de estudio. El primer modelo con esa concepción fue
elaborado por (McCall, 1958), que incorpora la probabilidad de falla, empleando un modelo obtenido de
una función de supervivencia con resultados experimentales (ecuación 1.15). Este enfoque ha sido
empleado en diversos estudios, tales como (Parker Jr, Barker, Gunkel, & Odom, 1979) y (Salsilli
Murua, 1991)
log( )log f
SR SN
(1.15)
Donde S representa la probabilidad de supervivencia al fallo. , y son coeficientes de regresión del
modelo.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
44
(Titus-Glover, Mallela, Darter, Voigt, & Waalkes, 2005) validan el empleo del modelo desarrollado por
McCall y desarrollan una expresión similar calculando sus coeficientes a partir de varios resultados
experimentales, posteriormente es incluida en el software (StreetPave12, 2014).
Aplicando cualquier ley de fallo, el daño por fatiga en la losa se estima utilizando la relación propuesta
por Miner en 1945. Este método supone que el pavimento de hormigón presenta un período de vida por
fatiga finito y puede resistir un número máximo de aplicaciones de carga (N) para un nivel de carga dado,
antes de que se presente la fractura. Cada carga de tránsito individual aplicada un número de
repeticiones (n) decrece la vida del pavimento en una cantidad dada por la relación n/N, definiéndose el
daño como:
100n
DFN
(1.16)
Dónde:
DF = Daño, proporción de la vida consumida cuando se utilizan entradas medias (50% de losas
agrietadas cuando el daño es de 100).
n = Número esperado de ejes.
N = Número permisible de ejes para agrietamiento de las losas por fatiga.
Este valor representa el porcentaje de vida consumida dado las repeticiones de las cargas de tránsito
hasta un determinado tiempo. Teóricamente, cuando σ(n/N) = 100, la fractura del hormigón podría
ocurrir; sin embargo, debido a la variabilidad de las cargas de tránsito cercanas al borde de la losa y en
la resistencia del hormigón, la fatiga de la losa puede ocurrir para porcentajes menores o superiores al
100, por eso generalmente se recomienda utilizar en los diseños el rango entre 90 y 120%.
1.10 Conclusiones parciales
Después del análisis de las fuentes bibliográficas consultadas se pueden establecer varias conclusiones,
que pueden agruparse de la forma siguiente:
a) Referidas a los factores de diseño
Los diferentes autores plantean que las tensiones críticas se originan cuando un vehículo pasa el
borde exterior de su rueda por el centro-borde de la losa, sin embargo, desde el punto de vista práctico
la probabilidad de que los vehículos pasen por dicha posición es muy baja, generalmente pasan a
cierta distancia, que puede variar en función del ancho de carril, de las dimensiones de los vehículos
y del volumen del tráfico. Es un tema a resolver ya que en la medida en que se separa el vehículo del
borde disminuyen las tensiones.
Revisión Bibliográfica Capítulo I
45
El concepto de área equivalente, es un término empleado por la mayoría de los autores, y permite
simplificar el fenómeno de interacción neumático pavimento, representado de diversas formas. Según
algunos autores, cuando se emplea el método de los elementos finitos es aconsejable utilizar un área
equivalente de forma rectangular o cuadrada, para lograr un mejor ajuste de los elementos en la zona
de carga.
En Cuba los pavimentos se construyen sin paseo de hormigón, generalmente son confeccionados
con material seleccionado o de hormigón asfáltico. El empleo de paseos de hormigón debe incluirse
como alternativa en el diseño y en la práctica constructiva, porque contribuye con la reducción de las
tensiones en la estructura y por consiguiente en los espesores.
La carga en el diseño se considera estática; constituye el caso más desfavorable para la estructura.
Se ha demostrado por diversos autores, que las tensiones originadas por las cargas son inversamente
proporcionales a la velocidad de los vehículos.
b) Referidas a los métodos de diseño
Los métodos existentes para el diseño de pavimento de hormigón simple, se fundamentan en la
evaluación de los mecanismos principales de fallos en la losa: el agrietamiento transversal provocado
por la acción repetida del tráfico (fatiga) y el escalonamiento con posterior fractura de las esquinas y
otras zonas de la losa producto de la pérdida de material en el cimiento (erosión).
Los principales problemas que se presentan en la aplicación de los métodos de diseño, radican en
que son concebidos para condiciones específicas de materiales, cargas y clima, por lo cual su
aplicación en otras situaciones implica realizar ciertas adaptaciones. Los métodos con enfoque
empírico-mecanicista ofrecen mayores posibilidades para adaptar un método a condiciones
específicas. El procedimiento de diseño más conveniente para la elaboración de una normativa en
Cuba es el de la Portland Cement Association (PCA).
Con la introducción del concepto de fiabilidad en el diseño de estructuras de pavimentos rígidos se
tienen en cuenta las diferentes características de las vías, por tanto, pueden obtenerse diseños más
racionales, ya que permite considerar las características de los materiales dependiente de la
importancia de la obra.
c) Referidas a los modelos de fatiga
Se puede confirmar que los modelos de fatiga para pavimentos de hormigón encontrados en la
bibliografía, tienen diferencias debido a la variabilidad de los estudios desarrollados por los autores,
Revisión Bibliográfica Capítulo I
46
pero de manera general todos formulan las repeticiones de cargas dependientes de la relación de
esfuerzos, entre las variables tensión de trabajo aplicada y la resistencia a flexión (módulo de rotura)
del hormigón.
Se demuestra que el hormigón no falla por fatiga cuando la relación de esfuerzos es menor de 0.45,
aunque no se ha encontrado un límite real arriba de 10 a 20 millones de repeticiones. La mayoría de
las leyes fueron concebidas para el 50% de probabilidad de falla. Sin embargo, esta probabilidad
pudiera variar en función de la importancia del proyecto. En el modelo obtenido por (McCall, 1958) el
valor probable resulta de una combinación entre la probabilidad de fallo y la confiabilidad del diseño.
d) Referidas a los modelos de respuesta
Los modelos clásicos de respuesta presentan insuficiencias que no permiten analizar la variación en
la posición de las cargas y no pueden explicar el fenómeno de transferencia de cargas entre las losas
en las juntas.
El modelo de Westergaard considera solo una losa y las capas de suelos de cimiento del pavimento
no son representadas explícitamente en el modelo de Winkler.
El modelo de las capas elásticas considera las capas en la dirección vertical, mientras que en la
horizontal asume una longitud infinita, sin discontinuidades, como bordes y juntas, lo que no permite
considerar lo que ocurre en las esquinas y bordes de la losa.
El empleo de modelos MEF 2D no es muy efectivo cuando se estudia el efecto de la posición de la
carga en la losa, por eso es conveniente utilizar un modelo en tres dimensiones para el análisis de
las tensiones y deformaciones en las losas de hormigón.
Cuando se emplea el MEF como herramienta numérica se cometen errores de aproximación que son
dependientes del tipo de elemento y de la densidad de malla empleada. Con muchos de los programas
existentes no se obtiene suficiente precisión, ya que datan de una época en que no existían
ordenadores potentes; en la actualidad se puede mejorar significativamente el acercamiento al
fenómeno real y aprovechar mejor el aporte que pueden brindar los materiales.
Capítulo II
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
47
2 Consideraciones generales sobre la modelación numérica de los factores para
determinar la relación de tensiones (RT)
2.1 Introducción
En la revisión bibliográfica se demostró que, en los enfoques para determinar el consumo de fatiga en
pavimentos de hormigón, es de suma importancia conocer el número de ejes que permite la estructura
durante el período de diseño, la cual, es calculada a partir de un modelo de regresión, obtenido de
ensayos realizados en el laboratorio o a escala real mediante tramos de prueba. Ese modelo varía en
función de las características específicas de los materiales componentes del hormigón. Depende
directamente de la tensión en la zona más traccionada de la losa y del módulo de rotura, esta fracción
se conoce como relación de tensiones (RT).
En este capítulo, se plantean las consideraciones generales para modelar numéricamente cada uno de
los elementos componentes de dicha relación, teniendo en cuenta las particularidades de las invariantes
en el proceso de modelación. Para lograr una correcta organización, se hizo uso de la figura 1.9, para
estructurar el proceso de modelación computacional. Esta representación gráfica permitió seguir una
secuencia lógica, aplicada a cada caso de estudio, Ver Anexos (2.1,2.5 y 2.8).
Primero, se confeccionó un modelo en 3D de un sistema de pavimento conformado con tres losas
apoyadas sobre un continuo elástico en las dos variantes constructivas que se dan en la práctica, con el
fin de determinar las tensiones que genera el eje de un vehículo en el borde de la estructura. Para tener
en cuenta otra posibilidad práctica, se realizó un modelo numérico axial-simétrico, que permite determinar
en cuanto se modifica el aporte del suelo de cimentación, en el caso particular que se coloque sobre la
subrasante una subbase granular. Finalmente, se reprodujo numéricamente en 3D el ensayo de la (NC-
245, 2003) para determinar el módulo de rotura del hormigón, teniendo en cuenta la variabilidad de los
hormigones de producción nacional.
La herramienta numérica empleada en la investigación es el programa computacional (ABAQUS/CAE,
2014) de la compañía Simulia Dassault Systemes Inc. El software constituye una potente interfase gráfica
de cálculo y análisis con propósitos generales sobre la base del Método de los Elementos Finitos (MEF).
Como antecedentes de su aplicación en el campo de los pavimentos rígidos se puede ejemplificar su uso
en los trabajos de (Alam, Haselbach, & Cofer, 2013; Davids, Turkiyyah, Mahoney, Wang, & Bush,
2003; Fang, Haddock, Bobet, & Sotelino, 2004; Khan, Qadeer, & A.B.Harwalkar, 2014; Kmiecik &
Kamiński, 2011; López & Piusseaut, 2015; Pánek & Vébr, 2007)
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
48
a). b).
2.2 Modelación en 3D del sistema de pavimento para el cálculo de tensiones en el borde
2.2.1 Modelación de la geometría
Cada una de las partes componentes han sido modeladas en tres dimensiones aprovechando las
facilidades que brinda ABAQUS/CAE, buscando siempre respetar al máximo las características
esenciales de la geometría de los pavimentos rígidos. En el caso particular de la investigación se siguen
las recomendaciones que da la Asociación Americana de Pavimentos de hormigón (ACPA1).
Se consideró dos variantes del modelo geométrico. En la primera, losa sin paseo de hormigón (caso más
frecuente en pavimentos construidos en Cuba); la segunda agrega la presencia de un paseo de hormigón
hidráulico amarrado con barras de acero. Ambas variantes representan la mitad de la vía, es decir, solo
un carril, ya que son simétricas figura 2.1.
Figura 2.1 Representación de las variantes posibles de un sistema de pavimentos. a) sin paseo de hormigón, b) con paseo de hormigón.
Los dos modelos están compuestos por losas de hormigón conectadas con pasadores de acero,
apoyadas en un suelo de cimiento representado como un semiespacio infinito. Cada uno de estos
cuerpos (volúmenes) o partes que componen la estructura, han sido construidos individualmente en el
“módulo partes” y posteriormente ensamblados en el “módulo de ensamblaje” de ABAQUS/CAE.
Seguidamente se describe sucintamente la concepción de cada parte en el caso más general (losa con
paseo de hormigón).
a) Pasador: Elemento de acero constituido por un cilindro con una longitud de 450 mm y un diámetro
de 32 mm, espaciados a 300 mm cada uno constituyendo un total de 11 pasadores en cada junta
transversal al tráfico.
b) Barras de amarre: Elemento de acero constituido por un cilindro con una longitud de 900 mm y un
diámetro de 13 mm, espaciados a 700 mm, conformando un total de 6 barras por losa, que conecta
cada losa con su paseo en la dirección paralela al tráfico.
1 American Concrete Pavement Association http://www.acpa.org/
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
49
c) Losa y paseo de hormigón: Estructuras en forma de paralepípedo con cavidades en las zonas en
que son colocados los pasadores. Para lograr esta cavidad se le debe restar a la losa el volumen del
pasador. Las losas tienen 4.50 x 3.50 metros de largo y ancho respectivamente y el espesor puede
variar en cada caso. Los paseos mantendrán el largo y espesor correspondiente a la losa y su ancho
será de 1.50 m.
d) Suelo de soporte (cimiento): Estructura hexaédrica representando un semiespacio infinito de suelo,
cuyas dimensiones volumétricas son de 13.50 x 5.00 x 3.00 m.
Figura 2.2 Características geométricas del modelo numérico.
2.2.2 Modelo del material
El modelo constitutivo que se empleó para el sistema losa-suelo de cimiento, fue seleccionado teniendo
en cuenta la naturaleza del fenómeno. La velocidad de aplicación de las cargas y su magnitud sumado
a la elevada rigidez de la losa, provocan que las tensiones que se originan estén por debajo de los límites
elásticos de los materiales, descartando así el fenómeno de plastificación, por ese análisis autores como
(Alam et al., 2013; Cho, McCullough, & Weissmann, 1996; Davids et al., 2003; Hossain, Muqtadir,
& Hoque, 1997; Sukumaran, Willis, & Chamala, 2004), consideraron en sus investigaciones modelar
el sistema de pavimento como medio lineal, elástico e isótropo, caracterizado por la proporcionalidad
entre esfuerzos y deformaciones unitarias, donde las constantes de proporcionalidad son el Módulo de
Young y la relación de Poisson (E, ν). Los valores de estas propiedades se tomaron siguiendo criterios
y recomendaciones dada por la bibliografía y se muestran detalladamente en el Capítulo 3.
2.2.3 Modelo representativo de la carga
Se analizaron dos tipos de ejes. El primero, es un eje simple con ruedas duales, cuyo peso se igualó al
eje cálculo establecido por la norma cubana de pavimento flexibles (NC-334, 2004) (eje simple con
ruedas duales de 100 kN). El segundo, corresponde a un eje tándem y su peso fue determinado a partir
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
50
ESR ETRHuella equivalente
de dividir el eje de cálculo entre un factor que tiene en cuenta el tipo de eje y la configuración de los
neumáticos, este factor se obtuvo de la (NC-334, 2004), resultando un eje tándem con ruedas duales de
180 kN. La naturaleza de la carga se consideró estática, ya que esta constituye para el cálculo de
tensiones el caso más desfavorable, según muestran análisis realizados por (Anguas et al., 2002).
2.2.3.1 Consideraciones para la configuración y ubicación de la carga
Para la configuración de la carga se siguieron las consideraciones tomadas por los autores, referido al
concepto de área equivalente para un kit de ruedas duales (Capitulo 1). La presión de contacto se fijó
teniendo en cuenta el valor recomendado por la Norma Cubana de Pavimentos flexibles (NC-334, 2004)
q=0.7 MPa. Pudiera ser un resultado conservador, pero nos coloca del lado de la seguridad. La
conformación de la huella fue cuadrada para llegar a un mejor ajuste cuando se realice el mallado de
elementos finitos. A continuación, se muestran las dimensiones de las áreas de contacto para los dos
casos de estudio.
Figura 2.3 Dimensiones de los ejes de cálculo (m).
Tabla 2.1 Dimensiones del área de contacto equivalente.
2.2.4 Relación de interacciones entre elementos
En el análisis de elementos finitos utilizando ABAQUS/CAE, se definieron superficies de contacto entre
elementos que poseen determinadas características y son establecidas según la relación física que exista
entre sus componentes. Estas son claves para la adecuada convergencia de la solución del modelo. En
el Anexo 2.2 se explican cada una de estas interacciones relacionándolas con lo que sucede en la
realidad.
Tipo de eje Dimensiones del área de
contacto equivalente “b” (mm)
Eje simple con ruedas duales (ESRD) 332
Eje tándem con ruedas duales (ETRD) 321
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
51
2.2.5 Modelo de condiciones de contorno
En ambos modelos las losas de hormigón están apoyadas sobre un suelo como medio soportante. Dicho
suelo es representado como un semiespacio infinito, modelado a través de un dominio con geometría
rectangular. Las condiciones de borde para idealizar este medio surgen a partir de criterios desarrollados
por (Alam et al., 2013; Fang et al., 2004; Hossain et al., 1997; Pánek & Vébr, 2007), donde se restringe
los desplazamientos en las direcciones horizontales U1 y U2 (correspondiente a los ejes “X” y “Y”,
respectivamente) en la periferia del dominio, los desplazamientos verticales en dicho contorno no se
restringieron permitiendo que las tensiones y desplazamiento en ese sentido se propaguen hasta el final
del continuo sin generar distorsiones en el modelo numérico. En el fondo se colocaron restricciones en
las tres direcciones representando un lecho de rocas. En el extremo correspondiente al límite entre un
carril y otro se colocaron tanto en la losa como en el suelo condiciones de simetría en el eje X (XSIMM
U1=U2=U3=0) definiendo solo la sección de estudio. Ver figura 2.4.
Figura 2.4 Esquema de las dos variantes con sus condiciones de contorno y restricciones.
2.2.6 Calibración y validación del sistema de pavimentos
Cuando se emplean métodos numéricos en la solución de diversos problemas de ingeniería, los
resultados obtenidos son aproximados. Por este motivo los modelos numéricos tienen que someterse a
un proceso de calibración, del cual se puede decir que consta de dos pasos fundamentales la calibración
matemática y la calibración física. La calibración matemática garantiza una aproximación adecuada y
estabilidad de la solución obtenida. Por su parte, la calibración física, garantiza que el modelo
implementado tenga correspondencia con el fenómeno físico que se estudia. Por esta razón el proceso
de calibración física necesita disponer de ensayos previos a escala real o reducida del fenómeno
estudiado. En el caso particular de esta investigación se carece de tales resultados, por tanto, solo se
limitó a calibrar matemáticamente el modelo y a su estudio de sensibilidad.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
52
2.2.6.1 Calibración matemática
a) Selección del tipo de elementos finitos
(ABAQUS/CAE, 2014) Cuenta en su biblioteca de elementos sólidos (3D) con tres tipologías diferentes:
los prismáticos de seis lados, prismáticos de cinco lados (cuñas) y tetraedros (pirámide de base
triangular), los cuales pueden pertenecer a las familias lagrangeanas o serendípeta indistintamente.
Para el estudio se pudiera variar las tres tipologías de elementos, sin embargo, para la elección se tuvo
en cuenta lo planteado en las investigaciones precedentes donde se empleó el método de los elementos
finitos (MEF) ya referidas en el capítulo 1 y la configuración geométrica del modelo. A partir de esto se
colocó el elemento prismático de seis lados y ocho nodos perteneciente a la familia serendípeta conocido
en la biblioteca de (ABAQUS/CAE, 2014) como el C3D8 en la losa de hormigón, pasadores, barras de
amarre y cimiento.
b) Estudio y selección de la densidad de malla
No basta con conocer el tipo de elemento, sino que también es necesario determinar su tamaño
adecuado a fin de obtener una buena convergencia con un óptimo costo computacional, aspecto que es
muy subjetivo, pues depende en gran medida de la disponibilidad tecnológica que se cuente en materia
de hardware. A medida que disminuye el tamaño de los elementos finitos al discretizarse un volumen, se
minimiza el error, pues aumenta la cantidad de nodos, disminuyendo la distancia entre estos, aspecto
que provoca el incremento del costo computacional, donde muchas veces los procesos de cálculo son
extremadamente prolongados. Mallas muy densas implicarían una mejor interpolación numérica, pero
una mayor cantidad de elementos en la matriz rigidez aumentando así el número de ecuaciones lineales
a solucionar.
Para la selección de la densidad de malla se mantuvo el elemento finito (C3D8) y se realizó un diseño
factorial, combinando las separaciones entre nodos en la horizontal (b) y la vertical (h), de forma tal que
se respetaran las recomendaciones referidas a la relación de aspecto del elemento (Oñate, 2005; O.C.
Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004) . El estudio solo se llevó a cabo en la losa central (incluyendo el paseo
de hormigón), en el resto de las losas y el cimiento se mantuvo una malla constante, (100x100x100 mm
en losas y paseos, 200x200x200 mm en el cimiento). La separación entre nodos se varió desde 100
mm hasta 20 mm. La variable de control medida en cada combinación fue la tensión en la fibra más
traccionada debajo de la huella ubicada en el borde de la losa. Ver figura 2.5.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
53
Figura 2.5 Esquema representativo del diseño factorial y su variable de control.
Como valor de contraste o patrón se tomó la tensión obtenida en la misma posición donde se midió en
el modelo propuesto, pero empleando un software de propósito específico también basado en el MEF
elaborado por la Universidad de Maine (EverFE, 2004), ya validado y empleado en sus versiones
anteriores por (Davids & Mahoney, 1999; Davids, Turkiyyah, & Mahoney, 1998; Davids, Turkiyyah,
& Mahoney, 2004). El software se basa en una losa de hormigón apoyada sobre un medio discreto de
Winkler, caracterizado por el módulo de reacción “k”.
Figura 2.6 Modelo empleado para la calibración numérica.
El modelo estudiado presenta las mismas características en la losa que el de la Universidad de Maine,
pero difieren en cómo caracterizar el cimiento; para lograr una equivalencia entre ambos resultados y
poder contrastar las soluciones del estudio con el valor patrón, se convirtió el módulo de reacción de la
subrasante (k) del modelo de Maine en módulo resiliente (Mr). Para ellos se usó una correlación
implementada en el software (StreetPave12, 2014). Ecuación 2.1.
2( ) 0.001 0.3727 23.317RM k k k (2.1)
En el estudio se corrieron un total de 25 combinaciones con las condiciones fijadas en la figura 2.6 y se
compararon los resultados de cada una de ellas contra los del EverFE v2.24 (modelo con malla densa).
C3D8
Losa de hormigón:
h=200 mm
Eh=26000 MPa
ν=0.17
Suelo del cimiento:
k=40 MPa/m
Equivale a:
Mr=132 MPa
ν=0.35
Eje simple con ruedas duales de 100 kN
A 20 mm
B 40 mm
C 60 mm
D 80 mm
E 100 mm
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
54
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0 20 40 60 80 100
Ten
sió
n e
n e
l bo
rde
(MP
a)
Tamaño de malla vertical en mm (h)
Mh=20mm
Mh=40mm
Mh=60mm
Mh=80mm
Mh=100mm
Tamaño de malla horizontal (b)
22:32:10
3:11:31
1:01:490:45:55
0:31:55
0:14:24
2:24:00
0:00:00
0 20 40 60 80 100
Tie
mp
o d
e co
mp
uto
(h
h:m
m:s
s)
Tamaño de malla vertical en mm (h)
CPU: Intel Core i5Mem. RAM: 6.0 GB
b) a)
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
0 20 40 60 80 100 120
Err
or
rela
tivo
(%
)
Tamaño de malla vertical en mm (h)
El método empleado para comparar las soluciones fue el de las normas de error absoluto y relativo en
un punto. Los resultados del estudio pueden verse en una tabla en el Anexo 2.3. Con la tabla se
construyeron varios gráficos que se muestran a continuación.
Figura 2.7 Influencia de las combinaciones de tamaño tanto en la vertical como la horizontal.
La figura muestra que las líneas correspondientes a cada densidad de malla horizontal prácticamente no
se separan lo que indica la poca influencia sobre la variable respuesta, no ocurre así con la malla vertical
que a medida que esta se hace más densa las tensiones aumentan con excepción de las densidades 60
y 80 que se generaron en la vertical casi la misma cantidad de elementos por tanto no genera mucho
cambio. Para la selección de la combinación definitiva del anexo se extrajeron las mallas que menor
error tenían y con estas se construyeron los siguientes gráficos.
Figura 2.8 a) Comportamiento del error en función del tamaño de la malla en la vertical. b) Comportamiento del tiempo de cómputo con el incremento en la densidad de malla vertical.
Como muestra la figura 2.8 (a) a medida que se refina la malla en la horizontal para la máxima densidad
en la vertical se reduce el error hasta un punto donde este prácticamente no comienza a variar y se
encuentra por debajo al 3% respecto al valor patrón. Inicialmente esto corrobora de cierta manera, la
eficiencia de esta densidad de malla y lo planteado por (O.C Zienkiewicz & R.L Taylor, 2004) sobre que
a medida que la densidad de malla aumenta la convergencia hacia la solución es cada vez mejor hasta
un cierto límite donde un aumento en la malla ya no genera cambios en la solución pero sigue creciendo
el tiempo de cálculo, esto se puede observar en la figura 2.8 (b) donde se aprecia como el tiempo de
cómputo crece exponencialmente.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
55
0
50
100
150
200
250
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Tie
mp
o d
e C
PU
(m
in)
Profundidad del cimiento x1000 (mm)
Des
pla
zam
ien
to (
mm
)
Después de valorar lo antes tratado se puede concluir que la densidad óptima para la disponibilidad de
hardware con que se cuenta es la de resolución 40x40x20 mm en la losa y 200x200x200 mm en el
cimiento, con tiempo de cálculo de aproximadamente de 3 horas y 11 min.
2.2.7 Simplificaciones en el dominio
Usualmente, la modelación de sólidos elásticos en ABAQUS no genera mucho tiempo de cálculo, sin
embargo, en el modelo propuesto, el tamaño y número de partes sumado las múltiples interacciones
(pasadores y barras de amarre) provocan que se retarde la convergencia de la solución. En la
investigación se pretende modelar un gran número de casos, lo que implica demoras en el estudio, es
por ello, que se decidió realizar simplificaciones en el dominio, con el fin de reducir dicho tiempo.
2.2.7.1 Análisis de profundidad del semiespacio infinito
En este estudio se pretende encontrar la profundidad de suelo que acerque al dominio a la condición de
semiespacio infinito, invirtiendo en el análisis el menor tiempo de cómputo. Es de suma importancia
analizar tal condición, pues cuando el domino es muy pequeño las ligaduras colocadas en el contorno
introducen fuerzas de reacción que incrementan la respuesta del medio por efecto de confinamiento. En
el estudio se tomaron varias profundidades del cimiento y se fue verificando el desplazamiento en un
nodo de control próximos al contorno, teniendo en cuenta que el modelo se encontrara en la condición
más desfavorable (mínimo espesor de losa y calidad del cimiento, sin paseo de hormigón). Los resultados
del estudio se pueden ver en detalles en el Anexo 2.4 y se muestran en la siguiente gráfica.
Figura 2.9 Influencia de la profundidad del cimiento en el desplazamiento.
Como se evidencia en la figura, a medida que el suelo tiene mayor profundidad se asemeja más a la
condición de espacio infinito, ya que el desplazamiento antes del contorno tiende a cero, sin embargo,
cuando se aumenta el tamaño del dominio, aumenta también, el número de elementos finitos, por tanto,
crece el costo de cómputo. Para llegar a un balance se buscó una profundidad de cimiento razonable,
donde el costo no fuera elevado y el desplazamiento fuera próximo a cero, la profundidad obtenida fue
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
56
0.700
1.200
1.700
2.200
2.700
2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00Ten
sió
n d
e fl
exo
-tra
cció
n (
MP
a)
longitudes de losas (m)
Modelo 1
Modelo 2
12.62%
7.49%
4.95%
2.56%
0.60% 0.40%0.12% 0.33% 0.17%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
Err
or
rela
tivo
%
Longitud de losa (m)
a) b)
.
Modelo 2 Modelo 1
de 1.50 m con una duración de cálculo computacional de 33 minutos para el caso de losa sin paseo de
hormigón; si se le coloca este, el tiempo crece aproximadamente en 2.5 veces este valor (1 hora y 23
minutos).
