Probabilidades y Estadıstica (C) Final 28-9-2020 (parte escrita)

Apellido y nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LU No: . . . . . . . . . . .

Por favor, resuelva los ejercicios en hojas separadas. Numere todas las hojas y coloque en cada una su nombrey apellido.

1. Enunciar y probar el teorema de Bayes. Dar un ejemplo de aplicacion de dicho teorema.

2. Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias i.i.d con funcion de densidad dada por

fX(x, θ) =2x

θ2I(0,θ)(x) θ > 0

a) Hallar θn el estimador de maxima verosimilitud de θ.

b) Hallar θn el estimador de momentos de θ.

c) Decidir si θn y θn son insesgados y calcular su ECM.

d) Decidir si θn y θn son consistentes.

e) ¿Cual de los dos estimadores prefiere usar con una muestra aleatoria de tamano n = 100?¿Y con una de tamano n = 8? Justificar.

3. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria con Xi ∼ N (µ, σ2) y µ y σ desconocidos. Hallar unintervalo de confianza para µ de nivel 1− α.