Probabilidad condicionada y el teorema de

Bayes

Michael Wiper

Departamento de Estadística

Universidad Carlos III de Madrid

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Objetivo

Introducir el concepto de la probabilidad condicionada y su uso.

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Probabilidad condicionada

Recordamos el diagrama de Venn

La probabilidad de S2 es representada por el área.

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Probabilidad condicionadaSupongamos que sabemos que S1 ha ocurrido. ¾Cómo cambia la probabilidad deS2?

La probabilidad de S2 dado S1 es

P(S2|S1) =P(S1 ∩ S2)

P(S1).

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Ejemplo

Recordamos los datos de delitos en Galicia.

¾Qué proporción de los delitos en A Coruña son de tráco de drogas?

0,078 = 132/1688.

¾Qué proporción de los casos de tráco de drogas ocurrieron en A Coruña?

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Ejemplo

Recordamos los datos de delitos en Galicia.

¾Qué proporción de los delitos en A Coruña son de tráco de drogas?

0,078 = 132/1688.

¾Qué proporción de los casos de tráco de drogas ocurrieron en A Coruña?

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Ejemplo

Recordamos los datos de delitos en Galicia.

¾Qué proporción de los delitos en A Coruña son de tráco de drogas?

0,078 = 132/1688.

¾Qué proporción de los casos de tráco de drogas ocurrieron en A Coruña?

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Ejemplo

Recordamos los datos de delitos en Galicia.

¾Qué proporción de los delitos en A Coruña son de tráco de drogas?

0,078 = 132/1688.

¾Qué proporción de los casos de tráco de drogas ocurrieron en A Coruña?

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Ejemplo

Elegimos uno de los casos al azar y observamos que el delito ocurrió en A Coruña.¾Cuál es la probabilidad de que fuese de tráco de drogas?

0,078 = 0,026/0,328

Elegimos al azar uno de los delitos de tráco de drogas a estudiar en más detalle.¾Cuál es la probabilidad de que ocurrió en A Coruña?

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Ejemplo

Elegimos uno de los casos al azar y observamos que el delito ocurrió en A Coruña.¾Cuál es la probabilidad de que fuese de tráco de drogas?

0,078 = 0,026/0,328

Elegimos al azar uno de los delitos de tráco de drogas a estudiar en más detalle.¾Cuál es la probabilidad de que ocurrió en A Coruña?

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Ejemplo

Elegimos uno de los casos al azar y observamos que el delito ocurrió en A Coruña.¾Cuál es la probabilidad de que fuese de tráco de drogas?

0,078 = 0,026/0,328

Elegimos al azar uno de los delitos de tráco de drogas a estudiar en más detalle.¾Cuál es la probabilidad de que ocurrió en A Coruña?

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La ley de la multiplicación

Multiplicando ambos lados de la fórmula por el denominador se tiene la ley de lamultiplicación

P(S1 ∩ S2) = P(S1)P(S2|S1).

Se han pedido hacer las pruebas de alcoholemia cada hora dos conductoreselegidos al azar en una calle de Aranjuez. Supongamos que en la primera horapasen 100 conductores por la calle, de los cuáles 10 han tomado demasiadoalcohol. Hallar la probabilidad de que ninguno de los dos elegidos para la pruebaesté bebido.

P(ninguno) = P(primero está sobrio)P(segundo está sobrio|primero está sobrio)

=90

100× 89

99

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La ley de la multiplicación

Multiplicando ambos lados de la fórmula por el denominador se tiene la ley de lamultiplicación

P(S1 ∩ S2) = P(S1)P(S2|S1).

Se han pedido hacer las pruebas de alcoholemia cada hora dos conductoreselegidos al azar en una calle de Aranjuez. Supongamos que en la primera horapasen 100 conductores por la calle, de los cuáles 10 han tomado demasiadoalcohol. Hallar la probabilidad de que ninguno de los dos elegidos para la pruebaesté bebido.

P(ninguno) = P(primero está sobrio)P(segundo está sobrio|primero está sobrio)

=90

100× 89

99

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Independencia

Formalmente dos sucesos S1, S2 son estadísticamente independientes si

P(S1 ∩ S2) = P(S1)P(S2)

¾Cómo interpretamos la independencia?

P(S2|S1) = P(S2) o P(S1|S2) = P(S1).

Independencia implica que sabiendo que un suceso haya ocurrido, la probabilidaddel otro suceso no cambia.

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Independencia

Formalmente dos sucesos S1, S2 son estadísticamente independientes si

P(S1 ∩ S2) = P(S1)P(S2)

¾Cómo interpretamos la independencia?

P(S2|S1) = P(S2) o P(S1|S2) = P(S1).

Independencia implica que sabiendo que un suceso haya ocurrido, la probabilidaddel otro suceso no cambia.

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Ejemplo

¾Son independientes los sucesos el delito ocurrió en Ourense y el delito fuecontra la seguridad vial?

0,152× 0,874 = 0,133 6= 0,138 y luego los sucesos no son independientes.