2.2.7.2 Simplificación geométrica del sistema de pavimentos
Para realizar la simplificación geométrica se partió de planteamientos realizados por (Packard, 1968;
Pickett & Ray, 1951), donde afirman que cuando la carga está ubicada en el centro borde de la losa, la
presencia de juntas transversales tienen muy poca influencia en los resultados debido a la lejanía relativa
de la carga. De esta manera, las tensiones en el centro borde de la losa son independientes del tipo de
mecanismo de transferencia de cargas. Este planteamiento condujo a simplificaciones geométricas del
modelo prescindiendo de las dos losas extremas.
Se demostró lo planteado por autores, a partir de construir un modelo de una losa y compararla con el
modelo integro inicialmente empleado en la investiación, bajo las mismas condiciones de carga y
materiales, figura 2.10.
Figura 2.10 Modelos a comparar en el análisis de simplificación geométrica.
Se emplearon distintios tamaños de losas con un mismo ancho de carril (3.50 m) en ambos modelos. En
cada caso se midieron las tensiones debajo del centro de la huella ubicada en el centro borde de la losa,
a partir de aquí, se compararon ambos resultados con dos gráficos que reflejan las diferencias y el error
que se comete cuando se usa un modelo u otro, a partir de variar los tamaños de losas.
Figura 2.11 a) Comportamiento de las tensiones en ambos modelos para distintas longitudes de losas. b) Error que se puede cometer en una solución con respecto a la otra.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
57
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
100 150 200 250 300 350 400
Ten
sió
n e
n e
l bo
rde
(MP
a)
Espesor de losa (mm)
(Westergaard, 1947)
(EverFE v2.24, 2004)
(ABAQUS,2014)
La gráfica de la figura 2.11 (a) muestra la variación de las tensiones para ambos modelos. Se puede
apreciar que para longitudes de losas menores a 3.5 m (losa cuadrada), el gráfico que representa el
modelo 1 da tensiones más pequeñas en comparación al modelo 2, este fenómeno ocurre debido a la
influencia del mecanismo de transferencia de carga, el cual contribuye a minimizar los esfuerzos que se
originan en la losa central distribuyendo parte de ellos hacia las contiguas. Para longitudes mayores a
3.5 m las gráficas que representan el comportamiento de ambos modelos no tienen prácticamente
diferencias, lo cual se ve más claro cuando se analizan los errores en la figura 2.11 (b), donde se puede
cuantificar que a partir de 3.5 m el error que se puede cometer usando un modelo u otro no supera el
5%, esto corrobora lo planteado por los autores citados al inicio de este epígrafe y nos permite simplificar
el modelo de aquí en lo adelante a una sola losa.
2.2.8 Validación y estudio comparativo del ensayo numérico definitivo con los modelos de
Westergaard y el EverFE
Para validar las condiciones preestablecidas en el proceso de calibración matemática, se comparó el
modelo numérico en ABAQUS/CAE, con el modelo de respuesta clásico de (Harald Malcolm
Westergaard, 1948) y el resultado de un software de elementos finitos EverFE v2.24 empleado
anteriormente en el proceso de calibración numérica. Para lograr correspondencia numérica entre los
tres modelos fue necesario en el caso del modelo de ABAQUS realizar nuevamente una equivalencia
entre módulo de reacción y el módulo resiliente (ecuación 1.8) en el suelo de cimiento de la losa. Para
validar se varió el espesor de losa aproximadamente sobre los límites a emplear en la investigación
tomando en todos los casos la tensión en flexo-tracción que se origina en el centro borde de la losa,
mostrándose los resultados en el siguiente gráfico.
Figura 2.12 Influencia del espesor sobre las tensiones empleando distintos métodos.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
58
El gráfico muestra que el modelo numérico de (ABAQUS/CAE, 2014) sigue tendencias en los resultados
parecidas a las del resto. Las diferencias con el modelo de (Harald Malcolm Westergaard, 1948) están
dadas porque para analizar el fenómeno el investigador toma en cuenta hipótesis y simplificaciones que
conducen al modelo a un resultado conservador, no ocurre así, con el modelo del EverFE, donde las
diferencias son menores debido en parte, a que ambos programas comparten la misma herramienta de
cálculo numérico (MEF) sin embargo, no el mismo fenómeno físico, pues como se mencionó
anteriormente se realizó una equivalencia en el suelo de cimiento, a partir de una relación matemática
entre los dos parámetros, lo que introduce un error adicional. Independientemente de las diferencias
entre el modelo estudiado y el del EverFE no supera el 10% de error.
2.3 Modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento
Este epígrafe tiene como objetivo plantear las consideraciones generales para la simulación
computacional de un ensayo con placa de carga, que permitirá estudiar la influencia del comportamiento
mecánico de los materiales componentes de la subrasante y subbase en el módulo resiliente sobre la
superficie del pavimento. Para su validación, se emplearán resultados obtenidos de un tramo
experimental. Las consideraciones para la modelación siguen el esquema organizativo citado en el
epígrafe anterior visible en el Anexo 2.5.
2.3.1 Modelo geométrico del ensayo de placa
El modelo numérico intentará simular un ensayo con placa de carga en el campo (problema con infinitos
grados de libertad), para ellos debe considerar un medio de dimensiones finitas descrito por modelo axial-
simétrico con eje de simetría en el centro de la placa. El modelo se construyó de acuerdo a la teoría de
capas elásticas de (Burmister, 1945) siguiendo los criterios del “modelo bicapa con placa rígida de
carga”. Como el modelo fue validado con resultados experimentales realizados en Brasil, se siguieron
las recomendaciones de la norma de ensayo estático con placa de carga (DNIT/055, 2004) empleados
para este propósito.
El dominio se representa como un semiespacio axial-simétrico de dos capas; la superior correspondiente
a una base o subbase de 20 cm de espesor, mientras que la inferior se consideró de espesor infinito. Las
dimensiones del dominio se establecieron teniendo en cuenta el criterio de autores como (Broche, 2005;
Cobelo, 2004; Ibañez, 2001; Pérez, 2008) a fin de evitar que la placa cargada no interfiera en el estado
tenso-deformacional del medio. Es por eso que se asume las siguiente siguientes recomendaciones.
Figura 2.13.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
59
𝑞(𝑟) =𝑞𝑎
2(𝑎2 − 𝑟2)0.5 𝑠𝑖 𝑟 = 0 ∴ 𝑞 =
𝑞
2
𝑠𝑖 𝑟 = 𝑎 ∴ 𝑞 → ∞
a: radio de la placa
q: valor medio de la presión.
r: posición del punto en la función
Figura 2.13 Esquema del modelo axial-simétrico.
2.3.2 Modelo representativo de la carga
La carga en el ensayo se aplicó sobre una placa rígida, lo que nos aleja de la posibilidad de simular el
proceso como una carga distribuida en la superficie, ya que la distribución de presiones en una placa
rígida es no uniforme y tiende al infinito cuando nos acercamos al borde. Esto se demuestra con la
expresión que describe la distribución de presiones para ese caso obtenida por (Ullidtz, 1987) reflejada
también en el libro de (Huang, 2004)
Figura 2.14 Representación del modelo teórico de una placa rígida en el pavimento.
Para lograr este efecto analíticamente en el software, se construyó la placa como un elemento conocido
como rígido discreto, el cual es una parte que será mallada pero su rigidez es infinita. La carga se colocó
en un punto de referencia ubicado en el centro de la placa coincidente con el eje de simetría axial y se
fue aumentando en forma de rampa con incrementos del 10% del total a aplicar hasta llegar al 100% (0.7
MPa), aproximadamente donde se realizan las mediciones del desplazamiento en dicho punto.
2.3.3 Modelación de los materiales componentes
La modelación del material se desarrolló teniendo en cuenta que el módulo en la superficie es un
parámetro elástico, por eso, se toma un modelo constitutivo lineal elástico con módulo de elasticidad
(relacionado con el módulo resiliente para los modelos de respuesta en pavimentos) y el coeficiente de
Poisson (ν), ambos fueron estimados en función de la clasificación de los suelos de subrasante y subbase
a partir de trabajos realizados por (Papagiannakis & Masad, 2008). En la validación del modelo estas
Diámetro de la placa:
𝐷 = 0.8𝑚
Profundidad de suelo:
𝑎 ≥ 3.20m 4.00m
Ancho del suelo:
𝑏 ≥ 3.20m 4.00m
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
60
propiedades se estimaron a partir de la clasificación de los suelos del tramo experimental en la estación
129+10.0 (Anexo 2.6). Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Tabla 2.2 Propiedades elásticas de los suelos estimadas para los suelos de los experimentos numéricos.
Estación Clasificación del
suelo según AASHTO
Capa Módulo de Elasticidad (MPa) Coeficiente de Poisson (ν)
Intervalo Valor medio Intervalo Valor medio
129+10.0 A-2-4 Base 193-259 226 0.3-0.4 0.35
A-7-6 subrasante 34-93 63 0.3-0.5 0.4
2.3.4 Mallado y calibración matemática del modelo.
La geometría del dominio fue discretizada con elementos isoparamétrico de 4 nodos con formulación
axial simétrica (ABAQUS, 2013), de manera que la mayor densidad de malla se encuentre en las zonas
de interés y siguiendo recomendaciones de (Oñate, 2005; O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004)
referidas a las características que deben cumplir el proceso de mallado de un sólido para evitar errores
en la convergencia.
2.3.4.1 Calibración matemática
A partir de estudios realizados con anterioridad en estos modelos solo se varió la densidad de malla sin
cambiar el tipo de elemento o esquema de integración. Se probaron 10 densidades en la zona de interés,
partiendo de una malla gruesa (100 mm) hasta una muy densa (10 mm), en cada da caso se extrajo la
variable respuesta (desplazamiento en el nodo de control), dichos valores se contrastaron con la solución
analítica de Burmister, para un sistema bicapa con placa rígida ilustrado en el libro de (Huang, 2004).
En el caso especial de esta calibración para seguir acorde con la solución analítica se cambió el
coeficiente de Poisson de ambas capas a ν=0.5. Los resultados se muestran en la figura 2.15 y Anexo
2.7.
Figura 2.15 a) Comportamiento de la densidad de malla vs variable respuesta. b) Error relativo respecto a la solución analítica.
-2
-1.95
-1.9
-1.85
-1.8
Des
pla
zam
ien
to e
n e
l no
do
de
con
tro
l (m
m)
Modelos
Aumento de densidad
a)
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
Err
or
rela
tivo
(%
)
Modelos
Aumento de densidad
b)
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
61
La figura 2.15 (a) muestra que a medida que aumenta la densidad de malla, el valor de la variable
respuesta y el error respecto a la solución analítica van disminuyendo hasta el punto MEF-3, donde se
torna asintótico, esto significa que a partir de ahí no se obtendrán mejoras en la convergencia numérica
del modelo, sin embargo, continuaría aumentando el costo de cómputo. En el caso de la figura 2.15 (b)
el error de manera general en todas las simulaciones oscila entre 8 y 2 % lo que demuestra que el modelo
desde el punto de vista físico no está lejos de la realidad y al igual que la figura 2.15 (a) en la densidad
MEF-3 los valores dejan de sufrir cambios.
Después de una valoración de los criterios antes tratados, se decidió adoptar la densidad de malla del
modelo MEF-4 (40 mm), ya que este ofrece un error muy pequeño respecto al “valor de malla más densa”
lo que conlleva a una buena aproximación con el mínimo de costo computacional.
2.3.4.2 Calibración física constitutiva y validación del modelo
Cuando se modelan fenómenos de la ingeniería relacionados con la mecánica del sólido usualmente se
emplean propiedades específicas de los materiales útiles para el desarrollo de determinado modelo
constitutivo, estas propiedades generalmente son el producto de múltiples ensayos, donde se extrae el
valor medio como resultado.
El uso de estos valores medios para la modelación computacional al momento de validar la solución
experimental trae ciertos errores, ya que las propiedades constitutivas del experimento en realidad no
coinciden en la mayoría de los casos con los valores medios. Para ello es que se desarrolla lo que se
conoce como calibración física donde se variarán las propiedades constitutivas del modelo numérico
hasta obtener una respuesta similar a la del experimento, siempre siguiendo la aleatoriedad que
persiguen dichas propiedades.
En la investigación se realizó un análisis inverso, donde a partir de la ecuación de una superficie de
respuesta de un experimento factorial realizado con el valor medio de los módulos de ambas capas y los
extremos de sus intervalos de confianza (Tabla 2.2), a fin de obtener la respuesta experimental con las
supuestas propiedades constitutivas de las capas. Se empleará para el estudio el asistente matemático
MATLAB R2014b como herramienta para la construcción e interpolación de la superficie de respuesta y
obtención de los módulos en el proceso inverso.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
62
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Des
pla
zam
ien
to (
mm
)
Presión (kPa)
EXPERIMENTO EST 129+10.0
ABAQUS calibrado
ABAQUS sin calibrar (valor medio)
Figura 2.16 Calibración física del ensayo de placa. a) Diseño factorial, b) Superficie respuesta y c)
Valores aproximado de los módulos de las capas a partir de la respuesta experimental.
En la figura 2.17 se puede validar los resultados comparando el modelo numérico sin calibrar (valores
medios de los módulos de las capas) y el modelo ya calibrado con el ensayo experimental.
Figura 2.17 Comparación de los resultados del modelo numérico sin calibrar y el calibrado con el
experimento.
Como se observa en el gráfico, el modelo calibrado físicamente se comporta casi de igual forma que el
ensayo desarrollado por (Rezende, 1999). Con ello es posible decir que la respuesta del modelo
numérico se acerca bastante a la realidad. Es necesario aclarar que estas condiciones no son definitivas,
pues los suelos para carreteras tienen un comportamiento extremadamente heterogéneo y muy difícil de
caracterizar. Sin embargo, este estudio sirve como referencia para decir que el modelo numérico
representa una aproximación fiable de un ensayo estático con placa de carga.
2.4 Modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón
El módulo de rotura del hormigón es uno de los parámetros condicionantes en el comportamiento a fatiga
de los pavimentos, este, como se mencionó en el capítulo 1, se obtiene a través de ensayar a flexión una
viga isostática con carga a un medio o a un tercio de la luz (NC-245, 2003). Los resultados del ensayo
con carga a un tercio de la luz son los más usados para el diseño de pavimentos. En el siguiente epígrafe
Diseño factorial 32 Superficie respuesta Módulos reales del experimento
d (
mm
)
d (
mm
)
a) b) c)
E1=218.7 MPa E2=88.16 MPa d=0.8801 mm
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
63
se muestran las consideraciones para simular numéricamente el ensayo junto a su calibración y
validación con resultados experimentales. Al igual que el resto de las modelaciones anteriores tiene un
esquema organizativo visible en el Anexo 2.8
2.4.1 Modelo geométrico
La modelación computacional del ensayo (NC-245, 2003) considera dos elementos: vigas de hormigón
simple y mecanismos para la transmisión de carga. Las dimensiones de los elementos empleados en el
estudio se tomaron en función de unos experimentos realizados en la Universidad de São Pablo (USP)
por (Cervo, 2004), los cuales se emplearon en el proceso de calibración y validación del experimento
numérico. Los detalles del experimento se encuentran en el Anexo 2.9.
Figura 2.18 Representación geométrica de los ensayos realizados por (Cervo, 2004).
2.4.2 Modelo de cargas y condiciones de contorno
La carga en el modelo se situó partiendo de las consideraciones establecidas por la norma (cargas
puntuales a un 1/3 de la luz). Para lograr que la carga sea trasmitida a los cilindros se colocó un punto
de referencia en el medio y sobre el punto se le aplicó una restricción del tipo “equation constraint” la
cual provoca que la carga que se le suministre al punto de referencia sea trasmitida hacia los cilindros
metálicos de igual forma. Se incrementará progresivamente por pasos hasta la rotura del material,
empleando para ello en el módulo “Step” el análisis “Static Riks”. Se estableció la acción de la gravedad
para tener en cuenta el efecto del peso propio del elemento.
Las condiciones de contorno se colocaron tratando de representar físicamente lo que sucede durante el
experimento.
Para simular las condiciones isostáticas de la viga se restringe en uno de los apoyos tres grados de
libertad en desplazamiento en la dirección de X, Y y Z respectivamente y el otro solo en la dirección
de Z a fin de simular un simple apoyo.
Con el fin de evitar posibles torsiones en el modelo por concepto de la interacción rodillo-viga se
realiza un plano longitudinal de partición donde se restringe la dirección perpendicular a dicho plano,
de igual forma se realiza una partición con un plano central realizando el mismo proceso.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
64
En el caso del rodillo se le restringen las dos direcciones ortogonales a la dirección de aplicación de
la carga con el fin de evitar que estos se corran de su posición.
Figura 2.19 Condiciones de contorno del modelo.
2.4.3 Modelo de interacciones
Viga-Transmisor de cargas: Para esta interacción se utilizó un contacto normal del tipo “hard-contact”
de manera que la interfase responda ante los esfuerzos verticales y a su vez simule la condición de
vinculación de la viga solo con sus apoyos, lo que garantiza que esta no esté apoyada continuamente,
representando el fenómeno que ocurre en el modelo físico real.
Figura 2.20 Relaciones de contacto rodillo-viga de hormigón
2.4.4 Modelos constitutivos de los materiales componentes del sistema
a) Modelación del hormigón
En el proceso de modelación de geomateriales, en particular del hormigón, hay que tener en cuenta una
serie de aspectos relacionados con su comportamiento bajo diferentes estados tenso-deformacionales
(Bonilla, 2008). En el caso de la investigación en el ensayo se lleva el hormigón hasta el fallo, por eso
para la simulación del hormigón en la etapa no lineal ha sido utilizado el Modelo de Daño Plástico (Krätzig
& Pölling, 2004; Lee & Fenves, 1998; Lubliner, Oliver, Oller, & Oñate, 1989). Dicho modelo se
encuentra actualmente implementado en el código (ABAQUS/CAE, 2014), considera los fenómenos más
importantes del hormigón basados en los principios teóricos del Modelo de Mohr-Coulomb Modificado.
Siendo además creado para estudiar los efectos de daños irreversibles asociados a los mecanismos de
fallas, que ocurren en el hormigón, fenómeno coincidente con el ensayo tratado.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
65
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
3.00E+07
3.50E+07
0.000E+00 1.000E-03 2.000E-03 3.000E-03 4.000E-03
Ten
sió
n (
MP
a)
Deformación
Comportamiento en compresión
0.00E+00
5.00E+05
1.00E+06
1.50E+06
2.00E+06
2.50E+06
3.00E+06
3.50E+06
0.000E+00 5.000E-05 1.000E-04 1.500E-04 2.000E-04
Ten
sió
n (
MP
a)
Deplazamiento (m)
Comportamiento en tracción
Para la introducción de la curva de tensión-deformación en tracción, se utiliza el comando *CONCRETE
TENSION STIFFENING, TYPE=DISPLACEMENT y para la compresión *CONCRETE COMPRESSION HARDENING
(Figura 2.21). Dichas curvas se obtuvieron a través de modelos teóricos provenientes del Manual
Europeo (EHE-08, 2008), los cuales establecen sus modelos a partir de la resistencia a compresión
característica del hormigón (Framcisco López Almansa, Bashar Alfarah, & Sergio Oller, 2014; Birtel
& Mark, 2006) y (Kmiecik & Kamiński, 2011). Ver Anexo 2.11 (a) y 2.11 (b).
Tabla 2.3 Propiedades del hormigón en la etapa elástica.
Módulo de elasticidad (MPa) Coeficiente de Poisson
4700 ´cE f c 0.17
Densidad del hormigón γc = 2400 kg/m3
Tabla 2.4 Propiedades del hormigón en la etapa plástica.
Angulo de dilatancia (Ψ°)
Excentricidad fb0/fc0 K Parámetro de
viscosidad
15 0.1 1.16 0.66 0
Entre las propiedades en la etapa plástica se encuentra la excentricidad, la cual es un número positivo
pequeño que define la velocidad a la que el potencial de flujo hiperbólico se aproxima a su asíntota. El
valor predeterminado es 0.1. El parámetro fb0/fc0 es la relación entre el esfuerzo inicial de fluencia en
compresión biaxial y la tensión inicial uniaxial de fluencia a compresión. Para los parámetros K y el
parámetro de viscosidad también se han usado los valores predeterminados 0.66 y 0.0 respectivamente.
Figura 2.21 Curvas de comportamiento del hormigón.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
66
C3D8 C3D6 C3D4
C3D8 C3D6 C3D4
b) Modelación del transmisor de Cargas
El trasmisor de carga fue modelado como un material ficticio con módulo de elasticidad 10 veces mayor
que el del concreto para garantizar que cuando sea aplicada la carga este no se deforme y provoque
tensiones ajenas a las que se desean para el ensayo.
2.4.5 Calibración matemática
ABAQUS cuenta en su biblioteca de elementos sólidos (3D) con tres tipologías diferentes: los prismáticos
de seis lados, prismáticos de cinco lados (cuñas) y tetraedros (pirámide de base triangular), los cuales
pueden pertenecer a las familias lagrangeanas o serendípetas indistintamente.
Figura 2.22 Tipologías de elementos de la biblioteca de ABAQUS/CAE.
Se ha hecho un estudio para la selección del tipo de elemento finito y al mismo tiempo la densidad de
malla más conveniente, capaz de representar con la mayor aproximación el verdadero comportamiento
físico de la estructura, en este caso de la probeta experimental. Para tal propósito se realizó un diseño
multifactorial donde se variaron indistintamente cinco densidades de mallas con los tres tipos de
elementos finitos.
Los modelos para el estudio fueron sujetos a las mismas condiciones de borde, magnitud de la carga,
así como propiedades físicas de los materiales. Independientemente de que la combinación de elemento
y densidad sean diferentes.
En la siguiente tabla se muestra comparativamente el resultado de las variables respuesta, a partir de
las soluciones numéricas y experimentales. Se tomó como referencia la carga de rotura obtenida en el
ensayo experimental (Anexo 2.9) y las obtenidas utilizando las diferentes configuraciones, verificando
los resultados en el punto de control.
Figura 2.23 Mallado con distintos tipos de elementos finitos.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
67
Tabla 2.5 Resultados de la simulación virtual con diferentes tipos de elementos y densidades de malla.
Elemento Densidad de malla (mm)
cantidad de elementos
Carga de rotura (N)
Error absoluto (N)
Error relativo (%)
C3D8
30 168 10458 3169.2 23.26
25 256 11247 2380.1 17.47
20 600 11385 2242.3 16.45
15 1092 11654 1972.6 14.48
10 4000 12555 1072.3 7.87
C3D6
30 368 11138 2489.4 18.27
25 528 11740 1886.7 13.85
20 1272 12019 1608.3 11.80
15 2508 12393 1234.2 9.06
10 8820 12848 779.1 5.72
C3D4
30 1636 11992 1634.6 11.99
25 2531 12318 1308.5 9.60
20 5197 12932 695.3 5.10
15 9717 13269 358.0 2.63
10 29885 14329 701.8 5.15
Carga de rotura del experimento (Cervo, 2004)
13333
Como se observa en la tabla 2.5 cuando incrementa la densidad de malla en todos los casos el error
disminuye, siendo la densidad de 10 mm la que menos error propone. Eso corrobora lo planteado en el
libro de (O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004) respecto a que cuando se disminuye la separación entre
los nodos la solución numérica tiende a acercarse a la analítica, nombrando este proceso como
convergencia numérica. Por otra parte, se puede observar que el elemento C3D4 como plantean en sus
trabajos (Oñate, 2005; O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor, 2004), es el que más rápido converge a la
solución, pero a cambio de ello genera un número elevado de elemento que conduce a costo
computacional también elevado.
Después de analizar lo antes planteado referido a la convergencia, el tiempo de cómputo y tomando en
cuenta la geometría del cuerpo se seleccionó la combinación de C3D8 con 10 mm de resolución. Es
válido aclarar que evidentemente estamos sacrificando convergencia a cambio de costo computacional,
esto no es conclusivo, pues la selección de una combinación u otra es relativo a la configuración de
software que se posea.
2.4.6 Calibración física y validación de los resultados
En el experimento (V-I) y (V-II) de (Cervo, 2004) Anexo 2.9 no se contó con una caracterización completa
del comportamiento del hormigón, pero se tienen datos de la variabilidad del mismo, empleados también,
en una pista de ensayo de Universidad de São Pablo (Balbo, Rodolfo, Pereira, & Severi, 2004). Los
resultados de la resistencia media a compresión fueron de 33.15 MPa con un coeficiente de variación del
15% lo que estadísticamente representa una desviación de 4.97MPa.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
68
y = 0.0025x2 - 0.1218x + 5.8323R² = 1
4.2
4.4
4.6
4.8
5
25 27 29 31 33 35 37 39
Mód
ulo
de r
otur
a (M
Pa)
Resistencia a compresión (MPa)
f´cm+σ
f´cm
f´cm-σ
Partiendo de estos datos, calibró el modelo constitutivo elasto-plástico a partir de generar curvas de daño
con el valor medio y los extremos del intervalo a partir del procedimiento descrito en el Anexo 2.11 y con
ello determinar la tensión de rotura como variable respuesta.
Con los resultados mostrado en la tabla 2.6 se construyó un gráfico que permite a través de un análisis
inverso estimar la posible resistencia a compresión del experimento y con ello construir las posibles
curvas que describen su comportamiento en la etapa elasto-plástica.
Tabla 2.6 Resultado de las simulaciones realizadas a partir de la resistencia compresión
Característica del hormigón f´cm-σ f´cm f´cm+σ
Resistencia a compresión (MPa) 28.18 33.15 38.18
Módulo de rotura (MPa) 4.42 4.59 4.89
Figura 2.24 Resultado del módulo de rotura para los tres puntos.
Como muestra la figura 2.24 en los tres puntos estudiados luego de un ajuste se obtiene una ecuación
cuadrática con un coeficiente de aproximación del 100%, en la cual se entra con el valor de módulo de
rotura del experimento (V-I) (4.8 MPa) y se obtiene como resultado las raíces de dicha ecuación (ecuación
2.2), de las raíces se selecciona una tomando como criterio, que se encuentre dentro del intervalo de
confianza del experimento.
20.0027( ´ ) 0.1312( ´ ) 5.9896 4.8 RM f c f c MPa solución12.060
36.5322
4MPa
MPa
(2.2)
El experimento (V-I) se estima que haya tenido una resistencia de 36.5 MPa. Para validar el análisis se
generaron sus curvas correspondientes en compresión y tracción y se simuló el ensayo (V-I) con esas
condiciones comparándolo con los resultados obtenidos en el experimento real, además con esas
mismas condiciones se simuló también el ensayo (V-II), el cual tiene como particularidad que cambia el
tamaño de la probeta.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
69
Tabla 2.7 Validación de los resultados contrastados con los dos experimentos
Módulo de rotura (MPa) Con simulación simple Con simulación
calibrada
Experimental simulación
simple simulación calibrada
Error absoluto
(MPa)
Error Relativo
(%)
Error absoluto
(MPa)
Error Relativo
(%)
probetas 100x100x400 mm (V-I)
4.80 4.59 4.81 0.21 4.38 0.01 0.21
probetas 150x150x500 mm (V-II)
4.87 4.27 4.62 0.6 12.50 0.25 5.21
En la tabla 2.7 los valores ya calibrados ofrecen errores aceptables, ya que en el caso más lejano cuando
cambiamos la dimensión de la probeta los errores están en el orden del 5 %. Partiendo de estos
resultados damos por validado el comportamiento del modelo numérico para representar el ensayo de la
(NC-245, 2003) en la investigación.
2.5 Conclusiones parciales
Después de abordar todo lo relacionado con las consideraciones generales sobre el proceso de
modelación computacional de los factores para determinar el número de repeticiones admisibles por
fatiga, se puede arribar a las siguientes conclusiones atendiendo a:
Referidas al modelo en 3D del sistema de pavimentos
Para los tamaños de losas comúnmente empleados en pavimentos de hormigón simple (L ≥3,5 m)
no existen diferencias significativas en las tensiones (punto de control del estudio) entre la
modelación de un sistema con tres losas (con pasadores) y el modelo de una losa aislada. La
aplicación de este último como modelo definitivo agilizó la convergencia reduciendo el tiempo de
cálculo a 25 min (con paseo de hormigón).
A partir de la figura 2.12, se puede concluir que el modelo propuesto ofreció tensiones inferiores a
las soluciones obtenidas por las ecuaciones de Westergaard y el Software de elementos finitos
EverFE. Las principales diferencias en las tensiones se dieron por la presencia de un modelo
continuo del cimiento y mejoras en términos matemáticos en la formulación del método de elementos
finitos, sin embargo, la propuesta sigue la misma tendencia de ambos modelos lo que evidencia una
correcta modelación del fenómeno.
Modelación numérica de los factores para determinar la relación de tensiones Capítulo II
70
Referidas al modelo axial-simétrico para determinar el módulo del conjunto en el cimiento
A partir de los resultados obtenidos en el tramo experimental y en el modelo numérico se puede
concluir que con un modelo axial simétrico y empleando una correcta calibración matemática y física
fue posible la modelación confiable del ensayo con placa de carga.
Referida modelación numérica del ensayo de módulo de rotura (MR) del hormigón
Cuando se carece de resultados experimentales para la obtención de las curvas de comportamiento
del hormigón, es posible generar tales curvas, a partir de modelos teóricos que dependen de un solo
parámetro (resistencia a compresión), para posteriormente emplearlos como variable de entrada en
el modelo de daño plástico del hormigón.
Después de comparar los resultados obtenidos en el modelo numérico con los resultados
experimentales de (Cervo, 2004), se puede concluir que existe una adecuada correspondencia
entre experimentación y simulación virtual, planteando la validez de la utilización del Método de
Elementos Finitos con fines de estudiar ensayos experimentales como el módulo de rotura.
De manera general en la investigación se realizaron estudios que pretenden reducir los costosos ensayos
experimentales a partir de combinar simulación computacional y experimentación, este enfoque viene
integrado en un proceso, donde luego de simular numéricamente el fenómeno se realiza una calibración
matemática y física, después es validado teniendo en cuenta las mismas condiciones del experimento.
Esto avala el empleo de la modelación en el desarrollo de la investigación.
Capítulo III
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
71
3 Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga
en las condiciones de Cuba
3.1 Introducción
En el capítulo anterior se propusieron modelos numéricos que permiten la determinación de cada una de
las variables dependientes de la ecuación para obtener el número de repeticiones que admite un
pavimento de hormigón antes de su fallo por fatiga. Determinando, a partir de un proceso de calibración
y validación, que estos describen de manera fiable los fenómenos que se trataron.
En este capítulo se realiza un estudio de las variables dependientes en condiciones específicas de tráfico
y materiales, permitiendo, que se puedan evaluar todos los posibles escenarios que aparezcan para un
diseño en Cuba. Primero, se analiza el término superior de la relación de tensiones conocido como
tensión de trabajo ( i ) el cual pudiera depender de varios factores como la geometría, la carga y los
materiales del sistema. Dentro de este este primer tema se incluye un estudio que estima en cuanto se
modifica el aporte del suelo de cimiento por la colocación de una subbase granular como solución al caso
de la losa apoyada sobre una capa adicional. Posteriormente, se realiza el análisis del término inferior
de la relación correspondiente al módulo de rotura (MR), aquí se estudia a partir de datos de la producción
nacional de hormigones en planta, que relación pudiera tener esta propiedad con la resistencia a
compresión, empleando técnicas de simulación estocásticas. Finalmente, se realiza un estudio a partir
de múltiples leyes estudiadas en la bibliografía introduciendo la variable de fiabilidad en un modelo
matemático probabilístico.
3.2 Tensiones de trabajo para el cálculo de fatiga en las condiciones de Cuba
El carácter heterogéneo y aleatorio de los parámetros que intervienen en el comportamiento de las
tensiones, ha conducido a normas internacionales como la (PCA, 1984) a crear un mecanismo que les
permitia determinar el valor de estas tensiones a partir de un modelo concebido en condiciones
específicas de trabajo, donde se varían solo una parte de los parámetros en función del diseño y el resto
son calculados a través de factores de equivalencia. En la investigación se siguió la misma filosofía, pero
primero, fue necesario estudiar que parámetros podían mantenerse fijos y cuales se variarían.
3.2.1 Geometría de la losa.
Para analizar la influencia de la geometría se tuvieron en cuenta dos factores, el espesor y la
rectangularidad de las losas. El espesor como factor más importante en este proceso es evidente su
influencia en el comportamiento, pues todos los métodos de diseño lo emplean como variable de entrada
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
72
Condiciones invariantes del experimento: Resistencia a compresión del hormigón (f´c=30 MPa).
Espesor 200 mm
Módulo resiliente del cimiento E = 50 MPa
Eje simple de 100kN y presión de contacto de 0.7 MPa.
.
3.000
3.050
3.100
3.150
3.200
3.250
3.300
1.00 1.15 1.30 1.45 1.60 1.75 1.90 2.05
Ten
sió
n e
n e
l bo
rde
dir
ecci
ón
x-x
(M
Pa)
Rectangularidad (lL/lC)
Carril de 3.00 m
Carril de 3.25 m
Carril de 3.50 m
Carril de 3.75 m
en el dimensionamiento, sus valores están entre 120 y 200 mm. La rectangularidad por su parte, ya en
el capítulo anterior en el epígrafe 2.2.6.2, se mostraron indicios de su influencia de manera indirecta, ya
que no se trata como factor, sino que para el mismo ancho de carril se variaron las longitudes de las
losas. Ahora, se realizó un estudio factorial con los anchos de carriles y longitudes de losas y se
estableció la rectangularidad como la relación entre la luz larga (lL) y la corta (lC). El ancho de carril se
varió 3.0 m hasta 3.75 m y los largos entre 3.00 m y 6.00 m, siguiendo criterios de la ACPA2.
Figura 3.1 Resultado de las tensiones en función de la rectangularidad.
En la figura 3.1 se observa el comportamiento de las tensiones a medida que la rectangularidad aumenta
en cuatro tipos de ancho de carril. Aparentemente, las tensiones disminuyen a medida que la
rectangularidad crece, pero si se analiza la magnitud de los resultados se puede verificar que la diferencia
máxima existente entre valores no supera el 5% de error, lo que se consideró como un efecto de bajo
impacto. Esto permite tomar para el estudio de tensiones unas dimensiones fijas dentro del intervalo
estudiado.
3.2.2 Materiales del sistema
3.2.2.1 Resistencia a compresión del hormigón
El objetivo de este estudio es analizar la resistencia a compresión a los 28 días como una variable a
tener en cuenta en el cálculo de las tensiones a partir de la determinación de los parámetros elásticos
2 American Concrete Pavement Association http://www.acpa.org/
Rectangularidad (lL/lC)
Largo de la losa (m)
Ancho del carril (m)
3.00 3.25 3.50 3.75
3.75 1.25 1.15 1.07 1.00
4.50 1.50 1.38 1.29 1.20
5.25 1.75 1.62 1.50 1.40
6.00 2.00 1.85 1.71 1.60
Tabla 3.1 Estudio de la rectangularidad.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
73
0
0.5
1
1.5
2
2.5
15 20 25 30 35 40 45 50
Ten
sió
n e
n e
l bo
rde
(MP
a)
Resistencia a compresión a los 28 días (MPa)
h=150 mm
h=200 mm
h=250 mm
h=300 mm
h=350 mm
del modelo empleando la correlación 4700 'E f c (MPa). Por lo general, los valores de f´c a los 28
días para hormigones utilizados en pavimento rígidos, varían entre 20 MPa y 50 MPa. En Cuba los
resultados de resistencia a compresión para pavimentos en la práctica han arrojado que se encuentran
frecuentemente entre 20 y 40 MPa. Por ello se realiza un diseño donde se varia las resistencias en ese
intervalo en conjunto con el espesor en el mismo intervalo.
Tabla 3.2 Resultados de la influencia del parámetro resistencia a compresión (f´c).
Espesor de losas
(mm)
f´c (MPa)
20 25 30 35 40
150 1.756 1.82 1.858 1.894 1.928
200 1.294 1.322 1.359 1.381 1.404
250 0.963 0.981 1.006 1.021 1.043
300 0.754 0.768 0.786 0.798 0.814
350 0.604 0.615 0.629 0.638 0.6497
Para caracterizar mejor los valores de la tabla se construyó un gráfico de tensiones contra resistencia a
compresión a los 28 días (f´c), para distintos espesores
.
Figura 3.2 Influencia de la calidad de hormigón en las tensiones que se generan en la losa, en el intervalo de resistencia de 20 a 35 MPa
Como se observa gráficamente, la calidad del hormigón dentro del intervalo analizado no ofrece marcada
variación en las tensiones que se generan en la losa ya que las diferencias máximas que se pueden
obtener entre tensiones es inferior al 9%. No obstante, se realizó una regresión múltiple de los parámetros
y se aplicó a cada uno una prueba de significancia, obteniéndose que el parámetro resistencia a
compresión a los 28 días presentaba un p-valor mayor a 0.05, lo que significa que no es estadísticamente
significativo con un nivel de confianza del 95.0%. Por tanto, para la determinación de las tensiones se
tomó como resistencia a los 28 días un valor fijo de f´c = 30 MPa (E=26000 MPa, ν=0.17).
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
74
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 200 400 600 800 1000
Ten
sio
nes
en
el b
ord
e (M
Pa)
Módulo resiliente de cimiento (MPa)
h= 150 mm
h= 200 mm
h= 250 mm
h= 300 mm
h= 350 mm
Condiciones invariantes del experimento:
Resistencia a compresión del
hormigón (f´c=30 MPa).
Losas de 4.5x3.5m
Eje de 100 kN y presión de
contacto de 0.6 MPa.
.
3.2.3 Calidad del cimiento
Para el estudio de influencia del suelo se toma como referencia el CBR, porque es el parámetro más
empleado en el diseño de pavimento por la bibliografía internacional, es de fácil obtención en los
laboratorios y presenta buena correlación con el módulo resiliente (parámetro empleado en los modelos).
Los intervalos de las calidades se seleccionaron analizando lo que propone la norma (NC-334, 2004) en
función del tráfico y teniendo en cuenta que pudiera existir una capa de material seleccionado. Se inicia
con un suelo adecuado para subrasante con valor de 5% de CBR que equivale aproximadamente a un
módulo de 50 MPa y se termina con un material de subbase de un 80 %, aproximadamente 800 MPa.
Los espesores se varían en los intervalos que emplean otras normas internacionales (AASHTO, 2004;
PCA, 1984). Figura 3.3.
Tabla 3.3 Resultados de la influencia del parámetro módulo elasticidad del conjunto.
Espesor de losas
(mm)
Módulo de elasticidad del conjunto (MPa)
50 200 350 500 650 800
150 2.853 2.133 1.858 1.689 1.568 1.474
200 1.981 1.53 1.359 1.253 1.176 1.116
250 1.426 1.123 1.006 0.934 0.881 0.84
300 1.08 0.873 0.786 0.733 0.694 0.664
350 0.836 0.695 0.629 0.587 0.557 0.534
Figura 3.3. Influencia del Módulo Resiliente en la tensión para varios espesores de losa.
De la gráfica es posible concluir que a medida que aumenta el espesor de la losa, disminuyen las
variaciones en las tensiones, evidenciado gráficamente por una reducción en la curvatura, esto se debe
al aporte en rigidez que da la losa ante la acción de la carga. También es posible decir, que a partir de
los 350 MPa el suelo tiende a tener poca influencia en las tensiones, corroborando lo expresado por
autores e instituciones (AS3600, 1994; Austroads, 2004; León, 1997; Yoder & Witczak, 1976), donde
se plantea que el mejoramiento de las capas de soporte no persigue un fin estructural, sino que se
colocan para reducir el efecto de la erosión y el ascenso de materiales finos a la superficie (bombeo), sin
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
75
embargo, cuando se mejora las propiedades del suelo se mejora ligeramente el comportamiento del
sistema por lo que este constituye un factor primordial a analizar en la obtención de las tensiones de
trabajo sobre todo cuando el espesor es pequeño.
3.2.4 Colocación de una subbase granular no aglomerada
Muchas veces nos encontramos con el problema de que el suelo de cimiento tiene elevado por cientos
de fino, lo cual es un factor que cataliza el fallo por erosión. Para reducir este efecto se recomienda la
colocación de una capa de material seleccionado sobre la subrasante, lo cual modifica las propiedades
de suelo como sistema para el diseño. Las propiedades del sistema dependerán ahora de una
combinación entre la calidad de los materiales empleados en la subrasante conjunto con los empleados
en la capa adicional y su espesor.
Para abordar todas las posibles soluciones de cimiento en el pavimento se realiza un estudio
multifactorial general que combina indistintamente calidades de subrasante con espesores y calidades
de subbase, tomando como elemento para la estimación de los módulos y los coeficientes de Poisson lo
planteado por la AASHTO (Papagiannakis & Masad, 2008). La calidad del suelo de subrasante se varió
desde 20 hasta 160 MPa (2 – 16 %). La subbase teniendo en cuenta que es para soportar un pavimento
rígido se emplearon calidades entre 160 y 500 MPa (16-50%). Tales calidades se combinaron con
espesores de subbase de 15, 20, 25 y 30 cm resultando un total de 320 simulaciones numéricas.
Con los resultados de las simulaciones se construyó un modelo que permite estimar el módulo de soporte
efectivo a partir de conocer las calidades de las capas subyacentes por medio de un modelo de regresión
múltiple. La variable dependiente es el módulo de superficie y las independientes son los módulos de la
subrasante (Esr), módulo de la subbase (Esb) y espesor de subbase (hsb), el cual se muestra a
continuación.
sb sb-34.2483 + 1.24472 E 0.121038 E + 0.122114 h sr (3.1)
El nivel de ajuste que ofrece el modelo se determinó a partir del coeficiente de determinación R-cuadrado,
con un valor de 98.23%, previamente se le realizó al modelo una prueba de significancia de cada uno de
los parámetros para ver si es posible prescindir de alguno de los términos de la ecuación, para ello se
empleó el p-valor el cual, en todos los casos dio menor que 0.05 indicando que todos los parámetros
empleado en análisis son estadísticamente significativos para una probabilidad del 95%. Desde el punto
de vista ingenieril se debe tener un margen de error en el proceso de estimación de los parámetros, por
eso también se muestra el intervalo de confianza y los errores permisibles en los coeficientes de la
ecuación. Tabla 3.4.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
76
Tabla 3.4 Intervalos de confianza del 95.0% para las estimaciones de los coeficientes.
Parámetro Estimación Error Estándar Límite Inferior Límite Superior
CONSTANTE -34.2483 2.13793 -38.4547 -30.0419
Esr 1.24472 0.0096093 1.22581 1.26363
Esb 0.121038 0.00480465 0.111584 0.130491
hsb 0.122114 0.00622754 0.109861 0.134367
En la práctica del dimensionamiento de pavimento de hormigón, métodos como (AASHTO, 1993;
AASHTO, 2004; PCA, 1984) emplea para sus cálculos además de modelos matemáticos, la nomografía.
La nomografía es una herramienta surgida en los años 70, ya olvidada en la actualidad por el avance de
la informática, sin embargo, queda demostrado que en la paráctica todavía constituye una herramienta
de gran utilidad. Esta técnica consiste en representar gráficamente relaciones matemáticas o leyes físicas
a partir de ábacos o cartas de diseño (Doerfler, 2010).
En el caso particular de la investigación con la ecuación 3.1 se construyó un nomograma empleando un
script en Python conocido como (PyNomo, 2009). Ver figura 3.4.
El nomograma muestra todas las posibles variantes en la resistencia de los suelos de subrasante y
subbases granulares. La construcción de este gráfico no solo constituye una ventaja práctica sino, que
supera al método de la PCA, sustituyendo la idealización del cimiento como medio discreto por uno
continuo, que emplea como parámetro fundamental el módulo resiliente (Mr).
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
77
Figura 3.4 Nomograma para estimar el módulo resiliente en la superficie.
3.2.5 Análisis del tráfico.
El tráfico resulta uno de los aspectos de mayor interés en el comportamiento de los pavimentos, su
influencia resulta de una combinación de factores que ya fueron tratados en el primer capítulo. Para el
cálculo de las tensiones se modeló solo dos condiciones específicas correspondiente con los ejes de
cálculo en cada caso (simple de 100 kN y tándem 180 kN), posicionados exactamente en el borde de la
losa. Posteriormente, estas condiciones específicas son corregidas por factores de equivalencia que
tienen en cuenta el efecto del peso del eje y su posición en el pavimento. La presión de inflado es un
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
78
0.900
0.920
0.940
0.960
0.980
100 120 140 160 180 200 220Rel
ació
n d
e te
nsi
on
es
Espesor de losa (mm)
a)
0.800
0.850
0.900
0.950
1.000
50 100 150 200 250 300 350Rel
ació
n d
e te
nsi
on
es
Módulo resiliente del cimiento (MPa)
b)
elemento que se mantendrá constante a partir de los antecedente relacionados con la norma de
pavimentos flexibles (NC-334, 2004) q = 0.7 MPa.
3.2.5.1 Factor de ajuste por efecto del peso del eje (pf )
Este factor se determina a partir de la relación que existe entre la tensión que ocasiona un eje de
determinado peso (σi) y la originada por el eje referencia (σe). Para poder definir esta relación como un
factor fue necesario demostrar que esta solo se ve afectada significativamente por el efecto de la carga,
para ello, se realiza un estudio factorial 33 donde se combinaron espesores y calidades de los materiales
del sistema (resistencia a compresión en la losa y módulo resiliente en el suelo) teniendo como variable
de respuesta la relación de tensiones entre un eje de 82 kN y el eje de referencia de 100 kN. Los
resultados del estudio se muestran a continuación.
Figura 3.5 Influencia de los parámetros sobre el factor de ajuste por carga; a) Influencia del espesor de losa, b) influencia del módulo resiliente del cimiento.
En la figura 3.5, las variaciones que experimentan los factores no son significativas, pues el error máximo
respecto a la media no supera el 1 % y el error entre el valor máximo y el mínimo menor que el 1.2%.
Por tanto, podemos decir que ambos parámetros tienen influencia poco significativa en el
comportamiento de los factores.
Después de analizar que solo la carga influye significativamente en la relación estudiada, se determinó
el factor de equivalencia (pf ) a partir de establecer el efecto en tensiones que genera un eje de
determinado peso respecto al eje de referencia. Para lograr esto, se modela un sistema bajo las mismas
condiciones de geometría y materiales, empleando como cargas de referencia un eje simple con ruedas
duales de 100 kN y un eje tándem de 180 kN, luego, en esas mismas condiciones se modelaron distintos
pesos de ejes extrayéndose la relación de tensiones. Partiendo de que en Cuba no existe norma que
establezca la carga legal máxima, los intervalos de los pesos empleados se asumieron de acuerdo a lo
que establecen algunas normas internacionales. Ver tabla 3.5. Los resultados del estudio se muestran
en la figura 3.6.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
79
0.600
0.650
0.700
0.750
0.800
0.850
0.900
0.950
1.000
1.050
1.100
1.150
1.200
1.250
1.300
1.350
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
Fac
tor
de
aju
ste
de
las
ten
sio
nes
po
r ef
ecto
de
la c
arg
a (f
p)
Peso del eje x 10 (kN)
Eje simple
Eje tándem
Tabla 3.5 Intervalos de carga legal máxima por tipo de ejes de algunos países.
Referencia normativa Rango de carga (kN)
Eje simple Eje tándem
República de Chile 70—110 140—180
España 100—130 110—200
México 50—120 110—210
Unión Europea 50—100 110—200
Uruguay 60—100 100—80
Figura 3.6 Factor de ajuste por efecto de la carga para eje simple y tándem.
Con el gráfico es posible determinar un factor que amplifique o reduzca las tensiones en función del eje
real que se esté estudiando teniendo en cuenta las dos configuraciones de ejes (ejes simples y ejes
tándem).
3.2.5.2 Ajuste de las tensiones teniendo en cuenta la posición de la carga
Como ya se explicó en el epígrafe 1.2.2.1 del Capítulo 1 solo un pequeño grupo de camiones circulan
por las inmediaciones del borde de la vía. Los ejes se mueven con la parte exterior de sus ruedas sobre
una franja aproximadamente de 60 cm de ancho respecto al borde. En el método de diseño de la PCA
se asume el 6% de camiones circulando dentro de la franja, para lo cual determinan un factor que reduce
las tensiones en el borde teniendo en cuenta la distancia y la probabilidad (fd= 0.896). Para la
determinación del factor de posición no se cuenta en Cuba con estudios experimentales con el nivel de
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
80
detalle que presenta la PCA, es por eso que en la investigación se limitó solo a determinar la probabilidad
de vehículos pesados dentro de la franja; que puede cambiar en función de las dimensiones de los ejes
que circulan en la vía que se estudia. El factor se determinó empleando el gráfico de la Figura 1.1.
Para la determinación de tal probabilidad, se realiza un estudio tomando como referencia tres vías de
dos carriles ubicadas dentro de La Habana. Estas vías tienen aproximadamente el mismo ancho de carril.
El objeto del estudio fue conocer cómo se distribuye la posición de los ejes en vehículos pesados a partir
de variar las distancias respecto al borde. La forma en que se diseñó y realizó el estudio constituye un
método indirecto aproximado, los detalles de su confección pueden ser consultados en el Anexo 3.1 y
los resultados se muestran a continuación.
Figura 3.7 Resultados del estudio posición del vehículo respecto a los bordes realizados en varias vías de La Habana.
Como se observa en el gráfico de probabilidad acumulada, para una distancia de 60 cm, corresponde
aproximadamente un 5.88% de vehículos pesados dentro de la franja, resultado que se acerca al de la
norma (PCA, 1984). Empleando el propio estudio de la PCA (Figura 1.1), se determina un nuevo
coeficiente de reducción (fp=0.890).
3.2.6 Tensiones equivalentes
Como resultado de la modelación del pavimento de hormigón simple, se obtuvieron las tensiones que se
originan en los bordes de la losa, con y sin paseo de hormigón, a partir de aplicar la carga de un eje
simple con ruedas duales de 100kN y en un segundo caso un eje tándem de 90 kN en el borde del
pavimento, estas tensiones fueron reducidas por un factor que se extrajo de la figura 1.1 teniendo en
cuenta que el 5.88 % de los camiones pasan a una distancia menor de 60 cm del borde de la vía. Para
la simulación de las combinaciones posibles se realizó un experimento multifactorial general donde se
combinó espesores de losas desde 12 cm hasta 35 cm, valores de módulo resiliente del cimiento desde
20 a 500 MPa, este último valor, correspondiente a calidades de bases no aglomeradas, estas tablas se
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
81
replicaron para las condiciones de la losa con paseo de hormigón y sin la presencia de este, para ejes
simples y tándem. El diseño del experimento se muestra en la siguiente tabla.
Tabla 3.6 Resumen del diseño multifactorial
Etiqueta Factor Variación Niveles
A Espesor (mm) 130 -- 350 23
B Calidad de soporte (MPa) 40 -- 500 12
C Condición de contorno con berma y sin berma 2
D Tipo de eje ejes simple y eje tándem 2
Diseño multifactorial general AxBxCxD total, de simulaciones 1104
Los resultados se expresaron desde el punto de vista práctico en dos juegos de tablas (con paseo de
hormigón y sin paseo de hormigón). A continuación, se muestra un fragmento de la tabla para un caso
específico de losas sin paseo de hormigón. Los resultados completos pueden ser consultados en el
Anexo 3.2(a) y 3.2 (b).
Tabla 3.7 Tabla de tensiones equivales en las condiciones de Cuba.
Espesor de losa (mm)
TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS SIN PASEO DE HORMIGÓN (MPa)
MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)
40 60 80 100 150 200
ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET
150 3.47 2.90 3.17 2.62 2.95 2.43 2.79 2.31 2.47 2.02 2.25 1.83
160 3.24 2.69 2.97 2.44 2.76 2.26 2.61 2.15 2.32 1.89 2.12 1.72
170 3.04 2.50 2.79 2.28 2.60 2.11 2.46 2.00 2.19 1.78 2.00 1.62
180 2.86 2.34 2.63 2.14 2.45 1.98 2.33 1.88 2.08 1.69 1.90 1.53
190 2.70 2.20 2.48 2.01 2.32 1.86 2.20 1.77 1.97 1.60 1.81 1.45
200 2.56 2.07 2.36 1.90 2.20 1.75 2.09 1.67 1.88 1.52 1.72 1.37
3.3 Relación entre el módulo de rotura y resistencia a compresión empleando simulación
estocástica
En este epígrafe se combina la generación sintética de tres poblaciones de resistencia a compresión (20,
25 y 30 MPa) con el módulo de rotura del hormigón, determinado simulando computacionalmente el
ensayo (NC-245, 2003), todo con el fin de establecer una relación entre ambas propiedades mecánicas.
Primero se realiza un estudio de los dos parámetros fundamentales que macroscópicamente intervienen
en los resultados del experimento, la resistencia a compresión y el tamaño del espécimen.
Posteriormente, comienza el estudio para la obtención de la relación matemática entre módulo de rotura
y resistencia a compresión teniendo en cuenta inicialmente las variables de entrada deterministas y luego
estocásticas. Finalmente, se realizan ajustes numéricos y estadísticos a fin de proponer una ecuación
para el uso en la práctica profesional.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
82
0.00E+00
2.00E+03
4.00E+03
6.00E+03
8.00E+03
1.00E+04
1.20E+04
1.40E+04
1.60E+04
1.83
E-0
4
2.03
E-0
4
2.23
E-0
4
2.43
E-0
4
2.63
E-0
4
2.83
E-0
4
3.03
E-0
4
3.23
E-0
4
Car
ga
(N)
Desplazamiento (m)
f´c = 20 MPa
f´c = 25 MPa
f´c = 30 Mpa
f´c = 35 MPa
f´c = 40 MPa
3.3.1 Estudios de influencia
a) Influencia de la calidad del hormigón
La calidad del hormigón está asociada su resistencia a compresión, la cual clasifica a este material para
sus usos prácticos. En la investigación se pretende emplearlo en el diseño de pavimentos rígidos para
carreteras, estas resistencias según (Anguas et al., 2002; Kraemer & Val, 1996; Mallick & El-Korchi,
2013) oscilan entre 25 y 50 MPa a los 28 días. El análisis se realizará con las resistencias de 20, 25, 30,
35 y 40 MPa. Se define como variable de respuesta la capacidad de carga de la viga definida a partir de
la carga (P) que provoca el momento de rotura el cual por ser hormigón simple es igual al momento de
fisuración.