En la realidad, pocas cosas son estadísticamente independientes.

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Ejemplo

¾Son independientes los sucesos el delito ocurrió en Ourense y el delito fuecontra la seguridad vial?

0,152× 0,874 = 0,133

6= 0,138 y luego los sucesos no son independientes.

En la realidad, pocas cosas son estadísticamente independientes.

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Ejemplo

¾Son independientes los sucesos el delito ocurrió en Ourense y el delito fuecontra la seguridad vial?

0,152× 0,874 = 0,133 6= 0,138 y luego los sucesos no son independientes.

En la realidad, pocas cosas son estadísticamente independientes.

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La ley de la probabilidad total

Un conjunto de sucesos S1, ...,Sk forman una partición si⋃k

i=1Si = Ω y

Si ∩ Sj = φ para todo i 6= j .

Es decir que los sucesos dividen el espacio muestral en trocitos.

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La ley de la probabilidad total

Luego para otro suceso R ...

P(R) = P(R ∩ S1) + P(R ∩ S2) + · · ·+ P(R ∩ Sk).

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La ley de la probabilidad total

Aplicando la ley de la multiplicación ...

P(R) = P(R|S1)P(S1) + P(R|S2)P(S2) + · · ·+ P(R|Sk)P(Sk).

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Ejemplo

En promedio, 10% de los conductores en una carretera de Aranjuez están bebidos.En un 8% de las ocasiones (cuando el conductor no ha bebido demasiado), laspruebas aleatorios de alcoholemia dan falsos positivos y en un 5% de los casos(cuando sí ha bebido demasiado), dan falsos negativos. Si se para un conductor alazar para hacer la prueba, ¾cuál es la probabilidad de que de positivo?

P(bebido) = 0,10. P(no bebido) = 1− 0,1 = 0,9.

P(positivo|no bebido) = 0,08. P(negativo|no bebido) = 1− 0,08 = 0,92.

P(negativo|bebido) = 0,05. P(positivo|bebido) = 1− 0,05 = 0,95.

P(positivo) = P(positivo|no bebido)P(no bebido) + P(positivo|bebido)P(bebido)

= 0,08× 0,9 + 0,95× 0,1 = 0,167.

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Ejemplo

En promedio, 10% de los conductores en una carretera de Aranjuez están bebidos.En un 8% de las ocasiones (cuando el conductor no ha bebido demasiado), laspruebas aleatorios de alcoholemia dan falsos positivos y en un 5% de los casos(cuando sí ha bebido demasiado), dan falsos negativos. Si se para un conductor alazar para hacer la prueba, ¾cuál es la probabilidad de que de positivo?

P(bebido) = 0,10. P(no bebido) = 1− 0,1 = 0,9.

P(positivo|no bebido) = 0,08. P(negativo|no bebido) = 1− 0,08 = 0,92.

P(negativo|bebido) = 0,05. P(positivo|bebido) = 1− 0,05 = 0,95.

P(positivo) = P(positivo|no bebido)P(no bebido) + P(positivo|bebido)P(bebido)

= 0,08× 0,9 + 0,95× 0,1 = 0,167.

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Ejemplo

En promedio, 10% de los conductores en una carretera de Aranjuez están bebidos.En un 8% de las ocasiones (cuando el conductor no ha bebido demasiado), laspruebas aleatorios de alcoholemia dan falsos positivos y en un 5% de los casos(cuando sí ha bebido demasiado), dan falsos negativos. Si se para un conductor alazar para hacer la prueba, ¾cuál es la probabilidad de que de positivo?

P(bebido) = 0,10. P(no bebido) = 1− 0,1 = 0,9.

P(positivo|no bebido) = 0,08. P(negativo|no bebido) = 1− 0,08 = 0,92.

P(negativo|bebido) = 0,05. P(positivo|bebido) = 1− 0,05 = 0,95.

P(positivo) = P(positivo|no bebido)P(no bebido) + P(positivo|bebido)P(bebido)

= 0,08× 0,9 + 0,95× 0,1 = 0,167.

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El teorema de Bayes

En el ejemplo anterior, supongamos que el conductor de positivo en la prueba dealcoholemia. ¾Cuál es la probabilidad de que esté bebido?

Necesitamos emplear el teorema de Bayes.

Para dos sucesos S y R,

P(S |R) =P(R|S)P(S)

P(R).

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El teorema de Bayes

En el ejemplo anterior, supongamos que el conductor de positivo en la prueba dealcoholemia. ¾Cuál es la probabilidad de que esté bebido?

Necesitamos emplear el teorema de Bayes.

Para dos sucesos S y R,

P(S |R) =P(R|S)P(S)

P(R).

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Ejemplo

P(bebido|positivo) =P(positivo|bebido)P(bebido)

P(positivo)

=0,95× 0,1

0,167

= 0,569

½Mucho menos que se esperaría!

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Resumen y siguiente sesión

Hemos introducido la probabilidad condicionada y mostrado sus propiedades.

En la siguiente sesión introduciremos las variables estadísticas.

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