El estudio parte de generar para cada resistencia las propiedades elasto-plástica (curvas de
comportamiento en compresión y en tracción), usando las ecuaciones y los modelos teóricos que se
muestran en el Anexo 3.3 y luego simular el ensayo (NC-245, 2003) para cada una de las condiciones
manteniendo las dimensiones de la viga (100x100x400 mm), ver tabla 3.8.
Tabla 3.8 Influencia de la resistencia a compresión del hormigón en la capacidad de carga de la viga.
Espécimen Resistencia a
compresión f´c (MPa) Carga de rotura (N) Deflexión (m)
SP1 20 9856 0.000261
SP2 25 11123 0.000260
SP3 30 12229 0.000260
SP4 35 13249 0.000261
SP5 40 14263 0.000262
Figura 3.8 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en su resistencia a compresión.
Como se observa en la tabla 3.8 a medida que aumenta la calidad del hormigón aumenta también su
capacidad de carga, esto indica que la resistencia a compresión influye de manera directa en el módulo
de rotura del hormigón. Por otra parte, se puede observar en la figura 3.8 el comportamiento numérico
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
83
del ensayo de flexión pura (NC-245, 2003), donde se evidencia el crecimiento de los valores de carga
límite y representado claramente las tres etapas por las que transita el hormigón (régimen lineal-elástico,
endurecimiento y ablandamiento).
b) Influencia de las dimensiones del espécimen
El efecto del tamaño del elemento conocido con la terminología en inglés como “Size Effect” incide
considerablemente en las propiedades de fractura del elemento, ya que a medida que el tamaño
aumenta, la energía de esta tiende a disminuir. En el campo de los pavimentos ha comenzado a tener
relevancia en los últimos años el estudio de la talla del elemento pues existe gran diferencia entre el
módulo de rotura en una viga y el de una losa de pavimento; esto no constituye objeto de estudio de la
investigación, pero se demostró el fenómeno variando las dimensiones de la viga, siempre siguiendo las
recomendaciones de la norma de ensayo ver figura 3.2.
Figura 3.9 Recomendaciones para el dimensionamiento de las probetas.(NC-245, 2003).
En la siguiente tabla y gráfico se muestra la influencia del tamaño del espécimen. Se variaron los tamaños
de las vigas en 2 niveles variando su luz libre (400 y 500 mm), el resto de las dimensiones se establecen
de acuerdo a lo recomendado (figura 3.9).
Tabla 3.9 Influencia del tamaño del espécimen en la capacidad de carga de la viga y su deflexión.
Ensayo Dimensiones (mm) Carga de rotura (N)
Deflexión (m)
SP-a 100x100x400 12284.07 0.0002580
SP-b 150x150x500 18136.13 0.0002684
SP-c 180x180x600 25677.99 0.0002866
El efecto del tamaño del espécimen está asociado a dos factores fundamentales; las dimensiones de la
sección transversal y su luz libre. Partiendo de los conceptos de fractura mientras más grande sea el
tamaño de un espécimen para la misma sección transversal se liberará más energía de fractura por tanto
su resistencia será más baja (Size effect). En el caso particular de los especímenes de la investigación
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
84
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0.00
0183
0.00
0203
0.00
0223
0.00
0243
0.00
0263
0.00
0283
0.00
0303
0.00
0323
0.00
0343
Car
ga
(N)
Desplazamiento (m)
100x100x400
125x125x500
150x150x600
SP-a
SP-b
SP-c
las variaciones se realizan en ambos factores causando como efecto un aumento en su capacidad de
carga. Nótese que también aumenta considerablemente su deflexión, lo que si se asumiese una sección
trasversal constante el efecto en la capacidad de carga sería el opuesto.
Figura 3.10 Comportamiento numérico del ensayo NC-245 con el cambio en las dimensiones del espécimen.
3.3.2 Relación entre módulos de roturas y resistencia a compresión
Para realizar este estudio se tomó como referencia la expresión más empleada por la bibliografía
mostrada a continuación.
1 'RM a f c (3.2)
Donde
f’c: Resistencia del hormigón a los 28 días.
MR: Módulo de rotura.
a1: Coeficiente experimental
El objetivo principal del estudio es determinar ese coeficiente experimental empleando simulación
numérica del ensayo a flexión, el mismo se llevó a cabo en dos etapas.
Análisis determinista.
Análisis pseudo-estocástico.
a) Análisis determinista
En el análisis determinista se trabajó directamente con los valores de resistencia a compresión
característicos más empleados en la construcción de pavimentos de hormigón, 20, 25, 30, 35 y 40 MPa,
con esas resistencias se generaron las propiedades elásticas y sus respectivas curvas de
comportamiento y luego se extrajo como variable de control la carga última con la que posteriormente se
determinaron los módulos de rotura (ver tabla). Los resultados se representaron en un gráfico de MR Vs
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
85
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
15 20 25 30 35 40 45
Mó
du
lo d
e ro
tura
(M
Pa)
Resitencia a compresión (MPa)
f´c y se le realizó una regresión con varias funciones buscando cual es la de mejor ajuste a partir de su
coeficiente de regresión (R2).
Figura 3.11 Resultados del estudio determinista.
Para la determinación del coeficiente a1 se realizó una regresión no lineal empleando la expresión 3.2
como función de referencia. En el gráfico se observa que los resultados se ajustan adecuadamente a
una función potencial con un coeficiente de regresión R2=0.9918 y un error medio absoluto de 0.03439
que no es más que el promedio de los residuos. Finalmente, la expresión resultante del estudio
determinista es:
0.6824 'RM f c (3.3)
En la práctica las propiedades físico-mecánica de los hormigones presentan cierta aleatoriedad
caracterizada estadísticamente por distribuciones de probabilidad lo cual, no ofrece un resultado
absoluto. Esta aleatoriedad resulta de una combinación entre las características de los materiales que
se emplean para la confección de los hormigones y del proceso de fabricación de estos. A partir de esto
se realiza un análisis estocástico donde se determinará el mismo coeficiente a1 teniendo en cuenta la
posible variación que pueden tener los hormigones producidos en las plantas de Cuba.
b) Análisis estocástico
Este análisis se realizó con datos experimentales de ensayos a compresión realizados en probetas de
20MPa, 25MPa y 30MPa a los 28 días. Se analizaron múltiples lotes agrupando aquellos que tuvieran
aproximadamente el mismo número de series ensayadas (3 muestras). Los datos contemplan un período
de cinco años. A partir de aquí se filtró y caracterizó estadísticamente las poblaciones, partiendo de la
teoría que su resistencia a compresión sigue una distribución normal.
Luego de caracterizar los parámetros de cada una de las resistencias se generaron muestras sintéticas
empleando generadores de números aleatorios, tomando como base la función densidad que sigue cada
población (distribución normal). Los generadores aleatorios por su naturaleza computacional fueron
Cantidad Resist. (MPa)
Carga de rotura (N)
MR (MPa)
1 20 22473.50 3.00
2 25 25352.00 3.38
3 30 27978.00 3.73
4 35 30242.30 4.03
5 40 32938.70 4.39
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
86
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
15 20 25 30 35
Mó
du
lo d
e ro
tura
(M
Pa)
Resistencia a compresión (MPa)
f´c=20 MPa
debidamente comprobados y validados para el experimento. Los datos generados posteriormente fueron
remuestreados empleando la técnica de muestreo aleatorio simple con el fin de reducir el número de
simulaciones. Finalmente, a cada valor de las muestras obtenidas, se les generaron las propiedades
elasto-plásticas empleando el mismo procedimiento descrito en epígrafes anteriores y posteriormente,
se simulo el ensayo (NC-245, 2003) . Los detalles del estudio referido a procesamiento y generación
sintética de los datos pueden ser consultados en el Anexo 3.3 y los resultados finales de las simulaciones
para las tres resistencias en el Anexo 3.4. A continuación, se muestra el caso particular para 20 MPa.
Tabla 3.10 Resultados de las simulaciones para 20 MPa.
Cantidad Resist. (MPa)
Carga de rotura (N)
MR (MPa) Cantidad Resist. (MPa)
Carga de rotura
(N)
MR (MPa)
1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04
2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88
3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27
4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11
5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52
6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07
7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52
8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03
9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33
10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79
11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18
12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21
13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03
14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45
15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48
16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03
17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52
18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99
19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21
20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92
Figura 3.12 Gráficos de Resistencias a compresión generadas vs módulos de roturas obtenidos a partir de simulación numérica.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
87
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
15 20 25 30 35 40 45
Mo
du
lo d
e ru
ptu
ra (
MP
a)
Resistencia a compresión (MPa)
ACI code (ACI-318)
EHE:2008 (España)
The Canadian Code of Practice (CSA)
Austroroad 2004
PCA 1984 (valor medio)
Norma Cubana NC 207:2003
Propuesta
Los resultados de las diferentes resistencias se agruparon en un solo gráfico para realizar la regresión
no lineal empleando la ecuación 3.3 y obtener el coeficiente a1.
Figura 3.13 Resultado de la regresión realizada a los datos agrupados. a) Ecuación 3.3 y b) Ecuación
potencia de mejor ajuste.
En la figura 3.13 se muestra la relación que existe entre los datos agrupados que fueron generados y
los módulos de rotura obtenidos de las simulaciones numéricas. Se trabajó con 165 valores entre 20 y
30 MPa, se observa que empleando la ecuación 3.3 se obtiene un a1=0.6772 con un ajuste del 98.57%
(R2=0.9857).
Para verificar los resultados del estudio se compara gráficamente la ecuación propuestas con un conjunto
de expresiones empleadas en la bibliografía para estimar el módulo de rotura.
Figura 3.14 Gráfica comparativa del resultado obtenido en la investigación con expresiones empleadas en la bibliografía.
Los valores obtenidos empleando el modelo propuesto están contenidos dentro de los resultados del
resto de las expresiones. Se muestra la representación de la expresión para calcular el módulo de rotura
que emplea actualmente la norma cubana de diseño (NC-207, 2003), comparando los valores obtenidos
con el modelo propuesto se observa que ofrece mayores valores de módulo rotura, que los estimados
y = 0.5877x0.5431
R² = 0.9981
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
10 15 20 25 30 35 40 45
Mó
du
lo d
e ro
tura
(M
Pa)
Resistencia a compresión (MPa)
𝑀𝑅 = 0.6772ඥ𝑓´𝑐
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
88
por la norma cubana, lo que representa que la expresión propuesta pudiera estar aprovechando más la
capacidad resistente de los materiales, por tanto, reducen el número de repeticiones admisibles en el
diseño del pavimento.
3.4 Modelo probabilístico para la determinación del número de repeticiones permisibles por
fatiga en un pavimento de hormigón simple
Una de las conclusiones obtenidas del análisis bibliográfico, es que existe gran variabilidad entre los
modelos de fatiga obtenidos por diferentes autores. Esto trae como resultado que la selección arbitraria
de una ley puede llevar a un diseño no adecuado para las condiciones en las que se pretende proyectar.
Partiendo de la carencia de equipamiento experimental para desarrollar una ley de fatiga para Cuba, en
la investigación, se confecciona un modelo probabilístico que en vez de tener una curva representativa
para el fenómeno se tiene una familia de curvas para distintos niveles de probabilidad de fallo. Este
estudio se realiza analizando los resultados que se ofrecen al aplicar un grupo de leyes desarrolladas
tanto en el laboratorio con vigas como en tramos experimentales. La referencia de esta investigación fue
tomada de (Titus-Glover et al., 2005) los cuales crearon un modelo probabilístico presente en al software
(StreetPave12, 2014).
El estudio se organizó de la siguiente forma:
a) Agrupado de los datos para el estudio.
b) Selección del modelo matemático a
emplear.
c) Obtención de los coeficientes del modelo propuesto.
d) Comprobación de los resultados y análisis de
sensibilidad.
a) Agrupado de los datos para el estudio
Para agrupar los datos se tomaron de todas las leyes encontradas en la bibliografía, tratando que la
mayoría tuvieran características de ensayo lo más similares posible (ensayos con vigas a un tercio de la
luz), ver anexo 1.1. A partir de los resultados se construyó un gráfico de relación de tensiones contra el
número de repeticiones hasta el fallo por fatiga.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
89
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.00E+00 1.00E+02 1.00E+04 1.00E+06 1.00E+08 1.00E+10
Rel
ació
n d
e te
nsi
on
es (
RT
)
Repeticiones de carga al fallo (N)
Bradbury (1938)
PCA (1966)
Darter (1977)
PCA (1984)
Iwama & Fukuda (1986)
Koyanagawa et al. (1994)
Stet e Frénay (1998)
Cervo & Balbo (2004)Hormigones convencionales
Figura 3.15 Representación de las leyes de fallas agrupadas para el estudio.
Como se observa en el gráfico la mayoría de las leyes logaritmizadas muestran un comportamiento lineal
mientras que otras como es el caso de la (PCA, 1984) solo se comporta así hasta ciertas relaciones de
tensiones. Los datos para la obtención del modelo se tomaron de las relaciones de esfuerzos de 0.5, 0.6,
0.7, 0.8 y 0.9 respectivamente.
b) Selección del modelo matemático a emplear
Tomando como referencia las investigaciones desarrolladas por (Parker Jr et al., 1979), (Titus-Glover
et al., 2005) y (Salsilli Murua, 1991), se seleccionó el modelo matemático que introduciendo el concepto
de confiabilidad permite determinar el número de repeticiones a la que se estima que falle el pavimento.
Ver ecuación 1.15 del capítulo 1.
c) Obtención de los coeficientes del modelo matemático propuesto
Para la obtención de los coeficientes del modelo es necesario establecer una relación entre el número
de repeticiones, la relación de esfuerzos y la probabilidad de fallo. Para encontrar dicha relación se realizó
un análisis de supervivencia, el cual representa un conjunto de técnicas que permiten estudiar la variable
tiempo hasta que ocurre un evento y su dependencia de otras posibles variables descriptivas.
Debido a que la variable tiempo es continua podría ser, en principio, estudiada mediante las técnicas de
análisis de varianzas o modelos de regresión. Sin embargo, existen dos dificultades importantes para
este planteamiento. En primer lugar, en la mayor parte de los estudios el tiempo no tiene una distribución
normal, más bien suele tener una distribución asimétrica y aunque podrían intentarse transformaciones
que la normalicen, existe una segunda dificultad que justifica un planteamiento específico para estas
variables, y es que para observarla, se tiene que prolongar el estudio durante un período de tiempo
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
90
suficientemente largo, en el cual suelen ocurrir pérdidas que imposibilitan la observación del evento
conocidos como datos censurados.
Tabla 3.11Tabla de datos de los empleados para el estudio.
RT=0.5 RT=0.6 RT=0.7 RT=0.8 RT=0.9
log N status log N status log N status log N status log N status 5.96 1 4.52 1 3.08 1 1.64 1 0.20 1
5.73 1 4.51 1 3.30 1 2.09 1 0.88 1
7.81 1 6.04 1 4.28 1 2.52 1 0.76 1
5.68 1 4.45 1 3.23 1 2.01 1 0.78 1
7.81 1 6.04 1 4.28 1 2.52 1 0.76 1
8.67 0 7.05 1 5.44 1 3.83 1 2.21 1
8.26 0 6.72 1 5.18 1 3.65 1 2.11 1
10.00 0 8.00 0 6.00 1 4.00 1 2.00 1
7.93 1 6.68 1 5.44 1 4.20 1 2.96 1
En el estudio se evalúa la variable tiempo en función del número de repeticiones ya que ambas tienen
relación directa. Se le dan dos status a cada caso, fallo (1) y no fallo (0) este último considerado como
valor censurado en el estudio, el criterio empleado fue que cuando el número repeticiones supera o
iguala las ocho cifras será censurado (108 repeticiones) puesto a que en la práctica las repeticiones
esperadas de los vehículos en los períodos típicos de diseño no exceden esas cifras (tabla 3.11).
Primero, se realizó una búsqueda para identificar cuál es la distribución que mejor se aproxima a los
datos, mediante el uso de gráficos teóricos de probabilidad (figura 3.16). Este tipo de gráfico muestra la
función de densidad teórica linealizada junto con la nube de puntos que representan las estimaciones.
La medida de la estimación la da el coeficiente de regresión R2. Para la construcción de los gráficos se
empleó el software estadístico (Minitab, 2013).
Figura 3.16 Resultados de las funciones teóricas linealizadas con sus respectivas medidas de ajuste.
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
91
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
Po
rcie
nto
de
sup
ervi
ven
cia
acu
mu
lad
o
log N
RT=0.50
RT=0.60
RT=0.70
RT=0.80
RT=0.90
Como se puede observar en los resultados del MiniTab, de todas las funciones de densidad probadas
la que mejor ajuste brinda es la Normal, por tanto, fue la que se seleccionó para construir las curvas de
supervivencia acumuladas.
Figura 3.17 Curvas de supervivencia acumulada para cada relación de esfuerzos
Con la obtención de las curvas de número de repeticiones contra por ciento de supervivencia acumulado
para cada relación de esfuerzo se puede construir la superficie respuesta ( , , )RT S logN ,
denominándose S a la probabilidad de fallo. Para la construcción de la superficie se empleó el asistente
matemático MATLAB.
Figura 3.18 Superficie respuesta resultante de combinar relación de esfuerzo, número de repeticiones de carga y probabilidad de fallo.
La regresión de la superficie se realizó empleando el modelo seleccionado (ecuación 1.15) a partir de
esta, se determinan los coeficientes evaluando su ajuste con los datos. Antes de introducir la función
primero, es necesario realizarle una trasformación para que la regresión tenga solución.
21
3
log( )log
aa
SR SN
a
1 2
4
( log( ))log
a aSR S
Na
Siendo 2
4 3
aa a y por tanto 2
1
3 4
aa a
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
92
Figura 3.19 Estimación de los coeficientes y resultado de la regresión empleando el modelo seleccionado.
La figura 3.19 muestra una buena correlación entre las repeticiones observada y las predichas, eso se
puede confirmar numéricamente con el coeficiente de correlación (R2) y el error estándar estimado
(RMSE) que representa la desviación estándar de los residuos. Luego de estimar los coeficientes y
realizar las trasformaciones anunciadas con anterioridad el modelo probabilístico queda de la siguiente
forma:
0.20510.08 log( )
log0.0108
f
RT SN
(3.4)
d) Comprobación de los resultados y análisis de sensibilidad
Para comprobar los resultados se representa el modelo para una probabilidad de fallo del 50 % en un
gráfico junto con las leyes provenientes de la revisión bibliográfica realizadas en el laboratorio con vigas
y en tramos experimentales.
N = 44
R2 = 96.6657
RMSE = 0.5053
Parámetro Estimado
a1 -10.0803
a2 0.205021
a4 0.395411
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
93
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
LO
G N
RELACIÓN DE TENSIONES (RT)
Darter (1977)
PCA (1984)
Iwama & Fukuda (1986)
Darter (1990)
Koyanagawa et al. (1994)
NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)
AASHTO (2002)
Cervo & Balbo (2004)
StreePave12 (2014)
Modelo propuesto
0
5
10
15
0.4 0.6 0.8 1
log
N
Relación de tensiones (RT)
S=50%
S=60%
S=70%
S=80%
S=90%
S=95%
PCA (1984)
b).
0
2
4
6
8
10
12
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
log
N
Relación de tensiones (RT)
S=50%
S=60%
S=70%
S=80%
S=90%
S=95%
a).
Figura 3.20 Comparación del modelo propuesto con otras leyes obtenidas de la revisión bibliográfica
En el gráfico se observa que los resultados del modelo propuesto se encuentran en el intervalo de las
leyes de fallas. El modelo presenta cierta similitud al modelo del software (StreetPave12, 2014) el cual
es una de las referencia más actuales en el cálculo de fatiga en pavimentos. El modelo de la PCA
(empleado en Cuba en el diseño de los pavimentos ya construidos) resulta unos de los más
conservadores en la predicción del número de repeticiones.
Figura 3.21 a). Representación del modelo propuesto para distintos niveles de probabilidad de fallo. b). Correspondencia del modelo de la PCA 1984 con determinado nivel de probabilidad.
La figura 3.21(a) muestra la familia de curvas que se generan cuando se varía la probabilidad de fallo.
Como es de esperar a medida que la probabilidad de fallo es mayor el número de repeticiones es más
pequeño lo que es consistente con el fenómeno real. Se verificó esta familia de curvas con la ley que
presenta la PCA; se puede revisar que el modelo propuesto es capaz de predecir el mismo número de
repeticiones para una probabilidad del 80% en un intervalo de relación de tensiones entre 0.55 y 0.8,
figura 3.21(b).
Análisis paramétrico para determinar el número de ejes permisibles por fatiga en las condiciones de Cuba Capítulo III
94
3.5 Conclusiones parciales del capítulo
La baja influencia en las tensiones de factores como la rectangularidad y la resistencia a
compresión permite que se pueda adoptar un modelo donde se varíen menos condiciones
(calidad del suelo y espesor de losa)
Para la determinación de las tensiones de trabajo se obtienen los valores, primeramente, en
condiciones equivalentes al eje de cálculo (100 kN) y posteriormente son afectadas por un
coeficiente que relaciona la tensión que origina el eje de referencia respecto al que se analiza
amplificándolas o reduciéndolas según su peso.
A partir de un nomograma es posible obtener el módulo resiliente en la superficie como resultado
de combinar todas las variantes posibles de subrasante, subbase y espesor de subbase,
permitiendo obtener la variable de entrada del cimiento en el caso particular de la losa apoyada
sobre una subbase no aglomerada.
Sobre la relación entre el módulo de rotura y la resistencia a compresión a los 28 días teniendo
en cuenta la variabilidad que pudiera tener la producción de hormigones
A partir de una data experimental real fue posible filtrar y caracterizar la resistencia a compresión
a los 28 días correspondiente a la producción en cinco años de un grupo de plantas de hormigón
premezclado de Cuba.
Empleando herramientas pseudo-estocástica fue posible realizar una generación sintética de
resistencias a compresión y sus correspondientes propiedades constitutivas.
Empleando como herramienta la simulación numérica del ensayo de módulo de rotura fue posible
obtener una ecuación que relaciona la resistencia a compresión a los 28 días con el módulo de
rotura del hormigón permitiendo que en ausencia de resultados experimentales pueda emplearse
para determinar este parámetro.
Sobre el modelo probabilístico obtenido para determinar el número de repeticiones admisibles
El modelo obtenido en vez de proponer una curva única para caracterizar el fallo por fatiga nos brinda
una familia de curvas que depende de la probabilidad de fallo con la que se desee trabajar en la
estructura. Esto desde el punto de vista económico tiene una gran ventaja para el diseño de vías con
bajos niveles de tráfico, ya que posibilita reducir los espesores de losa.
Capítulo IV
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
95
4 Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en
las condiciones de Cuba
4.1 Introducción
Tomando como base los criterios establecidos relacionados con los factores de diseño y la ecuación para
determinar el comportamiento a fatiga del pavimento de hormigón, se presenta en este capítulo una
propuesta de procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple, mediante un
enfoque armónico y avalado por un estudio minucioso de cada una de las etapas propuestas. Para llegar
al espesor de losa se deben realizar un conjunto de pasos que se ilustran en el flujograma de la figura
4.1, los que se explican detalladamente en el epígrafe.
Figura 4.1 Flujograma propuesto para el cálculo de espesores en losas por fatiga.
En el procedimiento se establecen tres etapas, en la primera se definen las variables de entrada o
factores de diseño, luego sigue la etapa de análisis, por último, la selección del espesor dados
determinados criterios técnico-económicos.
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
96
4.2 Análisis del tráfico
4.2.1 Determinación del número de vehículos pesados por el carril de diseño en el período de
diseño (NTVP)
Las repeticiones esperadas se pueden calcular utilizando el procedimiento recogido en la NC 334/2004
para el diseño de pavimentos flexibles, adaptado a las condiciones de los pavimentos de hormigón.
Las cargas impuestas por los vehículos ligeros no provocan en el pavimento un estado tensional de
magnitud tal que genere el deterioro de la estructura, por tanto, para los propósitos de diseño los
vehículos ligeros pueden ser ignorados y solo se consideran los efectos de los vehículos pesados. Como
vehículo pesado se entiende todo medio de transporte de carga o pasajeros, que por la magnitud de la
carga por rueda aplicada sobre la superficie se tiene en cuenta en el cálculo del pavimento y que tienen
acoplados neumáticos de camión con una masa total cargada de 40kN o mayor. Dentro de esta
clasificación se encuentran los ómnibus y camiones de 4 ruedas o más, cuñas tractoras con
semirremolques y los remolques.
Para determinar las repeticiones esperadas o tráfico de diseño, se procede como sigue:
a) Cálculo de la intensidad promedio diaria de vehículos pesados, por el carril de diseño, durante
el período de servicio de la vía
La Intensidad Diaria de Camiones (ICD0) es el volumen diario de camiones en el año inicial que circularán
como promedio por el carril de diseño, en el sentido más cargado, durante el primer año de puesta en
explotación de la carretera. La Intensidad Diaria de Vehículos pesados en el carril de diseño, durante el
primer año de servicio, puede ser obtenida mediante la siguiente expresión:
0 0100 100
VP CDP PICD TPD k (4.1)
El tránsito inicial (TPD0) es el volumen total de vehículos, en ambos sentidos de circulación, como
promedio durante el primer año de puesta en explotación de la vía objeto del diseño. Se estima a partir
de los estudios para construir la vía o sobre la base del uso potencial de la tierra u otros factores.
La composición y distribución del flujo en la sección transversal está dada por los siguientes parámetros:
k: Distribución por sentido de circulación.
PVP: Proporción de vehículos pesados respecto al total (%).
PCD: Proporción de vehículos pesados en el carril de diseño (%).
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
97
El coeficiente k tiene en cuenta la distribución del tráfico total por sentido de circulación, generalmente el
valor puede ser asumido como 0.5 (tráfico balanceado).
El porcentaje de vehículos pesados (PVP) es la proporción de vehículos pesados respecto al total en el
flujo, expresado en %. El porcentaje de vehículos pesados en el carril de diseño (PCD) representa la
proporción de vehículos pesados que circularan por el carril de diseño, respecto al total de vehículos
pesados en el sentido más cargado, expresado en %.
Los parámetros PVP y PCD se obtienen mediante recuentos, en una vía de similares características a las
del diseño. En ausencia de datos más precisos, pueden utilizarse los valores que se muestran en la tabla
4.1 para cada categoría de vía, tomados de la (NC-334, 2004).
Tabla 4.1 Composición típica del tránsito para diferentes tipos de vías.
Nota: En las vías urbanas, en todos los casos, se refiere a vías de cuatro carriles de circulación.
La Intensidad Diaria de Camiones en el final del período de diseño (ICDn) es el volumen diario de
camiones que circularán como promedio en el sentido más cargado, por el carril de diseño, durante el
último año. La ICDn se obtiene mediante la siguiente expresión:
0 (1 ) n
nICD ICD r (4.2)
Donde:
r: Razón anual de crecimiento de tránsito, para los vehículos pesados.
La obtención de la razón anual de crecimiento de tránsito (r), para los vehículos pesados, exige el estudio
de las tendencias de crecimiento en la red. Como aproximación, puede utilizarse el incremento anual del
Producto Social Global. Se recomienda, para los casos de que no se disponga de información más
precisa, una razón de crecimiento entre 0,03 y 0,04.
La Intensidad Diaria Promedio de Camiones en el período de diseño (ICDpromedio) se determina como:
0
2
npromedio
ICD ICDICD
(4.3)
Tipo de vía
Porcentaje de vehículos pesados
En la corriente Vehicular (PVP)
En el carril de Diseño (PCD)
Calles y avenidas colectoras
Con limitación de camiones, sin excluir ómnibus.
30 – 40
55 – 65 Sin limitación a la circulación de camiones
45 – 50
Arterias principales y secundarias
Dentro del casco urbano 40 – 50 Principales (80 – 85) Secundarias (70-80) En accesos a la ciudad. 50 –60
ARTERIAS Y OTRAS CARRETERAS EN ÁREAS SUBURBANAS. 60 – 65 2 carriles 100 4 carriles (70 – 85) 6 o más (50 – 70) CARRETERAS RURALES DE CATEGORÍAS I, II Y AUTOPISTAS. 60 – 70
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
98
b) Cálculo del Número de vehículos pesados, que circularán durante el período de diseño y por
el carril de diseño
El tráfico de diseño hasta el año n, se determina como:
365 promedioNTVP ICD n (4.4)
Donde:
n: número de años del período de diseño.
4.2.2 Determinación del espectro de cargas
Para la determinación del espectro de cargas se puede utilizar el método indirecto que originalmente fue
concebido para pavimentos flexibles, y que permite determinar las cargas del tránsito en una calle o
carretera, de una forma aproximada. El espectro de cargas es la frecuencia de ejes por cada escalón de
cargas que existe en la corriente vehicular, y puede obtenerse mediante una muestra representativa de
los camiones del flujo.
En este método no se utilizan básculas o sistema de pesaje de los vehículos, en su defecto, es necesario
disponer de información sobre el peso máximo de cada silueta de vehículo y los porcentajes de
distribución de la carga por eje de cada una. Las siluetas contempladas y sus características medias,
son el resultado de recuentos del tráfico nacional.
Procedimiento:
1. Durante un tiempo mínimo de cuatro horas, se hace un recuento de todos los vehículos pesados o
camiones, que pasan por la sección transversal de la vía, clasificándolos por tipo de silueta. Se repite
el recuento durante varios días de la semana para obtener un espectro promedio de la vía.
2. Durante el recuento de cada camión en la muestra se registra la condición de carga: vacío, medio o
lleno.
3. Para cada vehículo de la muestra se calcula su peso total, sumando la tara y la carga de la silueta
correspondiente. La carga se determina como un porcentaje de la carga máxima, según la condición
de carga registrada durante el conteo, de modo que se dan tres condiciones:
VACIO: CARGA = TARA
MEDIO: CARGA = TARA + 0,5 Cmáx
LLENO: CARGA = TARA + Cmáx
4. El peso total calculado en cada camión de la muestra, se descompone en cargas por eje,
considerando los porcentajes por eje del peso total y los tipos de ejes que aparecen en el banco de
datos.
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
99
Las cargas y distribuciones por ejes de los vehículos que aparecen en la NC vigente están
desactualizadas, ya que no incluyen los tipos de vehículos y ejes que actualmente circulan por el país.
En la tabla 4.2 se muestran los valores propuestos para las taras, cargas máximas y distribuciones por
ejes, considerando los camiones que actualmente están circulando.
En el banco de datos, los vehículos pesados son divididos en tres tipos:
Vehículos de dos ejes (camiones y ómnibus rígidos).
Vehículos articulados o semirremolques. (camiones y ómnibus articulados)
Vehículos traccionados.
Los vehículos traccionados o remolcados se nombran según el número de silueta del vehículo tractor
más la letra que corresponda al vehículo traccionado, por ejemplo: el vehículo 1b, está formado por la
silueta uno, como vehículo tractor de 155kN más un remolque de dos ejes simples, de peso total de 125
kN.
Tabla 4.2 Porcentajes de carga por eje de los vehículos y pesos promedios por silueta (NC-334, 2004).
VEHÍCULOS DE DOS EJES (CAMIONES Y ÓMNIBUS RÍGIDOS)
No. Siluetas No. de ejes Tara (kN) Carga
máxima (kN)
% carga por eje
1S 2S 3S 1T 2T 1Tr
1
2 ejes simples, 4 ruedas
10 15 35 65
2 2 ejes simples,6 ruedas.
56 99 35 65
3 1 eje simple, 1 eje tándem.
80 140 25 75
4
1 eje simple, 1 eje trÍdem
90 160 20 80
5 2 ejes simples, 6 ruedas
50 100 35 65
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
100
VEHÍCULOS DE TRES EJES (CAMIONES Y ÓMNIBUS ARTICULADOS)
No. Siluetas No. de ejes Tara (kN) Carga
máxima (kN)
% carga por eje
1S 2S 3S 1T 2T 1Tr
6
3 ejes simples, 10 ruedas
83 147 20 40 40
7
2 ejes simples,1 eje tándem.
108 192 17 30 53
8
2 eje simples, 1 eje tándem
108 192 17 30 53
9
1 eje simple, 2 eje tándem
134 236 14 43 43
10
1 eje simple, 1 eje tándem, 1 eje
trÍdem. 148 262 12 38 50
11
2 ejes simples,1 eje trÍdem
123 217 15 26 59
12
3 ejes simples, 10 ruedas
80 120 20 40 40
13
2 ejes simples,1 eje tándem.
90 190 15 30 55
VEHÍCULOS TRACCIONADOS (REMOLQUES)
Vehículo Tractor
Siluetas Nomenclatura Tara (kN)
Carga máxima
(kN)
% carga por eje
1S 2S 3S 1T 2T 1Tr
1,2,3,6,7,8,9
a 36 68 50 50
b 45 85 40 60
c 54 102 50 50
3
d 58 104 35 65
e 61 115.5 42 58
8,9
f 73 136.5 50 50
4.3 Materiales del sistema
4.3.1 Resistencia del cimiento
a) Subrasante
En el procedimiento la capacidad de soporte de la subrasante se cuantifica mediante el módulo resiliente
“Mr”, cuyo valor se puede determinar experimentalmente e incorporarlo directamente al procedimiento
de verificación; o estimarlo por correlación con otros ensayos de rutina, como por ejemplo Índice de
Soporte California (CBR). El empleo de esta correlación es válido ya que no se requiere una
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
101
determinación exacta del “Mr”, puesto que variaciones pequeñas no afectarán significativamente el
espesor del pavimento.
b) Empleo de una subbase.
En general, si se cuenta con un suelo de subrasante uniforme y estable, solo resultará obligatoria la
incorporación de una subbase no erosionable, en el supuesto caso que se encuentre prevista la
circulación de vehículos muy pesados y que el material tenga elevado contenido de finos (pasado por el
tamiz200>15%). En estas situaciones, la subbase cumple la función de prevenir la erosión por bombeo en
la interfase losa–apoyo, además de contribuir estructuralmente. Para tener en cuenta tal contribución se
puede utilizar un nomograma que permite determinar el Módulo Resiliente combinado conocida la calidad
de los materiales de la subrasante, subbase, y el espesor de subbase.
4.4 Determinación del comportamiento a fatiga de la losa de pavimento
El comportamiento a fatiga del pavimento de hormigón se determinará a partir del daño por fatiga
consumida por cada una de las cargas del espectro, empleando la ecuación de Miner, que relaciona el
número de ejes esperados en el período de diseño con el número de ejes que puede admitir el pavimento
antes del fallo por fatiga, bajo determinadas condiciones en el mismo período de tiempo. El valor de fatiga
consumida debe encontrarse en el intervalo de 90 y 120 % (criterio de diseño). Por debajo del 90% se
considera que hay exceso de espesor, por lo cual el diseño se puede mejorar reduciendo espesor; de lo
contrario, por encima de 120% el diseño refleja insuficiencia en el espesor.
Total Simple Tándem TrídemDF DF DF DF (4.5)
Donde:
:TotalDF % de daño total de fatiga consumida
:SimpleDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes simples
:TándemDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes tándem
:TrídemDF % de daño por fatiga consumida provocado por los ejes trídem
El daño por fatiga consumida se determina a partir de la ecuación de Miner
100i
i
nDF
N
(4.6)
Donde: :in Número de ejes esperados en el período de diseño.
:iN Número de ejes permisibles antes del fallo por fatiga.
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
102
El número de ejes esperados en cada escalón de carga de la muestra se determina como un porcentaje
del número total de camiones durante el período de diseño, para ello se multiplica ese número total de
camiones por la frecuencia de ese peso, del total de camiones contados en la muestra:
ii
i
NTVP fn
f
(4.7)
Donde:
:if Frecuencia de i-enésimo eje en el escalón
El número de repeticiones admisibles en cada escalón determinado a partir de un modelo dependiente
de la relación entre la tensión de trabajo (i ) y el módulo de rotura (
RM ) para distintos niveles de
confiabilidad (S).
0.20510.08 log( )
log0.0108
f
RT SN
(4.8)
Donde
:RT Relación de tensiones.
:S Probabilidad de fallo de las losas al final del período de diseño.
La relación de tensiones se determina con la siguiente expresión.
i
R
RTM
(4.9)
Donde:
:i Tensión de trabajo
:RM Módulo de rotura del hormigón.
La tensión de trabajo es el esfuerzo que origina el eje que se analiza a determinada distancia del borde.
Se determina a partir de una tensión equivalente multiplicada por un factor de corrección por carga. La
tensión equivalente es la tensión que origina el eje de referencia (10 ton para eje simple y 18 ton para el
tándem). Dicha tensión es determinada a partir de conocer la resistencia del cimiento, el espesor de losa
asumido y si se tiene o no paseo de hormigón.
i eq Pf (4.10)
Donde:
:eq Tensión equivalente (Anexo 3.2)
:Pf Factor de corrección por carga (Figura 3.6)
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
103
Probabilidad de fallo de las losas al final del período de diseño. Este valor es un factor de seguridad,
y representa la probabilidad estadística que un pavimento alcance las condiciones previstas en el diseño
al final de su vida útil.
11
0.5
R LFS
(4.11)
Donde:
R: Confiabilidad en el diseño, en tanto por uno.
LF: Porcentaje aceptable de losas fisuradas al final del período de diseño.
La confiabilidad es una variable asociada a los costos e importancia de la vía. El porcentaje aceptable
de losas fisuradas, representa cuál será su estado al final de su vida útil y es función de la importancia y
características de la vía.
Se proponen a partir de la clasificación de las vías que da (NC-334, 2004)una tabla que contiene los
intervalos de confiabilidad (R) y el porcentaje aceptable de losas fisuradas al final del período de diseño
(LF). Los valores se determinaron colocados a partir de establecer analogía entre la clasificación de la
ACPA y la que establece la norma cubana NC 334/2004.
Tabla 4.3 Niveles de confiabilidad y porcentaje aceptable de losas fisuradas.
TIPO DE VÍA R (%) LF (%)
CALLES Y AVENIDAS COLECTORAS
Con limitación de camiones, sin excluir ómnibus.
50-80 20
Sin limitación a la circulación de camiones
70-90 15
ARTERIAS PRINCIPALES Y SECUNDARIAS
Dentro del casco urbano 70-90 15
En acceso a la ciudad 75-90 15
ARTERIAS Y OTRAS CARRETERAS EN ÁREAS URBANAS 50-80 25
CARRETERAS RURALES DE CATEGORÍA I, II Y AUTOPISTAS. 80-95 20
4.5 Aplicación del procedimiento a un caso de estudio: autopista Este-Oeste
La autopista Este-Oeste ubicada en la Habana, fue construida en el año 1987. En el año 2012 se realizó
un conteo de vehículos, por lo cual en ese momento tenía 25 años en explotación.
Utilizando el conteo de vehículos realizado y estimando el número de camiones que circuló desde su
construcción, se revisa el diseño con el procedimiento propuesto y se compara con el método de la PCA
del 1984, que fuera utilizado en el proyecto de la autopista para calcular el espesor de losa requerido,
cuyo valor de proyecto fue de 21cm.La información sobre el caso de estudio, acerca de los factores
utilizados para el diseño se encuentran detallados en el Anexo 4.1.
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
104
4.5.1 Análisis del tráfico
a) Estimación del tráfico promedio diario en el año inicial y otros parámetros a partir de los
conteos realizados
Se realizó un conteo de vehículos de 12 horas, durante una semana, para estimar el tráfico promedio
diario de vehículos (TPD) en el año de conteo (2012). A partir del TPD del año de conteo se estima el
tráfico que debía existir en el año inicial, suponiendo una razón de crecimiento del 3%.
El estudio de tráfico permitió además obtener el porcentaje de vehículos pesados (26.3%), así como el
porcentaje de vehículos en el carril de diseño (40,2%). Los resultados de los estudios de tráfico se
muestran en la tabla 4.4.
TPD Inicial probable
250 25 25
167247988 /
(1 ) (1 0.03)
TPDTPD veh día
r
r: Razón anual de crecimiento, considerado en Cuba de un 3 %
Tabla 4.4 Resumen de los parámetros obtenidos del conteo.
Porcentaje de vehículos pesados (PVP) = 26,27%
Porcentaje de vehículos pesados en el CD (PCD) = 40,2%
Factor de distribución por sentido = 0,5
Factor de crecimiento del tránsito = 3%
Año inicial de construcción = 1987
Año del estudio = 2012
Período de explotación = 25 años
TPD INICIAL PROBABLE= 3982 veh/día
TPD EN EL AÑO DEL ESTUDIO= 16724 veh/día
b) Determinación del número de vehículos pesados que han circulado diariamente como
promedio durante el período de explotación
Número de vehículos pesados promedio en el año inicial ICD0.
0 0
26.27 40.27988 0.5 422 /
100 100 100 100
VP CDP PICD TPD k camiones día
Número de vehículos pesados promedio en el año de estudio ICDn.
25 25
26.27 40.216724 0.5 884 /
100 100 100 100
VP CDP PICD TPD k camiones día
Número de vehículos pesados promedio para el período de explotación.
0 422 884653 /
2 2
npromedio
ICD ICDICD camiones día
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
105
c) Número total de vehículos pesados, que circularon durante el período de explotación (25 años)
por el carril de diseño
365 365 653 25 5958625promedioNTVP ICD n camiones
d) Número de ejes esperados promedio durante el período de explotación (n)
Para calcular el número de ejes de un día promedio durante el período de explotación se asume que las
proporciones en que cada peso por eje en la muestra, es constante durante todo el período. Entonces
basta con hallar la relación entre el número de camiones en la muestra y los camiones que como
promedio se estiman en el período, multiplicado por la frecuencia.
/
i i
camiones muestra
NTVPn f
N
La tabla 4.5 contiene los resultados del cálculo del número de ejes esperados durante los primeros 25
años de explotación.
Tabla 4.5 Número de ejes esperados en el período de explotación por escalón de carga (Espectro).
Escalón de cargas (kN)
FRECUENCIA DE EJES SIMPLES
EJES ESPERADOS
Escalón de cargas
(kN)
FRECUENCIA DE EJES TÁNDEM
EJES ESPERADOS
0 10 250 714463 60 80 96 1349123
10 20 370 1057406 80 100 6 84320
20 30 349 997391 100 120 41 576188
30 40 353 1008822 120 140 66 927522
40 50 242 691601 140 160 21 295121
50 60 10 28579 160 180 152 2136111
60 70 195 557281 180 200 14 196747
70 80 45 128603 200 220 21 295121
80 90 184 525845 220 240 7 98374
90 100 11 31436 240 260 0 0
100 110 6 17147 260 280 0 0
110 120 44 125746 280 300 0 0
120 130 14 40010 total, de ejes 424
130 140 12 34294
total, de ejes 2085
En la tabla 4.5 no aparecen los ejes trídem, ya que el método propuesto no incluye modelos para estos
tipos de ejes, lo que también ocurre en el método de la PCA. Para considerar los ejes trídem se convierte
(como en el método de la PCA), cada eje trídem en la muestra, en tres ejes simples con un peso igual a
la tercera parte el eje trídem y cada uno con igual frecuencia que la del eje trídem. Las cargas que
resultan y sus frecuencias se incorporan al espectro de ejes simples.
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
106
4.5.2 Resistencia de los materiales
Se conoce a partir del Anexo 4.1que:
Calidad del hormigón empleado en las losas es de 30 MPa.
Subbase granular de material seleccionado calizo de CBR = 20%.
Al carecer de resultados experimentales se estiman los parámetros de resistencia de los materiales
empleando correlaciones con otras propiedades de fácil obtención.
Estimación del módulo de rotura del hormigón a partir de la resistencia a compresión a los 28 días.
0.6775 ´ 0.6775 30 3.71RM f c MPa MPa
Se estima el módulo resiliente de la subrasante por la correlación de (Heukelom & Klomp, 1964)con
el CBR.
10 10 25 250rM CBR MPa
4.5.3 Determinación del número de ejes admisibles por fatiga de la estructura (N) y la fatiga
consumida en cada escalón por la PCA y por el método propuesto
Para determinar el número de ejes admisibles se aplica la ecuación 4.8 que depende de la relación de
tensiones y de la probabilidad de falla. La relación de tensiones se calcula con la ecuación 4.9 y la tensión
equivalente se determina empleando la tabla correspondiente al anexo 3.2 (a) ya que es un pavimento
sin paseo de hormigón y el factor se determina de manera independiente en cada escalón a partir del
gráfico 3.6. El número de repeticiones admisibles por cada escalón de carga se muestran en la tabla
4.6, obtenidos para un espesor de losa de 21cm.
Tabla 4.6 Número de ejes admisibles en cada escalón de carga.
EJES SIMPLES EJES TÁNDEM
factor de corrección por
carga
Tensión de trabajo
RT EJES
ADMISIBLES
factor de corrección por carga
Tensión de trabajo
RT EJES
ADMISIBLES
0.263 0.43 0.12 3.11E+98 0.666 0.87 0.23 1.81E+23
0.428 0.71 0.19 1.07E+36 0.742 0.97 0.26 4.16E+18
0.537 0.89 0.24 3.73E+22 0.808 1.06 0.28 3.89E+15
0.623 1.03 0.28 3.87E+16 0.868 1.14 0.31 2.80E+13
0.696 1.15 0.31 1.51E+13 0.923 1.21 0.32 7.04E+11
0.761 1.26 0.34 9.27E+10 0.974 1.28 0.34 4.03E+10
0.819 1.35 0.36 2.58E+09 1.022 1.34 0.36 4.08E+09
0.873 1.44 0.39 1.80E+08 1.066 1.40 0.38 6.25E+08
0.923 1.52 0.41 2.30E+07 1.109 1.45 0.39 1.31E+08
0.969 1.60 0.43 4.47E+06
1.013 1.67 0.45 1.17E+06
1.055 1.74 0.47 3.83E+05
1.095 1.81 0.49 1.49E+05
1.133 1.87 0.50 6.62E+04
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
107
Las tablas 4.7 y 4.8 contiene los resultados del porcentaje de fatiga consumida para los ejes simples y
tándem respectivamente.
Tabla 4.7 Cálculo del porcentaje de fatiga consumida. Ejes simples.
Tabla 4.8 Cálculo del porcentaje de fatiga consumida. Ejes tándem.
Escalón de cargas (kN)
Media del
intervalo (kN)
Xmed x FSC
FRECUENCIA DE EJES TÁNDEM
EJES ESPERADOS
EJES ADMISIBLES
(PCA)
EJES ADMISIBLES (Propuesta)
% de Fatiga consumida
(PCA)
% de Fatiga
consumida (Propuesta)
60 80 70 77 96 1349123 No falla No falla
80 100 90 99 6 84320 No falla No falla
100 120 110 121 41 576188 No falla No falla
120 140 130 143 66 927522 No falla No falla
140 160 150 165 21 295121 No falla No falla
160 180 170 187 152 2136111 No falla No falla
180 200 190 209 14 196747 No falla No falla
200 220 210 231 21 295121 No falla No falla
220 240 230 253 7 98374 ilimitado 1.E+08 No falla No falla
total, de ejes 424 ∑DFtandem 0.0% 0.00%
Se puede observar en las tablas que el porcentaje de fatiga calculado por la PCA no cumple (133%),
mientras que con el procedimiento propuesto cumple con un 116%. Para que, aplicando el método de la
PCA se cumpla con el porcentaje de fatiga consumida, hay que incrementar el espesor de losa en un
centímetro, lo que implica mayor volumen de hormigón. El impacto económico de emplear una solución
u otra, se muestra a continuación.
Escalón de cargas (kN)
Media del
intervalo (kN)
Xmed * FSC
FRECUENCIA DE EJES SIMPLES
EJES ESPERADOS
EJES ADMISIBLES
(PCA)
EJES ADMISIBLES (Propuesta)
% de Fatiga
consumida (PCA)
% de Fatiga consumida (Propuesta)
0 10 5 5.5 250 714463 No Falla No Falla
10 20 15 16.5 370 1057406 No Falla No Falla
20 30 25 27.5 349 997391 No Falla No Falla
30 40 35 38.5 353 1008822 No Falla No Falla
40 50 45 49.5 242 691601 No Falla No Falla
50 60 55 60.5 10 28579 No Falla No Falla
60 70 65 71.5 195 557281 No Falla No falla
70 80 75 82.5 45 128603 1.80E+08 No Falla 0.07%
80 90 85 93.5 184 525845 2.30E+07 No Falla 2.28%
90 100 95 104.5 11 31436 4.47E+06 No Falla 0.70%
100 110 105 115.5 6 17147 6.00E+06 1.17E+06 0.3% 1.47%
110 120 115 126.5 44 125746 6.00E+05 3.83E+05 21.0% 32.86%
120 130 125 137.5 14 40010 1.50E+05 1.49E+05 26.7% 26.89%
130 140 135 148.5 12 34294 4.00E+04 6.62E+04 85.7% 51.82%
total, de ejes 2085 ∑DFsimples 133.7% 116.09%
Procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple en las condiciones de Cuba Capítulo IV
108
Tabla 4.4 Evaluación económica de los resultados de ambos procedimientos considerando solo el costo de los materiales de la losa.
Procedimiento de la PCA Procedimiento propuesto en la investigación
Cada losa Cada losa
Largo (m) 4.5 Largo (m) 4.5
ancho (m) 3.5 ancho (m) 3.5
espesor (m) 0.23 espesor (m) 0.22
Volumen de hormigón (m3) 3.62 Volumen de hormigón (m3) 3.47
Construcción de un solo carril por kilómetro Construcción de un solo carril por kilómetro
Cantidad de losas 222 Cantidad de losas 222
Volumen de hormigón (m3) 805 Volumen de hormigón (m3) 770
Costo de construcción de las losas (CUP) $321,420.40 Costo de construcción de las losas (CUP) $307,445.60
Nota: El costo unitario por m3 de hormigón colocado se obtuvo de la Base de Precios de la Construcción
(PRECONS, 2014) ($399.26 / m3)
Las tablas muestran, que empleando la solución propuesta se reduce en cada kilómetro de carril
construido, aproximadamente 35 m3, lo que representa un ahorro solo por concepto de hormigón de
$13,974.80 CUP. En el caso de estudio, una vía de 6 carriles de circulación, significaría un ahorro de
$83,848.8 CUP, siguiendo el mismo análisis.
4.6 Conclusiones parciales
El procedimiento para el diseño por fatiga de pavimentos de hormigón simple presentado es una
herramienta útil en la práctica profesional. Se logra de forma lógica mostrar los resultados del diseño
a partir del empleo de tablas, gráficos y nomogramas alejando al proyectista del complejo análisis
que requeriría el diseño de estas estructuras.
Se verificó que, empleando el procedimiento propuesto en la investigación, se reducen los
espesores de losas respecto al método de la PCA (aplicado con anterioridad en los diseños de
pavimentos realizados en Cuba).
Conclusiones
CONCLUSIONES
109
Conclusiones
Después de terminada esta investigación, arribar a conclusiones es la fase más compleja e importante
de este proceso investigativo, pues el volumen y extensión del trabajo realizado es considerable. Si a
esto se le añade el elevado nivel de complejidad de la temática abordada, hace de esta etapa la más
significativa, ya que en ella se sintetiza de forma general los resultados relevantes obtenidos en dicho
trabajo, los que repercuten de forma directa en la novedad científica del mismo. Partiendo de esta base
se llegan a las siguientes conclusiones, las cuales se enunciarán para cada etapa de investigación y
posteriormente se sintetizarán globalmente las más relevantes.
Desde el punto de vista de modelación numérica se puede llegar concluir una serie de aspectos:
Se establecen las bases conceptuales para la concepción de los modelos numéricos (1- Modelo
tridimensional de sistema pavimento-cimiento, 2 – Modelo axial simétrico para la modelación de
ensayos de placa, 3 - Modelo en 3D para la modelación del módulo de rotura), que permitan realizar
los estudios el comportamiento de pavimento rígidos en las condiciones cubanas con el empleo
combinado de técnicas de experimentación, modelación numérica y la estadística, que evalúe el
porcentaje de fatiga consumida por la losa de pavimento de hormigón, como base para su diseño
en las condiciones de Cuba.
Se establecen, calibran (física y matemáticamente) y validan, las técnicas numéricas de
investigación empleada sistémicamente para el estudio de pavimentos rígidos en las condiciones
de Cuba.
Se delimitan en cada caso (1- Modelo tridimensional de sistema pavimento suelo, 2 – Modelo axial
simétrico para la modelación de ensayos de placa, 3 - Modelo en 3D para la modelación del módulo
de rotura) las densidades de malla, tipo de elemento, tamaño del subdominio para el caso que
corresponda y los parámetros constitutivos que garantizan la fiabilidad matemática y física de la
herramienta de investigación, con los cual se garantiza la calidad de los resultados con esta
herramienta de investigación (ABAQUS/CAE)
Concebidas, establecidas y validadas las herramientas de investigación se llegan a otro grupo de
conclusiones como:
Se establecen los estudios que permiten analizar la influencia de los factores de diseño en la
respuesta estructural de las losas de hormigón, mediante el empleo de modelos numéricos
previamente calibrado y validado, para simular las condiciones de trabajo de los pavimentos en
Cuba.
CONCLUSIONES
110
Los resultados obtenidos a través de las complejas técnicas de modelación numéricas son
transformados en criterios y elementos básicos convencionales compresibles para los ingenieros en
la práctica profesional del área de diseño de pavimentos rígidos.
Estos últimos resultados permiten concluir desde el punto de vista práctico lo siguiente:
Queda establecido y validado un procedimiento para determinar el consumo de fatiga consumida
por la losa de hormigón, a través de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles
soportados en criterios de fiabilidad.
Ha sido posible obtener la respuesta del pavimento mediante modelación numérica, y calcular el
porcentaje de fatiga utilizando una ley de fallo que incluye el concepto de confiabilidad, lo que
representa un paso importante en la elaboración de la norma diseño para nuestro país.
Se establecen el enfoque y las técnicas sistémicas para el estudio del comportamiento de pavimento
rígidos en las condiciones cubanas, combinando técnicas de experimentación, modelación numérica
y la estadística.
Se establece de manera sencilla un procedimiento para determinar el por ciento de fatiga consumida
por la losa de hormigón, a través de la relación entre repeticiones esperadas y admisibles
apoyándose en criterios de probabilidad, este comprende:
La determinación de las repeticiones esperadas en el proyecto.
Calcular el Factor de Relación de Esfuerzos, a través de las condiciones de la losa (espesor
de losa, resistencia del hormigón y calidad del cimiento).
Determinar el número de ejes admisibles con el RT (empleando el modelo propuesto).
Obtener el porcentaje de fatiga y modificar el espesor si el valor no se encuentra entre 90-
120%.
Recomendaciones
RECOMENDACIONES
111
Recomendaciones
La culminación de un trabajo científico siempre conduce a una serie de recomendaciones que marcan
pautas para futuros trabajos de investigación, pues se ha llegado a establecer una plataforma de trabajo
que permite resolver en el futuro muchos problemas de ingeniería de pavimentos. A partir de estos
resultados se considera oportuno realizar las siguientes recomendaciones:
Ampliar el estudio para ejes trídem. Analizar la influencia de estas configuraciones de ejes en las
tensiones, utilizando el modelo logrado.
El modelo puede ser utilizado para ampliar los estudios simulando la influencia de otras
solicitaciones, como son los esfuerzos de combado, los esfuerzos producidos por la interacción
suelo-losa (tensión por fricción) y esfuerzos producido en las juntas.
Efectuar estudios la fatiga con enfoques analíticos (Mecánica del Continuo) con el fin implementar
en las herramientas computacionales un modelo constitutivo del hormigón que sea sensible a este
fenómeno.
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Anexos
ANEXOS
Anexo 1.1 Leyes de fallas empleada por los distintos autores
Tabla 1: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones
Modelos Características Ecuación
Bradbury (1938) Para un nivel de tensiones por debajo del 50% de la resistencia del material el número de repeticiones es ilimitado
PCA (1966) Para un nivel de tensiones por debajo del 50% de la resistencia del material el número de repeticiones es ilimitado
Vesic & Saxena (1969) Ecuación basada en las secciones de los tramos de pruebas de la AASHO
Darter (1977) Re-evaluación de los resultados obtenidos por las investigaciones anteriores, pero considerando la humedad del hormigón.
Eisnmann (1979) Prueba de laboratorio aplicando carga con la utilización de ruedas simples.
PCA (1984) Reduce a un 45% de la resistencia del material para que el número de repeticiones sea ilimitado. Da un comportamiento diferente en dos tramos
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 13.164 − 14.409 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.78 − 12.11 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑁 = 225000 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
4.0
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 16.61 − 17.61 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.79 − 12.23 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅𝑇 > 0.55
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 11.78 − 12.11 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑃𝑎𝑟𝑎 0.45 ≤ 𝑅𝑇 ≤0.55
𝑁 = [4.2577
(𝜎𝑡𝑓𝑓𝑐𝑡,𝑓
) − 0.4225]
3.268
ANEXOS
Tabla 2: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones (Continuación)
Modelos Características Ecuación
Iwama & Fukuda (1986) Ensayo de laboratorios de flexión en probetas con agregados de distintas granulometrías (Dmáx 20 mm y 40 mm)
Majidzadeh (1988) Risc Basados en ensayos destructivo y no destructivos realizados en la pista experimental de la AASHO
Majidzadeh (1988) ARE Basados en ensayos realizado en la pista experimental de la AASHO
Darter (1990) Las tensiones críticas de las losas en la pista fueron calculadas por medio de las cartas de influencias para el caso de borde libre,
Koyanagawa et al. (1994) Ensayo de laboratorios de flexión en probetas con agregados de granulometría (Dmáx 20 mm y 40 mm) y probabilidad de fallo por fatiga del 10 % para fct.f = 4.0, 5.2 y 6.0 MPa
Stet e Frénay (1998) Considera la posibilidad de ocurrencia del efecto de combado por temperatura en las losas de hormigón
NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)
Criterio teniendo en cuenta el 50 % de las secciones de las losas fisuradas
Balbo (1999) Evaluación sistemática de la formación de fisuras en losas delgadas de hormigón, CAD, pistas experimentales
NCHRP- Tayabji & Jiang (1998)
Formulado con base a los datos recolectados por la NCHRP
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 16.73 − 16.13 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑁 = 23440 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
3.21
𝑁 = 22209 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
4.29
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2.13 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
1.2
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 15.95 − 15.38 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 20 − 20 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2.8127 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
1.2214
𝑁 = 29745 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
3.338
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 2 [𝑓𝑐𝑡,𝑓
𝜎𝑡𝑓]
1.22
ANEXOS
Tabla 3: Sucesión histórica de las distintas leyes de fallas propuestas por autores e instituciones (Continuación)
Modelos Características Ecuación
Cervo & Balbo (2004)
Ensayos de laboratorio en probetas prismáticas (100x100x400) mm, con frecuencia 10 Hz y tensión constante, para hormigones brasileros convencionales
Ensayos de laboratorio en probetas prismáticas (100x100x400) mm, con frecuencia 10 Hz y tensión constante, para hormigones brasileros de altas prestaciones.
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 25.858 − 25.142 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 14.13 − 12.41 [𝜎𝑡𝑓
𝑓𝑐𝑡,𝑓]
ANEXOS
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08 1.00E+09 1.00E+10 1.00E+11
RE
LA
CIÓ
N D
E T
EN
SIO
NE
S (
RT
)
LOG N
Bradbury (1938)
PCA (1966)
Vesic & Saxena (1969)
Darter (1977)
Eisnmann (1979)
PCA (1984)
Iwama & Fukuda (1986)
Majidzadeh (1988) Risc
Majidzadeh (1988) ARE
Darter (1990)
Koyanagawa et al. (1994)
Stet e Frénay (1998)
Tayabji & Jiang (1998)
Balbo (1999)
AASHTO (2002)
Cervo & Balbo (2004) Hormigonesconvencionales
Figura 1: Representación de todas las leyes de fallas encontradas en la bibliografía
ANEXOS
Anexo 2.1 Concepción numérica del modelo de tensiones en el borde de la losa.
MODELO FÍSICO Sistema de Pavimento Rígido
Modelo del material
Losa de hormigón.
Sólido deformable
linear y elástico
Suelo de soporte.
Sólido deformable
linear y elástico
Modelo de cargas:
Huella de contacto
equivalente
Modelo de condiciones
de contorno e
interacciones
Condiciones
de contorno
Interacciones
Suelo-losa
Losa-losa (pasadores)
MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno
Dominio de definición
Condiciones iniciales y de fronteras
Método de solución: Método de los
Elementos finitos (MEF)
Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3
Análisis de los resultados:
Tensión en la zona de flexo-tracción
provocado por una carga en el borde.
ANEXOS
Anexo 2.2 Relaciones de interacción del sistema de pavimentos.
Figura 1: Tipos de interacciones del modelo.
Contactos
Suelo-estructura: Para esta interacción se utilizó un contacto normal del tipo “hard-contact” de manera
que la interface responda ante los esfuerzos verticales y a su vez simule la condición de no vinculación
de la losa con el suelo, permitiendo que se separe en algunas zonas, lo que representa el fenómeno que
ocurre en el modelo físico real.
Caras de losas: Se modeló partiendo de la idea de que la juntas no tienen separación entre sí, ya que
corresponden a una tipología conocida como hendidura simulada por tanto, cuando se aplique la carga
entre ellas se establece un contacto "normal” del tipo "hard contact”,”surfece-to-surfece", con el
objetivo de minimizar la penetración de la superficie esclava, en la superficie maestra (considerando la
esclava como la que empuja) permitiendo la transferencia de esfuerzos de tensión a través de la interfaz.
El algoritmo de cálculo de dichos contactos fue el de “small sliding” ya que es superior al “finite
sliding” (implementados ambos en el código de ABAQUS) en cuanto a costo computacional,
especialmente cuando se analizan modelos numéricos tridimensionales (Zienkiewicz & Taylor, 2004)
Pasadores-losa: El pasador es un elemento cuya función principal en el sistema es transferir esfuerzos
de cortante de una losa a la otra y tiene como característica fundamental la de presentar una parte de él
adherida al hormigón y la otra no, para permitir que se deslice sin generar tenciones por fricción cuando
Caras de losas Suelo-estructura Pasadores-losa Barras de amarre-losa
ANEXOS
haya cambios de temperatura en la losa o cuando la carga circule encima de esta. Este fenómeno se
modeló dividiendo el sólido del pasador en dos partes. La primera correspondiente a la no adherida al
hormigón, se simuló con una relación de contactos del tipo normal y tangencial, el normal se modeló de
la misma forma que las superficies anteriores, mientras que la tangencial se configuró como
“frictionless” (depreciando el efecto de fricción). La parte adherida se fue modelada con una restricción
conocida como “embedded region” que consiste en un algoritmo empleando para modelar barras de
refuerzo dentro del hormigón según (Simulia, 2012) .
Figura 2: Esquema seguido para la simulación del pasador
En general cuando se establecen contactos entre componentes, deben hacerlo de una forma
razonablemente fácil, evitando grandes over-closures, y cambios bruscos en la presión de contacto.
Este acercamiento, se traduce generalmente en una suma de pasos para el análisis, pero minimiza
dificultades de convergencia, por consiguiente, mostrará una solución mucho más acertada.
Se producen over-closure cuando los nodos de una superficie penetran el plano de la otra. Los
problemas de over-closure constituyen uno de los principales problemas de convergencia. Estos son
especialmente frecuentes cuando están en contacto dos superficies cilíndricas malladas con diferentes
densidades, provocando que los nodos en la zona con coincidan. Para resolver este problema se activa
el “Adjus-only-to-remove-over-closure”, los nodos esclavos serán ajustados (sin introducir ningún tipo
de tensión dentro de la superficie esclava de la parte.) con el propósito de no generar over-closure. Esto
reducirá grandemente el número de iteraciones y los potenciales problemas de convergencia temprana
en el análisis.
Superficie maestra
Superficie esclava Host element
Embedded element
ANEXOS
Anexo 2.3
Calibración matemática del modelo en 3D para el cálculo de las tensiones en el borde.
Condiciones del ensayo para calibrar.
Losa de hormigón:
h=200 mm
Eh=26000 MPa
ν=0.17
Suelo de soporte:
k=40 MPa/m
Equivale a:
Es=132 MPa
ν=0.35
Eje simple con ruedas duales de 100 kN
Para medir la influencia de la densidad de la malla en los resultados de los modelos utilizados, se realizó
un diseño combinatorio donde se variaron las separaciones de los nodos en el plano x-y con las
separaciones en el sentido de z. Siempre respetando las relaciones de aspectos de los elementos para
la adecuada convergencia del modelo numérico.
El objetivo esencial de este análisis consiste en determinar cuál será el tamaño de la malla a utilizar que
minimice los costos computacionales y que muestre mejor confiabilidad en los cálculos. En el siguiente
esquema se puede observar cómo se realizó el estudio de influencia de las mallas y las variables de
control que se empleó.
Figura 1: Esquema representativo del diseño combinatorio y su variable de control.
Como se observa en el gráfico la variable de control son las tensiones de tracción en el centro de la
huella posicionada en el centro-borde de la losa. En el estudio se corrieron un total de 25 combinaciones
con las condiciones fijadas al inicio del anexo y se compararon los resultados de cada una de ellas contra
los del EverFE v2.24 (modelo con malla densa) en las mismas condiciones. El método empleado para
comparar las soluciones fue las normas de error absoluto y relativo las cuales se muestra a continuación:
A 20 mm
B 40 mm
C 60 mm
D 80 mm
E 100 mm
ANEXOS
Los resultados del estudio se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 1: Estudio factorial de las densidades de malla vertical y horizontal
Resolución Horizontal
(mm)
Resolución Vertical
(mm)
tensión en el punto de
control (MPa)
Error absoluto
(MPa)
Error relativo
(%)
Tiempo de Computo
(hh:mm: ss)
20 100 1.38 0.80 36.6% 0:11:46
20 80 1.63 0.56 25.5% 0:12:53
20 60 1.63 0.56 25.5% 0:20:43
20 40 1.85 0.33 15.3% 0:42:34
20 20 2.13 0.06 2.6% 22:32:10
40 100 1.37 0.81 37.1% 0:07:50
40 80 1.62 0.57 26.0% 0:09:31
40 60 1.62 0.57 26.0% 0:11:12
40 40 1.85 0.33 15.3% 0:20:43
40 20 2.13 0.06 2.7% 3:11:31
60 100 1.37 0.82 37.5% 0:07:17
60 80 1.60 0.58 26.6% 0:07:17
60 60 1.60 0.58 26.6% 0:11:12
60 40 1.82 0.36 16.6% 0:14:00
60 20 2.09 0.09 4.3% 0:46:29
80 100 1.34 0.85 38.8% 0:06:10
80 80 1.56 0.62 28.4% 0:07:17
80 60 1.56 0.62 28.4% 0:10:05
80 40 1.78 0.41 18.7% 0:14:34
80 20 2.05 0.14 6.2% 0:45:55
100 100 1.34 0.85 38.8% 0:06:43
100 80 1.56 0.62 28.4% 0:06:10
100 60 1.56 0.62 28.4% 0:08:24
100 40 1.78 0.41 18.7% 0:10:38
100 20 2.03 0.16 7.1% 0:31:55
Normas de error empleadas en un punto:
Error Absoluto (EA) 𝐄𝐀 = |𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|
Error Relativo (ER) 𝐄𝐑 =|𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|
𝐐𝐞(𝐢)
𝐐𝐞(𝐢): Variable respuesta correspondiente al patrón de comparación
𝐐𝐧(𝐢): Variable respuesta correspondiente a la combinación analizada.
ANEXOS
Anexo 2.4
Estudio de dominio y simplificaciones geométricas.
Para realizar el estudio de dominio se toma el caso que pueda generar los desplazamientos más
desfavorables; mínimo espesor de losa, mínima calidad de soporte y la tipología geométrica donde no
tiene paseo de hormigón. La profundidad que tiene el dominio inicial es de tres metros, para el análisis
se variara reduciéndolo en intervalos de 25 cm. La variable de control es el desplazamiento en un nodo
antes del apoyo que se encuentre más próximo centro de la huella ubicada en el borde. Ver figura.
Figura 1: Parámetro a cambiar en el estudio y su variable de control
En el estudio también se fue controlando el tiempo que demora cada simulación reflejándose todos los
resultados en la siguiente tabla.
Tabla 1: Resultado del estudio de profundidad del soporte
Profundidad de soporte
(mm)
Desplazamiento (mm)
Cantidad de elementos
Tiempo de CPU (min)
Tiempo de CPU
(hh:mm:ss)
250 0.184 139482 14 0:14:04
500 0.131 152982 17 0:16:47
750 0.098 173232 21 0:21:26
1000 0.072 186732 23 0:23:04
1250 0.055 206982 29 0:29:13
1500 0.047 220482 45 0:33:13
1750 0.04 240732 66 0:38:47
2000 0.035 254232 89 0:59:04
2250 0.03 274482 134 2:14:26
2500 0.027 287982 160 2:39:56
2750 0.025 308232 185 3:04:56
3000 0.023 321732 205 3:25:09
ANEXOS
Anexo 2.5 Concepción numérica del modelo axial simétrico
MODELO FÍSICO
Ensayo de placa de carga
Modelo del material
Modelo de carga:
Carga concentrada
sobre una placa
infinitamente
rígida
Interacciones
Subbase-subrasante
Placa rígida-suelo
Modelo de condiciones
de contorno e
interacciones
Condiciones de
contorno.
Ligaduras
lineales Condiciones de
simetría axial MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno
Dominio de definición
Condiciones iniciales y de
fronteras
Método de solución: Método de los
Elementos finitos (MEF)
Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3
Análisis de los resultados:
Determinar el módulo en la superficie
del conjunto.
Suelo de subrasante.
Sólido deformable
linear y elástico
Subbase granular
sólido deformable
linear elástico
ANEXOS
Anexo 2.6 Resultados de una prueba con placa de carga en un tramo experimental de vía.
El ensayo fue extraído de la disertación de (Rezende, 1999) desarrollado en un tramo experimental de
la carretera DF-205 Oeste, localizada en el distrito federal (Brasilia). Se tomaron varias secciones y se
probaron combinaciones de materiales alternativos que pudieran emplearse en la construcción de
pavimentos. Posteriormente se realizaron ensayos para evaluar sus características. Entre los ensayos
realizados, se hizo el de placa de carga en algunas estaciones específica, de las cuales se tomó para la
calibración y validación del modelo numérico el de la Estación, 129+10, la caracterización de la sección
se muestra en el esquema siguiente.
Figura 1: Sección tomada para la calibración y validación del ensayo de placa de carga.
Para el ensayo de placa se empleó una placa circular de 25 cm de diámetro y 2.54 cm de espesor apoya
sobre la superficie debidamente nivelada y compactada. Sobre la placa se colocó un gato hidráulico con
una célula de carga para medir la presión, sobre la placa se colocaron 4 diales (defómetros)
diametralmente opuestos, acoplados por medio de bases magnéticas a una viga metálica de 3 m de
largo, apoyada fuera del área de interferencia del ensayo. Como sistema de reacción se tomó el eje
trasero de un camión cargado con peso aproximado de 30 ton.
Figura 2: Montaje del ensayo de placa.
Capa No.1: Grava mezclada con suelo fino al 25 %, clasificado como A-2-4.
Capa No.2: Suelo natural clasificado
(arcilla roja) como A-7-6.
Estación 129+10.0
ANEXOS
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
De
spla
zam
ien
to (
mm
)
Presión (kPa)
Estación 129+10.0
Figura 3: Resultados del ensayo realizado en la estación 129+10.0 (Rezende, 1999)
ANEXOS
Anexo 2.7 Calibración matemática del modelo axial-simétrico.
Calibración matemática
Para medir la influencia de la densidad de la malla en los resultados de los modelos, se realizó un análisis
de este parámetro. Para ello se definieron 10 modelos, los cuales se diferencian únicamente en el tamaño
de la malla utilizada que varía desde 100 mm hasta 10 mm.
Variable de control
La variable de control se midió en los diferentes modelos en un punto común con el fin de establecer una
comparación entre sus valores; en este caso se medirá el valor del desplazamiento en el centro de la
placa cuando la carga en la placa haya alcanzado los 70kPa.
La variable de control se contrasta con el valor experimental (desplazamiento medido en las mismas
condiciones) a partir de las normas de error relativo y error absoluto establecidas para un punto.
𝐄𝐀 = |𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)| 𝐄𝐑 =|𝐐𝐞(𝐢) − 𝐐𝐧(𝐢)|
𝐐𝐞(𝐢)
Donde
𝐐𝐞(𝐢) : Variable de respuesta en el nodo de control
𝐐𝐧(𝐢) ∶ Variable respuesta en el ensayo
Figura 1: Posición de la variable de respuesta y normas de error empleadas para la calibración
Tabla 1: Resultados de las corridas para la calibración matemática.
Etiqueta Tamaño del
elemento (mm) Desplazamiento en el nodo de control (mm)
Solución analítica. (mm)
-1.801
Error absoluto (mm) Error relativo (%)
MEF-1 10 -1.84374 0.04274 2.37%
MEF-2 20 -1.84499 0.04399 2.44%
MEF-3 30 -1.84744 0.04644 2.58%
MEF-4 40 -1.85345 0.05245 2.91%
MEF-5 50 -1.85879 0.05779 3.21%
MEF-6 60 -1.87893 0.07793 4.33%
MEF-7 70 -1.87547 0.07447 4.13%
MEF-8 80 -1.93768 0.13668 7.59%
MEF-9 90 -1.95253 0.15153 8.41%
MEF-10 100 -1.94887 0.14787 8.21%
ANEXOS
Anexo 2.8
Concepción numérica del modelo para el ensayo de módulo de rotura.
Modelo de carga:
Actuador en un
punto de
referencia que
distribuye la carga
a los cilindros
Modelo de
condiciones de
contorno e
interacciones
Condiciones de
contorno para simular
viga simplemente
apoyada
Interacciones
Cilindros – viga de hormigón
MODELO MATEMÁTICO Ecuaciones de gobierno
Dominio de definición
Condiciones iniciales y de fronteras
Método de solución: Método de los
Elementos finitos (MEF)
Solver: ABAQUS/CAE v.6.14-3
Análisis de los resultados:
Carga de rotura del ensayo
MODELO FÍSICO Rotura de una viga cargada a un
1/3 de la luz
Modelo del material
Viga de hormigón. Sólido
deformable con Modelo de
Daño Plástico del Hormigón
(en inglés CDPM)
Mecanismos de
trasmisión de carga.
Rígido discreto
ANEXOS
Anexo 2.9
Ensayo de módulo de rotura empleados para la calibración y validación de los resultados.
Los ensayos tomados para la calibración y validación fueron extraídos de una tesis doctoral realizada en
la Universidad Politécnica de São Paulo (USP). En la investigación se construyeron varias muestras y se
evaluaron diversos parámetros (curado, relación agua-cemento, tipos de áridos etc.), para el estudio se
tomó de la población aquellas características del hormigón empleadas también en la construcción de una
pista experimental dentro de la misma universidad, los cuales se muestran a continuación.
Tabla 1: Características del hormigón empleado en la Pista Experimental de la USP y en la Tesis de
Tatiana Cervo.
Materiales o propiedades Valores obtenidos
Cemento (kg/m3) 328
Arena (kg/m3) 691
Gravilla tipo 1 (kg/m3) 483
Gravilla tipo 2 (kg/m3) 724
Relación a/c 0.553
Plasticidad (L/m3) 1.148
Aire incorporado (%) 2.6
Asentamiento en el cono (mm) 65
Resistencia media a compresión a los 28 días (MPa) (CV=15%) 33
Para el ensayo de módulo de rotura se emplearon dos tipos de moldes 100x100x400 y 150x150x500
respectivamente, construyendo 3 muestra de cada tipo. La confección de las probetas se realizó con la
misma amasada y se compactaron con energías similares tratando de que los resultados den lo más
homogéneo posibles. El curado se realizó mediante la inmersión de los cuerpos en un estanque hasta la
edad de rotura (28 días).
Figura 1: Imágenes del proceso de confección de los especímenes
ANEXOS
El ensayo se realizó teniendo en cuenta las recomendaciones de la ASTM-C78, en cuanto al mecanismo
de fallo de las vigas. La probeta rompe dentro del tercio medio de la viga entonces se aplica la ecuación
(1) y caso contrario se aplica la ecuación (2). Ver figuras.
2ct
PLf
bd (1)
2
3ct
Paf
bd (2)
Donde:
fct: Módulo de rotura (MPa)
P: Máxima carga aplicada indicada por la maquina en el momento de la rotura (N).
L: Luz libre en (mm).
b: Peralto de la viga (mm).
d: Ancho de la viga (mm).
a: Distancia promedio desde la línea de fractura y el apoyo más cercano por la zona de tracción (mm).
Figura 2: Imágenes del ensayo con rotura dentro del tercio medio de la luz libre.
Tabla 2: Resultados del ensayo en los dos cuerpos de prueba.
Nota: todas las probetas rompieron dentro del tercio medio de la luz libre.
Relación a/c
Proveta 100x100x400 mm (V-I)
Series de Probetas
fct,f28
(MPa) Carga (N)
Media (MPa)
σ (MPa) CV (%)
0.553
1 4.50 12740
4.80 0.22 4.58 2 5.00 14150
3 4.90 13990
Probeta 150x150x500 mm
1 5.10 38900
4.87 0.26 5.34 2 5.00 37720
3 4.50 34570
ANEXOS
Anexo 2.10
Modelación constitutiva del hormigón.
Modelación del hormigón
El comportamiento del hormigón es altamente complicado e influenciado por distintos fenómenos, los
que se reflejan en la micro y macro estructura, esto conlleva a la concepción de un grupo de hipótesis
simplificativas que desembocan en drásticas idealizaciones sobre su comportamiento, con el fin de poder
modelarlos matemáticamente (Chen 1975; Oller 1988, 1996).
Existe un grupo considerable de investigadores que han trabajado en los últimos años el estudio
experimental del comportamiento del hormigón los cuales se mencionan en la investigación de (Bonilla,
2008)
Del análisis de estos trabajos se deriva que el comportamiento de este material está muy influenciado
por la formación y desarrollo de micro-fisuras en el mortero y en la interface entre mortero y agregado
pétreo, las cuales se inician desde la etapa de curado y crecen en función del estado tensional al que se
somete el elemento estructural durante su vida útil. Por tal razón, cualquier modelo constitutivo que trate
de simular el comportamiento del hormigón debe caracterizarse por los siguientes aspectos.
Comportamiento altamente no-lineal e inelástico debido al fenómeno de microfisuración y
deslizamiento entre partículas granulares.
La ley constitutiva tenso – deformacional, esta, caracterizada por un período elástico inicial, seguido
de un comportamiento inelástico con endurecimiento y gradual pérdida de la rigidez, que conduce a
una etapa posterior dominada ablandamiento. Esta microfisuración es la responsable del fenómeno
de expansión de volumen inelástico por efecto de la distorsión plástica, este fenómeno se le conoce
con el nombre de “Dilatancia”. Una forma de considerar este acontecimiento es, mediante el “ángulo
de dilatancia (ψ)”, introducido por primera vez por B. Hansen en 1958 y que representa la relación
que hay entre el incremento de volumen plástico y la distorsión plástica. Para el caso del hormigón
se recomienda un valor de ψmax = 15o. (Oller 1996, 1988). Ver figura 1.5.
Figura 2: Representación esquemática del ángulo de dilatancia (Oller, 2001)
ANEXOS
f
f´oc
f ´c
fot
f t
c oc
ot t
Como resultado que la resistencia a tracción es sensiblemente más baja, en la interface mortero –
agregado pétreo se produce una pérdida de esfuerzo en el material compuesto (hormigón), lo que se
refleja en una resistencia a tracción sensiblemente menor que a compresión. La relación entre las
resistencias iniciales uniaxiales a compresión (foc) y a tracción (fot) oscila entre 10% ≤ foc/ fot ≤ 20 %.
La resistencia última del hormigón bajo compresión biaxial, es mayor que la obtenida para comprensión
uniaxial, con incrementos de un 22.0% para relaciones de tensión (σз/σ1) = 0.5. Para estados biaxiales
de compresión -tracción, la resistencia a compresión decrece casi linealmente con el aumento de la
tracción aplicada. Bajo tracción biaxial la resistencia del hormigón crece un poco respecto a la
correspondientes uniaxial.
Las curvas de tensión-deformación uniaxial, poseen la misma forma a compresión que a tracción. La
deformación para el pico de tensiones es del orden -2.5‰ para la compresión uniaxial y entre 0.07‰ y
0.15‰. para tracción uniaxial. Ver figura 2.
El módulo de deformación en tracción uniaxial es ligeramente mayor que en compresión uniaxial, al
tiempo que el coeficiente de Poisson (γ) en tracción es algo más bajo que en compresión, el valor de
este coeficiente oscila entre 0.15 ≤ γ ≤ 0.22, siendo un valor razonable 0.19 o 0.20.
El inicio e incremento de la fisuración, genera una discontinuidad en la respuesta tensión – deformación
del hormigón, tanto en compresión como en tracción uniaxial, cuando se alcanza tensiones del orden del
75% (f´oc) de la resistencia máxima a compresión (f´c) en el primer caso, y del 60% (fot) de la resistencia
máxima a tracción (ft) en el segundo.
Los valores de ángulo de fricción interna entre partículas () para el caso del hormigón están
comprendidos en un rango 30o ≤ ≤ 35o. (Oller 1996; 1988).
Figura 3: Ensayo uniaxial de tracción y compresión
ANEXOS
Mecanismo de fallo del hormigón
Otro aspecto valioso que se aborda en la literatura consultada lo constituye la descripción de los
mecanismos de iniciación y avance progresivo del daño por fractura. Relacionado con esto, todos los
autores coinciden en que las micro-fisuras existen en la masa de hormigón, aún antes de iniciarse
cualquier proceso de carga, las cuales se ubican en la zona de transición entre el agregado pétreo y el
mortero de cemento, aunque en ocasiones alcanza a penetrar la matriz. De las observaciones realizadas
a hormigones sometidos a cargas, se identifican cuatro mecanismos de fallos, los que se mencionan a
continuación en orden de aparición (Ver figura 1.7).
Microfisuras en la interfase entre agregado grueso y la pasta de cemento, por el desprendimiento
del árido.
Incursiones en la pasta de cemento, de las microfisuras originadas en la interfase con el agregado
grueso.
Fisuras originadas en el mortero o pasta de cemento, con una orientación dominante, normal a la
deformación principal de tracción. También aparecen en esta etapa nuevas fisuras que
interconectan los espacios vacíos que existen en la pasta de cemento.
Conexión entre las distintas fisuras, lo que conduce al fallo total del sólido. Este mecanismo se
caracteriza porque el árido provoca un efecto de cuña o trabazón entre las caras de las fisuras,
contrarrestando la pérdida de resistencia que se ha producido en la dirección normal a ella.
Figura 4: Mecanismo de daño en el hormigón.
Esta descripción cronológica de los mecanismos de fallos muestra que la fisuración a nivel microscópico
en el punto de la masa del material compuesto, es un fenómeno adireccional que, a su vez, se propaga
ANEXOS
en determinadas direcciones dentro del mismo llegando a concentrase en determinadas zonas del sólido,
las que se denominan zonas de daño. Esto genera, a niveles macroscópicos, una dirección predominante
de las fisuras cuya orientación queda marcada por el lugar geométrico que describen los puntos dañados
y no por cada punto dañado por sí solo. Ver figura 1.10.
Internacionalmente se reportan varios trabajos (Bazant & Planas, 1998; NHI, 1998; PCA, 1966;
Recarey, 1999) relacionados con la obtención y/o aplicación de modelos constitutivos para el caso de
los hormigones. Es importante resaltar las investigaciones desarrolladas por (C & H, 1984; Lubliner,
oliver, Oller, & Oñate, 1989; Oller, 2001), donde se formula un modelo constitutivo que permite simular
el comportamiento de un material cohesivo-friccional, con especial énfasis en el hormigón basado en la
teoría del daño, al cual se le denominó Modelo de Daño Plástico dicho modelo ha adquirido gran
aceptación por su comportamiento frente a resultado experimentales y es el modelo empleado en el
software ABAQUS/CAE para la situación de este material.
Modelo de daño plástico
El modelo de daño plástico (Concrete Damaged Plasticity) es el modelo empleado por el programa
(ABAQUS, 2013) el mismo, no es más que una modificación a la hipótesis de Druker-Prager propuesta
por (C & H, 1984; Lubliner, oliver, Oller, & Oñate, 1989; Oller, 2001). El mismo está destinado al
análisis de estructuras de hormigón que pueden estar bajo cargas monótonas, cíclicas o dinámicas. Es
apropiado para el análisis de otros materiales frágiles como roca, morteros y cerámicas. Cuando es
sometido a bajas presiones de confinamiento el hormigón se comporta de manera muy frágil, donde los
principales mecanismos de fallo son la fractura o agrietamiento en tracción y el aplastamiento en
compresión. El comportamiento frágil del hormigón tiende a desaparecer cuando las presiones de
confinamiento son suficientemente grandes para prevenir la propagación de las grietas.
La teoría constitutiva expresada aquí está dirigida a tomar los efectos de daño irreversibles asociados a
los mecanismos de fallo que a parecen en el hormigón u otro material frágil sometido a bajas presiones
de confinamiento (menores que cuatro o cinco veces la resistencia última a compresión). Ver figura 1.8.
El modelo asume que la resistencia a la tracción uniaxial y la respuesta a la compresión del hormigón se
caracteriza por la plasticidad dañada, empleando para ello las curvas de tensión – deformación y/o
Tensión – desplazamiento.
a) Curva de Tensión – deformación para compresión uniaxial
La curva de tensión – deformación para el hormigón es la representación de lo que sucede en un ensayo
uniaxial a compresión llevado a cabo en el laboratorio con probetas cilíndricas de 15x30 cm.
ANEXOS
Figura 5: Curva de comportamiento en compresión uniaxial
Los parámetros fundamentales de este modelo son, la tensión inelástica a ciertos intervalos durante el
ensayo ( c ) y la deformación inelástica (in
c ), la cual, es determinada a partir de establecer una
diferencia entre la deformación en determinado punto (por encima del umbral de elasticidad) (𝜀𝑐) y la
deformación elástica correspondiente a ese punto (sin tener en cuenta la rigidez degradada)
0
in elc c c (3)
0
0
el cc
E
(4)
Otro parámetro importante a definir en este modelo es la variable de daño 𝑑𝑐. La variable de daño va
desde 0, representando el material intacto hasta 1 cuando el material alcanzo la máxima degradación de
su rigidez. Este parámetro también puede ser definido a partir de la relación entre la tensión en cada
punto de la parte declinada de la curva con la resistencia a compresión del hormigón.
A partir de tener ambos parámetros del CDP se puede calcular la deformación plástica tal como se
muestra en la siguiente ecuación:
0(1 )
pl inc
c c
c
d
d E
(5)
Donde 𝐸0 es el módulo de elasticidad del material sin dañarse. Conociendo la deformación plástica y
habiendo determinado el flujo y el área de la superficie de falla es posible calcular la tensión para
compresión uniaxial y su valor en tensiones efectivas.
0(1 ) ( )pl
cc c cd E (6)
ANEXOS
0 ( )(1 )
plc
c cc
c
Ed
(7)
Representación de curvas tensión – deformación en compresión cuando se carece de datos
experimentales.
El proceso de obtención de la curva tensión – deformación del hormigón con todas sus ramas requiere
de equipamiento con servo control de carga y métodos de adquisición de datos que muchas veces no
tenemos en los laboratorios y son bastante costosos, es por eso que como alternativa los autores han
propuestos modelos para aproximar este comportamiento, los cuales pueden ser vistos en el siguiente
resumen extraído del libro de (Santana & Caneiro, 2010)
Figura 6: Algunas leyes constitutivas para modelar el hormigón en compresión
b) Curva de Tensión – deformación para tracción uniaxial
La obtención de la curva de comportamiento en tracción es a partir del ensayo de tracción directa de
hormigón, ensayo extremadamente complejo de ejecutar y que requiere de equipamiento especializado,
ANEXOS
es por eso que los investigadores recomiendan obtener la resistencia a tracción y su comportamiento a
partir del ensayo de tracción indirecta o ensayo brasilero como se conoce también.
Figura 6: Curva de comportamiento en tracción uniaxial
El modelo de daño plástico al igual que para el comportamiento en compresión en tracción emplea la
tensión inelástica en tracción (𝜎𝑡) y la deformación de agrietamiento (𝜀�̃�𝑐𝑘) la cual es determinada
análogamente igual que en el ensayo a compresión. Lo mismo sucede con el resto de los pasos en
compresión obteniendo se las siguientes ecuaciones:
0(1 ) ( )ck
tt t td E (8)
0 ( )(1 )
ckt
c tt
t
Ed
(9)
Representación de curvas tensión – deformación en compresión cuando se carece de datos
experimentales.
En este caso las representaciones de las curvas (Tension-stiffning) como se conocen también, van desde
modelos lineales, bilineales, trilineales hasta exponenciales a continuación les presentaremos algunos
de ellos empleados por autores en la bibliografía.
Ecuación presentada por Wang & Hsu de tipo exponencial
0.4
ckt mc
t
f
si t ck (10)
En el caso del ABAQUS con el fin de atenuar los inconvenientes en materia de convergencia numérica
provocados por la inobjetividad de la solución, el Manual de Usuarios recomienda para el caso del
comportamiento del hormigón en tracción utilizar las curvas de tensión vs desplazamiento, invocando así
ANEXOS
la energía de fractura del material, definida como el área bajo de la misma. Para ello (Hordijk,1992)
estableció una ecuación:
Parte de:
22
3
3
0 1 11 (1 )c
wC
w C
t t
c c
w wC e C e
w w
(11)
Dónde:
𝑤: Desplazamiento enésimo en la rama de ablandamiento de la curva en tracción
𝑤𝑐: Desplazamiento máximo de rotura, se determina en función de la energía final de fractura
C1 y C2 son constantes de calibración del modelo y su valor fue de 3 y 6.93 respectivamente
ANEXOS
Anexo 2.11 (a)
Código en MathCad 14 empleado en la investigación para generar curvas de comportamiento en compresión del hormigón según (BS EN 1992-1-1)
El programa se realizó en función de los parámetros y nomenclaturas empleados en el EUROCODE (BS
EN 1992-1-1:2004)
VARIABLES DE ENTRADA:
Resistencia característica del hormigón fijada por proyecto.
: 30ck
f MPa
: 0.0014 2 exp 0.024 exp 0.140 0.0020976cl ck ckf f
: 0.004 0.001 1 exp 0.0215 0.00352466cu ckf
10: 4700 2.57 10ck ckE f Pa
: 1.05 1.89ck clc
ck
EK
f
: 0.4cky ckf f : 0.000466
cky
cy
ck
f
E
ALGORITMO PARA GENERAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN COMPRESIÓN
Cantidad de puntos de la lista a generar.
: 15N
: 0..i N
: 0.0002039cu cy
dN
:i cy i d
: ii
cl
Modelo que describe la curva de comportamiento.
2( ):
1 ( 2)
c i ii ck
c i
Kf
K
ANEXOS
Instrucción para acoplar dos listas.
: ( , )i iList augment
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN COMPRESIÓN
ANEXOS
Anexo 2.11 (b)
Código en MathCad 14 empleado en la investigación para generar curvas de comportamiento en tracción del hormigón
VARIABLES DE ENTRADA:
Resistencia característica del hormigón fijada por proyecto.
: 30ck
f MPa
0 : 10ckf MPa 0 : 10cmf MPa 0 2: 0.036F
mmG N
mm (Parámetros asumidos a partir del EUROCODIGO)
: 4.5LS MPa Desviación estándar para hormigones con control normal de fabricación según la
(NC-192)
Determinación de la resistencia media a compresión.
: 34.5cm ck Lf f S MPa
0.7
0 2
0
: 85.66cmF F
cm
f mG G N
f m
0
: 5.14 0.15Fc
t
Gw mm
Estimación de la resistencia a tracción directa según el EUROCODIGO.
0.6739
0 0: 0.2987 1.41ctk m ckf f MPa
2
3
0 0
0
: 2.933ckt ctk m
ck
ff MPa
f
(Tracción directa)
ANEXOS
ALGORITMO PARA GENERAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN
Cantidad de puntos de la lista a generar.
: 8
: 0..
:
: 0
c
i
N
i N
wd
N
w i d
ECUACIÓN PARA ESTIMAR LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN
Hordijk, DA (1992). Tensile and tensile fatigue behavior of concrete; experiments, modeling and analyses,
Heron 37(1):3-79.
Factores de calibración según el autor: 1 : 3C 2 : 6.93C
22
3
3
0 1 11 (1 )
i
c
wC
w Ci ii t
c c
w wC e C e
w w
Instrucción para acoplar dos listas.
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE COMPORTAMIENTO EN TRACCIÓN
ANEXOS
Biliografía del Anexo ABAQUS. (2013). Section 3.2.8 "Axisymetric Elements". In D. Systemes (Ed.), ABAQUS Theory Manual
Version 6.13 (pp. 3.2.8–1 - 3.2.8-5). Bazant, Z., & Planas, J. (1998). fracture a size effect in conrete and other quasibrittle materils. [Press
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Santana, J. J. H., & Caneiro, J. A. H. (2010). Hormigón Estructural. Diseño por estados límites. (Vol. 1). La Habana, Cuba: Editorial científico tecnica. .
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Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2004). El Método de los Elementos Finitos. (Vol. Vol. I). Barcelona, España: CIMNE, Cuarta Edición, 339 p.
ANEXOS
Anexo 3.1
Descripción del estudio experimental de distancia al borde del pavimento.
El anexo pretende mostrar un procedimiento indirecto empleado en la investigación para estimar, qué
por ciento de vehículos pesados se encuentra dentro de la franja de 60 cm en las condiciones de Cuba.
Para ello se diseñó un experimento donde se seleccionaron tres vías de la capital con características
similares de ancho de carril. Las vías fueron:
Calzada de Bejucal Tramo hacia Calabazar.
Acceso a la CUJAE desde Avenida Rancho Boyeros.
Calzada de Perla Tramo de Los Pinos.
Se seleccionan estas vías por ser de dos carriles de circulación, caso para cual, el número de ejes en el
borde o en sus cercanías es más desfavorable. El experimento se realizó marcando con pintura en el
pavimento, líneas con equidistancia de 20 cm desde el borde hacia el interior del carril Figura 1. Luego
se aforaron los vehículos que circularon en cada intervalo, registrándose los resultados en un modelo.
Debido a que se pretende evaluar el comportamiento de los conductores en función de los anchos
promedio de vehículos, los conteos se realizaron en días y horas aleatorias, los resultados fueron
acumulado en el mismo registro.
Figura 1 Procedimiento de marcado del pavimento
ANEXOS
0 26
40
55
39
26
20
10
0
10
20
30
40
50
60
I II III IV V VI VII VIII IX
Fre
cuen
cia
de p
asad
as
Distancia desde el borde (m)
02
5
26
42
47
27
15
6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
I II III IV V VI VII VIII IX
Fre
cuen
cia
de p
asad
as
Distancia desde el borde (m)
1 3 3
43
69
47
34
22
11
0
10
20
30
40
50
60
70
80
I II III IV V VI VII VIII IX
Fre
cuen
cia
de p
asad
as
Distancia desde el borde (m)
Acceso a la CUJAE desde Boyeros
Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)
Frecuencia
I 0.00 - 0.20 0
II 0.20 - 0.40 2
III 0.40 - 0.60 6
IV 0.60 - 0.80 40
V 0.80 - 1.00 55
VI 1.00 - 1.20 39
VII 1.20 - 1.40 26
VIII 1.40 - 1.60 20
IX 1.60 - 1.80 10
Tamaño de la muestra 198
Calzada de Bejucal hacia Calabazar
Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)
Frecuencia
I 0.00 - 0.20 0
II 0.20 - 0.40 2
III 0.40 - 0.60 5
IV 0.60 - 0.80 26
V 0.80 - 1.00 42
VI 1.00 - 1.20 47
VII 1.20 - 1.40 27
VIII 1.40 - 1.60 15
IX 1.60 - 1.80 6
Tamaño de la muestra 170
Calle 6ta "Perla" tramo Los Pinos
Posición Distancia del Vehículo al Borde (m)
Frecuencia
I 0.00 - 0.20 1
II 0.20 - 0.40 3
III 0.40 - 0.60 3
IV 0.60 - 0.80 43
V 0.80 - 1.00 69
VI 1.00 - 1.20 47
VII 1.20 - 1.40 34
VIII 1.40 - 1.60 22
IX 1.60 - 1.80 11
Tamaño de la muestra 233
I. Resultados del estudio
Los resultados del estudio se organizaron en tablas e histogramas para cada caso, los cuales se
muestran a continuación.
Figura 2 Resultados de los aforos para cada caso.
ANEXOS
Datos Agrupados
Posición Distancia del
Vehículo al Borde (m)
Frecuencia
I 0.00 - 0.20 1
II 0.20 - 0.40 7
III 0.40 - 0.60 14
IV 0.60 - 0.80 109
V 0.80 - 1.00 166
VI 1.00 - 1.20 133
VII 1.20 - 1.40 87
VIII 1.40 - 1.60 57
IX 1.60 - 1.80 27
Tamaño de la muestra 601
Resumen estadístico de los datos agrupados
Recuento 601
Promedio 1.03894
Desviación Estándar 0.302488
Coeficiente de Variación 29.12%
Mínimo 0.186732
Máximo 1.78846
Rango 1.60173
Sesgo Estandarizado 2.00063
Curtosis Estandarizada -1.69312
II. Análisis de los resultados.
En el análisis se pretende determinar para un ancho de franja de 60 cm que por ciento de vehículos
pesados pudiera considerarse circulando por o las inmediaciones del borde. Para ello se emplea un
software como herramienta estadística (STATGRAPHICS Centurion XVI). Lo que se pretende es
agrupar los datos de las tres vías y asociarlo a una distribución de probabilidades determinada, para
luego para la distancia de 60 cm cual es la probabilidad de ocurrencia.
Figura 3 Análisis exploratorio de los datos.
En la tabla se muestran un resumen de los estadísticos para los DATOS AGRUPADOS. Incluye medidas
de tendencia central, medidas de variabilidad y medidas de forma. De particular interés aquí son el sesgo
estandarizado y la Curtosis estandarizada, las cuales pueden utilizarse para determinar si la muestra
proviene de una distribución normal. En este caso, el valor de sesgo estandarizado no se encuentra
dentro del rango esperado para datos provenientes de una distribución normal. El valor de Curtosis
estandarizada se encuentra dentro del rango esperado para datos provenientes de una distribución
normal. Estos resultados no dan criterio suficiente para afirmar que los datos provienen de una
ANEXOS
distribución normal, pero dan la idea de que pudiera estar cerca a esta. Lo que nos conduce a probar en
el ajuste con distribuciones de teóricas semejantes.
III. Ajuste de los datos a una distribución teórica
Para el ajuste de los datos experimentales (X) a una función de probabilidades determinada f(X) se sume la siguiente hipótesis:
Sea
X: Variable aleatoria poblacional
f0(x): Distribución de probabilidad supuesta para X
H0: No se rechaza la posibilidad de que f0(x) =f(x)
Ha: En contraste con la hipótesis alterna f0(x) no=f(x) (se niega H0)
Se probaron cuatro distribuciones posibles y para verificar cual era la que mejor se ajustaba, se le realizó dos test de bondad de ajuste (Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrado). Los resultados se muestran en la siguiente tabla y gráfico.
Tabla 1 Parámetros de las Distribuciones Ajustadas
Gamma Lognormal Normal Weibull
forma = 10.7588 media = 1.044 media = 1.03894 forma = 3.75533
escala = 10.3555 desviación estándar = 0.345774 desviación estándar = 0.302488
escala = 1.14985
Escala log: media = -
0.00898748
Escala log: desv. est. =
0.322623
Tabla 2 Pueda de bondad de ajuste de Kolmogorov – Smirnov
Gamma Lognormal Normal Weibull
DMAS 0.0258746 0.0411191 0.0515277 0.0576842
DMENOS 0.0341297 0.0398117 0.0408034 0.048574
DN 0.0341297 0.0411191 0.0515277 0.0576842
Valor-P 0.496822 0.262358 0.0822286 0.0366452
nivel de significancia: 0.05
Tabla 3 Prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado
Gamma Lognormal Normal Weibull
Chi-Cuadrada 60.4592 82.7987 71.8735 77.2546
G.l. 46 46 46 46
Valor-P 0.0747513 0.000711094 0.00868524 0.00265545
ANEXOS
a). b).
Figura 4 Resultados gráficos del ajuste de los datos a varias distribuciones de probabilidad. a).
Histograma con funciones de probabilidades, b) gráfico de cuartiles.
Para saber si una determinada función de probabilidades f(x) se ajusta adecuadamente a los datos
experimentales se evalúa a partir del p-valor, el que cual se define como la probabilidad de obtener un
resultado al menos tan extremo como el que realmente se ha obtenido (valor del estadístico calculado),
suponiendo que la hipótesis nula es cierta, en términos de probabilidad condicional.
En el caso que se estudia, cuando el p-valor sean menores que 0.05 indicarían que los datos
experimentales no provienen de la distribución seleccionada con 95% de confianza. En el test de
Kolmogorov-Smirnov da como resultado que solo la distribución Weibull no cumple tal condición
quedando como descartada automáticamente. Luego se aplicó el test Chi-cuadrado resultando que solo
pasa la prueba la distribución Gamma.
Para la investigación seleccionamos la distribución Gamma pues es la mayor p-valor propone en el test
Kolmogorov-Smirnov y es como se observa en la tabla 3 es la única que cumple con el test Chi-cuadrado,
por tanto, esta es la de mejor ajuste al comportamiento de los datos experimentales.
IV. Obtención del por ciento de vehículos pesados en las inmediaciones del borde.
Para obtener del por ciento de vehículos pesados en las inmediaciones del borde se representó la función
de masa/densidad y la probabilidad acumulada de la función seleccionada (Gamma) a partir de sus
parámetros sacados de la tabla 1. Luego se entra en el gráfico con la distancia de 60 cm y se leyó en el
eje correspondiente a la probabilidad acumulada el por ciento de vehículos dentro de la franja.
ANEXOS
Figura 5 Resultados de la distribución tomada.
Como se observa en el gráfico de la derecha aproximadamente para 60 cm se tiene cerca de un 6% de
vehiculos en las inmediaciones del borde (5.88%).
ANEXOS
Anexo 3.2 (a)
Espesor de losa (mm)
TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS SIN PASEO DE HORMIGÓN (MPa)
MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)
40 60 80 100 150 200 250 300 350 400 450 500
ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET
130 4.04 3.44 3.68 3.08 3.41 2.85 3.21 2.71 2.83 2.32 2.56 2.11 2.36 1.94 2.20 1.80 2.05 1.69 1.93 1.56 1.83 1.47 1.73 1.44
140 3.74 3.15 3.41 2.83 3.16 2.62 2.99 2.50 2.64 2.16 2.39 1.96 2.21 1.82 2.06 1.68 1.93 1.59 1.82 1.47 1.73 1.39 1.64 1.36
150 3.47 2.90 3.17 2.62 2.95 2.43 2.79 2.31 2.47 2.02 2.25 1.83 2.08 1.70 1.95 1.58 1.82 1.50 1.72 1.39 1.64 1.32 1.55 1.29
160 3.24 2.69 2.97 2.44 2.76 2.26 2.61 2.15 2.32 1.89 2.12 1.72 1.96 1.61 1.84 1.50 1.73 1.42 1.64 1.32 1.56 1.25 1.48 1.23
170 3.04 2.50 2.79 2.28 2.60 2.11 2.46 2.00 2.19 1.78 2.00 1.62 1.86 1.52 1.75 1.42 1.64 1.35 1.56 1.26 1.48 1.20 1.41 1.17
180 2.86 2.34 2.63 2.14 2.45 1.98 2.33 1.88 2.08 1.69 1.90 1.53 1.77 1.44 1.66 1.35 1.57 1.29 1.49 1.20 1.42 1.14 1.36 1.12
190 2.70 2.20 2.48 2.01 2.32 1.86 2.20 1.77 1.97 1.60 1.81 1.45 1.69 1.37 1.59 1.29 1.50 1.23 1.43 1.15 1.36 1.10 1.30 1.07
200 2.56 2.07 2.36 1.90 2.20 1.75 2.09 1.67 1.88 1.52 1.72 1.37 1.61 1.31 1.52 1.23 1.43 1.18 1.37 1.11 1.31 1.06 1.25 1.03
210 2.43 1.95 2.24 1.80 2.10 1.66 2.00 1.58 1.79 1.45 1.65 1.31 1.54 1.25 1.46 1.18 1.38 1.13 1.32 1.07 1.26 1.02 1.21 1.00
220 2.31 1.85 2.13 1.70 2.00 1.57 1.90 1.50 1.71 1.38 1.58 1.25 1.48 1.20 1.40 1.13 1.33 1.09 1.27 1.03 1.21 0.98 1.17 0.96
230 2.20 1.75 2.04 1.62 1.91 1.50 1.82 1.42 1.64 1.32 1.52 1.20 1.42 1.15 1.35 1.09 1.28 1.05 1.22 0.99 1.17 0.95 1.13 0.93
240 2.11 1.67 1.95 1.55 1.83 1.43 1.75 1.36 1.58 1.27 1.46 1.15 1.37 1.11 1.30 1.05 1.23 1.01 1.18 0.96 1.14 0.92 1.09 0.90
250 2.02 1.59 1.87 1.48 1.76 1.36 1.68 1.29 1.52 1.22 1.41 1.10 1.32 1.07 1.26 1.01 1.19 0.98 1.14 0.93 1.10 0.89 1.06 0.87
260 1.93 1.52 1.80 1.41 1.69 1.30 1.61 1.24 1.46 1.17 1.36 1.06 1.28 1.03 1.22 0.98 1.15 0.95 1.11 0.90 1.07 0.86 1.03 0.84
270 1.86 1.45 1.73 1.35 1.62 1.25 1.55 1.19 1.41 1.13 1.31 1.02 1.24 0.99 1.18 0.95 1.12 0.92 1.08 0.87 1.04 0.84 1.00 0.82
280 1.79 1.39 1.66 1.30 1.57 1.20 1.50 1.14 1.36 1.09 1.27 0.98 1.20 0.96 1.14 0.92 1.09 0.89 1.04 0.85 1.01 0.82 0.97 0.80
290 1.72 1.33 1.60 1.25 1.51 1.15 1.45 1.09 1.32 1.05 1.23 0.95 1.16 0.93 1.11 0.89 1.05 0.86 1.02 0.83 0.98 0.80 0.95 0.78
300 1.66 1.28 1.55 1.20 1.46 1.11 1.40 1.05 1.28 1.02 1.19 0.92 1.13 0.90 1.08 0.86 1.03 0.84 0.99 0.80 0.95 0.78 0.92 0.76
310 1.60 1.23 1.50 1.16 1.41 1.07 1.35 1.02 1.24 0.99 1.15 0.89 1.09 0.88 1.05 0.84 1.00 0.82 0.96 0.78 0.93 0.76 0.90 0.74
320 1.55 1.19 1.45 1.12 1.37 1.03 1.31 0.98 1.20 0.95 1.12 0.86 1.06 0.85 1.02 0.81 0.97 0.80 0.94 0.76 0.91 0.74 0.88 0.72
330 1.50 1.15 1.40 1.08 1.33 1.00 1.27 0.95 1.16 0.93 1.09 0.83 1.03 0.83 0.99 0.79 0.95 0.78 0.92 0.75 0.89 0.72 0.86 0.70
340 1.45 1.11 1.36 1.04 1.29 0.96 1.24 0.91 1.13 0.90 1.06 0.81 1.01 0.80 0.97 0.77 0.92 0.76 0.89 0.73 0.87 0.71 0.84 0.69
350 1.41 1.07 1.32 1.01 1.25 0.93 1.20 0.88 1.10 0.87 1.03 0.79 0.98 0.78 0.94 0.75 0.90 0.74 0.87 0.71 0.85 0.69 0.82 0.67
ANEXOS
Anexo 3.2 (b)
Espesor de losa (mm)
TENSIÓN EQUIVALENTE PARA PAVIMENTOS CON PASEO DE HORMIGÓN (MPa)
MÓDULO RESILIENTE DEL CIMIENTO (MPa)
40 60 80 100 150 200 250 300 350 400 450 500
ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET ES ET
130 3.08 2.62 2.80 2.35 2.60 2.17 2.45 2.07 2.16 1.77 1.95 1.61 1.80 1.48 1.68 1.37 1.56 1.29 1.47 1.19 1.39 1.12 1.32 1.09
140 2.85 2.40 2.60 2.16 2.41 2.00 2.27 1.90 2.01 1.65 1.82 1.50 1.68 1.38 1.57 1.28 1.47 1.21 1.39 1.12 1.31 1.06 1.25 1.03
150 2.64 2.21 2.42 2.00 2.25 1.85 2.12 1.76 1.88 1.54 1.71 1.40 1.58 1.30 1.48 1.21 1.39 1.14 1.31 1.06 1.25 1.00 1.18 0.98
160 2.47 2.05 2.26 1.86 2.10 1.72 1.99 1.63 1.77 1.44 1.61 1.31 1.50 1.22 1.40 1.14 1.32 1.08 1.25 1.01 1.18 0.95 1.13 0.93
170 2.31 1.91 2.12 1.73 1.98 1.61 1.88 1.53 1.67 1.36 1.53 1.23 1.42 1.16 1.33 1.08 1.25 1.03 1.19 0.96 1.13 0.91 1.08 0.89
180 2.18 1.78 2.00 1.63 1.87 1.50 1.77 1.43 1.58 1.28 1.45 1.16 1.35 1.10 1.27 1.03 1.19 0.98 1.13 0.92 1.08 0.87 1.03 0.85
190 2.06 1.67 1.89 1.53 1.77 1.42 1.68 1.35 1.50 1.22 1.38 1.10 1.28 1.05 1.21 0.98 1.14 0.94 1.09 0.88 1.04 0.84 0.99 0.82
200 1.95 1.58 1.79 1.45 1.68 1.34 1.60 1.27 1.43 1.16 1.31 1.05 1.23 1.00 1.16 0.94 1.09 0.90 1.04 0.84 1.00 0.80 0.95 0.79
210 1.85 1.49 1.71 1.37 1.60 1.26 1.52 1.20 1.36 1.10 1.26 1.00 1.18 0.95 1.11 0.90 1.05 0.86 1.00 0.81 0.96 0.78 0.92 0.76
220 1.76 1.41 1.63 1.30 1.52 1.20 1.45 1.14 1.31 1.05 1.20 0.95 1.13 0.91 1.07 0.86 1.01 0.83 0.97 0.78 0.93 0.75 0.89 0.73
230 1.68 1.34 1.55 1.23 1.46 1.14 1.39 1.08 1.25 1.01 1.16 0.91 1.08 0.88 1.03 0.83 0.97 0.80 0.93 0.76 0.89 0.72 0.86 0.71
240 1.60 1.27 1.49 1.18 1.39 1.09 1.33 1.03 1.20 0.97 1.11 0.87 1.04 0.84 0.99 0.80 0.94 0.77 0.90 0.73 0.87 0.70 0.83 0.68
250 1.54 1.21 1.42 1.12 1.34 1.04 1.28 0.99 1.16 0.93 1.07 0.84 1.01 0.81 0.96 0.77 0.91 0.75 0.87 0.71 0.84 0.68 0.81 0.66
260 1.47 1.16 1.37 1.08 1.29 0.99 1.23 0.94 1.11 0.89 1.03 0.81 0.97 0.78 0.93 0.74 0.88 0.72 0.84 0.69 0.81 0.66 0.78 0.64
270 1.41 1.11 1.32 1.03 1.24 0.95 1.18 0.90 1.07 0.86 1.00 0.78 0.94 0.76 0.90 0.72 0.85 0.70 0.82 0.67 0.79 0.64 0.76 0.63
280 1.36 1.06 1.27 0.99 1.19 0.91 1.14 0.87 1.04 0.83 0.96 0.75 0.91 0.73 0.87 0.70 0.83 0.68 0.80 0.65 0.77 0.62 0.74 0.61
290 1.31 1.02 1.22 0.95 1.15 0.88 1.10 0.83 1.00 0.80 0.93 0.72 0.88 0.71 0.84 0.68 0.80 0.66 0.77 0.63 0.75 0.61 0.72 0.59
300 1.26 0.98 1.18 0.92 1.11 0.84 1.07 0.80 0.97 0.78 0.91 0.70 0.86 0.69 0.82 0.66 0.78 0.64 0.75 0.61 0.73 0.59 0.70 0.58
310 1.22 0.94 1.14 0.88 1.08 0.81 1.03 0.77 0.94 0.75 0.88 0.68 0.83 0.67 0.80 0.64 0.76 0.62 0.73 0.60 0.71 0.58 0.69 0.56
320 1.18 0.90 1.10 0.85 1.04 0.78 1.00 0.75 0.91 0.73 0.85 0.65 0.81 0.65 0.77 0.62 0.74 0.61 0.71 0.58 0.69 0.56 0.67 0.55
330 1.14 0.87 1.07 0.82 1.01 0.76 0.97 0.72 0.89 0.71 0.83 0.63 0.79 0.63 0.75 0.60 0.72 0.59 0.70 0.57 0.68 0.55 0.65 0.54
340 1.11 0.84 1.04 0.80 0.98 0.73 0.94 0.70 0.86 0.69 0.81 0.62 0.77 0.61 0.74 0.59 0.70 0.58 0.68 0.55 0.66 0.54 0.64 0.52
350 1.07 0.81 1.01 0.77 0.95 0.71 0.91 0.67 0.84 0.67 0.79 0.60 0.75 0.60 0.72 0.57 0.69 0.56 0.67 0.54 0.65 0.53 0.63 0.51
ANEXOS
Anexo 3.3
Análisis estocástico de la resistencia a compresión a los 28 días.
Procedencia de los datos.
Para la investigación se trabajaron con datos experimentales de ensayos a compresión realizados en
probetas de 20MPa, 25MPa y 30MPa a los 28 días, suministrados por los laboratorios del CITEC
(MINFAR) correspondiente a la producción de hormigón premezclado. Se analizaron múltiples lotes,
agrupando aquellos que tuvieran aproximadamente el mismo número de series ensayadas (3 muestras).
Los datos contemplan un período de cinco años. A partir de aquí se pretende realizar una caracterización
estadística de las poblaciones partiendo de la teoría que sus resistencias a compresión siguen una
distribución normal.
Caracterización estadística de las poblaciones
La caracterización estadística se realizó a partir de obtener las medidas de tendencia central y dispersión
para cada población (20,25 y 30 MPa). Para ellos se agrupan los datos teniendo en cuenta lo planteado
por la (NC-192, 2005) en el acápite seis. El software estadístico STATGRAPHICS sirvió como
herramienta para realizar la estadística descriptiva de las poblaciones.
Tabla 1: Resumen estadístico de los datos extraídos del laboratorio
Resumen estadístico
Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa
Media 23.830 26.684 30.743
Error típico 0.576 0.707 0.637
Mediana 23.296 27.493 30.723
Moda #N/A #N/A 30.723
Desviación estándar 3.909 3.871 4.175
Varianza de la muestra 15.279 14.984 17.434
Curtosis -1.121 -0.972 -1.095
Coeficiente de asimetría -0.041 -0.141 -0.068
Rango 13.015 14.218 14.218
Mínimo 17.094 19.971 23.343
Máximo 30.110 34.189 37.561
Suma 1096.198 800.516 1321.953
Cuenta 46.000 30.000 43.000
Nivel de confianza (%) 1.161 1.445 1.285
Generación aleatoria de las resistencias
La generación de variables aleatorias ocupa un lugar importante en las aplicaciones modernas de la
Teoría de Probabilidades, para aquellas situaciones en que se requiera conocer, el comportamiento
estocástico de un sistema por medio de simulación intensa por ordenador. El objetivo de la generación
es obtener una muestra sintética de una variable, cuya función de densidad empírica se ajuste, lo más
fielmente posible, a la dada como modelo probabilista de ella.
ANEXOS
22.500
23.000
23.500
24.000
24.500
25.000
25.500
0 5 10 15 20 25 30
Med
ia (
MP
a)
Tamaño de muestras generadas Cientos
20 MPa Medias generadas
Media supuesta
Normas internacionales como la ACI-318-05, EHE-07 y la propia NC-192-05 asumen que los resultados
de resistencia a compresión a los 28 días se ajustan a una distribución normal de probabilidades.
Partiendo de este criterio en la investigación se emplearán generadores de números aleatorios que sigan
tal distribución. La selección del generador se realizó evaluando los criterios seguidos (Rodríguez, 2010)
en su investigación, empleando como generador de números aleatorios la función “rnorm” del software
profesional MATCAD 14.0.0.164. Tal función tiene como parámetros de entrada la media, la desviación
y el tamaño de la muestra a generar.
Evaluación de las generaciones
Cuando se genera números aleatorios en un ordenador se parte de la hipótesis de que los valores de
partida generados corresponden a variables aleatorias y siguen cierta distribución de probabilidades,
pero esta suposición realmente no se cumple, puesto que los generadores de números aleatorios son
simplemente programas determinísticos que intentan reproducir una sucesión de valores que parezca
aleatoria, por tanto, estos se denominan pseudo-aleatorios. Para realizar la comprobación de números
pseudo-aleatorios es preciso verificar dos elementos, el carácter aleatorio propiamente dicho y la
correspondencia de los datos generados con la distribución de probabilidades supuesta.
Para evaluar la generación en la investigación primero se determina el tamaño mínimo que puede tener
cada muestra generada de manera tal que las medias de tendencia central y dispersión sean lo más
parecidos a las supuestas (permitiendo un error del 2%). Luego, al tamaño de muestra seleccionada se
le realizo un “Test de rachas” para comprobar la aleatoriedad de la generación. Finalmente, se le realizan
diversos test de bondad de ajuste para ver si las muestras de cada población seleccionada se ajustan a
una distribución normal.
Determinación del tamaño mínimo de las muestras
Para la determinación del tamaño mínimo de las muestras se generaron valores manteniendo la misma
media y desviación, cambiando el tamaño de datos generados. A continuación, se observan los gráficos
de la media y desviación típica obtenidos para las tres resistencias.
ANEXOS
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Des
viac
ión
típ
ica
(MP
a)
Tamaño de muestras generadas Cientos
20 MPa
Desviacionesn Típicas generadas
Desviación típica supuesta
25.000
26.000
27.000
28.000
29.000
30.000
31.000
32.000
0 5 10 15 20 25 30
Med
ia (
MP
a)
Tamaño de las muestras generadas Cientos
25MPa Medias generadas
Media supuesta
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Dev
iaci
ón
típ
ica
(MP
a)
Tamaño de las muestras generadas Cientos
25 MPa
Desviación típica generada
Desviación típica supuesta
29.000
29.500
30.000
30.500
31.000
31.500
0 5 10 15 20 25 30
Med
ia (
MP
a)
Tamaño de las muestras generadas Cientos
30 MPa
Medias generadas
Media supuesta
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Des
viac
ión
típ
ica
(MP
a)
Tamaño de las muestras generadas Cientos
30 MPa
Desviación típica generada
Desviación típica supuesta
.
Figura 1: Comportamiento de las medidas de tendencia central con el aumento del tamaño de muestra.
ANEXOS
Como se observa en las figuras a medida que el tamaño de muestra crece los estadígrafos descriptivos
se asemejan a los supuestos. Con el objetivo de reducir al máximo el tamaño de las muestras generadas
se permite cometer un error en la convergencia con los valores supuestos de un 2%. Los resultados del
estudio se muestran a continuación en la siguiente tabla.
Tabla 2: Resumen a partir de cuales valores se estabilizan los tamaños de muestras con un error menor que el 2%.
Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa
Media estabiliza a partir de los: 200 valores 23.83 MPa
100 valores 26,83 MPa
250 valores 30.74 MPa
Desviación Típica estabiliza a partir de los:
600 valores 3,91 MPa
600 valores 3.87 MPa
800 valores 4.17 MPa
Tamaño de la muestra definitivo: 600 600 800
Con se observa en la tabla las soluciones estabilizan con un tamaño en la media y otro en la desviación,
por ello seleccionamos el mayor de los dos para definirlo como tamaño definitivo.
Contraste de aleatoriedad.
Para contrastar la aleatoriedad de los datos se realizó un Test de Rachas, la cual contrasta si es aleatorio
el orden de aparición de dos valores de una variable. Una racha es una secuencia de observaciones
similares. Una muestra con un número excesivamente grande o excesivamente pequeño de rachas
sugiere que la muestra no es aleatoria. Se trabaja para una probabilidad del 95%.
Se plantea las siguientes hipótesis:
H0: Para un nivel de significación del 5%, no se rechaza la hipótesis de aleatoriedad si P-valor > 0.05
H1: Se rechaza la hipótesis de aleatoriedad en el caso contrario.
Tabla 3: Prueba de rachas teniendo en cuenta valores por encima y por debajo de la media
Parámetros M20MPa M25MPa M30MPa
Valor de prueba 23.682 26.8318 30.5145
Casos < Valor de prueba 291 320 398
Casos >= Valor de prueba 309 330 402
Casos totales 600 650 800
Número de rachas 318 326 392
Z 1.413 0.006 -0.636
P-Valor 0.158 0.995 0.525
Los tamaños de muestra seleccionada cumplen con H0 por tanto se puede asegurar que las generaciones
tienen carácter aleatorio con un nivel de confianza del 95%.
Contraste de normalidad
ANEXOS
A continuación, se muestra como se verificó la uniformidad de los números aleatorios generados por el
método seleccionado. Se trata de decidir si los números generados se pueden considerar como
realización de una muestra aleatoria simple con distribución normal. Para ello con empleo del software
STATGRAPHICS se realizan tres test de normalidad teniendo como nivel de significancia 0.05 (95 % de
probabilidad).
Chi-Cuadrado
Kolmogorov-Smirnov
Shapiro-Wilk
La prueba de chi-cuadrada divide el rango de los datos en intervalos no trasladables y compara el número
de observaciones en cada clase con el número esperado con base en la distribución ajustada (Normal).
La prueba de Kolmogorov-Smirnov calcula la distancia máxima entre la distribución acumulada de los
datos y la función de densidad de la distribución normal ajustada y por último la prueba de Shapiro-Wilk
está basada en la comparación de los cuartiles de la distribución normal ajustada a los datos.
Tabla 4: Resultado de los P-valor de los diferentes test de normalidad
Estadígrafo de contraste P-valor
20 MPa 25 MPa 30 MPa
Chi-Cuadrado 0.617 0.583 0.995
Kolmogorov-Smirnov 0.646 0.708 0.959
Estadístico W de Shapiro-Wilk 0.154 0.988 0.176
Los resultados muestran que el P-valor más pequeño de las pruebas realizadas es mayor ó igual a 0.05,
por tanto, no se puede rechazar la idea de que las muestras provienen de una distribución normal con
95% de confianza. Los resultados se pueden evidenciar también en los histogramas de cada resistencia
generada.
ANEXOS
Figura 2: Histogramas de los tamaños de muestras definitivos.
Estos valores constituyen datos de entrada para generar las curvas teóricas de comportamiento en
compresión y tracción de los hormigones. Este proceso de generación y simulación computacional es
bastante complejo para los tamaños de muestras obtenidos es por eso que se decidió realizar un
remuestreo de los datos generados empleando la técnica de Muestreo Aleatorio Simple (MAS).
Remuestreo de los datos.
El Muestreo Aleatorio Simple no es más que cada unidad de la población tiene la misma probabilidad
de ser seleccionada para integrar la muestra. Puede decirse también que es el procedimiento mediante
el cual se eligen por sorteo, n unidades de una población de tamaño N haciendo la selección con
reposición (Aguilera, León, & Salgaco, 2010).
Es de esperar que mientras mayor sea el tamaño de la muestra que se selecciona en el MAS, mayores
eficiencias tendrán las estimaciones. Sin embargo, el aspecto económico y en el afán de ganar tiempo,
en toda investigación obliga a que las muestras sean lo más pequeñas posible procurando que al mismo
tiempo no dejen de ser representativas de la población que se investiga.
Lo primero que se buscó para realizar el muestreo aleatorio simple fue el tamaño que requiere la muestra
para que sea representativa de la población con un nivel de confianza del 95%. En nuestro caso se
conocen los tamaños de las poblaciones (cantidad de datos generados en cada resistencia)
2
1 /2
0 2
Z pqn
d
(1)
0
0( 1)1
nn
n
N
(2)
ANEXOS
Donde:
0 :n Tamaño de la muestra cuando se desconoce el tamaño de la población
:n Tamaño de la muestra transformado cuando se conoce el tamaño de la población.
:N Tamaño de la población.
1 /2 :Z Variable estandarizada de distribución normal.
:p Probabilidad de éxito
:q Probabilidad de fracaso
:d precisión del estudio
Como no se conoce los valores de probabilidad de éxito y fracaso se asume que tal probabilidad de tales
eventos es un medio (0.5). En el estudio se decide trabajar aceptando un error máximo a cometer (d) de
valor igual a 0,15MPa. Los tamaños de las muestras resultantes del remuestreo se muestran a
continuación en la tabla.
Tabla 5: Resumen del Muestreo Aleatorio Simple (MAS)
Resistencia Característica 20MPa 25MPa 30MPa
1 0.05 0.05 0.05
1 /2Z 1.96 1.96 1.96
N 300 300 300
p 0.5 0.5 0.5
q 0.5 0.5 0.5
d 0.15 0.15 0.15
Tamaño de Muestra 40 40 42
Con los tamaños de las muestras determinado, se procedió a realizar el muestreo aleatorio simple
resultando en cada caso como se muestra en la siguiente tabla.
ANEXOS
Tabla 6: Muestreo aleatorio simple de los números generados
f'c = 20 MPa f'c = 25 MPa f'c = 30 MPa
No. Resist. (MPa)
No. Resist. (MPa)
No. Resist. (MPa)
No. Resist. (MPa)
No. Resist. (MPa)
No. Resist. (MPa)
1 22.76 21 20.58 1 22.80 21 15.60 1 35.30 21 25.77
2 23.77 22 18.51 2 27.60 22 23.61 2 27.11 22 28.90
3 21.16 23 23.90 3 26.91 23 34.80 3 37.59 23 28.58
4 23.75 24 21.46 4 29.80 24 25.40 4 35.92 24 32.87
5 22.51 25 27.44 5 28.88 25 23.88 5 29.35 25 33.26
6 18.09 26 20.95 6 22.30 26 27.47 6 28.49 26 29.55
7 24.57 27 27.19 7 26.73 27 24.25 7 26.67 27 41.24
8 27.06 28 20.44 8 24.30 28 28.49 8 23.41 28 29.87
9 24.09 29 24.32 9 26.30 29 21.88 9 31.53 29 31.61
10 25.02 30 30.82 10 28.40 30 30.59 10 31.54 30 36.13
11 27.91 31 22.26 11 24.30 31 28.05 11 33.51 31 35.65
12 20.58 32 22.71 12 24.86 32 19.30 12 32.27 32 26.36
13 21.08 33 20.51 13 27.42 33 23.38 13 36.95 33 25.27
14 21.84 34 25.97 14 25.29 34 31.66 14 32.98 34 32.44
15 19.97 35 26.35 15 19.30 35 23.40 15 35.38 35 31.73
16 24.88 36 20.52 16 31.18 36 20.62 16 33.54 36 27.56
17 20.37 37 27.20 17 35.84 37 26.02 17 27.56 37 30.41
18 24.21 38 19.97 18 24.06 38 22.50 18 23.76 38 28.90
19 31.66 39 22.71 19 25.65 39 25.80 19 31.92 39 29.05
20 27.44 40 19.08 20 26.58 40 22.52 20 27.05 40 34.09 41 31.64 42 30.54
A cada uno de estos valores mostrado en la tabla se les estimó su propiedades elásticas (E,ν) y curvas
de comportamiento en compresión y tracción tomando como parámetro de la estimación la propia
resistencia en compresión. Anexos 2.11 (a) y 2.11 (b)
ANEXOS
Anexo 3.4
Resultados de las simulaciones generadas.
f´c = 20 MPa
Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa)
1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04
2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88
3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27
4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11
5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52
6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07
7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52
8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03
9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33
10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79
11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18
12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21
13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03
14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45
15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48
16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03
17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52
18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99
19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21
20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92
f´c = 25 MPa
Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa)
1 22.76 24057 3.21 21 20.58 22826 3.04
2 23.77 24642 3.29 22 18.51 21574 2.88
3 21.16 23144 3.09 23 23.90 24508 3.27
4 23.75 24635 3.28 24 21.46 23318 3.11
5 22.51 23975 3.20 25 27.44 26373 3.52
6 18.09 21297 2.84 26 20.95 23048 3.07
7 24.57 25103 3.35 27 27.19 26386 3.52
8 27.06 26331 3.51 28 20.44 22711 3.03
9 24.09 24838 3.31 29 24.32 24968 3.33
10 25.02 25354 3.38 30 30.82 28393 3.79
11 27.91 26702 3.56 31 22.26 23817 3.18
12 20.58 22826 3.04 32 22.71 24045 3.21
13 21.08 23117 3.08 33 20.51 22735 3.03
14 21.84 23598 3.15 34 25.97 25910 3.45
15 19.97 22462 2.99 35 26.35 26069 3.48
16 24.88 25279 3.37 36 20.52 22742 3.03
17 20.37 22663 3.02 37 27.20 26393 3.52
18 24.21 24876 3.32 38 19.97 22462 2.99
19 31.66 28695 3.83 39 22.71 24045 3.21
20 27.44 26376 3.52 40 19.08 21918 2.92
ANEXOS
f´c = 30 MPa
Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa) Cantidad Resist. (MPa) Carga de rotura (N)
Mr (MPa)
1 35.30 30545 4.07 21 25.77 25741 3.43
2 27.11 26417 3.52 22 28.90 27381 3.65
3 37.59 31823 4.24 23 28.58 27280 3.64
4 35.92 31038 4.14 24 32.87 29240 3.90
5 29.35 27428 3.66 25 33.26 29655 3.95
6 28.49 27203 3.63 26 29.55 27770 3.70
7 26.67 26289 3.51 27 41.24 33541 4.47
8 23.41 24448 3.26 28 29.87 27921 3.72
9 31.53 28804 3.84 29 31.61 28684 3.82
10 31.54 28807 3.84 30 36.13 30984 4.13
11 33.51 29808 3.97 31 35.65 30859 4.11
12 32.27 29211 3.89 32 26.36 26071 3.48
13 36.95 31556 4.21 33 25.27 25293 3.37
14 32.98 29421 3.92 34 32.44 28929 3.86
15 35.38 30668 4.09 35 31.73 28908 3.85
16 33.54 29816 3.98 36 27.56 26444 3.53
17 27.56 26444 3.53 37 30.41 28245 3.77
18 23.76 24640 3.29 38 28.90 27381 3.65
19 31.92 28955 3.86 39 29.05 27300 3.64
20 27.05 26475 3.53 40 34.09 30078 4.01 41 31.64 28694 3.83 42 30.54 28332 3.78
Bibliografía del anexo
Aguilera, M. E. A., León, M. L. P., & Salgaco, M. J. D. E. (2010). Manual de Probabilidades y estadísticas. 266.
NC-192. (2005). Hormigón hidráulico. Calculo de la Resistencia Característica Real a la Compresión. Cálculo de la Resistencia Característica Real a la Compresión del Hormigón La Habana. Cuba: ININ/ Oficina Nacional de Normalización.
Rodríguez, A. J. M. (2010). Modelación estocastica de problemas de ingeniería geotécnica. (Tesis de Doctorado), Universidad Central "Marta Abreu" de Las Villas, Villa Clara, Cuba.
ANEXOS
Anexo 4.1
Información general del caso de estudio.
Caso de estudio: Autopista Este-Oeste (Tramo intermedio entre el Puente de calle 100 y el puente de 114.)
I. Descripción de la vía
En una vía con categoría de autopista compuesta por 6 carriles de circulación (3 en cada sentido), la
sección de cada carril es aproximadamente 3.50 m. La vía fue construida aproximadamente hace 25
años con pavimento de hormigón simple de 21 cm de espesor sin paseo. En la actualidad tiene un flujo
considerable de vehículos pesados sobre todo en el tramo escogido para el estudio, ya que se encuentra
en la zona de uno de los vertederos de basura más grande que tiene la capital, además de ser una vía
que conecta La Habana con la provincia más occidental del país. (Ver figura 1)
Figura 1 Imágenes del tramo tomado para el estudio.
II. Estudio de tránsito
En el año 2012 el Departamento de Viales de la Facultad de Ingeniería Civil de la CUJAE realizó un
estudio de tránsito, con el fin de desarrollar varios trabajos de diplomas. El estudio consistió en una
caracterización del tráfico a partir de conteos clasificados.
El período de conteo fue de 12 horas, efectuado durante una semana, donde se registraron los tipos de
camiones que circulan, identificados por sus siluetas y la condición de carga, señalando si el vehículo
viene lleno, intermedio o vacío. Los resultados del estudio se muestran a continuación en la siguiente
tabla.
ANEXOS
Tabla 1. Resultado del conteo clasificado de vehículos.
Tabla 2. Espectro de carga obtenido del conteo
Escalón de cargas (kN) FRECUENCIA DE EJES SIMPLES
Escalón de cargas (kN) FRECUENCIA DE EJES
TÁNDEM TRÍDEM
0 10 250 60 80 96 0
10 20 370 80 100 6 9
20 30 349 100 120 41 0
30 40 326 120 140 66 0
40 50 242 140 160 21 0
50 60 10 160 180 152 2
60 70 189 180 200 14 0
70 80 45 200 220 21 0
80 90 166 220 240 7 6
90 100 2 240 260 0 0
100 110 6 260 280 0 3
110 120 44 280 300 0 0
120 130 14 total de ejes 424 20
130 140 12
total de ejes 2025
No. Siluetas No. de ejes Vehículos contados
Vacío Intermedio Llenos
ligeros 1538
1
2 ejes simples, 4 ruedas 56 10 4
2
2 ejes simples,6 ruedas. 96 47 74
3 1 eje simple, 1 eje tándem.
27 16 71
4 2 ejes simples, 6 ruedas 41 7 11
5 3 ejes simples, 10 ruedas
2 1 0
6 2 ejes simples,1 eje tándem.
5 9 4
7 1 eje simple, 2 eje tándem
4 16 7
8 1 eje simple, 1 eje tándem, 1 eje trídem.
2 1 0
9 2 ejes simples,1 eje trídem
3 0 3
10 3 ejes simples, 10 ruedas
4 0 0
11 Con silueta 2 3 1 14
12 Con silueta 3 4 3 2
TOTAL, DE CAMIONES 247 111 190
ANEXOS
III. Datos de los materiales
Después de 30 años toda la documentación de proyecto se ha deteriorado y se encontró poca
información relacionada con el proyecto, a partir de esto, supusimos algunos de los datos referido las
características de a los materiales. La suposición se realizó bajo la asesoría del Dr. Ing. Emilio Serrano
Rodríguez, el cual fue el proyectista de la obra.
Calidad del hormigón empleado en las losas 28-30 MPa
Base granular de material seleccionado calizo CBR 20%
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